ფუნქციას ეწოდება ლუწი (კენტი) თუ რომელიმე და ტოლობა

.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ
.

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

მაგალითი 6.2.გამოიკვლიეთ ლუწი ან კენტი ფუნქციები

1)
; 2)
; 3)
.

გამოსავალი.

1) ფუნქცია განისაზღვრება
. მოდი ვიპოვოთ
.

იმათ.
. ასე რომ, ეს ფუნქცია თანაბარია.

2) ფუნქცია განისაზღვრება

იმათ.
. ამრიგად, ეს ფუნქცია უცნაურია.

3) ფუნქცია განსაზღვრულია , ე.ი. ამისთვის

,
. ამიტომ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. მოდით ვუწოდოთ მას ზოგადი ფუნქცია.

3. ფუნქციის გამოკვლევა ერთფეროვნებისთვის.

ფუნქცია
ეწოდება გაზრდა (კლება) რაღაც ინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალში არგუმენტის ყოველი უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ (პატარა) მნიშვნელობას.

გარკვეული ინტერვალებით მზარდ (კლებად) ფუნქციებს მონოტონური ეწოდება.

თუ ფუნქცია
დიფერენცირებადია ინტერვალზე
და აქვს დადებითი (უარყოფითი) წარმოებული
, შემდეგ ფუნქცია
იზრდება (მცირდება) ამ ინტერვალში.

მაგალითი 6.3. იპოვეთ ფუნქციების ერთფეროვნების ინტერვალები

1)
; 3)
.

გამოსავალი.

1) ეს ფუნქცია განისაზღვრება მთელი რიცხვის ღერძზე. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული.

წარმოებული არის ნული, თუ
და
. განმარტების დომენი - რიცხვითი ღერძი, დაყოფილი წერტილებით
,
ინტერვალებისთვის. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალში.

ინტერვალში
წარმოებული უარყოფითია, ფუნქცია მცირდება ამ ინტერვალზე.

ინტერვალში
წარმოებული დადებითია, შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალზე.

2) ეს ფუნქცია განისაზღვრება თუ
ან

.

თითოეულ ინტერვალში ვადგენთ კვადრატული ტრინომის ნიშანს.

ამრიგად, ფუნქციის ფარგლები

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული
,
, თუ
, ე.ი.
, მაგრამ
. განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებში
.

ინტერვალში
წარმოებული უარყოფითია, შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე
. ინტერვალში
წარმოებული დადებითია, ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე
.

4. ექსტრემისთვის ფუნქციის გამოკვლევა.

Წერტილი
ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი
, თუ არსებობს წერტილის ასეთი მეზობლობა რომ ყველასთვის
ეს უბანი აკმაყოფილებს უთანასწორობას

.

ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ექსტრემალური წერტილები.

თუ ფუნქცია
წერტილში აქვს ექსტრემუმი, მაშინ ფუნქციის წარმოებული ამ მომენტში ნულის ტოლია ან არ არსებობს (აუცილებელი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის).

წერტილებს, რომლებშიც წარმოებული ტოლია ნულის ან არ არსებობს, კრიტიკული ეწოდება.

5. საკმარისი პირობები ექსტრემის არსებობისთვის.

წესი 1. თუ გადასვლისას (მარცხნიდან მარჯვნივ) კრიტიკულ წერტილში წარმოებული
ცვლის ნიშანს "+"-დან "-", შემდეგ წერტილში ფუნქცია
აქვს მაქსიმუმი; თუ "-"-დან "+"-მდე, მაშინ მინიმალური; თუ
არ იცვლის ნიშანს, მაშინ არ არის ექსტრემუმი.

წესი 2. დაუშვით წერტილში
ფუნქციის პირველი წარმოებული
ნული
, ხოლო მეორე წარმოებული არსებობს და არის ნულოვანი. Თუ
, მაშინ არის მაქსიმალური ქულა, თუ
, მაშინ არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

მაგალითი 6.4 . შეისწავლეთ მაქსიმალური და მინიმალური ფუნქციები:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

გამოსავალი.

1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალზე
.

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული
და ამოხსენით განტოლება
, ე.ი.
.აქედან
კრიტიკული წერტილებია.

მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებში,
.

წერტილების გავლისას
და
წარმოებული ცვლის ნიშანს „–“–დან „+“–მდე, შესაბამისად, წესის 1–ლი მიხედვით
არის მინიმალური ქულები.

წერტილის გავლისას
წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-", ასე
არის მაქსიმალური წერტილი.

,
.

2) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალში
. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული
.

განტოლების ამოხსნით
, იპოვე
და
კრიტიკული წერტილებია. თუ მნიშვნელი
, ე.ი.
, მაშინ წარმოებული არ არსებობს. Ისე,
მესამე კრიტიკული წერტილია. განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებით.

აქედან გამომდინარე, ფუნქციას აქვს მინიმალური წერტილი
, მაქსიმუმ წერტილებში
და
.

3) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტი თუ
, ე.ი. ზე
.

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული

.

მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

პუნქტების უბნები
არ განეკუთვნება განსაზღვრების დომენს, ამიტომ ისინი არ არიან ექსტრემალური ტ. მოდით გამოვიკვლიოთ კრიტიკული წერტილები
და
.

4) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალზე
. ჩვენ ვიყენებთ წესს 2. იპოვეთ წარმოებული
.

მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

ვიპოვოთ მეორე წარმოებული
და განსაზღვრეთ მისი ნიშანი წერტილებში

წერტილებზე
ფუნქციას აქვს მინიმუმი.

წერტილებზე
ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი.

y ცვლადის დამოკიდებულებას x ცვლადზე, რომელშიც x-ის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის ერთ მნიშვნელობას, ეწოდება ფუნქცია. აღნიშვნა არის y=f(x). თითოეულ ფუნქციას აქვს რამდენიმე ძირითადი თვისება, როგორიცაა ერთფეროვნება, პარიტეტი, პერიოდულობა და სხვა.

განვიხილოთ პარიტეტული თვისება უფრო დეტალურად.

ფუნქცია y=f(x) იწოდება მაშინაც კი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

2. ფუნქციის სიდიდე x წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება ფუნქციის ფარგლებს, უნდა იყოს -x წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი. ანუ, ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d f (-x) უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი

თუ თქვენ ააგებთ ლუწი ფუნქციის გრაფიკს, ის სიმეტრიული იქნება y-ღერძის მიმართ.

მაგალითად, ფუნქცია y=x^2 ლუწია. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.

აიღეთ თვითნებური x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. ამიტომ, f(x) = f(-x). ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია თანაბარია. ქვემოთ მოცემულია y=x^2 ფუნქციის გრაფიკი.

ნახაზი აჩვენებს, რომ გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ.

კენტი ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციას y=f(x) ეწოდება კენტი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

1. მოცემული ფუნქციის დომენი უნდა იყოს სიმეტრიული O წერტილის მიმართ, ანუ თუ რომელიმე a წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს, მაშინ შესაბამისი წერტილი -a ასევე უნდა ეკუთვნოდეს მოცემული ფუნქციის დომენს.

2. ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d -f (x).

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ - საწყისი. მაგალითად, ფუნქცია y=x^3 არის უცნაური. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.

აიღეთ თვითნებური x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. ამიტომ f(x) = -f(x). ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია კენტია. ქვემოთ მოცემულია y=x^3 ფუნქციის გრაფიკი.

ნახაზზე ნათლად ჩანს, რომ კენტი ფუნქცია y=x^3 სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.

რომლებიც ამა თუ იმ ხარისხით თქვენთვის ნაცნობი იყო. იქვე აღინიშნა, რომ ფუნქციური თვისებების მარაგი ეტაპობრივად შეივსება. ამ განყოფილებაში ორი ახალი თვისება იქნება განხილული.

განმარტება 1.

ფუნქცია y \u003d f (x), x є X, იწოდება მაშინაც კი, თუ X სიმრავლიდან რომელიმე x მნიშვნელობისთვის f (-x) \u003d f (x) ტოლობა მართალია.

განმარტება 2.

ფუნქცია y \u003d f (x), x є X, ეწოდება კენტი, თუ X სიმრავლიდან რომელიმე x მნიშვნელობისთვის f (-x) \u003d -f (x) ტოლობა მართალია.

დაამტკიცეთ, რომ y = x 4 არის ლუწი ფუნქცია.

გამოსავალი. გვაქვს: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. მაგრამ (-x) 4 = x 4 . აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x-ისთვის ტოლობა f (-x) = f (x), ე.ი. ფუნქცია თანაბარია.

ანალოგიურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციები y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ლუწია.

დაამტკიცეთ, რომ y = x 3 არის უცნაური ფუნქცია.

გამოსავალი. გვაქვს: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. მაგრამ (-x) 3 = -x 3 . აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x-ისთვის ტოლობა f (-x) \u003d -f (x), ე.ი. ფუნქცია უცნაურია.

ანალოგიურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციები y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 არის უცნაური.

მე და თქვენ არაერთხელ დავრწმუნდით, რომ მათემატიკაში ახალ ტერმინებს ყველაზე ხშირად „მიწიერი“ წარმოშობა აქვთ, ე.ი. მათი ახსნა შეიძლება გარკვეულწილად. ეს ეხება როგორც ლუწ, ასევე კენტ ფუნქციებს. იხილეთ: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 არის უცნაური ფუნქციები, ხოლო y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 არის ლუწი ფუნქციები. და ზოგადად, y \u003d x "ფორმის ნებისმიერი ფუნქციისთვის (ქვემოთ ჩვენ კონკრეტულად შევისწავლით ამ ფუნქციებს), სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, შეგვიძლია დავასკვნათ: თუ n არის უცნაური რიცხვი, მაშინ ფუნქცია y \u003d x "უცნაურია; თუ n არის ლუწი რიცხვი, მაშინ ფუნქცია y = xn არის ლუწი.

ასევე არის ფუნქციები, რომლებიც არც ლუწია და არც კენტი. ასეთია, მაგალითად, ფუნქცია y \u003d 2x + 3. მართლაც, f (1) \u003d 5, და f (-1) \u003d 1. როგორც ხედავთ, აქ აქედან გამომდინარე, არც იდენტურობა f (-x ) \u003d f ( x), არც იდენტურობა f(-x) = -f(x).

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება იყოს ლუწი, კენტი ან არცერთი.

კითხვას, არის თუ არა მოცემული ფუნქცია ლუწი თუ კენტი, ჩვეულებრივ უწოდებენ ფუნქციის შესწავლას პარიტეტისათვის.

1 და 2 განმარტებები ეხება ფუნქციის მნიშვნელობებს x და -x წერტილებში. ეს ვარაუდობს, რომ ფუნქცია განისაზღვრება x წერტილში და -x წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი -x ეკუთვნის ფუნქციის დომენს ამავე დროს, როგორც x წერტილი. თუ X რიცხვითი სიმრავლე x მის თითოეულ ელემენტთან ერთად შეიცავს საპირისპირო ელემენტს -x, მაშინ X ეწოდება სიმეტრიულ სიმრავლეს. ვთქვათ (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) არის სიმეტრიული სიმრავლეები, ხოლო ; (∞;∞) არის სიმეტრიული სიმრავლეები, და, [–5;4] არის არასიმეტრიული.

- ფუნქციებს აქვთ თუ არა განსაზღვრების დომენი - სიმეტრიული სიმრავლე? უცნაურები?
- თუ დ( ვ) არის ასიმეტრიული სიმრავლე, მაშინ რა ფუნქცია აქვს?
– ამრიგად, თუ ფუნქცია ზე = ვ(X) არის ლუწი ან კენტი, მაშინ მისი განმარტების დომენი არის D( ვ) არის სიმეტრიული ნაკრები. მაგრამ მართალია საპირისპირო, თუ ფუნქციის დომენი არის სიმეტრიული სიმრავლე, მაშინ ის ლუწია თუ კენტი?
- ასე რომ, განსაზღვრების დომენის სიმეტრიული სიმრავლის არსებობა აუცილებელი პირობაა, მაგრამ არა საკმარისი.
– მაშ, როგორ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ ფუნქცია პარიტეტისათვის? შევეცადოთ დავწეროთ ალგორითმი.

სლაიდი

ფუნქციის პარიტეტის გამოკვლევის ალგორითმი

1. დაადგინეთ არის თუ არა ფუნქციის დომენი სიმეტრიული. თუ არა, მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. თუ კი, მაშინ გადადით ალგორითმის მე-2 საფეხურზე.

2. დაწერეთ გამოთქმა ვ(–X).

3. შეადარე ვ(–X) და ვ(X):

• თუ ვ(–X).= ვ(X), მაშინ ფუნქცია ლუწია;
• თუ ვ(–X).= – ვ(X), მაშინ ფუნქცია კენტია;
• თუ ვ(–X) ≠ ვ(X) და ვ(–X) ≠ –ვ(X), მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

მაგალითები:

გამოიკვლიეთ ფუნქცია პარიტეტისთვის ა) ზე= x 5 +; ბ) ზე= ; in) ზე= .

გამოსავალი.

ა) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), სიმეტრიული ნაკრები.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e ფუნქცია h(x)= x 5 + კენტი.

ბ) y =,

ზე = ვ(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), ასიმეტრიული სიმრავლე, ამიტომ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

in) ვ(X) = , y = f(x),

1) D( ვ) = (–∞; 3] ≠ ; ბ) (∞; –2), (–4; 4]?

ვარიანტი 2

1. არის თუ არა მოცემული სიმრავლე სიმეტრიული: ა) [–2;2]; ბ) (∞; 0], (0; 7) ?

ა); ბ) y \u003d x (5 - x 2). 2. შეამოწმეთ ფუნქცია პარიტეტისათვის:

ა) y \u003d x 2 (2x - x 3), ბ) y \u003d

3. ნახ. ნაკვეთი ზე = ვ(X), ყველასთვის X, პირობის დაკმაყოფილება X? 0.
დახაზეთ ფუნქცია ზე = ვ(X), თუ ზე = ვ(X) არის თანაბარი ფუნქცია.

3. ნახ. ნაკვეთი ზე = ვ(X), ყველა x-ისთვის დამაკმაყოფილებელია x? 0.
დახაზეთ ფუნქცია ზე = ვ(X), თუ ზე = ვ(X) კენტი ფუნქციაა.

ორმხრივი შემოწმება სლაიდი.

6. საშინაო დავალება: №11.11, 11.21,11.22;

პარიტეტული თვისების გეომეტრიული მნიშვნელობის დადასტურება.

*** (USE ვარიანტის მინიჭება).

1. უცნაური ფუნქცია y \u003d f (x) განისაზღვრება მთელ რეალურ ხაზზე. x ცვლადის ნებისმიერი არაუარყოფითი მნიშვნელობისთვის, ამ ფუნქციის მნიშვნელობა ემთხვევა g ფუნქციის მნიშვნელობას X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობა h( X) = ზე X = 3.

7. შეჯამება