სამკუთხედის ფართობი ABCუდრის 12 . სწორ ხაზზე ACაღებული წერტილი დისე
წერტილი Cარის სეგმენტის შუა წერტილი ახ.წ. Წერტილი კ- შუა მხარე AB,
სწორი კდკვეთს მხარეს ძვ.წწერტილში ლ.
ა) დაამტკიცეთ ეს BL:LC=2:1.
ბ) იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი BLK.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ყურადღებით გავაკეთებთ ნახატს, აღვნიშნავთ სეგმენტების თანასწორობას გზაზე.

ახლა ამის დანახვა ადვილია წერტილების შეერთებით ATდა დ, ვიღებთ სამკუთხედს ABD,
სადაც DKდა მზეარის მედიანები განსაზღვრებით (გახსოვს?)

ხოლო მედიანები გადაკვეთის წერტილში იყოფა 2: 1 ითვლიან ზემოდან.
კეთდება. დაწერე, შეგიძლია შენ თვითონ დაამტკიცო ეს ქონება?
იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი BLKშეიძლება იყოს განსხვავებული. დაე AE- მესამე მედიანა

სამკუთხედი ABD, ის გაივლის წერტილს ლპირველი ორის კვეთა.
მედიანური მზეყოფს სამკუთხედს ABDორ თანაბარ სამკუთხედად.
ამიტომ ტერიტორია ABDორჯერ ფართობი ABCდა ტოლია 12 2 = 24.
სამი მედიანა ყოფს სამკუთხედს თანაბარი ფართობის ექვს სამკუთხედად.
აქედან ადვილია სასურველი სამკუთხედის ფართობის პოვნა BLK. 24:6 = 4 .
მე აღვნიშნავ, რომ ორივე ეს განცხადება ასევე უნდა იყოს დამტკიცებული.
========================================
შეგიძლიათ შეადაროთ სამკუთხედების ფართობი BLKდა ABCმედიანას შეხების გარეშე.

ამ სამკუთხედებს აქვთ საერთო კუთხე ATგამოვიყენოთ ეს ფაქტი.

მოდით ვიპოვოთ ფართობის თანაფარდობა:

ასე რომ, ტერიტორია BLKფართობი სამჯერ ABC.

ABC სამკუთხედის ფართობი არის 198. ბისექტორი AL კვეთს შუა BM-ს K წერტილში. იპოვეთ MCLK ოთხკუთხედის ფართობი, თუ ცნობილია BL:CL=7:4.

ესკიზის აგება:

საკმაოდ რთულია პრობლემის გადაჭრის პროგრესის დაუყონებლივ დანახვა, მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია დავსვათ კითხვა: რისი პოვნა შეიძლება მოცემული მდგომარეობისა და ჩვენთვის ცნობილი თვისებების გამოყენებით?

ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ რამდენიმე სამკუთხედის ფართობი, განვიხილოთ:

მას შემდეგ, რაც AM \u003d MC, მაშინ სამკუთხედების ფართობი ტოლი იქნება, ანუ:

განვიხილოთ სამკუთხედები ALB და ALC. პირობა ამბობს BL:CL=7:4. შემოვიღოთ პროპორციულობის კოეფიციენტი „x“ და ჩავწეროთ მათი ფართობების ფორმულები:

ფართობის თანაფარდობა იქნება:

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ S ALB +S ALC =198. ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ფართობი:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ არ გვაქვს მოცემული კუთხეები და წრფივი ზომები (ელემენტების სიგრძე), ამიტომ არ უნდა დახარჯოთ ძალისხმევა კუთხეების და სიგრძის გამოთვლაზე (გვერდები, მედიანები, ბისექტრები და ა.შ.). რატომ?

როდესაც სეგმენტების (კუთხეების) თანაფარდობა მოცემულია მდგომარეობაში და არ არის ერთი კონკრეტული მნიშვნელობა, მაშინ, სავარაუდოდ, ასეთი მონაცემებით შესაძლებელია ფიგურის მრავალი ვარიანტის აგება. *ყველა მოსწავლისთვის არ არის შესაძლებელი მისი დაუყოვნებლივ ხილვა, საჭიროა გამოცდილება.

ამიტომ, ასეთ შემთხვევებში, შეეცადეთ გამოიყენოთ თანაფარდობები - კერძოდ: ელემენტების თანაფარდობა, ფართობები, გამოიყენეთ სამკუთხედების მსგავსება, თუ ეს შესაძლებელია.

აქ შეგვიძლია ვიპოვოთ სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობა. გამოვსახოთ სამკუთხედების ფართობი:

გამომდინარე იქიდან, რომ AM=MC გამოდის, რომ

ახლა ყურადღება! ჩვენ ახლოს ვართ დასრულებასთან. არის კიდევ ერთი მიმართება, საიდანაც შეგვიძლია დავადგინოთ ორი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა. გამოთქვით სამკუთხედების ფართობი.

დაე, საჭირო გახდეს ABC სამკუთხედის ფართობის განსაზღვრა. მოდით გავავლოთ სწორი ხაზები მის C და B წვეროებში, AB და AC გვერდების პარალელურად.

ვიღებთ პარალელოგრამს ABDC. მისი ფართობი უდრის AB ფუძისა და CO სიმაღლის ნამრავლს. პარალელოგრამი ABDC შედგება ორი თანაბარი სამკუთხედისგან ABC და BCD, შესაბამისად, სამკუთხედის ფართობი უდრის პარალელოგრამის ფართობის ნახევარს, ანუ S\(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.

აქედან: სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფუძის ნამრავლის ნახევარი მის სიმაღლეზე.

S \(\დელტა\) = \(\frac(a h)(2)\)

ეს ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, ან S \(\Delta\) = ა\(\frac(h)(2)\).

ფორმულები სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად

1. გეომეტრიიდან ცნობილია ჰერონის ფორმულა:

$$ S = \sqrt(p (p - a)(p - b) (p - c)),$$

(სადაც p = ( a + b + c) / 2 - ნახევრად პერიმეტრი), რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი მის გვერდებზე.

2 . თეორემა. სამკუთხედის ფართობი უდრის ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს:

S=1/2 ძვ.წ sinA.

მტკიცებულება.გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის სამკუთხედის გვერდის ნამრავლის ნახევარს და საპირისპირო წვეროდან ამ მხარეს ჩამოვარდნილი სიმაღლე.

S=1/2 ბ სთ ბ (1)

თუ კუთხე A მწვავეა, მაშინ ABH სამკუთხედიდან ვიპოვით BH = h b = c sinA.

თუ კუთხე A ბლაგვია, მაშინ

HH = h b = cცოდვა (π - ა)= თან sinA.

თუ კუთხე A სწორია, მაშინ sin A = 1 და
hb=AB= თან = თან sinA.

ამიტომ ყველა შემთხვევაში h b = c sin A. ჩანაცვლებით ტოლობით (1), მივიღებთ დასამტკიცებელ ფორმულას.

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს: S = 1/2 აბცოდვა C= 1/2 აწცოდვა B

3. სინუსების თეორემაზე დაყრდნობით:

$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$

ამ გამონათქვამების (1) ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ შემდეგ ფორმულას:

$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$