19 ბილეთი 1. გაფართოების ოპერაცია
2. სივრცულ-სპექტრული მახასიათებლები
დილატაციის ოპერაციები.
ვთქვათ A და B სიმრავლეები Z 2 სივრციდან. A სიმრავლის დილატაცია B სიმრავლის მიმართ (ან B-ის მიმართ) აღინიშნება A⊕B-ით და განისაზღვრება როგორც
მისი გადაწერა შესაძლებელია შემდეგი ფორმით:
B კომპლექტს დაერქმევა სტრუქტურის ფორმირების ნაკრები ან დილატაციის პრიმიტიული.
(11) ეფუძნება B სიმრავლის ცენტრალური ასახვის მიღებას მის საწყის კოორდინატებთან მიმართებაში (ცენტრი B), შემდეგ ამ სიმრავლის გადატანა z წერტილში, A სიმრავლის გაფართოება B-ის გასწვრივ - ყველა ასეთი გადანაცვლების z სიმრავლე, რომლის დროსაც და A ემთხვევა მინიმუმ ერთ ელემენტს.
ეს განმარტება არ არის ერთადერთი. თუმცა, დილატაციის პროცედურა გარკვეულწილად მსგავსია კონვოლუციის ოპერაციისა, რომელიც ტარდება კომპლექტებზე.
სივრცულ-სპექტრული მახასიათებლები
(1.8) შესაბამისად, ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება როგორც
სადაც w x, w yარის სივრცითი სიხშირეები.
სპექტრის მოდულის კვადრატი M( w x, w y) = |Ф( w x, w y)| 2 შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალი მახასიათებლის გამოსათვლელად. ფუნქციის ინტეგრაცია მ(w x, w y) სივრცითი სიხშირეების სიბრტყეზე კუთხით იძლევა სივრცულ-სიხშირულ მახასიათებელს, რომელიც უცვლელია გამოსახულების ცვლასა და ბრუნვის მიმართ. ფუნქციის დანერგვით მ(w x, w y) პოლარულ კოორდინატებში ამ მახასიათებელს ვწერთ ფორმაში
 |
სადაც ქ= არქტანი ( w y/w x); რ 2 = w x 2 +w y 2 .
მახასიათებელი უცვლელია მასშტაბის მიმართ
20 ბილეთი 1. ეროზიის ოპერაცია
გამოსახულების ნიმუშის მატრიცის დისკრეტული ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება როგორც სერია:
სადაც , და დისკრეტულ შებრუნებულ ტრანსფორმაციას აქვს ფორმა:
უწყვეტი ფურიეს გარდაქმნის ტერმინოლოგიის ანალოგიით, ცვლადებს სივრცითი სიხშირეები ეწოდება. უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა მკვლევარი არ იყენებს განმარტებას (4.97), (4.98). ზოგიერთს ურჩევნია მასშტაბის ყველა მუდმივი ჩასვას შებრუნებულ გამოსახულებაში, ზოგი კი შეცვალოს ნიშნები ბირთვებში.
ვინაიდან ტრანსფორმაციის ბირთვები სიმეტრიულია და განცალკევებულია, ორგანზომილებიანი ტრანსფორმაცია შეიძლება განხორციელდეს როგორც თანმიმდევრული ერთგანზომილებიანი გარდაქმნები გამოსახულების მატრიცის რიგებსა და სვეტებზე. ძირითადი ტრანსფორმაციის ფუნქციები არის ექსპონენტები რთული ექსპონენტებით, რომლებიც შეიძლება დაიშალოს სინუს და კოსინუს კომპონენტებად. Ამგვარად,
გამოსახულების სპექტრს აქვს მრავალი საინტერესო სტრუქტურული მახასიათებელი. სპექტრული კომპონენტი სიხშირის სიბრტყის საწყისში
უდრის ზრდას ნგამრავლებული გამოსახულების სიკაშკაშის საშუალო (ორიგინალურ სიბრტყეზე) მნიშვნელობაზე.
ჩანაცვლება თანასწორობაში (4.97)
სადაც და არიან მუდმივები, მივიღებთ:
ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის და თანასწორობის მეორე ექსპონენციალური ფაქტორი (4.101) ხდება ერთი. ამრიგად, ზე,
რომელიც მიუთითებს სიხშირის სიბრტყის პერიოდულობაზე. ეს შედეგი ილუსტრირებულია სურათზე 4.14, ა.
გამოსახულების 2D ფურიეს სპექტრი არსებითად წარმოადგენს 2D ველის, როგორც ფურიეს სერიას. იმისათვის, რომ ასეთი წარმოდგენა იყოს მართებული, თავდაპირველ გამოსახულებას ასევე უნდა ჰქონდეს პერიოდული სტრუქტურა, ე.ი. აქვს ნიმუში, რომელიც მეორდება ვერტიკალურად და ჰორიზონტალურად (ნახ. 4.14, ბ). ამრიგად, გამოსახულების მარჯვენა კიდე მარცხნივ არის მიმდებარე, ხოლო ზედა კიდე - ქვედა. ამ ადგილებში სიკაშკაშის მნიშვნელობების შეუწყვეტლობის გამო, გამოსახულების სპექტრში ჩნდება დამატებითი კომპონენტები, რომლებიც დევს სიხშირის სიბრტყის კოორდინატთა ღერძებზე. ეს კომპონენტები არ არის დაკავშირებული გამოსახულების შიდა პიქსელების სიკაშკაშის მნიშვნელობებთან, მაგრამ ისინი აუცილებელია მისი მკვეთრი კიდეების რეპროდუცირებისთვის.
თუ გამოსახულების ნიმუშების მასივი აღწერს განათების ველს, მაშინ რიცხვები იქნება რეალური და დადებითი. თუმცა, ამ სურათის ფურიეს სპექტრს ზოგადად აქვს რთული მნიშვნელობები. ვინაიდან სპექტრი შეიცავს კომპონენტს, რომელიც წარმოადგენს რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს, ან სპექტრული კომპონენტების ფაზასა და მოდულს თითოეული სიხშირისთვის, შეიძლება ჩანდეს, რომ ფურიეს ტრანსფორმაცია ზრდის გამოსახულების განზომილებას. თუმცა, ეს ასე არ არის, რადგან მას აქვს სიმეტრია კომპლექსური კონიუგაციის დროს. თუ ტოლობაში (4.101) ვაყენებთ და ვუტოლდებით მთელ რიცხვებს, მაშინ რთული უღლების შემდეგ მივიღებთ ტოლობას:
ჩანაცვლების და src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> დახმარებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ
რთული კონიუგატური სიმეტრიის არსებობის გამო, სპექტრული კომპონენტების თითქმის ნახევარი აღმოჩნდება ზედმეტი, ე.ი. ისინი შეიძლება ჩამოყალიბდეს დარჩენილი კომპონენტებისგან (ნახ. 4.15). რა თქმა უნდა, ჰარმონიები, რომლებიც ეცემა არა ქვედა, არამედ მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეში, რა თქმა უნდა, შეიძლება ჩაითვალოს ჭარბ კომპონენტებად.
ფურიეს ანალიზი გამოსახულების დამუშავებაში გამოიყენება იმავე მიზნებისთვის, როგორც ერთგანზომილებიანი სიგნალებისთვის. თუმცა, სიხშირის დომენში, სურათები არ წარმოადგენს რაიმე მნიშვნელოვან ინფორმაციას, რაც ფურიეს ტრანსფორმაციას არც ისე სასარგებლო ინსტრუმენტად აქცევს გამოსახულების ანალიზისთვის. მაგალითად, როდესაც ფურიეს ტრანსფორმაცია გამოიყენება ერთგანზომილებიან აუდიო სიგნალზე, რთულად ფორმალური და რთული ტალღის ფორმა დროის დომენში გარდაიქმნება ადვილად გასაგებ სპექტრად სიხშირის დომენში. შედარებისთვის, გამოსახულების ფურიეს ტრანსფორმაციის (ფურიეს ტრანსფორმაციის) აღებით, ჩვენ ვაქცევთ მოწესრიგებულ ინფორმაციას სივრცულ დომენში (სივრცითი დომენი) დაშიფრულ ფორმად სიხშირის დომენში (სიხშირის დომენი). მოკლედ, ნუ ელით, რომ ფურიეს ტრანსფორმაცია დაგეხმარებათ სურათებში დაშიფრული ინფორმაციის გაგებაში.
ანალოგიურად, ნუ მიმართავთ სიხშირის დომენს ფილტრის დიზაინის დროს. გამოსახულების მთავარი დამახასიათებელი მახასიათებელია საზღვარი - ხაზის გამყოფი საგანიან რეგიონისხვაგან ობიექტიან ტერიტორიები. ვინაიდან გამოსახულების კონტურები შეიცავს სიხშირის კომპონენტთა ფართო დიაპაზონს, გამოსახულების შეცვლის მცდელობა სიხშირის სპექტრის მანიპულირებით არაეფექტური ამოცანაა. გამოსახულების დამუშავების ფილტრები, როგორც წესი, შექმნილია სივრცულ დომენში, სადაც ინფორმაცია წარმოდგენილია უმარტივესი და ხელმისაწვდომი ფორმით. გამოსახულების დამუშავების პრობლემების გადაჭრისას, საკმაოდ აუცილებელია ოპერაციების კუთხით მუშაობა დაგლუვებადა ხაზს უსვამსკონტურები (სივრცითი დომენი) ვიდრე თვალსაზრისით მაღალი გამტარი ფილტრიდა დაბალი გამტარი ფილტრი(სიხშირის დომენი).
ამის მიუხედავად, ფურიეს გამოსახულების ანალიზს აქვს რამდენიმე სასარგებლო თვისება. Მაგალითად, კონვოლუციასივრცულ დომენში შეესაბამება გამრავლებასიხშირის დომენში. ეს მნიშვნელოვანია, რადგან გამრავლება უფრო მარტივი მათემატიკური ოპერაციაა, ვიდრე კონვოლუცია. როგორც 1D სიგნალების შემთხვევაში, ეს თვისება იძლევა FFT კონვოლუციის და სხვადასხვა დეკონვოლუციის ტექნიკის საშუალებას. სიხშირის დომენში კიდევ ერთი სასარგებლო თვისებაა ფურიეს სექტორის თეორემა, რომელიც ადგენს შესაბამისობას სურათსა და მის პროექციას შორის (ერთი და იგივე გამოსახულების ხედები სხვადასხვა მხრიდან). ეს თეორემა ქმნის თეორიულ საფუძველს ისეთი მიმართულებების, როგორიცაა კომპიუტერული ტომოგრაფია, ფლუოროსკოპიაფართოდ გამოიყენება მედიცინასა და ინდუსტრიაში.
გამოსახულების სიხშირის სპექტრი შეიძლება გამოითვალოს რამდენიმე გზით, მაგრამ ყველაზე პრაქტიკული მეთოდი სპექტრის გამოსათვლელად არის FFT ალგორითმი. FFT ალგორითმის გამოყენებისას ორიგინალური სურათი უნდა შეიცავდეს ნხაზები და ნსვეტები და ნომერი ნუნდა იყოს 2-ის ხარისხების ჯერადი, ე.ი. 256, 512, 1024 და
და ა.შ. თუ ორიგინალური სურათი არ არის 2 განზომილების სიმძლავრე, მაშინ ნულოვანი მნიშვნელობის პიქსელები უნდა დაემატოს გამოსახულების სასურველ ზომამდე. იმის გამო, რომ ფურიეს ტრანსფორმაცია ინარჩუნებს ინფორმაციის წესრიგს, დაბალი სიხშირის კომპონენტების ამპლიტუდები განლაგდება ორგანზომილებიანი სპექტრის კუთხეებში, ხოლო მაღალი სიხშირის კომპონენტები მის ცენტრში.
მაგალითად, განვიხილოთ ოპერაციული გამაძლიერებლის შეყვანის ეტაპის ელექტრონული მიკროსკოპის გამოსახულების ფურიეს გარდაქმნის შედეგი (ნახ. 4.16). ვინაიდან სიხშირის დომენი შეიძლება შეიცავდეს პიქსელებს ნეგატიური მნიშვნელობებით, ამ სურათების ნაცრისფერი შკალა გადაინაცვლებს ისე, რომ უარყოფითი მნიშვნელობები აღიქმება როგორც ბნელი წერტილები გამოსახულებაზე, ნულოვანი მნიშვნელობები ნაცრისფერად და დადებითი მნიშვნელობები, როგორც ნათელი წერტილები. ჩვეულებრივ, გამოსახულების სპექტრის დაბალი სიხშირის კომპონენტები გაცილებით დიდია ამპლიტუდით, ვიდრე მაღალი სიხშირის, რაც ხსნის სპექტრის გამოსახულების ოთხ კუთხეში ძალიან ნათელი და ძალიან მუქი წერტილების არსებობას (ნახ. 4.16, ბ). როგორც ნახატიდან ჩანს, ტიპიური
სურათების ხაზოვანი გაფილტვრა შეიძლება განხორციელდეს როგორც სივრცულ, ასევე სიხშირის სფეროებში. ამ შემთხვევაში მიჩნეულია, რომ "დაბალი" სივრცითი სიხშირეები შეესაბამება გამოსახულების ძირითად შინაარსს - ფონს და დიდი ზომის ობიექტებს, ხოლო "მაღალი" სივრცითი სიხშირეები - მცირე ზომის ობიექტები, დიდი ფორმების მცირე დეტალები და ხმაური. კომპონენტი.
ტრადიციულად, $\textit(ფურიეს ტრანსფორმაცია)$-ზე დაფუძნებული მეთოდები გამოიყენება სივრცითი სიხშირეების რეგიონში გადასასვლელად. ბოლო წლებში, $\textit(wavelet-transform (wavelet-transform))$-ზე დაფუძნებულმა მეთოდებმა ასევე იპოვა მზარდი გამოყენება.
ფურიეს ტრანსფორმაცია.
ფურიეს ტრანსფორმაცია საშუალებას გაძლევთ წარმოადგინოთ თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია ან მონაცემთა ნაკრები, როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კომბინაცია, როგორიცაა სინუსი და კოსინუსი, რაც საშუალებას გაძლევთ ამოიცნოთ პერიოდული კომპონენტები მონაცემებში და შეაფასოთ მათი წვლილი ორიგინალური მონაცემების სტრუქტურაში ან ფორმაში. ფუნქცია. ტრადიციულად, არსებობს ფურიეს ტრანსფორმაციის სამი ძირითადი ფორმა: ინტეგრალური ფურიეს ტრანსფორმაცია, ფურიეს სერია და დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია.
ინტეგრალური ფურიეს ტრანსფორმაცია ნამდვილ ფუნქციას ნამდვილ ფუნქციათა წყვილად გარდაქმნის ან ერთ კომპლექსურ ფუნქციას მეორეში.
რეალური ფუნქცია $f(x)$ შეიძლება გაფართოვდეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ორთოგონალური სისტემის თვალსაზრისით, ანუ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \მარჯვნივ)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega, $$
სადაც $A(\omega)$-ს და $B(\omega)$-ს ეწოდება ინტეგრალური კოსინუსი და სინუსური გარდაქმნები:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \მარჯვნივ)) \cos \left((2\pi \omega x )\მარჯვნივ)dx; \ quad B \ მარცხენა (\omega \right)=2\int\limits_(-\infty)^(+\infty) (f\left(x \მარჯვნივ)) \sin \left((2\pi \omega x )\მარჯვნივ)dx. $$
ფურიეს სერია წარმოადგენს $f(x)$ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც განისაზღვრება $$-ის ინტერვალზე, როგორც უსასრულო რიგი სინუსებსა და კოსინუსებში. ანუ პერიოდული ფუნქცია $f(x)$ ასოცირდება ფურიეს კოეფიციენტების უსასრულო მიმდევრობასთან.
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0)(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \მარჯვნივ)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \მარჯვნივ)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა გარდაქმნის რეალური რიცხვების სასრულ მიმდევრობას ფურიეს კოეფიციენტების სასრულ მიმდევრობად.
მოდით $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ იყოს რეალური რიცხვების თანმიმდევრობა - მაგალითად, პიქსელის სიკაშკაშის წაკითხვა გამოსახულების ხაზის გასწვრივ. ეს თანმიმდევრობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმის სასრული ჯამების ერთობლიობით
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \მარჯვნივ)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \მარჯვნივ)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \მარჯვნივ)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \მარჯვნივ)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \მარჯვნივ) ), \quad i\le k ფურიეს ტრანსფორმაციის სამ ფორმას შორის მთავარი განსხვავება ისაა, რომ თუ ინტეგრალური ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება $f(x)$ ფუნქციის მთელ დომენზე, მაშინ სერია და ფურიეს დისკრეტული ტრანსფორმაცია განისაზღვრება მხოლოდ დისკრეტულ სიმრავლეზე. წერტილები, რომლებიც უსასრულოა ფურიეს სერიებისთვის და სასრული დისკრეტული გარდაქმნებისთვის. როგორც ფურიეს ტრანსფორმაციის განმარტებებიდან ჩანს, ციფრული სიგნალის დამუშავების სისტემებისთვის ყველაზე დიდი ინტერესი არის დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია. ციფრული მედიიდან ან საინფორმაციო წყაროებიდან მიღებული მონაცემები არის რიცხვების მოწესრიგებული კომპლექტები, რომლებიც დაწერილია ვექტორებად ან მატრიცებად. ჩვეულებრივ ვარაუდობენ, რომ დისკრეტული ტრანსფორმაციის შეყვანის მონაცემები არის ერთიანი ნიმუში $\Delta $ ნაბიჯით, ხოლო $T=N\Delta $ მნიშვნელობას ეწოდება ჩანაწერის სიგრძე, ან ძირითადი პერიოდი. ფუნდამენტური სიხშირე უდრის $1/T$-ს. ამრიგად, დისკრეტულ ფურიეს ტრანსფორმაციაში, შეყვანის მონაცემები იშლება სიხშირეებად, რომლებიც წარმოადგენს ფუნდამენტური სიხშირის მთელ რიცხვს. შეყვანის მონაცემების განზომილებით განსაზღვრული მაქსიმალური სიხშირე უდრის $1/2 \Delta $ და ეწოდება $\it(Nyquist სიხშირე)$. Nyquist სიხშირის აღრიცხვა აუცილებელია დისკრეტული ტრანსფორმაციის გამოყენებისას. თუ შეყვანის მონაცემს აქვს პერიოდული კომპონენტები სიხშირით, რომელიც აღემატება Nyquist სიხშირეს, მაშინ დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოთვლისას მაღალი სიხშირის მონაცემები შეიცვლება ქვედა სიხშირით, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს შეცდომები დისკრეტული ტრანსფორმაციის შედეგების ინტერპრეტაციაში. მონაცემთა ანალიზისთვის მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია ასევე $\it(ენერგეტიკული სპექტრი)$. სიგნალის სიძლიერე $\omega $ სიხშირეზე განისაზღვრება შემდეგნაირად: $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \მარჯვნივ)^2) \მარჯვნივ ) . $$ ამ მნიშვნელობას ხშირად უწოდებენ $\it(სიგნალის ენერგია)$ სიხშირით $\omega $. პარსევალის თეორემის მიხედვით, შემავალი სიგნალის ჯამური ენერგია უდრის ყველა სიხშირეზე ენერგიის ჯამს. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i) \ მარჯვენა)). $$ სიმძლავრის სიხშირესთან მიმართებაში ნახაზს ენერგეტიკული სპექტრი ან სიმძლავრის სპექტრი ეწოდება. ენერგეტიკული სპექტრი შესაძლებელს ხდის შეყვანის მონაცემებში ფარული პერიოდულობების გამოვლენას და გარკვეული სიხშირის კომპონენტების წვლილის შეფასებას შეყვანის მონაცემების სტრუქტურაში. გარდა დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის ტრიგონომეტრიული ფორმისა, ფართოდ გამოიყენება $\it(კომპლექსური წარმოდგენა)$. ფურიეს ტრანსფორმაციის რთული ფორმა ფართოდ გამოიყენება მრავალვარიანტულ ანალიზში და, კერძოდ, გამოსახულების დამუშავებაში. ტრიგონომეტრიული ფორმიდან რთულ ფორმაზე გადასვლა ხდება ეილერის ფორმულის საფუძველზე $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ თუ შეყვანის თანმიმდევრობა არის $N$ რთული რიცხვები, მაშინ მისი დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია იქნება $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ და შებრუნებული ტრანსფორმაცია $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ თუ შეყვანის მიმდევრობა არის რეალური რიცხვების მასივი, მაშინ მას აქვს როგორც რთული, ასევე სინუს-კოსინუსური დისკრეტული ტრანსფორმაცია. ამ წარმოდგენების ურთიერთობა გამოიხატება შემდეგნაირად: $$ a_0 =G_0, \quad G_k =\left((a_k -jb_k) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ ტრანსფორმაციის დარჩენილი $N/2$ მნიშვნელობები რთული კონიუგატია და არ შეიცავს დამატებით ინფორმაციას. ამიტომ, დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის სიმძლავრის სპექტრის გრაფიკი სიმეტრიულია $N/2$-ის მიმართ. დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის (DFT) გამოთვლის უმარტივესი გზა არის პირდაპირი შეჯამება, რაც იწვევს $N$ ოპერაციებს კოეფიციენტზე. სულ არის $N$ კოეფიციენტები, ამიტომ მთლიანი სირთულე არის $O\left((N^2) \right)$. ეს მიდგომა პრაქტიკულ ინტერესს არ წარმოადგენს, რადგან არსებობს DFT-ის გამოთვლის ბევრად უფრო ეფექტური გზები, რომელსაც ეწოდება სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია (FFT), რომელსაც აქვს $O (N\log N)$ სირთულე. FFT ეხება მხოლოდ იმ მიმდევრობებს, რომლებსაც აქვთ სიგრძე (ელემენტების რაოდენობა), რომელიც არის 2-ის სიმძლავრის ნამრავლი. FFT ალგორითმის ყველაზე ზოგადი პრინციპი არის შეყვანის მიმდევრობის დაყოფა ორ ნახევრად სიგრძის მიმდევრებად. პირველი თანმიმდევრობა ივსება ლუწი რიცხვებით, ხოლო მეორე რიგი ივსება კენტი რიცხვით. ეს შესაძლებელს ხდის DFT კოეფიციენტების გამოთვლას ორი $N/2$ ტრანსფორმაციის გზით. აღნიშნეთ $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, შემდეგ $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n ) ) \ომეგა _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \ომეგა _(N/2) ^(მნ) \ომეგა _N^m $. $ მ< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია $M\ჯერ N$ რიცხვების ორგანზომილებიანი მასივისთვის განისაზღვრება შემდეგნაირად: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \მარჯვნივ]) ), $$ და შებრუნებული ტრანსფორმაცია $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \მარჯვნივ]) ). $$ გამოსახულების დამუშავების შემთხვევაში 2D ფურიეს ტრანსფორმაციის კომპონენტებს ეწოდება $\textit(სივრცითი სიხშირეები)$. ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის მნიშვნელოვანი თვისებაა მისი გაანგარიშების შესაძლებლობა ერთგანზომილებიანი FFT პროცედურის გამოყენებით: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \მარცხნივ[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \მარჯვნივ] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ აქ, კვადრატულ ფრჩხილებში გამოსახვა არის მონაცემთა მატრიცის ერთგანზომილებიანი მწკრივის ტრანსფორმაცია, რომელიც შეიძლება შესრულდეს ერთგანზომილებიანი FFT-ით. ამრიგად, ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის მისაღებად, ჯერ უნდა გამოვთვალოთ მწკრივის ერთგანზომილებიანი გარდაქმნები, ჩაწეროთ შედეგები თავდაპირველ მატრიცაში და გამოვთვალოთ ერთგანზომილებიანი გარდაქმნები მიღებული მატრიცის სვეტებისთვის. ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის გაანგარიშებისას, დაბალი სიხშირეები კონცენტრირებული იქნება მატრიცის კუთხეებში, რაც არც თუ ისე მოსახერხებელია მიღებული ინფორმაციის შემდგომი დამუშავებისთვის. ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოსახულების თარგმნისთვის, რომელშიც დაბალი სიხშირეები კონცენტრირებულია მატრიცის ცენტრში, შეგიძლიათ შეასრულოთ მარტივი პროცედურა, რომელიც შედგება საწყისი მონაცემების $-1^(m+n)$-ზე გამრავლებაში. . ნახ. 16 გვიჩვენებს ორიგინალურ სურათს და მის ფურიეს ტრანსფორმაციას. რუხი ფერის გამოსახულება და მისი ფურიეს სურათი (გამოსახულებები მიღებული LabVIEW სისტემაში) $s(t)$ და $r(t)$ ფუნქციების კონვოლუცია განისაზღვრება როგორც $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ პრაქტიკაში, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ დისკრეტულ კონვოლუციას, რომლის დროსაც უწყვეტი ფუნქციები იცვლება მნიშვნელობების სიმრავლით ერთიანი ბადის კვანძებში (ჩვეულებრივ, მთელი ბადე იღება): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k). $$ აქ $-N$ და $P$ განსაზღვრავენ დიაპაზონს, რომლის მიღმაც $r(t) = 0$. ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით კონვოლუციის გამოთვლისას გამოიყენება ფურიეს ტრანსფორმაციის თვისება, რომლის მიხედვითაც სიხშირის დომენში ფუნქციების გამოსახულების ნამრავლი უდრის ამ ფუნქციების კონვოლუციას დროის დომენში. შეჯერების გამოსათვლელად, აუცილებელია ორიგინალური მონაცემების გადაქცევა სიხშირის დომენში, ანუ გამოთვალოთ მათი ფურიეს ტრანსფორმაცია, გავამრავლოთ ტრანსფორმაციის შედეგები და შეასრულოთ ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაცია, აღადგინოთ ორიგინალური წარმოდგენა. ალგორითმის მოქმედების ერთადერთი დახვეწილობა დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის შემთხვევაში (განსხვავებით უწყვეტისაგან), ორი პერიოდული ფუნქციაა შერეული, ანუ ჩვენი მნიშვნელობების ნაკრები. u200b ზუსტად მიუთითეთ ამ ფუნქციების პერიოდები და არა მხოლოდ მნიშვნელობები ღერძის ცალკეულ მონაკვეთზე. ანუ ალგორითმი მიიჩნევს, რომ $x_(N )$ წერტილს მოჰყვება არა ნული, არამედ წერტილი $x_(0)$ და ასე შემდეგ წრეში. ამიტომ, იმისათვის, რომ კონვოლუცია სწორად გამოითვალოს, აუცილებელია სიგნალს მივაკუთვნოთ ნულების საკმაოდ გრძელი თანმიმდევრობა. ხაზოვანი ფილტრაციის მეთოდები კარგად სტრუქტურირებულ მეთოდებს შორისაა, რომლისთვისაც შემუშავებულია ეფექტური გამოთვლითი სქემები, რომლებიც დაფუძნებულია სწრაფი კონვოლუციის ალგორითმებზე და სპექტრულ ანალიზზე. ზოგადად, ხაზოვანი ფილტრაციის ალგორითმები ასრულებენ ფორმის ტრანსფორმაციას $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta, \eta) d \zeta d \eta, $$ სადაც $K(\zeta ,\eta)$ არის წრფივი ტრანსფორმაციის ბირთვი. სიგნალის დისკრეტული წარმოდგენით, ამ ფორმულაში ინტეგრალი გადაგვარდება ორიგინალური გამოსახულების ნიმუშების შეწონილ ჯამად გარკვეული დიაფრაგმის ფარგლებში. ამ შემთხვევაში, ბირთვის $K(\zeta,\eta)$-ის არჩევამ ამა თუ იმ ოპტიმალურობის კრიტერიუმების შესაბამისად შეიძლება გამოიწვიოს მრავალი სასარგებლო თვისება (გაუსური დალაგება გამოსახულების რიცხვითი დიფერენციაციის პრობლემის რეგულაციაში. და ა.შ.). ხაზოვანი დამუშავების მეთოდები ყველაზე ეფექტურად გამოიყენება სიხშირის დომენში. გამოსახულების ფურიეს გამოსახულების გამოყენება ფილტრაციის ოპერაციების შესასრულებლად, უპირველეს ყოვლისა, განპირობებულია ასეთი ოპერაციების უფრო მაღალი შესრულებით. როგორც წესი, პირდაპირი და ინვერსიული ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის შესრულებას და ფილტრის ფურიეს გამოსახულების კოეფიციენტებზე გამრავლებას ნაკლები დრო სჭირდება, ვიდრე ორიგინალური გამოსახულების ორგანზომილებიანი კონვოლუციის შესრულება. ფილტრაციის ალგორითმები სიხშირის დომენში ეფუძნება კონვოლუციის თეორემას. ორგანზომილებიან შემთხვევაში, კონვოლუციის ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება: $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \მარჯვნივ)F\left((u,v) \მარჯვნივ), $$ სადაც $G$ არის კონვოლუციის შედეგის ფურიეს ტრანსფორმაცია, $H$ არის ფილტრის ფურიეს ტრანსფორმაცია და $F$ არის ორიგინალური გამოსახულების ფურიეს ტრანსფორმაცია. ანუ, სიხშირის დომენში, ორგანზომილებიანი კონვოლუცია იცვლება ორიგინალური გამოსახულების გამოსახულების ელემენტარული გამრავლებით და შესაბამისი ფილტრით. შეკრების შესასრულებლად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი: ფილტრის ფუნქციის კავშირი სიხშირის დომენსა და სივრცულ დომენს შორის შეიძლება განისაზღვროს კონვოლუციის თეორემის გამოყენებით $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \მარჯვნივ)H\მარცხნივ(( u,v) \მარჯვნივ), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \მარჯვნივ)\ast H\left(( u,v)\მარჯვნივ). $$ იმპულსური ფუნქციით ფუნქციის კონვოლუცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0, y-y_0 ) \right)=s(x_0,y_0). $$ იმპულსური ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ მარცხენა ((x,y) \მარჯვნივ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \მარჯვნივ)) ) =\ ფრაკი (1) (MN). $$ მოდით $f(x,y) = \delta (x,y)$, შემდეგ კონვოლუცია $$ f\left((x,y) \მარჯვნივ)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \მარჯვნივ), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \მარჯვნივ)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \მარჯვნივ). $$ ამ გამონათქვამებიდან ჩანს, რომ ფილტრის ფუნქციები სიხშირის და სივრცის დომენებში ურთიერთდაკავშირებულია ფურიეს ტრანსფორმაციის საშუალებით. მოცემული სიხშირის დომენის ფილტრის ფუნქციისთვის, ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ შესაბამისი სივრცითი დომენის ფილტრი ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით. იგივე ეხება საპირისპირო შემთხვევას. ამ ურთიერთობის გამოყენებით შესაძლებელია სივრცითი ხაზოვანი ფილტრების სინთეზის პროცედურის დადგენა. ($\textit(იდეალური დაბალი გამშვები ფილტრი)$) $H(u,v)$ არის $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Ideal high-pass filter)$) მიიღება იდეალური დაბალი გამტარი ფილტრის ინვერსიით: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ აქ დაბალი სიხშირის კომპონენტები მთლიანად ჩახშობილია მაღალი სიხშირის შენარჩუნებისას. თუმცა, როგორც იდეალური დაბალი გამტარი ფილტრის შემთხვევაში, მისი გამოყენება სავსეა მნიშვნელოვანი დამახინჯებით. სხვადასხვა მიდგომა გამოიყენება ფილტრების დიზაინისთვის მინიმალური დამახინჯებით. ერთ-ერთი მათგანია ექსპონენტებზე დაფუძნებული ფილტრის სინთეზი. ასეთი ფილტრები ქმნიან მინიმალურ დამახინჯებას მიღებულ სურათში და მოსახერხებელია სინთეზისთვის სიხშირის დომენში. გამოსახულების დამუშავებაში ფართოდ გამოიყენება ფილტრების ოჯახი, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ გაუსის ფუნქციაზე. $\textit(დაბალი უღელტეხილის გაუსის ფილტრი)$-ს აქვს ფორმა $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \მარჯვნივ)^2) \mbox(და ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ რაც უფრო ვიწროა ფილტრის პროფილი სიხშირის დომენში (რაც უფრო დიდია $\sigma $), მით უფრო ფართოა ის სივრცულ დომენში. ($\textit(High Pass Gaussian Filter)$) აქვს ფორმა $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \მარჯვნივ)^2), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ ორგანზომილებიან შემთხვევაში ($\it(დაბალი)$) გაუსის ფილტრი ასე გამოიყურება: $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High-Pass)$) გაუსის ფილტრს აქვს ფორმა $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ განვიხილოთ სურათის ფილტრაციის მაგალითი (ნახ. 1) სიხშირის დომენში (ნახ. 17 - 22). გაითვალისწინეთ, რომ გამოსახულების სიხშირის ფილტრაციას შეიძლება ჰქონდეს აზრი როგორც გამარტივებისთვის ($\textit(დაბალი ფილტრი)$) ასევე კონტურების და მცირე ობიექტების ხაზგასმისთვის ($\textit(მაღალგამტარი ფილტრაცია)$). როგორც ჩანს ნახ. 17, 19, სურათის დაბალი სიხშირის კომპონენტში ფილტრაციის „ძალა“ მატებასთან ერთად, გამოსახულების „აშკარა დეფოკუსირების“ ან $\it(ბუნდოვანი)$ ეფექტი უფრო გამოხატული ხდება. ამავდროულად, გამოსახულების ინფორმაციული შინაარსის დიდი ნაწილი თანდათან გადადის მაღალსიხშირულ კომპონენტში, სადაც დასაწყისში მხოლოდ ობიექტების კონტურები შეინიშნება (სურ. 18, 20 - 22). ახლა განვიხილოთ მაღალგამტარი და დაბალგამტარი ფილტრების ქცევა (ნახ. 23 - 28) სურათზე დანამატი გაუსის ხმაურის არსებობისას (ნახ. 7). როგორც ჩანს ნახ. 23, 25, დაბალი სიხშირის ფილტრების თვისებები დანამატის შემთხვევითი ხმაურის ჩახშობაში მსგავსია ადრე განხილული ხაზოვანი ფილტრების თვისებების - საკმარისი ფილტრის სიმძლავრით, ხმაური ითრგუნება, მაგრამ ამის ფასი არის კონტურების ძლიერი დაბინდვა და მთელი სურათის "დეფოკუსირება". ხმაურიანი გამოსახულების მაღალი სიხშირის კომპონენტი წყვეტს ინფორმატიულობას, ვინაიდან კონტურისა და ობიექტის ინფორმაციის გარდა, ახლა ხმაურის კომპონენტიც სრულად არის წარმოდგენილი იქ (ნახ. 27, 28). სიხშირის მეთოდების გამოყენება ყველაზე მიზანშეწონილია, როდესაც ცნობილია ხმაურის პროცესის სტატისტიკური მოდელი და/ან გამოსახულების გადაცემის არხის ოპტიკური გადაცემის ფუნქცია. მოსახერხებელია ასეთი აპრიორი მონაცემების გათვალისწინება შემდეგი ფორმის გენერალიზებული კონტროლირებადი ($\sigma$ და $\mu$ პარამეტრებით) ფილტრის აღდგენის ფილტრის არჩევით: $$ F(w_1,w_2)= \მარცხნივ[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ სადაც $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. ხაზოვანი ფილტრაციის მეთოდების უპირატესობა მოიცავს მათ მკაფიო ფიზიკურ მნიშვნელობას და შედეგების ანალიზს. თუმცა, სიგნალ-ხმაურის თანაფარდობის მკვეთრი გაუარესებით, არეალური ხმაურის შესაძლო ვარიანტებით და მაღალი ამპლიტუდის იმპულსური ხმაურის არსებობით, წრფივი წინასწარი დამუშავების მეთოდები შეიძლება არ იყოს საკმარისი. ამ სიტუაციაში, არაწრფივი მეთოდები ბევრად უფრო ძლიერია. დაე ვ(x 1 , x 2) არის ორი ცვლადის ფუნქცია. ერთგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის ანალოგიით, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაცია: ფუნქცია ფიქსირებული მნიშვნელობებით ω 1 , ω 2 აღწერს სიბრტყის ტალღას სიბრტყეში x 1 , x 2 (სურათი 19.1). რაოდენობებს ω 1 , ω 2 აქვთ სივრცითი სიხშირეების მნიშვნელობა და განზომილება მმ−1 , და ფუნქცია F(ω 1 , ω 2) განსაზღვრავს სივრცითი სიხშირეების სპექტრს. სფერულ ლინზას შეუძლია გამოთვალოს ოპტიკური სიგნალის სპექტრი (სურათი 19.2). სურათზე 19.2 წარმოდგენილია შემდეგი აღნიშვნები: φ - ფოკუსური მანძილი, სურათი 19.1 - სივრცითი სიხშირეების განსაზღვრებამდე ორგანზომილებიან ფურიეს ტრანსფორმაციას აქვს ერთგანზომილებიანი ტრანსფორმაციის ყველა თვისება, გარდა ამისა, ჩვენ აღვნიშნავთ ორ დამატებით თვისებას, რომლის დადასტურებაც ადვილად გამომდინარეობს ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაციის განმარტებიდან. ნახაზი 19.2 - ოპტიკური სიგნალის სპექტრის გაანგარიშება გამოყენებით ფაქტორიზაცია. თუ ორგანზომილებიანი სიგნალი ფაქტორიზებულია, მაშინ მისი სპექტრი ასევე ფაქტორიზირებულია: რადიალური სიმეტრია. თუ 2D სიგნალი რადიალურად სიმეტრიულია, ე.ი სად არის ნულოვანი რიგის ბესელის ფუნქცია. ფორმულას, რომელიც განსაზღვრავს ურთიერთობას რადიალურად სიმეტრიულ ორგანზომილებიან სიგნალსა და მის სივრცულ სპექტრს შორის, ჰანკელის ტრანსფორმაცია ეწოდება. ლექცია 20. დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია. დაბალი გამტარი ფილტრი პირდაპირი ორგანზომილებიანი დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია (DFT) გარდაქმნის გამოსახულებას, რომელიც მოცემულია სივრცით კოორდინატულ სისტემაში ( x, y), სიხშირის კოორდინატთა სისტემაში მითითებულ ორგანზომილებიან დისკრეტულ გამოსახულების ტრანსფორმაციაში ( u,v): ინვერსიული დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციას (IDFT) აქვს ფორმა: ჩანს, რომ DFT არის რთული ტრანსფორმაცია. ამ ტრანსფორმაციის მოდული წარმოადგენს გამოსახულების სპექტრის ამპლიტუდას და გამოითვლება როგორც DFT-ის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი. ფაზა (ფაზის გადანაცვლების კუთხე) განისაზღვრება როგორც DFT-ის წარმოსახვითი ნაწილის რეალურ ნაწილთან შეფარდების რკალის ტანგენსი. ენერგეტიკული სპექტრი უდრის სპექტრის ამპლიტუდის კვადრატს, ან სპექტრის წარმოსახვითი და რეალური ნაწილების კვადრატების ჯამს. კონვოლუციის თეორემა კონვოლუციის თეორემის მიხედვით, ორი ფუნქციის კონვოლუცია სივრცის დომენში შეიძლება მივიღოთ მათი DFT ნამრავლის ODFT-ით, ე.ი. სიხშირის დომენში ფილტრაცია საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ სურათის DFT ფილტრის სიხშირის პასუხის შესარჩევად, რომელიც უზრუნველყოფს გამოსახულების აუცილებელ ტრანსფორმაციას. განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული ფილტრების სიხშირის პასუხი.ფურიეს ტრანსფორმაციის კომპლექსური წარმოდგენა.
სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია.
ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაცია.
კონვოლუცია ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით.
სურათების გაფილტვრა სიხშირის დომენში.
სფერული ლინზა
