ამ განტოლების გასამარტივებლად გამოიყენება უმცირესი საერთო მნიშვნელი.ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როცა მოცემულ განტოლებას ვერ დაწერთ ერთი რაციონალური გამოსახულებით განტოლების თითოეულ მხარეს (და იყენებთ ჯვარედინი გამრავლების მეთოდს). ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც გეძლევათ რაციონალური განტოლება 3 ან მეტი წილადით (ორი წილადის შემთხვევაში ჯვარედინი გამრავლება უკეთესია).

იპოვეთ წილადების უმცირესი საერთო მნიშვნელი (ან უმცირესი საერთო ჯერადი). NOZ არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც თანაბრად იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე.

• ზოგჯერ NOZ აშკარა რიცხვია. მაგალითად, თუ მოცემულია განტოლება: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, მაშინ აშკარაა, რომ 3, 2 და 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი იქნება 6.
• თუ NOD აშკარა არ არის, ჩაწერეთ ყველაზე დიდი მნიშვნელის ჯერადები და იპოვეთ მათ შორის ერთი, რომელიც ასევე არის სხვა მნიშვნელების ნამრავლი. ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ NOD ორი მნიშვნელის ერთად გამრავლებით. მაგალითად, თუ მოცემულია განტოლება x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, მაშინ NOZ = 8*9 = 72.
• თუ ერთი ან მეტი მნიშვნელი შეიცავს ცვლადს, მაშინ პროცესი გარკვეულწილად უფრო რთულია (მაგრამ არა შეუძლებელი). ამ შემთხვევაში, NOZ არის გამოხატულება (შეიცავს ცვლადს), რომელიც იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე. მაგალითად, განტოლებაში 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), რადგან ეს გამოხატულება იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

გაამრავლეთ თითოეული წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც იმ რიცხვზე, რომელიც ტოლია NOZ-ის თითოეული წილადის შესაბამის მნიშვნელზე გაყოფის შედეგს. ვინაიდან თქვენ ამრავლებთ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ერთსა და იმავე რიცხვზე, თქვენ ეფექტურად ამრავლებთ წილადს 1-ზე (მაგალითად, 2/2 = 1 ან 3/3 = 1).

• ასე რომ, ჩვენს მაგალითში, გავამრავლოთ x/3 2/2-ზე, რათა მივიღოთ 2x/6, და გავამრავლოთ 1/2 3/3-ზე, რათა მივიღოთ 3/6 (3x + 1/6 არ არის საჭირო გამრავლება, რადგან მნიშვნელი არის 6).
• გააგრძელეთ ანალოგიურად, როდესაც ცვლადი არის მნიშვნელში. ჩვენს მეორე მაგალითში NOZ = 3x(x-1), ასე რომ გავამრავლოთ 5/(x-1) (3x)/(3x)-ზე, რომ მიიღოთ 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x გამრავლებული 3(x-1)/3(x-1) მისაღებად 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) გავამრავლოთ (x-1)/(x-1) და მიიღებთ 2(x-1)/3x(x-1).

იპოვე x.ახლა, როცა წილადები საერთო მნიშვნელამდე შეამცირეთ, შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ მნიშვნელს. ამისათვის გაამრავლეთ განტოლების თითოეული მხარე საერთო მნიშვნელზე. შემდეგ ამოხსენით მიღებული განტოლება, ანუ იპოვეთ "x". ამისათვის გამოყავით ცვლადი განტოლების ერთ მხარეს.

• ჩვენს მაგალითში: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. შეგიძლიათ დაამატოთ 2 წილადი ერთი და იგივე მნიშვნელით, ასე რომ ჩაწერეთ განტოლება: (2x+3)/6=(3x+1)/6. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე და გაათავისუფლეთ მნიშვნელები: 2x+3 = 3x +1. ამოხსენით და მიიღეთ x = 2.
• ჩვენს მეორე მაგალითში (მნიშვნელში ცვლადით), განტოლება ასე გამოიყურება (საერთო მნიშვნელზე შემცირების შემდეგ): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). განტოლების ორივე მხარის NOZ-ზე გამრავლებით, თქვენ გაათავისუფლებთ მნიშვნელს და მიიღებთ: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ან 15x = 3x - 3 + 2x -2, ან 15x = x - 5 ამოხსენი და მიიღეთ: x = -5/14.

ზემოთ განტოლება შემოვიღეთ § 7-ში. პირველ რიგში, გავიხსენებთ რა არის რაციონალური გამოხატულება. ეს არის ალგებრული გამოხატულება, რომელიც შედგება რიცხვებისგან და x ცვლადისაგან, რომელიც იყენებს შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფისა და გამრავლების ოპერაციებს ბუნებრივი მაჩვენებლით.

თუ r(x) რაციონალური გამოხატულებაა, მაშინ განტოლებას r(x) = 0 ეწოდება რაციონალური განტოლება.

თუმცა, პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია ტერმინის "რაციონალური განტოლების" უფრო ფართო ინტერპრეტაციის გამოყენება: ეს არის h(x) = q(x) ფორმის განტოლება, სადაც h(x) და q(x) არის. რაციონალური გამონათქვამები.

აქამდე ვერც ერთი რაციონალური განტოლება ვერ ამოგვეხსნა, რომელიც სხვადასხვა გარდაქმნებისა და მსჯელობის შედეგად დაყვანილ იქნა წრფივი განტოლება. ახლა ჩვენი შესაძლებლობები გაცილებით დიდია: ჩვენ შევძლებთ ამოხსნათ რაციონალური განტოლება, რომელიც დაყვანს არა მხოლოდ წრფივზე
mu, არამედ კვადრატულ განტოლებამდე.

გავიხსენოთ, როგორ გადავწყვიტეთ ადრე რაციონალური განტოლებები და შევეცადოთ ჩამოვაყალიბოთ ამოხსნის ალგორითმი.

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა

გადაწყვეტილება. განტოლებას ვწერთ ფორმაში

ამ შემთხვევაში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ტოლობები A \u003d B და A - B \u003d 0 გამოხატავს ერთსა და იმავე ურთიერთობას A და B-ს შორის. ამან მოგვცა საშუალება გადაგვეტანა ტერმინი განტოლების მარცხენა მხარეს. საპირისპირო ნიშანი.

შევასრულოთ განტოლების მარცხენა მხარის გარდაქმნები. Ჩვენ გვაქვს

გავიხსენოთ თანასწორობის პირობები წილადებინული: თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი მიმართება ერთდროულად დაკმაყოფილებულია:

1) წილადის მრიცხველი არის ნული (a = 0); 2) წილადის მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან).
(1 განტოლების მარცხენა მხარეს) წილადის მრიცხველის ნულის ტოლფასი, მივიღებთ

რჩება ზემოაღნიშნული მეორე პირობის შესრულების შემოწმება. თანაფარდობა ნიშნავს (1) განტოლებას, რომ . მნიშვნელობები x 1 = 2 და x 2 = 0.6 აკმაყოფილებს მითითებულ ურთიერთობებს და, შესაბამისად, ემსახურება (1) განტოლების ფესვებს, და ამავე დროს მოცემული განტოლების ფესვებს.

1) გადავიყვანოთ განტოლება ფორმაში

2) შევასრულოთ ამ განტოლების მარცხენა მხარის გარდაქმნები:

(ერთდროულად შეცვალა ნიშნები მრიცხველში და
წილადები).
ამრიგად, მოცემული განტოლება იღებს ფორმას

3) ამოხსენით განტოლება x 2 - 6x + 8 = 0. იპოვეთ

4) ნაპოვნი მნიშვნელობებისთვის შეამოწმეთ მდგომარეობა . ნომერი 4 აკმაყოფილებს ამ პირობას, მაგრამ ნომერი 2 არა. ასე რომ, 4 არის მოცემული განტოლების ფესვი, ხოლო 2 არის უცხო ფესვი.
პასუხი: 4.

2. რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ახალი ცვლადის შემოტანით

ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი თქვენთვის ნაცნობია, ის არაერთხელ გამოგვიყენებია. მოდით მაგალითებით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოიყენება იგი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას.

მაგალითი 3ამოხსენით განტოლება x 4 + x 2 - 20 = 0.

გადაწყვეტილება. ჩვენ წარმოგიდგენთ ახალ ცვლადს y \u003d x 2. ვინაიდან x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, მაშინ მოცემული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს სახით

y 2 + y - 20 = 0.

ეს არის კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებს ვიპოვით ცნობილის გამოყენებით ფორმულები; ვიღებთ y 1 = 4, y 2 = - 5.
მაგრამ y \u003d x 2, რაც ნიშნავს, რომ პრობლემა შემცირდა ორი განტოლების ამოხსნამდე:
x2=4; x 2 \u003d -5.

პირველი განტოლებიდან ვხვდებით, რომ მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს.
პასუხი:.
ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ფორმის განტოლებას ეწოდება ბიკვადრატული განტოლება ("bi" - ორი, ანუ, როგორც ეს იყო, "ორჯერ კვადრატული" განტოლება). ახლახან ამოხსნილი განტოლება იყო ზუსტად ბიკვადრატული. ნებისმიერი ბიკვადრატული განტოლება წყდება ისევე, როგორც განტოლება მე-3 მაგალითიდან: შემოღებულია ახალი ცვლადი y \u003d x 2, შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლება წყდება y ცვლადის მიმართ და შემდეგ ბრუნდება x ცვლადში.

მაგალითი 4განტოლების ამოხსნა

გადაწყვეტილება. გაითვალისწინეთ, რომ იგივე გამოხატულება x 2 + 3x აქ ორჯერ გვხვდება. აქედან გამომდინარე, აზრი აქვს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი y = x 2 + Zx. ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ განტოლება უფრო მარტივი და სასიამოვნო ფორმით (რაც, ფაქტობრივად, არის ახლის შემოღების მიზანი ცვლადი- და ჩაწერა უფრო ადვილია
და განტოლების სტრუქტურა უფრო ნათელი ხდება):

და ახლა ჩვენ გამოვიყენებთ ალგორითმს რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად.

1) გადავიტანოთ განტოლების ყველა პირობა ერთ ნაწილად:

= 0
2) გადავცვალოთ განტოლების მარცხენა მხარე

ასე რომ, ჩვენ გადავაქციეთ მოცემული განტოლება ფორმაში

3) განტოლებიდან - 7y 2 + 29y -4 = 0 ვპოულობთ (ჩვენ უკვე გადავჭრით საკმაოდ ბევრი კვადრატული განტოლება, ამიტომ, ალბათ, არ ღირს ყოველთვის დეტალური გამოთვლების მიცემა სახელმძღვანელოში).

4) შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვები 5 პირობით (y - 3) (y + 1). ორივე ფესვი აკმაყოფილებს ამ მდგომარეობას.
ასე რომ, ახალი y ცვლადის კვადრატული განტოლება ამოხსნილია:
ვინაიდან y \u003d x 2 + Zx, და y, როგორც დავადგინეთ, იღებს ორ მნიშვნელობას: 4 და, - ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა გადავწყვიტოთ ორი განტოლება: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. პირველი განტოლების ფესვები არის რიცხვები 1 და - 4, მეორე განტოლების ფესვები არის რიცხვები.

განხილულ მაგალითებში ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, სიტუაციის ადეკვატური იყო, ანუ კარგად შეესაბამებოდა მას. რატომ? დიახ, რადგან ერთი და იგივე გამოთქმა გარკვევით შეგვხვდა განტოლებაში რამდენჯერმე და გონივრული იყო ამ გამოთქმის ახალი ასოთი აღნიშვნა. მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის, ზოგჯერ ახალი ცვლადი მხოლოდ გარდაქმნების პროცესში „ჩნდება“. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდება შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 5განტოლების ამოხსნა
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

ასე რომ მოცემული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

ახლა ახალი ცვლადი "გამოჩნდა": y = x 2 - Zx.

მისი დახმარებით, განტოლება შეიძლება გადაიწეროს სახით y (y + 2) \u003d 24 და შემდეგ y 2 + 2y - 24 \u003d 0. ამ განტოლების ფესვებია რიცხვები 4 და -6.

თავდაპირველ x ცვლადს რომ დავუბრუნდეთ, ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 - Zx \u003d 4 და x 2 - Zx \u003d - 6. პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს.

პასუხი: 4, - 1.

გაკვეთილის შინაარსი გაკვეთილის შეჯამებამხარდაჭერა ჩარჩო გაკვეთილის პრეზენტაცია ამაჩქარებელი მეთოდები ინტერაქტიული ტექნოლოგიები ივარჯიშე ამოცანები და სავარჯიშოები თვითშემოწმების სემინარები, ტრენინგები, შემთხვევები, კვესტები საშინაო დავალების განხილვის კითხვები რიტორიკული კითხვები სტუდენტებისგან ილუსტრაციები აუდიო, ვიდეო კლიპები და მულტიმედიაფოტოები, ნახატები გრაფიკა, ცხრილები, სქემები იუმორი, ანეგდოტები, ხუმრობები, კომიქსები, იგავი, გამონათქვამები, კროსვორდები, ციტატები დანამატები რეფერატებისტატიების ჩიპები ცნობისმოყვარე თაღლითებისთვის სახელმძღვანელოები ძირითადი და ტერმინების დამატებითი ლექსიკონი სხვა სახელმძღვანელოების და გაკვეთილების გაუმჯობესებასახელმძღვანელოში არსებული შეცდომების გასწორებასახელმძღვანელოში ფრაგმენტის განახლება გაკვეთილზე ინოვაციის ელემენტების მოძველებული ცოდნის ახლით ჩანაცვლება მხოლოდ მასწავლებლებისთვის სრულყოფილი გაკვეთილებისადისკუსიო პროგრამის წლის მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები კალენდარული გეგმა ინტეგრირებული გაკვეთილები

აქამდე ჩვენ ამოხსნილი გვაქვს მხოლოდ მთელი რიცხვითი განტოლებები უცნობის მიმართ, ანუ განტოლებები, რომლებშიც მნიშვნელები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) არ შეიცავს უცნობს.

ხშირად თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს უცნობს მნიშვნელებში: ასეთ განტოლებებს წილადს უწოდებენ.

ამ განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ გავამრავლებთ მის ორივე მხარეს, ანუ მრავალწევრზე, რომელიც შეიცავს უცნობს. იქნება თუ არა ახალი განტოლება მოცემულის ეკვივალენტური? კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით ამ განტოლება ამოხსნათ.

მისი ორივე მხარის გამრავლებით მივიღებთ:

პირველი ხარისხის ამ განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ:

ასე რომ, განტოლებას (2) აქვს ერთი ფესვი

მისი (1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

აქედან გამომდინარე, ასევე არის (1) განტოლების ფესვი.

განტოლებას (1) სხვა ფესვები არ აქვს. ჩვენს მაგალითში ეს ჩანს, მაგალითად, იქიდან, რომ განტოლებაში (1)

როგორ უნდა იყოს უცნობი გამყოფი ტოლი დივიდენდის 1-ის გაყოფილი 2-ზე, ე.ი.

მაშასადამე, (1) და (2) განტოლებებს აქვთ ერთი ფესვი, შესაბამისად, ისინი ეკვივალენტურია.

2. ახლა ჩვენ ვხსნით შემდეგ განტოლებას:

უმარტივესი საერთო მნიშვნელი: ; გაამრავლეთ მასზე განტოლების ყველა პირობა:

შემცირების შემდეგ ვიღებთ:

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

მსგავსი პირობების შემოტანით, ჩვენ გვაქვს:

ამ განტოლების ამოხსნისას ვპოულობთ:

(1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

მარცხენა მხარეს მივიღეთ გამოთქმები, რომლებსაც აზრი არ აქვს.

მაშასადამე, (1) განტოლების ფესვი არ არის. ეს გულისხმობს, რომ განტოლებები (1) და არ არის ეკვივალენტური.

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ განტოლებამ (1) შეიძინა უცხო ფესვი.

მოდით შევადაროთ (1) განტოლების ამონახსნი იმ განტოლებების ამოხსნას, რომლებიც ადრე განვიხილეთ (იხ. § 51). ამ განტოლების ამოხსნისას ჩვენ უნდა შეგვესრულებინა ორი ისეთი ოპერაცია, რომელიც აქამდე არ იყო ნანახი: პირველი, გავამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე უცნობის (საერთო მნიშვნელის) შემცველი გამოსახულებით და მეორე, შევამცირეთ ალგებრული წილადები ფაქტორების შემცველობით. უცნობი.

განტოლების (1) განტოლების (2) შედარებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა x მნიშვნელობა არ არის მოქმედი განტოლებისთვის (2) მართებულია განტოლებისთვის (1).

ეს არის რიცხვები 1 და 3, რომლებიც არ არის უცნობის დასაშვები მნიშვნელობები (1) და ტრანსფორმაციის შედეგად ისინი დასაშვები გახდნენ განტოლებისთვის (2). ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი აღმოჩნდა (2) განტოლების ამონახსნი, მაგრამ, რა თქმა უნდა, ეს არ შეიძლება იყოს (1) განტოლების ამონახსნი. განტოლებას (1) არ აქვს ამონახსნები.

ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ განტოლების ორივე ნაწილი უცნობის შემცველ ფაქტორზე გამრავლებისას და ალგებრული წილადების შემცირებისას შეიძლება მივიღოთ განტოლება, რომელიც არ არის მოცემულის ექვივალენტური, კერძოდ: შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები.

აქედან გამომდინარე ვაკეთებთ შემდეგ დასკვნას. მნიშვნელში უცნობის შემცველი განტოლების ამოხსნისას, მიღებული ფესვები უნდა შემოწმდეს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. ზედმეტი ფესვები უნდა განადგურდეს.

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. ახლა გავავრცელოთ შესწავლილი მეთოდები რაციონალურ განტოლებამდე.

რა არის რაციონალური გამოხატულება? ჩვენ უკვე შევხვდით ამ კონცეფციას. რაციონალური გამონათქვამებიუწოდებენ რიცხვებს, ცვლადებს, მათ ხარისხს და მათემატიკური მოქმედებების ნიშნებს შედგენილ გამონათქვამებს.

შესაბამისად, რაციონალური განტოლებები არის ფორმის განტოლებები: , სადაც - რაციონალური გამონათქვამები.

ადრე განვიხილავდით მხოლოდ იმ რაციონალურ განტოლებებს, რომლებიც წრფივ მცირდება. ახლა განვიხილოთ ის რაციონალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს კვადრატულ განტოლებამდე.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება: .

გადაწყვეტილება:

წილადი არის 0, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის 0 და მისი მნიშვნელი არ არის 0.

ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სისტემას:

სისტემის პირველი განტოლება არის კვადრატული განტოლება. მის ამოხსნამდე მის ყველა კოეფიციენტს ვყოფთ 3-ზე. ვიღებთ:

ვიღებთ ორ ფესვს: ; .

ვინაიდან 2 არასოდეს არის 0-ის ტოლი, ორი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს: . ვინაიდან ზემოთ მიღებული განტოლების არცერთი ფესვი არ ემთხვევა ცვლადის არასწორ მნიშვნელობებს, რომლებიც მიღებულ იქნა მეორე უტოლობის ამოხსნისას, ისინი ორივე ამ განტოლების ამონახსნებია.

პასუხი:.

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. გადაიტანეთ ყველა ტერმინი მარცხენა მხარეს ისე, რომ 0 მიიღება მარჯვენა მხარეს.

2. მარცხენა მხარის გადაფორმება და გამარტივება, ყველა წილადის მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

3. მიღებული წილადი გაატოლეთ 0-ზე შემდეგი ალგორითმის მიხედვით: .

4. ჩაწერეთ ის ფესვები, რომლებიც მიღებულია პირველ განტოლებაში და დააკმაყოფილეთ მეორე უტოლობა პასუხში.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს.

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება: .

გადაწყვეტილება

თავიდანვე გადავიტანთ ყველა პირობას მარცხენა მხარეს ისე, რომ მარჯვნივ დარჩეს 0. ვიღებთ:

ახლა განტოლების მარცხენა მხარეს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

ეს განტოლება უდრის სისტემას:

სისტემის პირველი განტოლება არის კვადრატული განტოლება.

ამ განტოლების კოეფიციენტები: . ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს:

ვიღებთ ორ ფესვს: ; .

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე უტოლობა: ფაქტორების ნამრავლი არ არის 0-ის ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ არცერთი ფაქტორი არ არის 0-ის ტოლი.

ორი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს: . ჩვენ ვიღებთ, რომ პირველი განტოლების ორი ფესვიდან მხოლოდ ერთია შესაფერისი - 3.

პასუხი:.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავიხსენეთ რა არის რაციონალური გამოთქმა და ასევე ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ რაციონალური განტოლებები, რომლებიც დაყვანილია კვადრატულ განტოლებამდე.

შემდეგ გაკვეთილზე განვიხილავთ რაციონალურ განტოლებებს, როგორც რეალური სიტუაციების მოდელებს და ასევე განვიხილავთ მოძრაობის პრობლემებს.

ბიბლიოგრაფია

1. ბაშმაკოვი მ.ი. ალგებრა, მე-8 კლასი. - მ.: განმანათლებლობა, 2004 წ.
2. დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩ ე.ა. და სხვ. ალგებრა, 8. მე-5 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010 წ.
3. ნიკოლსკი S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. ალგებრა, მე-8 კლასი. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. - მ.: განათლება, 2006 წ.

1. პედაგოგიური იდეების ფესტივალი "ღია გაკვეთილი" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Საშინაო დავალება

ტ. კოსიაკოვა,
№ 80 სკოლა, კრასნოდარი

პარამეტრების შემცველი კვადრატული და წილად-რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

გაკვეთილი 4

გაკვეთილის თემა:

გაკვეთილის მიზანი:პარამეტრების შემცველი წილად-რაციონალური განტოლებების ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბება.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის დანერგვა.

1. (ზეპირ.) ამოხსენით განტოლებები:

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

გადაწყვეტილება.

იპოვეთ არასწორი მნიშვნელობები ა:

უპასუხე. Თუ თუ ა = – 19 , მაშინ ფესვები არ არის.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

გადაწყვეტილება.

იპოვნეთ პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობები ა :

10 – ა = 5, ა = 5;

10 – ა = ა, ა = 5.

უპასუხე. Თუ ა = 5 ა № 5 , მაშინ x=10– ა .

მაგალითი 3. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ბ განტოლება Მას აქვს:

ა) ორი ფესვი ბ) ერთადერთი ფესვი?

გადაწყვეტილება.

1) იპოვნეთ არასწორი პარამეტრის მნიშვნელობები ბ :

x= ბ, ბ 2 (ბ 2 – 1) – 2ბ 3 + ბ 2 = 0, ბ 4 – 2ბ 3 = 0,
ბ= 0 ან ბ = 2;
x = 2, 4( ბ 2 – 1) – 4ბ 2 + ბ 2 = 0, ბ 2 – 4 = 0, (ბ – 2)(ბ + 2) = 0,
ბ= 2 ან ბ = – 2.

2) ამოხსენით განტოლება x 2 ( ბ 2 – 1) – 2ბ 2x+ ბ 2 = 0:

D=4 ბ 4 – 4ბ 2 (ბ 2 – 1), D = 4 ბ 2 .

ა)

პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობების გამორიცხვა ბ , მივიღებთ, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს, თუ ბ № – 2, ბ № – 1, ბ № 0, ბ № 1, ბ № 2 .

ბ) 4ბ 2 = 0, ბ = 0, მაგრამ ეს არის არასწორი პარამეტრის მნიშვნელობა ბ ; თუ ბ 2 –1=0 , ე.ი. ბ=1 ან.

პასუხი: ა) თუ ბ № –2 , ბ № –1, ბ № 0, ბ № 1, ბ № 2 , შემდეგ ორი ფესვი; ბ) თუ ბ=1 ან b=-1 , მაშინ ერთადერთი ფესვი.

დამოუკიდებელი მუშაობა

ვარიანტი 1

ამოხსენით განტოლებები:

ვარიანტი 2

ამოხსენით განტოლებები:

პასუხები

1-ში. და თუ ა=3 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ ბ) თუ ა № 2 , მაშინ ფესვები არ არის.

2-ში.Თუ ა=2 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ ა=0 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ
ბ) თუ ა=– 1 , მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ მაშინ ფესვები არ არის;
თუ

საშინაო დავალება.

ამოხსენით განტოლებები:

პასუხები: ა) თუ ა № –2 , მაშინ x= ა ; თუ ა=–2 , მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის; ბ) თუ ა № –2 , მაშინ x=2; თუ ა=–2 , მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის; გ) თუ ა=–2 , მაშინ x- ნებისმიერი ნომრის გარდა 3 ; თუ ა № –2 , მაშინ x=2; დ) თუ ა=–8 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ ა=2 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ

გაკვეთილი 5

გაკვეთილის თემა:„პარამეტრების შემცველი წილად-რაციონალური განტოლების ამოხსნა“.

გაკვეთილის მიზნები:

არასტანდარტული პირობით განტოლებების ამოხსნის სწავლა;
მოსწავლეთა მიერ ალგებრული ცნებებისა და მათ შორის ურთიერთობის შეგნებული ათვისება.

გაკვეთილის ტიპი:სისტემატიზაცია და განზოგადება.

საშინაო დავალების შემოწმება.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

ა) x-თან შედარებით; ბ) y-სთან შედარებით.

გადაწყვეტილება.

ა) იპოვეთ არასწორი მნიშვნელობები წ: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0- პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობა წ.

Თუ წ№ 0 , მაშინ x=y-2; თუ y=0, მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას.

ბ) იპოვნეთ არასწორი პარამეტრის მნიშვნელობები x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობა x; y(2+x-y)=0, y=0ან y=2+x;

y=0არ აკმაყოფილებს პირობას y(y–x)№ 0 .

პასუხი: ა) თუ y=0, მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ წ№ 0 , მაშინ x=y-2; ბ) თუ x=0 x№ 0 , მაშინ y=2+x .

მაგალითი 2. a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებისთვის არის განტოლების ფესვები მიეკუთვნება ინტერვალს

D = (3 ა + 2) 2 – 4ა(ა+ 1) 2 = 9 ა 2 + 12ა + 4 – 8ა 2 – 8ა,

D = ( ა + 2) 2 .

Თუ ა № 0 ან ა № – 1 , მაშინ

პასუხი: 5 .

მაგალითი 3. იპოვეთ შედარებით xგანტოლების მთელი ამონახსნები

უპასუხე. Თუ y=0, მაშინ განტოლებას აზრი არ აქვს; თუ y=–1, მაშინ x- ნებისმიერი მთელი რიცხვი ნულის გარდა; თუ y# 0, y# – 1, მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის.

მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება პარამეტრებით ა და ბ .

Თუ ა№ – ბ , მაშინ

უპასუხე. Თუ a= 0 ან b= 0 , მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ ა№ 0,ბ№ 0, a=-b , მაშინ x- ნებისმიერი რიცხვი ნულის გარდა; თუ ა№ 0,ბ№ 0, ა№ -ბ მაშინ x=-a, x=-b .

მაგალითი 5. დაამტკიცეთ, რომ n პარამეტრის ნებისმიერი არანულოვანი მნიშვნელობისთვის განტოლება აქვს ერთი ფესვი ტოლი – n .

გადაწყვეტილება.

ე.ი. x=-n, რაც დასამტკიცებელი იყო.

საშინაო დავალება.

1. იპოვეთ განტოლების მთელი ამონახსნები

2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე გგანტოლება Მას აქვს:
ა) ორი ფესვი ბ) ერთადერთი ფესვი?

3. იპოვეთ განტოლების ყველა მთელი ძირი თუ აო ნ .

4. ამოხსენით განტოლება 3xy - 5x + 5y = 7:ა) შედარებით წ; ბ) შედარებით x .

1. განტოლება დაკმაყოფილებულია x-ისა და y-ის ნებისმიერი მთელი ტოლი მნიშვნელობებით, ნულის გარდა.
2. ა) როცა
ბ) ან
3. – 12; – 9; 0 .
4. ა) თუ მაშინ ფესვები არ არის; თუ
ბ) თუ მაშინ ფესვები არ არის; თუ

ტესტი

ვარიანტი 1

1. დაადგინეთ განტოლების ტიპი 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 მისამართზე: ა) c=-3; ბ) c=2 ; in) c=4 .

2. ამოხსენით განტოლებები: ა) x 2 –bx=0;ბ) cx 2 –6x+1=0; in)

3. ამოხსენით განტოლება 3x-xy-2y=1:

ა) შედარებით x ;
ბ) შედარებით წ .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,იმის ცოდნა, რომ პარამეტრი n იღებს მხოლოდ მთელ მნიშვნელობებს.

5. b-ის რომელ მნიშვნელობებზეა განტოლება Მას აქვს:

ა) ორი ფესვი
ბ) ერთადერთი ფესვი?

ვარიანტი 2

1. დაადგინეთ განტოლების ტიპი 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0მისამართზე: ა) c=-4 ;ბ) c=7 ; in) c=1 .

2. ამოხსენით განტოლებები: ა) y 2 +cy=0 ;ბ) ny2 –8y+2=0; in)

3. ამოხსენით განტოლება 6x-xy+2y=5:

ა) შედარებით x ;
ბ) შედარებით წ .

4. იპოვეთ განტოლების მთელი რიცხვი ფესვები nx 2 -22x+2n=0,იმის ცოდნა, რომ პარამეტრი n იღებს მხოლოდ მთელ მნიშვნელობებს.

5. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება Მას აქვს:

ა) ორი ფესვი
ბ) ერთადერთი ფესვი?

პასუხები

1-ში. 1. ა) წრფივი განტოლება;
ბ) არასრული კვადრატული განტოლება; გ) კვადრატული განტოლება.
2. ა) თუ b=0, მაშინ x=0; თუ b#0, მაშინ x=0, x=b;
ბ) თუ cО (9;+Ґ), მაშინ ფესვები არ არის;
გ) თუ ა=–4 , მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ ა№ –4 , მაშინ x=- ა .
3. ა) თუ y=3, მაშინ ფესვები არ არის; თუ);
ბ) ა=–3, ა=1.

დამატებითი დავალებები

ამოხსენით განტოლებები:

ლიტერატურა

1. გოლუბევი V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. პარამეტრების შესახებ თავიდანვე. - დამრიგებელი, No2/1991, გვ. 3–13.
2. გრონშტეინი P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. აუცილებელი პირობები ამოცანები პარამეტრებით. – კვანტი, No11/1991, გვ. 44–49.
3. დოროფეევი გ.ვ., ზათაკავაი ვ.ვ. პარამეტრების შემცველი ამოცანების გადაჭრა. ნაწილი 2. - მ., პერსპექტივა, 1990, გვ. 2–38.
4. ტინიაკინი ს.ა. ხუთას თოთხმეტი დავალება პარამეტრებით. - ვოლგოგრადი, 1991 წ.
5. იასტრებინეცკი გ.ა. ამოცანები პარამეტრებით. - მ., განათლება, 1986 წ.