წადი) ნომრები.

2. კომპლექსური რიცხვების გამოსახვის ალგებრული ფორმა

რთული რიცხვიან კომპლექსი, ეწოდება რიცხვი, რომელიც შედგება ორი ნომერი (ნაწილები) - რეალური და წარმოსახვითი.

რეალურინებისმიერ დადებით ან უარყოფით რიცხვს უწოდებენ, მაგალითად, + 5, - 28 და ა.შ. რეალური რიცხვი ავღნიშნოთ ასო „ლ“-ით.

წარმოსახვითირიცხვს, რომელიც ტოლია რეალური რიცხვისა და უარყოფითი ერთეულის კვადრატული ფესვის ნამრავლის, ეწოდება, მაგალითად, 8, - 20 და ა.შ.

უარყოფითი ერთეული ე.წ წარმოსახვითი და აღინიშნება ასო "iot"-ით:

წარმოსახვითის შემადგენლობაში არსებული რეალური რიცხვი ასო „M“-ით ავღნიშნოთ.

მაშინ წარმოსახვითი რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს ასე: j M. ამ შემთხვევაში რთული რიცხვი A შეიძლება ასე დაიწეროს:

A = L + j M (2).

რთული რიცხვის (კომპლექსური) ჩაწერის ამ ფორმას, რომელიც არის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების ალგებრული ჯამი, ე.წ. ალგებრული.

მაგალითი 1ალგებრული სახით გამოხატეთ კომპლექსი, რომლის რეალური ნაწილია 6, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი 15.

გადაწყვეტილება. A \u003d 6 + j 15.

ალგებრული ფორმის გარდა, რთული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კიდევ სამში:

1. გრაფიკული;

2. ტრიგონომეტრიული;

3. საჩვენებელი.

ფორმების ასეთი მრავალფეროვნება მკვეთრია ამარტივებს გამოთვლებს სინუსოიდური სიდიდეები და მათი გრაფიკული წარმოდგენა.

განვიხილოთ თავის მხრივ გრაფიკული, ტრიგონომეტრიული და მაჩვენებლები-

რთული რიცხვების წარმოდგენის ახალი ფორმა.

რთული რიცხვების გრაფიკული წარმოდგენა

კომპლექსური რიცხვების გრაფიკული წარმოდგენისთვის პირდაპირი

ქვანახშირის კოორდინატთა სისტემა. ჩვეულებრივ (სასკოლო) კოორდინატთა სისტემაში, დადებითი ან უარყოფითი რეალური ნომრები.

სიმბოლურ მეთოდში მიღებულ კოორდინატთა სისტემაში x-ღერძის გასწვრივ

რეალური რიცხვები გამოსახულია სეგმენტების სახით, ხოლო წარმოსახვითი რიცხვები "y" ღერძის გასწვრივ

ბრინჯი. 1. კომპლექსური რიცხვების გრაფიკული წარმოდგენის საკოორდინატო სისტემა

მაშასადამე, x-ღერძს ეწოდება რეალური მნიშვნელობების ღერძი ან, მოკლედ, რეალური ღერძი.

y-ღერძს წარმოსახვითი ღერძი ან წარმოსახვითი ღერძი.

თვით სიბრტყეს (ანუ ფიგურის სიბრტყე), რომელზეც გამოსახულია რთული რიცხვები ან სიდიდეები, ე.წ. ინტეგრირებული თვითმფრინავი.

ამ სიბრტყეში კომპლექსური რიცხვი A = L + j M წარმოდგენილია A ვექტორით

(ნახ. 2), რომლის პროექცია რეალურ ღერძზე უდრის მის რეალურ ნაწილს Re A \u003d A "= L, ხოლო წარმოსახვითი ღერძზე პროექცია უდრის წარმოსახვით ნაწილს Im A \u003d A" \u003d მ.

(რე - ინგლისურიდან real - რეალური, რეალური, რეალური, Im - ინგლისურიდან imaginary - არარეალური, წარმოსახვითი).

ბრინჯი. 2. კომპლექსური რიცხვის გრაფიკული გამოსახვა

ამ შემთხვევაში რიცხვი A შეიძლება დაიწეროს როგორც

A \u003d A "+ A" \u003d Re A + j Im A (3) .

კომპლექსურ სიბრტყეში A რიცხვის გრაფიკული გამოსახულების გამოყენებით, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს და ვიღებთ რამდენიმე მნიშვნელოვან ურთიერთობას:

1. A ვექტორის სიგრძეს უწოდებენ მოდული ვექტორი და აღინიშნება |A|-ით.

პითაგორას თეორემის მიხედვით

|ა| = (4) .

2. A ვექტორის მიერ წარმოქმნილი α კუთხე და რეალური დადებითი ნახევრად

ღერძი ეწოდება არგუმენტი ვექტორი A და განისაზღვრება მისი ტანგენტის მიხედვით:

tg α \u003d A "/ A" \u003d Im A / Re A (5).

ამრიგად, რთული რიცხვის გრაფიკული წარმოდგენისთვის

A \u003d A "+ A" ვექტორის სახით, გჭირდებათ:

1. იპოვეთ ვექტორის მოდული |A| ფორმულის მიხედვით (4);

2. იპოვეთ tg α ვექტორის არგუმენტი ფორმულით (5);

3. იპოვეთ α კუთხე α = რკალი tg α მიმართებიდან;

4. j (x) კოორდინატთა სისტემაში დახაზეთ დამხმარე

სწორი ხაზი და მასზე, გარკვეულ მასშტაბზე, გამოვსახოთ ვექტორის |A|-ის მოდულის ტოლი სეგმენტი.

მაგალითი 2რთული ნომერი A \u003d 3 + j 4 წარმოდგენილია გრაფიკული ფორმით.

რთული რიცხვები, მათი წარმოდგენა თვითმფრინავზე. ალგებრული მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე. კომპლექსური კონიუგაცია. რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი. რთული რიცხვის ალგებრული და ტრიგონომეტრიული ფორმები. რთული რიცხვების ფესვები. რთული არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქცია. ეილერის ფორმულა. რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმა.

ინტეგრაციის ერთ-ერთი ძირითადი მეთოდის - რაციონალური წილადების ინტეგრაციის შესწავლისას საჭიროა კომპლექსური დომენის მრავალწევრების გათვალისწინება მკაცრი მტკიცებულებებისთვის. ამიტომ, ჯერ შევისწავლოთ რთული რიცხვების ზოგიერთი თვისება და მათზე მოქმედებები.

განმარტება 7.1. რთული რიცხვი z არის რეალური რიცხვების მოწესრიგებული წყვილი (a, b): z = (a, b) (ტერმინი „მოწესრიგებული“ ნიშნავს, რომ a და b რიცხვების თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია რთული რიცხვის ჩასაწერად: (a ბ))). ამ შემთხვევაში პირველ რიცხვს a ეწოდება z რთული რიცხვის რეალური ნაწილი და აღინიშნება a = Re z, ხოლო მეორე რიცხვს b ეწოდება z-ის წარმოსახვითი ნაწილი: b = Im z.

განმარტება 7.2. ორი რთული რიცხვი z 1 \u003d (a 1, b 1) და z 2 \u003d (a 2, b 2) ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ თანაბარი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები, ანუ a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე.

1. ჯამირთული რიცხვები z1 =(a 1, b 1) და z2 =(a 2, b 2 z=(ა, ბ) ისეთივე როგორც a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2.დანამატის თვისებები: ა) z1 + z2 = z2 + z1; ბ) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; გ) არის რთული რიცხვი 0 = (0,0): z + 0 =ზნებისმიერი რთული რიცხვისთვის ზ.

2. მუშაობართული რიცხვები z1 =(a 1, b 1) და z2 =(a 2, b 2) ეწოდება კომპლექსურ რიცხვს z=(ა, ბ) ისეთივე როგორც a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1.გამრავლების თვისებები: ა) z 1 z 2 = z 2 z 1; ბ) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, in) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

კომენტარი. კომპლექსური რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლე არის რეალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც განისაზღვრება ფორმის კომპლექსური რიცხვებით ( ა, 0). ჩანს, რომ ამ შემთხვევაში კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებების განსაზღვრა ინახავს რეალურ რიცხვებზე შესაბამისი მოქმედებების ცნობილ წესებს. გარდა ამისა, რეალური რიცხვი 1 = (1,0) ინარჩუნებს თავის თვისებას ნებისმიერ კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლებისას: 1∙ z = z.

განმარტება 7.3.კომპლექსური ნომერი (0, ბ) ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი. კერძოდ, რიცხვს (0,1) ეძახიან წარმოსახვითი ერთეულიდა სიმბოლურია მე.

წარმოსახვითი ერთეულის თვისებები:

1) i∙i=i² = -1; 2) წმინდა წარმოსახვითი რიცხვი (0, ბ) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რეალური რიცხვის ნამრავლი ( ბ, 0) და მე: (ბ, 0) = b∙i.

მაშასადამე, ნებისმიერი რთული რიცხვი z = (a,b) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

განმარტება 7.4. z = a + ib ფორმის აღნიშვნას რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა ეწოდება.

კომენტარი. რთული რიცხვების ალგებრული აღნიშვნა შესაძლებელს ხდის მათზე მოქმედებების შესრულებას ალგებრის ჩვეულებრივი წესების მიხედვით.

განმარტება 7.5. კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ z = a + ib-ის კომპლექსურ კონიუგატს.

3. გამოკლებართული რიცხვები განისაზღვრება, როგორც შეკრების შებრუნებული მოქმედება: z=(ა, ბ) ეწოდება კომპლექსურ რიცხვთა სხვაობას z1 =(a 1, b 1) და z2 =(a 2, b 2), თუ a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. განყოფილებართული რიცხვები განისაზღვრება, როგორც გამრავლების შებრუნებული მოქმედება: რიცხვი z = a + ibგაყოფის კოეფიციენტს უწოდებენ z 1 = a 1 + ib 1და z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) თუ z 1 = z∙z 2 .ამრიგად, კოეფიციენტის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების პოვნა შესაძლებელია განტოლებათა სისტემის ამოხსნიდან: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

რთული რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

კომპლექსური ნომერი z=(ა, ბ) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც წერტილი სიბრტყეზე კოორდინატებით ( ა, ბ) ან ვექტორი, რომლის საწყისია საწყისი და ბოლო წერტილი ( ა, ბ).

ამ შემთხვევაში, მიღებული ვექტორის მოდული ეწოდება მოდულირთული რიცხვი, ხოლო ვექტორის მიერ x-ღერძის დადებითი მიმართულების წარმოქმნილი კუთხე არის არგუმენტინომრები. Იმის გათვალისწინებით, რომ a = p cos φ, b = ρცოდვა φ, სადაც ρ = |ზ| - მოდული z,და φ = arg z არის მისი არგუმენტი, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ რთული რიცხვის ჩაწერის სხვა ფორმა:

განმარტება 7.6.შესვლის ნახვა

z = გვ(კოს φ + iცოდვა φ ) (7.1)

დაურეკა ტრიგონომეტრიული ფორმართული რიცხვის აღნიშვნა.

თავის მხრივ, რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი შეიძლება გამოიხატოს თვალსაზრისით ადა ბ: . მაშასადამე, რთული რიცხვის არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, არამედ ტერმინამდე, რომელიც არის 2π-ის ჯერადი.

ადვილი მისახვედრია, რომ რთული რიცხვების შეკრების ოპერაცია შეესაბამება ვექტორების შეკრების ოპერაციას. განვიხილოთ გამრავლების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. დაე მერე

მაშასადამე, ორი რთული რიცხვის ნამრავლის მოდული მათი მოდულების ნამრავლის ტოლია, არგუმენტი კი მათი არგუმენტების ჯამია. შესაბამისად, გაყოფისას კოეფიციენტის მოდული უდრის დივიდენდის და გამყოფის მოდულების შეფარდებას და არგუმენტი არის განსხვავება მათ არგუმენტებს შორის.

გამრავლების ოპერაციის განსაკუთრებული შემთხვევაა სიძლიერე:

- დე მოივრის ფორმულა.

მიღებული მიმართებების გამოყენებით ჩვენ ჩამოვთვლით რთული კონიუგატური რიცხვების ძირითად თვისებებს:

რთული რიცხვები

Ძირითადი ცნებები

რიცხვის საწყისი მონაცემები ქვის ხანას - პალეომელიტს ეხება. ეს არის "ერთი", "რამდენიმე" და "ბევრი". ისინი ჩაწერილი იყო ჭრილების, კვანძების და ა.შ. შრომითი პროცესების განვითარებამ და საკუთრების გაჩენამ აიძულა ადამიანი გამოეგონა რიცხვები და მათი სახელები. პირველად გამოჩნდა ბუნებრივი რიცხვები ნმიღებული ობიექტების დათვლით. შემდეგ, დათვლის აუცილებლობასთან ერთად, ადამიანებს გაუჩნდათ საჭიროება გაზომონ სიგრძეები, ფართობები, მოცულობა, დრო და სხვა რაოდენობები, სადაც საჭირო იყო გამოყენებული საზომის ნაწილების გათვალისწინება. ასე დაიბადა წილადები. წილადი და უარყოფითი რიცხვის ცნებების ფორმალური დასაბუთება განხორციელდა მე-19 საუკუნეში. მთელი რიცხვების ნაკრები ზარის ნატურალური რიცხვები, ნატურალური რიცხვები მინუს ნიშნით და ნულით. მთელი და წილადი რიცხვები ქმნიდნენ რაციონალურ რიცხვთა ერთობლიობას Q,მაგრამ ისიც კი არასაკმარისი აღმოჩნდა მუდმივად ცვალებადი ცვლადების შესასწავლად. გენეზისმა კვლავ აჩვენა მათემატიკის არასრულყოფილება: ფორმის განტოლების ამოხსნის შეუძლებლობა. X 2 = 3, ამასთან დაკავშირებით გამოჩნდა ირაციონალური რიცხვები ᲛᲔ.რაციონალური რიცხვების სიმრავლის კავშირი ქდა ირაციონალური რიცხვები მეარის რეალური (ან რეალური) რიცხვების ერთობლიობა რ. შედეგად, რიცხვითი სტრიქონი ივსებოდა: თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამებოდა მასზე არსებულ წერტილს. მაგრამ გადასაღებ მოედანზე რგანტოლების ამოხსნის გზა არ არსებობს X 2 = – ა 2. შესაბამისად, კვლავ გაჩნდა რიცხვის ცნების გაფართოების საჭიროება. ასე რომ, 1545 წელს გამოჩნდა რთული რიცხვები. მათმა შემქმნელმა ჯ. კარდანომ მათ უწოდა "წმინდა ნეგატიური". სახელი "წარმოსახვითი" შემოიღო 1637 წელს ფრანგმა რ. დეკარტმა, 1777 წელს ეილერმა შესთავაზა ფრანგული ნომრის პირველი ასოს გამოყენება. მეწარმოსახვითი ერთეულის აღსანიშნავად. ეს სიმბოლო საერთო ხმარებაში შევიდა კ.გაუსის წყალობით.

მე-17 და მე-18 საუკუნეებში გრძელდებოდა განხილვა წარმოსახვის არითმეტიკული ხასიათისა და მათი გეომეტრიული ინტერპრეტაციის შესახებ. დანიელმა ჰ.ვესელმა, ფრანგმა ჟ. არგანმა და გერმანელმა კ.გაუსმა დამოუკიდებლად ვარაუდობდნენ, რომ რთული რიცხვი გამოესახათ კოორდინატულ სიბრტყეზე წერტილით. მოგვიანებით გაირკვა, რომ კიდევ უფრო მოსახერხებელი იყო რიცხვის წარმოდგენა არა თავად წერტილით, არამედ საწყისიდან ამ წერტილამდე მიმავალი ვექტორით.

მხოლოდ მე-18 საუკუნის ბოლოს - მე-19 საუკუნის დასაწყისში კომპლექსურმა რიცხვებმა დაიკავა თავისი კანონიერი ადგილი მათემატიკური ანალიზში. მათი პირველი გამოყენება იყო დიფერენციალური განტოლებების თეორიაში და ჰიდროდინამიკის თეორიაში.

განმარტება 1.რთული რიცხვიეწოდება ფორმის გამოხატულება, სადაც xდა წარის რეალური რიცხვები და მეარის წარმოსახვითი ერთეული, .

ორი რთული რიცხვი და თანაბარითუ და მხოლოდ თუ , .

თუ , მაშინ ნომერი იწოდება წმინდა წარმოსახვითი; თუ , მაშინ რიცხვი არის რეალური რიცხვი, რაც ნიშნავს რომ სიმრავლე რ თან, სად თანარის რთული რიცხვების სიმრავლე.

კონიუგირებულიკომპლექსურ რიცხვს ეწოდება რთული რიცხვი.

რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა.

ნებისმიერი რთული რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი წერტილით. მ(x, წ) თვითმფრინავი ოქსი.რეალური რიცხვების წყვილი ასევე აღნიშნავს რადიუსის ვექტორის კოორდინატებს , ე.ი. სიბრტყეზე ვექტორთა სიმრავლესა და კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეს შორის შეიძლება დადგინდეს ერთი-ერთზე შესაბამისობა: .

განმარტება 2.რეალური ნაწილი X.

Დანიშნულება: x= რე ზ(ლათინური Realis-დან).

განმარტება 3.წარმოსახვითი ნაწილიკომპლექსურ რიცხვს ნამდვილ რიცხვს უწოდებენ წ.

Დანიშნულება: წ= მე ზ(ლათინური Imaginarius-დან).

რე ზდეპონირებულია ღერძზე ( ოჰ), მე ზდეპონირებულია ღერძზე ( ოი), მაშინ კომპლექსური რიცხვის შესაბამისი ვექტორი არის წერტილის რადიუსის ვექტორი მ(x, წ), (ან მ(რე ზ, მე ზ)) (სურ. 1).

განმარტება 4.სიბრტყე, რომლის წერტილები დაკავშირებულია რთული რიცხვების სიმრავლესთან, ეწოდება რთული თვითმფრინავი. აბსცისა ე.წ რეალური ღერძირადგან ის შეიცავს რეალურ რიცხვებს. y-ღერძი ეწოდება წარმოსახვითი ღერძი, ის შეიცავს წმინდა წარმოსახვით კომპლექსურ რიცხვებს . კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება თან.

განმარტება 5.მოდულირთული რიცხვი ზ = (x, წ) არის ვექტორის სიგრძე : , ე.ი. .

განმარტება 6.არგუმენტირთული რიცხვი ეწოდება კუთხეს ღერძის დადებით მიმართულებას შორის ( ოჰ) და ვექტორი: .

შენიშვნა 3.თუ წერტილი ზდევს რეალურ ან წარმოსახვით ღერძზე, ის შეიძლება პირდაპირ მოიძებნოს.

რთული რიცხვების შემდეგი ფორმები არსებობს: ალგებრული(x+iy), ტრიგონომეტრიული(r(cos+isin )), დემონსტრაცია(რე ი ).

ნებისმიერი რთული რიცხვი z=x+iy შეიძლება იყოს წარმოდგენილი XOY სიბრტყეზე A(x, y) წერტილით.

სიბრტყეს, რომელზეც რთული რიცხვებია გამოსახული, ეწოდება z რთული ცვლადის სიბრტყე (სიბრტყეზე ვსვამთ სიმბოლოს z).

OX ღერძი არის რეალური ღერძი, ე.ი. ის შეიცავს რეალურ რიცხვებს. OS არის წარმოსახვითი ღერძი წარმოსახვითი რიცხვებით.

x+iy- რთული რიცხვის ჩაწერის ალგებრული ფორმა.

ჩვენ ვიღებთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიულ ფორმას.

მიღებულ მნიშვნელობებს ვცვლით საწყის ფორმაში: , ე.ი.

r (cos+ისინ) - რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმა გამომდინარეობს ეილერის ფორმულიდან:
, მაშინ

z= რე მე - რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა.

მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე.

1. დამატება. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . გამოკლება. z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);

3. გამრავლება. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . დაყოფა. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

ორი რთული რიცხვი, რომლებიც განსხვავდება მხოლოდ წარმოსახვითი ერთეულის ნიშნით, ე.ი. z=x+iy (z=x-iy) კონიუგატს უწოდებენ.

მუშაობა.

z1=r(cos +ისინ ); z2=r(cos +ისინ ).

კომპლექსური რიცხვების ეს ნამრავლი z1*z2 არის: , ე.ი. პროდუქტის მოდული უდრის მოდულების ნამრავლს, ხოლო პროდუქტის არგუმენტი უდრის ფაქტორების არგუმენტების ჯამს.

;
;

კერძო.

თუ რთული რიცხვები მოცემულია ტრიგონომეტრიული სახით.

თუ რთული რიცხვები მოცემულია ექსპონენციალური ფორმით.

ექსპონენტაცია.

1. კომპლექსური რიცხვი მოცემულია ალგებრული ფორმა.

z=x+iy, შემდეგ z n იპოვება მიერ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა:

- n ელემენტის კომბინაციების რაოდენობა m-ით (გზების რაოდენობა, რომლითაც n ელემენტი შეიძლება ავიღოთ m-დან).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

გამოიყენება რთული რიცხვებისთვის.

შედეგად გამონათქვამში, თქვენ უნდა შეცვალოთ i-ს ძალა მათი მნიშვნელობებით:

i 0 =1 აქედან გამომდინარე, ზოგად შემთხვევაში ვიღებთ: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

მაგალითი.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. ტრიგონომეტრიული ფორმა.

z=r(cos +ისინ ), შემდეგ

- დე მოივრის ფორმულა.

აქ n შეიძლება იყოს როგორც „+“ და „-“ (მთლიანი).

3. თუ მოცემულია რთული რიცხვი დემონსტრაციული ფორმა:

ფესვის მოპოვება.

განვიხილოთ განტოლება:
.

მისი ამონახსნი არის z კომპლექსური რიცხვის n-ე ფესვი:
.

z რთული რიცხვის n-ე ფესვს აქვს ზუსტად n ამონახსნები (მნიშვნელობები). მიმდინარე რიცხვის n-ე ფესვს აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი. კომპლექსურ - n ხსნარებში.

თუ მოცემულია რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმა:

z=r(cos +ისინ ), შემდეგ z-ის n-ე ფესვი გვხვდება ფორმულით:

, სადაც k=0.1…n-1.

რიგები. რიცხვითი ხაზები.

მოდით ცვლადმა a მიიღოს თანმიმდევრულად მნიშვნელობები a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n . რიცხვთა ასეთ ჩამოთვლილ სიმრავლეს თანმიმდევრობა ეწოდება. ის უსასრულოა.

რიცხვების სერია არის გამოხატულება a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . რიცხვები a 1, a 2, a 3, ... და n სერიის წევრები არიან.

Მაგალითად.

და 1 არის სერიის პირველი წევრი.

და n არის რიგის n-ე ან საერთო წევრი.

სერია მიჩნეულად ითვლება, თუ ცნობილია n-ე (სერიის საერთო ტერმინი).

რიცხვთა სერიას ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა.

მრიცხველები - არითმეტიკული პროგრესია (1,3,5,7…).

n-ე წევრი გვხვდება ფორმულით a n = a 1 + d (n-1); d=a n -a n-1 .

მნიშვნელი - გეომეტრიული პროგრესია. b n =b 1 q n-1;
.

განვიხილოთ სერიის პირველი n წევრის ჯამი და აღვნიშნოთ Sn-ით.

Sn=a1+a2+…+a n.

Sn არის სერიის n-ე ნაწილობრივი ჯამი.

განიხილეთ ლიმიტი:

S არის სერიის ჯამი.

რიგები კონვერგენტული თუ ეს ზღვარი სასრულია (არსებობს სასრული ზღვარი S).

მწკრივი განსხვავებული თუ ეს ზღვარი უსასრულოა.

სამომავლოდ ჩვენი ამოცანაა: დავადგინოთ რომელი სერია.

ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული სერია არის გეომეტრიული პროგრესია.

, C=კონსტ.

გეომეტრიული პროგრესია არისთანხვედრა ახლოს, თუ
და განსხვავებული თუ
.

ასევე ნაპოვნია ჰარმონიული სერია(რიგი
). ეს რიგი განსხვავებული .

რთული რიცხვის დაყენება უდრის ორი რეალური რიცხვის დაყენებას a, b - ამ რთული რიცხვის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. მაგრამ რიცხვების მოწესრიგებული წყვილი წარმოდგენილია დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წერტილით კოორდინატებით.ამგვარად, ეს წერტილი ასევე შეიძლება იყოს გამოსახულება კომპლექსური რიცხვისთვის: კომპლექსურ რიცხვებსა და წერტილებს შორის ერთ-ერთი შესაბამისობა იქმნება. კოორდინატთა სიბრტყის. კომპლექსური რიცხვების გამოსახატავად კოორდინატთა სიბრტყის გამოყენებისას, Ox ღერძს ჩვეულებრივ უწოდებენ რეალურ ღერძს (რადგან რიცხვის რეალური ნაწილი აღებულია წერტილის აბსცისად), ხოლო Oy ღერძი არის წარმოსახვითი ღერძი (წარმოსახვითი ნაწილის გამო. რიცხვის მიიღება პუნქტის ორდინატად). კომპლექსურ რიცხვს z, რომელიც წარმოდგენილია წერტილით (a, b) ამ წერტილის აფიქსი ეწოდება. ამ შემთხვევაში, რეალური რიცხვები წარმოდგენილია წერტილებით, რომლებიც მდებარეობს რეალურ ღერძზე, ხოლო ყველა წმინდა წარმოსახვითი რიცხვი (a = 0-სთვის) წარმოდგენილია წარმოსახვით ღერძზე მდებარე წერტილებით. რიცხვი ნული წარმოდგენილია O წერტილით.

ნახ. რიცხვების 8 აგებული გამოსახულება.

ორი რთული კონიუგატური რიცხვი წარმოდგენილია Ox-ის ღერძის მიმართ სიმეტრიული წერტილებით (პუნქტები სურ. 8-ზე).

ხშირად კომპლექსურ რიცხვთან ასოცირდება არა მხოლოდ წერტილი M, რომელიც წარმოადგენს ამ რიცხვს, არამედ ვექტორი OM (იხ. პუნქტი 93), რომელიც მიდის O-დან M-მდე; რიცხვის ვექტორით წარმოდგენა მოსახერხებელია რთული რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების მოქმედების გეომეტრიული ინტერპრეტაციის თვალსაზრისით.

ნახ. 9, a ნაჩვენებია, რომ ვექტორი, რომელიც ასახავს კომპლექსურ რიცხვთა ჯამს, მიღებულია პარალელოგრამის დიაგონალის სახით, რომელიც აგებულია ტერმინების გამომსახველ ვექტორებზე.

ვექტორის დამატების ეს წესი ცნობილია როგორც პარალელოგრამის წესი (მაგალითად, ძალების ან სიჩქარის დასამატებლად ფიზიკის კურსში). გამოკლება შეიძლება შემცირდეს დამატებამდე საპირისპირო ვექტორით (ნახ. 9ბ).

როგორც ცნობილია (სექ. 8), წერტილის პოზიცია სიბრტყეზე ასევე შეიძლება განისაზღვროს მისი პოლარული კოორდინატებით.ამგვარად, კომპლექსური რიცხვი - წერტილის აფიქსი ასევე განისაზღვრება მინიჭებით. 10 ნათელია, რა არის ერთდროულად რთული რიცხვის მოდული: რიცხვის გამომსახველი წერტილის პოლარული რადიუსი ტოლია ამ რიცხვის მოდულის.

M წერტილის პოლარულ კუთხეს ამ წერტილით წარმოდგენილი რიცხვის არგუმენტი ეწოდება. რთული რიცხვის არგუმენტი (როგორც წერტილის პოლარული კუთხე) არ არის ცალსახად განსაზღვრული; თუ არის მისი ერთ-ერთი მნიშვნელობა, მაშინ მისი ყველა მნიშვნელობა გამოიხატება ფორმულით

არგუმენტის ყველა მნიშვნელობა აგრეგატში აღინიშნება სიმბოლოთი.

ასე რომ, ნებისმიერი რთული რიცხვი შეიძლება ასოცირებული იყოს წყვილ რეალურ რიცხვთან: მოდული და მოცემული რიცხვის არგუმენტი, და არგუმენტი განისაზღვროს ორაზროვნად. ამის საპირისპიროდ, მოცემული მოდული და არგუმენტი შეესაბამება ერთ რიცხვს, რომელსაც აქვს მოცემული მოდული და არგუმენტი. რიცხვ ნულს აქვს სპეციალური თვისებები: მისი მოდული არის ნული, არგუმენტს არ ენიჭება კონკრეტული მნიშვნელობა.

რთული რიცხვის არგუმენტის განსაზღვრაში უნიკალურობის მისაღწევად, არგუმენტის ერთ-ერთ მნიშვნელობას შეიძლება ეწოდოს მთავარი. იგი აღინიშნება სიმბოლოთი. როგორც წესი, არგუმენტის მთავარ მნიშვნელობად არჩეულია მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობებს

(სხვა შემთხვევებში, უთანასწორობა).

ასევე ყურადღება მივაქციოთ რეალური და წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების არგუმენტის მნიშვნელობებს:

რთული რიცხვის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები (როგორც წერტილის დეკარტის კოორდინატები) გამოიხატება მისი მოდულისა და არგუმენტის მიხედვით (წერტილის პოლარული კოორდინატები) ფორმულების გამოყენებით (8.3):

და რთული რიცხვი შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმით.