ბრუნვის ელემენტარული კუთხე, კუთხური სიჩქარე
სურათი 9. ბრუნვის ელემენტარული კუთხე ()
ელემენტარული (უსასრულოდ მცირე) ბრუნვები განიხილება როგორც ვექტორები. ვექტორის მოდული ბრუნვის კუთხის ტოლია და მისი მიმართულება ემთხვევა ხრახნის წვერის გადამყვანი მოძრაობის მიმართულებას, რომლის თავი ბრუნავს წრის გასწვრივ წერტილის მოძრაობის მიმართულებით, ანუ , ის ემორჩილება მარჯვენა ხრახნის წესს.
კუთხური სიჩქარე
ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ მარჯვენა ხრახნიანი წესის მიხედვით, ანუ ისევე, როგორც ვექტორი (იხ. სურათი 10).
სურათი 10.
სურათი 11
დროის მიმართ სხეულის ბრუნვის კუთხის პირველი წარმოებულით განსაზღვრული ვექტორის მნიშვნელობა.
წრფივი და კუთხური სიჩქარის მოდულებს შორის კავშირი
სურათი 12
წრფივი და კუთხური სიჩქარის ვექტორებს შორის კავშირი
განსახილველი წერტილის პოზიცია მოცემულია რადიუსის ვექტორით (გამოყვანილია ბრუნვის ღერძზე მდებარე საწყისი 0-დან). ვექტორული ნამრავლი მიმართულებით ემთხვევა ვექტორს და აქვს მოდული ტოლი
კუთხური სიჩქარის ერთეული არის .
ფსევდოვექტორები (ღერძული ვექტორები) არის ვექტორები, რომელთა მიმართულებები დაკავშირებულია ბრუნვის მიმართულებასთან (მაგალითად,). ამ ვექტორებს არ აქვთ გამოყენების კონკრეტული წერტილები: მათი დახატვა შესაძლებელია ბრუნვის ღერძის ნებისმიერი წერტილიდან.
მატერიალური წერტილის ერთგვაროვანი მოძრაობა წრის გასწვრივ
ერთგვაროვანი მოძრაობა წრეში - მოძრაობა, რომლის დროსაც მატერიალური წერტილი (სხეული) დროის თანაბარი პერიოდის განმავლობაში გადის ტოლი სიგრძის წრის რკალებს.
კუთხური სიჩქარე
: (-- ბრუნვის კუთხე).
ბრუნვის პერიოდი T არის დრო, რომლის დროსაც მატერიალური წერტილი აკეთებს ერთ სრულ ბრუნს გარშემოწერილობის გარშემო, ანუ ბრუნავს კუთხით.
ვინაიდან ის შეესაბამება დროის ინტერვალს, მაშინ.
ბრუნვის სიხშირე - მატერიალური წერტილის მიერ შესრულებული სრული ბრუნვების რაოდენობა წრის გასწვრივ მისი ერთგვაროვანი მოძრაობით, დროის ერთეულზე.
სურათი 13
წრეში ერთიანი მოძრაობის დამახასიათებელი თვისება
ერთიანი წრიული მოძრაობა არის მრუდი მოძრაობის განსაკუთრებული შემთხვევა. მოძრაობა წრის გასწვრივ სიჩქარის მუდმივი მოდულით () აჩქარებულია. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მუდმივი მოდულის დროს სიჩქარის მიმართულება მუდმივად იცვლება.
წრეში თანაბრად მოძრავი მატერიალური წერტილის აჩქარება
წრის გასწვრივ წერტილის ერთგვაროვან მოძრაობაში აჩქარების ტანგენციალური კომპონენტი ნულის ტოლია.
აჩქარების ნორმალური კომპონენტი (ცენტრული აჩქარება) მიმართულია რადიუსის გასწვრივ წრის ცენტრისკენ (იხ. სურათი 13). წრის ნებისმიერ წერტილში ნორმალური აჩქარების ვექტორი პერპენდიკულარულია სიჩქარის ვექტორზე. მატერიალური წერტილის აჩქარება, რომელიც ერთნაირად მოძრაობს წრის გასწვრივ მის ნებისმიერ წერტილში, არის ცენტრიდანული.
კუთხოვანი აჩქარება. წრფივი და კუთხური სიდიდეების მიმართება
კუთხური აჩქარება არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება კუთხური სიჩქარის პირველი წარმოებულით დროის მიმართ.
კუთხური აჩქარების ვექტორის მიმართულება
როდესაც სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, კუთხური აჩქარების ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ კუთხური სიჩქარის ელემენტარული ნამატის ვექტორისკენ.
აჩქარებული მოძრაობით ვექტორი სწორდება ვექტორთან, ნელი მოძრაობით კი მისი საპირისპიროა. ვექტორი არის ფსევდოვექტორი.
კუთხური აჩქარების ერთეული არის .
წრფივი და კუთხური სიდიდეების მიმართება
(-- წრის რადიუსი; - წრფივი სიჩქარე; - ტანგენციალური აჩქარება; - ნორმალური აჩქარება; - კუთხური სიჩქარე).
წრფივი მნიშვნელობებით.
კუთხოვანი მოძრაობა- ვექტორული სიდიდე, რომელიც ახასიათებს კუთხური კოორდინატის ცვლილებას მისი მოძრაობის პროცესში.
კუთხური სიჩქარე- ვექტორული ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ახასიათებს სხეულის ბრუნვის სიჩქარეს. კუთხური სიჩქარის ვექტორი სიდიდით ტოლია სხეულის ბრუნვის კუთხის ერთეულ დროში:
და მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ ღრძილის წესის მიხედვით, ანუ იმ მიმართულებით, რომლითაც მარჯვენა ძაფით ღვეზელი იმავე მიმართულებით ბრუნვის შემთხვევაში შეიჭრება.
SI და CGS სისტემებში მიღებული კუთხური სიჩქარის საზომი ერთეული) არის რადიანები წამში. (შენიშვნა: რადიანი, ისევე როგორც ნებისმიერი კუთხის საზომი ერთეული, ფიზიკურად განზომილებიანია, ამიტომ კუთხური სიჩქარის ფიზიკური განზომილება არის უბრალოდ). ტექნიკა ასევე იყენებს რევოლუციებს წამში, გაცილებით ნაკლებად ხშირად - გრადუსი წამში, გრადუსები წამში. შესაძლოა, რევოლუციები წუთში ყველაზე ხშირად გამოიყენება ტექნოლოგიაში - ეს გრძელდება იმ დროიდან, როდესაც დაბალი სიჩქარით ორთქლის ძრავების ბრუნვის სიჩქარე განისაზღვრა დროის ერთეულზე რევოლუციების რაოდენობის უბრალოდ "ხელით" დათვლით.
კუთხური სიჩქარით მბრუნავი (აბსოლუტურად) ხისტი სხეულის ნებისმიერი წერტილის (მყისიერი) სიჩქარის ვექტორი მოცემულია:
სად არის რადიუსის ვექტორი მოცემულ წერტილამდე სხეულის ბრუნვის ღერძზე განლაგებული საწყისიდან, ხოლო კვადრატული ფრჩხილები აღნიშნავენ ვექტორულ ნამრავლს. ბრუნვის ღერძიდან r გარკვეული მანძილის (რადიუსის) წერტილის წრფივი სიჩქარე (ემთხვევა სიჩქარის ვექტორის მოდულს) შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგნაირად: v = rω. თუ რადიანების ნაცვლად გამოყენებულია კუთხეების სხვა ერთეულები, მაშინ ბოლო ორ ფორმულაში გამოჩნდება მულტიპლიკატორი, რომელიც არ არის ერთის ტოლი.
სიბრტყე ბრუნვის შემთხვევაში, ანუ როდესაც სხეულის წერტილების ყველა სიჩქარის ვექტორი დევს (ყოველთვის) ერთ სიბრტყეში („ბრუნის სიბრტყე“), სხეულის კუთხური სიჩქარე ყოველთვის ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია და სინამდვილეში - თუ ბრუნის სიბრტყე წინასწარ არის ცნობილი - შეიძლება შეიცვალოს სკალარული პროექცია ბრუნვის სიბრტყის ორთოგონალურ ღერძზე. ამ შემთხვევაში, ბრუნვის კინემატიკა მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუმცა, ზოგადად, კუთხური სიჩქარე შეიძლება დროთა განმავლობაში შეცვალოს მიმართულება სამგანზომილებიან სივრცეში და ასეთი გამარტივებული სურათი არ მუშაობს.
კუთხური სიჩქარის წარმოებული დროის მიმართ არის კუთხური აჩქარება.
მოძრაობას მუდმივი კუთხური სიჩქარის ვექტორით ეწოდება ერთიანი ბრუნვის მოძრაობა (ამ შემთხვევაში კუთხური აჩქარება არის ნული).
კუთხური სიჩქარე (განიხილება როგორც თავისუფალი ვექტორი) იგივეა ყველა ინერციულ ათვლის სისტემაში, თუმცა სხვადასხვა ინერციულ ათვლის სისტემაში ერთი და იგივე სხეულის ბრუნვის ღერძი ან ცენტრი დროის ერთსა და იმავე მომენტში შეიძლება განსხვავდებოდეს (რომ ანუ, იქნება კუთხური სიჩქარის განსხვავებული „გამოყენების წერტილი“).
სამგანზომილებიან სივრცეში ერთი წერტილის გადაადგილების შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაწეროთ გამოხატულება ამ წერტილის კუთხური სიჩქარისთვის შერჩეულ საწყისთან მიმართებაში:
სად არის წერტილის რადიუსის ვექტორი (საწყისიდან), არის ამ წერტილის სიჩქარე. - ვექტორული ნამრავლი, - ვექტორების სკალარული ნამრავლი. თუმცა, ეს ფორმულა ცალსახად არ განსაზღვრავს კუთხის სიჩქარეს (ერთი წერტილის შემთხვევაში, შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვა ვექტორები, რომლებიც შესაფერისია განსაზღვრებით, წინააღმდეგ შემთხვევაში - თვითნებურად - ბრუნვის ღერძის მიმართულების არჩევა), მაგრამ ზოგადი შემთხვევისთვის. (როდესაც სხეული მოიცავს ერთზე მეტ მატერიალურ წერტილს) - ეს ფორმულა არ არის ჭეშმარიტი მთელი სხეულის კუთხური სიჩქარისთვის (რადგან იგი იძლევა სხვადასხვა მნიშვნელობებს თითოეული წერტილისთვის და აბსოლუტურად ხისტი სხეულის ბრუნვის დროს, განსაზღვრებით, მისი ბრუნვის კუთხური სიჩქარე ერთადერთი ვექტორია). ამ ყველაფერთან ერთად, ორგანზომილებიან შემთხვევაში (სიბრტყის ბრუნვის შემთხვევაში) ეს ფორმულა სავსებით საკმარისი, ცალსახა და სწორია, ვინაიდან ამ კონკრეტულ შემთხვევაში ბრუნვის ღერძის მიმართულება აუცილებლად ცალსახად არის განსაზღვრული.
ბრუნვის ერთგვაროვანი მოძრაობის შემთხვევაში (ანუ მოძრაობა მუდმივი კუთხური სიჩქარის ვექტორით), ამ გზით მბრუნავი სხეულის წერტილების დეკარტის კოორდინატები ასრულებენ ჰარმონიულ რხევებს კუთხური (ციკლური) სიხშირით, რომელიც ტოლია კუთხის მოდულს. სიჩქარის ვექტორი.
კუთხური სიჩქარის გაზომვისას ბრუნვები წამში (r/s), ერთიანი ბრუნვის მოძრაობის კუთხური სიჩქარის მოდული იგივეა, რაც ბრუნვის სიჩქარე f, გაზომილი ჰერცში (Hz)
(ანუ ასეთ ერთეულებში).
კუთხური სიჩქარის ჩვეულებრივი ფიზიკური ერთეულის - რადიანები წამში გამოყენების შემთხვევაში, კუთხური სიჩქარის მოდული დაკავშირებულია ბრუნვის სიჩქარესთან შემდეგნაირად:
დაბოლოს, წამში გრადუსების გამოყენებისას, RPM-თან კავშირი იქნება:
კუთხოვანი აჩქარება- ფსევდოვექტორული ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ახასიათებს ხისტი სხეულის კუთხური სიჩქარის ცვლილების სიჩქარეს.
როდესაც სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, კუთხური აჩქარების მოდული არის:
კუთხოვანი აჩქარების ვექტორი α მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ (გვერდით აჩქარებული ბრუნვით და პირიქით - ნელი ბრუნვით).
ფიქსირებული წერტილის ირგვლივ ბრუნვისას, კუთხური აჩქარების ვექტორი განისაზღვრება, როგორც კუთხური სიჩქარის ვექტორის პირველი წარმოებული ω დროის მიმართ, ანუ
და მიმართულია ტანგენციურად ვექტორის ჰოდოგრაფზე მის შესაბამის წერტილში.
არსებობს კავშირი ტანგენციალურ და კუთხურ აჩქარებებს შორის:
სადაც R არის წერტილის ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსი მოცემულ დროს. ასე რომ, კუთხური აჩქარება უდრის ბრუნვის კუთხის მეორე წარმოებულს დროის მიმართ ან კუთხური სიჩქარის პირველ წარმოებულს დროთან მიმართებაში. კუთხური აჩქარება იზომება რად/წმ2-ში.
კუთხური სიჩქარე და კუთხური აჩქარება
განვიხილოთ ხისტი სხეული, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. შემდეგ ამ სხეულის ცალკეული წერტილები აღწერს სხვადასხვა რადიუსის წრეებს, რომელთა ცენტრები დევს ბრუნვის ღერძზე. ნება მიეცით რაღაც წერტილს გადაადგილდეს რადიუსის წრის გასწვრივ რ(ნახ. 6). მისი პოზიცია გარკვეული პერიოდის შემდეგ D ტდააყენეთ კუთხე D. ელემენტარული (უსასრულოდ მცირე) ბრუნვები შეიძლება ჩაითვალოს ვექტორებად (ისინი აღინიშნება ან ) . ვექტორის მოდული ბრუნვის კუთხის ტოლია და მისი მიმართულება ემთხვევა ხრახნის წვერის მთარგმნელობითი მოძრაობის მიმართულებას, რომლის თავი ბრუნავს წრის გასწვრივ წერტილის მოძრაობის მიმართულებით, ე.ი. ემორჩილება მარჯვენა ხრახნიანი წესი(ნახ. 6). ვექტორებს, რომელთა მიმართულებები დაკავშირებულია ბრუნვის მიმართულებასთან, ეწოდება ფსევდოვექტორებიან ღერძული ვექტორები.ამ ვექტორებს არ აქვთ გამოყენების კონკრეტული წერტილები: მათი დახატვა შესაძლებელია ბრუნვის ღერძის ნებისმიერი წერტილიდან.
კუთხური სიჩქარეეწოდება ვექტორული სიდიდე, რომელიც ტოლია სხეულის ბრუნვის კუთხის პირველ წარმოებულს დროის მიმართ:
ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ მარჯვენა ხრახნიანი წესით, ე.ი. იგივეა, რაც ვექტორი (ნახ. 7). კუთხური სიჩქარის განზომილება dim w = T - 1 , და მისი ერთეული არის რადიანი წამში (რადი/წმ).
წერტილოვანი ხაზოვანი სიჩქარე (იხ. სურ. 6)
ვექტორული ფორმით, წრფივი სიჩქარის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს ჯვარედინი ნამრავლის სახით:
ამ შემთხვევაში, ვექტორული პროდუქტის მოდული, განსაზღვრებით, ტოლია და მიმართულება ემთხვევა მარჯვენა ხრახნის გადაადგილების მიმართულებას, როდესაც ის ბრუნავს რ.
თუ ( = const, მაშინ როტაცია ერთგვაროვანია და შეიძლება დახასიათდეს როტაციის პერიოდი თ - დრო, რომლისთვისაც წერტილი აკეთებს ერთ სრულ რევოლუციას, ე.ი. ბრუნავს 2p კუთხით. დროის ინტერვალიდან დ ტ= თშეესაბამება = 2p, შემდეგ = 2p/ თ, სად
სრულ ბრუნთა რაოდენობას, რომელსაც სხეული აკეთებს წრის ერთეული მოძრაობის დროს, ბრუნვის სიხშირე ეწოდება:
კუთხური აჩქარება არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც ტოლია კუთხური სიჩქარის პირველ წარმოებულს დროის მიმართ:
როდესაც სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, კუთხური აჩქარების ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ კუთხური სიჩქარის ელემენტარული ნამატის ვექტორისკენ. აჩქარებული მოძრაობით ვექტორი თანამიმართულია ვექტორისკენ (სურ. 8), ნელი მოძრაობით კი მის საპირისპიროა (სურ. 9).
აჩქარების ტანგენციალური კომპონენტი
აჩქარების ნორმალური კომპონენტი
ამრიგად, ურთიერთობა ხაზოვან (ბილიკის სიგრძეს სგაიარა რადიუსის წრის რკალის გასწვრივ მდებარე წერტილით რ, ხაზოვანი სიჩქარე v,ტანგენციალური აჩქარება , ნორმალური აჩქარება ) და კუთხური სიდიდეები (ბრუნის კუთხე j, კუთხური სიჩქარე w, კუთხური აჩქარება e) გამოიხატება შემდეგი ფორმულებით:
წრის გასწვრივ წერტილის ერთნაირად ცვლადი მოძრაობის შემთხვევაში (e=const)
სადაც w 0 არის საწყისი კუთხური სიჩქარე.
ნიუტონის კანონები.
ნიუტონის პირველი კანონი. წონა. ძალის
დინამიკა არის მექანიკის მთავარი ფილიალი, ის ეფუძნება ნიუტონის სამ კანონს, რომელიც ჩამოყალიბდა მის მიერ 1687 წელს. ნიუტონის კანონები განსაკუთრებულ როლს თამაშობს მექანიკაში და წარმოადგენს (როგორც ყველა ფიზიკური კანონის) განზოგადებას ადამიანთა დიდი გამოცდილების შედეგების შესახებ. ისინი განიხილება როგორც ურთიერთდაკავშირებული კანონების სისტემადა არა ყველა კანონი ექვემდებარება ექსპერიმენტულ შემოწმებას, არამედ მთელი სისტემა მთლიანად.
ნიუტონის პირველი კანონი: ნებისმიერი მატერიალური წერტილი (სხეული) ინარჩუნებს დასვენების მდგომარეობას ან ერთგვაროვან სწორხაზოვან მოძრაობას მანამ, სანამ სხვა სხეულების ზემოქმედება არ შეცვლის ამ მდგომარეობას.. სხეულის სურვილს შეინარჩუნოს მოსვენების მდგომარეობა ან ერთგვაროვანი სწორხაზოვანი მოძრაობა ინერცია. ამიტომ ნიუტონის პირველ კანონსაც უწოდებენ ინერციის კანონი.
მექანიკური მოძრაობა ფარდობითია და მისი ბუნება დამოკიდებულია მითითების სისტემაზე. ნიუტონის პირველი კანონი არ მოქმედებს არცერთ მითითების სისტემაში და იმ სისტემებს, რომლებთან მიმართებაშიც იგი შესრულებულია, ე.წ. ინერციული საცნობარო სისტემები. ათვლის ინერციული სისტემა არის მიმართვის ისეთი სისტემა, რომლის მიმართაც მატერიალური წერტილი, თავისუფალი გარე გავლენისგან,ან მოსვენებულ მდგომარეობაში ან მოძრაობს ერთნაირად და სწორ ხაზზე. ნიუტონის პირველი კანონი ამტკიცებს ინერციული მიმართვის სისტემის არსებობას.
ექსპერიმენტულად დადგინდა, რომ ჰელიოცენტრული (ვარსკვლავური) საცნობარო სისტემა შეიძლება ჩაითვალოს ინერციულად (კოორდინატების საწყისი მზის ცენტრშია, ღერძები კი დახატულია გარკვეული ვარსკვლავების მიმართულებით). დედამიწასთან დაკავშირებული საცნობარო ჩარჩო, მკაცრად რომ ვთქვათ, არის არაინერციული, მაგრამ მისი არაინერციულობის გამო (დედამიწა ბრუნავს საკუთარი ღერძის გარშემო და მზის გარშემო) ეფექტები უმნიშვნელოა მრავალი პრობლემის გადაჭრაში და ამ შემთხვევებში იგი შეიძლება ჩაითვალოს ინერციულად.
გამოცდილებიდან ცნობილია, რომ ერთი და იგივე გავლენის ქვეშ, სხვადასხვა სხეულები არათანაბრად ცვლიან მოძრაობის სიჩქარეს, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იძენენ განსხვავებულ აჩქარებებს. აჩქარება დამოკიდებულია არა მხოლოდ ზემოქმედების სიდიდეზე, არამედ თავად სხეულის თვისებებზე (მის მასაზე).
წონასხეულები - ფიზიკური სიდიდე, რომელიც არის მატერიის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი, რომელიც განსაზღვრავს მის ინერციას ( ინერციული მასა) და გრავიტაციული ( გრავიტაციული მასა) თვისებები. ამჟამად დადასტურებულად შეიძლება ჩაითვალოს, რომ ინერციული და გრავიტაციული მასები ერთმანეთის ტოლია (მათი მნიშვნელობის არანაკლებ 10-12 სიზუსტით).
ნიუტონის პირველ კანონში ნახსენები ეფექტების აღსაწერად შემოღებულია ძალის ცნება. ძალების მოქმედებით სხეულები ან ცვლიან მოძრაობის სიჩქარეს, ანუ იძენენ აჩქარებებს (ძალების დინამიური გამოვლინება), ან დეფორმირდება, ანუ ცვლის ფორმას და ზომებს (ძალების სტატიკური გამოვლინება). დროის თითოეულ მომენტში ძალას ახასიათებს რიცხვითი მნიშვნელობა, მიმართულება სივრცეში და გამოყენების წერტილი. Ისე, ძალა- ეს არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც არის სხვა სხეულების ან ველების სხეულზე მექანიკური ზემოქმედების საზომი, რის შედეგადაც სხეული იძენს აჩქარებას ან იცვლის ფორმასა და ზომას.
ნიუტონის მეორე კანონი
ნიუტონის მეორე კანონი - მთარგმნელობითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი კანონი -პასუხობს კითხვას, თუ როგორ იცვლება მატერიალური წერტილის (სხეულის) მექანიკური მოძრაობა მასზე მიმართული ძალების მოქმედებით.
თუ განვიხილავთ სხვადასხვა ძალების მოქმედებას ერთსა და იმავე სხეულზე, გამოდის, რომ სხეულის მიერ შეძენილი აჩქარება ყოველთვის პირდაპირპროპორციულია გამოყენებული ძალების შედეგისა:
a~f(t=const). (6.1)
სხვადასხვა მასის მქონე სხეულებზე ერთი და იგივე ძალის მოქმედებით მათი აჩქარებები განსხვავებულია, კერძოდ,
a ~ 1 /ტ (F= კონსტ). (6.2)
გამონათქვამების (6.1) და (6.2) გამოყენებით და იმის გათვალისწინებით, რომ ძალა და აჩქარება ვექტორული სიდიდეებია, შეგვიძლია დავწეროთ
a = kF/m. (6.3)
მიმართება (6.3) გამოხატავს ნიუტონის მეორე კანონს: მატერიალური წერტილის (სხეულის) მიერ მიღებული აჩქარება, მისი გამომწვევი ძალის პროპორციულია, ემთხვევა მას მიმართულებით და უკუპროპორციულია მატერიალური წერტილის (სხეულის) მასაზე.
SI-ში პროპორციულობის ფაქტორი k= 1. მაშინ
(6.4)
იმის გათვალისწინებით, რომ კლასიკურ მექანიკაში მატერიალური წერტილის (სხეულის) მასა არის მუდმივი მნიშვნელობა, გამოსახულებაში (6.4) ის შეიძლება მივიტანოთ წარმოებულის ნიშნის ქვეშ:
ვექტორული რაოდენობა
რიცხობრივად ტოლია მატერიალური წერტილის მასის ნამრავლისა და მისი სიჩქარის და რომელსაც აქვს სიჩქარის მიმართულება, ეწოდება იმპულსი (იმპულსი)ეს მატერიალური წერტილი.
(6.6) ჩანაცვლებით (6.5) მივიღებთ
ეს გამოთქმა - ნიუტონის მეორე კანონის უფრო ზოგადი ფორმულირება: მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების სიჩქარე უდრის მასზე მოქმედ ძალას. გამოთქმა (6.7) ე.წ მატერიალური წერტილის მოძრაობის განტოლება.
ძალის ერთეული SI-ში - ნიუტონი(N): 1 N არის ძალა, რომელიც ანიჭებს აჩქარებას 1 მ / წმ 2 1 კგ მასაზე ძალის მიმართულებით:
1 N \u003d 1 კგ × მ / წმ 2.
ნიუტონის მეორე კანონი მოქმედებს მხოლოდ ინერციულ მიმართვის სისტემაში. ნიუტონის პირველი კანონი შეიძლება მომდინარეობდეს მეორისგან. მართლაც, თუ შედეგად მიღებული ძალა ნულის ტოლია (სხეულზე სხვა სხეულების გავლენის არარსებობის შემთხვევაში), აჩქარება (იხ. (6.3)) ასევე ნულის ტოლია. თუმცა ნიუტონის პირველი კანონიგანიხილება, როგორც დამოუკიდებელი კანონი(და არა მეორე კანონის შედეგად), რადგან სწორედ ის ამტკიცებს ათვლის ინერციული სისტემის არსებობას, რომელშიც მხოლოდ განტოლება (6.7) არის დაკმაყოფილებული.
მექანიკაში მას დიდი მნიშვნელობა აქვს ძალების მოქმედების დამოუკიდებლობის პრინციპი: თუ მატერიალურ წერტილზე ერთდროულად რამდენიმე ძალა მოქმედებს, მაშინ თითოეული ეს ძალა ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით აჩქარებს მატერიალურ წერტილს, თითქოს სხვა ძალები არ არსებობდეს. ამ პრინციპის მიხედვით ძალები და აჩქარებები შეიძლება დაიყოს კომპონენტებად, რომელთა გამოყენება იწვევს პრობლემის გადაჭრის მნიშვნელოვან გამარტივებას. მაგალითად, ნახ. 10 მოქმედი ძალა F= მ a იყოფა ორ კომპონენტად: ტანგენციალური ძალა F t, (მიმართული ტრაექტორიაზე ტანგენციურად) და ნორმალური ძალა F. ნ(მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ გამრუდების ცენტრამდე). გამონათქვამების გამოყენება და , ასევე , შეგიძლიათ დაწეროთ:
თუ რამდენიმე ძალა ერთდროულად მოქმედებს მატერიალურ წერტილზე, მაშინ, ძალების მოქმედების დამოუკიდებლობის პრინციპის მიხედვით, F ნიუტონის მეორე კანონში გაგებულია, როგორც შედეგად მიღებული ძალა.
ნიუტონის მესამე კანონი
მატერიალურ წერტილებს (სხეულებს) შორის ურთიერთქმედება განისაზღვრება იმით ნიუტონის მესამე კანონი: მატერიალური წერტილების (სხეულების) ნებისმიერ მოქმედებას ერთმანეთზე აქვს ურთიერთმოქმედების ხასიათი; ძალები, რომლებითაც მატერიალური წერტილები მოქმედებენ ერთმანეთზე, ყოველთვის ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, საპირისპიროდ მიმართული და მოქმედებენ ამ წერტილების დამაკავშირებელი სწორი ხაზის გასწვრივ:
F 12 = - F 21, (7.1)
სადაც F 12 არის ძალა, რომელიც მოქმედებს პირველ მატერიალურ წერტილზე მეორედან;
F 21 - ძალა, რომელიც მოქმედებს მეორე მატერიალურ წერტილზე პირველიდან. ეს ძალები გამოიყენება განსხვავებულიმატერიალური წერტილები (სხეულები), ყოველთვის მოქმედებენ წყვილებშიდა არიან ძალები ერთი ბუნება.
ნიუტონის მესამე კანონი დინამიკიდან გადასვლის საშუალებას იძლევა ცალკემატერიალური წერტილი დინამიკაზე სისტემებიმატერიალური ქულები. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ მატერიალური წერტილების სისტემისთვის ურთიერთქმედება მცირდება მატერიალურ წერტილებს შორის წყვილი ურთიერთქმედების ძალებამდე.
გაფართოებული სხეულის მოძრაობა, რომლის ზომები არ შეიძლება უგულებელყო განხილული პრობლემის პირობებში. სხეული ჩაითვლება არადეფორმირებულად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აბსოლუტურად ხისტად.
მოძრაობა, რომელშიც ნებისმიერიმოძრავ სხეულთან დაკავშირებული სწორი ხაზი რჩება თავის პარალელურად, ე.წ პროგრესული.
სწორი ხაზი „სხეულთან მყარად დაკავშირებული“ იგულისხმება, როგორც ასეთი სწორი ხაზი, რომლის ნებისმიერი წერტილიდან სხეულის ნებისმიერ წერტილამდე მანძილი მუდმივი რჩება მისი მოძრაობისას.
აბსოლუტურად ხისტი სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობა შეიძლება ახასიათებდეს ამ სხეულის ნებისმიერი წერტილის მოძრაობით, ვინაიდან თარგმნით მოძრაობისას სხეულის ყველა წერტილი მოძრაობს ერთი და იგივე სიჩქარითა და აჩქარებით და მათი მოძრაობის ტრაექტორიები თანმიმდევრულია. ხისტი სხეულის რომელიმე წერტილის მოძრაობის დადგენის შემდეგ, ჩვენ ამავე დროს განვსაზღვრავთ მისი ყველა სხვა წერტილის მოძრაობას. ამიტომ, მთარგმნელობითი მოძრაობის აღწერისას, მატერიალური წერტილის კინემატიკასთან შედარებით ახალი პრობლემები არ წარმოიქმნება. მთარგმნელობითი მოძრაობის მაგალითი ნაჩვენებია ნახ. 2.20.
სურ.2.20. სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობა
მთარგმნელობითი მოძრაობის მაგალითი ნაჩვენებია შემდეგ ფიგურაში:
სურ.2.21. სხეულის პლანური მოძრაობა
ხისტი სხეულის მოძრაობის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შემთხვევა არის მოძრაობა, რომლის დროსაც სხეულის ორი წერტილი უცვლელია.
მოძრაობას, რომლის დროსაც სხეულის ორი წერტილი უცვლელი რჩება, ეწოდება როტაცია ფიქსირებული ღერძის გარშემო.
ამ წერტილების დამაკავშირებელი ხაზიც ფიქსირდება და ე.წ ბრუნვის ღერძი.
სურ.2.22. ხისტი სხეულის როტაცია
ასეთი მოძრაობით, სხეულის ყველა წერტილი მოძრაობს წრეების გასწვრივ, რომლებიც მდებარეობს ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში. წრეების ცენტრები ბრუნვის ღერძზე დევს. ამ შემთხვევაში, ბრუნვის ღერძი ასევე შეიძლება განთავსდეს სხეულის გარეთ.
ვიდეო 2.4. მთარგმნელობითი და ბრუნვითი მოძრაობები.
კუთხური სიჩქარე, კუთხური აჩქარება.როდესაც სხეული ბრუნავს ღერძის გარშემო, მისი ყველა წერტილი აღწერს სხვადასხვა რადიუსის წრეს და, შესაბამისად, აქვს სხვადასხვა გადაადგილება, სიჩქარე და აჩქარება. თუმცა, შესაძლებელია სხეულის ყველა წერტილის ბრუნვის მოძრაობის ერთნაირად აღწერა. ამისთვის გამოიყენება მოძრაობის სხვა (მატერიალურ წერტილთან შედარებით) კინემატიკური მახასიათებლები - ბრუნვის კუთხე, კუთხური სიჩქარე, კუთხური აჩქარება.
ბრინჯი. 2.23. წრეში მოძრავი წერტილის აჩქარების ვექტორები
ბრუნვის მოძრაობაში გადაადგილების როლს ასრულებს მცირე შემობრუნების ვექტორი, ბრუნვის ღერძის გარშემო 00" (ნახ. 2.24.). იგივე იქნება ნებისმიერი წერტილისთვის აბსოლუტურად ხისტი სხეული(მაგალითად, წერტილები 1, 2, 3 ).
ბრინჯი. 2.24. იდეალურად ხისტი სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო
ბრუნვის ვექტორის მოდული უდრის ბრუნვის კუთხის მნიშვნელობას და კუთხე იზომება რადიანებში.
ბრუნვის ღერძის გასწვრივ უსასრულოდ მცირე ბრუნვის ვექტორი მიმართულია სხეულის იმავე მიმართულებით მობრუნებული მარჯვენა ხრახნის (გიმლეტის) მოძრაობისკენ.
ვიდეო 2.5. საბოლოო კუთხური გადაადგილებები არ არის ვექტორები, რადგან ისინი არ იკრიბებიან პარალელოგრამის წესის მიხედვით. უსასრულოდ მცირე კუთხური გადაადგილებები არის ვექტორები.
ვექტორებს, რომელთა მიმართულებები დაკავშირებულია გიმლეტის წესთან, ეწოდება ღერძული(ინგლისურიდან. ღერძი- ღერძი) განსხვავებით პოლარული. ვექტორები, რომლებიც ადრე გამოვიყენეთ. პოლარული ვექტორებია, მაგალითად, რადიუსის ვექტორი, სიჩქარის ვექტორი, აჩქარების ვექტორი და ძალის ვექტორი. ღერძულ ვექტორებს ასევე უწოდებენ ფსევდოვექტორებს, რადგან ისინი განსხვავდებიან ჭეშმარიტი (პოლარული) ვექტორებისგან სარკეში ასახვის მოქმედების დროს (ინვერსია ან, რაც იგივეა, გადასვლა მარჯვნიდან მარცხნივ კოორდინატულ სისტემაზე). შეიძლება აჩვენოს (ეს მოგვიანებით გაკეთდება), რომ უსასრულოდ მცირე ბრუნვის ვექტორების დამატება ხდება ისევე, როგორც ჭეშმარიტი ვექტორების დამატება, ანუ პარალელოგრამის (სამკუთხედის) წესის მიხედვით. მაშასადამე, თუ სარკეში ასახვის მოქმედება არ განიხილება, მაშინ განსხვავება ფსევდოვექტორებსა და ნამდვილ ვექტორებს შორის არანაირად არ იჩენს თავს და შესაძლებელია და აუცილებელია მათი მოპყრობა, როგორც ჩვეულებრივი (ჭეშმარიტი) ვექტორებით.
უსასრულოდ მცირე ბრუნვის ვექტორის თანაფარდობა იმ დროსთან, რომლის დროსაც მოხდა ეს ბრუნი
დაურეკა ბრუნვის კუთხური სიჩქარე.
კუთხური სიჩქარის სიდიდის საზომი ძირითადი ერთეულია რად/წმ. ბეჭდურ პუბლიკაციებში, იმ მიზეზების გამო, რომლებსაც არანაირი კავშირი არ აქვს ფიზიკასთან, ხშირად წერენ 1/წმან -1-დანრაც, მკაცრად რომ ვთქვათ, მცდარია. კუთხე არის განზომილებიანი სიდიდე, მაგრამ მისი საზომი ერთეულები განსხვავებულია (გრადუსები, რუმბები, გრადები...) და ისინი უნდა იყოს მითითებული, ყოველ შემთხვევაში, გაუგებრობის თავიდან ასაცილებლად.
ვიდეო 2.6. სტრობოსკოპული ეფექტი და მისი გამოყენება ბრუნვის კუთხური სიჩქარის დისტანციური გაზომვისთვის.
კუთხური სიჩქარე, ისევე როგორც ვექტორი, რომლის პროპორციულია, არის ღერძული ვექტორი. ირგვლივ ტრიალისას უმოძრაოღერძის კუთხური სიჩქარე არ ცვლის მის მიმართულებას. ერთგვაროვანი ბრუნვით, მისი მნიშვნელობა ასევე რჩება მუდმივი, ისე რომ ვექტორი . კუთხური სიჩქარის მნიშვნელობის დროში საკმარისი მუდმივობის შემთხვევაში, ბრუნი შეიძლება მოხერხებულად დახასიათდეს მისი პერიოდით. თ :
როტაციის პერიოდი- ეს არის დრო, რომლის დროსაც სხეული აკეთებს ერთ შემობრუნებას (როტაცია 2π კუთხით) ბრუნვის ღერძის გარშემო.
სიტყვები "საკმარისი მდგრადობა" აშკარად ნიშნავს, რომ პერიოდის განმავლობაში (ერთი რევოლუციის დროს) კუთხური სიჩქარის მოდული უმნიშვნელოდ იცვლება.
ასევე ხშირად გამოიყენება რევოლუციების რაოდენობა დროის ერთეულზე
ამავდროულად, ტექნიკურ აპლიკაციებში (პირველ რიგში, ყველა სახის ძრავა), ჩვეულებრივად არის აღებული არა წამი, არამედ წუთი, როგორც დროის ერთეული. ანუ, ბრუნვის კუთხური სიჩქარე მითითებულია წუთში ბრუნში. როგორც ადვილად ხედავთ, ურთიერთობა (რადიანებში წამში) და (ბრუნებში წუთში) არის შემდეგი
კუთხური სიჩქარის ვექტორის მიმართულება ნაჩვენებია ნახ. 2.25.
წრფივი აჩქარების ანალოგიით, კუთხური აჩქარება შემოღებულია, როგორც კუთხური სიჩქარის ვექტორის ცვლილების სიჩქარე. კუთხური აჩქარება ასევე არის ღერძული ვექტორი (ფსევდოვექტორი).
კუთხური აჩქარება - ღერძული ვექტორი, რომელიც განისაზღვრება, როგორც კუთხური სიჩქარის დროის წარმოებული
ფიქსირებულ ღერძზე ბრუნვისას, უფრო ზოგადად ღერძის გარშემო ბრუნვისას, რომელიც რჩება თავის პარალელურად, კუთხური სიჩქარის ვექტორი ასევე მიმართულია ბრუნვის ღერძის პარალელურად. კუთხური სიჩქარის მნიშვნელობის ზრდით || კუთხური აჩქარება ემთხვევა მას მიმართულებით, ხოლო მცირდება - ის მიმართულია საპირისპირო მიმართულებით. ხაზს ვუსვამთ, რომ ეს არის ბრუნვის ღერძის მიმართულების უცვლელობის მხოლოდ განსაკუთრებული შემთხვევა, ზოგად შემთხვევაში (როტაცია წერტილის გარშემო) ბრუნვის ღერძი თავად ბრუნავს და მაშინ ზემოაღნიშნული სიმართლეს არ შეესაბამება.
კუთხური და წრფივი სიჩქარისა და აჩქარების შეერთება.მბრუნავი სხეულის თითოეული წერტილი მოძრაობს გარკვეული წრფივი სიჩქარით, რომელიც მიმართულია შესაბამის წრეზე ტანგენციურად (იხ. სურ. 19). მოდით, მატერიალური წერტილი ბრუნავს ღერძის გარშემო 00" რადიუსის მქონე წრის გარშემო რ. მცირე დროის განმავლობაში ის გაივლის ბრუნვის კუთხის შესაბამის გზას. მერე
ზღვარზე გადასვლისას ვიღებთ გამონათქვამს მბრუნავი სხეულის წერტილის წრფივი სიჩქარის მოდულისათვის.
აქ გავიხსენოთ რ- მანძილი სხეულის განხილული წერტილიდან ბრუნვის ღერძამდე.
ბრინჯი. 2.26.
ვინაიდან ნორმალური აჩქარება არის
შემდეგ, კუთხური და წრფივი სიჩქარის მიმართების გათვალისწინებით, ვიღებთ
მბრუნავ ხისტ სხეულში წერტილების ნორმალურ აჩქარებას ხშირად უწოდებენ ცენტრიდანული აჩქარება.
დროის მიმართ დიფერენცირება გამოთქმის , ჩვენ ვპოულობთ
სად არის რადიუსის მქონე წრის გასწვრივ მოძრავი წერტილის ტანგენციალური აჩქარება რ.
ამრიგად, როგორც ტანგენციალური, ასევე ნორმალური აჩქარება იზრდება წრფივი რადიუსის გაზრდით რ- მანძილი ბრუნვის ღერძიდან. მთლიანი აჩქარება ასევე დამოკიდებულია ხაზობრივად რ :
მაგალითი.მოდით ვიპოვოთ დედამიწის ზედაპირზე მდებარე წერტილების წრფივი სიჩქარე და ცენტრიდანული აჩქარება ეკვატორზე და მოსკოვის განედზე ( = 56°). ჩვენ ვიცით დედამიწის ბრუნვის პერიოდი საკუთარი ღერძის გარშემო T \u003d 24 საათი \u003d 24x60x60 \u003d 86,400 წმ. აქედან არის ბრუნვის კუთხური სიჩქარე
დედამიწის საშუალო რადიუსი
მანძილი გრძედის ბრუნვის ღერძამდე არის
აქედან ვპოულობთ წრფივ სიჩქარეს
და ცენტრიდანული აჩქარება
ეკვატორზე = 0, cos = 1, შესაბამისად,
მოსკოვის განედზე cos = cos 56° = 0,559და მივიღებთ:
ჩვენ ვხედავთ, რომ დედამიწის ბრუნვის გავლენა არც ისე დიდია: ეკვატორზე ცენტრიდანული აჩქარების შეფარდება თავისუფალ ვარდნის აჩქარებასთან არის
თუმცა, როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, დედამიწის ბრუნვის ეფექტი საკმაოდ შესამჩნევია.
წრფივი და კუთხური სიჩქარის ვექტორებს შორის კავშირი.ზემოთ მიღებულ კუთხოვან და წრფივ სიჩქარეებს შორის მიმართებები იწერება ვექტორების და . ამ ურთიერთობების ვექტორული ფორმით დასაწერად ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის კონცეფციას.
დაე იყოს 0z- აბსოლუტურად ხისტი სხეულის ბრუნვის ღერძი (ნახ. 2.28).
ბრინჯი. 2.28. წრფივი და კუთხური სიჩქარის ვექტორებს შორის კავშირი
Წერტილი მაგრამბრუნავს რადიუსის მქონე წრის გარშემო რ. რ- მანძილი ბრუნვის ღერძიდან სხეულის განხილულ წერტილამდე. ავიღოთ წერტილი 0 კოორდინატების წარმოშობისთვის. მერე
და მას შემდეგ
შემდეგ ვექტორული პროდუქტის განმარტებით, სხეულის ყველა წერტილისთვის
აქ არის სხეულის წერტილის რადიუსის ვექტორი, რომელიც იწყება O წერტილიდან, დევს თვითნებურ ფიქსირებულ ადგილას, აუცილებლად ბრუნვის ღერძზე
მაგრამ მეორე მხარეს
პირველი წევრი ნულის ტოლია, ვინაიდან კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია. აქედან გამომდინარე,
სადაც ვექტორი რარის ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული და მისგან მოშორებით, ხოლო მისი მოდული უდრის წრის რადიუსს, რომლის გასწვრივ მოძრაობს მატერიალური წერტილი და ეს ვექტორი იწყება ამ წრის ცენტრში.
ბრინჯი. 2.29. ბრუნის მყისიერი ღერძის განსაზღვრებამდე
ნორმალური (ცენტრული) აჩქარება ასევე შეიძლება დაიწეროს ვექტორული ფორმით:
ხოლო ნიშანი „-“ აჩვენებს, რომ ის მიმართულია ბრუნვის ღერძზე. წრფივი და კუთხური სიჩქარის მიმართების დიფერენცირებით დროის მიმართ, ჩვენ ვპოულობთ გამოხატულებას მთლიანი აჩქარებისთვის
პირველი წევრი მიმართულია ტანგენციურად მბრუნავი სხეულის წერტილის ტრაექტორიაზე და მისი მოდული არის, რადგან
ტანგენციალური აჩქარების გამონათქვამთან შედარებით, დავასკვნათ, რომ ეს არის ტანგენციალური აჩქარების ვექტორი.
ამრიგად, მეორე წევრი არის იგივე წერტილის ნორმალური აჩქარება:
მართლაც, ის მიმართულია რადიუსის გასწვრივ რბრუნვის ღერძს და მისი მოდული უდრის
მაშასადამე, ნორმალური აჩქარების ეს მიმართება არის ადრე მიღებული ფორმულის ჩაწერის კიდევ ერთი ფორმა.
დამატებითი ინფორმაცია
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. ფიზიკის ზოგადი კურსი, ტომი 1, მექანიკა რედ. Science 1979 - გვ. 242–243 (§46, გვ. 7): განხილულია საკმაოდ ძნელად გასაგები საკითხი ხისტი სხეულის კუთხური ბრუნვის ვექტორული ბუნების შესახებ;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. ფიზიკის ზოგადი კურსი, ტომი 1, მექანიკა რედ. მეცნიერება 1979 - გვ. 233–242 (§45, §46 გვ. 1–6): ხისტი სხეულის ბრუნვის მყისიერი ღერძი, ბრუნვის დამატება;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - ჟურნალი Kvant - კალათბურთის სროლის კინემატიკა (რ. ვინოკური);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - ჟურნალი Kvant, 2003, No6, - გვ.5–11, ხისტი სხეულის მყისიერი სიჩქარის ველი (ს. კროტოვი);
ეილერის კუთხეები, თვითმფრინავის (გემის) კუთხეები.
ტრადიციულად, ეილერის კუთხეები წარმოდგენილია შემდეგნაირად. საცნობარო პოზიციიდან რეალურზე გადასვლა ხდება სამი მობრუნებით (ნახ. 4.3):
1. მოტრიალდით კუთხის გარშემო პრეცესიაამავე დროს, ის მიდის პოზიციაზე, (გ) .
2. მოტრიალდით კუთხის გარშემო ნუტაცია. სადაც,. (4.10)
4. მოტრიალდით კუთხის გარშემო საკუთარი (სუფთა) ბრუნვა
უკეთესი გაგებისთვის, ნახ. 4.4 გვიჩვენებს ზედა და ეილერის კუთხეებს, რომლებიც აღწერს მას
საცნობარო პოზიციიდან რეალურზე გადასვლა შეიძლება განხორციელდეს სამი შემობრუნებით (მოატრიალეთ იგი თავად!) (ნახ. 4.5):
1. მოტრიალდით კუთხის გარშემო უი, სადაც
2. შემოატრიალეთ ირგვლივ დახრის კუთხით, ხოლო (4.12)
3.გაბრტყელების კუთხე გარშემო
გამოთქმა „შეიძლება გაკეთდეს“ შემთხვევითი არ არის; ძნელი არ არის იმის გაგება, რომ შესაძლებელია სხვა ვარიანტები, მაგალითად, ბრუნვა ფიქსირებული ღერძების გარშემო
1. მოტრიალდით კუთხის გარშემო რულეტი(ფრთების გატეხვის რისკის ქვეშ)
2. მოტრიალდით კუთხის გარშემო მოედანი("ცხვირის" აწევა) (4.13)
3. მოტრიალდით გარშემო კუთხით უი
თუმცა, (4.12) და (4.13) იდენტურობა ასევე საჭიროებს დადასტურებას.
დავწეროთ აშკარა ვექტორული ფორმულა ნებისმიერი წერტილის პოზიციის ვექტორისთვის (ნახ. 4.6) მატრიცის სახით. იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები მითითების საფუძველთან შედარებით. გავაფართოვოთ ვექტორი ფაქტობრივი საფუძვლის მიხედვით და შემოვიტანოთ „გადატანილი“ ვექტორი, რომლის კოორდინატები საცნობარო საფუძველში უდრის ვექტორის კოორდინატებს ფაქტობრივში; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, - ვექტორი "ბრუნავს" სხეულთან ერთად (სურ.4.6).
| ბრინჯი. 4.6. |
ვექტორების გაფართოება საცნობარო ბაზის მიხედვით, მივიღებთ
ჩვენ წარმოგიდგენთ ბრუნვის მატრიცას და სვეტებს,
ვექტორულ ფორმულას მატრიცის აღნიშვნით აქვს ფორმა
1. ბრუნვის მატრიცა ორთოგონალურია, ე.ი.
ამ განცხადების დასტურია ფორმულა (4.9)
ნამრავლის (4.15) დეტერმინანტის გამოთვლით, ვიღებთ და რადგან საცნობარო პოზიციაში, მაშინ ((+1) ტოლი განმსაზღვრელი ორთოგონალური მატრიცები ე.წ. რეალურადორთოგონალური ან ბრუნვის მატრიცები). ბრუნვის მატრიცა ვექტორებზე გამრავლებისას არ ცვლის არც ვექტორების სიგრძეს და არც მათ შორის კუთხეებს, ე.ი. ნამდვილად მათ უხვევს.
2. ბრუნვის მატრიცას აქვს ერთი საკუთარი ვექტორი (ფიქსირებული), რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ღერძს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აუცილებელია იმის ჩვენება, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები. სისტემას ვწერთ სახით (. ამ ერთგვაროვანი სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ვინაიდან
ამიტომ სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი. თუ ვივარაუდებთ, რომ არსებობს ორი ამონახსნები, მაშინვე მივდივართ დასკვნამდე, რომ მათზე პერპენდიკულარულიც არის ამონახსნები (ვექტორებს შორის კუთხეები არ იცვლება), რაც ნიშნავს, რომ ე.ი. მორიგეობა არ არის..
| სურ.4.7 |
მატრიცა ორთონორმალურ საფუძველზე
აქვს სახე.
2. დიფერენცირებით (4.15), ვიღებთ ან, აღვნიშნავთ - მატრიცას უკან (ინგლ. დატრიალდება - ტრიალი).ამრიგად, სპინის მატრიცა არის დახრილ-სიმეტრიული: . მარჯვნიდან გამრავლებით, მივიღებთ პუასონის ფორმულას ბრუნვის მატრიცისთვის:
ჩვენ მივედით ყველაზე რთულ მომენტამდე მატრიცის აღწერის ფარგლებში - კუთხური სიჩქარის ვექტორის განსაზღვრა.
თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ იმოქმედოთ სტანდარტული გზით (იხილეთ, მაგალითად, მეთოდი და დაწერეთ: შემოგვაქვს აღნიშვნა დახრილ-სიმეტრიული მატრიცის ელემენტებისათვისს ფორმულის მიხედვით
თუ ვექტორს ვაკეთებთ , მაშინ მატრიცის ვექტორზე გამრავლების შედეგი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჯვარედინი ნამრავლის სახით". ზემოთ მოცემულ ციტატაში - კუთხური სიჩქარის ვექტორი.
დიფერენცირებით (4.14) ვიღებთ ხისტი სხეულის კინემატიკის ძირითადი ფორმულის მატრიცულ გამოსახულებას. :
მატრიცული მიდგომა, რომელიც მოსახერხებელია გამოთვლებისთვის, ძალიან ნაკლებად არის შესაფერისი ურთიერთობების ანალიზისა და გამოყვანისთვის; ვექტორულ და ტენსორულ ენაზე დაწერილი ნებისმიერი ფორმულა ადვილად შეიძლება დაიწეროს მატრიცული ფორმით, მაგრამ ძნელია კომპაქტური და გამომხატველი ფორმულის მიღება ნებისმიერი ფიზიკური ფენომენის მატრიცის სახით აღწერისთვის.
გარდა ამისა, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ მატრიცის ელემენტები გარკვეულწილად არის ტენზორის კოორდინატები (კომპონენტები). თავად ტენსორი არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე, მაგრამ დამოკიდებულია მისი კომპონენტები. მატრიცის სახით უშეცდომოდ ჩაწერისთვის აუცილებელია, რომ გამოსახულებაში შემავალი ყველა ვექტორი და ტენსორი დაიწეროს ერთსა და იმავე საფუძველზე, და ეს ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი, რადგან სხვადასხვა ტენსორებს აქვთ „მარტივი“ ფორმა სხვადასხვა ფუძეებში, ასე რომ თქვენ საჭიროა მატრიცების ხელახალი გამოთვლა გარდამავალი მატრიცების გამოყენებით.
