მანდელბროტმა შესთავაზა ფრაქტალის შემდეგი სავარაუდო განმარტება:

ფრაქტალი არის ნაკრები, რომლის ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება მკაცრად აღემატება მის ტოპოლოგიურ განზომილებას.

ეს განსაზღვრება, თავის მხრივ, მოითხოვს ტერმინების ნაკრების, ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებისა და ტოპოლოგიური განზომილების განმარტებებს, რომელიც ყოველთვის მთელი რიცხვია. ჩვენი მიზნებისთვის, ჩვენ ურჩევნიათ ამ ტერმინების ძალიან ცალსახა განმარტებები და ილუსტრაციული ილუსტრაციები (მარტივი მაგალითების გამოყენებით), ვიდრე იგივე ცნებების უფრო მკაცრი, მაგრამ ფორმალური წარმოდგენა. მანდელბროტმა შეზღუდა თავისი წინასწარი განმარტება შემდეგი განმარტებით

ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს.

ფრაქტალების მკაცრი და სრული განმარტება ჯერ არ არსებობს. ფაქტია, რომ პირველი განმარტება, მთელი მისი სისწორისა და სიზუსტის მიუხედავად, ძალიან შემზღუდველია. ის გამორიცხავს ბევრ ფრაქტალს, რომლებიც ფიზიკაში გვხვდება. მეორე განმარტება შეიცავს არსებით განმასხვავებელ მახასიათებელს, რომელიც ხაზგასმულია ჩვენს წიგნში და დაფიქსირდა ექსპერიმენტში: ფრაქტალი ერთნაირად გამოიყურება, მიუხედავად იმისა, თუ რა მასშტაბის იქნება იგი დაფიქსირებული. აიღეთ სულ მცირე რამდენიმე ლამაზი კუმულუსი ღრუბელი. ისინი შედგებიან უზარმაზარ „კემპუნისაგან“, რომლებზედაც უფრო მცირე ზომის „კემპუნები“ ამოდის, მათზე - კიდევ უფრო ნაკლები „კოხები“ და ა.შ. ყველაზე პატარა მასშტაბამდე, რომლის მოგვარებაც შეგიძლიათ. სინამდვილეში, მხოლოდ ღრუბლების გარეგნობით და დამატებითი ინფორმაციის გარეშე, შეუძლებელია ღრუბლების ზომის დადგენა.

ამ წიგნში განხილული ფრაქტალები შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც სივრცეში ბუდებული წერტილების ერთობლიობა. მაგალითად, წერტილების ერთობლიობას, რომლებიც ქმნიან წრფეს ჩვეულებრივ ევკლიდეს სივრცეში, აქვს ტოპოლოგიური განზომილება და ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება.ევკლიდური სივრცის განზომილება არის ვინაიდან წრფე, მანდელბროტის განმარტებით, ის არ არის ფრაქტალი, რაც ადასტურებს. განმარტების გონივრულობა. ანალოგიურად, წერტილების სიმრავლეს, რომლებიც ქმნიან ზედაპირს c სივრცეში, აქვს ტოპოლოგიური განზომილება.ჩვენ ვხედავთ, რომ ჩვეულებრივი ზედაპირი არ არის ფრაქტალი, რაც არ უნდა რთული იყოს იგი. და ბოლოს, ბურთი, ანუ სრული სფერო აქვს.ეს მაგალითები საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ კომპლექტების ზოგიერთი სახეობა, რომელსაც განვიხილავთ.

ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილების და, შესაბამისად, ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრაში ცენტრალურია სივრცეში წერტილებს შორის მანძილის კონცეფცია. როგორ გავზომოთ "მაგნიტუდა"

აყენებს Y წერტილებს სივრცეში? მოსახვევების სიგრძის, ზედაპირის ფართობის ან სხეულის მოცულობის გასაზომად მარტივი გზაა სივრცის დაყოფა პატარა კუბებად მე-8 კიდით, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 2.5. კუბების ნაცვლად შეიძლება ავიღოთ პატარა სფეროები დიამეტრით 8. თუ პატარა სფეროს ცენტრს კომპლექტის რომელიმე წერტილში მოვათავსებთ, მაშინ ცენტრიდან მოშორებით მდებარე ყველა წერტილი დაიფარება ამ სფეროთი. ჩვენთვის საინტერესო წერტილების სიმრავლის დასაფარად საჭირო სფეროების რაოდენობის დათვლით, ჩვენ ვიღებთ სიმრავლის ზომის საზომს. მრუდი შეიძლება გაიზომოს 8 სიგრძის სწორი ხაზის სეგმენტების რაოდენობის განსაზღვრით, რომელიც საჭიროა მის დასაფარავად. რა თქმა უნდა, ჩვეულებრივი მრუდისთვის, მრუდის სიგრძე განისაზღვრება ზღვრამდე გადასვლით

ლიმიტში, მაგალითი ასიმპტომურად ხდება მრუდის სიგრძის ტოლი და არ არის დამოკიდებული 8-ზე.

ქულების ნაკრები შეიძლება მიენიჭოს ტერიტორიას. მაგალითად, მრუდის ფართობი შეიძლება განისაზღვროს მის დასაფარად საჭირო წრეების ან კვადრატების რაოდენობის მითითებით. თუ არის ამ კვადრატების რაოდენობა და არის თითოეული მათგანის ფართობი, მაშინ მრუდის ფართობი არის

ანალოგიურად, მრუდის მოცულობა V შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მნიშვნელობა

ბრინჯი. 2.5. მრუდის „სიდიდის“ გაზომვა.

რა თქმა უნდა, ჩვეულებრივი მოსახვევებისთვის ქრება ზე, და ინტერესის ერთადერთი საზომი არის მრუდის სიგრძე.

როგორც ადვილი მისახვედრია, ჩვეულებრივი ზედაპირისთვის, მის დასაფარად საჭირო კვადრატების რაოდენობა განისაზღვრება ლიმიტში გამოსახულებით, სადაც არის ზედაპირის ფართობი.

ზედაპირებს შეიძლება მიენიჭოთ მოცულობა, რაც ქმნის კუბების მოცულობის ჯამს, რომელიც საჭიროა ზედაპირის დასაფარავად:

ამ მოცულობით, როგორც მოსალოდნელი იყო, ქრება.

შესაძლებელია თუ არა ზედაპირებს რაიმე სიგრძის მინიჭება? ფორმალურად, ასეთ სიგრძეზე შეგვიძლია ავიღოთ რაოდენობა

რომელიც განსხვავდება ამ შედეგში, ლოგიკურია, რადგან ზედაპირი არ შეიძლება დაფარული იყოს სწორი ხაზის სეგმენტების სასრული რაოდენობით. ჩვენ ვასკვნით, რომ წერტილების სიმრავლის ერთადერთი მნიშვნელოვანი საზომი, რომლებიც ქმნიან ზედაპირს სამგანზომილებიან სივრცეში, არის ფართობი.

ადვილი მისახვედრია, რომ მრუდების ფორმირების წერტილების სიმრავლე შეუძლია

ბრინჯი. 2.6. ზედაპირის "ზომის" გაზომვა.

იყოს ისე ძლიერად დაგრეხილი, რომ მათი სიგრძე აღმოჩნდება უსასრულო და, მართლაც, არის მრუდები (Peano curves), რომლებიც ავსებენ სიბრტყეს. ასევე არის ზედაპირები, რომლებიც ისე უცნაურად არის მოხრილი, რომ ისინი ავსებენ სივრცეს. იმისათვის, რომ შეგვეძლოს გავითვალისწინოთ წერტილების ასეთი უჩვეულო სიმრავლე, სასარგებლოა ჩვენ მიერ შემოღებული სიმრავლის სიდიდის ზომების განზოგადება.

აქამდე, სივრცეში Y წერტილების სიმრავლის ზომის განსაზღვრისას, ჩვენ ვირჩევდით გარკვეული ტესტის ფუნქციას - წრფის სეგმენტი, კვადრატი, წრე, ბურთი ან კუბი - და ვფარავდით სიმრავლეს, ვქმნიდით სწორ ხაზს. სეგმენტები, კვადრატები და კუბურები, წრეებისა და სფეროების გეომეტრიული კოეფიციენტი ჩვენ დავასკვნით, რომ ზოგად შემთხვევაში ზომა უდრის ნულს ან უსასრულობას, რაც დამოკიდებულია საზომის -განზომილების არჩევანზე. სიმრავლის ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება არის კრიტიკული განზომილება, რომლის დროსაც ზომა ცვლის თავის მნიშვნელობას ნულიდან უსასრულობამდე:

ჩვენ ვუწოდებთ კომპლექტის -ზომას. at-ის მნიშვნელობა ხშირად სასრულია, მაგრამ შეიძლება იყოს ნული ან უსასრულობა; მნიშვნელოვანია, რა მნიშვნელობაზე იცვლება რაოდენობა მკვეთრად. გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ მოცემულ განმარტებაში, ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება ჩანს, როგორც ლოკალური თვისება, იმ გაგებით, რომ ეს განზომილება ახასიათებს წერტილების სიმრავლის თვისებებს ლიმიტში 8 საცდელი ფუნქციის 8-ის გაქრობის მცირე დიამეტრით ან ზომით. კომპლექტი. მაშასადამე, ფრაქტალური განზომილება ასევე შეიძლება იყოს ნაკრების ლოკალური მახასიათებელი. სინამდვილეში, აქ არის რამდენიმე დახვეწილი პუნქტი, რომელიც განხილვას იმსახურებს. კერძოდ, ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილების განმარტება შესაძლებელს ხდის დაფაროს ბურთების კომპლექტი არა აუცილებლად ერთი და იგივე ზომის, იმ პირობით, რომ ყველა ბურთის დიამეტრი 8-ზე ნაკლებია. ამ შემთხვევაში, ზომა არის infimum, ანუ, უხეშად რომ ვთქვათ, მინიმალური მნიშვნელობა მიღებული ყველა შესაძლო დაფარვით. მაგალითებისთვის იხილეთ განყოფილება. 5.2. ვისაც აინტერესებს, ფალკონერის წიგნში კითხვის მკაცრი მათემატიკური პრეზენტაცია ექნება.

ფრაქტალების შესავალი

ფრაქტალების თეორიის საფუძვლები

ობიექტების ფრაქტალური მახასიათებლების განსაზღვრის მეთოდები

ბუნების გასაგებად, ადამიანი აშენებს სხვადასხვა გეომეტრიის ობიექტებს. ბუნებაში, ობიექტები გვხვდება სხვადასხვა ზომის - ატომური მასშტაბებიდან სამყარომდე. ნაწილაკების ტრაექტორიების გეომეტრია, ნაკადები ჰიდროდინამიკაში, ტალღები, გემების კორპუსები და სანაპირო ზოლები, პეიზაჟები, მთები, კუნძულები, მდინარეები, მყინვარები და ნალექები, ქანების მარცვლები, ლითონები და კომპოზიტური მასალები, მცენარეები, მწერები და ცოცხალი უჯრედები, აგრეთვე გეომეტრიული კრისტალების სტრუქტურა, ქიმიკატების მოლეკულები და, კერძოდ, ცილები - მოკლედ, ბუნების გეომეტრია ცენტრალურია საბუნებისმეტყველო მეცნიერების სხვადასხვა სფეროში და, შესაბამისად, ადამიანები მიდრეკილნი არიან გეომეტრიული ასპექტების თავისთავად. თითოეული სფეროს წარმომადგენლები ცდილობდნენ შეემუშავებინათ საკუთარი ცნებები, რომლებიც ადაპტირებულია მის საჭიროებებზე (მაგალითად, მორფოლოგია, ოთხგანზომილებიანი სივრცე, ტექსტურა), რომლებიც ინტუიციურად გამოიყენეს ამ კონკრეტულ სფეროში მომუშავე მეცნიერებმა. ტრადიციის მიხედვით, ბუნების გეომეტრიის ინტუიციურ გაგებას საფუძვლად დაედო ევკლიდური ხაზები, წრეები, სფეროები, ტეტრაედრები და ა.შ.

მათემატიკოსებმა ასევე შეიმუშავეს მათემატიკური ცნებები, რომლებიც სცილდებოდა ტრადიციულ გეომეტრიას, თუმცა, წარსულში, ამ ცნებებმა სათანადო ყურადღება არ მიიპყრო საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების წარმომადგენლების მხრიდან ძალიან აბსტრაქტული და "პედანტური" პრეზენტაციის გამო და დაკავშირებული "საფრთხის" შესახებ გაფრთხილების გამო. ამ სახის არატრადიციული გეომეტრიული გამოსახულებების გამოყენებით.

თავისი გასაოცარი და ფუნდამენტური ნაშრომით ბენუა მანდელბროტმა გააღვიძა ზოგადი ინტერესი ფრაქტალის გეომეტრიის მიმართ, კონცეფცია, რომელიც თავად მანდელბროტმა შემოიტანა. კერძოდ, მან მსოფლიოს უამბო იმ ობიექტებზე, რომლებსაც ფრაქტალები უწოდა, ამისთვის პრეზენტაციის ძალიან უჩვეულო ფორმა აირჩია. ბენუა მანდელბროტის წიგნი "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია" არის საყოველთაოდ აღიარებული სტანდარტული საცნობარო წიგნი ფრაქტალებზე, რომელიც შეიცავს როგორც ელემენტარულ ცნებებს, ასევე უჩვეულოდ ფართო სპექტრს ახალ და არავითარ შემთხვევაში ელემენტარულ იდეებს, რომლებიც ახლა იმ ადამიანების ყურადღების ცენტრშია ფრაქტალების გეომეტრია. სინთეტიკური ფრაქტალის პეიზაჟები იმდენად რეალისტურად გამოიყურება, რომ ადამიანების უმეტესობა მათ ბუნებრივში უშვებს. კომპიუტერებისა და კომპიუტერული გრაფიკის გამოჩენამ ბოლო წლებში განაპირობა არატრადიციული გეომეტრიული ობიექტების შესწავლა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების ბევრ სფეროში.

მანდელბროტმა დაწერა უამრავი სამეცნიერო ნაშრომი ადამიანის საქმიანობის ბევრ სფეროში დაფიქსირებული ფენომენების გეომეტრიის შესახებ. მან შეისწავლა ფასების ცვლილებებისა და ხელფასების განაწილების ფრაქტალური გეომეტრია, ზარის შეცდომების სტატისტიკა სატელეფონო სადგურებზე, სიტყვების სიხშირე ბეჭდურ ტექსტებში, სხვადასხვა მათემატიკური ობიექტები და მრავალი სხვა. მანდელბროტმა დაწერა სამი წიგნი ფრაქტალის გეომეტრიაზე, რამაც მისი სპეციალიზებული ნამუშევარი უფრო ხელმისაწვდომი გახადა და ბევრი შთააგონა გამოიყენონ ფრაქტალის გეომეტრია საკუთარი კვლევის სფეროებში.

„ფრაქტალების“ კონცეფციამ დაიპყრო მეცნიერების მრავალი დარგში მომუშავე მეცნიერების წარმოსახვა და ფრაქტალების განხილვის შესახებ ნაშრომები სხვადასხვა პერსპექტივიდან ახლა თითქმის ყოველდღიურად ჩნდება. მანდელბროტის წიგნები გამორჩეულია რამდენიმე თვალსაზრისით. და უპირველეს ყოვლისა, ისინი ინტერდისციპლინურია: ავტორი იკვლევს ხეების, მდინარეების კალაპოტების, ფილტვების გეომეტრიას, აგრეთვე წყლის ზედაპირის დონის ცვლილებებს, ტურბულენტობას, ეკონომიკას, სიტყვების სიხშირეს სხვადასხვა ტექსტებში და მრავალი სხვა. მანდელბროტი ყველა ამ ერთი შეხედვით ჰეტეროგენულ კითხვას თავის გეომეტრიულ იდეებთან აკავშირებს. თავის წიგნებში ის განზრახ გაურბის შესავალს და დასკვნებს, რითაც ხაზს უსვამს მის ღრმა რწმენას, რომ რაც უფრო ფართოვდება ფრაქტალის გეომეტრიის სფეროში მუშაობა, მისი იდეები საშუალებას მისცემს უფრო და უფრო ღრმად გაიაზრონ ბუნების გეომეტრიის არსი. ის გვთავაზობს მხოლოდ „ფრაქტალის“ ცნების სავარაუდო განმარტებას და შემდეგ ნაჩქარევად აცხადებს, რომ მის მიერ შემოთავაზებული განმარტება არ არის საბოლოო! უფრო მეტიც, ის მოგვიანებით უარყოფს თავის განმარტებას. თავის წიგნებში მანდელბროტი ცდილობს დაარწმუნოს მკითხველი, რომ ფრაქტალის გეომეტრია მნიშვნელოვანია ბუნების აღწერისთვის, მაგრამ გაურბის მკითხველს, როდესაც ის ცდილობს თვალყური ადევნოს ავტორის არგუმენტის დეტალებს. მანდელბროტის წიგნების ფურცლებზე მათემატიკური მტკიცებულებები შერეულია ანეგდოტებითა და ისტორიული ინფორმაციით. მის წიგნებში სრულიად განსხვავებული საკითხებია შერეული, რომ მათი გამოყოფა თითქმის შეუძლებელია. მაგრამ, მოთმინებით შეიარაღებული, ცნობისმოყვარე მკითხველი მანდელბროტის წიგნებში აღმოაჩენს შესანიშნავი იდეების უჩვეულოდ ფართო სპექტრს, ღრმა შენიშვნებს და შეძლებს მათგან ნამდვილი შთაგონება გამოიტანოს - ეს წიგნები მართლაც მშვენიერია!

ფერადი ილუსტრაციები ყველაზე ძლიერ შთაბეჭდილებას ახდენს. ისინი ასახავს ფრაქტალ „პლანეტას“, რომელიც ამოდის მისი მთვარის ჰორიზონტზე, მთებზე, ხეობებზე და კუნძულებზე, რომლებიც არასდროს არსებობდა. ეს ილუსტრაციები, შესრულებული R.F. ფოსი, მიღებული ალგორითმების გამოყენებით, რომლებიც უზრუნველყოფენ ლანდშაფტების ფრაქტალურ ბუნებას. ყველა პეიზაჟი ძალიან ბუნებრივად გამოიყურება, როგორც ჩანს, ფრაქტალები რატომღაც იპყრობენ დედამიწის ზედაპირის ტოპოგრაფიის არსს.

"ფრაქტალის" და "ფრაქტალური გეომეტრიის" ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, 80-იანი წლების შუა ხანებიდან, მტკიცედ შევიდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში. სიტყვა fractal მომდინარეობს ლათინური fractus-დან და თარგმანში ნიშნავს "ფრაგმენტებისგან შემდგარს". იგი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო 1875-1925 წლებში ამავე სფეროში მოღვაწე მეცნიერთა (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი და სხვები) ნაშრომების სამეცნიერო შედეგები. მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი მუშაობის გაერთიანება ერთ სისტემაში.

ფრაქტალების ყურადღებას, როგორც ჩანს, რამდენიმე მიზეზი აქვს. ჯერ ერთი, ფრაქტალები ძალიან მარტივია მრავალი ფენომენისა და პროცესის მოდელირებაში, რომლებიც ძნელია განასხვავოთ ბუნებრივისგან. მეორეც, ფრაქტალურ ანალიზში რთული ფორმის პროცესები წარმოდგენილია საკმაოდ მარტივი და ვიზუალური ფორმით, რაც შესაძლებელს ხდის პროცესის შესახებ მეტი ინფორმაციის მოპოვებას.

ამჟამად ფრაქტალები ყველაზე ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გრაფიკასა და კომპიუტერულ სისტემებში ინფორმაციის შეკუმშვისთვის. ისინი სამაშველოში მოდიან, მაგალითად, როდესაც საჭიროა რამდენიმე კოეფიციენტის გამოყენებით ძალიან რთული ფორმის ხაზების და ზედაპირების განსაზღვრა. კომპიუტერული გრაფიკის თვალსაზრისით, ფრაქტალის გეომეტრია შეუცვლელია ხელოვნური ღრუბლების, მთებისა და ზღვის ზედაპირის წარმოქმნისთვის. ფაქტობრივად, იპოვეს გზა, რომლითაც ადვილად წარმოადგენენ რთულ არაევკლიდეს ობიექტებს, რომელთა გამოსახულებები ძალიან ჰგავს ბუნებრივებს.

ფრაქტალი, მანდელბროტის განმარტებით, არის ობიექტი, რომლის განზომილება არ უდრის მის ტოპოლოგიურ განზომილებას და შეუძლია მიიღოს არა მთელი მნიშვნელობები. ამ განზომილებას ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება ან ფრაქტალური განზომილება ეწოდება. მრავალრიცხოვანი კვლევები აჩვენებს, რომ ფრაქტალის გეომეტრია არის ევკლიდეს განზოგადება, რომელიც ეხება მთელ ტოპოლოგიურ განზომილებებს (O - წერტილი, 1 - წრფე, 2 - სიბრტყე, 3 - მოცულობა). ფრაქტალური ობიექტები მოიცავს ყველა ბუნებრივ ობიექტს, მაგალითად, მაგალითად, სანაპირო ზოლი განზომილებით 1,52 (ნორვეგიის სანაპირო ზოლი), ღრუბლები - 2,31, ადამიანის სისხლის მიმოქცევის სისტემა - 2,7 და ა.შ. ამ დროისთვის, არ არსებობს ფრაქციული განზომილების გონივრული ფიზიკური ინტერპრეტაცია, თუმცა მისი შექმნის მცდელობები მიმდინარეობს.

ფრაქტალების მთავარი თვისებაა თვითმსგავსება . უმარტივეს შემთხვევაში, ფრაქტალის მცირე ნაწილი შეიცავს ინფორმაციას მთელი ობიექტის შესახებ, ე.ი. ფრაქტალების ფორმა პრაქტიკულად არ იცვლება რაიმე გადიდებით. მანდელბროტის მიერ მოცემული ფრაქტალის განმარტება ასეთია: „ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს“. პროცესები, რომლებიც წარმოქმნიან საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურები საკმაოდ დიდი ხანია ცნობილია. ეს არის უკუკავშირის პროცესები. , რომელშიც ერთი და იგივე ოპერაცია მეორდება არაერთხელ, ერთი გამეორების შედეგი არის მეორეს საწყისი მნიშვნელობა. მაგრამ აქ ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ შედეგსა და საწყის მნიშვნელობას შორის კავშირი იყო არაწრფივი.ფრაქტალების ერთ-ერთი მკვლევარი იყო გასტონ ჯულია, რომელმაც აღმოაჩინა ჯულიას ნაკრები, რომელიც არის საზღვარი, რომელშიც სხვადასხვა მასშტაბის ერთი და იგივე ფორმა გვხვდება სხვადასხვა ნაწილში.მან დაადგინა ეს შესაძლებელია ნებისმიერი მისი საზღვრის აღდგენა ნაწილები. მას შემდეგ მათემატიკა და ფიზიკა ფართოდ იქნა შესწავლილი საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურები, მათ შორის ფრაქტალები.

ფრაქტალების მთელი მრავალფეროვნება იყოფა გეომეტრიული, ალგებრული და სტოქასტური.

გეომეტრიული ფრაქტალებიყველაზე თვალსაჩინო. თუ გეომეტრიული ფრაქტალები ორგანზომილებიანია, ისინი მიიღება გატეხილი ხაზის (ან ზედაპირის, თუ ფრაქტალები სამგანზომილებიანი) გამოყენებით. სახელწოდებით თესლი ან საწყისი გენერატორი.ალგორითმის ერთ საფეხურზე თითოეული სეგმენტი, რომელიც წარმოადგენს გაწყვეტილ ხაზს, ჩანაცვლებულია გატეხილი ხაზის გენერატორითშესაბამისი მასშტაბით. ამ პროცედურის გაუთავებელი გამეორების შედეგად მიიღება გეომეტრიული ფრაქტალი . სურათებზე 1.1-1.6 ნაჩვენებია ყველაზე ცნობილი გეომეტრიული ფრაქტალები და მათი ორიგინალური გენერატორები.

ბრინჯი. 1.2. კოხის მრუდი (a) და მისი ორიგინალური გენერატორი (b)

ალგებრული ფრაქტალები. ეს არის ფრაქტალების ყველაზე დიდი ჯგუფი. ისინი მიიღება არაწრფივი პროცესების გამოყენებით n-განზომილებიან სივრცეებში. ორგანზომილებიანი პროცესები ყველაზე შესწავლილია. არაწრფივი განმეორებითი პროცესის დისკრეტულ დინამიკურ სისტემად ინტერპრეტაციისას, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ სისტემების თეორიის ტერმინოლოგია: ფაზური პორტრეტი, სტაბილური მდგომარეობის პროცესი, მიმზიდველი და ა.შ. ცნობილია, რომ არაწრფივი დინამიკური სისტემების რამდენიმე სტაბილური მდგომარეობაა. მდგომარეობა, რომელშიც დინამიური სისტემა იმყოფება გარკვეული რაოდენობის გამეორებების შემდეგ, დამოკიდებულია მის საწყის მდგომარეობაზე. მაშასადამე, თითოეულ სტაბილურ მდგომარეობას (ან, როგორც ამბობენ, მიმზიდველს) აქვს საწყისი მდგომარეობების გარკვეული რეგიონი, საიდანაც სისტემა აუცილებლად მოხვდება განხილულ საბოლოო მდგომარეობებში. ამრიგად, სისტემის ფაზური სივრცე დაყოფილია მიზიდულობის მიზიდულობის რეგიონებად. თუ ფაზის სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ მიზიდულობის უბნების სხვადასხვა ფერებით შეღებვით, შეიძლება მივიღოთ სისტემის ფერადი ფაზის პორტრეტი (იტერატიული პროცესი). ფერის შერჩევის ალგორითმის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რთული ფრაქტალის ნიმუშები ლამაზი მრავალფეროვანი ნიმუშებით. მათემატიკოსებისთვის სიურპრიზი იყო პრიმიტიული ალგორითმების გამოყენებით ძალიან რთული არატრივიალური სტრუქტურების გენერირების შესაძლებლობა. ფრაქტალების ამ კლასის ტიპიური წარმომადგენლები არიან ჯულიას ნაკრები (ნახ. 1.7) და მანდელბროტის ნაკრები (ნახ. 1.8).

სტოქასტური ფრაქტალებიმიიღება თუ მისი რომელიმე პარამეტრი შემთხვევით იცვლება განმეორებით პროცესში. ეს იწვევს ბუნებრივ მსგავს ობიექტებს: ასიმეტრიული ხეები, ჩაღრმავებული სანაპირო ზოლები და ა.შ. ორგანზომილებიანი სტოქასტური ფრაქტალები გამოიყენება რელიეფის და ზღვის ზედაპირის მოდელირებისას.

არსებობს ფრაქტალების სხვა კლასიფიკაცია, მაგალითად, ფრაქტალების დაყოფა დეტერმინისტებად (ალგებრულ და გეომეტრიულ) და არადეტერმინისტებად (სტოქასტურად).

ტესტის კითხვები

1. ვინ და როდის შემოიტანა ცნებები „ფრაქტალი“ და „ფრაქტალური გეომეტრია“?

2. რას ნიშნავს სიტყვა „ფრაქტალი“?

3. რატომ იპოვეს ფრაქტალებმა მათი გამოყენება ადამიანის საქმიანობაში?

4. რა არის ფრაქტალების ძირითადი თვისება?

5. რა კლასებად იყოფა ფრაქტალები?

6. როგორ იქმნება გეომეტრიული ფრაქტალები?

7. როგორია გეომეტრიული ფრაქტალების საწყისი გენერატორი?

8. გეომეტრიული ფრაქტალების მაგალითები.

9. როგორ იქმნება ალგებრული ფრაქტალები?

10. რა არის მიმზიდველი?

11. ალგებრული ფრაქტალების მაგალითები.

12. როგორ იქმნება სტოქასტური ფრაქტალები?

13. სტოქასტური ფრაქტალების მაგალითები.

იმის გასაგებად, თუ რა არის ფრაქტალური განზომილება, მაგალითად, განვიხილოთ ნორვეგიის სანაპირო ზოლი (ნახ. 1.9).

რა არის მისი სიგრძე? რუკის მასშტაბით კარგად ჩანს დასავლეთ სანაპიროზე ღრმა ფიორდები. სანაპიროზე სეირნობისას, დროდადრო შეგიძლიათ შეხვდეთ კლდეებს, კუნძულებს, ყურეებსა და კლდეებს, რომლებიც ერთმანეთის მსგავსია, თუნდაც ისინი არ იყოს მითითებული ყველაზე დეტალურ რუქებზე. დასმულ კითხვაზე პასუხის გაცემამდე აუცილებელია გადაწყვიტოს, შეიტანოს თუ არა კუნძულები სანაპირო ზოლში. რაც შეეხება მდინარეებს? სად წყვეტს ფიორდი ფიორდობას და ზუსტად სად იქცევა მდინარედ? ამ კითხვებზე პასუხის გაცემა ხან ადვილია, ხან არა. მაგრამ მაშინაც კი, თუ ჩვენ შეგვიძლია დამაკმაყოფილებელი პასუხის გაცემა ყველა ამ ტიპის კითხვაზე, ერთი სირთულე მაინც რჩება. ფაქტია, რომ სანაპირო ზოლის სიგრძის გაზომვისას, კომპასს შეიძლება მიეცეს კმ-ის შესაბამისი გამოსავალი და დაითვალოს იმ ნაბიჯების რაოდენობა, რომლებიც საჭირო იქნება რუქის გასავლელად მთელი სანაპიროდან ბოლოდან ბოლომდე.

საჩქაროდ, შეიძლება აირჩიო კომპასის გახსნა იმდენად დიდი, რომ საჭირო არ იქნებოდა ყველაზე ღრმა ფიორდებზე ზრუნვა და სანაპირო ზოლის სიგრძის ღირებულების აღება. თუ ასეთი შეფასება არ დააკმაყოფილებს, მაშინ შეგიძლიათ აირჩიოთ ოდნავ პატარა კომპასის გამოსავალი და გაიმეოროთ ყველაფერი თავიდან. ამჯერად სანაპირო ზოლის სიგრძე მოიცავს ყველაზე ღრმა ფიორდებს. სანაპირო ზოლის სიგრძის კიდევ უფრო ზუსტად გამოსათვლელად საჭირო იქნება უფრო ზუსტი რუქები. ნათელია, რომ ასეთი კითხვების გადაჭრისას, დახვეწა შეიძლება დაუსრულებლად შემოვიდეს. როდესაც გარჩევადობას გავზრდით, სანაპირო ზოლის სიგრძე გაიზრდება. გარდა ამისა, კომპასის გამოყენებისას პრობლემები შეექმნება კუნძულებსა და მდინარეებს. სანაპირო ზოლის სიგრძის გაზომვის ალტერნატიული გზაა რუქის ბადით დაფარვა, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე 1.9-ზე. დაე, კვადრატული ბადის უჯრედებს ჰქონდეს ზომები. რუკაზე სანაპირო ზოლის დასაფარად საჭირო ასეთი უჯრედების რაოდენობა დაახლოებით უდრის იმ ნაბიჯების რაოდენობას, რომლითაც შეგიძლიათ რუკაზე სანაპირო ზოლის გარშემო გადაადგილება კომპასით ხსნარით. შემცირება იწვევს სანაპირო ზოლის დასაფარად საჭირო უჯრედების რაოდენობის ზრდას. თუ ნორვეგიის სანაპირო ზოლს ჰქონდა კარგად განსაზღვრული სიგრძე, მაშინ უნდა ველოდოთ, რომ კომპასის საფეხურების რაოდენობა ან კვადრატული უჯრედების რაოდენობა, რომელიც საჭიროა სანაპირო ზოლის დასაფარად რუკაზე, უკუპროპორციული იქნება და მნიშვნელობა როგორც მცირდება, ის მიდრეკილია მუდმივობისკენ. თუმცა, ეს ასე არ არის.

სურათი 1.11 ასახავს გრაფიკს (მონდელბროტის წიგნიდან მიღებული მონაცემები რა არის ბრიტანეთის სანაპირო ზოლის სიგრძე?), რომელიც აჩვენებს სანაპირო ზოლის აშკარა სიგრძეს და სახმელეთო საზღვრებს. ყველა წერტილი გასწორებულია (ორმაგად ლოგარითმული მასშტაბით) სწორი ხაზების გასწვრივ. ამ ხაზების დახრილობა უდრის 1 - D სადაც D არის სანაპირო ზოლის (ან მიწის საზღვრის) ფრაქტალური განზომილება. დიდი ბრიტანეთის სანაპირო ზოლს აქვს D~ 1.3. მანდელბროტი ასევე იძლევა წრის მონაცემებს და აღმოაჩენს, რომ .

ტესტის კითხვები:

1. რა არის ობიექტის განზომილება?

2. რა არის ტოპოლოგიური განზომილება?

3. როგორ განისაზღვრება ბუნებრივი ობიექტების ფრაქტალური განზომილება?

4. რა არის წრის ფრაქტალური და ტოპოლოგიური ზომები,
წრე, კვადრატი, სფერო და ბურთი?

5. როგორია სანაპირო ზოლის ტოპოლოგიური განზომილება?

ხშირად ისმის საუბარი ფორექსის ბაზარზე სხვადასხვა ვალუტას შორის კავშირზე.

მთავარი დისკუსია ამ შემთხვევაში, როგორც წესი, მოდის ფუნდამენტურ ფაქტორებზე, პრაქტიკულ გამოცდილებაზე ან უბრალოდ სპეკულაციებზე, რომლებიც გამოწვეულია მომხსენებლის პირადი სტერეოტიპებით. როგორც უკიდურეს შემთხვევაში, არსებობს ჰიპოთეზა ერთი ან რამდენიმე „მსოფლიო“ ვალუტის შესახებ, რომელიც „იზიდავს“ ყველა დანარჩენს.

მართლაც, რა კავშირია სხვადასხვა ციტატას შორის? კოორდინირებულად მოძრაობენ თუ ინფორმაცია ერთი ვალუტის მოძრაობის მიმართულებაზე არაფერს იტყვის მეორის მოძრაობაზე? ეს სტატია ცდილობს გაიგოს ეს საკითხი არაწრფივი დინამიკისა და ფრაქტალის გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით.

1. თეორიული ნაწილი

1.1. დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ცვლადები

განვიხილოთ ორი ცვლადი (ბრჭყალები) x და y. დროის ნებისმიერ მომენტში, ამ ცვლადების მყისიერი მნიშვნელობები განსაზღვრავს წერტილს XY სიბრტყეზე (სურათი 1). წერტილის მოძრაობა დროთა განმავლობაში აყალიბებს ტრაექტორიას. ამ ტრაექტორიის ფორმა და ტიპი განისაზღვრება ცვლადებს შორის ურთიერთობის ტიპის მიხედვით.

მაგალითად, თუ x ცვლადი არანაირად არ არის დაკავშირებული y ცვლადთან, მაშინ ვერ დავინახავთ რაიმე რეგულარულ სტრუქტურას: საკმარისი რაოდენობის პუნქტებით ისინი თანაბრად შეავსებენ XY სიბრტყეს (ნახ. 2).

თუ არსებობს კავშირი x-სა და y-ს შორის, მაშინ გამოჩნდება გარკვეული რეგულარული სტრუქტურა: უმარტივეს შემთხვევაში, ეს იქნება მრუდი (ნახ. 3).

სურათი 3. კორელაციების არსებობა- მრუდი

თუმცა შეიძლება არსებობდეს უფრო რთული სტრუქტურა (სურ. 4).

იგივე ეხება სამგანზომილებიან ან უფრო განზომილებიან სივრცეს: თუ არსებობს კავშირი ან დამოკიდებულება ყველა ცვლადს შორის, მაშინ წერტილები შექმნიან მრუდს (ნახ. 5), თუ ნაკრებში ორი დამოუკიდებელი ცვლადია, მაშინ წერტილები ქმნიან ზედაპირს (სურ. 6), თუ სამი - მაშინ წერტილები შეავსებენ სამგანზომილებიან სივრცეს და ა.შ.

თუ ცვლადებს შორის კავშირი არ არის, მაშინ წერტილები თანაბრად გადანაწილდება ყველა ხელმისაწვდომ ზომაზე (ნახ. 7). ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიმსჯელოთ ცვლადებს შორის ურთიერთობის ბუნებაზე იმის დადგენით, თუ როგორ ავსებენ წერტილები სივრცეს.

უფრო მეტიც, მიღებული სტრუქტურის ფორმას (ხაზები, ზედაპირები, სამგანზომილებიანი ფიგურები და ა.შ.), ამ შემთხვევაში, მნიშვნელობა არ აქვს.

Მნიშვნელოვანი ფრაქტალური განზომილებაეს სტრუქტურა: ხაზს აქვს განზომილება 1, ზედაპირს აქვს განზომილება 2, მოცულობის სტრუქტურას აქვს განზომილება 3 და ა.შ. ჩვეულებრივ შეიძლება ჩაითვალოს, რომ ფრაქტალის განზომილების მნიშვნელობა შეესაბამება მონაცემთა ნაკრების დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობას.

ჩვენ ასევე შეგვიძლია შევხვდეთ წილადის განზომილებას, მაგალითად, 1.61 ან 2.68. ეს შეიძლება მოხდეს, თუ მიღებული სტრუქტურა არის ფრაქტალი- თვითმსგავსი ნაკრები არა მთელი განზომილებით. ფრაქტალის მაგალითი ნაჩვენებია სურათზე 8, მისი განზომილება დაახლოებით უდრის 1,89-ს, ე.ი. ის აღარ არის ხაზი (განზომილება 1), მაგრამ ჯერ არ არის ზედაპირი (განზომილება 2).

ფრაქტალის განზომილება შეიძლება იყოს განსხვავებული ერთი და იმავე ნაკრებისთვის სხვადასხვა მასშტაბებზე.

მაგალითად, თუ დააკვირდებით მე-9 სურათზე გამოსახულ ნაკრებს „შორიდან“, ნათლად დაინახავთ, რომ ეს არის ხაზი, ე.ი. ამ ნაკრების ფრაქტალური განზომილება უდრის ერთს. თუ გადავხედავთ ერთსა და იმავე კომპლექტს „მახლობლად“, დავინახავთ, რომ ეს საერთოდ არ არის ხაზი, არამედ „ბუნდოვანი მილი“ - წერტილები არ ქმნიან მკაფიო ხაზს, მაგრამ შემთხვევით გროვდება მის გარშემო. ამ „მილის“ ფრაქტალური განზომილება უნდა იყოს იმ სივრცის განზომილების ტოლი, რომელშიც განვიხილავთ ჩვენს სტრუქტურას, რადგან "მილის" წერტილები თანაბრად შეავსებს ყველა შესაძლო ზომას.

ფრაქტალის განზომილების გაზრდა მცირე მასშტაბებზე შესაძლებელს ხდის განვსაზღვროთ ზომა, რომლითაც ცვლადებს შორის კავშირი ხდება შეუდარებელი სისტემაში არსებული შემთხვევითი ხმაურის გამო.

სურათი 9. ფრაქტალის "მილის" მაგალითი

1.2. ფრაქტალური განზომილების განმარტება

ფრაქტალის განზომილების დასადგენად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ყუთების დათვლის ალგორითმი, რომელიც დაფუძნებულია ნაკრების წერტილების შემცველი კუბების რაოდენობის დამოკიდებულების შესწავლაზე კუბის კიდეზე (აქ სულაც არ ვგულისხმობთ სამგანზომილებიანს კუბურები: ერთგანზომილებიან სივრცეში „კუბი“ იქნება სეგმენტი, ორგანზომილებიან სივრცეში – კვადრატი და ა.შ. დ.).

თეორიულად, ამ დამოკიდებულებას აქვს ფორმა N(ε)~1/ε D, სადაც D არის სიმრავლის ფრაქტალური განზომილება, ε არის კუბის კიდის ზომა, N(ε) არის კუბების რაოდენობა, რომლებიც შეიცავს წერტილებს. კომპლექტი ε კუბის ზომით. ეს საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ფრაქტალის განზომილება

ალგორითმის დეტალების გარეშე, მისი მოქმედება შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგნაირად:

შესასწავლი წერტილების სიმრავლე იყოფა ε ზომის კუბებად და დათვლილია N კუბების რაოდენობა, რომელიც შეიცავს კომპლექტის მინიმუმ ერთ წერტილს.

განსხვავებული ε-სთვის განისაზღვრება N-ის შესაბამისი მნიშვნელობა, ე.ი. მონაცემები გროვდება N(ε) დამოკიდებულების გამოსათვლელად.

დამოკიდებულება N(ε) აგებულია ორმაგ ლოგარითმულ კოორდინატებში და განისაზღვრება მისი დახრის კუთხე, რომელიც იქნება ფრაქტალის განზომილების მნიშვნელობა.

მაგალითად, სურათი 10 გვიჩვენებს ორ კომპლექტს: ბრტყელი ფიგურა (a) და ხაზი (b). უჯრედები, რომლებიც შეიცავს დაყენებულ წერტილებს, ნაცრისფერია. სხვადასხვა ზომის უჯრედების "ნაცრისფერი" უჯრედების რაოდენობის დათვლით, ვიღებთ 11-ზე გამოსახულ დამოკიდებულებებს. ამ დამოკიდებულებების მიახლოებითი წრფეების დახრილობის განსაზღვრისას ვპოულობთ ფრაქტალის ზომებს: Dа≈2, Db≈1.

პრაქტიკაში, ფრაქტალის განზომილების დასადგენად, ჩვეულებრივ გამოიყენება არა ყუთების დათვლა, არამედ Grassberg-Procaccia ალგორითმი, რადგან ის იძლევა უფრო ზუსტ შედეგებს მაღალგანზომილებიან სივრცეებში. ალგორითმის იდეა არის დამოკიდებულების მიღება C(ε) - სიმრავლის ორი წერტილის ალბათობა უჯრედის ზომაზე ე ზომის უჯრედში მოხვდება და ამ დამოკიდებულების ხაზოვანი მონაკვეთის დახრილობის დადგენა.

სამწუხაროდ, განზომილების განსაზღვრის ყველა ასპექტის განხილვა შეუძლებელია ამ სტატიის ფარგლებში. სურვილის შემთხვევაში, შეგიძლიათ იპოვოთ საჭირო ინფორმაცია სპეციალიზებულ ლიტერატურაში.

1.3. ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრის მაგალითი

იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ შემოთავაზებული ტექნიკა მუშაობს, შევეცადოთ განვსაზღვროთ ხმაურის დონე და დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობა ნახაზზე 9-ში ნაჩვენები ნაკრებისთვის. ეს სამგანზომილებიანი ნაკრები შედგება 3000 წერტილისგან და არის ხაზი (ერთი დამოუკიდებელი ცვლადი) ხმაურით. მასზე დადგმული. ხმაურს აქვს ნორმალური განაწილება RMS ტოლია 0.01.

სურათი 12 გვიჩვენებს C(ε) დამოკიდებულებას ლოგარითმულ შკალაზე. მასზე ვხედავთ ორ წრფივ მონაკვეთს, რომლებიც იკვეთება ε≈2 -4,6 ≈0,04. პირველი ხაზის დახრილობა არის ≈2.6, ხოლო მეორეს ≈1.0.

მიღებული შედეგები ნიშნავს, რომ სატესტო კომპლექტს აქვს ერთი დამოუკიდებელი ცვლადი 0.0-ზე მეტი მასშტაბით და "თითქმის სამი" დამოუკიდებელი ცვლადი ან 0.04-ზე ნაკლები მასშტაბის ალიასის ხმაური. ეს კარგად ემთხვევა თავდაპირველ მონაცემებს: „სამი სიგმის“ წესის მიხედვით, ქულების 99.7% ქმნის „მილს“ დიამეტრით 2*3*0.01≈0.06.

სურათი 12. დამოკიდებულება C(e) ლოგარითმულ შკალაზე

2. პრაქტიკული ნაწილი

2.1. საწყისი მონაცემები

ფორექსის ბაზრის ფრაქტალური თვისებების შესასწავლად გამოყენებული იქნა საჯაროდ ხელმისაწვდომი მონაცემები,2000 წლიდან 2009 წლამდე პერიოდის ჩათვლით. კვლევა ჩატარდა შვიდი ძირითადი სავალუტო წყვილის დახურვის ფასებზე: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. განხორციელება

ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრის ალგორითმები დანერგილია როგორც MATLAB გარემოს ფუნქციები, პროფესორ მაიკლ სმოლის (Dr Michael Small) განვითარებაზე დაფუძნებული ). ფუნქციები გამოყენების მაგალითებით ხელმისაწვდომია ამ სტატიას თანდართული frac.rar არქივში.

გამოთვლების დასაჩქარებლად ყველაზე შრომატევადი ნაბიჯი შესრულებულია C ენაზე. სანამ შეძლებთ მის გამოყენებას, თქვენ უნდა შეადგინოთ C-ფუნქცია "interbin.c" MATLAB ბრძანების "mex interbin.c" გამოყენებით.

2.3. კვლევის შედეგები

სურათი 13 გვიჩვენებს EURUSD-ისა და GBPUSD-ის კოტირების ერთობლივ მოძრაობას 2000 წლიდან 2010 წლამდე. თავად ციტატის მნიშვნელობები ნაჩვენებია სურათებში 14 და 15.

13-ზე ნაჩვენები ნაკრების ფრაქტალური განზომილება არის დაახლოებით 1.7 (სურათი 16). ეს ნიშნავს, რომ მოძრაობა EURUSD + GBPUSD არ ქმნის „სუფთა“ შემთხვევით სიარულს, წინააღმდეგ შემთხვევაში განზომილება იქნება 2-ის ტოლი (შემთხვევითი სიარულის განზომილება, ორ ან მეტ განზომილებიან სივრცეებში, ყოველთვის უდრის 2-ს).

მიუხედავად ამისა, იმის გამო, რომ კოტირების მოძრაობა ძალიან ჰგავს შემთხვევით სიარულს, ჩვენ არ შეგვიძლია უშუალოდ შევისწავლოთ კოტირების მნიშვნელობები - როდესაც ახალი ვალუტის წყვილი ემატება, ფრაქტალის განზომილება ოდნავ იცვლება (ცხრილი 1) და დასკვნების გაკეთება შეუძლებელია.

ცხრილი 1. განზომილების ცვლილება ვალუტების რაოდენობის ზრდით

უფრო საინტერესო შედეგების მისაღებად, თქვენ უნდა გადახვიდეთ თავად ციტატებიდან მათ ცვლილებებზე.

ცხრილი 2 გვიჩვენებს განზომილების მნიშვნელობებს ნამატების სხვადასხვა ინტერვალებისთვის და სავალუტო წყვილების სხვადასხვა რაოდენობისთვის.

	თარიღები	ქულების რაოდენობა	EURUSD GBPUSD	+ USDJPY	+ USDUSD	+ USDCHF	+ USDCAD	+ NZDUSD
M5	2008 წლის 14 აგვისტო - 2009 წლის 31 დეკემბერი	100000	1.9	2.8	3.7	4.4	5.3	6.2
M15	18 ნოე 2005 - 31 დეკემბერი 2009 წ	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.9	6.7
M30	2001 წლის 16 ნოემბერი - 2009 წლის 31 დეკემბერი	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.7	6.8
H1	03 იანვარი 2000 - 31 დეკემბერი 2009 წ	61765	2	2.9	3.8	4.6	5.6	6.5
H4	03 იანვარი 2000 - 31 დეკემბერი 2009 წ	15558	2	3	4	4.8	5.9	6.3
D1	03 იანვარი 2000 - 31 დეკემბერი 2009 წ	2601	2	3	4	5.1	5.7	6.5

ცხრილი 2. განზომილების ცვლილება მატების სხვადასხვა ინტერვალებით

თუ ვალუტები ურთიერთდაკავშირებულია, მაშინ ყოველი ახალი სავალუტო წყვილის დამატებით, ფრაქტალის განზომილება სულ უფრო და უფრო უნდა გაიზარდოს და, შედეგად, გადაიზარდოს გარკვეულ მნიშვნელობამდე, რომელიც აჩვენებს "თავისუფალი ცვლადების" რაოდენობას სავალუტო ბაზარზე. .

ასევე, თუ ვივარაუდებთ, რომ „ბაზრის ხმაური“ ზედმეტად არის დაყენებული ციტატებზე, მაშინ მცირე ინტერვალებით (M5, M15, M30) შესაძლებელია ყველა არსებული გაზომვის ხმაურით შევსება და ეს ეფექტი უნდა შესუსტდეს დიდ ვადებში, „გამოაშკარავდეს“ დამოკიდებულებები ბრჭყალებს შორის (ისევე როგორც ტესტის მაგალითში).

როგორც მე-2 ცხრილიდან ჩანს, ეს ჰიპოთეზა არ დადასტურდა რეალური მონაცემებით: ყველა ვადებში, ნაკრები ავსებს ყველა არსებულ გაზომვას, ე.ი. ყველა ვალუტა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია.

ეს გარკვეულწილად ეწინააღმდეგება ინტუიციურ შეხედულებებს ვალუტების კავშირის შესახებ. როგორც ჩანს, ახლო ვალუტები, როგორიცაა GBP და CHF ან AUD და NZD, უნდა აჩვენონ მსგავსი დინამიკა. მაგალითად, სურათი 17 გვიჩვენებს NZDUSD მატების დამოკიდებულებას AUDUSD-ზე ხუთწუთიანი (კორელაციის კოეფიციენტი 0.54) და ყოველდღიური (კორელაციის კოეფიციენტი 0.84) ინტერვალებით.

სურათი 17. NZDUSD მატების დამოკიდებულება AUDUSD-ზე M5 (0.54) და D1 (0.84) ინტერვალებისთვის

ამ ფიგურიდან ჩანს, რომ ინტერვალის მატებასთან ერთად დამოკიდებულება უფრო და უფრო იჭიმება დიაგონალზე და იზრდება კორელაციის კოეფიციენტი. მაგრამ, ფრაქტალური განზომილების „თვალსაზრისით“, ხმაურის დონე ძალიან მაღალია იმისთვის, რომ ეს დამოკიდებულება ერთგანზომილებიან ხაზად მივიჩნიოთ. შესაძლოა, უფრო გრძელი ინტერვალებით (კვირები, თვეები) ფრაქტალის ზომები გარკვეულ მნიშვნელობამდე გადაიყრება, მაგრამ ამის გადამოწმების გზა არ გვაქვს - განზომილების დასადგენად ძალიან ცოტა პუნქტია.

დასკვნა

რა თქმა უნდა, უფრო საინტერესო იქნებოდა ვალუტების მოძრაობის შემცირება ერთ ან რამდენიმე დამოუკიდებელ ცვლადზე - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს ბაზრის მიმზიდველის აღდგენისა და კვოტების პროგნოზირების ამოცანას. მაგრამ ბაზარი განსხვავებულ შედეგს აჩვენებს: დამოკიდებულებები სუსტად არის გამოხატული და "კარგად იმალება" ბევრ ხმაურში. ამ მხრივ ბაზარი ძალიან ეფექტურია.

არაწრფივი დინამიკის მეთოდები, რომლებიც თანმიმდევრულად აჩვენებს კარგ შედეგებს სხვა სფეროებში: მედიცინა, ფიზიკა, ქიმია, ბიოლოგია და ა.

მიღებული შედეგები არ გვაძლევს საშუალებას ცალსახად განვაცხადოთ ვალუტებს შორის ურთიერთობის არსებობა ან არარსებობა. შეგვიძლია მხოლოდ ვთქვათ, რომ განხილულ ვადებში ხმაურის დონე შედარებულია კავშირის „სიძლიერესთან“, ამიტომ ვალუტებს შორის კავშირის საკითხი ღია რჩება.

თქვენი კარგი სამუშაოს გაგზავნა ცოდნის ბაზაში მარტივია. გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული ფორმა

სტუდენტები, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობლები იქნებიან თქვენი.

მასპინძლობს http://www.allbest.ru/

ტესტი

ფრაქტალური ზედაპირების განზომილება

1. განზომილების შესავალი

3. ბუნებრივი ფრაქტალები

6. ფრაქტალური განზომილება

7. მსგავსება და მასშტაბირება

9. ჰურსტის მაჩვენებელი

ბიბლიოგრაფია

1. განზომილების შესავალი

ტექნოლოგიური ზედაპირის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, სტანდარტული უხეშობის პარამეტრებთან ერთად, არის ფრაქტალური განზომილება. განვიხილოთ ზედაპირის ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრის ერთ-ერთი მეთოდი „პერიმეტრი-ფართის“ თანაფარდობით.

როგორც ცნობილია, წერტილის ევკლიდური განზომილებაა DE=d=0. მოდით ვიპოვოთ გეომეტრიული ფიგურების განზომილება, მაგალითად ავიღოთ ბურთის დიამეტრული მონაკვეთი r რადიუსით:

სიგრძე (დიამეტრი) L=2r (L=Vd=1),

სექციური ფართობი A=r2 (A=Vd=2),

ბურთის მოცულობა V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

ეს ცნობილი გაზომილი რაოდენობები შეიძლება განისაზღვროს ზოგადი ფორმულით

სად G(x)? გამა ფუნქცია ტოლია

თუ n? მთელი რიცხვი, მაშინ

n=0,1,2,…

2. გეომეტრიული ობიექტების განზომილება

ფრაქტალის ობიექტის განზომილება განისაზღვრება ფრაქტალის კონცეფციის საფუძველზე. ფრაქტალი არის ნაკრები, რომლის ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება მკაცრად აღემატება ტოპოლოგიურ განზომილებას. ფრაქტალს აქვს წილადი განზომილება.

ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ფრაქტალის მრუდი მიიღება ზოგიერთი გატეხილი ხაზის (ან ზედაპირის სამგანზომილებიან შემთხვევაში) გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება გენერატორი. ალგორითმის ერთ საფეხურში თითოეული სეგმენტი, რომელიც ქმნიან გაწყვეტილ ხაზს, იცვლება გატეხილი ხაზით - გენერატორით, შესაბამისი მასშტაბით. ამ პროცედურის გაუთავებელი გამეორების შედეგად მიიღება გეომეტრიული ფრაქტალი.

განვიხილოთ ერთ-ერთი ასეთი ფრაქტალური ობიექტი - ტრიადული კოხის მრუდი. მრუდის აგება იწყება ერთეული სიგრძის სეგმენტით (ნახ. 1). ეს არის მრუდის მე-0 თაობა.

ბრინჯი. 1. კოხის მრუდის აგების პროცედურა

გარდა ამისა, თითოეული ბმული (ერთი სეგმენტი ნულოვანი გენერაციის დროს) იცვლება გენერატორი ელემენტით, რომელიც აღინიშნება n=1-ით. ასეთი ჩანაცვლების შედეგად მიიღება კოხის მრუდის შემდეგი თაობა. პირველ თაობაში ეს არის ოთხი სწორი რგოლის მრუდი, თითოეული სიგრძით 1/

მე -3 თაობის მისაღებად, იგივე მოქმედებები ხორციელდება: თითოეული ბმული იცვლება შემცირებული ფორმირების ელემენტით. ასე რომ, ყოველი მომდევნო თაობის მისაღებად, წინა თაობის ყველა ბმული უნდა შეიცვალოს შემცირებული ფორმირების ელემენტით.

კოხის მრუდი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს. ასეთ გეომეტრიულ ობიექტებს მოიხსენიებენ როგორც თვითმსგავს ობიექტებს. ეს ნიშნავს, რომ მასშტაბების ფართო დიაპაზონში, ტოპოგრაფიული მახასიათებლები და ობიექტების გამეორება იგივეა.

ასე რომ, კოხის მრუდისთვის, ვირჩევთ ფრაგმენტს, რომელიც ტოლია წრფის სეგმენტის 1/3-ის, სიგრძით ერთის ტოლი, და გავზრდით მას სამჯერ, მივიღებთ თავდაპირველ სეგმენტს ერთის ტოლი. ასეთ ობიექტებს აქვთ სკალირება, ანუ საზომი მასშტაბი.

ნახ. 1 გვიჩვენებს მრუდის სამ თაობას. თუ საფუძვლად ავიღებთ არა სწორ ხაზს, არამედ სამკუთხედს და გამოვიყენებთ ერთსა და იმავე ალგორითმს თითოეული მხარისთვის, მაშინ მივიღებთ ფრაქტალს, რომელსაც ეწოდება კოხის ფიფქი (კუნძული) (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2. კუნძული („ფიფქი“) კოხ

შემდეგი თაობების აგებისას სრულდება წესი: მარცხნივ პირველივე ბმული ჩანაცვლებულია გენერირების ელემენტით ისე, რომ რგოლის შუა გადაადგილდეს მოძრაობის მიმართულების მარცხნივ, ხოლო შემდეგი ბმულების ჩანაცვლებისას მიმართულებები. სეგმენტების შუა წერტილების გადაადგილება უნდა იცვლებოდეს. ნახ. 2 გვიჩვენებს მრუდის პირველ თაობებს, რომლებიც აგებულია აღწერილი პრინციპის მიხედვით.

შემზღუდველ ფრაქტალ მრუდს (n > ?-სთვის) ჰარტერ-ჰატევეის „დრაკონი“ ეწოდება (ნახ. 3). ნახ. 4-ზე ნაჩვენებია პოლონელი მათემატიკოსის სიერპინსკის „ხალიჩა“.

ბრინჯი. 3. „დრაკონის“ „ჰარტერ-ჰატევეის“ აგების პროცედურა

ბრინჯი. 4. სიერპინსკის "ხალიჩის" მშენებლობა.

3. ბუნებრივი ფრაქტალები

ღრუბლებს, მთებს, ბუჩქებს, ხეებს და სხვა მცენარეებს ასევე აქვთ ფრაქტალური სტრუქტურა. განვიხილოთ ბუჩქის ზრდის პროცესი (ნახ. 5). ჯერ გაჩნდა ტოტი, შემდეგ გამოუშვა ორი ყლორტი, შემდეგ ეტაპზე ყოველი გასროლა ისევ ჩანგალი ხდება, შემდეგ ეტაპზეც იგივე ხდება და შედეგად თავდაპირველი „ჩანგალიდან“ ამოდის უცნაური თვითმსგავსი მცენარე. ორი გასროლა.

ბრინჯი. 5. ბუშის მოდელი

იგი მიღებული იყო ორიგინალური სტანდარტის განმეორებით გამეორებით (n=1). ნახ. 5 და 6 სურათებზე ნაჩვენებია ბუნებრივი წარმონაქმნების მსგავსი ფრაქტალური ობიექტების აგების მაგალითები (ნახ. 7).

ბრინჯი. 6. ფრაქტალის ობიექტის აგება

ბრინჯი. 7. ბუნებრივი ფრაქტალური ობიექტები:

ა - თირკმლის მთამსვლელი; ბ? მუხა; ში? კუდვიდი; გ - ცხენის კუდი

4. ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება

ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილების შესაფასებლად, განიხილეთ წერტილების სიმრავლის გაზომვა? მეტრულ სივრცეში (სურ. 8).

ბრინჯი. 8. ქულები მეტრულ სივრცეში

მოდით გავყოთ სივრცე კვადრატულ უჯრედებად, უჯრედის გვერდითი ზომით q და დავთვალოთ უჯრედების რაოდენობა, რომლებიც ფარავს ამ კომპლექტს. უჯრედის ზომის შემცირება იწვევს უჯრედების რაოდენობის ზრდას, რომლებიც მოიცავს კომპლექტს. თითოეულ უჯრედს აქვს ფართობი q2, შემდეგ ნაკრების ფართობი

სადაც N(q) არის უჯრედების რაოდენობა, რომელიც ფარავს კომპლექტს.

განვიხილოთ რამდენიმე რაოდენობა, რომელიც ახასიათებს კომპლექტს. ამრიგად, ზედაპირის "სიგრძე" განისაზღვრება გამოხატულებით

ვინაიდან, მაშინ ზედაპირის "სიგრძე", რომელიც განისაზღვრება ზღვრამდე გადასვლით, უდრის:

ზედაპირის "მოცულობა"

ამგვარად, ნაკრების „სიგრძე“ უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, ხოლო „მოცულობა“? ნულამდე.

პუნქტების ნაკრების „ღირებულების“ (სიგრძე, მოცულობა) მახასიათებლებისთვის? გამოიყენება სატესტო ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს უჯრედის ზომებს: სიგრძე d=1, ფართობი d=2, მოცულობა d= "მნიშვნელობა", თუ სიმრავლის ზომა? განისაზღვრება, როგორც ყველა უჯრედის "მნიშვნელობების" ჯამი, რომელიც ფარავს მეტრულ სივრცეს?:

მუდმივი დამოკიდებულია უჯრედების ფორმაზე (კვადრატული უჯრედისთვის).

ზოგიერთი მაჩვენებლისთვის d, საზომი Md q > 0-ისთვის ტოლია ან ნულის, ან უსასრულობის, ან რომელიმე (აუცილებლად მთელი რიცხვის) სასრული დადებითი რიცხვის. d-ის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ზომა Md არ არის ნულის ან უსასრულობის ტოლი, ადეკვატურად ასახავს სიმრავლის ტოპოლოგიურ განზომილებას?.

რიცხვი dcr ისეთია, რომ

ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებას უწოდებენ.

„მარტივი“ (არაფრაქტალური) გეომეტრიული ობიექტებისთვის ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება ემთხვევა ტოპოლოგიურ განზომილებას. ფრაქტალური ობიექტებისთვის Md ზომის ნახტომი ნულიდან უსასრულობამდე ხდება d-ის წილადური მნიშვნელობებით.

დაე, ფუნქცია N(q) დამოკიდებული იყოს q-ზე, სიმბოლურობის სიმბოლურობით ნულზე

სადაც b(d)dd >0 q>0-ისთვის.

ჩვენ ვწერთ უსასრულო მნიშვნელობებამდე

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს

5. არაგლუვი (გატეხილი) ხაზის სიგრძის გაზომვა

როგორ გავზომოთ სანაპირო ზოლის სიგრძე?

განვიხილოთ შემდეგი შედარებით მარტივი გაზომვის ტექნიკა.

გაზომილი მონაკვეთის დასაწყისსა და დასასრულს აღვნიშნავთ A და B წერტილებით (სურ. 9).

ბრინჯი. 9. წრფის სიგრძის გაზომვა კომპასის ხსნარით ან ბადის გამოყენებით

სიგრძის გაზომვის ერთ-ერთი პროცედურა შემდეგია.

ჩვენ გავზომავთ წრფის სიგრძეს A წერტილიდან B წერტილამდე d სიგრძის სეგმენტებით.

სეგმენტების რაოდენობის დათვლის შემდეგ ვპოულობთ სიგრძეს, კომპასის q გახსნის შემცირებით N(q) სეგმენტების რაოდენობა იზრდება. L(q)-ის ტიპიური დამოკიდებულება q-ზე ლოგარითმულ კოორდინატებში ნაჩვენებია ნახ. ათი.

ბრინჯი. 10. გატეხილი (სანაპირო) ხაზის გაზომილი სიგრძის დამოკიდებულება მასშტაბზე (სეგმენტის სიგრძეზე). დ)

ამ მეთოდის ნაკლოვანებებზე შეჩერების გარეშე, განსაკუთრებით უხეში ზედაპირის პროფილის ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრისას, განვიხილოთ სხვა (ალტერნატიული) მეთოდი.

დავფაროთ განსახილველი ფართობი კვადრატული ბადით (ნახ. 9-ის მარჯვენა მხარე) და დავთვალოთ უჯრების რაოდენობა, რომლებიც ფარავს განსახილველ ხაზს.

უჯრედების ზომის შემცირება იწვევს უჯრედების რაოდენობის ზრდას, რომლებიც ფარავს AB ხაზს. მოსალოდნელია, რომ საზომი კომპასის საფეხურების რაოდენობა ან ხაზს ფარავს უჯრედების რაოდენობა უკუპროპორციული იქნება d-ის ან d*x d*-ის, და მნიშვნელობა მიემართება მუდმივ მნიშვნელობას მოცემული ხაზისთვის L(d) . თუმცა, როგორც q ან ბადის უჯრედების ზომა მცირდება, ხაზის სიგრძე არ მიისწრაფვის მუდმივ მნიშვნელობამდე. q > 0-ისთვის გაზომილი სიგრძე მუდმივად იზრდება, ე.ი. q>0-სთვის L(q)-ის მნიშვნელობა არ არის ლიმიტი.

გაზომილი ხაზის სიგრძე შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგი სავარაუდო ფორმულით:

სადაც D არის წრფის ფრაქტალური განზომილება.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ სწორი ხაზისთვის და, მაგალითად, წრისთვის D=1. წრეწირი კლებით q მიდრეკილია მუდმივი მნიშვნელობისკენ, რომელიც ტოლია 2pR, სადაც R არის წრის რადიუსი.

ფრაქტალური განზომილების ზედაპირის სკალირება

6. ფრაქტალური განზომილება

ბ.ბ მანდელბროტმა შემოგვთავაზა ფრაქტალის შემდეგი განმარტება. ფრაქტალი არის ნაკრები, რომლის Hausdorff-Besikovich (Kh-B) განზომილება მკაცრად აღემატება მის ტოპოლოგიურ განზომილებას (E. Feder, 1991). არამკაცრი განმარტება, რომელიც არ საჭიროებს სიმრავლის, XB განზომილების, ტოპოლოგიური განზომილების ცნებების დაზუსტებას, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ფრაქტალი? ეს არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება მთლიანი ნაწილებისგან. ან კიდევ უფრო მარტივი: ფრაქტალი არის სტრუქტურა წილადური განზომილებით.

Q სეგმენტების რაოდენობის N(q) დამოკიდებულება სეგმენტის ზომაზე (ან უჯრედების ზომაზე) აღწერილია შემდეგი მიმართებით, მულტიპლიკატორამდე:

სადაც D არის ფრაქტალის განზომილება.

თუ გამოვსახავთ lgN(d)-lg(d) დამოკიდებულებას, მაშინ ფრაქტალური განზომილება უდრის გრაფიკის დახრილობას (დახრილობას), ე.ი.

განზომილებას, რომელიც განისაზღვრება ხაზს ფარავს უჯრედების (უჯრედების) რაოდენობის დათვლით, უჯრედის ზომის მიხედვით, უჯრედის განზომილება ეწოდება.

ზედაპირის ფრაქტალური განზომილება. მოდით დავფაროთ ზედაპირის შესწავლილი ფართობი იდენტური სამკუთხედების სისტემით და გამოვთვალოთ დაფარვის მთლიანი ფართობი ტოლი

სადაც AD არის სამკუთხედის ფართობი. მოდით, მიღებული ფართობი გავყოთ საკვლევი ფართობის გეომეტრიული მონახაზით განსაზღვრული სიბრტყეზე რეალური ზედაპირის ნომინალური ფართობის სიდიდეზე.

შემდეგ, ორმაგი ლოგარითმული კოორდინატების გამოსახულებით, საფარის ფარდობითი ფართობის დამოკიდებულება დაფარვის ელემენტის ფართობზე, შესაძლებელია ელემენტის არეში ცვლილებების გარკვეული დიაპაზონის პოვნა, სწორი ხაზის დახრილობა ან დახრილობა, რომლის მნიშვნელობა აღებულია მინუს ნიშნით.

გაანგარიშების შედეგად აღმოჩენილია ზედაპირის ფრაქტალური განზომილება, ტოლი

ზედაპირის ფრაქტალური განზომილება მერყეობს 2-ის ფარგლებში

7. მსგავსება და მასშტაბირება

მოდით მივცეთ გეომეტრიული მსგავსების განმარტება.

ორ გეომეტრიულ ფიგურას ჰქვია მსგავსი, თუ: 1) კუთხე ერთ-ერთ წრფეს შორის ტოლია მეორის შესაბამის ხაზებს შორის და 2) ერთ-ერთ მათგანში თითოეული სწორი ხაზი მუდმივ კავშირშია. შესაბამისი ხაზის სეგმენტი მეორეში.

ამრიგად, ორი მრავალკუთხედი მსგავსია, თუ მათი შესაბამისი კუთხეები ტოლია და ამ კუთხით შემოსაზღვრული გვერდების სიგრძე პროპორციულია.

გეომეტრიული მსგავსების გარდა, არსებობს კინემატიკური და დინამიური მსგავსება მექანიკური ფენომენებისთვის, რომლებიც საფუძვლად უდევს მოდელირების პროცედურებს.

სწორი ხაზი პარალელური თარგმანით რჩება თავისთავად.

შეიძლება ითქვას, რომ სტრიქონი ინვარიანტულია პარალელური თარგმნისა და მასშტაბის (სკალირების) დროს, ე.ი. ის საკუთარი თავის მსგავსია.

ამრიგად, სკალირება არის მასშტაბის უცვლელობის ასახვა.

ერთეული სიგრძის სწორი ხაზის სეგმენტისთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ მსგავსების კოეფიციენტი

სადაც N არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი (N>1).

სიბრტყის მართკუთხა მონაკვეთი შეიძლება დაიფაროს შემცირებული ასლებით, თუ მათი სიგრძე შეიცვლება r(N)=(1/N)1/2-ჯერ.

ანალოგიურად, მართკუთხა პარალელეპიპედი შეიძლება დაიფაროს მისი პატარა ასლებით მასშტაბის კოეფიციენტის არჩევით r(N)=(1/N)1/ ზოგადად, მასშტაბის კოეფიციენტი უნდა აირჩეს ტოლი

სადაც d არის მსგავსების განზომილება, ტოლი 1-ის სწორი ხაზისთვის, 2-ის სიბრტყისთვის და 3-ის სამგანზომილებიანი ფიგურებისთვის.

ფრაქტალური გეომეტრიული სტრუქტურებისთვის მსგავსების განზომილება Dp განისაზღვრება გამოხატულებით

8. თვითმსგავსება და თვითმიმართულობა

მაგალითისთვის ავიღოთ ბრაუნის ნაწილაკის მოძრაობა. მისი კოორდინატები სიბრტყეზე (x, y) და დრო (t) არის ფიზიკური სიდიდეები სხვადასხვა განზომილებით. ამიტომ კოორდინატებსა და დროებს განსხვავებული მსგავსების კოეფიციენტები ექნებათ. აფინური ტრანსფორმაცია გარდაქმნის x=(x1,x2,…,xE) წერტილს ახალ წერტილად x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), სადაც მსგავსების ყველა კოეფიციენტი r1, …,rE არ არის ერთნაირი. .

თვითშეფასების პროფილისთვის შეიძლება დაწეროთ

აქ b არის გადიდების მასშტაბი; H- ექსპონენტი (ჰერსტის მაჩვენებელი).

ჰერსტის მაჩვენებელი იცვლება 0 დიაპაზონში

9. ჰურსტის მაჩვენებელი

ჰერსტის ექსპონენტი შესაძლებელს ხდის გაზომვების თანმიმდევრობის ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრას, კერძოდ, იგი გამოიყენებოდა ტალღის სიმაღლეების სტატისტიკური შეფასების ინსტრუმენტად [E. ფედერი]. ჰერსტის მაჩვენებელსა და ტალღის და ზედაპირის სიმაღლის ფრაქტალ ზომებს შორის კავშირი დადგენილად ითვლება, რაც გამოიხატება პროფილისა და ზედაპირის შემდეგი მარტივი მიმართებით: D=2-H; DS=3-H. განვიხილოთ ჰურსტის მაჩვენებლის განსაზღვრის მეთოდი.

1. იპოვნეთ გამონაყარის ზედა ნაწილების N სიმაღლე H=(h1, h2,…,hN)T და დაადგინეთ ამ სიმაღლეების ფარდობითი მნიშვნელობები x1, x2,…, xN, xi, სადაც. თუ პროტრუზიების სიმაღლეები ემორჩილება ბეტა განაწილებას, მაშინ მნიშვნელობები хi хi.

2. იპოვეთ ნიმუში (პროტრუზიების N სიმაღლეებიდან) საშუალო

დაადგინეთ დაგროვილი გადახრა

დაგროვილი გადახრის ცვლილების გრაფიკი იმ პროტრუზიების სიმაღლეებისთვის, რომლებსაც აქვთ ბეტა განაწილება N=50-ზე ნაჩვენებია ნახ. თერთმეტი.

ბრინჯი. 11. დაგროვილი გადახრის X(n,N) დამოკიდებულება N-ზე

გრაფიკიდან ვპოულობთ R დიაპაზონს.

4. გამოთვალეთ სტანდარტული გადახრა? პროტრუზიების ფარდობითი სიმაღლეების ნიმუშის სტანდარტული გადახრა

5. ჩვენ წარმოვადგენთ თანაფარდობას R/S, რომელიც დამოკიდებულია ჰურსტის მაჩვენებელზე, სახით

სადაც H არის ჰერსტის მაჩვენებელი.

პროტრუზიის სიმაღლეების წარმომადგენლობითი ნიმუშით, ექსპონენტი H შეიძლება მოიძებნოს ზემოაღნიშნული ემპირიული ჰურსტის გამოხატვის გამოყენებით. საინტერესოა R/S-ის დამოკიდებულების პოვნა განხილული ამობურცვების რაოდენობაზე N. ეს დამოკიდებულება ლოგარითმულ კოორდინატებში იქნება სწორი ხაზი, რომლის დახრილობა განისაზღვრება ჰერსტის მაჩვენებლით. პროტრუზიის სიმაღლეების ფარდობითი მნიშვნელობების თანმიმდევრობის ფრაქტალური განზომილება იქნება D=2-H.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. ზედაპირული პროფილის ორდინატები (10 μm საფეხურით) აღებული იქნა, როგორც საწყისი მონაცემები. ბილიკის სიგრძე იყო 800 მკმ. ორდინატებს ჰქონდათ ვერტიკალური გადიდება 50000. ნახ. 12 გვიჩვენებს ზედაპირის პროფილს (მრუდი 1) და ორდინატების დაგროვებულ გადახრას საშუალო ხაზიდან (მრუდი 2).

ბრინჯი. 12. ზედაპირის პროფილი (1) და ორდინატების დაგროვილი გადახრა (2) პროფილის შუა ხაზიდან.

დიაპაზონი დამოკიდებულია პროფილოგრამის განხილულ სიგრძეზე (ორდინატთა რიცხვი). ნათელია, რომ დიაპაზონი იზრდება ზრდასთან ერთად. ნორმალური დიაპაზონის დამოკიდებულება, რომელიც განისაზღვრება გამოსახულებით (R/S), ნაჩვენებია ლოგარითმულ კოორდინატებში ნახ. ერთი.

ბრინჯი. 13 ნორმალიზებული დიაპაზონის მეთოდი პროფილის ფრაქტალური განზომილების შესაფასებლად

განვიხილოთ ჰერსტის მაჩვენებლის განსაზღვრის ალგორითმი უმცირესი კვადრატების მეთოდის (LSM) გამოყენებით. ჩვენ ვეძებთ რეგრესიის განტოლებას ფორმაში

სადაც y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(f/2).

შეყვანა: N (პუნქტების რაოდენობა), (оi, зi), i=1,2,…,N (პუნქტების კოორდინატები)

გამომავალი: b=lg(a) (shift), m=H (დახრილობა)

ალგორითმი:

დამოკიდებულების მიახლოებითი ფუნქცია ნაჩვენებია ნახ. 13, არის ფორმის ძალაზე დამოკიდებულება:

ამრიგად, ჰერსტის მაჩვენებელი უდრის H=0.35, ხოლო პროფილის ფრაქტალური განზომილება შეფასებულია როგორც D=2 H=2 0.35=1.65.

სტატისტიკური თვითმიმართულობა განპირობებულია პროფილის გარეგნობის მსგავსებით სხვადასხვა მასშტაბით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უხეში ზედაპირი ყოველთვის არ არის გლუვი, როდესაც სხვადასხვა გადიდებით არის დანახული.

0.5-ზე

0-ზე

მაგალითად, ნახ. 14 გვიჩვენებს დროის სერიების თანმიმდევრობას (ან უხეში ზედაპირის პროფილის ორდინატებს) და ნორმალიზებული დიაპაზონის დამოკიდებულებას დროზე (პროფილის სიგრძე).

ბრინჯი. 14. ორდინატთა თანმიმდევრობა და ნორმალიზებული დიაპაზონის დამოკიდებულება სიგრძეზე

ყურადღება გამახვილებულია ჰურსტის მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებზე R/S ანალიზის სამ განყოფილებაში. ელემენტების მცირე რაოდენობით, ჰერსტის მაჩვენებელი ახლოსაა ერთიანობასთან და არ ასახავს ობიექტის ფრაქტალურ სტრუქტურას.

საილსმა და თომასმა (R.S. Sayles, T.R. Thomas) გაზომეს და გაანალიზეს სხვადასხვა ობიექტების ზედაპირის უხეშობა, მათ შორის საინჟინრო ლითონის ზედაპირები.

ზედაპირის სიმაღლე z გაზომილი იყო სხვადასხვა x წერტილში გარკვეული მიმართულებით. დიდი რაოდენობის გაზომვებით მთელ ზედაპირზე, შესაძლებელია გამოვთვალოთ ზედაპირის უხეშობა, რომელიც განისაზღვრება დისპერსიით:

აქ კუთხის ფრჩხილები აღნიშნავს ზედაპირის ტოპოგრაფიის გაზომვების სერიის (ზოგჯერ მრავალჯერ განმეორებით) საშუალოდ გაზომვას. ვერტიკალური საცნობარო წერტილი არჩეულია ისე, რომ

ზედაპირის სტატისტიკური თვისებების მნიშვნელოვანი საზომია კორელაციის ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება მიმართებით:

სტაციონარული ზედაპირებისთვის, კორელაციის ფუნქცია შეიძლება გამოისახოს სიმძლავრის სპექტრით G() ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით.

აქ არის u სიხშირე.

უხეში ზედაპირისთვის, ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვარი შეესაბამება u min და u max.

სიხშირის შეფასება ხასიათდება პირველი და მეორე გადაკვეთით (ნახ. 1.3).

თვითდაკავშირებული ან თვითმსგავსი ზედაპირის პროფილისთვის, სპექტრულ სიმკვრივეს აქვს ძალაუფლების კანონის ფორმა

აქ f არის შერჩევის სიხშირე; a და b არის რეგრესიის კოეფიციენტები.

კოეფიციენტს a ეწოდება უხეშობის კოეფიციენტი, ხოლო b ახასიათებს პროფილის ფრაქტალურ განზომილებას.

10. „პერიმეტრი-ფართის“ თანაფარდობა

შევადაროთ თანაფარდობა „პერიმეტრი-ფართობი“ არაფრაქტალური (ცხრილი 1) და ფრაქტალური გეომეტრიული ობიექტებისთვის.

1. არაფრაქტალური ობიექტები.

ცხრილი 1. მიმართება „პერიმეტრი – ფართობი“ ევკლიდეს გეომეტრიაში

2. ფრაქტალური ობიექტები.

არაფრაქტალური ობიექტების ანალოგიით, ჩვენ ვწერთ "პერიმეტრი-ფართის" თანაფარდობას ფორმით.

აქ P არის პერიმეტრი; A - ფართობი; R(d) - პარამეტრი გაზომვის სკალის მიხედვით (კვადრატული უჯრედის ზომა); D - "სანაპირო" ხაზის ფრაქტალური განზომილება (1< D < 2).

იმის გათვალისწინებით, რომ პერიმეტრი განისაზღვრება გამოსახულებით

(1) მიმართებას ვწერთ ფორმაში

აქ c არის კოეფიციენტი.

პერიმეტრის ცვლილება სხვადასხვა გაზომვის მასშტაბებში განისაზღვრება ფორმულით

მიმართება (2) გამოხატავს "კუნძულების" თვითმსგავსების პირობას ფრაქტალური საზღვრებით (ამ შემთხვევაში, გაზომვის მასშტაბი q უნდა იყოს საკმარისად მცირე, რომ ზუსტად გავზომოთ ყველაზე პატარა კუნძულის რეგიონი).

ვიღებთ მიმართების ლოგარითმს (2)

მიღებული გამონათქვამის გარდაქმნით, ჩვენ ვწერთ:

ნახ. 15 გვიჩვენებს "პერიმეტრი - ფართობის" დამოკიდებულებას, წარმოდგენილი ლოგარითმული კოორდინატებით.

სწორი ხაზის დახრილობა ნაჩვენებია ნახ. 15 უდრის 2/D.

ბრინჯი. 3.15. დამოკიდებულება "ფართობი - პერიმეტრი"

გამოხატვის (3) ანალიზი აჩვენებს, რომ მნიშვნელობა

2ლგ (c1/Dd1-D)/D),

რომელიც დამოკიდებულია გაზომვის სკალაზე q, შეიძლება უგულებელყო, რადგან საკმარისად დიდი საზომი მასშტაბით "კუნძული" იქცევა არაფრაქტალურ ობიექტად. მართლაც, D=DE=1 და მასშტაბით, რომელზეც c=1, გვაქვს:

მოდი ბოლოს ჩავწეროთ

გამოთქმიდან (4) ვხვდებით "სანაპიროს" ხაზის ფრაქტალურ განზომილებას

ორმაგი ლოგარითმული კოორდინატებით აგებული გრაფიკი (ნახ. 15), ასახავს თვითმსგავსების მდგომარეობას და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ფრაქტალური განზომილება.

ფრაქტალის განზომილების განსაზღვრის პროცედურა არის ფრაქტალის ობიექტის დაფარვა? "კუნძულები" - კვადრატული ბადე უჯრედის ზომით d.

ამ შემთხვევაში, ფიგურის პერიმეტრი და ფართობი შეიძლება განისაზღვროს ფორმულებით

სად არის "სანაპიროს" ხაზით შევსებული უჯრედების რაოდენობა; - უჯრედების რაოდენობა, რომელიც მოიცავს "კუნძულის" ტერიტორიას.

ამრიგად, გაანგარიშების შემდეგ და, (5) და (4) ფორმულების მიხედვით, გამოითვლება ფრაქტალის განზომილება D.

ზედაპირის ფრაქტალური განზომილების დასადგენად ვიყენებთ ბ. მანდელბროტის მიერ შემოთავაზებულ მიდგომას

11. ფრაქტალური ზედაპირების განზომილება

პერიმეტრი-არეის კავშირი გამოიყენება სხვადასხვა ფრაქტალური ობიექტების დასახასიათებლად, რომლებიც გამოიყენება სამეცნიერო და ტექნიკური პრობლემების ფართო სპექტრში.

კერძოდ, ეს თანაფარდობა ეფექტურად გამოიყენება სამუშაოებში, რომლებიც ახასიათებს ფოლადის მოტეხილ ზედაპირებს და სპეციფიკური მოტეხილობის ზედაპირების განსაზღვრის ტექნიკას.

საინჟინრო ზედაპირებთან დაკავშირებით, ეს თანაფარდობა იშვიათად გამოიყენება. ძირითადად, ზედაპირის ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრისას გამოიყენება საფარის მეთოდი. ნახ. 16 გვიჩვენებს ფრაქტალური ზედაპირის მოდელებს ფრაქტალური განზომილების სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

ზედაპირის ფრაქტალური განზომილების დასადგენად, განიხილეთ ფრაქტალის ზედაპირის კონტაქტი გლუვთან.

მაგალითად, აიღეთ ზედაპირის მონაკვეთი მედიანური სიბრტყის პარალელურად. ნახ. 17 გვიჩვენებს ფრაქტალის ზედაპირის ასეთ მონაკვეთს DS = 2.6.

ბრინჯი. 16. ფრაქტალური ზედაპირების მოდელები

ბრინჯი. 17. ფრაქტალის ზედაპირის მონაკვეთი

ითვლება, რომ ყველა „კუნძული“ ნახ. 17 თვით მსგავსია. შემდეგ პერიმეტრი-სივრცის თანაფარდობის გასაანალიზებლად გამოვყოფთ დამახასიათებელ „კუნძულს“ (სურ. 18).

ბრინჯი. 18. "კუნძულის" გამოსახულება

ნახ. 19 გვიჩვენებს ფიჭური მეთოდით ფრაქტალური განზომილების განსაზღვრის პროცედურას.

ბრინჯი. 19. ფრაქტალის განზომილების შეფასება: ფრაქტალის ობიექტის დაფარვა კვადრატული ბადით (Paul S. Addison)

ნახ. 20 არის ფართობი-პერიმეტრის ნაკვეთი ორმაგ ლოგარითმულ კოორდინატებში, აგებული ნახ. 19.

ამავდროულად, მიგვაჩნია, რომ კვადრატების რაოდენობა პროპორციულია შესაბამისი პარამეტრების: ფართობი და პერიმეტრი.

NA "კუნძულის" არეალს ფარავს უჯრედების რაოდენობის დამოკიდებულება უჯრედების რაოდენობაზე, რომლებშიც დაეცა კუნძულის NP "სანაპირო" ხაზი, აგებული ლოგარითმულ კოორდინატებში კვადრატული უჯრედის მხარის სხვადასხვა ზომისთვის. , შეფასებულია ამ მაგალითში რეგრესიის განტოლებით

NA=-69.14+3.303NP.

ბრინჯი. 20. დამოკიდებულებები „არეალი-პერიმეტრი“

ფრაქტალური განზომილება განისაზღვრება გამოხატულებით

ორი ფრაქტალური ზედაპირის საკუთარ ფრაქტალურ ზომებთან კონტაქტის შესწავლისას მიმზიდველი წერტილია ორი ფრაქტალის ზედაპირის შეცვლა გლუვი ზედაპირის შემცირებულ ფრაქტალთან კონტაქტით.

ამ მიზნით ვიყენებთ ადრე განხილულ პროცედურას. მოდით, მოვახდინოთ ორი ზედაპირის კონტაქტის სიმულაცია და განვსაზღვროთ საკონტაქტო ლაქები გარკვეული მიდგომით.

ნახ. 21 გვიჩვენებს ორი ზედაპირის შეხების სურათს კვლევისთვის შერჩეულ „კუნძულთან“.

ბრინჯი. 21. ფრაქტალური ზედაპირების კონტაქტი

ბიბლიოგრაფია

1. მანდელბროტი ბ. ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია / ბ. მანდელბროტი: [მთარგმნ. ინგლისურიდან]. - მ.: კომპიუტერული კვლევების ინსტიტუტი, 2012. - 656გვ.

2. Feder E. Fractals / E. Feder: [მთარგმნ. ინგლისურიდან]. - მ.: მირი, 1991. - 254გვ.

3. მანდელბროტი ბ.ბ. ლითონების ნატეხი ზედაპირების ფრაქტალური ხასიათი / B.B. მანდელბროტი //ბუნება, 1984. - V. 308. - გვ. 721-722.

4. მუ ზ.ქ. კვლევები ფოლადის ფრაქტალური განზომილების და მოტეხილობის სიმტკიცეზე / Z.Q. Mu, C.W. ფილტვები // J. Phys. დ: აპლიკაცია. ფიზ., 1988. - V. 21. - გვ. 848-850.

5. Sayles R.S. ზედაპირის ტოპოგრაფია, როგორც არასტაციონარული შემთხვევითი პროცესი / R.S. საილსი, თ.რ. Thomas // Nature, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. ფრაქტალები და ქაოსი-ილუსტრირებული კურსი / P.S. ადისონი. - გამომცემლობის ფიზიკის ინსტიტუტი. - ბრისტოლი, 2007 წ.

მასპინძლობს Allbest.ru-ზე

მსგავსი დოკუმენტები

"ფრაქტალის" კონცეფციის არსი. ფრაქტალური განზომილების არსი. ჰაუსდორფის განზომილება და მისი თვისებები. კანტორის ნაკრები და მისი განზოგადება. ფიფქია და კოხის მრუდი. Curve Peano და Gosper, მათი მახასიათებლები. ხალიჩა და ხელსახოცი Sierpinski. ჰარტერ-ჰატევეის დრაკონი.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 23/07/2011


სივრცეში ზედაპირების ურთიერთგანლაგების წარმოდგენა. რევოლუციის მართული და უმართავი ზედაპირები. მრუდი ზედაპირების კვეთა. ზოგადი ინფორმაცია ზედაპირების შესახებ. ერთი ზედაპირის მეორესთან გადაკვეთის ხაზის აგების ზოგადი მეთოდი.

რეზიუმე, დამატებულია 01/10/2009


დამახასიათებელია ზედაპირების ოჯახისათვის. ტანგენტის ხაზი და სიბრტყე. მრუდი კოორდინატები. მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა ზედაპირზე და მის ფართობზე. კუთხე ორ ხაზს შორის ზედაპირზე. ზედაპირზე მდებარე ხაზების ნორმალური გამრუდება.

დისერტაცია, დამატებულია 18/05/2013


მოწესრიგებული კომპლექტების განზომილების ძირითადი ცნებები. შეკვეთილი ნაკრების განზომილების განსაზღვრა. სასრულ მოწესრიგებული სიმრავლეების განზომილებიანი თვისებები. წყობის სტრუქტურა და გისოსების ალგებრული თეორიის ელემენტები.

დისერტაცია, დამატებულია 08/08/2007


გეომეტრიის განვითარების მოკლე მიმოხილვა. პრიზმა. პრიზმის ზედაპირის ფართობი. პრიზმა და პირამიდა. პირამიდა და მისი ზედაპირის ფართობი. მოცულობების გაზომვა. პირამიდისა და მისი მოცულობის შესახებ. პრიზმისა და პარალელეპიპედის შესახებ. სიმეტრია სივრცეში.

რეზიუმე, დამატებულია 05/08/2003


ზედაპირების ფორმის და ჩვენების გზები. ზედაპირის ფორმირების კანონი. ძირითადი თვისებები, რომლებიც წარმოიქმნება რევოლუციის ზედაპირის ფორმირების კანონიდან. მართული ზედაპირები პარალელურობის სიბრტყით. ციკლური ზედაპირების ჩონჩხის ფორმირება.

რეზიუმე, დამატებულია 19/05/2014


მრუდი და მეორე რიგის ზედაპირის ფორმები. მეორე რიგის მრუდებისა და ზედაპირების თვისებების ანალიზი. ზედაპირის ფორმების შესწავლა კვეთების მეთოდით სიბრტყეებით, მონაკვეთებად მიღებული ხაზის აგება. ზედაპირის აგება კანონიკურ კოორდინატულ სისტემაში.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 28/06/2009


კლასიკური ფრაქტალები. თვითმსგავსება. ფიფქია კოხი. სიერპინსკის ხალიჩა. L- სისტემები. ქაოტური დინამიკა. ლორენცის მიმზიდველი. მანდელბროტის და ჯულიას ნაკრები. ფრაქტალების გამოყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 26.05.2006წ


ყველა მართკუთხედიდან, რომლის ფართობია 9 დმ2, იპოვეთ ყველაზე პატარა პერიმეტრით. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი (ნახაზის შედგენით). გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

დავალება, დამატებულია 01/11/2004


კატალონიური ზედაპირების დეტალური ანალიზი და პირობები, რომლებიც ამ კლასს გამოყოფს მართული ზედაპირების კლასისგან. KA კლასის ზედაპირების პირველი და მეორე კვადრატული ფორმების გამოთვლის ფორმულები. განცხადებების დადასტურება მოსახვევების ტიპის გავლენის შესახებ ზედაპირის ტიპზე.

ფრაქტალებზე ბევრია საუბარი. ინტერნეტში არის ასობით საიტი, რომელიც ეძღვნება ფრაქტალებს. მაგრამ ინფორმაციის უმეტესობა ემყარება იმ ფაქტს, რომ ფრაქტალები ლამაზია. ფრაქტალების საიდუმლო აიხსნება მათი წილადური განზომილებით, მაგრამ ცოტას ესმის რა არის წილადური განზომილება.

სადღაც 1996 წელს დავინტერესდი რა არის წილადური განზომილება და რა მნიშვნელობა აქვს მას. წარმოიდგინეთ ჩემი გაოცება, როცა აღმოვაჩინე, რომ ეს არც ისე რთული საქმეა და ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია ამის გაგება.

შევეცდები აქ ხალხურად განვაცხადო რა არის წილადური განზომილება. ამ თემაზე ინფორმაციის მწვავე ნაკლებობის კომპენსირება.

სხეულის გაზომვა

პირველი, მცირე შესავალი, რათა ჩვენი ყოველდღიური იდეები სხეულების გაზომვის შესახებ გარკვეული თანმიმდევრობით მივიყვანოთ.

ფორმულირებების მათემატიკური სიზუსტისკენ სწრაფვის გარეშე, მოდით გავარკვიოთ რა არის ზომა, ზომა და განზომილება.

ობიექტის ზომა შეიძლება გაიზომოს სახაზავი. უმეტეს შემთხვევაში, ზომა არაინფორმაციული აღმოჩნდება. რომელი "მთა" უფრო დიდია?

თუ შევადარებთ სიმაღლეებს, მაშინ უფრო წითელი, თუ სიგანეები - მწვანე.

ზომის შედარება შეიძლება იყოს ინფორმაციული, თუ ელემენტები ერთმანეთის მსგავსია:

ახლა, რა ზომებიც არ უნდა შევადაროთ: სიგანე, სიმაღლე, მხარე, პერიმეტრი, ჩაწერილი წრის რადიუსი თუ სხვა, ყოველთვის გამოდის, რომ მწვანე მთა უფრო დიდია.

საზომი საგნების გაზომვასაც ემსახურება, მაგრამ სახაზავით არ იზომება. ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ იზომება ის, მაგრამ ახლა ჩვენ აღვნიშნავთ მის ძირითად თვისებას - ზომა არის დანამატი.

ყოველდღიურ ენაში, როდესაც ორი ობიექტი შერწყმულია, ობიექტების ჯამის ზომა უდრის ორიგინალური ობიექტების ზომების ჯამს.

ერთგანზომილებიანი ობიექტებისთვის, ზომა არის ზომის პროპორციული. თუ აიღებთ 1 სმ და 3 სმ სიგრძის სეგმენტებს, "მოკეცეთ" ერთად, მაშინ "სულ" სეგმენტს ექნება სიგრძე 4 სმ (1 + 3 = 4 სმ).

არაერთგანზომილებიანი სხეულებისთვის საზომი გამოითვლება გარკვეული წესების მიხედვით, რომლებიც არჩეულია ისე, რომ ზომამ შეინარჩუნოს დანამატობა. მაგალითად, თუ აიღებთ კვადრატებს 3სმ და 4სმ გვერდებით და „დაკეცავთ“ (შეუერთეთ ერთმანეთს), მაშინ უბნები (9 + 16 = 25 სმ²) დაემატება, ანუ შედეგის გვერდი (ზომა) იქნება. იყოს 5 სმ.

ორივე ტერმინი და ჯამი არის კვადრატები. ისინი ერთმანეთს ჰგვანან და შეგვიძლია მათი ზომები შევადაროთ. გამოდის, რომ ჯამის ზომა არ არის ტერმინების (5≄4+3) ზომების ჯამის ტოლი.

როგორ არის დაკავშირებული ზომა და ზომა?

განზომილება

მხოლოდ განზომილება და საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ ზომა და ზომა.

ავღნიშნოთ განზომილება - D, ზომა - M, ზომა - L. მაშინ ამ სამი სიდიდის დამაკავშირებელი ფორმულა ასე გამოიყურება:

ჩვენთვის ნაცნობი ზომებისთვის ეს ფორმულა ნაცნობ სახეს იღებს. ორგანზომილებიანი სხეულებისთვის (D=2) ზომა (M) არის ფართობი (S), სამგანზომილებიანი სხეულებისთვის (D=3) - მოცულობა (V):

S \u003d L 2, V \u003d L 3

ყურადღებიანი მკითხველი იკითხავს, ​​რა უფლებით დავწერეთ ტოლობის ნიშანი? ისე, კვადრატის ფართობი უდრის მისი მხარის კვადრატს, მაგრამ წრის ფართობი? მუშაობს თუ არა ეს ფორმულა რომელიმე ობიექტზე?

Კი და არა. თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ტოლობები პროპორციებით და შეიყვანოთ კოეფიციენტები, ან შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ჩვენ შევიყვანთ სხეულების ზომებს ისე, რომ ფორმულა იმუშაოს. მაგალითად, წრეზე დავარქმევთ რკალის სიგრძის ზომას, რომელიც უდრის "pi" რადიანების ფესვს. Რატომაც არა?

ნებისმიერ შემთხვევაში, კოეფიციენტების არსებობა ან არარსებობა არ შეცვლის შემდგომი მსჯელობის არსს. სიმარტივისთვის არ შემოვიტან კოეფიციენტებს; თუ გნებავთ, შეგიძლიათ თავად დაამატოთ ისინი, გაიმეოროთ ყველა მსჯელობა და დარწმუნდით, რომ მათ (მსჯელობას) არ დაუკარგავთ მართებულობა.

ყოველივე ნათქვამიდან უნდა გამოვიტანოთ ერთი დასკვნა, რომ თუ ფიგურა N-ჯერ შემცირდება (მასშტაბიანი), მაშინ იგი ჯდება თავდაპირველ N D-ჯერ.

მართლაც, თუ სეგმენტი (D=1) შემცირდა 5-ჯერ, მაშინ ის ზუსტად ხუთჯერ მოერგება თავდაპირველს (5 1 =5); თუ სამკუთხედი (D = 2) 3-ჯერ შემცირდება, მაშინ ის თავდაპირველში ჯდება 9-ჯერ (3 2 = 9).

თუ კუბი (D = 3) 2-ჯერ შემცირდება, მაშინ ის ორიგინალში 8-ჯერ მოერგება (2 3 = 8).

ასევე საპირისპიროა: თუ, როდესაც ფიგურის ზომა N-ჯერ მცირდება, აღმოჩნდა, რომ იგი ჯდება თავდაპირველ n-ჯერ (ანუ მისი ზომა შემცირდა n-ჯერ), მაშინ განზომილება შეიძლება გამოითვალოს. ფორმულით.