ტრაპეციის მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალის მოსაძებნად, მრუდი ტრაპეციის ფართობი ასევე იყოფა n მართკუთხა ტრაპეციაზე h სიმაღლეებით და ფუძით y 1, y 2, y 3,..y n, სადაც n არის რიცხვი. მართკუთხა ტრაპეცია. ინტეგრალი რიცხობრივად ტოლი იქნება მართკუთხა ტრაპეციის ფართობების ჯამის (სურათი 4).

ბრინჯი. ოთხი

n - გაყოფის რაოდენობა

ტრაპეციის ფორმულის შეცდომა ფასდება რიცხვით

ტრაპეციის ფორმულის შეცდომა ზრდასთან ერთად უფრო სწრაფად მცირდება, ვიდრე მართკუთხედის ფორმულის შეცდომა. ამიტომ, ტრაპეციის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მეტი სიზუსტე, ვიდრე მართკუთხედის მეთოდი.

სიმფსონის ფორმულა

თუ სეგმენტების თითოეული წყვილისთვის ავაშენებთ მეორე ხარისხის პოლინომს, შემდეგ გავაერთიანებთ მას სეგმენტზე და გამოვიყენებთ ინტეგრალის დამამატებლობის თვისებას, მაშინ მივიღებთ სიმპსონის ფორმულას.

სიმპსონის მეთოდში განსაზღვრული ინტეგრალის გამოსათვლელად მთელი ინტეგრაციის ინტერვალი იყოფა თანაბარი სიგრძის h=(b-a)/n ქვეინტერვალებად. დანაყოფის სეგმენტების რაოდენობა არის ლუწი რიცხვი. შემდეგ მიმდებარე ქვეინტერვალების თითოეულ წყვილზე ქვეინტეგრალური ფუნქცია f(x) იცვლება მეორე ხარისხის ლაგრანგის პოლინომით (სურათი 5).

ბრინჯი. 5 ფუნქცია y=f(x) სეგმენტზე იცვლება მე-2 რიგის მრავალწევრით

განვიხილოთ ინტეგრანტი ინტერვალზე. მოდით შევცვალოთ ეს ინტეგრანი მეორე ხარისხის ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომით, რომელიც ემთხვევა y=-ს წერტილებში:

მოდით ინტეგრირება ინტერვალზე:

ჩვენ შემოგთავაზებთ ცვლადების ცვლილებას:

ჩანაცვლების ფორმულების გათვალისწინებით,

ინტეგრაციის შემდეგ ვიღებთ სიმპსონის ფორმულას:

ინტეგრალისთვის მიღებული მნიშვნელობა ემთხვევა მრუდი ტრაპეციის ფართობს, რომელიც შემოიფარგლება ღერძით, სწორი ხაზებით და წერტილებში გამავალი პარაბოლით. სეგმენტზე სიმპსონის ფორმულა ასე გამოიყურება:

პარაბოლის ფორმულაში f (x) ფუნქციის მნიშვნელობას კენტი გაყოფის წერტილებში x 1, x 3, ..., x 2n-1 აქვს კოეფიციენტი 4, ლუწ წერტილებში x 2, x 4, ... , x 2n-2 - კოეფიციენტი 2 და ორ სასაზღვრო წერტილში x 0 =a, x n =b - კოეფიციენტი 1.

სიმპსონის ფორმულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: მრუდი ტრაპეციის ფართობი f(x) ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ სეგმენტზე დაახლოებით ჩანაცვლებულია პარაბოლების ქვეშ მყოფი ფიგურების ფართობების ჯამით.

თუ f(x) ფუნქციას აქვს მეოთხე რიგის უწყვეტი წარმოებული, მაშინ სიმპსონის ფორმულის შეცდომის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ არის მეტი

სადაც M არის ყველაზე დიდი მნიშვნელობა სეგმენტზე. ვინაიდან n 4 იზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე n 2 , სიმპსონის ფორმულის შეცდომა მცირდება n-ის გაზრდით ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე ტრაპეციის ფორმულის შეცდომა.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს

ამ ინტეგრალის გამოთვლა მარტივია:

ავიღოთ n 10-ის ტოლი, h=0.1, გამოვთვალოთ ინტეგრატის მნიშვნელობები დანაყოფების წერტილებში, ასევე ნახევარმთლიანი წერტილები.

შუა მართკუთხედების ფორმულის მიხედვით მივიღებთ I straight = 0,785606 (შეცდომა არის 0,027%), ტრაპეციის ფორმულის მიხედვით I trap = 0,784981 (შეცდომა არის დაახლოებით 0,054. მარჯვენა და მარცხენა მართკუთხედების მეთოდის გამოყენებისას, შეცდომა 3%-ზე მეტია.

სავარაუდო ფორმულების სიზუსტის შესადარებლად, ჩვენ კიდევ ერთხელ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს

მაგრამ ახლა სიმფსონის ფორმულით n=4. ჩვენ ვყოფთ სეგმენტს ოთხ თანაბარ ნაწილად x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 წერტილებით და გამოვთვალოთ დაახლოებით მნიშვნელობები ფუნქციის f (x) \u003d 1 / ( 1+x) ამ წერტილებში: y 0 =1.0000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000.

სიმპსონის ფორმულით ვიღებთ

მოდით შევაფასოთ მიღებული შედეგის შეცდომა. ინტეგრანდისთვის f(x)=1/(1+x) გვაქვს: f (4) (x)=24/(1+x) 5, საიდანაც გამოდის, რომ სეგმენტზე . მაშასადამე, შეგვიძლია ავიღოთ М=24 და შედეგის შეცდომა არ აღემატებოდეს 24/(2880 4 4)=0.0004. მიახლოებითი მნიშვნელობის ზუსტთან შედარებისას დავასკვნით, რომ სიმპსონის ფორმულით მიღებული შედეგის აბსოლუტური ცდომილება არის 0,00011-ზე ნაკლები. ეს შეესაბამება ზემოთ მოცემული შეცდომის შეფასებას და, გარდა ამისა, მიუთითებს იმაზე, რომ სიმპსონის ფორმულა ბევრად უფრო ზუსტია, ვიდრე ტრაპეციის ფორმულა. ამიტომ სიმპსონის ფორმულა განსაზღვრული ინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლისთვის უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ტრაპეციის ფორმულა.

ჩნდება გარკვეული ინტეგრალის რიცხვითი გამოთვლების პრობლემა, რომელიც წყდება ფორმულების დახმარებით, რომელსაც კვადრატურა ეწოდება.

გაიხსენეთ რიცხვითი ინტეგრაციის უმარტივესი ფორმულები.

გამოვთვალოთ სავარაუდო რიცხვითი მნიშვნელობა . ინტეგრაციის ინტერვალს [а, b] ვყოფთ n ტოლ ნაწილად წერტილების გაყოფით
, სახელწოდებით კვადრატული ფორმულის კვანძები. მოდით, ცნობილი იყოს კვანძებში არსებული მნიშვნელობები
:

ღირებულება

ეწოდება ინტეგრაციის ინტერვალი ან ნაბიჯი. გაითვალისწინეთ, რომ -გამოთვლების პრაქტიკაში რიცხვი i ირჩევა მცირე, ჩვეულებრივ ის არ აღემატება 10-20. ნაწილობრივი ინტერვალით.

ინტეგრანტი ჩანაცვლებულია ინტერპოლაციის პოლინომით

რომელიც დაახლოებით წარმოადგენს f(x) ფუნქციას განსახილველ ინტერვალზე.

ა) შეინახეთ მხოლოდ ერთი პირველი წევრი ინტერპოლაციის მრავალწევრში, შემდეგ

შედეგად მიღებული კვადრატული ფორმულა

მართკუთხედების ფორმულა ეწოდება.

ბ) პირველი ორი წევრი შეინახეთ ინტერპოლაციის მრავალწევრში, შემდეგ

(2)

ფორმულას (2) ეწოდება ტრაპეციის ფორმულა.

გ) ინტეგრაციის ინტერვალი
ჩვენ ვყოფთ 2n ტოლ ნაწილად ლუწი რიცხვად, ხოლო ინტეგრაციის საფეხური h ტოლი იქნება . ინტერვალზე
2 სთ სიგრძით, ინტეგრანდს ვცვლით მეორე ხარისხის ინტერპოლაციის პოლინომით, ანუ პირველ სამ წევრს ვინახავთ მრავალწევრში:

შედეგად მიღებული კვადრატული ფორმულა ეწოდება სიმპსონის ფორმულას

(3)

ფორმულებს (1), (2) და (3) აქვთ მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა. მართკუთხედების ფორმულაში ინტეგრადი f(x) ინტერვალზე
ჩანაცვლებულია სწორი ხაზის სეგმენტით y \u003d uk, x-ღერძის პარალელურად, ხოლო ტრაპეციის ფორმულაში - სწორი ხაზის სეგმენტით
და გამოითვლება შესაბამისად მართკუთხედისა და მართკუთხა ტრაპეციის ფართობი, რომლებიც შემდეგ ჯამდება. სიმპსონის ფორმულაში ფუნქცია f(x) ინტერვალზე
სიგრძე 2 სთ ჩანაცვლებულია კვადრატული ტრინომით - პარაბოლით
გამოითვლება მრუდი პარაბოლური ტრაპეციის ფართობი, შემდეგ არეები ჯამდება.

დასკვნა

დასასრულს, მსურს აღვნიშნო ზემოთ განხილული მეთოდების გამოყენების მრავალი მახასიათებელი. განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო ამოხსნის თითოეულ მეთოდს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარეები, ამოცანების მიხედვით, უნდა იქნას გამოყენებული კონკრეტული მეთოდები.

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდიგანუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლის ერთ-ერთი მთავარი მეთოდია. მაშინაც კი, როდესაც ჩვენ სხვა მეთოდით ვაერთიანებთ, ხშირად გვიწევს შუალედური გამოთვლების ცვლადების შეცვლა. ინტეგრაციის წარმატება დიდწილად დამოკიდებულია იმაზე, შეგვიძლია თუ არა ვიპოვოთ ცვლადების ისეთი კარგი ცვლილება, რომელიც გაამარტივებს მოცემულ ინტეგრალს.

არსებითად, ინტეგრაციის მეთოდების შესწავლა მიდის იმის გარკვევაზე, თუ რა სახის ცვლადი უნდა მოხდეს ინტეგრადის ამა თუ იმ ფორმისთვის.

Ამგვარად, ყველა რაციონალური წილადის ინტეგრაციამცირდება მრავალწევრის და რამდენიმე მარტივი წილადის ინტეგრირებამდე.

ნებისმიერი რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალი შეიძლება გამოიხატოს ელემენტარული ფუნქციების სახით საბოლოო ფორმით, კერძოდ:

ლოგარითმების მეშვეობით - 1 ტიპის უმარტივესი წილადების შემთხვევაში;

რაციონალური ფუნქციების მეშვეობით - 2 ტიპის მარტივი წილადების შემთხვევაში

ლოგარითმებისა და არქტანგენტების მეშვეობით - მე-3 ტიპის მარტივი წილადების შემთხვევაში

რაციონალური ფუნქციების და არქტანგენტების მეშვეობით - მე-4 ტიპის უმარტივესი წილადების შემთხვევაში. უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება ყოველთვის რაციონალიზაციას უკეთებს ინტეგრანდს, მაგრამ ხშირად ეს იწვევს ძალიან რთულ რაციონალურ წილადებს, რომელთათვისაც, კერძოდ, პრაქტიკულად შეუძლებელია მნიშვნელის ფესვების პოვნა. ამიტომ, თუ შესაძლებელია, გამოიყენება ნაწილობრივი ჩანაცვლება, რაც ასევე რაციონალიზაციას უკეთებს ინტეგრანდს და იწვევს ნაკლებად რთულ წილადებს.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაარის ზოგადი მიდგომა განსაზღვრული ინტეგრალების მოსაძებნად.

რაც შეეხება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის მეთოდებს, ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან ყველა ამ მეთოდისა და მეთოდისგან.

იგივე ეხება ჩანაცვლების მეთოდები(ცვლადის შეცვლა), ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდი, ტრიგონომეტრიული, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული ფუნქციების ანტიწარმოებულების პოვნის იგივე მეთოდები. ერთადერთი თავისებურება ის არის, რომ ამ ტექნიკის გამოყენებისას აუცილებელია ტრანსფორმაციის გაფართოება არა მხოლოდ სუბინტეგრალურ ფუნქციამდე, არამედ ინტეგრაციის საზღვრებამდეც. ინტეგრაციის ცვლადის შეცვლისას გახსოვდეთ, რომ შეცვალოთ ინტეგრაციის ლიმიტები შესაბამისად.

სათანადოდ თეორემიდან, ფუნქციის უწყვეტობის პირობაფუნქციის ინტეგრირებისთვის საკმარისი პირობაა. მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არსებობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის. ინტეგრირებადი ფუნქციების კლასი გაცილებით ფართოა. მაგალითად, არსებობს ფუნქციების გარკვეული ინტეგრალი, რომლებსაც აქვთ შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა.

უწყვეტი ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით მცირდება ანტიწარმოებულის პოვნამდე, რომელიც ყოველთვის არსებობს, მაგრამ ყოველთვის არ არის ელემენტარული ფუნქცია ან ფუნქცია, რომლისთვისაც შედგენილია ცხრილები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის მნიშვნელობის მიღებას. ინტეგრალის. მრავალ აპლიკაციაში ინტეგრირებადი ფუნქცია მოცემულია ცხრილში, ხოლო ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა პირდაპირ არ გამოიყენება.

თუ გსურთ ყველაზე ზუსტი შედეგი, იდეალურია სიმპსონის მეთოდი.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა, რომ ინტეგრალი გამოიყენება ისეთ მეცნიერებებში, როგორიცაა ფიზიკა, გეომეტრია, მათემატიკა და სხვა მეცნიერებები. ინტეგრალის დახმარებით გამოითვლება ძალის მუშაობა, მოიძებნება მასის ცენტრის კოორდინატები, მატერიალური წერტილის მიერ გავლილი გზა. გეომეტრიაში გამოიყენება სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად, მრუდის რკალის სიგრძის მოსაძებნად და ა.შ.

ამ მეთოდით შემოთავაზებულია ინტეგრადის მიახლოება ნაწილობრივი ინტერვალით წერტილებში გამავალი პარაბოლით.
(x j, f(xj)), სადაც ჯ = მე-1; მე-0.5; მეანუ ინტეგრანდს ვაახლოებთ მეორე ხარისხის ლაგრანგის ინტერპოლაციის პოლინომით:

(10.14)

ინტეგრაციის შემდეგ ვიღებთ:

(10.15)

სწორედ ეს არის სიმპსონის ფორმულა ან პარაბოლების ფორმულა. სეგმენტზე
[ა, ბ] სიმპსონის ფორმულა იღებს ფორმას

(10.16)

სიმპსონის მეთოდის გრაფიკული გამოსახულება ნაჩვენებია ნახ. 2.4.

ბრინჯი. 10.4.სიმფსონის მეთოდი

მოდით, თავი დავაღწიოთ წილადის ინდექსებს გამოსახულებაში (2.16) ცვლადების სახელის გადარქმევით:

(10.17)

შემდეგ სიმპსონის ფორმულა იღებს ფორმას

(10.18)

ფორმულის შეცდომა (2.18) შეფასებულია შემდეგი გამოსახულებით:

, (10.19)

სადაც h n = ბ-ა, . ამრიგად, სიმპსონის ფორმულის შეცდომა პროპორციულია ო(სთ 4).

კომენტარი.უნდა აღინიშნოს, რომ სიმპსონის ფორმულაში ინტეგრაციის სეგმენტი აუცილებლად იყოფა თუნდაცინტერვალების რაოდენობა.

10.5. განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა მეთოდებით
მონტე კარლო

ადრე განხილულ მეთოდებს ე.წ განმსაზღვრელი , ანუ შემთხვევითობის ელემენტს მოკლებული.

მონტე კარლოს მეთოდები(MMK) არის მათემატიკური ამოცანების გადაჭრის რიცხვითი მეთოდები შემთხვევითი ცვლადების მოდელირებით. MCM საშუალებას იძლევა წარმატებით გადაჭრას სავარაუდო პროცესებით გამოწვეული მათემატიკური ამოცანები. უფრო მეტიც, პრობლემების გადაჭრისას, რომლებიც არ არის დაკავშირებული რაიმე ალბათობასთან, შეიძლება ხელოვნურად გამოვიდეს ალბათური მოდელი (და კიდევ ერთზე მეტი), რომელიც ამ პრობლემების გადაჭრის საშუალებას იძლევა. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა

(10.20)

მართკუთხედების ფორმულის გამოყენებით ამ ინტეგრალის გამოთვლისას ინტერვალი [ ა, ბ] გაყოფა ნიდენტური ინტერვალები, რომელთა შუაში გამოითვალა ინტეგრანის მნიშვნელობები. შემთხვევით კვანძებში ფუნქციის მნიშვნელობების გაანგარიშებით, შეგიძლიათ მიიღოთ უფრო ზუსტი შედეგი:

(10.21)

(10.22)

აქ γ i არის შემთხვევითი რიცხვი, რომელიც თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე
. შეცდომა MMK ინტეგრალის გამოთვლაში ~, რომელიც გაცილებით დიდია, ვიდრე ადრე შესწავლილი დეტერმინისტული მეთოდები.

ნახ. 2.5 გვიჩვენებს მონტე კარლოს მეთოდის გრაფიკულ განხორციელებას შემთხვევითი კვანძებით (2.21) და (2.22) ერთი ინტეგრალის გამოსათვლელად.

(2.23)

ბრინჯი. 10.6.მონტე კარლოს ინტეგრაცია (მე-2 შემთხვევა)

როგორც ჩანს ნახ. 2.6, ინტეგრალური მრუდი დევს ერთეულ კვადრატში და თუ შეგვიძლია მივიღოთ შემთხვევითი რიცხვების წყვილი, რომლებიც თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე, მაშინ მიღებული მნიშვნელობები (γ 1, γ 2) შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილის კოორდინატები. ერთეული კვადრატი. მაშინ, თუ საკმარისია ამ წყვილთა რიცხვი, დაახლოებით შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ
. Აქ სარის მრუდის ქვეშ მოქცეული წერტილების წყვილი და ნარის რიცხვების წყვილის საერთო რაოდენობა.

მაგალითი 2.1.გამოთვალეთ შემდეგი ინტეგრალი:

პრობლემა მოგვარდა სხვადასხვა მეთოდით. მიღებული შედეგები შეჯამებულია ცხრილში. 2.1.

ცხრილი 2.1

კომენტარი.ცხრილის ინტეგრალის არჩევამ საშუალება მოგვცა შეგვედარებინა თითოეული მეთოდის შეცდომა და გაგვერკვია დანაყოფების რაოდენობის გავლენა გამოთვლების სიზუსტეზე.

11 არაწრფივი მიახლოებითი გადაწყვეტა
და ტრანსცენდენტური განტოლებები

ინტეგრალების გამოთვლა მართკუთხედების, ტრაპეციისა და სიმპსონის ფორმულის გამოყენებით. შეცდომების შეფასება.

სახელმძღვანელო 4.1 თემაზე:

ინტეგრალების გამოთვლა მართკუთხედების ფორმულებით. შეცდომის შეფასება:

მრავალი ტექნიკური პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება გარკვეული ინტეგრალის გაანგარიშებამდე, რომელთა ზუსტი გამოხატვა რთულია, მოითხოვს ხანგრძლივ გამოთვლებს და ყოველთვის არ არის გამართლებული პრაქტიკაში. აქ მათი სავარაუდო ღირებულება საკმაოდ საკმარისია. მაგალითად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზით, რომლის განტოლება უცნობია, ღერძი Xდა ორი ორდინატი. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ შეცვალოთ ეს ხაზი უფრო მარტივით, რისთვისაც განტოლება ცნობილია. ამგვარად მიღებული მრუდი ტრაპეციის ფართობი მიიღება სასურველი ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობად. გეომეტრიულად, მართკუთხედების ფორმულის გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდის იდეა არის ის, რომ მრგვალი ტრაპეციის ფართობი A 1 ABB 1ჩანაცვლებულია თანაბარი ფართობის მართკუთხედის ფართობით A 1 A 2 B 1 B 2, რომელიც საშუალო სიდიდის თეორემის მიხედვით უდრის

სად ვ(გ)--- მართკუთხედის სიმაღლე A 1 A 2 B 1 B 2,რომელიც არის ინტეგრანტის მნიშვნელობა რომელიმე შუალედურ წერტილში გ(ა< c

ასეთი ღირებულების პოვნა პრაქტიკულად რთულია თან, რომელიც (b-a)f(c)ზუსტად ტოლი იქნება. უფრო ზუსტი მნიშვნელობის მისაღებად, მრუდი ტრაპეციის ფართობი იყოფა: ნმართკუთხედები, რომელთა სიმაღლე ტოლია y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1და ფონდები.

თუ შევაჯამებთ მართკუთხედების უბნებს, რომლებიც ფარავს მრუდი ტრაპეციის ფართობს მინუსით, ფუნქცია არ მცირდება, მაშინ ფორმულის ნაცვლად გამოიყენება ფორმულა.

თუ გადაჭარბებულია, მაშინ

ღირებულებები ნაპოვნია თანასწორობიდან. ამ ფორმულებს ე.წ მართკუთხედის ფორმულებიდა მისცეს სავარაუდო შედეგი. მატებასთან ერთად ნშედეგი უფრო ზუსტი ხდება.

მაგალითი 1 . გამოთვალეთ მართკუთხედების ფორმულიდან

ინტეგრაციის ინტერვალს ვყოფთ 5 ნაწილად. მაშინ . კალკულატორის ან ცხრილის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრანის მნიშვნელობებს (4 ათობითი ადგილის სიზუსტით):

მართკუთხედების ფორმულის მიხედვით (მინუსით)

მეორე მხრივ, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით

მოდით ვიპოვოთ ფარდობითი გამოთვლის შეცდომა მართკუთხედების ფორმულის გამოყენებით:

ინტეგრალების გამოთვლა ტრაპეციის ფორმულებით. შეცდომის შეფასება:

ინტეგრალების სავარაუდო გამოთვლისთვის შემდეგი მეთოდის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის დაახლოებით თანაბარი ზომის "სწორხაზოვანი" ტრაპეციის ფართობის პოვნა.

დაე, საჭირო გახდეს ფართობის გამოთვლა 1 AmBB 1მრუდი ტრაპეცია, გამოხატული ფორმულით.

შევცვალოთ რკალი AmBაკორდი ABდა ნაცვლად მრუდი ტრაპეციის ფართობისა 1 AmBB 1გამოთვალეთ ტრაპეციის ფართობი A 1 ABB 1: , სად AA 1და BB 1 - ტრაპეციის ფუძე და A 1 B 1 არის მისი სიმაღლე.

აღნიშნეთ f(a)=A 1 A,f(b)=B 1B.ტრაპეციის სიმაღლე A 1 B 1 \u003d b-a,კვადრატი . შესაბამისად, ან

ეს ე.წ პატარა ტრაპეციის ფორმულა.

სიმპსონის ფორმულის ასაგებად, პირველ რიგში განვიხილავთ შემდეგ პრობლემას: გამოვთვალოთ მრგვალი ტრაპეციის S ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ზემოდან პარაბოლის y \u003d Ax 2 + Bx + C, მარცხნიდან სწორი ხაზით x \u003d. - h, მარჯვნიდან სწორი ხაზით x \u003d h და ქვემოდან სეგმენტით [-h; თ]. დაე, პარაბოლამ გაიაროს სამ წერტილში (ნახ. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) და F (h; y 2), და x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = სთ . შესაბამისად,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 სთ.

მაშინ S ფართობი ინტეგრალის ტოლია:

ამ ფართობს გამოვხატავთ h, y 0 , y 1 და y 2 კუთხით. ამისთვის ვიანგარიშებთ პარაბოლის A, B, C კოეფიციენტებს. იმ პირობით, რომ პარაბოლა გაივლის D, E და F წერტილებს, გვაქვს:

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ: C = y 1 ; A=

ამ მნიშვნელობების A და C (3) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ სასურველ ფართობს

მოდით მივმართოთ სიმპსონის ფორმულის გამოყვანას ინტეგრალის გამოსათვლელად

ამისათვის ჩვენ ვყოფთ ინტეგრაციის სეგმენტს სიგრძის 2n თანაბარ ნაწილად

გაყოფის წერტილებში (ნახ. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

ჩვენ ვიანგარიშებთ f ინტეგრადის მნიშვნელობებს: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

სეგმენტზე ინტეგრანდს ვცვლით პარაბოლით, რომელიც გადის წერტილებში (x 0; y 0), (x 1; y 1) და (x 2; y 2) და გამოვთვალოთ ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა x-დან. 0-დან x 2-მდე, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (4). შემდეგ (დაჩრდილული ადგილი სურ. 4-ზე):

ანალოგიურად, ჩვენ ვხვდებით:

................................................

მიღებული ტოლობების მიმატებით მივიღებთ:

ფორმულა (5) ეწოდება განზოგადებული სიმპსონის ფორმულაან პარაბოლის ფორმულა, ვინაიდან მისი გამოყვანისას ინტეგრანტის გრაფიკი 2 სთ სიგრძის ნაწილობრივ სეგმენტზე იცვლება პარაბოლის რკალით.

სამუშაო დავალება:

1. მასწავლებლის მითითებით ან ოფციის შესაბამისად მაგიდები 4 დავალება (იხ. დანართი) ავიღოთ პირობები - ინტეგრანდ, ინტეგრაციის საზღვრები.

2. შეადგინეთ პროგრამის სქემა და პროგრამა, რომელიც უნდა:

მოითხოვეთ განსაზღვრული ინტეგრალის, ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვრების გამოთვლის სიზუსტე;

გამოთვალეთ მოცემული ინტეგრალი მეთოდებით: ვარიანტებისთვის 1,4,7, 10… - მარჯვნივ, ვარიანტებისთვის 2,5,8,… - საშუალო; ვარიანტებისთვის 2,5,8,… - მარცხენა ოთხკუთხედები. გამოიტანეთ ინტეგრაციის დიაპაზონის დანაყოფების რაოდენობა, რომლებშიც მიიღწევა მითითებული გაანგარიშების სიზუსტე;

გამოთვალეთ მოცემული ინტეგრალი ტრაპეციის მეთოდით (ლუწი ვარიანტებისთვის) და სიმპსონის მეთოდით (კენტი ვარიანტებისთვის).

გამოიტანეთ ინტეგრაციის დიაპაზონის დანაყოფების რაოდენობა, რომლებშიც მიიღწევა მითითებული გაანგარიშების სიზუსტე;

გამოიტანეთ საკონტროლო ფუნქციის მნიშვნელობები არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობისთვის და შეადარეთ ინტეგრალის გამოთვლილ მნიშვნელობებს. Დასკვა.

ტესტის კითხვები

1. რა არის განსაზღვრული ინტეგრალი?

2. რატომ გამოიყენება ანალიტიკურ მეთოდებთან ერთად განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის რიცხვითი მეთოდები.

3. რა არის განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის ძირითადი რიცხვითი მეთოდების არსი.

4. ტიხრების რაოდენობის გავლენა რიცხვითი მეთოდებით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის სიზუსტეზე.

5. როგორ გამოვთვალოთ ინტეგრალი რომელიმე მეთოდით მოცემული სიზუსტით?