განზოგადება გაკვეთილი თემაზე „ფუნქციები და მათი თვისებები“.
გაკვეთილის მიზნები:
მეთოდური:მოსწავლეთა აქტიურ-შემეცნებითი აქტივობის გაზრდა ინდივიდუალურად დამოუკიდებელი მუშაობით და განმავითარებელი ტიპის ტესტური ამოცანების გამოყენებით.
სახელმძღვანელო:გაიმეორეთ ელემენტარული ფუნქციები, მათი ძირითადი თვისებები და გრაფიკები. ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების ცნების გაცნობა. მოსწავლეთა ცოდნის სისტემატიზაცია თემაზე; წვლილი შეიტანოს უნარებისა და შესაძლებლობების კონსოლიდაციაში ლოგარითმების გამოთვლაში, მათი თვისებების გამოყენებაში არასტანდარტული ტიპის ამოცანების გადაჭრაში; გაიმეორეთ ფუნქციების გრაფიკების აგება ტრანსფორმაციების გამოყენებით და ტესტირების უნარები და შესაძლებლობები სავარჯიშოების დამოუკიდებლად ამოხსნისას.
საგანმანათლებლო:სიზუსტის, სიმშვიდის, პასუხისმგებლობის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მიღების უნარის განათლება.
განვითარება:განუვითარდებათ ინტელექტუალური შესაძლებლობები, გონებრივი ოპერაციები, მეტყველება, მეხსიერება. მათემატიკისადმი სიყვარული და ინტერესის განვითარება; გაკვეთილის განმავლობაში უზრუნველყოს მოსწავლეთა აზროვნების დამოუკიდებლობის განვითარება სასწავლო აქტივობებში.
გაკვეთილის ტიპი:განზოგადება და სისტემატიზაცია.
აღჭურვილობა:დაფა, კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი, სასწავლო ლიტერატურა.
გაკვეთილის ეპიგრაფი:"მათემატიკა მოგვიანებით უნდა ისწავლებოდეს, რათა გონება მოწესრიგდეს."
(მ.ვ. ლომონოსოვი).
გაკვეთილების დროს
საშინაო დავალების შემოწმება.
ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების გამეორება a = 2 ფუძით, მათი გრაფიკების გამოსახვა იმავე კოორდინატულ სიბრტყეში, მათი ფარდობითი პოზიციის ანალიზი. განვიხილოთ ურთიერთდამოკიდებულება ამ ფუნქციების ძირითად თვისებებს შორის (OOF და FZF). მიეცით ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების კონცეფცია.
განვიხილოთ ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები a = ½ s ფუძით
რათა უზრუნველყოფილი იყოს ჩამოთვლილი თვისებების ურთიერთდამოკიდებულების დაცვა და იმისთვის
ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების შემცირება.
გონებრივი განვითარებისათვის ტესტის ტიპის დამოუკიდებელი მუშაობის ორგანიზება
სისტემატიზაციის ოპერაციები თემაზე „ფუნქციები და მათი თვისებები“.
ფუნქციის თვისებები:
ერთი). y \u003d │x│;
2). იზრდება განმარტების მთელ დომენზე;
3). OOF: (- ∞; + ∞) ;
4). y \u003d sin x;
5). მცირდება 0-ით< а < 1 ;
6). y \u003d x ³;
7). ORF: (0; + ∞) ;
რვა). ზოგადი ფუნქცია;
ცხრა). y = √ x;
ათი). OOF: (0; + ∞) ;
თერთმეტი). მცირდება განმარტების მთელ დომენზე;
12). y = kx + v;
ცამეტი). OZF: (- ∞; + ∞) ;
თოთხმეტი). იზრდება, როდესაც k > 0;
თხუთმეტი). OOF: (- ∞; 0) ; (0; +∞) ;
თექვსმეტი). y \u003d cos x;
17). არ აქვს ექსტრემალური წერტილები;
თვრამეტი). ORF: (- ∞; 0) ; (0; +∞) ;
ცხრამეტი). მცირდება ზე< 0 ;
20). y \u003d x ²;
21). OOF: x ≠ πn;
22). y \u003d k / x;
23). თუნდაც;
25). მცირდება, როდესაც k > 0;
26). OOF: [0; +∞);
27). y \u003d tg x;
28). იზრდება ზე< 0;
29). ORF: [0; +∞);
ოცდაათი). კენტი;
31). y = logx;
32). OOF: x ≠ πn/2;
33). y \u003d ctg x;
34). იზრდება, როდესაც > 1.
ამ სამუშაოს დროს ჩაატარეთ მოსწავლეთა გამოკითხვა ინდივიდუალურ დავალებებზე:
No1. ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა 
ბ) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა 
No2. ა) გამოთვალეთ:
ბ) გამოთვალეთ:
No3. ა) გამოთქმის გამარტივება 
და იპოვნეთ მისი ღირებულება
ბ) გამოთქმის გამარტივება 
და იპოვნეთ მისი ღირებულება 
.
საშინაო დავალება: No1. გამოთვალეთ: ა) 
;
in) 
;
გ) 
.
No2. იპოვეთ ფუნქციის დომენი: ა) 
;
in) 
; გ) 
.
n1.doc
OGO SPO რიაზანის პედაგოგიური კოლეჯი
ესეიგი
თემა: „რიცხვითი ფუნქციები და მათი თვისებები. პირდაპირი და უკუპროპორციული დამოკიდებულებები »
ტიტოვა ელენა ვლადიმეროვნა
სპეციალობა: 050709 „სწავლება დაწყებით კლასებში დამატებითი ტრენინგებით სკოლამდელი განათლების სფეროში“
კურსი: 1 ჯგუფი: 2
განყოფილება: სკოლა
ხელმძღვანელი: პრისტუპლიუკი ოლგა ნიკოლაევნა
რიაზანი
შესავალი …………………………………………………………………………… 3
თეორიული ნაწილი
რიცხვითი ფუნქციები
1.2 ფუნქციების დაყენების გზები……………………………………………………….6
1.3 ფუნქციის თვისებები ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
2. პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციები
2.1 პირდაპირი პროპორციულობის ცნება………………..9
2.2 პირდაპირპროპორციული ურთიერთობის თვისებები……………………………………………………….10
2.3 უკუპროპორციულობის ცნება და მისი თვისებები………………………………………………………………………
პრაქტიკული ნაწილი
3.1 ფუნქციური პროპედევტიკა მათემატიკის საწყის კურსში ... .11
3.2 ამოცანების ამოხსნა პროპორციულად დამოკიდებული სიდიდეებისთვის……18
დასკვნა…………………………………………………………………………………………………………….
გამოყენებული ლიტერატურის სია……………………………………..22
შესავალი
მათემატიკაში ფუნქციის იდეა გაჩნდა სიდიდის კონცეფციასთან ერთად. იგი მჭიდროდ იყო დაკავშირებული გეომეტრიულ და მექანიკურ გამოსახულებებთან. ტერმინი ფუნქცია (ლათინურიდან - შესრულება) პირველად შემოიტანა ლაიბნიცმა 1694 წელს. ფუნქციის მიხედვით, მან ესმოდა აბსცისები, ორდინატები და სხვა სეგმენტები, რომლებიც დაკავშირებულია გარკვეულ ხაზთან აღწერილ წერტილთან.
XVIII საუკუნის პირველ ნახევარში. მოხდა ფუნქციის ცნების ვიზუალური წარმოდგენიდან გადასვლა ანალიტიკურ განსაზღვრებაზე. შვეიცარიელი მათემატიკოსი იოჰან ბერნოული და შემდეგ აკადემიკოსი ლეონჰარდ ეილერი თვლიდნენ, რომ ფუნქცია
Ეს არის ანალიტიკური გამოხატულება,შედგება ცვლადისა და მუდმივისაგან.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქცია გამოიხატება სხვადასხვა ტიპის ფორმულებით: y=ax+b, y==axІ+bx+c და ა.შ.
დღეს ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქციის გამოხატვა შესაძლებელია არა მხოლოდ მათემატიკური ენით, არამედ გრაფიკულადაც. ამ მეთოდის პიონერი იყო დეკარტი. ამ აღმოჩენამ უდიდესი როლი ითამაშა მათემატიკის შემდგომ განვითარებაში: მოხდა გადასვლა წერტილებიდან რიცხვებზე, წრფეებიდან განტოლებაზე, გეომეტრიიდან ალგებრაზე. ამრიგად, შესაძლებელი გახდა პრობლემების გადაჭრის საერთო მეთოდების პოვნა.
მეორე მხრივ, კოორდინატთა მეთოდის წყალობით, შესაძლებელი გახდა გეომეტრიულად განსხვავებული დამოკიდებულების გამოსახვა.
ამრიგად, გრაფიკები იძლევა ვიზუალურ წარმოდგენას რაოდენობებს შორის ურთიერთობის ბუნების შესახებ; ისინი ხშირად გამოიყენება მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში.
თანამედროვე სასკოლო განათლების განვითარების ძირითადი ტენდენციები აისახება ჰუმანიზაციის, ჰუმანიტარიზაციის, აქტივობაზე დაფუძნებული და მოსწავლეზე ორიენტირებული მიდგომის საგანმანათლებლო პროცესის ორგანიზების იდეებში.
ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლაში მათემატიკის სწავლების საფუძველი წინა პლანზე დგება განათლების განვითარების ფუნქციის პრიორიტეტის პრინციპი.
მაშასადამე, დაწყებით სკოლაში რიცხვითი ფუნქციის ცნების შესწავლა საკმაოდ მნიშვნელოვანი კომპონენტია სკოლის მოსწავლეების მათემატიკური წარმოდგენების ფორმირებაში. დაწყებითი სკოლის მასწავლებლისთვის აუცილებელია ყურადღება გაამახვილოს ამ კონცეფციის შესწავლაზე, რადგან არსებობს პირდაპირი კავშირი ფუნქციასა და ადამიანის საქმიანობის ბევრ სფეროს შორის, რაც მომავალში დაეხმარება ბავშვებს მეცნიერების სამყაროში შესვლაში.
გარდა ამისა , სტუდენტები, როგორც წესი, ფორმალურად სწავლობენ ფუნქციის ცნების განმარტებას, არ აქვთ ფუნქციური დამოკიდებულების ჰოლისტიკური ხედვა, ე.ი. არ შეუძლიათ თავიანთი ცოდნის გამოყენება მათემატიკური და პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნაში; დააკავშირეთ ფუნქცია ექსკლუზიურად ანალიტიკურ გამოხატულებასთან, რომელშიც ცვლადი ზეგამოხატული ცვლადის სახით X; არ შეუძლია ფუნქციის წარმოდგენების ინტერპრეტაცია სხვადასხვა მოდელზე; უჭირთ ფუნქციის გრაფიკების გამოსახვა მისი თვისებების მიხედვით და ა.შ.
ამ სირთულეების მიზეზები დაკავშირებულია არა მხოლოდ და არა იმდენად ალგებრის კურსში ფუნქციური მასალის შესწავლის მეთოდთან, არამედ სტუდენტების აზროვნების მოუმზადებლობასთან „ფუნქციის“ ცნების აღქმისა და ათვისებისთვის.
ეს ნიშნავს, რომ "ფუნქციის" კონცეფციის დანერგვამდე აუცილებელია მუშაობა ფუნქციური აზროვნების უნარების ჩამოყალიბებაზე, რათა "იმ მომენტში, როდესაც ფუნქციური დამოკიდებულების ზოგადი იდეა უნდა შევიდეს სტუდენტების ცნობიერებაში, ეს ცნობიერება საკმარისად იყო მომზადებული ობიექტური და ეფექტური, და არა მხოლოდ ახალი კონცეფციისა და მასთან დაკავშირებული იდეებისა და უნარების ფორმალური აღქმისთვის“ (ა.ია. ხინჩინი).
1. რიცხვითი ფუნქციები
1.1 ფუნქციური დამოკიდებულების ცნების განვითარება მათემატიკაში
გავაანალიზოთ მათემატიკის უმნიშვნელოვანესი კომპონენტის - ფუნქციური დამოკიდებულების სწავლების სფეროში პედაგოგიური იდეების განვითარების კურსი.
მათემატიკაში სასკოლო კურსის ფუნქციური ხაზი ერთ-ერთი წამყვანი კურსია ალგებრაში, ალგებრაში და ანალიზის დასაწყისში. ამ ხაზის საგანმანათლებლო მასალის მთავარი მახასიათებელია ის, რომ მისი გამოყენება შესაძლებელია მათემატიკის სწავლებისას მრავალფეროვანი კავშირის დასამყარებლად.
რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში, ფუნქციის კონცეფცია შეიცვალა და გაუმჯობესდა. მათემატიკის სასკოლო კურსში ფუნქციური დამოკიდებულების შესწავლის აუცილებლობა პედაგოგიური პრესის ყურადღების ცენტრშია XIX საუკუნის მეორე ნახევრიდან. ამ საკითხს თავიანთ ნაშრომებში დიდი ყურადღება დაეთმო ისეთი ცნობილი მეთოდოლოგები, როგორებიც არიან M.V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky.
ფუნქციური დამოკიდებულების იდეის განვითარება რამდენიმე ეტაპად მიმდინარეობდა:
პირველი ეტაპი- სასკოლო მათემატიკის კურსში ფუნქციის ცნების (ძირითადად ანალიტიკური გამოხატვის საშუალებით) დანერგვის ეტაპი.
მეორე ფაზაფუნქციის ცნების დანერგვა საშუალო სკოლის ალგებრის კურსში ძირითადად ფუნქციონალური დამოკიდებულების გრაფიკულ წარმოდგენაზე გადასვლით და შესწავლილი ფუნქციების დიაპაზონის გაფართოებით ხასიათდება.
მესამე ეტაპირუსული სკოლის განვითარება 20-იან წლებში დაიწყო. მეოცე საუკუნე. საბჭოთა პერიოდის მეთოდოლოგიური ლიტერატურის ანალიზმა აჩვენა, რომ ფუნქციის ცნების დანერგვას სასკოლო მათემატიკის კურსში თან ახლდა ცხარე დისკუსიები და საშუალებას გვაძლევს გამოგვედგინა ოთხი ძირითადი პრობლემა, რომელთა ირგვლივაც იყო განსხვავებული მეთოდოლოგების მოსაზრებები. კერძოდ:
1) სტუდენტების მიერ ფუნქციის ცნების შესწავლის მიზანი და მნიშვნელობა;
2) ფუნქციის განსაზღვრის მიდგომები;
3) ფუნქციური პროპედევტიკის საკითხი;
4) ფუნქციური მასალის ადგილი და მოცულობა სასკოლო მათემატიკის კურსში.
მეოთხე ეტაპირსფსრ ეკონომიკის გეგმურ ბაზაზე გადატანის გამო
1934 წელს სკოლამ მიიღო პირველი სტაბილური სახელმძღვანელო A.P. კისელევის მიერ "ალგებრა", რომელიც შესწორებულია A.P. Barsukov-ის რედაქტორობით ორ ნაწილად.
განყოფილებები „ფუნქციები და მათი გრაფიკები“, „კვადრატული ფუნქცია“ ჩართული იყო მის მეორე ნაწილში. გარდა ამისა, განყოფილებაში „ხარისხის ცნების განზოგადება“ განხილული იყო ექსპონენციალური ფუნქცია და მისი გრაფიკი, ხოლო განყოფილებაში „ლოგარითმები“ - ლოგარითმული ფუნქცია და მისი გრაფიკი.
სწორედ მასში განისაზღვრა ფუნქცია ცვლადის ცნების მეშვეობით: „იმ ცვლადს, რომლის რიცხვითი მნიშვნელობები იცვლება სხვისი რიცხვითი მნიშვნელობების მიხედვით, ეწოდება დამოკიდებული ცვლადი, ან სხვა ცვლადის ფუნქცია. ." თუმცა, ის არ ასახავს კორესპონდენციის იდეას და არ არის ნახსენები ანალიტიკური გამოხატვის შესახებ, რაც საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ ამ განმარტებას აქვს მნიშვნელოვანი ნაკლი.
ი.ია.ხინჩინი დიდ ყურადღებას აქცევდა ამ პრობლემას თავის ნამუშევრებში.
მეცნიერმა ფუნქციის იდეის ჩამოყალიბება სწავლებაში ფორმალიზმის გამოვლინებად მიიჩნია. იგი თვლიდა, რომ საშუალო სკოლაში ფუნქციის ცნება უნდა შესწავლილიყო კორესპონდენციის ცნების საფუძველზე.
ამ პერიოდს ახასიათებს ფუნქციების შესასწავლად დროის ნაკლებობა, სავარჯიშო სისტემების არასწორად გააზრება, სტუდენტების მიერ ფუნქციის ცნების ჭეშმარიტი არსის არასწორად გაგება, სკოლის კურსდამთავრებულთა ფუნქციონალური და გრაფიკული უნარების დაბალი დონე.
ამრიგად, კვლავ გაჩნდა ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლებში მათემატიკის სწავლების რეფორმის საჭიროება. ყველა სასკოლო მათემატიკის რესტრუქტურიზაციამ სიმრავლე-თეორიული მიდგომის საფუძველზე აღნიშნა ფუნქციონალური დამოკიდებულების იდეის განვითარების მეხუთე ეტაპი. სიმრავლე-თეორიული მიდგომის იდეა წამოიწყო ფრანგ მეცნიერთა ჯგუფმა, რომლებიც შეიკრიბნენ ნიკოლას ბურბაკის ფსევდონიმით. ქალაქ როიმონდში (საფრანგეთი, 1959) გაიმართა საერთაშორისო კონფერენცია, რომელზეც გამოცხადდა ყველა ჩვეულებრივი კურსის დამხობა. აქცენტი გაკეთდა ყველა სასკოლო მათემატიკის სტრუქტურებსა და გაერთიანებაზე სიმრავლეების თეორიაზე დაფუძნებული.
რეფორმის იდეების განვითარებაში მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა ვ. მითითებული რიცხვითი ჩანაცვლება იმავე მოცემულ სიტყვასიტყვით გამოხატულებაში.
პროგრამებისა და სახელმძღვანელოების სტაბილიზაციამ საფუძველი შეუქმნა მოსწავლეთა ფუნქციონალური ცოდნის ხარისხში დადებითი ცვლილებების გაჩენას. სამოციანი წლების ბოლოს და სამოცდაათიანი წლების დასაწყისში, ნეგატიურ მიმოხილვებთან ერთად, დაიწყო პრესის გამოჩენა, რომელშიც გარკვეული გაუმჯობესება იყო სკოლის კურსდამთავრებულების ცოდნა ფუნქციებისა და გრაფიკების შესახებ. თუმცა, მთლიანობაში სტუდენტების მათემატიკური განვითარების ზოგადი დონე არასაკმარისი რჩებოდა. მათემატიკის სასკოლო სასწავლო გეგმა აგრძელებდა ზედმეტად დიდ დროს ეთმობა ფორმალურ ტრენინგს და არ აქცევდა საკმარის ყურადღებას მოსწავლეთა დამოუკიდებლად სწავლის უნარის განვითარებას.
1.2 ფუნქციების დაყენების გზები
Ისე, რიცხვითი ფუნქციაარის კორესპონდენცია რეალური რიცხვების R რიცხვით სიმრავლეს შორის, რომელშიც X სიმრავლიდან თითოეული რიცხვი შეესაბამება ერთ რიცხვს R სიმრავლიდან.
შესაბამისად, X წარმოადგენს ფუნქციის დომენს (OOF).
თავად ფუნქცია აღინიშნება მცირე ლათინური ასოებით (f, d, e, k).
თუ ფუნქცია f განსაზღვრულია X სიმრავლეზე, მაშინ X სიმრავლის x რიცხვის შესაბამისი რეალური რიცხვი y აღინიშნება როგორც f(x) (y=f(x)).
x ცვლადი ეწოდება არგუმენტი. f(x) ფორმის რიცხვთა სიმრავლე ყველა x-ისთვის ეწოდება ფუნქციის დიაპაზონივ.
ყველაზე ხშირად, ფუნქციები მითითებულია სხვადასხვა ტიპის ფორმულებით: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, სადაც x არის რეალური რიცხვი, y არის შესაბამისი ერთი რიცხვი.
თუმცა, ერთი ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიუთითოთ რამოდენიმეფუნქციები, რომელთა განსხვავება განისაზღვრება მხოლოდ განმარტების დომენით:
Y= 2x-3, სადაც x ეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს და y=2x-3,
X - ნატურალური რიცხვების სიმრავლის კუთვნილება.
ხშირად, ფორმულის გამოყენებით ფუნქციის მითითებისას, OOF არ არის მითითებული (OOF არის f (x) გამოხატვის დომენი).
ასევე საკმაოდ მოსახერხებელია რიცხვითი ფუნქციების ვიზუალურად წარმოდგენა, ე.ი. კოორდინატთა სიბრტყის გამოყენებით. 
1.3 ფუნქციის თვისებები.
სხვა მრავალის მსგავსად, ციფრულ ფუნქციებს აქვთ თვისებები:
ზრდა, კლება, ერთფეროვნება, ფუნქციის განსაზღვრისა და ფარგლების სფერო, შეზღუდულობა და შეუსაბამობა, თანაბარობა და უცნაურობა, პერიოდულობა.
ფუნქციის ფარგლები და ფარგლები.
ელემენტარულ მათემატიკაში ფუნქციების შესწავლა ხდება მხოლოდ რეალური რიცხვების R სიმრავლეზე. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის არგუმენტს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ის რეალური მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც არის განსაზღვრული ფუნქცია, ე.ი. ის ასევე იღებს მხოლოდ რეალურ ღირებულებებს. X არგუმენტის ყველა დასაშვები რეალური მნიშვნელობის X სიმრავლეს, რომლისთვისაც არის განსაზღვრული ფუნქცია y = f(x), ეწოდება ფუნქციის დომენი. ყველა რეალური y მნიშვნელობის Y სიმრავლეს, რომელსაც ფუნქცია იღებს, ეწოდება ფუნქციის დიაპაზონი. ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ ფუნქციის უფრო ზუსტი განმარტება: X და Y სიმრავლეებს შორის შესაბამისობის წესი (კანონი), რომლის მიხედვითაც X სიმრავლიდან თითოეული ელემენტისთვის შეიძლება მოიძებნოს ერთი და მხოლოდ ერთი ელემენტი Y სიმრავლიდან, ეწოდება ფუნქცია. 
ფუნქცია მინიჭებულად ითვლება, თუ: მოცემულია X ფუნქციის ფარგლები; მოცემულია Y ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი; კორესპონდენციის წესი (კანონი) ცნობილია და ისეთი, რომ არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობისთვის ფუნქციის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის პოვნაა შესაძლებელი. ფუნქციის უნიკალურობის ეს მოთხოვნა სავალდებულოა.
შეზღუდული და შეუზღუდავი ფუნქციები.ფუნქციას უწოდებენ შეზღუდულს, თუ არსებობს დადებითი რიცხვი M ისეთი, რომ | f(x) | M ყველა x მნიშვნელობებისთვის. თუ ასეთი რიცხვი არ არის, მაშინ ფუნქცია შეუზღუდავია.
ლუწი და კენტი ფუნქციები. თუ რომელიმე x-ისთვის ფუნქციის დომენიდან მოქმედებს შემდეგი: f (- x) = f (x), მაშინ ფუნქციას ეწოდება ლუწი; თუ ადგილი აქვს: f (- x) = - f (x), მაშინ ფუნქციას კენტი ეწოდება. ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია Y ღერძის მიმართ (სურ. 5), ხოლო კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (ნახ. 6). 
პერიოდული ფუნქცია. ფუნქცია f (x) პერიოდულია, თუ არსებობს არა ნულოვანი რიცხვი T ისეთი, რომ ნებისმიერი x ფუნქციის დომენიდან, f (x + T) = f (x). ამ უმცირეს რიცხვს ეწოდება ფუნქციის პერიოდი. ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია.
მაგრამ დაწყებით კლასებში ფუნქციის შესასწავლად ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებაა ერთფეროვანი.
მონოტონური ფუნქცია. თუ x1 და x2 არგუმენტის რომელიმე ორი მნიშვნელობისთვის პირობა x2 > x1 გულისხმობს f (x2) > f (x1), მაშინ ფუნქცია | f(x) | მზარდი ეწოდება; თუ ნებისმიერი x1 და x2 პირობა x2 > x1 გულისხმობს f (x2)
2. პირდაპირი და უკუპროპორციული დამოკიდებულებები.
2.1 პირდაპირი პროპორციულობის ცნება.
დაწყებით სკოლაში ფუნქცია ვლინდება პირდაპირი და უკუპროპორციული დამოკიდებულების სახით.
პირდაპირი პროპორციულობაარის, პირველ რიგში, ფუნქცია,რომელიც შეიძლება მივიღოთ y=kx ფორმულის გამოყენებით, სადაც k არის არანულოვანი რეალური რიცხვი. y = kx ფუნქციის სახელი ასოცირდება ამ ფორმულაში შემავალ x და y ცვლადებთან. Თუ დამოკიდებულებაორი სიდიდე ნულის გარდა სხვა რიცხვის ტოლია, შემდეგ მათ უწოდებენ პირდაპირპროპორციულია.
K არის პროპორციულობის კოეფიციენტი.
ზოგადად, ფუნქცია y=kx არის მათემატიკის საწყის კურსში განხილული მრავალი რეალური სიტუაციის მათემატიკური მოდელი.
მაგალითად, ვთქვათ, რომ ერთ შეფუთვაში არის 2 კგ ფქვილი და იყიდა x ასეთი შეფუთვა, მაშინ შეძენილი ფქვილის მთელი მასა არის y. ეს შეიძლება დაიწეროს ფორმულის სახით: y=2x სადაც 2=k.
2.2 პირდაპირპროპორციული ურთიერთობის თვისებები.
პირდაპირპროპორციულობას აქვს მთელი რიგი თვისებები:
y=kx ფუნქციის დომენი არის R რეალური რიცხვების სიმრავლე;
პირდაპირი პროპორციულობის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის საწყისზე;
k>0-სთვის ფუნქცია y=kx იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე (k
თუ f ფუნქცია პირდაპირი პროპორციულია, მაშინ (x1,y1),(x2,y2) არის x და y შესაბამისი ცვლადების წყვილი, სადაც x არ არის ნულის ტოლი, მაშინ x1/x2=y1/y2.
xრამდენჯერმე y-ის შესაბამისი დადებითი მნიშვნელობა იზრდება (მცირდება) იმავე რაოდენობით.
2.3 უკუპროპორციულობის ცნება.
უკუპროპორციულობა- ეს ფუნქცია,რომელიც შეიძლება მივიღოთ ფორმულის გამოყენებით y=k/x, სადაც k არის არანულოვანი რეალური რიცხვი. y = k/x ფუნქციის სახელი ასოცირდება x და y ცვლადებთან, რომელთა ნამრავლი უდრის რაიმე რეალურ რიცხვს, რომელიც არ არის ნულის ტოლი.
შებრუნებული პროპორციული თვისებები:
განსაზღვრების სფერო და y=k/x ფუნქციის ფარგლები არის R რეალური რიცხვების სიმრავლე;
პირდაპირი პროპორციულობის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა;
k 0-ისთვის, შესაბამისად, მცირდება განმარტების მთელ დომენზე, განშტოება - ქვემოთ)
თუ ფუნქცია f უკუპროპორციულია, მაშინ (x1,y1),(x2,y2) არის x და y შესაბამისი ცვლადების წყვილი, სადაც x არ არის ნულის ტოლი, მაშინ x1/x2=y2/y1.
თუ ცვლადების მნიშვნელობებიxდაწდადებითი რეალური რიცხვებია, მაშინ
მზარდი (კლებადი) ცვლადითxრამდენჯერმე y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა მცირდება (იზრდება) იმავე რაოდენობით.
პრაქტიკული ნაწილი
3.1 ფუნქციური პროპედევტიკა მათემატიკის საწყის კურსში
ფუნქციური დამოკიდებულების კონცეფცია ერთ-ერთი წამყვანია მათემატიკური მეცნიერებაში, ამიტომ მოსწავლეებში ამ კონცეფციის ჩამოყალიბება მნიშვნელოვანი ამოცანაა მასწავლებლის მიზანმიმართულ საქმიანობაში ბავშვების მათემატიკური აზროვნებისა და შემოქმედებითი საქმიანობის განვითარებისთვის. ფუნქციური აზროვნების განვითარება, უპირველეს ყოვლისა, ახალი კავშირების აღმოჩენის, ზოგადი სასწავლო ტექნიკისა და უნარების დაუფლების უნარის განვითარებას გულისხმობს.
მათემატიკის საწყის კურსში მნიშვნელოვანი როლი უნდა მიენიჭოს ფუნქციურ პროპედევტიკას, რომელიც ითვალისწინებს სტუდენტების მომზადებას ალგებრისა და გეომეტრიის სისტემატური კურსების შესასწავლად, ასევე ასწავლის მათ აზროვნების დიალექტიკურ ხასიათს, მიზეზობრივი ურთიერთობების გაგებას. გარემომცველი რეალობის ფენომენებს შორის. ამ კუთხით განვსაზღვრავთ პროპედევტიკური მუშაობის ძირითად მიმართულებებს საგნის სწავლების საწყის ეტაპზე ლ.გ. პეტერსონი:
კომპლექტების ცნება, ორი სიმრავლისა და ფუნქციის ელემენტების შესაბამისობა. არითმეტიკული მოქმედებების შედეგების დამოკიდებულება კომპონენტების ცვლილებაზე.
ფუნქციის დაყენების ტაბულური, ვერბალური, ანალიტიკური, გრაფიკული გზები.
ხაზოვანი დამოკიდებულება.
საკოორდინატო სისტემა, პირველი და მეორე კოორდინატი, მოწესრიგებული წყვილი.
უმარტივესი კომბინაციური ამოცანების ამოხსნა: შესაძლო პერმუტაციების რაოდენობის შედგენა და დათვლა, სასრულ სიმრავლის ელემენტების ქვესიმრავლეები..
ერთი და ორი ცვლადის ბუნებრივი მნიშვნელობების სისტემატური ჩამოთვლის გამოყენება ნაკვეთის ამოცანების გადაჭრისას.
ცხრილების შევსება არითმეტიკული გამოთვლებით, მონაცემები გამოყენებული ამოცანების პირობებიდან. ცხრილიდან მონაცემების შერჩევა პირობების მიხედვით.
დამოკიდებულება პროპორციულ მნიშვნელობებს შორის; მათი გრაფიკების გამოყენებითი შესწავლა.
მათემატიკის საწყისი კურსის შინაარსი საშუალებას აძლევს სტუდენტებს ჩამოაყალიბონ წარმოდგენა მათემატიკის ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან იდეაზე - შესაბამისობის იდეაგამონათქვამების მნიშვნელობების საპოვნელად დავალებების შესრულებისას, ცხრილების შევსებისას მოსწავლეები ადგენენ, რომ რიცხვების თითოეული წყვილი შეესაბამება შედეგად მიღებულ არაუმეტეს ერთ რიცხვს. თუმცა ამის გასაგებად ცხრილების შინაარსი უნდა გაანალიზდეს.
შეადგინეთ ორი ერთნიშნა რიცხვის დამატების ყველა შესაძლო მაგალითი 12 პასუხით.
ამ ამოცანის შესრულებისას მოსწავლეები ამყარებენ ურთიერთობას ტერმინთა მნიშვნელობების ორ კომპლექტს შორის. დადგენილი კორესპონდენცია არის ფუნქცია, რადგან პირველი წევრის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორე წევრის ერთ მნიშვნელობას მუდმივი ჯამით.
ვაზაში 10 ვაშლია. რამდენი ვაშლი დარჩება 2 ვაშლის აღების შემთხვევაში? 3 ვაშლი? 5 ვაშლი? ჩაწერეთ თქვენი გამოსავალი ცხრილში. რაზეა დამოკიდებული შედეგი? რამდენი ერთეული იცვლება? რატომ?
ეს პრობლემა რეალურად წარმოადგენს ფუნქციას ზე = 10 - X, სადაც ცვლადი Xიღებს მნიშვნელობებს 2, 3, 5. ამ დავალების შესრულების შედეგად მოსწავლეებმა უნდა დაასკვნათ: რაც უფრო დიდია სუბტრაჰენდი, მით უფრო მცირეა სხვაობის მნიშვნელობა.
ფუნქციური მიმოწერის იდეა ასევე წარმოდგენილია ფორმის სავარჯიშოებში:
შეაერთეთ მათემატიკური გამონათქვამები და შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობები ისრით:
15 + 6 27 35
შესავალი ასო სიმბოლოებისაშუალებას გაძლევთ გააცნოთ სტუდენტებს თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებები - ცვლადი, განტოლება, უთანასწორობა, რაც ხელს უწყობს ფუნქციური აზროვნების განვითარებას, რადგან მათთან მჭიდროდ არის დაკავშირებული ფუნქციური დამოკიდებულების იდეა. ცვლადთან მუშაობისას მოსწავლეები აცნობიერებენ, რომ გამოხატვაში შემავალ ასოებს შეუძლიათ მიიღონ სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობა და თავად ლიტერატურული გამოხატულება არის რიცხვითი გამონათქვამების განზოგადებული აღნიშვნა.
დიდი პროპედევტიკული მნიშვნელობისაა სტუდენტების გამოცდილება სავარჯიშოებთან ურთიერთობისას შაბლონების დადგენა რიცხვითი მიმდევრობით და მათი გაგრძელება:
1, 2, 3, 4… (ზე = X + 1)
1, 3, 5, 7… (ზე= 2 X + 1)
შინაარსი რაოდენობებირიცხვის ცნებასთან ერთად არის მათემატიკის საწყისი კურსის მთავარი ცნება. ამ განყოფილების მასალა არის უმდიდრესი წყარო არაპირდაპირი ფუნქციონალური პროპედევტიკის განხორციელებისთვის. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის დამოკიდებულება (უკუპროპორციული) რაოდენობის არჩეულ ერთეულსა (გაზომვას) და მის ციფრულ მნიშვნელობას (ზომას) შორის - რაც უფრო დიდია ზომა, მით უფრო მცირეა რიცხვი, რომელიც მიიღება ამ საზომით მნიშვნელობის გაზომვის შედეგად. ამიტომ, მნიშვნელოვანია, რომ თითოეულ რაოდენობასთან მუშაობისას მოსწავლეებმა მიიღონ გამოცდილება სხვადასხვა საზომით რაოდენობების გაზომვისას, რათა შეგნებულად აირჩიონ ჯერ მოსახერხებელი, შემდეგ კი ერთი საზომი.
მეორეც, გადაადგილების, მუშაობის, ყიდვისა და გაყიდვის პროცესების დამახასიათებელი რაოდენობების შესწავლისას წარმოიქმნება იდეები სიჩქარის, დროისა და მანძილის, ფასის, რაოდენობისა და ღირებულების ურთიერთმიმართების შესახებ შემდეგი ტიპის ტექსტური ამოცანების გადაჭრის პროცესში. ერთიანობამდე (მეოთხე პროპორციულის პოვნა), უცნობის პოვნა ორი სხვაობით, პროპორციული გაყოფა.
სტუდენტებისთვის განსაკუთრებულ სირთულეს წარმოადგენს ამ სიდიდეებს შორის ურთიერთკავშირის გაგება, ვინაიდან „პროპორციული დამოკიდებულების“ ცნება არ არის სპეციალური შესწავლისა და ასიმილაციის საგანი. გადაცემაში ლ.გ. პეტერსონი მეთოდურად წყვეტს ამ პრობლემას შემდეგი ტექნიკის გამოყენებით:
- პრობლემების გადაჭრა დაკარგული მონაცემებით („ღია“ პირობა):
ვასია სახლიდან სკოლამდე 540 მეტრია, ფაშა კი 480 მ, ვინ ცხოვრობს უფრო ახლოს? ვინ მიაღწევს იქ უფრო სწრაფად?
საშამ იყიდა რვეულები 30 მანეთად და ფანქრები 45 მანეთად. რა ნივთებზე დახარჯა ყველაზე მეტი ფული? მეტი რა ნივთები იყიდა?
ამ ამოცანების ტექსტების გაანალიზებისას მოსწავლეები აღმოაჩენენ, რომ მათ აკლიათ მონაცემები და რომ კითხვებზე პასუხები დამოკიდებულია ფასზე და სიჩქარეზე.
- ამოცანების პირობების დაფიქსირება არა მხოლოდ ცხრილში (როგორც შემოთავაზებულია კლასიკურ ტექნიკაში), არამედ დიაგრამის სახით. ეს საშუალებას გაძლევთ „ვიზუალიზოთ“ პრობლემაში გათვალისწინებული დამოკიდებულებები. ასე რომ, თუ მოძრავი ობიექტები დაფარავს ერთსა და იმავე მანძილს 12 კმ-ს სხვადასხვა დროს (2 საათი, 3 საათი, 4 საათი, 6 საათი), მაშინ სქემის გამოყენებით, ინვერსიული ურთიერთობა ნათლად არის განმარტებული - რაც მეტი ნაწილი (დრო), მით უფრო მცირეა. თითოეული ნაწილი (სიჩქარე).
- ამოცანის ერთ-ერთი მონაცემის შეცვლა და პრობლემების გადაჭრის შედეგების შედარება.
სკოლის სასადილოში 48 კგ ვაშლი შეიტანეს. რამდენი ყუთის მოტანა შეიძლებოდა ყველა ყუთში თანაბარი რაოდენობის ვაშლი რომ იყოს?
მოსწავლეები ავსებენ პრობლემის პირობას და აფიქსირებენ სიდიდეებს შორის ურთიერთობას თეორიული ცოდნის სტრუქტურირების სხვადასხვა საშუალებების გამოყენებით - ცხრილით, დიაგრამაში და სიტყვიერად.
აქ სასარგებლოა ყურადღება მიაქციოთ განსახილველ სიდიდეთა მრავალჯერადი თანაფარდობას - რამდენჯერ არის ერთი სიდიდე მეტი, მეორე არის ამდენივეჯერ მეტი (ნაკლები) მუდმივი მესამედით.
დაწყებით სკოლაში მოსწავლეები ირიბად ეცნობიან ფუნქციების დადგენის ტაბულური, ანალიტიკური, ვერბალური, გრაფიკული გზები.
ასე რომ, მაგალითად, კავშირი სიჩქარეს, დროსა და მანძილს შორის შეიძლება გამოიხატოს როგორც:
ა) სიტყვიერად: „მანძილის საპოვნელად საჭიროა სიჩქარის დროზე გამრავლება“;
ბ) ანალიტიკურად: ს= ვ ტ;
გ) ცხრილი: v = 5 კმ/სთ
დ) გრაფიკულად (კოორდინატთა სხივის ან კუთხის გამოყენებით).
v-ს შორის დამოკიდებულების დაზუსტების გრაფიკული გზა, ტ, სსაშუალებას გაძლევთ შექმნათ წარმოდგენა სიჩქარის შესახებ, როგორც მოძრავი ობიექტის მდებარეობის ცვლილება დროის ერთეულზე (ზოგადად მიღებულთან ერთად - როგორც დროის ერთეულზე გავლილი მანძილი) და მოძრაობის გრაფიკების შედარება. ორი სხეულის (მოძრავი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად) განმარტავს სიჩქარის იდეას, როგორც სიდიდის, რომელიც ახასიათებს მოძრაობის სიჩქარეს.
რთული რიცხვითი გამონათქვამები(ფრჩხილებით და ფრჩხილების გარეშე), მათი მნიშვნელობების გამოთვლა მოქმედებების თანმიმდევრობის წესების მიხედვით საშუალებას აძლევს სტუდენტებს გააცნობიერონ, რომ შედეგი დამოკიდებულია მოქმედებების თანმიმდევრობაზე.
დაალაგეთ ფრჩხილები ისე, რომ მიიღოთ სწორი ტოლობები.
20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26
მსვლელობისას ლ.გ. პეტერსონს, სტუდენტები ირიბად ეცნობიან ხაზოვანი დამოკიდებულება,როგორც ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა. ეს ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ფორმის ფორმულით ზე= ხ + ბ,სადაც X- დამოუკიდებელი ცვლადი, კდა ბ- ნომრები. მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.
350 კილომეტრის გავლის შემდეგ მატარებელმა დაიწყო მოძრაობა t საათის განმავლობაში 60 კმ/სთ სიჩქარით. სულ რამდენი კილომეტრი გაიარა მატარებელმა?(350 + 60 ტ)
დასახელებული რიცხვებით დავალებების შესრულება მოსწავლეები აცნობიერებენ დამოკიდებულებას რაოდენობების რიცხვითი მნიშვნელობა სხვადასხვა საზომი ერთეულების გამოყენებით.
იგივე სეგმენტი გაზომეს ჯერ სანტიმეტრებში, შემდეგ დეციმეტრებში. პირველ შემთხვევაში 135-ით მეტი მივიღეთ მეორეზე. რა არის სეგმენტის სიგრძე სანტიმეტრებში? (დამოკიდებულება ზე= 10 X)
მათემატიკის საწყისი კურსის შესწავლის პროცესში მოსწავლეები აყალიბებენ რიცხვთა ბუნებრივი რიგის ცნებას, ნატურალური რიგის სეგმენტს, ითვისებენ რიცხვთა ბუნებრივი რიგის თვისებებს - უსასრულობას, მოწესრიგებას და ა.შ. ნატურალური რიცხვის შეუზღუდავი ზრდის ან მისი წილის შემცირების შესაძლებლობის იდეა.
მათემატიკის კურსში 3-4 კლასებში დიდი ყურადღება ეთმობა მოსწავლეებს გამოყენების სწავლებას ფორმულები, მათი დამოუკიდებელი დასკვნა. აქ მნიშვნელოვანია ვასწავლოთ მოსწავლეებს ერთი და იგივე ინფორმაციის წარმოდგენა სხვადასხვა ფორმით - გრაფიკულად და ანალიტიკურად, რაც სტუდენტებს აძლევს უფლებას აირჩიონ ფორმა მათი შემეცნებითი სტილის შესაბამისად.
სტუდენტებისთვის საკმაო ინტერესს იწვევს ცვლადი მნიშვნელობების ცხრილების ანალიზთან, მათ შორის დამოკიდებულების „აღმოჩენასთან“ და ფორმულის სახით ჩაწერასთან დაკავშირებული ამოცანები.
ცხრილში წარმოდგენილი რიცხვების გაანალიზებისას მოსწავლეები ადვილად ამჩნევენ, რომ პირველ რიგში რიცხვები იზრდება ერთით, მეორე რიგის რიცხვები იზრდება ოთხით. მასწავლებლის ამოცანაა ყურადღება მიაქციოს ცვლადების მნიშვნელობების ურთიერთობას ადა ბ. მათემატიკური განათლების გამოყენებითი ორიენტაციის გასაძლიერებლად აუცილებელია ამ სიტუაციის „აღორძინება“, გადატანა ნაკვეთის სტატუსში.
იმისათვის, რომ მოსწავლეებმა ჩამოაყალიბონ ფორმულების გამომუშავების უნარი, თქვენ უნდა ასწავლოთ მათ მათემატიკური ენით სხვადასხვა განცხადებების ჩაწერა (თანასწორობის სახით):
კალამი სამჯერ აღემატება ფანქარს რ = რომ + 3);
ნომერი ახუთზე გაყოფისას ნაშთი 2 ( ა= 5 ბ + 2);
მართკუთხედის სიგრძე 12 სმ-ით მეტია სიგანეზე ( ა = ბ + 12).
წინაპირობაა ამ რაოდენობების მნიშვნელობების შესაძლო ვარიანტების განხილვა შესაბამისი ცხრილების შევსებით.
განსაკუთრებული ადგილი ლ.გ. პეტერსონი იღებს დავალებებს, რომლებიც დაკავშირებულია მათემატიკური კვლევა:
წარმოიდგინეთ რიცხვი 16, როგორც ორი ფაქტორის ნამრავლი სხვადასხვა გზით. თითოეული მეთოდისთვის იპოვეთ ფაქტორების ჯამი. რა შემთხვევაში მიიღეთ ყველაზე მცირე თანხა? იგივე გააკეთე 36 და 48 რიცხვებთან. რა არის გამოცნობა?
ასეთი დავალებების შესრულებისას (მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობასა და კუთხეების ხარისხის ზომების ჯამურ მნიშვნელობას შორის ურთიერთობის შესწავლა, ერთი და იგივე ფართობის მქონე სხვადასხვა ფორმის ფიგურების პერიმეტრის მნიშვნელობას და ა.შ.) მოსწავლეები აუმჯობესებენ. მათი უნარები მაგიდასთან მუშაობისას, რადგან მოსახერხებელია გამოსავლის დაფიქსირება ცხრილში. გარდა ამისა, ამონახსნის დაფიქსირების ტაბულური მეთოდი გამოიყენება არასტანდარტული მათემატიკური ამოცანების გადაჭრისას შეკვეთილი ჩამოთვლის ან რაციონალური შერჩევის მეთოდით.
კლასში 13 ბავშვია. ბიჭებს იმდენი კბილი აქვთ, რამდენიც გოგოს თითები და ფეხის თითები. რამდენი ბიჭი და რამდენი გოგოა კლასში? (თითოეულ ბიჭს აქვს ზუსტად 32 კბილი.)
მათემატიკის სწავლება ლ.გ. პეტერსონი აძლევს სტუდენტებს არითმეტიკული მოქმედებების შედეგებსა და კომპონენტებს შორის ურთიერთობის ათვისებას, ყალიბდება იდეა. არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის შეცვლის „სიჩქარე“ დამოკიდებულია კომპონენტების ცვლილებაზე:
რიცხვების შედგენის სავარჯიშოები;
პირადი გაანგარიშების მეთოდები (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 5 = 12 10: 2);
ჯამის, სხვაობის, ნამრავლის, კოეფიციენტის შეფასება.
ასეთი ამოცანების შესრულებისას მნიშვნელოვანია ინფორმაციის მრავალსენსორული წარმოდგენა.
როგორ შეიცვლება ჯამი, თუ ერთი წევრი გაიზრდება 10-ით, ხოლო მეორე მცირდება 5-ით?
როგორ შეიცვლება მართკუთხედის (ან ორი რიცხვის ნამრავლის) ფართობი, თუ ერთ-ერთი გვერდი (ერთი რიცხვი) გაზრდილია 3-ით?
მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი ასრულებს მსგავს დავალებებს კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით. მეთოდურად განათლებული ამ სიტუაციაში გრაფიკულად და ანალიტიკურად განმარტავს მდგომარეობას.
(ა+ 3) · ბ = ა· ბ+ 3 ·ბ
უმაღლეს სკოლაში ფუნქციის კონცეფცია ასოცირდება კოორდინატთა სისტემა. მსვლელობისას ლ.გ. პეტერსონი შეიცავს მასალას ამ მიმართულებით პროპედევტიკური სამუშაოსთვის:
რიცხვითი სეგმენტი, რიცხვითი სხივი, კოორდინატთა სხივი;
პითაგორას ცხრილი, კოორდინატები სიბრტყეზე (კოორდინატთა კუთხე);
მოძრაობის სქემები;
ტორტი, სვეტი და ხაზოვანი დიაგრამები, რომლებიც ვიზუალურად წარმოადგენენ ურთიერთობას დისკრეტულ მნიშვნელობებს შორის.
ასე რომ, არითმეტიკული მოქმედებების შესწავლა, რიცხვის გაზრდა და შემცირება რამდენიმე ერთეულით ან რამდენჯერმე, კომპონენტებსა და არითმეტიკული მოქმედებების შედეგებს შორის კავშირი, მეოთხე პროპორციულის საპოვნელ ამოცანების ამოხსნა, სიჩქარეს, დროსა და მანძილს შორის კავშირი; ფასი, რაოდენობა და ღირებულება; ცალკეული ნივთის მასა, მათი რაოდენობა და საერთო მასა; შრომის პროდუქტიულობა, დრო და სამუშაო; და ა.შ., ერთი მხრივ, საფუძვლად უდევს ფუნქციის ცნების ჩამოყალიბებას, მეორე მხრივ კი მათი შესწავლა ფუნქციონალური ცნებების საფუძველზე. უნდა აღინიშნოს, რომ გრაფიკულ მოდელირებას აქვს საკმაოდ დიდი პროპედევტიკური ღირებულება: პრობლემის განცხადების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, ნახატი, ნახატი და სხვა. გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილი ინფორმაცია უფრო ადვილად გასაგები, ტევადი და საკმაოდ პირობითია, შექმნილია ინფორმაციის გადასატანად მხოლოდ ობიექტის არსებითი მახასიათებლების შესახებ, სტუდენტების გრაფიკული უნარების ჩამოყალიბებისთვის.
გარდა ამისა, ფუნქციური დამოკიდებულების პროპედევტიკის შედეგი უნდა იყოს უმცროსი სტუდენტების მაღალი გონებრივი აქტივობა, ინტელექტუალური, ზოგადი საგნის და სპეციფიკური მათემატიკური უნარებისა და შესაძლებლობების განვითარება. ყოველივე ეს ქმნის მყარ საფუძველს არა მხოლოდ ელემენტარული მათემატიკის მეთოდოლოგიური ამოცანების გადაჭრისთვის - გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბება, ტექსტური ამოცანების ამოხსნის უნარი და ა.შ., არამედ მათემატიკური შინაარსის განვითარების შესაძლებლობების განხორციელებისთვის და, არანაკლებ მნიშვნელოვანია, საშუალო სკოლაში ფუნქციების წარმატებით შესწავლისთვის.
3.2 ამოცანების ამოხსნა პროპორციულად დამოკიდებული სიდიდეებისთვის
პრობლემის გადაჭრა ნიშნავს მოქმედებების ლოგიკურად სწორი თანმიმდევრობით.
და ოპერაციები ცალსახად ან ირიბად ხელმისაწვდომი პრობლემურ ნომრებში, რაოდენობებში,
ურთიერთობები დავალების მოთხოვნის შესასრულებლად (მის კითხვაზე პასუხის გასაცემად).
მათემატიკაში მთავარია არითმეტიკადა
ალგებრულიპრობლემების გადაჭრის გზები. ზე არითმეტიკაგზა
პრობლემის კითხვაზე პასუხი არითმეტიკის შესრულების შედეგად გვხვდება
მოქმედებები რიცხვებზე.
ერთი და იგივე პრობლემის გადაჭრის სხვადასხვა არითმეტიკული მეთოდი განსხვავებულია
ურთიერთობა მონაცემებს, მონაცემებსა და უცნობებს შორის, მონაცემებსა და მოძიებულს შორის,
არითმეტიკული მოქმედებების ან მიმდევრობის არჩევის საფუძველი
ამ ურთიერთობების გამოყენება მოქმედებების არჩევისას.
ტექსტური ამოცანის არითმეტიკული გზით ამოხსნა რთული აქტივობაა,
გადამწყვეტი. თუმცა, ის შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ეტაპად:
1. ამოცანის შინაარსის აღქმა და ანალიზი.
2. პრობლემის მოგვარების გეგმის ძიება და შედგენა.
3. გადაწყვეტის გეგმის განხორციელება. მოთხოვნის შესრულების შესახებ დასკვნის ფორმულირება
ამოცანა (პასუხი დავალების კითხვაზე).
4. გადაწყვეტის შემოწმება და შეცდომების აღმოფხვრა, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.
პროპორციული გაყოფის პრობლემებიწარმოდგენილია სხვადასხვა გზით: შეგიძლიათ შესთავაზოთ
მზა პრობლემის გადასაჭრელად, ან შეგიძლიათ შეადგინოთ იგი პრობლემის გარდაქმნით
მეოთხე პროპორციულის საპოვნელად. ორივე შემთხვევაში, გადაწყვეტის წარმატება
პროპორციული გაყოფის პრობლემები განისაზღვრება გადაჭრის მყარი უნარით
მეოთხე პროპორციულის პოვნის პრობლემა, შესაბამისად, როგორც
ტრენინგს, აუცილებელია უზრუნველყოს შესაბამისი ტიპის პრობლემების გადაჭრა
მეოთხე პროპორციული. ამიტომ მეორე სასურველია.
დაასახელა პროპორციული გაყოფის ამოცანების შემოტანის ვარიანტები.
სახელმძღვანელოდან მზა ამოცანების გადაჭრაზე გადასვლა, ასევე შედგენილი ამოცანები
მასწავლებელს, რაოდენობების სხვადასხვა ჯგუფების ჩათვლით, ჯერ უნდა დაადგინოთ რა
დავალებაში მითითებული რაოდენობები, შემდეგ მოკლედ ჩაწერეთ დავალება ცხრილში,
მან ადრე დაყო პრობლემის საკითხი ორ კითხვად, თუ ის შეიცავს სიტყვას
ყველას. გადაწყვეტილებას, როგორც წესი, სტუდენტები ასრულებენ დამოუკიდებლად, ანალიზს
ტარდება მხოლოდ ცალკეულ სტუდენტებთან. მოკლე შენიშვნის ნაცვლად, შეგიძლიათ გააკეთოთ
სურათი. მაგალითად, თუ პრობლემაში საუბარია მატერიის ნაჭრებზე, მავთულის ხვეულებზე და
და ა.შ., მაშინ მათი გამოსახვა შესაძლებელია სეგმენტებად შესაბამისი რიცხვის ჩაწერით
ამ რაოდენობების მნიშვნელობები. გაითვალისწინეთ, რომ არ არის აუცილებელი ყოველ ჯერზე მოკლე შეჯამების გაკეთება.
ჩანაწერი ან ნახატი, თუ მოსწავლემ პრობლემის წაკითხვის შემდეგ იცის როგორ გადაჭრას, მაშინ
დაე, მან გადაწყვიტოს, ხოლო ვისაც გაუჭირდება გამოიყენებს მოკლე ჩანაწერს ან ნახატს
პრობლემის გადაჭრა. თანდათანობით, დავალებები უნდა გართულდეს დანერგვით
დამატებითი მონაცემები (მაგალითად: ”პირველ ნაჭერში იყო 16 მ მატერია, ხოლო მეორეში
2-ჯერ ნაკლები.“) ან კითხვის დასმით (მაგალითად: „რამდენი მეტრი
იყო თუ არა პირველ ნაწარმოებში მეტი მატერია, ვიდრე მეორეში?).
არაპროპორციული დაყოფის პრობლემის გადაწყვეტის გაცნობისას, შეგიძლიათ წასვლა
სხვა გზით: ჯერ მოაგვარეთ მზა პრობლემები, შემდეგ კი შეასრულეთ
პრობლემის პოვნის მეოთხე პროპორციული პრობლემის ტრანსფორმაცია
პროპორციული დაყოფა და მათი ამოხსნის შემდეგ შეადარეთ როგორც თავად ამოცანები, ისე
მათი გადაწყვეტილებები.
განხილული ტიპის პრობლემების გადაჭრის უნარის განზოგადებას ეხმარება სავარჯიშოები
შემოქმედებითი ბუნება. დავასახელოთ რამდენიმე მათგანი.
სანამ გადაწყვეტთ, სასარგებლოა ვიკითხოთ პრობლემის რომელ კითხვებს გაეცემა პასუხი პასუხში.
მეტი რაოდენობა და რატომ, და გადაწყვეტილების შემდეგ შევამოწმო, ვეკუთვნი თუ არა ამ სახეობას
მიღებული რიცხვები, რომელიც იქნება ამოხსნის შემოწმების ერთ-ერთი გზა. შეიძლება შემდგომი
გაარკვიეთ, შეიძლებოდა თუ არა პასუხში იგივე რიცხვების მიღება და რა პირობებში.
სასარგებლო სავარჯიშოები სტუდენტების მიერ პრობლემების მომზადებისთვის მათი შემდგომი გადაწყვეტით,
ასევე დავალების გარდაქმნის სავარჯიშოები. ეს, პირველ რიგში, კომპილაციაა
ამოხსნის მსგავსი ამოცანები. ასე რომ, პრობლემის გადაჭრის შემდეგ რაოდენობასთან დაკავშირებით: ფასი,
რაოდენობა და ღირებულება - გთავაზობთ მსგავსი პრობლემის შედგენას და გადაჭრას
იგივე რაოდენობით ან სხვებთან ერთად, როგორიცაა სიჩქარე, დრო და მანძილი.
ეს არის ამოცანების შედგენა მათი ამოხსნის მიხედვით, დაწერილი ცალკე
მოქმედებები და გამოხატვის სახით ეს არის პრობლემების შედგენა და გადაწყვეტა მათი მიხედვით
მოკლე სქემატური აღნიშვნა
1 გზა:
X \u003d 15 * 30 / 8 \u003d 56 რუბლი 25 კაპიკი
2 გზა: ტანსაცმლის რაოდენობა გაიზარდა 15/8-ჯერ, რაც ნიშნავს, რომ თანხა გადაიხდება 15/8-ჯერ მეტი
X \u003d 30 * 15/8 \u003d 56 რუბლი 25 კაპიკი
2. ვიღაც ჯენტლმენმა დაურეკა დურგელს და უბრძანა ეზოს აშენება. 20 მუშა მისცა და ჰკითხა, რამდენ დღეში ააშენებენ ეზოს. დურგალმა უპასუხა: 30 დღეში. ოსტატმა კი 5 დღეში უნდა ააშენოს და ამისთვის დურგალს ჰკითხა: რამდენი ადამიანი უნდა გყავდეს, რომ 5 დღეში მათთან ეზო ააშენო; და დურგალი გაოგნებული გეკითხება, არითმეტიკოსო: რამდენი ადამიანის დაქირავება სჭირდება ეზოს ასაშენებლად 5 დღეში?
დაფაზე წერია დაუმთავრებელი მოკლე პირობა:
I ვარიანტი: პროპორცია
II ვარიანტი: პროპორციების გარეშე
ᲛᲔ. 
II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 მუშა
3. 7 თვის საჭმელი აიღეს 560 ჯარისკაცს, 10 თვით სამსახურში ყოფნის ბრძანება გასცეს და უნდოდათ ხალხი თავისგან წაეყვანათ, რომ 10 თვის საჭმელი ყოფილიყო. საკითხავია, რამდენი ადამიანი უნდა შემცირდეს?
ძველი დავალება.
გადაწყვიტეთ ეს პრობლემა პროპორციების გარეშე:
(თვეების რაოდენობა იზრდება ფაქტორით, რაც ნიშნავს, რომ ჯარისკაცების რაოდენობა მცირდება ფაქტორით.
560 - 392 = 168 (ჯარისკაცები უნდა შემცირდეს)
ძველად მრავალი სახის პრობლემის გადასაჭრელად არსებობდა მათი გადაჭრის სპეციალური წესები. ჩვენთვის ნაცნობ პრობლემებს პირდაპირი და საპირისპირო პროპორციულობისთვის, რომლებშიც აუცილებელია ორი სიდიდის მეოთხე სამი მნიშვნელობის პოვნა, ეწოდა პრობლემები "სამმაგი წესისთვის".
თუ სამი მნიშვნელობისთვის მიეცა ხუთი მნიშვნელობა და საჭირო იყო მეექვსის პოვნა, მაშინ წესს ეწოდა "ხუთი". ანალოგიურად, ოთხი რაოდენობისთვის არსებობდა "სეპტენარული წესი". ამ წესების გამოყენების ამოცანებს ასევე უწოდეს ამოცანები "რთული სამმაგი წესისთვის".
4.
სამმა ქათამმა 3 დღეში დადო 3 კვერცხი. რამდენ კვერცხს დადებს 12 ქათამი 12 დღეში?
| ქათმები | დღეები | კვერცხები |
| 3 | 3 | 3 |
| 12 | 12 | X |
საჭიროა გაირკვეს:
რამდენჯერ გაიზარდა ქათმების რაოდენობა? (4 ჯერ)
როგორ შეიცვალა კვერცხების რაოდენობა, თუ დღეების რაოდენობა არ შეცვლილა? (4-ჯერ გაიზარდა)
რამდენჯერ გაიზარდა დღეების რაოდენობა? (4 ჯერ)
როგორ შეიცვალა კვერცხების რაოდენობა? (4-ჯერ გაიზარდა)
X \u003d 3 * 4 * 4 \u003d 48 (კვერცხები)
5
. თუ მწიგნობარს შეუძლია 8 დღეში 15 ფურცლის დაწერა, რამდენი მწიგნობარი დასჭირდება 405 ფურცლის დაწერას 9 დღეში?
(მწიგნობართა რაოდენობა იზრდება ფურცლების დროში გაზრდით და მცირდება
სამუშაო დღეების მატებიდან 
(მწიგნობრები)).
განვიხილოთ უფრო რთული პრობლემა ოთხი რაოდენობით.
6.
18 ოთახის გასანათებლად 48 დღეში 120 ტონა ნავთი დაიხარჯა, თითოეულ ოთახში 4 ნათურა დაიწვა. რამდენ დღეს გაგრძელდება 125 ფუნტი ნავთი, თუ 20 ოთახი განათებულია და თითოეულ ოთახში 3 ნათურა აინთება?
ნავთის გამოყენების დღეების რაოდენობა იზრდება ნავთის რაოდენობის გაზრდის გამო
ჯერ და ნათურების განახევრებიდან.
ნავთის გამოყენების დღეების რაოდენობა მცირდება ოთახების მატებასთან ერთად 20 ჯერ.
X = 48 * * : = 60 (დღე)
საბოლოოდ აქვს X = 60. ეს ნიშნავს, რომ 125 ფუნტი ნავთი საკმარისია 60 დღის განმავლობაში.
დასკვნა
დაწყებით სკოლაში ფუნქციური დამოკიდებულების შესწავლის მეთოდოლოგიური სისტემა, რომელიც შემუშავებულია მოდულარული განათლების კონტექსტში, არის მთლიანობა, რომელიც შედგება ძირითადი კომპონენტების (სამიზნე, შინაარსი, ორგანიზაციული, ტექნოლოგიური, დიაგნოსტიკური) და პრინციპების (მოდულურობა, ცნობიერი პერსპექტივა) ურთიერთმიმართებით. ღიაობა, განათლების ფოკუსირება მოსწავლის პიროვნების განვითარებაზე). , მეთოდოლოგიური კონსულტაციის მრავალფეროვნება).
მოდულური მიდგომა არის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებში ფუნქციური დამოკიდებულების შესწავლის პროცესის გაუმჯობესების საშუალება, რაც საშუალებას აძლევს: მოსწავლეებს - დაეუფლონ ფუნქციური ცოდნის სისტემას და მოქმედების მეთოდებს, პრაქტიკულ (ოპერატიულ) უნარებს; მასწავლებელი - ფუნქციონალური მასალის საფუძველზე განავითაროს მათემატიკური აზროვნება, დამოუკიდებლობის გამომუშავება სწავლაში.
დაწყებით სკოლაში ფუნქციების შესწავლის პროცესის მეთოდოლოგიური მხარდაჭერა აგებულია მოდულარული პროგრამების საფუძველზე, რომლებიც საფუძვლად უდევს იმ ფუნდამენტურ შაბლონებს, რომლებიც საჭიროა თემის გასაგებად, სასწავლო მასალის შინაარსის წარმატებული და სრული ათვისებისთვის და სტუდენტების მიერ მყარი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების შეძენა.
ბიბლიოგრაფია.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., ტექსტის ამოცანების ამოხსნის თეორია და პრაქტიკა: პროკ. შემწეობა სტუდენტებისთვის. უფრო მაღალი პედ. სახელმძღვანელო დაწესებულებები. - მ .: საგამომცემლო ცენტრი "აკადემია", 2002. -288გვ.
Fridman L. M. მათემატიკა: სახელმძღვანელო პედაგოგიური უნივერსიტეტებისა და კოლეჯების მასწავლებლებისა და სტუდენტებისთვის. - M .: სკოლის პრესა, 2002. - 208s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. მათემატიკის საწყისი კურსის საფუძვლები: პროკ. შემწეობა სტუდენტებისათვის პედ. uch - u მიხედვით სპეციალური. „დაწყებით კლასებში სწავლება ზოგადი განათლებაა. სკოლა" - მ.: განმანათლებლობა, 1998 წ. - 320 წ.
სტოილოვა L.P. მათემატიკა: სახელმძღვანელო სტუდენტებისთვის. უფრო მაღალი პედ. სახელმძღვანელო დაწესებულებები. - M .: საგამომცემლო ცენტრი "Akakdemiya", 1999. - 424 გვ.
პეხლეცკი I.D. მათემატიკა: სახელმძღვანელო. - მე-2 სტერეოტიპული გამოცემა - მ .: საგამომცემლო ცენტრი "აკადემია"; ოსტატობა, 2002 წ. – 304 გვ.
კრიუჩკოვა V.V. პროპორციული მნიშვნელობების პრობლემებზე მუშაობა განვითარების რეჟიმში: მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის დასაწყისში. კლასები: ნაწილი 2 / რიაზანის განათლების განვითარების რეგიონალური ინსტიტუტი. რიაზანი, 1996 წ. - 75 წ.
Padun T. A. არასტანდარტული ამოცანები დაწყებითი მათემატიკის კურსში: მეთოდური. რეკომენდირებულია დაწყებითი სკოლის მასწავლებლების დასახმარებლად / რიაზ. რეგიონი ინ - თ განათლების განვითარება. - რიაზანი, 2003 - 85 წ.
Glazer G. I. მათემატიკის ისტორია სკოლაში: IX - X უჯრედები. სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის. - მ.: განმანათლებლობა, 1983. - 351გვ., ილ.
დოროფეევი გ.ვ. ჰუმანიტარულზე ორიენტირებული კურსი - საგნის "მათემატიკა" საფუძველი ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლაში // მათემატიკა სკოლაში. - 1997. - No4. - გვ.59-66, გვ. 59.
დაწყებით კლასებში მათემატიკის სწავლების მეთოდების აქტუალური ამოცანები. / რედ. მ.ი. მორო, ა.მ. პიშკალო. - მ.: პედაგოგიკა, 1977. - 262გვ.
ბანტოვა მ.ა., ბელტიუკოვა გ.ვ. მათემატიკის სწავლების მეთოდები დაწყებით კლასებში. - მ.: პედაგოგიკა, 1984. - 301გვ.
დავიდოვი ვ.ვ. მათემატიკა მე-3 კლასი: სახელმძღვანელო 4-წლიანი დაწყებითი სკოლისთვის. - მ.: საგამომცემლო ცენტრი "აკადემია", 1998. - 212გვ.
მორო M.I. და სხვა.მათემატიკა: სახელმძღვანელო სამწლიანი დაწყებითი სკოლის მე-3 კლასისა და ოთხწლიანი დაწყებითი სკოლის მე-4 კლასისთვის. / რედ. კალიაგინა იუ.მ. - მ.: განმანათლებლობა, 1997. - 240გვ.
პეტერსონი ლ.გ. მათემატიკა მე-3 კლასი. ჩ 1, 2. სახელმძღვანელო 4 წლის დაწყებითი სკოლისათვის. - მ.: ბალასი, 2001 წ.
ეს არის კორესპონდენცია, რომელშიც თითოეული x ელემენტი D სიმრავლიდან, გარკვეული წესის მიხედვით, ასოცირდება გარკვეულ რიცხვთან y, x-დან გამომდინარე. აღნიშვნა: y = f(x) x y დამოუკიდებელი ცვლადი ან არგუმენტზე დამოკიდებული ცვლადი ან ფუნქციის მნიშვნელობა D(f) E(f) ფუნქციის დომენი ფუნქციის დომენი რიცხვითი ფუნქცია D დომენით
ფუნქციის თანასწორობა ფუნქცია y=f(x) იწოდება მაშინაც კი, თუ რომელიმე x მნიშვნელობისთვის განმარტების სფეროდან მართებულია f(-x)=f(x) ტოლობა. ფუნქციას y=f(x) ეწოდება კენტი, თუ რომელიმე x მნიშვნელობისთვის განმარტების სფეროდან მართებულია f(-x)=-f(x) ტოლობა.
ფუნქციის ერთფეროვნება (ფუნქციის გაზრდა და შემცირება) ფუნქციას y \u003d f (x) ეწოდება მზარდი X є D (f) სიმრავლეზე, თუ X სიმრავლის x 1 და x 2 წერტილებისთვის ისეთი, რომ x 1 f (x 2) f (x 2)">
როგორ დავხატოთ პერიოდული ფუნქცია თუ y=f(x) ფუნქციას აქვს წერტილი T, მაშინ ფუნქციის გრაფიკის გამოსათვლელად ჯერ უნდა გამოვსახოთ გრაფიკის ტოტი (ტალღა, ნაწილი) T სიგრძის ნებისმიერ ინტერვალზე და შემდეგ გადაიტანეთ ეს ტოტი x ღერძის გასწვრივ მარჯვნივ და მარცხნივ T, 2T, 3T და ა.შ.
ფუნქციის შეზღუდულობა ფუნქციას y=f(x) ეწოდება X є D(f) სიმრავლის ქვემოდან შემოსაზღვრული, თუ ამ ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა X სიმრავლეში მეტია გარკვეულ რიცხვზე. (ანუ თუ არის რიცხვი m ისეთი, რომ x є X ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მართებულია შემდეგი უტოლობა: f (x) > m. ფუნქცია y \u003d f (x) ეწოდება X є სიმრავლის ზემოდან შეზღუდულს. D (f) თუ ყველა მნიშვნელობა X სიმრავლეში ეს ფუნქცია ნაკლებია გარკვეულ რიცხვზე (ანუ თუ არის რიცხვი M ისეთი, რომ ნებისმიერი x є X მნიშვნელობისთვის სწორია შემდეგი უტოლობა: f(x) m. ფუნქცია y =f(x) ეწოდება ზემოდან შეზღუდულს X სიმრავლეზე є D(f), თუ ამ ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა X სიმრავლეში ნაკლებია რომელიმე რიცხვზე (ანუ, თუ არის ისეთი რიცხვი M, რომ ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x є X შემდეგი უტოლობა მართალია: f(x)
ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა რიცხვი m ეწოდება y \u003d f (x) ფუნქციის უმცირეს მნიშვნელობას X є D (f) სიმრავლეზე, თუ: 1) არის წერტილი x o є X ისეთი, რომ f (х o) \u003d m; 2) ნებისმიერი x є X მნიშვნელობისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა f(x)f(x o) რიცხვს M ეწოდება y=f(x) ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა X є D(f) სიმრავლეზე, თუ: რომ f(x o)=M; 2) ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x є X, უტოლობა f (x) f (x o)
ფუნქციის ამოზნექება ფუნქცია ამოზნექილია ზევით X ინტერვალზე Dif), თუ მისი გრაფის რომელიმე ორი წერტილის X-დან აბსცისებთან სეგმენტით შეერთებით აღმოვაჩენთ, რომ გრაფიკის შესაბამისი ნაწილი დევს დახატული სეგმენტის ზემოთ. ითვლება, რომ ფუნქცია ამოზნექილია X ინტერვალზე D(f)-ით, თუ მისი გრაფის რომელიმე ორი წერტილის X-დან აბსცისებთან სეგმენტით შეერთებით აღმოვაჩენთ, რომ გრაფიკის შესაბამისი ნაწილი დევს დახატულის ქვემოთ. სეგმენტი
ფუნქციის უწყვეტობა X ინტერვალზე ფუნქციის უწყვეტობა ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს წყვეტის წერტილები (ე.ი. ეს არის მყარი ხაზი). კომენტარი. ფაქტობრივად, ფუნქციის უწყვეტობაზე საუბარი შეიძლება მხოლოდ მაშინ, როცა დამტკიცდება, რომ ფუნქცია უწყვეტია. მაგრამ შესაბამისი განმარტება რთულია და ამ დროისთვის ჩვენს ძალებს აღემატება (ამას მოგვიანებით, § 26-ში მივცემთ). იგივე შეიძლება ითქვას ამოზნექილობის ცნებაზეც. მაშასადამე, ფუნქციების ამ ორი თვისების განხილვისას, ამ დროისთვის ჩვენ გავაგრძელებთ ვიზუალურ-ინტუიციურ წარმოდგენებს.
ექსტრემალური წერტილები და ფუნქცია ექსტრემუმი. ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. განმარტება. x 0 წერტილს ეწოდება f ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ x 0-ის ყველა x-სთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა f(x) f(x 0). განმარტება. x 0 წერტილს ეწოდება f ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ x 0-ის ყველა x-სთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა f(x) f(x 0).
1 ფუნქციის შესწავლის სქემა - განსაზღვრების დომენი 2 - ლუწი (კენტი) 3 - უმცირესი დადებითი პერიოდი 4 - გაზრდისა და კლების ინტერვალები 5 - ფუნქციის კიდურების და კიდურების წერტილები 6 - ფუნქციის საზღვარი 7 - ფუნქციის უწყვეტობა. 8 - ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა 9 - მნიშვნელობების დიაპაზონი 10 - ფუნქციის ამოზნექილი
რიცხვითი ფუნქციარიცხვთა სიმრავლეს შორის ასეთი შესაბამისობა ეწოდება Xდა ბევრი რრეალური რიცხვები, რომელშიც თითოეული რიცხვი სიმრავლიდან Xემთხვევა ერთ რიცხვს ნაკრებიდან რ.Რამოდენიმე Xდაურეკა ფუნქციის ფარგლები
. ფუნქციები აღინიშნება ასოებით ვ, გ, თდა ა.შ თუ ვარის კომპლექტზე განსაზღვრული ფუნქცია X, შემდეგ რეალური რიცხვი y,ნომრის შესაბამისი Xმათი სიმრავლე X, ხშირად აღინიშნება f(x)და დაწერე
y = f(x).ცვლადი Xარგუმენტი ჰქვია. ფორმის რიცხვთა ნაკრები f(x)დაურეკა ფუნქციის დიაპაზონი
ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულის გამოყენებით. მაგალითად , y = 2X - 2. თუ ფორმულის გამოყენებით ფუნქციის განსაზღვრისას მისი განსაზღვრის დომენი არ არის მითითებული, მაშინ ვარაუდობენ, რომ ფუნქციის არეალი გამოხატვის დომენია. f(x).
1. ფუნქცია გამოძახებულია ერთფეროვანი ზოგიერთ A ინტერვალზე, თუ ის იზრდება ან მცირდება ამ ინტერვალზე
2. ფუნქცია ეწოდება იზრდება რაღაც A ინტერვალზე, თუ მათი A სიმრავლის რომელიმე რიცხვისთვის დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: .
მზარდი ფუნქციის გრაფიკს აქვს თვისება: აბსცისის ღერძის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ ინტერვალის გასწვრივ გადაადგილებისას. მაგრამგრაფიკის წერტილების ორდინატები იზრდება (სურ. 4).
3. ფუნქცია ეწოდება მცირდება რაღაც ინტერვალით მაგრამ, თუ რომელიმე რიცხვისთვის მათი კომპლექტი მაგრამპირობა შესრულებულია: .
კლებადი ფუნქციის გრაფიკს აქვს თვისება: აბსცისის ღერძის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ ინტერვალის გასწვრივ გადაადგილებისას. მაგრამგრაფიკის წერტილების ორდინატები მცირდება (სურ. 4).
4. ფუნქცია ეწოდება თუნდაც
რაღაც კომპლექტზე X,თუ პირობა დაკმაყოფილებულია: 
.
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ (ნახ. 2).
5. ფუნქცია ეწოდება კენტი
რაღაც კომპლექტზე X,თუ პირობა დაკმაყოფილებულია: 
.
კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (ნახ. 2).
6. თუ ფუნქცია y = f(x)
f(x) f(x), მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ფუნქცია y = f(x)იღებს უმცირესი ღირებულება
ზე =f(x)ზე X= x(ნახ. 2, ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში (0;0)).
7. თუ ფუნქცია y = f(x)განისაზღვრება X სიმრავლეზე და არსებობს ისეთი, რომ ნებისმიერი უტოლობისთვის f(x) f(x), მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ფუნქცია y = f(x)იღებს უმაღლესი ღირებულება ზე =f(x)ზე X= x(ნახ. 4, ფუნქციას არ აქვს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები) .
თუ ამ ფუნქციისთვის y = f(x)ყველა ჩამოთვლილი თვისება შესწავლილია, მერე ამბობენ სწავლაფუნქციები.
ლიმიტები.
A რიცხვს უწოდებენ f-ii-ს ზღვარს, რადგან x მიდრეკილია ∞-ისკენ, თუ რომელიმე E>0-ისთვის არსებობს δ (E)>0 ისეთი, რომ ყველა x-ისთვის უტოლობა |x|>δ აკმაყოფილებს უტოლობას |F(x )-A| A რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი, რადგან X მიდრეკილია X 0-მდე, თუ რომელიმე E>0-ისთვის არსებობს δ (E)>0 ისეთი, რომ ყველა X≠X 0-ისთვის უტოლობა |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| ცალმხრივი ლიმიტები. ლიმიტის განსაზღვრისას ის X მიისწრაფვის X0-მდე თვითნებურად, ანუ ნებისმიერი მიმართულებით. როდესაც X მიდრეკილია X0-მდე, ისე რომ ის მუდმივად იყოს X0-ზე ნაკლები, მაშინ ლიმიტს ეწოდება ზღვარი მარცხნივ X0 წერტილში. ან მარცხენა ლიმიტი. მარჯვენა ლიმიტი ასევე განისაზღვრება. სექციები:
მათემატიკა Კლასი:
9
გაკვეთილის ტიპი: ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი. აღჭურვილობა: მითითებულია გაკვეთილის მიზანი. საშინაო დავალების შემოწმება 1. ფრონტალური გამოკითხვა. 2. ბლიცის გამოკითხვა:მონიშნეთ დაფაზე ტესტის სწორი პასუხი (დანართი 1, გვ. 2-3). ვარჯიშების კეთება. 1. ამოხსნა No358 (ა). გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება: . 2. ბარათები (ოთხი სუსტი მოსწავლე წყვეტს რვეულში ან დაფაზე): 1) იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: ა) ; ბ) 2) იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის დომენი: ა) ; ბ) y = . 3. ამოხსნა No358 (ა). გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება: .
ერთი მოსწავლე წყვეტს დაფაზე, დანარჩენი რვეულში. საჭიროების შემთხვევაში მასწავლებელი ეხმარება მოსწავლეს. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა აშენდა ინტერაქტიულ დაფაზე AutoGraph პროგრამის გამოყენებით. მოსწავლე მარკერით ხატავს შესაბამის გრაფიკებს, პოულობს ამონახსანს, წერს პასუხს. შემდეგ მოწმდება დავალება: ფორმულა შეყვანილია კლავიატურის გამოყენებით და გრაფიკი უნდა ემთხვეოდეს იმავე კოორდინატთა სისტემაში უკვე დახატულს. გრაფიკების გადაკვეთის აბსციზა არის განტოლების ფესვი. გადაწყვეტილება: უპასუხე: 8 ამოხსენით #360(a). დახაზეთ და წაიკითხეთ ფუნქციის გრაფიკი: მოსწავლეები ასრულებენ დავალებას დამოუკიდებლად. გრაფიკის კონსტრუქცია მოწმდება AutoGraph პროგრამის გამოყენებით, თვისებები იწერება დაფაზე ერთი სტუდენტის მიერ (დომენი, დიაპაზონი, თანასწორობა, ერთფეროვნება, უწყვეტობა, ნულები და მუდმივი ნიშანი, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები). გადაწყვეტილება: Თვისებები: 1) D( ვ) = (-); E( ვ) = , იზრდება )
გაკვეთილების დროს
1. საორგანიზაციო მომენტი
გაკვეთილის I ეტაპი
გაკვეთილის II ეტაპი
გაკვეთილის III ეტაპი
.
