გავაგრძელოთ დისკუსია უმცირესი საერთო ჯერადის შესახებ, რომელიც დავიწყეთ LCM - უმცირესი საერთო მრავალჯერადი, განმარტება, მაგალითები განყოფილებაში. ამ თემაში განვიხილავთ LCM-ის პოვნის გზებს სამი ან მეტი რიცხვისთვის, გავაანალიზებთ კითხვას, თუ როგორ ვიპოვოთ უარყოფითი რიცხვის LCM.

Yandex.RTB R-A-339285-1

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) გამოთვლა gcd-ის მეშვეობით

ჩვენ უკვე დავადგინეთ ურთიერთობა უმცირეს საერთო ჯერადსა და უდიდეს საერთო გამყოფს შორის. ახლა მოდით ვისწავლოთ როგორ განვსაზღვროთ LCM GCD-ის მეშვეობით. პირველი, მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს დადებითი რიცხვებისთვის.

განმარტება 1

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

მაგალითი 1

აუცილებელია იპოვოთ 126 და 70 ნომრების LCM.

გადაწყვეტილება

ავიღოთ a = 126 , b = 70 . ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები ფორმულაში უმცირესი საერთო ჯერადის გამოსათვლელად უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

პოულობს 70 და 126 რიცხვების GCD-ს. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ევკლიდეს ალგორითმი: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , აქედან გამომდინარე, gcd (126 , 70) = 14 .

მოდით გამოვთვალოთ LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

პასუხი: LCM (126, 70) = 630.

მაგალითი 2

იპოვნეთ 68 და 34 რიცხვების ნომერი.

გადაწყვეტილება

GCD ამ შემთხვევაში ადვილი მოსაძებნია, რადგან 68 იყოფა 34-ზე. გამოთვალეთ უმცირესი საერთო ჯერადი ფორმულის გამოყენებით: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

პასუხი: LCM(68, 34) = 68.

ამ მაგალითში გამოვიყენეთ a და b დადებითი მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის წესი: თუ პირველი რიცხვი იყოფა მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვების LCM პირველი რიცხვის ტოლი იქნება.

LCM-ის პოვნა რიცხვების ძირითად ფაქტორებად გადაყვანით

ახლა მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის გზას, რომელიც ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

განმარტება 2

უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, ჩვენ გვჭირდება რამდენიმე მარტივი ნაბიჯის შესრულება:

• ჩვენ ვადგენთ რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რისთვისაც უნდა ვიპოვოთ LCM;
• ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა ძირითად ფაქტორს მათი მიღებული პროდუქტებიდან;
• საერთო მარტივი ფაქტორების აღმოფხვრის შემდეგ მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM-ის ტოლი.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ეს გზა ეფუძნება ტოლობას LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . თუ ფორმულას დააკვირდებით, ცხადი გახდება: a და b რიცხვების ნამრავლი უდრის ყველა იმ ფაქტორის ნამრავლს, რომლებიც მონაწილეობენ ამ ორი რიცხვის გაფართოებაში. ამ შემთხვევაში, ორი რიცხვის GCD უდრის ყველა უბრალო ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება ამ ორი რიცხვის ფაქტორიზაციებში.

მაგალითი 3

გვაქვს ორი რიცხვი 75 და 210. ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ ისინი შემდეგნაირად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. თუ თქვენ გააკეთებთ ორი ორიგინალური რიცხვის ყველა ფაქტორის ნამრავლს, მიიღებთ: 2 3 3 5 5 5 7.

თუ გამოვრიცხავთ 3 და 5 რიცხვებისთვის საერთო ფაქტორებს, მივიღებთ შემდეგი ფორმის ნამრავლს: 2 3 5 5 7 = 1050. ეს პროდუქტი იქნება ჩვენი LCM 75 და 210 ნომრებისთვის.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM 441 და 700 , ორივე რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად.

გადაწყვეტილება

მოდი ვიპოვოთ პირობაში მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორი:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

ვიღებთ რიცხვთა ორ ჯაჭვს: 441 = 3 3 7 7 და 700 = 2 2 5 5 7 .

ყველა იმ ფაქტორების პროდუქტი, რომლებიც მონაწილეობდნენ ამ რიცხვების გაფართოებაში, ასე გამოიყურება: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. მოდი ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვი არის 7. ჩვენ გამოვრიცხავთ მას ზოგადი პროდუქტიდან: 2 2 3 3 5 5 7 7. გამოდის, რომ NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

პასუხი: LCM (441 , 700) = 44 100 .

მოდით მივცეთ კიდევ ერთი ფორმულირება LCM-ის პოვნის მეთოდის რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლით.

განმარტება 3

ადრე ჩვენ გამოვრიცხავდით ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორების საერთო რაოდენობას. ახლა ჩვენ ამას სხვაგვარად გავაკეთებთ:

• მოდით დავშალოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:
• პირველი რიცხვის უბრალო ფაქტორების ნამრავლს დაამატეთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები;
• ვიღებთ პროდუქტს, რომელიც იქნება ორი რიცხვის სასურველი LCM.

მაგალითი 5

დავუბრუნდეთ ციფრებს 75 და 210, რისთვისაც უკვე ვეძებდით LCM-ს ერთ-ერთ წინა მაგალითში. მოდით დავყოთ ისინი მარტივ ფაქტორებად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. 3, 5 და ფაქტორების ნამრავლს 5 ნომერი 75 დაამატეთ დაკარგული ფაქტორები 2 და 7 ნომრები 210. ჩვენ ვიღებთ: 2 3 5 5 7 .ეს არის 75 და 210 ნომრების LCM.

მაგალითი 6

აუცილებელია გამოვთვალოთ 84 და 648 ნომრების LCM.

გადაწყვეტილება

მოდით დავშალოთ რიცხვები მდგომარეობიდან მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7და 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. დაამატეთ 2, 2, 3 და ფაქტორების ნამრავლს 7 რიცხვები 84 აკლია ფაქტორები 2 , 3 , 3 და
3 ნომრები 648. ჩვენ ვიღებთ პროდუქტს 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.ეს არის 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: LCM (84, 648) = 4536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

მიუხედავად იმისა, თუ რამდენ რიცხვთან გვაქვს საქმე, ჩვენი მოქმედებების ალგორითმი ყოველთვის იგივე იქნება: თანმიმდევრულად ვიპოვით ორი რიცხვის LCM-ს. ამ შემთხვევისთვის არსებობს თეორემა.

თეორემა 1

დავუშვათ, გვაქვს მთელი რიცხვები a 1, a 2, …, a k. NOC მ კამ რიცხვებიდან გვხვდება თანმიმდევრული გაანგარიშებით m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება თეორემა გამოვიყენოთ კონკრეტულ პრობლემებზე.

მაგალითი 7

თქვენ უნდა გამოთვალოთ ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 140, 9, 54 და 250 .

გადაწყვეტილება

მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

დავიწყოთ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) გამოთვლით. გამოვიყენოთ ევკლიდური ალგორითმი 140 და 9 რიცხვების GCD-ის გამოსათვლელად: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . ვიღებთ: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. აქედან გამომდინარე, m 2 = 1 260.

ახლა გამოვთვალოთ იგივე ალგორითმის მიხედვით m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . გამოთვლების დროს ვიღებთ m 3 = 3 780.

ჩვენთვის რჩება გამოთვლა m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . ჩვენ ვმოქმედებთ იგივე ალგორითმის მიხედვით. ჩვენ ვიღებთ m 4 \u003d 94 500.

მაგალითის მდგომარეობიდან ოთხი რიცხვის LCM არის 94500.

პასუხი: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

როგორც ხედავთ, გამოთვლები მარტივია, მაგრამ საკმაოდ შრომატევადი. დროის დაზოგვის მიზნით, შეგიძლიათ სხვა გზით წახვიდეთ.

განმარტება 4

გთავაზობთ მოქმედებების შემდეგ ალგორითმს:

• ყველა რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად;
• პირველი რიცხვის ფაქტორების ნამრავლს დაამატეთ მეორე რიცხვის ნამრავლიდან გამოტოვებული ფაქტორები;
• წინა საფეხურზე მიღებულ ნამრავლს დაამატეთ მესამე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები და ა.შ.;
• შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მდგომარეობიდან ყველა რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითი 8

აუცილებელია ვიპოვოთ ხუთი რიცხვის LCM 84, 6, 48, 7, 143.

გადაწყვეტილება

მოდით დავშალოთ ხუთივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . მარტივი რიცხვები, რომელიც არის რიცხვი 7, არ შეიძლება გაერთიანდეს მარტივ ფაქტორებად. ასეთი რიცხვები ემთხვევა მათ დაშლას მარტივ ფაქტორებად.

ახლა ავიღოთ 84 რიცხვის 2, 2, 3 და 7 მარტივი ფაქტორების ნამრავლი და დავუმატოთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები. ჩვენ დავშალეთ რიცხვი 6 2-ად და 3-ად. ეს ფაქტორები უკვე პირველი რიცხვის ნამრავლშია. ამიტომ, ჩვენ გამოვტოვებთ მათ.

ჩვენ ვაგრძელებთ გამოტოვებული მამრავლების დამატებას. ჩვენ მივმართავთ რიცხვს 48, რომლის უბრალო ფაქტორების ნამრავლიდან ვიღებთ 2 და 2-ს. შემდეგ დავამატებთ 7-ის მარტივ კოეფიციენტს მეოთხე რიცხვიდან და 11-ის და მეხუთე 13-ის ფაქტორებს. ვიღებთ: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. ეს არის ხუთი საწყისი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი მრავლობითის პოვნა

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად ჯერ ეს რიცხვები უნდა შეიცვალოს საპირისპირო ნიშნის მქონე რიცხვებით, შემდეგ კი გამოთვლები განხორციელდეს ზემოაღნიშნული ალგორითმების მიხედვით.

მაგალითი 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) და LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888).

ასეთი ქმედებები დასაშვებია იმის გამო, რომ თუ მიღებულია რომ ადა − ა- საპირისპირო რიცხვები
შემდეგ მრავლობითთა სიმრავლე აემთხვევა რიცხვის ჯერადთა სიმრავლეს − ა.

მაგალითი 10

აუცილებელია უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლა − 145 და − 45 .

გადაწყვეტილება

მოდით შევცვალოთ ნომრები − 145 და − 45 მათი საპირისპირო რიცხვებისთვის 145 და 45 . ახლა, ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, მანამდე რომ დავადგინეთ GCD ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით.

ვიღებთ, რომ რიცხვების LCM − 145 და − 45 უდრის 1 305 .

პასუხი: LCM (− 145, − 45) = 1 305.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განვიხილოთ სამი გზა უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.

მოძიება ფაქტორინგით

პირველი გზა არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით.

დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვების LCM: 99, 30 და 28. ამისათვის ჩვენ ვანაწილებთ თითოეულ ამ რიცხვს მარტივ ფაქტორებად:

იმისათვის, რომ სასურველი რიცხვი გაიყოს 99-ზე, 30-ზე და 28-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მასში შევიდეს ამ გამყოფების ყველა ძირითადი ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ ამ რიცხვების ყველა ძირითადი ფაქტორები უმაღლეს სიმძლავრემდე და გავამრავლოთ ისინი:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

ასე რომ, LCM (99, 30, 28) = 13,860. არცერთი სხვა რიცხვი, რომელიც ნაკლებია 13,860-ზე, თანაბრად იყოფა 99-ზე, 30-ზე ან 28-ზე.

მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაშალოთ ისინი მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ აიღოთ თითოეული მარტივი ფაქტორი ყველაზე დიდი მაჩვენებლით, რომლითაც ის ჩნდება და გაამრავლოთ ეს ფაქტორები ერთად.

ვინაიდან თანაპირველ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს. მაგალითად, სამი რიცხვი: 20, 49 და 33 არის თანაპირველი. Ისე

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

იგივე უნდა გაკეთდეს, როდესაც ვეძებთ სხვადასხვა მარტივი რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს. მაგალითად, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

მოძიება შერჩევით

მეორე გზა არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა დაყენების გზით.

მაგალითი 1. როდესაც მოცემული რიცხვებიდან უდიდესი თანაბრად იყოფა სხვა მოცემულ რიცხვებზე, მაშინ ამ რიცხვების LCM უდრის მათგან უფრო დიდს. მაგალითად, მოცემულია ოთხი რიცხვი: 60, 30, 10 და 6. თითოეული მათგანი იყოფა 60-ზე, შესაბამისად:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

სხვა შემთხვევებში, უმცირესი საერთო ჯერადი მოსაძებნად, გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:

1. განსაზღვრეთ ყველაზე დიდი რიცხვი მოცემული რიცხვებიდან.
2. შემდეგი, ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლდებიან უდიდესი რიცხვის, ვამრავლებთ მას ნატურალურ რიცხვებზე ზრდადი მიმდევრობით და ვამოწმებთ, იყო თუ არა დარჩენილი მოცემული რიცხვები მიღებული ნამრავლზე.

მაგალითი 2. მოცემულია სამი რიცხვი 24, 3 და 18. განსაზღვრეთ მათგან ყველაზე დიდი - ეს არის რიცხვი 24. შემდეგ, იპოვეთ რიცხვები, რომლებიც მრავლდებიან 24-ზე, შეამოწმეთ, იყო თუ არა თითოეული მათგანი 18-ზე და 3-ზე:

24 1 = 24 იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.

24 2 = 48 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.

24 3 \u003d 72 - იყოფა 3-ზე და 18-ზე.

ასე რომ, LCM(24, 3, 18) = 72.

LCM თანმიმდევრული მოძიებით პოვნა

მესამე გზა არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით.

ორი მოცემული რიცხვის LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის გაყოფილი მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ ორი მოცემული რიცხვის LCM: 12 და 8. განსაზღვრეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (12, 8) = 4. გაამრავლეთ ეს რიცხვები:

ჩვენ პროდუქტს ვყოფთ მათ GCD-ად:

ასე რომ, LCM(12, 8) = 24.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:

1. პირველი, ნაპოვნია მოცემული რიცხვებიდან ნებისმიერი ორის LCM.
2. შემდეგ ნაპოვნი უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის LCM.
3. შემდეგ, მიღებული უმცირესი საერთო ჯერადი და მეოთხე რიცხვის LCM და ა.შ.
4. ამრიგად, LCM ძიება გრძელდება მანამ, სანამ არის ნომრები.

მაგალითი 2. ვიპოვოთ სამი მოცემული რიცხვის LCM: 12, 8 და 9. წინა მაგალითში უკვე ვიპოვეთ 12 და 8 რიცხვების LCM (ეს არის რიცხვი 24). რჩება 24-ის უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის - 9-ის პოვნა. დაადგინეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: gcd (24, 9) = 3. გაამრავლეთ LCM რიცხვით 9:

ჩვენ პროდუქტს ვყოფთ მათ GCD-ად:

ასე რომ, LCM(12, 8, 9) = 72.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები პირველ რიგში მივყავართ საერთო მნიშვნელი. ეს ნიშნავს, რომ ისინი პოულობენ ასეთ ერთ მნიშვნელს, რომელიც იყოფა თითოეული ალგებრული წილადის თავდაპირველ მნიშვნელზე, რომელიც ამ გამოხატვის ნაწილია.

მოგეხსენებათ, თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (ან იყოფა) იმავე რიცხვზე ნულის გარდა, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ეს არის წილადის მთავარი თვისება. ამიტომ, როდესაც წილადები მივყავართ საერთო მნიშვნელს, ფაქტობრივად, თითოეული წილადის თავდაპირველი მნიშვნელი მრავლდება გამოტოვებულ ფაქტორზე საერთო მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ამ ფაქტორზე და წილადის მრიცხველზე გამრავლება (თითოეული წილადისთვის განსხვავებულია).

მაგალითად, მოცემულია ალგებრული წილადების შემდეგი ჯამი:

საჭიროა გამოხატვის გამარტივება, ანუ ორი ალგებრული წილადის დამატება. ამისათვის, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ტერმინები-წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. პირველი ნაბიჯი არის მონომის პოვნა, რომელიც იყოფა 3x-ზე და 2y-ზე. ამ შემთხვევაში, სასურველია, რომ ის იყოს ყველაზე პატარა, ანუ იპოვონ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) 3x და 2y.

რიცხვითი კოეფიციენტებისა და ცვლადებისთვის, LCM იძებნება ცალკე. LCM(3, 2) = 6 და LCM(x, y) = xy. გარდა ამისა, ნაპოვნი მნიშვნელობები მრავლდება: 6xy.

ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რა ფაქტორით უნდა გავამრავლოთ 3x, რომ მივიღოთ 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

ეს ნიშნავს, რომ პირველი ალგებრული წილადის საერთო მნიშვნელზე შემცირებისას მისი მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ 2y-ზე (მნიშვნელი უკვე გამრავლებულია საერთო მნიშვნელზე შეყვანისას). ანალოგიურად იძებნება მეორე წილადის მრიცხველის ფაქტორი. უდრის 3x.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:

გარდა ამისა, უკვე შესაძლებელია ვიმოქმედოთ როგორც წილადებთან ერთი და იგივე მნიშვნელებით: ემატება მრიცხველები და მნიშვნელში იწერება ერთი საერთო:

გარდაქმნების შემდეგ მიიღება გამარტივებული გამოხატულება, რომელიც არის ერთი ალგებრული წილადი, რომელიც არის ორი ორიგინალის ჯამი:

თავდაპირველ გამოსახულებაში ალგებრული წილადები შეიძლება შეიცავდეს მნიშვნელებს, რომლებიც პოლინომებია და არა მონომები (როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში). ამ შემთხვევაში, სანამ საერთო მნიშვნელს იპოვით, შეაფასეთ მნიშვნელები (თუ შესაძლებელია). გარდა ამისა, საერთო მნიშვნელი გროვდება სხვადასხვა ფაქტორებიდან. თუ ფაქტორი რამდენიმე საწყის მნიშვნელშია, მაშინ იგი აღებულია ერთხელ. თუ ფაქტორს აქვს სხვადასხვა ხარისხი თავდაპირველ მნიშვნელებში, მაშინ იგი აღებულია უფრო დიდით. Მაგალითად:

აქ მრავალწევრი a 2 - b 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით (a - b)(a + b). კოეფიციენტი 2a – 2b გაფართოებულია როგორც 2(a – b). ამრიგად, საერთო მნიშვნელი ტოლი იქნება 2(a - b)(a + b).

ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ ორი ან ნებისმიერი სხვა რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი.

კალკულატორი GCD და NOC-ის საპოვნელად

იპოვეთ GCD და NOC

GCD და NOC ნაპოვნია: 5806

როგორ გამოვიყენოთ კალკულატორი

• შეიყვანეთ ნომრები შეყვანის ველში
• არასწორი სიმბოლოების შეყვანის შემთხვევაში, შეყვანის ველი მონიშნული იქნება წითლად
• დააჭირეთ ღილაკს "იპოვეთ GCD და NOC"

როგორ შეიყვანოთ ნომრები

• რიცხვები შეიყვანება ერთმანეთისგან გამოყოფილი ინტერვალით, წერტილებით ან მძიმეებით
• შეყვანილი ნომრების სიგრძე შეზღუდული არ არისასე რომ, გრძელი რიცხვების gcd და lcm-ის პოვნა რთული არ იქნება

რა არის NOD და NOK?

უდიდესი საერთო გამყოფირამდენიმე რიცხვი არის უდიდესი ბუნებრივი მთელი რიცხვი, რომლითაც ყველა საწყისი რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე. ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შემოკლებულია როგორც GCD.
უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე რიცხვი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თავდაპირველ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი შემოკლებულია როგორც NOC.

როგორ შევამოწმოთ, იყო თუ არა რიცხვი სხვა რიცხვზე ნაშთის გარეშე?

იმის გასარკვევად, იყო თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე ნაშთის გარეშე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი თვისება. შემდეგ მათი შერწყმით შეიძლება შემოწმდეს ზოგიერთი მათგანის გაყოფა და მათი კომბინაციები.

რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი ნიშანი

1. რიცხვის 2-ზე გაყოფის ნიშანი
იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი ორზე (ლუწია თუ არა), საკმარისია გადავხედოთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრს: თუ ის უდრის 0-ს, 2-ს, 4-ს, 6-ს ან 8-ს, მაშინ რიცხვი ლუწია. რაც ნიშნავს, რომ ის იყოფა 2-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 2-ზე.
გადაწყვეტილება:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ორზე.

2. რიცხვის 3-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 3-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე. ამრიგად, იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ციფრების ჯამი და შეამოწმოთ იყო თუ არა ის 3-ზე. მაშინაც კი, თუ ციფრების ჯამი ძალიან დიდი აღმოჩნდა, შეგიძლიათ იგივე პროცესი გაიმეოროთ. ისევ.
მაგალითი:დაადგინეთ არის თუ არა რიცხვი 34938 3-ზე.
გადაწყვეტილება:ჩვენ ვითვლით ციფრების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 3-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა სამზე.

3. რიცხვის 5-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 5-ზე, როდესაც მისი ბოლო ციფრი არის ნული ან ხუთი.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 5-ზე.
გადაწყვეტილება:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი არ იყოფა ხუთზე.

4. რიცხვის 9-ზე გაყოფის ნიშანი
ეს ნიშანი ძალიან ჰგავს სამზე გაყოფის ნიშანს: რიცხვი იყოფა 9-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ, იყო თუ არა რიცხვი 34938 9-ზე.
გადაწყვეტილება:ვიანგარიშებთ ციფრების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ცხრაზე.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD და LCM

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა ამ რიცხვების ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა.

განვიხილოთ ეს მეთოდი GCD(28, 36) პოვნის მაგალითის გამოყენებით:

1. ვანაწილებთ ორივე რიცხვს: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. ჩვენ ვპოულობთ საერთო ფაქტორებს, ანუ მათ, რაც ორივე რიცხვს აქვს: 1, 2 და 2.
3. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფაქტორების ნამრავლს: 1 2 2 \u003d 4 - ეს არის 28 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის LCM

არსებობს ორი ყველაზე გავრცელებული გზა ორი რიცხვის უმცირესი ჯერადის მოსაძებნად. პირველი გზა არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადები და შემდეგ აირჩიოთ მათ შორის ისეთი რიცხვი, რომელიც იქნება ორივე რიცხვისთვის საერთო და ამავე დროს ყველაზე პატარა. და მეორე არის ამ რიცხვების GCD-ის პოვნა. მოდით უბრალოდ განვიხილოთ.

LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორიგინალური რიცხვების ნამრავლი და შემდეგ გაყოთ იგი ადრე ნაპოვნი GCD-ზე. ვიპოვოთ LCM იგივე 28 და 36 რიცხვებისთვის:

1. იპოვეთ 28 და 36 რიცხვების ნამრავლი: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) უკვე ცნობილია, რომ არის 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

იპოვეთ GCD და LCM მრავალი რიცხვისთვის

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის მოსაძებნი რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ იპოვება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. ასევე, რამდენიმე რიცხვის GCD-ის საპოვნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მიმართება: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

ანალოგიური მიმართება ასევე ვრცელდება რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადზე: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

მაგალითი:იპოვეთ GCD და LCM 12, 32 და 36 ნომრებისთვის.

1. ჯერ გავამრავლოთ რიცხვები: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები: 1, 2 და 2.
3. მათი პროდუქტი მისცემს gcd: 1 2 2 = 4
4. ახლა ვიპოვოთ LCM: ამისათვის ჩვენ ჯერ ვიპოვით LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. სამივე რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288.

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემის გადაწყვეტა. ბიჭის ნაბიჯი არის 75 სმ, გოგოს კი 60 სმ, აუცილებელია ვიპოვოთ უმცირესი მანძილი, რომელზეც ორივე გადადგამს ნაბიჯების მთელ რაოდენობას.

გადაწყვეტილება.მთელი გზა, რომელსაც ბიჭები გაივლიან, ნაშთის გარეშე უნდა გაიყოს 60-ზე და 70-ზე, რადგან თითოეულმა უნდა გადადგას ნაბიჯების მთელი რაოდენობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი უნდა იყოს 75-ისა და 60-ის ჯერადი.

პირველ რიგში, ჩვენ დავწერთ ყველა ჯერადს, 75 რიცხვისთვის. მივიღებთ:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ახლა ჩამოვწეროთ რიცხვები, რომლებიც იქნება 60-ის ნამრავლი. მივიღებთ:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ახლა ჩვენ ვიპოვით ციფრებს, რომლებიც ორივე რიგშია.

• რიცხვების საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები, 300, 600 და ა.შ.

მათგან ყველაზე პატარა არის რიცხვი 300. ამ შემთხვევაში მას 75 და 60 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ეწოდება.

პრობლემის მდგომარეობას რომ დავუბრუნდეთ, უმცირესი მანძილი, რომელზედაც ბიჭები ნაბიჯების მთელ რაოდენობას გადადგამენ იქნება 300 სმ, ბიჭი ამ გზას 4 ნაბიჯით წავა, გოგოს კი 5 ნაბიჯის გადადგმა დასჭირდება.

უმცირესი საერთო მრავლობითის პოვნა

• ორი ნატურალური რიცხვის a და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის ორივე a და b-ის ნამრავლი.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი, არ არის საჭირო ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ზედიზედ ჩაწერა.

შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი.

როგორ მოვძებნოთ უმცირესი საერთო ჯერადი

პირველ რიგში, თქვენ უნდა დაშალოთ ეს რიცხვები პირველ ფაქტორებად.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

ახლა ჩამოვწეროთ ყველა ის ფაქტორი, რომელიც არის პირველი რიცხვის გაფართოებაში (2,2,3,5) და დავუმატოთ ყველა გამოტოვებული ფაქტორი მეორე რიცხვის (5) გაფართოებიდან.

შედეგად ვიღებთ მარტივი რიცხვების სერიას: 2,2,3,5,5. ამ რიცხვების ნამრავლი იქნება ყველაზე ნაკლებად საერთო ფაქტორი ამ რიცხვებისთვის. 2*2*3*5*5 = 300.

უმცირესი საერთო ჯერადი პოვნის ზოგადი სქემა

• 1. რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად.
• 2. ჩამოწერეთ ძირითადი ფაქტორები, რომლებიც ერთ-ერთი მათგანის ნაწილია.
• 3. ამ ფაქტორებს დაუმატეთ ყველა ის, რაც დანარჩენის დაშლაშია, მაგრამ არა შერჩეულში.
• 4. იპოვე ყველა ჩამოწერილი ფაქტორის ნამრავლი.

ეს მეთოდი უნივერსალურია. მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი რაოდენობის ნატურალური რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.