წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.
უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის, როგორც არგუმენტის ნამატის შეფარდების შეფარდების ზღვრად განსაზღვრით, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და ზუსტად განსაზღვრული დიფერენციაციის წესები. . ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716) იყვნენ პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში.
ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულებისა და დიფერენციაციის წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.
წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ინსულტის ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაშლადა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. გარდა ამისა, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვპოულობთ წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.
მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულთა ჯამი, ე.ი.
წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „X“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს წარმოებულების ჯამში და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:
მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მუდმივი ფაქტორის მქონე მეორე წევრი შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან:
თუ ჯერ კიდევ არსებობს კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი, როგორც წესი, ნათელი ხდება წარმოებულების ცხრილისა და დიფერენცირების უმარტივესი წესების წაკითხვის შემდეგ. ჩვენ ახლავე მივდივართ მათთან.
მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი
| 1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულოვანი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო | |
| 2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "x". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ | |
| 3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ არაკვადრატული ფესვები ძალაში. | |
| 4. ცვლადის წარმოებული -1 ხარისხზე | |
| 5. კვადრატული ფესვის წარმოებული | |
| 6. სინუსური წარმოებული | |
| 7. კოსინუსის წარმოებული |  |
| 8. ტანგენტის წარმოებული |  |
| 9. კოტანგენტის წარმოებული |  |
| 10. არქსინის წარმოებული |  |
| 11. რკალის კოსინუსის წარმოებული |  |
| 12. რკალის ტანგენტის წარმოებული |  |
| 13. შებრუნებული ტანგენსის წარმოებული |  |
| 14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული | |
| 15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული |  |
| 16. მაჩვენებლის წარმოებული | |
| 17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული |
დიფერენციაციის წესები
| 1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული |  |
| 2. პროდუქტის წარმოებული |  |
| 2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე | |
| 3. კოეფიციენტის წარმოებული |  |
| 4. რთული ფუნქციის წარმოებული |  |
წესი 1თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ერთსა და იმავე მომენტში ფუნქციები
და
იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს.
შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივით, მაშინ მათი წარმოებულებია, ე.ი.
წესი 2თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ასევე დიფერენცირებადია იმავე მომენტში
და
იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.
შედეგი 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:
შედეგი 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.
მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:
წესი 3თუ ფუნქციები
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადია.u/v და
იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. .
სად ვნახო სხვა გვერდებზე
რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის აუცილებელია რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულების მეტი მაგალითი მოცემულია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და კოეფიციენტი".
კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამში მყოფი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რადგან საშუალო სტუდენტი ხსნის რამდენიმე ერთ-ორკომპონენტიან მაგალითს, ეს შეცდომა აღარ უშვებს.
და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, სადაც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ასეთი შემთხვევა გაანალიზებულია მაგალითში 10) .
კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა. Ისე რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატიას ეძღვნება. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.
გზაზე, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების ტრანსფორმაციის გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ Windows-ის ახალი სახელმძღვანელოების გახსნა მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .
თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს წარმოებულებზე ძალებითა და ფესვებით, ანუ როცა ფუნქცია ასე გამოიყურება 
, შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს " წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული".
თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა 
, მაშინ ხართ გაკვეთილზე „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.
ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული
მაგალითი 3იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს და მეორის წარმოებულს:
შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში, მეორე წევრი მინუს ნიშნით. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივას (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "x" იქცევა ერთში, ხოლო მინუს 5 - ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ წარმოებულების შემდეგ მნიშვნელობებს:
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:
მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულს შორის და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებული, და მნიშვნელი არის წინა მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი, აღებულია მინუს ნიშნით მიმდინარე მაგალითში:
თუ თქვენ ეძებთ გადაწყვეტილებებს ისეთი პრობლემებისთვის, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და გრადუსების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, 
მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამის წარმოებული" .
თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი გაქვთ "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .
მაგალითი 5იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულიც გავეცნობით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენციაციის წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის მიხედვით ვიღებთ:
მაგალითი 6იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მე-4 მაგალითში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის მიხედვით, მივიღებთ:
მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, გაამრავლეთ მრიცხველი და მნიშვნელი.
მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების შესახებ ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?
წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა
დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მოცემული გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის ცვლილება - მისი მნიშვნელობების განსხვავება x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:
ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.
წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:
რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? მაგრამ რომელი:
წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის დროის წარმოებული მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის ტოლია.
მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:
მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:
წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი
მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .
მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:
წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული
ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.
ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.
იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული
ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:
მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
გადაწყვეტილება: 
აქ მნიშვნელოვანია ვთქვათ რთული ფუნქციების წარმოებულების გაანგარიშების შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.
ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:
ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ განვიხილავთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.
წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული
ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:
ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლისას.
ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი კონტროლის გადაჭრაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასდროს გქონიათ საქმე წარმოებულების გამოთვლასთან.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ დიფერენცირების ფორმულები და წესები.
მაგალითები. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. წესის გამოყენება მე, ფორმულები 4, 2 და 1. ჩვენ ვიღებთ:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. ჩვენ ვხსნით ანალოგიურად, იგივე ფორმულების და ფორმულის გამოყენებით 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
წესის გამოყენება მე, ფორმულები 3, 5
და 6
და 1.
წესის გამოყენება IV, ფორმულები 5
და 1
.
მეხუთე მაგალითში წესის მიხედვით მეჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს და ჩვენ ახლახან ვიპოვეთ 1-ლი წევრის წარმოებული (მაგალითი 4 ), შესაბამისად, ჩვენ ვიპოვით წარმოებულებს მე-2და მე-3პირობები და 1-ლისთვისვადით, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავწეროთ შედეგი.
დიფერენცირებადი მე-2და მე-3ტერმინები ფორმულის მიხედვით 4
. ამისათვის ჩვენ გადავიყვანთ მესამე და მეოთხე ხარისხის ფესვებს მნიშვნელებში უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ხარისხებად და შემდეგ, შესაბამისად 4
ფორმულა, ჩვენ ვპოულობთ ძალაუფლების წარმოებულებს.
შეხედეთ ამ მაგალითს და შედეგს. დაიჭირე ნიმუში? კარგი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს ახალი ფორმულა და შეგვიძლია დავამატოთ ის ჩვენს წარმოებულთა ცხრილში.
ავხსნათ მეექვსე მაგალითი და გამოვიტანოთ კიდევ ერთი ფორმულა.
ჩვენ ვიყენებთ წესს IVდა ფორმულა 4
. ჩვენ ვამცირებთ მიღებულ ფრაქციებს.
ჩვენ ვუყურებთ ამ ფუნქციას და მის წარმოებულს. თქვენ, რა თქმა უნდა, გაიგეთ ნიმუში და მზად ხართ დაასახელოთ ფორმულა:
ისწავლეთ ახალი ფორმულები!
მაგალითები.
1. იპოვეთ არგუმენტის ზრდა და ფუნქცია increment y= x2თუ არგუმენტის საწყისი მნიშვნელობა იყო 4 და ახალი 4,01 .
გადაწყვეტილება.
ახალი არგუმენტის მნიშვნელობა x \u003d x 0 + Δx. ჩაანაცვლეთ მონაცემები: 4.01=4+Δx, შესაბამისად არგუმენტის ზრდა Δх=4.01-4=0.01. ფუნქციის ზრდა, განსაზღვრებით, უდრის სხვაობას ფუნქციის ახალ და წინა მნიშვნელობებს შორის, ე.ი. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). რადგან გვაქვს ფუნქცია y=x2, მაშინ Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
პასუხი: არგუმენტის ზრდა Δх=0.01; ფუნქციის გაზრდა Δy=0,0801.
ფუნქციის ნამატის პოვნა სხვა გზით იყო შესაძლებელი: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.
2. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე y=f(x)წერტილში x 0, თუ f" (x 0) \u003d 1.
გადაწყვეტილება.
წარმოებულის მნიშვნელობა შეხების ადგილზე x 0და არის ტანგენსის დახრილობის ტანგენსის მნიშვნელობა (წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა). Ჩვენ გვაქვს: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,როგორც tg45°=1.
პასუხი: ამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ქმნის კუთხეს Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით, ტოლი 45°.
3. გამოიღეთ ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა y=xn.
დიფერენციაციაარის ფუნქციის წარმოებულის პოვნის აქტი.
წარმოებულების პოვნისას გამოიყენება ფორმულები, რომლებიც მიღებული იქნა წარმოებულის განმარტების საფუძველზე, ისევე, როგორც ჩვენ მივიღეთ წარმოებული ხარისხის ფორმულა: (x n)" = nx n-1.
აქ არის ფორმულები.
წარმოებული ცხრილიუფრო ადვილი იქნება დამახსოვრება სიტყვიერი ფორმულირებების წარმოთქმით:
1. მუდმივი მნიშვნელობის წარმოებული არის ნული.
2. X ინსულტი უდრის ერთს.
3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან.
4. ხარისხის წარმოებული უდრის ამ ხარისხის მაჩვენებლის ნამრავლს იმავე ფუძის მქონე გრადუსით, მაგრამ მაჩვენებელი ერთით ნაკლებია.
5. ფესვის წარმოებული ტოლია ერთი გაყოფილი ორ იმავე ფესვზე.
6. ერთობის წარმოებული გაყოფილი x-ზე არის მინუს ერთი გაყოფილი x კვადრატზე.
7. სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის.
8. კოსინუსის წარმოებული უდრის მინუს სინუსს.
9. ტანგენტის წარმოებული ტოლია ერთის გაყოფილი კოსინუსის კვადრატზე.
10. კოტანგენტის წარმოებული არის მინუს ერთი გაყოფილი სინუსის კვადრატზე.
ჩვენ ვასწავლით დიფერენციაციის წესები.
1.
ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებული ტერმინების ალგებრული ჯამის.
2. პროდუქტის წარმოებული ტოლია პირველი ფაქტორის წარმოებულის ნამრავლს მეორეზე პლუს პირველი ფაქტორის ნამრავლი მეორის წარმოებულით.
3. "y"-ის წარმოებული გაყოფილი "ve"-ზე ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველში "y არის შტრიხი გამრავლებული "ve"-ზე გამოკლებული "y, გამრავლებული შტრიხზე", ხოლო მნიშვნელში - "ve კვადრატში". “.
4. ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა 3.
ვისწავლოთ ერთად!
გვერდი 1 1-დან 1
თუ ჩვენ მივყვებით განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ნაზრდის შეფარდების ზღვარი. წΔ არგუმენტის ნამატამდე x:
როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოთვალოთ ამ ფორმულით, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ე xცოდვა x. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.
დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება განვასხვავოთ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებისგან. ეს შედარებით მარტივი გამონათქვამებია, რომელთა წარმოებულები დიდი ხანია გამოითვლება და შევიდა ცხრილში. ასეთი ფუნქციების დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია, მათ წარმოებულებთან ერთად.
ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები
ელემენტარული ფუნქციები არის ყველაფერი ჩამოთვლილი ქვემოთ. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება არ არის რთული - ამიტომაც ისინი ელემენტარულია.
ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:
| სახელი | ფუნქცია | წარმოებული |
| მუდმივი | ვ(x) = C, C ∈ რ | 0 (დიახ, დიახ, ნული!) |
| ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით | ვ(x) = x ნ | ნ · x ნ − 1 |
| სინუსი | ვ(x) = ცოდვა x | cos x |
| კოსინუსი | ვ(x) = cos x | - ცოდვა x(მინუს სინუსი) |
| ტანგენტი | ვ(x) = ტგ x | 1/co 2 x |
| კოტანგენსი | ვ(x) = ctg x | − 1/ცოდვა2 x |
| ბუნებრივი ლოგარითმი | ვ(x) = ჟურნალი x | 1/x |
| თვითნებური ლოგარითმი | ვ(x) = ჟურნალი ა x | 1/(xლნ ა) |
| ექსპონენციალური ფუნქცია | ვ(x) = ე x | ე x(არაფერი შეცვლილა) |
თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:
(C · ვ)’ = C · ვ ’.
ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს და ბევრი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის ძალიან ელემენტარული, მაგრამ ასევე დიფერენცირებადი გარკვეული წესების მიხედვით. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.
ჯამისა და სხვაობის წარმოებული
დაუშვით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:
- (ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
- (ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’
ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.
მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. აქედან გამომდინარე, განსხვავება ვ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით ვ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.
ვ(x) = x 2 + სინქსი; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, ასე რომ:
ვ ’(x) = (x 2+ ცოდვა x)’ = (x 2)' + (ცოდვა x)’ = 2x+ cosx;
ჩვენ ანალოგიურად ვკამათობთ ფუნქციისთვის გ(x). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):
გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
პასუხი:
ვ ’(x) = 2x+ cosx;
გ ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
პროდუქტის წარმოებული
მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა"\u003e ტოლია წარმოებულების ნამრავლს. მაგრამ ლეღვი შენთვის! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:
(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’
ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებული. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.
დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cosx; გ(x) = (x 2 + 7x− 7) · ე x .
ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:
ვ ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (კოს x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-ცოდვა x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x)
ფუნქცია გ(x) პირველი მულტიპლიკატორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა აქედან არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი მულტიპლიკატორი გ(x) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:
გ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ე x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ე x + (x 2 + 7x− 7) ( ე x)’ = (2x+ 7) · ე x + (x 2 + 7x− 7) · ე x = ე x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x+ 9) · ე x .
პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x);
გ ’(x) = x(x+ 9) · ე
x
.
გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზირება. ფორმალურად, ეს არ არის აუცილებელი, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ არის გამოთვლილი დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესასწავლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული გაუტოლდება ნულს, გაირკვევა მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამოთქმა იყოს ფაქტორებად დაშლილი.
თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო სიმრავლეზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x). ასეთი ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:
სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? მაგრამ ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარკვევა ბოთლის გარეშე. ამიტომ ჯობია მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითებით.
დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:
თითოეული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის ელემენტარული ფუნქციები, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:
ტრადიციულად, ჩვენ მრიცხველს ვაქცევთ ფაქტორებად - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:
რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) = ცოდვა xდა შეცვალეთ ცვლადი x, ვთქვათ, on x 2 + ლნ x. თურმე ვ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x) რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა არ გამოდგება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით.
Როგორ უნდა იყოს? ასეთ შემთხვევებში, ცვლადის ჩანაცვლება და რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა ეხმარება:
ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ“, თუ xჩანაცვლებულია ტ(x).
როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თითოეული ნაბიჯის დეტალური აღწერით.
დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x)
გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში ვ(x) გამოთქმის ნაცვლად 2 x+3 ადვილი იქნება x, მაშინ ვიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x. ამიტომ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულით:
ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’
ახლა კი - ყურადღება! საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულება: ტ = 2x+ 3. ჩვენ ვიღებთ:
ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ე 2x+ 3 2 = 2 ე 2x + 3
ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(x). აშკარად გამოსაცვლელია. x 2 + ლნ x = ტ. Ჩვენ გვაქვს:
გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ' = cos ტ · ტ ’
საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ლნ x. შემდეგ:
გ ’(x) = cos ( x 2 + ლნ x) · ( x 2 + ლნ x)' = cos ( x 2 + ლნ x) · (2 x + 1/x).
Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილ იქნა ჯამის წარმოებულის გამოთვლაზე.
პასუხი:
ვ ’(x) = 2 ე
2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ლნ x).
ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე ტერმინის „წარმოებული“ ნაცვლად ვიყენებ სიტყვას „ინსულტი“. მაგალითად, ჯამის დარტყმა უდრის დარტყმების ჯამს. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.
ამრიგად, წარმოებულის გაანგარიშება ხდება სწორედ ამ დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც საბოლოო მაგალითი, დავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:
(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1
ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0.5 . მაგრამ რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც სახიფათო? ისევ რთული ფუნქცია გამოვა - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებსა და გამოცდებში.
დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
პირველი, მოდით გადავიწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:
ვ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით x 2 + 8x − 7 = ტ. წარმოებულს ვპოულობთ ფორმულით:
ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5)' ტ' = 0,5 ტ−0,5 ტ ’.
ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = x 2 + 8x− 7. გვაქვს:
ვ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
და ბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:
