მინიატურული და საკმაოდ მარტივი დავალება, რომელიც მცურავი სტუდენტისთვის მაშველია. ბუნებაში, ივლისის შუა რიცხვებში მძინარე სამეფოა, ამიტომ დროა დასახლდეთ ლეპტოპთან ერთად სანაპიროზე. დილით ადრე, თეორიის მზის სხივმა დაიწყო თამაში, რათა მალე ფოკუსირება მოახდინონ პრაქტიკაზე, რომელიც, მიუხედავად გამოცხადებული სიმსუბუქისა, შეიცავს შუშის ფრაგმენტებს ქვიშაში. ამასთან დაკავშირებით, გირჩევთ კეთილსინდისიერად განიხილოთ ამ გვერდის რამდენიმე მაგალითი. პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ წარმოებულებიდა გაიგეთ სტატიის მასალა ფუნქციის ერთფეროვნებისა და ექსტრემის ინტერვალები.

პირველ რიგში, მოკლედ მთავარის შესახებ. გაკვეთილზე იმის შესახებ ფუნქციის უწყვეტობამე მივეცი უწყვეტობის განმარტება წერტილში და უწყვეტობა ინტერვალზე. ფუნქციის სამაგალითო ქცევა სეგმენტზე ჩამოყალიბებულია ანალოგიურად. ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე, თუ:

1) ის უწყვეტია ინტერვალზე;
2) უწყვეტი წერტილში მარჯვნივდა წერტილში დატოვა.

მეორე პუნქტი ეხება ე.წ ცალმხრივი უწყვეტობაფუნქციონირებს წერტილში. მისი განმარტების რამდენიმე მიდგომა არსებობს, მაგრამ მე დავრჩები ადრე დაწყებულ ხაზს:

ფუნქცია უწყვეტია წერტილში მარჯვნივ, თუ იგი განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში და მისი მარჯვენა ზღვარი ემთხვევა მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას: . ის უწყვეტია წერტილში დატოვა, თუ განსაზღვრულია მოცემულ წერტილში და მისი მარცხენა ლიმიტი უდრის ამ წერტილში არსებულ მნიშვნელობას:

წარმოიდგინეთ, რომ მწვანე წერტილები არის ლურსმნები, რომლებზეც დამაგრებულია ჯადოსნური რეზინის ზოლი:

გონებრივად აიღეთ წითელი ხაზი თქვენს ხელში. ცხადია, რამდენადაც არ უნდა გავწელოთ გრაფიკი მაღლა და ქვევით (ღერძის გასწვრივ), ფუნქცია მაინც დარჩება შეზღუდული- ღობე ზემოთ, ჰეჯი ქვემოთ და ჩვენი პროდუქტი ძოვს პადოკში. ამრიგად, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქცია შემოსაზღვრულია მასზე. მათემატიკური ანალიზის დროს ეს ერთი შეხედვით მარტივი ფაქტი ცხადდება და მკაცრად არის დადასტურებული ვაიერშტრასის პირველი თეორემა.... ბევრს აღიზიანებს, რომ ელემენტარული განცხადებები მათემატიკაში დამღლელი მტკიცებულებებით არის დასაბუთებული, მაგრამ ამას მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა აქვს. დავუშვათ, შუასაუკუნეების ტერიტორიის გარკვეულმა ბინადარმა ცაში ხილვადობის საზღვრებს მიღმა გამოათრია გრაფიკი, ეს იყო ჩასმული. ტელესკოპის გამოგონებამდე კოსმოსში შეზღუდული ფუნქცია სულაც არ იყო აშკარა! მართლაც, როგორ იცით, რა გველოდება ჰორიზონტის მიღმა? ბოლოს და ბოლოს, ოდესღაც დედამიწა ბრტყლად ითვლებოდა, ამიტომ დღეს ჩვეულებრივი ტელეპორტაციაც კი მოითხოვს მტკიცებულებას =)

Მიხედვით ვაიერშტრასის მეორე თეორემა, უწყვეტი სეგმენტზეფუნქცია აღწევს თავისას ზუსტი ზედა ზღვარიდა მისი ზუსტი ქვედა კიდე .

ნომერსაც ეძახიან სეგმენტზე ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობადა აღინიშნება , და რიცხვი - ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა ინტერვალზემონიშნული.

ჩვენს შემთხვევაში:

შენიშვნა : თეორიულად, ჩანაწერები ხშირია .

უხეშად რომ ვთქვათ, ყველაზე დიდი მნიშვნელობა განლაგებულია გრაფიკის ყველაზე მაღალი წერტილი, ხოლო ყველაზე პატარა - ყველაზე დაბალი წერტილი.

Მნიშვნელოვანი!როგორც უკვე აღინიშნა სტატიაში ფუნქციის უკიდურესი, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობადა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა – არა იგივე, რა ფუნქცია მაქსიმუმდა ფუნქციის მინიმუმი. ასე რომ, ამ მაგალითში რიცხვი არის ფუნქციის მინიმალური, მაგრამ არა მინიმალური მნიშვნელობა.

სხვათა შორის, რა ხდება სეგმენტის გარეთ? დიახ, წყალდიდობაც კი, განსახილველი პრობლემის კონტექსტში, ეს საერთოდ არ გვაინტერესებს. ამოცანა მოიცავს მხოლოდ ორი რიცხვის პოვნას და ეს არის ის!

უფრო მეტიც, გამოსავალი არის წმინდა ანალიტიკური, ამიტომ, არ არის საჭირო დახატვა!

ალგორითმი ზედაპირზე დევს და თავს გვთავაზობს ზემოთ მოყვანილი ფიგურიდან:

1) იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკული წერტილები, რომელიც ეკუთვნის ამ სეგმენტს.

დაიჭირეთ კიდევ ერთი სიკეთე: არ არის საჭირო ექსტრემისთვის საკმარისი მდგომარეობის შემოწმება, რადგან, როგორც ნაჩვენებია, მინიმალური ან მაქსიმუმის არსებობა ჯერ არ არის გარანტირებულირა არის მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა. საჩვენებელი ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს და, ბედის ნებით, იგივე რიცხვია ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ასეთი დამთხვევა ყოველთვის არ ხდება.

ასე რომ, პირველ ეტაპზე უფრო სწრაფი და ადვილია ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტს მიკუთვნებულ კრიტიკულ წერტილებში, ისე, რომ არ შეწუხდეთ, აქვთ თუ არა ექსტრემები.

2) ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში.

3) პირველ და მე-2 აბზაცებში ნაპოვნი ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის აირჩიეთ ყველაზე პატარა და უდიდესი რიცხვი, ჩაწერეთ პასუხი.

ჩვენ ვსხედვართ ლურჯი ზღვის სანაპიროზე და ქუსლებს ზედაპირულ წყალში ვეჯახებით:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე

გადაწყვეტილება:
1) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ სეგმენტის კრიტიკულ წერტილებში:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მეორე კრიტიკულ წერტილში:

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

3) „თამამი“ შედეგები მიიღეს ექსპონენციალებთან და ლოგარითმებთან, რაც მნიშვნელოვნად ართულებს მათ შედარებას. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიარაღდებით კალკულატორით ან Excel-ით და გამოვთვლით სავარაუდო მნიშვნელობებს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ:

ახლა ყველაფერი გასაგებია.

უპასუხე:

წილადი-რაციონალური მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის:

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები სეგმენტზე

პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყველაზე საინტერესოა წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად. რასთან არის დაკავშირებული? მოგების მაქსიმიზაცია, დანახარჯების მინიმიზაცია, აღჭურვილობის ოპტიმალური დატვირთვის განსაზღვრა... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცხოვრების ბევრ სფეროში უნდა გადაჭრას ზოგიერთი პარამეტრის ოპტიმიზაციის პრობლემა. და ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ მოიძებნება X ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის მთელი დომენი ან დომენის ნაწილი. X ინტერვალი თავისთავად შეიძლება იყოს ხაზის სეგმენტი, ღია ინტერვალი , უსასრულო ინტერვალი .

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ერთი ცვლადის y=f(x) აშკარად მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა - განმარტებები, ილუსტრაციები.

მოდით მოკლედ ვისაუბროთ მთავარ განმარტებებზე.

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=f(x) X ინტერვალზე ასეთ მნიშვნელობას უწოდებენ , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ეს განმარტებები ინტუიციურია: ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია აბსცისთან განხილულ ინტერვალზე.

სტაციონარული წერტილებიარის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებზეც ქრება ფუნქციის წარმოებული.

რატომ გვჭირდება სტაციონარული წერტილები უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ფერმას თეორემა. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს უკიდურესი (ადგილობრივი მინიმალური ან ლოკალური მაქსიმუმი) რაღაც მომენტში, მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია. ამრიგად, ფუნქცია ხშირად იღებს თავის მაქსიმალურ (უმცირეს) მნიშვნელობას X ინტერვალზე ამ ინტერვალიდან ერთ-ერთ სტაციონარულ წერტილში.

ასევე, ფუნქციას ხშირად შეუძლია მიიღოს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული არ არსებობს და თავად ფუნქცია არის განსაზღვრული.

მოდით დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ერთ-ერთ ყველაზე გავრცელებულ კითხვას ამ თემაზე: „ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დადგენა“? არა ყოველთვის არა. ზოგჯერ X ინტერვალის საზღვრები ემთხვევა ფუნქციის დომენის საზღვრებს, ან X ინტერვალი უსასრულოა. და ზოგიერთ ფუნქციას უსასრულობაში და განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე შეუძლია მიიღოს როგორც უსასრულოდ დიდი, ასევე უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობები. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე ვერაფერს ვიტყვით.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაძლევთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შეხედეთ სურათებს - და ბევრი რამ გახდება ნათელი.

სეგმენტზე

პირველ ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარული წერტილების სეგმენტის შიგნით [-6;6].

განვიხილოთ მეორე ფიგურაში ნაჩვენები შემთხვევა. შეცვალეთ სეგმენტი . ამ მაგალითში, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, ხოლო ყველაზე დიდი - აბსცისის მქონე წერტილში, რომელიც შეესაბამება ინტერვალის მარჯვენა საზღვარს.

მე-3 სურათზე [-3; 2] სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესაბამისი წერტილების აბსციები.

ღია დიაპაზონში

მეოთხე ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარულ წერტილებში ღია ინტერვალის ფარგლებში (-6;6).

ინტერვალზე არ შეიძლება დასკვნის გაკეთება ყველაზე დიდი მნიშვნელობის შესახებ.

უსასრულობაში

მეშვიდე ფიგურაში ნაჩვენები მაგალითში ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას (max y ) სტაციონარულ წერტილში x=1 აბსცისა და უმცირესი მნიშვნელობა (min y ) მიიღწევა ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3.

ინტერვალზე ფუნქცია არ აღწევს არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. როგორც x=2 მიდრეკილია მარჯვნივ, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (სწორი ხაზი x=2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი), და რადგან აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3. . ამ მაგალითის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია 8-ში.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი.

ჩვენ ვწერთ ალგორითმს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

1. ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს და ვამოწმებთ შეიცავს თუ არა ის მთელ სეგმენტს.
2. ჩვენ ვპოულობთ ყველა წერტილს, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს და რომლებიც შეიცავს სეგმენტს (ჩვეულებრივ, ასეთი წერტილები გვხვდება ფუნქციებში არგუმენტით მოდულის ნიშნის ქვეშ და სიმძლავრის ფუნქციებში წილად-რაციონალური მაჩვენებლით). თუ ასეთი პუნქტები არ არის, გადადით შემდეგ პუნქტზე.
3. ჩვენ განვსაზღვრავთ ყველა სტაციონალურ წერტილს, რომელიც მოხვდება სეგმენტში. ამისთვის ვატოლებთ მას ნულს, ვხსნით მიღებულ განტოლებას და ვირჩევთ შესაბამის ფესვებს. თუ არ არის სტაციონარული წერტილები ან არცერთი მათგანი არ მოხვდება სეგმენტში, გადადით შემდეგ ეტაპზე.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არჩეულ სტაციონარულ წერტილებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), იმ წერტილებში, სადაც პირველი წარმოებული არ არსებობს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ასევე x=a და x=b ზე.
5. ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობებიდან ვირჩევთ უდიდეს და უმცირესს - ისინი იქნება ფუნქციის სასურველი მაქსიმალური და უმცირესი მნიშვნელობები, შესაბამისად.

მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის მაგალითის ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

• სეგმენტზე;
• ინტერვალზე [-4;-1].

გადაწყვეტილება.

ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ნულისა, ანუ . ორივე სეგმენტი განეკუთვნება განმარტების სფეროს.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს:

ცხადია, ფუნქციის წარმოებული არსებობს სეგმენტების ყველა წერტილში და [-4;-1].

სტაციონარული წერტილები განისაზღვრება განტოლებიდან. ერთადერთი რეალური ფესვი არის x=2. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება პირველ სეგმენტში.

პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილში, ანუ x=1, x=2 და x=4:

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x=1 ზე და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა – x=2-ზე.

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მხოლოდ სეგმენტის ბოლოებში [-4;-1] (რადგან ის არ შეიცავს ერთ სტაციონარულ წერტილს):

გადაწყვეტილება.

დავიწყოთ ფუნქციის ფარგლებით. წილადის მნიშვნელში კვადრატული ტრინომი არ უნდა გაქრეს:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ პრობლემის მდგომარეობიდან ყველა ინტერვალი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს.

მოდით განვასხვავოთ ფუნქცია:

ცხადია, წარმოებული არსებობს ფუნქციის მთელ დომენზე.

მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. წარმოებული ქრება ზე. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება (-3;1] და (-3;2) ინტერვალებში.

ახლა კი შეგიძლიათ შეადაროთ თითოეულ წერტილში მიღებული შედეგები ფუნქციის გრაფიკს. ლურჯი წერტილოვანი ხაზები მიუთითებს ასიმპტოტებზე.

ეს შეიძლება დასრულდეს ფუნქციის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების მოძიებით. ამ სტატიაში განხილული ალგორითმები საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგები მინიმალური მოქმედებებით. თუმცა, შეიძლება სასარგებლო იყოს ჯერ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დადგენა და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვიტანოთ დასკვნები ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესახებ ნებისმიერ ინტერვალზე. ეს იძლევა უფრო ნათელ სურათს და შედეგების მკაცრ დასაბუთებას.

პრობლემის განცხადება 2:

მოცემულია ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია და უწყვეტია გარკვეული ინტერვალით. საჭიროა ამ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნა.

თეორიული საფუძველი.
თეორემა (ვაიერშტრასის მეორე თეორემა):

თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია დახურულ ინტერვალში, მაშინ ის აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ ინტერვალში.

ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის შიდა წერტილებში ან მის საზღვრებში. მოდით ილუსტრაციით ყველა შესაძლო ვარიანტი.

ახსნა:
1) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე, ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
2) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
3) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
4) ფუნქცია მუდმივია ინტერვალზე, ე.ი. ის აღწევს თავის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში, ხოლო მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები ერთმანეთის ტოლია.
5) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქციას აქვს როგორც მაქსიმუმი, ასევე მინიმალური ამ ინტერვალზე).
6) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
კომენტარი:

"მაქსიმალური" და "მაქსიმალური ღირებულება" სხვადასხვა რამეა. ეს გამომდინარეობს მაქსიმუმის განმარტებიდან და ფრაზის „მაქსიმალური მნიშვნელობის“ ინტუიციური გაგებით.

2 პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი.



4) მიღებული მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 4:

განსაზღვრეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.
გადაწყვეტილება:
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

2) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები (და უკიდურესობის საეჭვო წერტილები) განტოლების ამოხსნით. ყურადღება მიაქციეთ წერტილებს, სადაც არ არის ორმხრივი სასრულ წარმოებული.

3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სტაციონარულ წერტილებზე და ინტერვალის საზღვრებზე.

4) მიღებული მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) და ჩაწერეთ პასუხი.

ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.

ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.

თქვენ შეგიძლიათ გადაამოწმოთ გამოთვლების სისწორე შესასწავლი ფუნქციის გრაფიკის დათვალიერებით.


კომენტარი:ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას მაქსიმალურ წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას სეგმენტის საზღვარზე.

Განსაკუთრებული შემთხვევა.

დავუშვათ, რომ გსურთ იპოვოთ რაიმე ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები სეგმენტზე. ალგორითმის პირველი აბზაცის შესრულების შემდეგ ე.ი. წარმოებულის გაანგარიშებით, ირკვევა, რომ, მაგალითად, იგი იღებს მხოლოდ უარყოფით მნიშვნელობებს მთელ განხილულ სეგმენტზე. გახსოვდეთ, რომ თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქცია მცირდება მთელი ინტერვალით. ეს სიტუაცია ნაჩვენებია სტატიის დასაწყისში No1 დიაგრამაში.

ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე, ე.ი. მას არ აქვს ექსტრემალური წერტილები. სურათიდან ჩანს, რომ ფუნქცია მიიღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტის მარჯვენა საზღვარზე, ხოლო ყველაზე დიდ მნიშვნელობას მარცხნივ. თუ წარმოებული ინტერვალზე ყველგან დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება. ყველაზე პატარა მნიშვნელობა არის სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ყველაზე დიდი არის მარჯვნივ.

ხშირად საჭიროა პრობლემების გადაჭრა, რომლებშიც აუცილებელია იმ მნიშვნელობების სიმრავლიდან ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა, რომელსაც ფუნქცია იღებს სეგმენტზე.

მივმართოთ, მაგალითად, f (x) ფუნქციის გრაფიკს \u003d 1 + 2x 2 - x 4 სეგმენტზე [-1; 2]. ფუნქციასთან მუშაობისთვის საჭიროა მისი გრაფიკის გამოსახვა.

აგებული გრაფიკიდან ჩანს, რომ ფუნქცია ამ სეგმენტზე იღებს უდიდეს მნიშვნელობას 2-ის ტოლი წერტილებში: x = -1 და x = 1; უმცირესი მნიშვნელობა უდრის -7, ფუნქცია იღებს x = 2-ს.

წერტილი x \u003d 0 არის f (x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი \u003d 1 + 2x 2 - x 4. ეს ნიშნავს, რომ არის x \u003d 0 წერტილის მეზობლობა, მაგალითად, ინტერვალი (-1/2; 1/2) - ისეთი, რომ ამ სამეზობლოში ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას x \u003d 0-ზე. უფრო დიდ ინტერვალზე, მაგალითად, სეგმენტზე [ -one; 2], ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოს და არა მინიმალურ წერტილში.

ამრიგად, იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა გარკვეულ სეგმენტზე, აუცილებელია მისი მნიშვნელობების შედარება სეგმენტის ბოლოებში და მინიმალურ წერტილებში.

ზოგადად, დავუშვათ, რომ ფუნქცია f(x) უწყვეტია სეგმენტზე და რომ ფუნქციას აქვს წარმოებული ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში.

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად საჭიროა:

1) იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, ე.ი. რიცხვები f(a) და f(b);

2) იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სტაციონარულ წერტილებში, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს (a; b);

3) ამოირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან.

მიღებული ცოდნა გამოვიყენოთ პრაქტიკაში და განვიხილოთ პრობლემა.

იპოვეთ f (x) \u003d x 3 + x / 3 ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე.

გადაწყვეტილება.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

ინტერვალი (1/2; 2) შეიცავს ერთ უძრავ წერტილს x 1 = 1, f(1) = 4.

3) 6 1/8, 9 ½ და 4 რიცხვებიდან ყველაზე დიდი არის 9 ½, ყველაზე პატარა არის 4.

უპასუხე. მახასიათებლის უდიდესი მნიშვნელობა არის 9 ½, ყველაზე პატარა ფუნქციის მნიშვნელობა არის 4.

ხშირად პრობლემების გადაჭრისას საჭიროა ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა არა სეგმენტზე, არამედ ინტერვალზე.

პრაქტიკულ ამოცანებში, ფუნქციას f(x) ჩვეულებრივ აქვს მხოლოდ ერთი სტაციონარული წერტილი მოცემულ ინტერვალზე: ან მაქსიმალური წერტილი ან მინიმალური წერტილი. ამ შემთხვევაში, ფუნქცია f(x) იღებს უდიდეს მნიშვნელობას მოცემულ ინტერვალში მაქსიმალურ წერტილში, ხოლო მინიმალურ წერტილში ამ ინტერვალში უმცირეს მნიშვნელობას. მოდით მივმართოთ პრობლემას.

რიცხვი 36 იწერება როგორც ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი, რომელთა ჯამი ყველაზე მცირეა.

გადაწყვეტილება.

1) პირველი ფაქტორი იყოს x, მაშინ მეორე კოეფიციენტი არის 36/x.

2) ამ რიცხვების ჯამია x + 36/x.

3) ამოცანის პირობების მიხედვით x დადებითი რიცხვია. ასე რომ, პრობლემა მცირდება x-ის მნიშვნელობის პოვნამდე - ისე, რომ ფუნქცია f (x) \u003d x + 36 / x იღებს უმცირეს მნიშვნელობას x > 0 ინტერვალზე.

4) იპოვეთ წარმოებული: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) სტაციონარული წერტილები x 1 = 6, x 2 = -6. x > 0 ინტერვალზე არის მხოლოდ ერთი სტაციონარული წერტილი x = 6. x = 6 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს „–“ ნიშნად „+“ და ამიტომ x = 6 არის მინიმალური წერტილი. შესაბამისად, ფუნქცია f(x) = x + 36/x იღებს უმცირეს მნიშვნელობას x > 0 ინტერვალზე x = 6 წერტილში (ეს არის მნიშვნელობა f(6) = 12).

უპასუხე. 36 = 6 ∙ 6.

ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრისას, სადაც აუცილებელია ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა, სასარგებლოა შემდეგი დებულების გამოყენება:

თუ f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები რაღაც ინტერვალზე არაუარყოფითია, მაშინ ეს ფუნქცია და ფუნქცია (f(x)) n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, იღებენ უდიდეს (უმცირეს) მნიშვნელობას იგივე წერტილი.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.