ვიეტას თეორემა - ეს კონცეფცია თითქმის ყველასთვის ნაცნობია სკოლის დღეებიდან. მაგრამ მართლა "ნაცნობია"? მას ყოველდღიურ ცხოვრებაში ცოტა ადამიანი ხვდება. მაგრამ ყველა, ვინც მათემატიკასთან არის დაკავშირებული, ზოგჯერ სრულად არ ესმის ამ თეორემის ღრმა მნიშვნელობა და დიდი მნიშვნელობა.

ვიეტას თეორემა მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს მათემატიკური ამოცანების გადაჭრის პროცესს, რომლებიც საბოლოოდ გადაჭრით მოდის:

ასეთი მარტივი და ეფექტური მათემატიკური ხელსაწყოს მნიშვნელობის გაგების შემდეგ, უნებურად ფიქრობთ იმ ადამიანზე, ვინც პირველად აღმოაჩინა იგი.

ცნობილი ფრანგი მეცნიერი, რომელმაც თავისი კარიერა იურისტად დაიწყო. მაგრამ, ცხადია, მათემატიკა მისი მოწოდება იყო. სამეფო სამსახურში ყოფნისას, როგორც მრჩეველს, ის ცნობილი გახდა იმით, რომ შეეძლო წაეკითხა ესპანეთის მეფის დაშიფრული შეტყობინების წაკითხვა ნიდერლანდებში. ამან საფრანგეთის მეფე ჰენრი III-ს საშუალება მისცა, სცოდნოდა თავისი ოპონენტების ყველა განზრახვის შესახებ.

თანდათანობით გაეცნო მათემატიკურ ცოდნას, ფრანსუა ვიე მივიდა დასკვნამდე, რომ მჭიდრო კავშირი უნდა არსებობდეს იმდროინდელი "ალგებრისტების" უახლეს კვლევებსა და წინაპრების ღრმა გეომეტრიულ მემკვიდრეობას შორის. მეცნიერული კვლევის პროცესში მან შეიმუშავა და ჩამოაყალიბა თითქმის მთელი ელემენტარული ალგებრა. მან პირველმა შემოიტანა ლიტერატურული მნიშვნელობების გამოყენება მათემატიკურ აპარატში, ნათლად განასხვავა ცნებები: რიცხვი, სიდიდე და მათი ურთიერთობები. ვიეტმა დაამტკიცა, რომ სიმბოლური ფორმით მოქმედებების შესრულებით შესაძლებელია პრობლემის გადაჭრა ზოგადი შემთხვევისთვის, მოცემული სიდიდის თითქმის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

მისმა კვლევამ მეორეზე მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის შედეგად მიიღო თეორემა, რომელიც დღეს ცნობილია როგორც განზოგადებული ვიეტას თეორემა. მას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს და მისი გამოყენება შესაძლებელს ხდის უმაღლესი რიგის განტოლებების სწრაფად ამოხსნას.

ამ თეორემის ერთ-ერთი თვისება ასეთია: ყველა n-ე ხარისხების ნამრავლი უდრის მის მუდმივ წევრს. ეს თვისება ხშირად გამოიყენება მესამე ან მეოთხე ხარისხის განტოლებების ამოხსნისას მრავალწევრის რიგის შესამცირებლად. თუ n-ე ხარისხის მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ მათი მარტივად დადგენა შესაძლებელია მარტივი შერჩევით. შემდეგ კი მრავალწევრის (x-x1) გამოთქმაზე გაყოფის შემდეგ მივიღებთ მრავალწევრს (n-1)-ე ხარისხს.

დასასრულს მინდა აღვნიშნო, რომ ვიეტას თეორემა სასკოლო ალგებრის კურსის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი თეორემაა. და მის სახელს ღირსეული ადგილი უჭირავს დიდი მათემატიკოსების სახელებს შორის.

მათემატიკაში არსებობს სპეციალური ხრიკები, რომლებითაც ბევრი კვადრატული განტოლება წყდება ძალიან სწრაფად და ყოველგვარი დისკრიმინაციის გარეშე. უფრო მეტიც, სათანადო ვარჯიშით, ბევრი იწყებს კვადრატული განტოლებების ამოხსნას სიტყვიერად, სიტყვასიტყვით „ერთი შეხედვით“.

სამწუხაროდ, სასკოლო მათემატიკის თანამედროვე კურსში მსგავსი ტექნოლოგიები თითქმის არ არის შესწავლილი. და თქვენ უნდა იცოდეთ! და დღეს ჩვენ განვიხილავთ ერთ-ერთ ამ ტექნიკას - ვიეტას თეორემას. პირველ რიგში, მოდით შემოვიტანოთ ახალი განმარტება.

x 2 + bx + c = 0 ფორმის კვადრატულ განტოლებას შემცირებული ეწოდება. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის 1-ს. კოეფიციენტებზე სხვა შეზღუდვები არ არსებობს.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 არის შემცირებული კვადრატული განტოლება;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - ასევე შემცირებული;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - მაგრამ ეს არაფერია შემცირებული, რადგან x 2-ზე კოეფიციენტი არის 2.

რა თქმა უნდა, ax 2 + bx + c = 0 ფორმის ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება იყოს შემცირებული - საკმარისია ყველა კოეფიციენტი გავყოთ რიცხვზე a. ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია ამის გაკეთება, რადგან კვადრატული განტოლების განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ≠ 0.

მართალია, ეს გარდაქმნები ყოველთვის არ იქნება სასარგებლო ფესვების მოსაძებნად. ოდნავ დაბლა, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ეს უნდა გაკეთდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც საბოლოო კვადრატულ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი არის მთელი რიცხვი. ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მარტივ მაგალითს:

Დავალება. გადააქციეთ კვადრატული განტოლება შემცირებულად:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

მოდით გავყოთ თითოეული განტოლება x 2 ცვლადის კოეფიციენტზე. ჩვენ ვიღებთ:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - გაყოფილი ყველაფერი 3-ზე;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - გაყოფილი −4-ზე;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - გაყოფილი 1.5-ზე, ყველა კოეფიციენტი გახდა მთელი რიცხვი;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - გაყოფილი 2-ზე. ამ შემთხვევაში წარმოიშვა წილადი კოეფიციენტები.

როგორც ხედავთ, მოცემულ კვადრატულ განტოლებებს შეიძლება ჰქონდეს მთელი რიცხვი კოეფიციენტები მაშინაც კი, თუ თავდაპირველი განტოლება შეიცავდა წილადებს.

ახლა ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ მთავარი თეორემა, რომლისთვისაც, ფაქტობრივად, შემოიღეს შემცირებული კვადრატული განტოლების კონცეფცია:

ვიეტას თეორემა. განვიხილოთ x 2 + bx + c \u003d 0 ფორმის შემცირებული კვადრატული განტოლება. დავუშვათ, რომ ამ განტოლებას აქვს რეალური ფესვები x 1 და x 2. ამ შემთხვევაში, შემდეგი განცხადებები მართალია:

1. x1 + x2 = −b. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებული x ცვლადის კოეფიციენტს;
2. x 1 x 2 = გ. კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალი კოეფიციენტს.

მაგალითები. სიმარტივისთვის განვიხილავთ მხოლოდ მოცემულ კვადრატულ განტოლებებს, რომლებიც არ საჭიროებენ დამატებით გარდაქმნებს:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ფესვები: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; ფესვები: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; ფესვები: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

ვიეტას თეორემა დამატებით ინფორმაციას გვაძლევს კვადრატული განტოლების ფესვების შესახებ. ერთი შეხედვით, ეს შეიძლება რთულად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მინიმალური ვარჯიშითაც კი ისწავლით ფესვების „დანახვას“ და მათ სიტყვასიტყვით გამოცნობას რამდენიმე წამში.

Დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლება:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

შევეცადოთ ვიეტას თეორემის მიხედვით ჩამოვწეროთ კოეფიციენტები და „გამოვიცნოთ“ ფესვები:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 არის შემცირებული კვადრატული განტოლება.
   ვიეტას თეორემით გვაქვს: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. ადვილი მისახვედრია, რომ ფესვები არის რიცხვები 2 და 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - ასევე შემცირებული.
   ვიეტას თეორემით: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. აქედან ფესვები: 3 და 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ეს განტოლება არ არის შემცირებული. მაგრამ ჩვენ ამას გავასწორებთ განტოლების ორივე მხარის გაყოფით a \u003d 3 კოეფიციენტზე. მივიღებთ: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   ვიეტას თეორემის მიხედვით ვხსნით: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ფესვები: −10 და −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - ისევ x 2-ზე კოეფიციენტი არ არის 1-ის ტოლი, ე.ი. განტოლება არ არის მოცემული. ყველაფერს ვყოფთ რიცხვზე a = −7. ჩვენ ვიღებთ: x 2 - 11x + 30 = 0.
   ვიეტას თეორემით: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; ამ განტოლებიდან ადვილია ფესვების გამოცნობა: 5 და 6.

ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან ჩანს, როგორ ამარტივებს ვიეტას თეორემა კვადრატული განტოლებების ამოხსნას. არანაირი რთული გამოთვლები, არითმეტიკული ფესვები და წილადები. და დისკრიმინანტიც კი (იხილეთ გაკვეთილი " კვადრატული განტოლებების ამოხსნა") ჩვენ არ გვჭირდებოდა.

რა თქმა უნდა, ყველა ჩვენს რეფლექსიაში, ჩვენ გამოვიყვანეთ ორი მნიშვნელოვანი დაშვებიდან, რომლებიც, ზოგადად, ყოველთვის არ სრულდება რეალურ პრობლემებში:

1. კვადრატული განტოლება მცირდება, ე.ი. კოეფიციენტი x 2-ზე არის 1;
2. განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ალგებრას თვალსაზრისით, ამ შემთხვევაში დისკრიმინანტი D > 0 - ფაქტობრივად, თავდაპირველად ვვარაუდობთ, რომ ეს უტოლობა მართალია.

თუმცა, ტიპიურ მათემატიკურ ამოცანებში ეს პირობები დაკმაყოფილებულია. თუ გამოთვლების შედეგად მიიღება „ცუდი“ კვადრატული განტოლება (კოეფიციენტი x 2-ზე განსხვავდება 1-დან), ამის გამოსწორება მარტივია - გადახედეთ მაგალითებს გაკვეთილის დასაწყისში. მე ზოგადად ჩუმად ვარ ფესვებზე: რა დავალებაა ეს, რომელშიც პასუხი არ არის? რა თქმა უნდა, იქნება ფესვები.

ამრიგად, ვიეტას თეორემის მიხედვით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია:

1. შეამცირეთ კვადრატული განტოლება მოცემულზე, თუ ეს უკვე არ გაკეთებულა ამოცანის პირობებში;
2. თუ ზემოაღნიშნულ კვადრატულ განტოლებაში კოეფიციენტები წილადი აღმოჩნდა, ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის მეშვეობით. თქვენ კი შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ საწყის განტოლებას, რომ იმუშაოთ უფრო „მოხერხებულ“ რიცხვებთან;
3. მთელი რიცხვების კოეფიციენტების შემთხვევაში განტოლებას ვხსნით ვიეტას თეორემის გამოყენებით;
4. თუ რამდენიმე წამში შეუძლებელი იყო ფესვების გამოცნობა, ვიეტას თეორემას ვაფასებთ და ვხსნით დისკრიმინანტის მეშვეობით.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს განტოლება, რომელიც არ არის შემცირებული, რადგან კოეფიციენტი a \u003d 5. გავყოთ ყველაფერი 5-ზე, მივიღებთ: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

კვადრატული განტოლების ყველა კოეფიციენტი მთელი რიცხვია - ვცადოთ ამოხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით. გვაქვს: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. ამ შემთხვევაში ფესვების გამოცნობა ადვილია - ეს არის 2 და 5. თქვენ არ გჭირდებათ დისკრიმინანტის საშუალებით დათვლა.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

ჩვენ ვუყურებთ: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - ეს განტოლება არ არის შემცირებული, ჩვენ ორივე მხარეს ვყოფთ კოეფიციენტზე a = -5. ვიღებთ: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - განტოლება წილადი კოეფიციენტებით.

უმჯობესია დაუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და დათვალოთ დისკრიმინანტის საშუალებით: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0.4.

Დავალება. ამოხსენით განტოლება: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვყოფთ ყველაფერს კოეფიციენტზე a \u003d 2. ვიღებთ განტოლებას x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

ეს არის შემცირებული განტოლება, ვიეტას თეორემის მიხედვით გვაქვს: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. ამ შემთხვევაში კვადრატული განტოლების ფესვების გამოცნობა რთულია – პირადად მე სერიოზულად „გავიყინე“, როცა ეს პრობლემა მოვაგვარე.

ფესვების ძებნა დისკრიმინანტის მეშვეობით მოგვიწევს: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . თუ არ გახსოვთ დისკრიმინანტის ფესვი, უბრალოდ აღვნიშნავ, რომ 1225: 25 = 49. ამიტომ, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

ახლა, როდესაც დისკრიმინანტის ფესვი ცნობილია, განტოლების ამოხსნა რთული არ არის. ჩვენ ვიღებთ: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

სანამ ვიეტას თეორემაზე გადავიდოდეთ, შემოგთავაზებთ განმარტებას. ფორმის კვადრატული განტოლება x² + px + ქ= 0 ეწოდება შემცირებული. ამ განტოლებაში წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია. მაგალითად, განტოლება x² - 3 x- 4 = 0 მცირდება. ფორმის ნებისმიერი კვადრატული განტოლება ნაჯახი² + ბ x + გ= 0 შეიძლება იყოს შემცირებული, ამისათვის ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს ა≠ 0. მაგალითად, განტოლება 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 გაყოფილი 4-ზე მცირდება ფორმაში: x² + x- 3/4 = 0. ჩვენ გამოვიყვანთ შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას, ამისთვის ვიყენებთ ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას: ნაჯახი² + bx + გ = 0

შემცირებული განტოლება x² + px + ქ= 0 ემთხვევა ზოგად განტოლებას, რომელშიც ა = 1, ბ = გვ, გ = ქ.ამრიგად, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის, ფორმულა იღებს ფორმას:

ბოლო გამოსახულებას ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, განსაკუთრებით მოსახერხებელია ამ ფორმულის გამოყენება, როდესაც რ- ლუწი რიცხვი. მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება x² - 14 x — 15 = 0

საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ, რომ განტოლებას აქვს ორი ფესვი.

შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის დადებითი, მოქმედებს შემდეგი თეორემა.

ვიეტას თეორემა

Თუ x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0, მაშინ ფორმულები მოქმედებს:

x 1 + x 2 = — რ

x 1 * x 2 \u003d q,ანუ მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის საფუძველზე გვაქვს:

ამ თანასწორობების დამატებით მივიღებთ: x 1 + x 2 = —რ.

ამ ტოლობების გამრავლებით, კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:

გაითვალისწინეთ, რომ ვიეტას თეორემა ასევე მოქმედებს, როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, თუ დავუშვებთ, რომ ამ შემთხვევაში კვადრატულ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს: x 1 = x 2 = — რ/2.

არ ხსნის განტოლებებს x² - 13 x+ 30 = 0 იპოვეთ მისი ფესვების ჯამი და ნამრავლი x 1 და x 2. ეს განტოლება დ\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ Vieta თეორემა: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. განვიხილოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი. განტოლების ერთ-ერთი ფესვი x² — px- 12 = 0 არის x 1 = 4. იპოვეთ კოეფიციენტი რდა მეორე ფესვი xამ განტოლების 2. ვიეტას თეორემის მიხედვით x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — რ.იმიტომ რომ x 1 = 4 შემდეგ 4 x 2 = - 12, საიდანაც x 2 = — 3, რ = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ მეორე ფესვს x 2 = - 3, კოეფიციენტი p = - 1.

არ ხსნის განტოლებებს x² + 2 x- 4 = 0 იპოვეთ მისი ფესვების კვადრატების ჯამი. დაე x 1 და x 2 არის განტოლების ფესვები. ვიეტას თეორემის მიხედვით x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. იმიტომ რომ x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, მაშინ x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

იპოვეთ მე-3 განტოლების ფესვების ჯამი და ნამრავლი x² + 4 x- 5 \u003d 0. ამ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს, რადგან დისკრიმინანტი დ= 16 + 4*3*5 > 0. განტოლების ამოსახსნელად ვიეტას თეორემა ვიყენებთ. ეს თეორემა დადასტურდა შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის. მოდით გავყოთ ეს განტოლება 3-ზე.

აქედან გამომდინარე, ფესვების ჯამი არის -4/3, ხოლო მათი ნამრავლი -5/3.

ზოგადად, განტოლების ფესვები ნაჯახი² + ბ x + გ= 0 დაკავშირებულია შემდეგი ტოლობებით: x 1 + x 2 = — ბ/ა, x 1 * x 2 = გ/ა,ამ ფორმულების მისაღებად საკმარისია ამ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გავყოთ ა ≠ 0 და გამოიყენე ვიეტას თეორემა მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე. განვიხილოთ მაგალითი, თქვენ უნდა შეადგინოთ მოცემული კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები x 1 = 3, x 2 = 4. იმიტომ რომ x 1 = 3, x 2 = 4 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0, შემდეგ ვიეტას თეორემით რ = — (x 1 + x 2) = — 7, ქ = x 1 x 2 = 12. საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ x² - 7 x+ 12 = 0. ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას გამოიყენება შემდეგი თეორემა.

ვიეტას თეორემას შებრუნებული თეორემა

თუ ნომრები რ, ქ, x 1 , x 2 ისეთია რომ x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, მაშინ x 1და x2არის განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0. ჩანაცვლება მარცხენა მხარეს x² + px + ქმაგივრად რგამოთქმა - ( x 1 + x 2), მაგრამ ამის ნაცვლად ქ- სამუშაო x 1 * x 2 .ჩვენ ვიღებთ: x² + px + ქ = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2).ამრიგად, თუ რიცხვები რ, ქ, x 1 და x 2 დაკავშირებულია ამ ურთიერთობებით, შემდეგ ყველასთვის Xთანასწორობა x² + px + ქ = (x - x 1) (x - x 2),საიდანაც გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0. ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემის გამოყენებით, ზოგჯერ შესაძლებელია კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა შერჩევით. განვიხილოთ მაგალითი, x² - 5 x+ 6 = 0. აქ რ = — 5, ქ= 6. აირჩიე ორი რიცხვი x 1 და x 2 ასე რომ x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. იმის გათვალისწინებით, რომ 6 = 2 * 3, და 2 + 3 = 5, ვიეტას თეორემის საწინააღმდეგო თეორემით, მივიღებთ x 1 = 2, x 2 = 3 - განტოლების ფესვები x² - 5 x + 6 = 0.

ვიეტას თეორემა ხშირად გამოიყენება უკვე ნაპოვნი ფესვების შესამოწმებლად. თუ იპოვეთ ფესვები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) მნიშვნელობების გამოსათვლელად. ) და \(q\ ). და თუ ისინი აღმოჩნდებიან იგივე, რაც თავდაპირველ განტოლებაში, მაშინ ფესვები სწორად არის ნაპოვნი.

მაგალითად, გამოვიყენოთ , ამოხსნათ განტოლება \(x^2+x-56=0\) და მივიღოთ ფესვები: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). მოდით შევამოწმოთ, დაგვიშვია თუ არა შეცდომა ამოხსნის პროცესში. ჩვენს შემთხვევაში, \(p=1\) და \(q=-56\). ვიეტას თეორემით გვაქვს:

\(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end (შემთხვევები)\) \(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

ორივე დებულება ერთმანეთს ემთხვეოდა, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად მოვაგვარეთ.

ეს ტესტი შეიძლება გაკეთდეს ზეპირად. დასჭირდება 5 წამი და გიხსნის სულელური შეცდომებისგან.

ინვერსი ვიეტას თეორემა

თუ \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(შემთხვევები)\), მაშინ \(x_1\) და \(x_2\) არის კვადრატული განტოლების ფესვები \ (x^ 2+px+q=0\).

ან მარტივი გზით: თუ გაქვთ \(x^2+px+q=0\) ფორმის განტოლება, მაშინ სისტემის ამოხსნით \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) იპოვით მის ფესვებს.

ამ თეორემის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები, განსაკუთრებით თუ ეს ფესვები არის . ეს უნარი მნიშვნელოვანია, რადგან ის დაზოგავს დიდ დროს.

მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(x^2-5x+6=0\).

გამოსავალი : შებრუნებული Vieta თეორემის გამოყენებით მივიღებთ, რომ ფესვები აკმაყოფილებს პირობებს: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
შეხედეთ \(x_1 \cdot x_2=6\) სისტემის მეორე განტოლებას. რომელ ორად შეიძლება დაიშალოს რიცხვი \(6\)? \(2\) და \(3\), \(6\) და \(1\) ან \(-2\) და \(-3\), და \(-6\) და \(- ერთი \). და რომელი წყვილი აირჩიოს, სისტემის პირველი განტოლება გეტყვით: \(x_1+x_2=5\). \(2\) და \(3\) მსგავსია, რადგან \(2+3=5\).
უპასუხე : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

მაგალითები . ვიეტას თეორემის ინვერსიის გამოყენებით იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
ა) \(x^2-15x+14=0\); ბ) \(x^2+3x-4=0\); გ) \(x^2+9x+20=0\); დ) \(x^2-88x+780=0\).

გამოსავალი :
ა) \(x^2-15x+14=0\) - რა ფაქტორებად იშლება \(14\)? \(2\) და \(7\), \(-2\) და \(-7\), \(-1\) და \(-14\), \(1\) და \(14\ ). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(15\)-ს? პასუხი: \(1\) და \(14\).

ბ) \(x^2+3x-4=0\) - რა ფაქტორებად იშლება \(-4\)? \(-2\) და \(2\), \(4\) და \(-1\), \(1\) და \(-4\). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(-3\)-ს? პასუხი: \(1\) და \(-4\).

გ) \(x^2+9x+20=0\) – რა ფაქტორებად იშლება \(20\)? \(4\) და \(5\), \(-4\) და \(-5\), \(2\) და \(10\), \(-2\) და \(-10\ ), \(-20\) და \(-1\), \(20\) და \(1\). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(-9\)-ს? პასუხი: \(-4\) და \(-5\).

დ) \(x^2-88x+780=0\) - რა ფაქტორებად იშლება \(780\)? \(390\) და \(2\). ისინი ემატებიან \(88\)-ს? არა. კიდევ რა მამრავლები აქვს \(780\)? \(78\) და \(10\). ისინი ემატებიან \(88\)-ს? დიახ. პასუხი: \(78\) და \(10\).

არ არის აუცილებელი ბოლო ტერმინის დაშლა ყველა შესაძლო ფაქტორად (როგორც ბოლო მაგალითში). თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეამოწმოთ არის თუ არა მათი ჯამი \(-p\).

Მნიშვნელოვანი!ვიეტას თეორემა და საპირისპირო თეორემა მუშაობს მხოლოდ , ანუ ერთთან, რომლის კოეფიციენტი \(x^2\)-ის წინ უდრის ერთს. თუ თავდაპირველად გვაქვს არაშემცირებული განტოლება, მაშინ შეგვიძლია მისი შემცირება უბრალოდ \ (x ^ 2 \"-ის წინა კოეფიციენტზე გაყოფით.

Მაგალითად, მივცეთ განტოლება \(2x^2-4x-6=0\) და გვინდა ვიეტას ერთ-ერთი თეორემა გამოვიყენოთ. მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია, რადგან კოეფიციენტი \(x^2\)-მდე უდრის \(2\). მოვიშოროთ იგი მთელი განტოლების \(2\-ზე) გაყოფით.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

მზადაა. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ორივე თეორემა.

პასუხები ხშირად დასმულ კითხვებზე

Კითხვა: ვიეტას თეორემით შეგიძლიათ ამოხსნათ რომელიმე?
პასუხი: სამწუხაროდ არა. თუ განტოლებაში არ არის მთელი რიცხვები ან განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები, მაშინ ვიეტას თეორემა არ დაეხმარება. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ დისკრიმინანტი . საბედნიეროდ, სასკოლო მათემატიკის კურსში განტოლებების 80%-ს აქვს მთელი რიცხვები.