სინუსიმართკუთხა სამკუთხედის α მახვილი კუთხე არის თანაფარდობა საწინააღმდეგოკათეტერი ჰიპოტენუზაში.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: sin α.
კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: cos α.
ტანგენტიმწვავე კუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: tg α.
კოტანგენსიმწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctg α.
კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.
წესები:
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები მართკუთხა სამკუთხედში:
(α - მწვავე კუთხე ფეხის მოპირდაპირედ ბ და ფეხის მიმდებარედ ა . მხარე თან - ჰიპოტენუზა. β - მეორე მწვავე კუთხე).
ბ | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
ა | 1 | |
ბ | 1 | |
ა | 1 1 | |
sina |
როგორც მწვავე კუთხე იზრდებასინა დაtg α ზრდა დაcos α მცირდება.
ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
განმარტებითი მაგალითი:
ჩავდოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC
AB = 6,
BC = 3,
კუთხე A = 30º.
იპოვეთ A კუთხის სინუსი და B კუთხის კოსინუსი.
გადაწყვეტილება .
1) ჯერ ვიპოვით B კუთხის მნიშვნელობას. აქ ყველაფერი მარტივია: რადგან მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90º, შემდეგ კუთხე B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) გამოთვალეთ ცოდვა A. ვიცით, რომ სინუსი ტოლია მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებასა და ჰიპოტენუზას. A კუთხისთვის მოპირდაპირე ფეხი არის BC მხარე. Ისე:
ძვ.წ 3 1
ცოდვა A = -- = - = -
AB 6 2
3) ახლა ჩვენ გამოვთვალეთ cos B. ვიცით, რომ კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. B კუთხისთვის, მიმდებარე ფეხი არის იგივე მხარე BC. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ კვლავ უნდა დავყოთ BC AB-ად - ანუ შეასრულოთ იგივე მოქმედებები, როგორც A კუთხის სინუსის გამოთვლისას:
ძვ.წ 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
შედეგი არის:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ერთი მახვილი კუთხის სინუსი უდრის სხვა მახვილი კუთხის კოსინუსს - და პირიქით. ეს არის ზუსტად ის, რასაც ჩვენი ორი ფორმულა ნიშნავს:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
მოდით კიდევ ერთხელ შევამოწმოთ:
1) მოდით α = 60º. α-ს მნიშვნელობის სინუს ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
ცოდვა (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) მოდით α = 30º. α-ს მნიშვნელობის ჩანაცვლებით კოსინუსების ფორმულაში მივიღებთ:
cos (90° - 30º) = ცოდვა 30º.
cos 60° = ცოდვა 30º.
(ტრიგონომეტრიის შესახებ მეტი იხილეთ ალგებრას განყოფილება)
მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.
ტრიგონომეტრიის წარმოშობა
ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განსაზღვრით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.
ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ განყოფილების შესწავლის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს განხილული ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობები ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.
პირველი ეტაპი
თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე ექსკლუზიურად მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.
დღეს სკოლაში ტრიგონომეტრიის შესწავლა იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომლითაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.
სფერული ტრიგონომეტრია
მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც მოქმედებს სხვადასხვა წესები და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება "რკალის ფორმის" სამგანზომილებიანი სივრცე.
აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. სწორედ ასეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.
მართკუთხა სამკუთხედი
ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.
პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.
მაგალითად, თუ ორი გვერდი 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.
დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.
განმარტება
და ბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.
კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის იქნება ერთზე ნაკლები. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.
და ბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. შეხედე: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.
კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ განმარტებები იმის შესახებ, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გაუმკლავდეთ ფორმულებს.
უმარტივესი ფორმულები
ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? და ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.
პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლის დაწყებისას ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ გსურთ იცოდეთ კუთხის მნიშვნელობა და არა გვერდი.
ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიტანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.
ორმაგი კუთხის ფორმულები და არგუმენტების დამატება
კიდევ ორი ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, უკავშირდება სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებს კუთხეების ჯამისთვის და სხვაობისთვის. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორე შემთხვევაში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.
ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ მიიღოთ ისინი თავად, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.
და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.
თეორემები
ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.
სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის მოპირდაპირე კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ ერთსა და იმავე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.
კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.
შეცდომები უყურადღებობის გამო
იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავეცნოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.
პირველი, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად, სანამ საბოლოო შედეგი არ მიიღება - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ჩვეულებრივ წილადად, თუ პირობა სხვაგვარად არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ეწოდოს, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ამოცანის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება „მახინჯი“ რიცხვების დამრგვალებას.
გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.
მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა მარტივია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.
განაცხადი
ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.
ბოლოს და ბოლოს
ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.
ტრიგონომეტრიის მთელი არსი ემყარება იმ ფაქტს, რომ უცნობი პარამეტრები უნდა გამოითვალოს სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრებიდან. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. ამოცანების მთელი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.
როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობას, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. აქ კი ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარება.
ინსტრუქცია
Მსგავსი ვიდეოები
შენიშვნა
მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაანგარიშებისას, მისი მახასიათებლების ცოდნა შეიძლება ითამაშოს:
1) თუ მართი კუთხის ფეხი დევს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, მაშინ ის უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს;
2) ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე რომელიმე ფეხი;
3) თუ წრე შემოიფარგლება მართკუთხა სამკუთხედის ირგვლივ, მაშინ მისი ცენტრი უნდა იყოს ჰიპოტენუზის შუაში.
ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა.
ინსტრუქცია
გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. დაზუსტებისთვის, ეს იყოს ფეხი |AB| და კუთხე α. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა მიმდებარე ფეხის ტრიგონომეტრიული კოსინუსი - კოსინუსის თანაფარდობისთვის. იმათ. ჩვენს აღნიშვნით cos α = |AB| / |AC|. აქედან ვიღებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს |AC| = |AB| / cosα.
თუ ვიცით ფეხი |ძვ.წ.| და კუთხე α, შემდეგ ვიყენებთ კუთხის სინუსის გამოსათვლელ ფორმულას - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin α = |BC| / |AC|. ჩვენ ვიღებთ, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძე გვხვდება როგორც |AC| = |ძვ.წ.| / cosα.
სიცხადისთვის, განიხილეთ მაგალითი. მოდით ფეხის სიგრძე |AB| = 15. და კუთხე α = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
იფიქრეთ იმაზე, თუ როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. tg α = |BC| კუთხის ტანგენტის ფორმულის გამოყენებით / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, ვიღებთ 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.
სასარგებლო რჩევა
ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.
წყაროები:
- მარტივი რიცხვების ცხრილი 1-დან 10000-მდე
ფეხებიდაასახელეთ მართკუთხა სამკუთხედის ორი მოკლე გვერდი, რომლებიც ქმნიან მის წვეროს, რომლის მნიშვნელობა არის 90 °. ასეთ სამკუთხედში მესამე გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. სამკუთხედის ყველა ეს გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული ურთიერთობებით, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფეხის სიგრძე, თუ ცნობილია რამდენიმე სხვა პარამეტრი.
ინსტრუქცია
გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ფეხისთვის (A), თუ იცით მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის (B და C) სიგრძე. ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ ფეხების სიგრძის კვადრატში ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატულ ფესვს: A=√(C²-B²).
გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის "სინუსი" განმარტება მწვავე კუთხისთვის, თუ იცით კუთხის (α) მნიშვნელობა გამოთვლილი ფეხის საპირისპიროდ და ჰიპოტენუზის სიგრძე (C). ეს ამბობს, რომ ამის ცნობილი სინუსი არის სასურველი ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. ეს არის ის, რომ სასურველი ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის სინუსის ნამრავლს: A=C∗sin(α). იგივე ცნობილი მნიშვნელობებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსეკანტი და გამოთვალოთ სასურველი სიგრძე ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის კოსეკანტზე A=C/cosec(α).
გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციის განმარტება, თუ ჰიპოტენუზის სიგრძის გარდა (C), ასევე ცნობილია საჭიროს მიმდებარე მახვილი კუთხის (β) მნიშვნელობა. ამ კუთხის კოსინუსი არის სასურველი ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა და აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და ცნობილი კუთხის კოსინუსის სიგრძის ნამრავლს: A=C∗cos(β). შეგიძლიათ გამოიყენოთ სეკანტური ფუნქციის განსაზღვრება და გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/წმ(β) სეკანტზე.
გამოიტანეთ საჭირო ფორმულა მსგავსი განმარტებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის წარმოებულისთვის, თუ სასურველი ფეხის (A) მოპირდაპირე მდებარე მწვავე კუთხის (α) მნიშვნელობის გარდა, მეორე ფეხის (B) სიგრძეა. ცნობილია. სასურველი ფეხის მოპირდაპირე კუთხის ტანგენსი არის ამ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა მეორე ფეხის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი მნიშვნელობა ტოლი იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის ტანგენტის ნამრავლის: A=B∗tg(α). ამ იგივე ცნობილი რაოდენობებიდან, სხვა ფორმულა შეიძლება გამოვიდეს კოტანგენტის ფუნქციის განსაზღვრის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ფეხის სიგრძის გამოსათვლელად საჭირო იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძის შეფარდება ცნობილი კუთხის კოტანგენსთან: A=B/ctg(α).
Მსგავსი ვიდეოები
სიტყვა "კატეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში ფეხებს უწოდებენ გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "ფეხი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.
ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB=c/b. გამოდის კოსინუსის რეციპროკული, ანუ შეიძლება გამოისახოს ფორმულით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის საპირისპირო ფეხზე გაყოფის კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB
ორივე ფეხი ურთიერთდაკავშირებული და კოტანგენტურია. ამ შემთხვევაში, ტანგენტი იქნება a მხარის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე ფეხი მეზობელთან. ეს თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.
ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის თანაფარდობა განისაზღვრა ძველი ბერძნული პითაგორას მიერ. თეორემა, მისი სახელი, ხალხი ჯერ კიდევ იყენებს. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 \u003d a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).
ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოხატული იყოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. შეგიძლიათ გამოხატოთ ის და ან კოტანგენტი. ფეხი a შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფორმულით a \u003d b * tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან , მეორე ფეხი განისაზღვრება.
არქიტექტურაში ასევე გამოიყენება ტერმინი „ფეხი“. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და ზურგის შუაში. ანუ, ამ შემთხვევაში, ამ ვადით, მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.
შედუღების ტექნოლოგიაში არის "ფილე შედუღების ფეხი". როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. აქ საუბარია უფსკრულის შესახებ შედუღებამდე ერთ ნაწილს შორის მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვარზე.
Მსგავსი ვიდეოები
წყაროები:
- რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა 2019 წელს
რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი, დაგეხმარებათ მართკუთხა სამკუთხედის გაგებაში.
რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს? ასეა, ჰიპოტენუზა და ფეხები: ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ (ჩვენს მაგალითში ეს არის გვერდი \ (AC \) ); ფეხები არის ორი დარჩენილი მხარე \ (AB \) და \ (BC \) (ისინი, რომლებიც გვერდით არიან მართი კუთხით), უფრო მეტიც, თუ გავითვალისწინებთ ფეხებს კუთხის \ (BC \) მიმართ, მაშინ ფეხი \ (AB \) არის მიმდებარე ფეხი, ხოლო ფეხი \ (BC \) საპირისპიროა. ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?
კუთხის სინუსი- ეს არის საპირისპირო (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
კუთხის კოსინუსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
კუთხის ტანგენსი- ეს არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე (ახლო) მიმართ.
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო (შორს).
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
ეს განმარტებები აუცილებელია გახსოვდეს! იმისათვის, რომ გაგიადვილდეთ დაიმახსოვროთ რომელი ფეხი რაზე უნდა გაიყოთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ ეს ტანგენსიდა კოტანგენსიმხოლოდ ფეხები ზის და ჰიპოტენუზა ჩნდება მხოლოდ შიგნით სინუსიდა კოსინუსი. და შემდეგ შეგიძლიათ შექმნათ ასოციაციების ჯაჭვი. მაგალითად, ეს:
კოსინუსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე;
კოტანგენსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე.
უპირველეს ყოვლისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, როგორც სამკუთხედის გვერდების შეფარდება, არ არის დამოკიდებული ამ გვერდების სიგრძეზე (ერთი კუთხით). Არ დაიჯერო? შემდეგ დარწმუნდით, რომ სურათს შეხედეთ:
განვიხილოთ, მაგალითად, კუთხის კოსინუსი \(\beta \) . განმარტებით, სამკუთხედიდან \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ \(\beta \) კუთხის კოსინუსი სამკუთხედიდან \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ხედავთ, გვერდების სიგრძე განსხვავებულია, მაგრამ ერთი კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა იგივეა. ამრიგად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.
თუ გესმით განმარტებები, მაშინ გააგრძელეთ და გაასწორეთ ისინი!
სამკუთხედისთვის \(ABC \) , რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში, ჩვენ ვპოულობთ \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(მასივი)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(მაივი) \)
აბა, გაიგე? შემდეგ სცადეთ თავად: გამოთვალეთ იგივე კუთხე \(\beta \) .
პასუხები: \(\sin \\beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
ერთეული (ტრიგონომეტრიული) წრე
ხარისხისა და რადიანის ცნებების გაგებით, ჩვენ განვიხილეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია \ (1 \) . ასეთ წრეს ე.წ მარტოხელა. ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიის შესწავლაში. ამიტომ, ჩვენ მასზე ცოტა უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ.
როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს საწყისზე, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი \(AB \) ).
წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: კოორდინატი \(x\) ღერძის გასწვრივ და კოორდინატი \(y\) ღერძის გასწვრივ. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის გახსოვდეთ განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი \(ACG \) . ის მართკუთხაა, რადგან \(CG \) პერპენდიკულარულია \(x\) ღერძის მიმართ.
რა არის \(\cos \\alpha \) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Სწორია \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ \(AC \) არის ერთეული წრის რადიუსი, ამიტომ \(AC=1 \) . ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს კოსინუს ფორმულაში. აი რა ხდება:
\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
და რა არის \(\sin \\alpha\) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Რა თქმა უნდა, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! ჩაანაცვლეთ \ (AC \) რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
მაშ, შეგიძლიათ მითხრათ, რა არის წერტილის კოორდინატები \(C \) , რომელიც მიეკუთვნება წრეს? ისე, არანაირად? მაგრამ რა მოხდება, თუ გააცნობიერებთ, რომ \(\cos \\alpha \) და \(\sin \alpha \) მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\cos \alpha\)? რა თქმა უნდა, კოორდინატი \(x\) ! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\sin \alpha \)? მართალია, \(y \) კოორდინატი! ასე რომ, წერტილი \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
მაშინ რა არის \(tg \alpha \) და \(ctg \alpha \) ? ასეა, მოდით გამოვიყენოთ ტანგენსის და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ ეს \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ა \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? აი, მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:
რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდით გავარკვიოთ. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : კუთხე (როგორც კუთხის მიმდებარედ \(\beta \) ). რა მნიშვნელობა აქვს სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს კუთხისთვის \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:
\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)\sin \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\კუთხე ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\ბოლო(მასივი) \)
ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება \ (y \) კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი \ (x \) ; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები გამოიყენება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.
უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენც მიიღებთ გარკვეული ზომის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.
ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის \(360()^\circ \) ან \(2\pi \) . შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია \(390()^\circ \) ან \(-1140()^\circ \)-ით? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! პირველ შემთხვევაში, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ასე რომ, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნვას და შეჩერდება \(30()^\circ \) ან \(\dfrac(\pi )(6) \) ზე.
მეორე შემთხვევაში, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და შეჩერდება \(-60()^\circ \) ან \(-\dfrac(\pi )(3) \) პოზიციაზე.
ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდება \(360()^\circ \cdot m\) ან \(2\pi \cdot m\)-ით (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის იგივე პოზიციას.
ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა აჩვენებს კუთხეს \(\beta =-60()^\circ \) . იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ან \(\beta +2\pi \cdot m\) (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)
\(\begin(მასივი)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(მაივი) \)
ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ, თუ რას უდრის მნიშვნელობები:
\(\begin(მასივი)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(მაივი) \)
აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:
რაიმე სირთულე? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:
\(\begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\ბოლო(მასივი) \)
აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. კარგი, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხეში \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით \(\left(0;1 \right) \) , შესაბამისად:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- არ არსებობს;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შედიან \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით \(\left(-1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი()\left(0;-1 \მარჯვნივ),\ტექსტი()\left(1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი( )\მარცხნივ(0 ;1 \მარჯვნივ) \), შესაბამისად. ამის გაგებით, ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.
პასუხები:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \\pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\მარჯვენა arrow \text(ctg)\ \pi \)- არ არსებობს
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- არ არსებობს
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- არ არსებობს
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- არ არსებობს
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:
არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:
\(\ მარცხნივ. \begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(მასივი) \right\)\ \text(უნდა დაიმახსოვროთ ან შეძლოთ გამომავალი!! \) !}
და აქ არის კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4) \)ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ:
არ არის საჭირო შეშინება, ახლა ჩვენ გაჩვენებთ შესაბამისი მნიშვნელობების საკმაოდ მარტივი დამახსოვრების ერთ-ერთ მაგალითს:
ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსური მნიშვნელობები სამივე კუთხის საზომისთვის ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi ) (3) \)), ასევე კუთხის ტანგენსის მნიშვნელობა \(30()^\circ \)-ში. ამ \(4\) მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსების მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:
\(\begin(მასივი)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ბოლო(მასივი) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)ამის ცოდნით, შესაძლებელია მნიშვნელობების აღდგენა \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). მრიცხველი "\(1 \) " დაემთხვევა \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) , ხოლო მნიშვნელი "\(\sqrt(\text(3)) \)" ემთხვევა \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ნახატზე ნაჩვენები ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ სქემა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან მხოლოდ \(4 \) მნიშვნელობების დამახსოვრება.
წერტილის კოორდინატები წრეზე
შესაძლებელია თუ არა წრეზე წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! გამოვიტანოთ წერტილის კოორდინატების პოვნის ზოგადი ფორმულა. აი, მაგალითად, გვაქვს ასეთი წრე:
ჩვენ გვაქვს ეს წერტილი \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი არის \(1,5 \) . აუცილებელია ვიპოვოთ \(P \) წერტილის კოორდინატები, რომლებიც მიიღება \(O \) წერტილის \(\დელტა \) გრადუსით შებრუნებით.
როგორც ნახატიდან ჩანს, \ (P \) წერტილის კოორდინატი \ (x \) შეესაბამება \ (TP=UQ=UK+KQ \) სეგმენტის სიგრძეს. \ (UK \) სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს \ (x\), ანუ ის უდრის \ (3 \) . სეგმენტის სიგრძე \(KQ\) შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
მაშინ გვაქვს, რომ \(P \) წერტილისთვის კოორდინატია \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1,5\cdot \cos \\delta \).
ამავე ლოგიკით ვპოულობთ y კოორდინატის მნიშვნელობას \(P \) წერტილისთვის. ამრიგად,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:
\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(მაივი) \), სად
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - წრის ცენტრის კოორდინატები,
\(r\) - წრის რადიუსი,
\(\დელტა \) - ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე.
როგორც ხედავთ, ჩვენ განხილული ერთეული წრისთვის, ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, რადგან ცენტრის კოორდინატები ნულია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:
\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(მასივი) \)
Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!
ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და მათ გამოყენებას გეომეტრიაში. ტრიგონომეტრიის განვითარება დაიწყო ძველი საბერძნეთის დღეებში. შუა საუკუნეებში ამ მეცნიერების განვითარებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ახლო აღმოსავლეთისა და ინდოეთის მეცნიერებმა.
ეს სტატია ეძღვნება ტრიგონომეტრიის ძირითად ცნებებსა და განმარტებებს. მასში განხილულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. მათი მნიშვნელობა გეომეტრიის კონტექსტში არის ახსნილი და ილუსტრირებული.
Yandex.RTB R-A-339285-1
თავდაპირველად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე, გამოისახებოდა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები
კუთხის სინუსი (sin α) არის ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
კუთხის კოსინუსი (cos α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
კუთხის ტანგენსი (t g α) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან.
კუთხის კოტანგენსი (c t g α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.
ეს განმარტებები მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის!
მოდით მივცეთ ილუსტრაცია.
სამკუთხედში ABC მართი კუთხით C, A კუთხის სინუსი უდრის BC ფეხისა და AB ჰიპოტენუზას შეფარდებას.
სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები შესაძლებელს ხდის ამ ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლას სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან.
მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!
სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობების დიაპაზონი: -1-დან 1-მდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სინუსი და კოსინუსი იღებენ მნიშვნელობებს -1-დან 1-მდე. ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ანუ ეს ფუნქციებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა.
ზემოთ მოცემული განმარტებები ეხება მახვილ კუთხეებს. ტრიგონომეტრიაში შემოტანილია ბრუნვის კუთხის ცნება, რომლის მნიშვნელობა, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე. ბრუნის კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში გამოიხატება ნებისმიერი რეალური რიცხვით - ∞-დან + ∞-მდე.
ამ კონტექსტში შეიძლება განვსაზღვროთ თვითნებური სიდიდის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. წარმოიდგინეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე.
საწყისი წერტილი A კოორდინატებით (1, 0) ბრუნავს ერთეული წრის ცენტრის გარშემო α კუთხით და მიდის A 1 წერტილამდე. განმარტება მოცემულია A 1 (x, y) წერტილის კოორდინატების მეშვეობით.
ბრუნვის კუთხის სინუსი (ცოდვა).
α ბრუნვის კუთხის სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. sinα = y
ბრუნვის კუთხის კოსინუსი (cos).
α ბრუნვის კუთხის კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისა. cos α = x
ბრუნვის კუთხის ტანგენტი (ტგ).
α ბრუნვის კუთხის ტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან. t g α = y x
ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი (ctg).
α ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან. c t g α = x y
სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ბრუნვის ნებისმიერი კუთხისთვის. ეს ლოგიკურია, რადგან ბრუნვის შემდეგ წერტილის აბსცისა და ორდინატი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი კუთხით. განსხვავებული სიტუაციაა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული, როდესაც წერტილი ბრუნვის შემდეგ მიდის ნულოვანი აბსცისის წერტილამდე (0 , 1) და (0 , - 1). ასეთ შემთხვევებში, t g α = y x ტანგენტის გამოხატვას უბრალოდ აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. ანალოგიური სიტუაციაა კოტანგენტთან დაკავშირებით. განსხვავება ისაა, რომ კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ შემთხვევებში, როდესაც წერტილის ორდინატი ქრება.
მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!
სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის.
ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას არ თქვათ „ა ბრუნვის კუთხის სინუსი“. სიტყვები "ბრუნვის კუთხე" უბრალოდ გამოტოვებულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონტექსტიდან უკვე ნათელია, რა არის სასწორზე.
ნომრები
რაც შეეხება რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენსს და კოტანგენსს და არა ბრუნვის კუთხეს?
რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი
რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ტიწოდება რიცხვი, რომელიც შესაბამისად უდრის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ტრადიანი.
მაგალითად, 10 π-ის სინუსი უდრის ბრუნვის კუთხის სინუსს 10 π rad.
არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. განვიხილოთ უფრო დეტალურად.
ნებისმიერი რეალური რიცხვი ტმართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავეში ცენტრთან შესაბამისობაში მოთავსებულია წერტილი ერთეულ წრეზე. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატების მიხედვით.
წრეზე საწყისი წერტილი არის A წერტილი კოორდინატებით (1, 0).
დადებითი რიცხვი ტ
უარყოფითი რიცხვი ტშეესაბამება იმ წერტილს, რომელზეც ამოძრავდება საწყისი წერტილი, თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ წრეზე და გაივლის t გზას.
ახლა, როცა წრეზე რიცხვსა და წერტილს შორის კავშირი დამყარდა, მივდივართ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებაზე.
t რიცხვის სინუსი (ცოდვა).
რიცხვის სინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი ტ. sin t = y
ტ-ის კოსინუსი (cos).
რიცხვის კოსინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსციზა ტ. cos t = x
ტ-ის ტანგენსი (ტგ).
რიცხვის ტანგენტი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება ტ. t g t = y x = sin t cos t
ეს უკანასკნელი განმარტებები შეესაბამება და არ ეწინააღმდეგება ამ ნაწილის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მიუთითეთ წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს ტ, ემთხვევა იმ წერტილს, სადაც გადის საწყისი წერტილი კუთხის შემობრუნების შემდეგ ტრადიანი.
კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
α კუთხის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ამ კუთხის სინუსის და კოსინუსის გარკვეულ მნიშვნელობას. ისევე, როგორც α = 90 ° + 180 ° · k ყველა კუთხის გარდა, k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) შეესაბამება ტანგენტის გარკვეულ მნიშვნელობას. კოტანგენსი, როგორც ზემოთ აღინიშნა, განისაზღვრება ყველა α, გარდა α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
შეგვიძლია ვთქვათ, რომ sin α , cos α , t g α , c t g α არის კუთხის ალფა ფუნქციები, ან კუთხოვანი არგუმენტის ფუნქციები.
ანალოგიურად, შეიძლება ვისაუბროთ სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე, როგორც რიცხვითი არგუმენტის ფუნქციებზე. ყველა რეალური რიცხვი ტშეესაბამება რიცხვის სინუსის ან კოსინუსის სპეციფიკურ მნიშვნელობას ტ. ყველა რიცხვი, გარდა π 2 + π · k , k ∈ Z, შეესაბამება ტანგენსის მნიშვნელობას. კოტანგენსი ანალოგიურად არის განსაზღვრული ყველა რიცხვისთვის, გარდა π · k , k ∈ Z.
ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციები
სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რომელ არგუმენტთან (კუთხური არგუმენტი თუ რიცხვითი არგუმენტი) გვაქვს საქმე.
დავუბრუნდეთ მონაცემებს განმარტებების დასაწყისშივე და კუთხის ალფა, რომელიც 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონშია. სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ტრიგონომეტრიული განმარტებები სრულ თანხმობაშია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით მოცემულ გეომეტრიულ განმარტებებთან. ვაჩვენოთ.
აიღეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაზე. ამოვატრიალოთ საწყისი წერტილი A (1, 0) 90 გრადუსამდე კუთხით და მიღებული წერტილიდან A წერტილიდან გავავლოთ 1 (x, y) x ღერძის პერპენდიკულარული. მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 O H კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, O H ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისს. კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატს, ხოლო ჰიპოტენუზის სიგრძე უდრის ერთს, რადგან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი.
გეომეტრიის განმარტების შესაბამისად, α კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
ეს ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა ასპექტის თანაფარდობით ექვივალენტურია α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებისა, ალფა დევს 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონში.
ანალოგიურად, განმარტებების შესაბამისობა შეიძლება ნაჩვენები იყოს კოსინუსისთვის, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
