ბურკოვსკაია ნინა დიმიტრიევნა

Მათემატიკის მასწავლებელი

ურალის ტექნოლოგიური კოლეჯი "სერვისი".

პროგრამის თემა: ბრუნვის ორგანოები - 10 საათი.

გაკვეთილის თემა: მარჯვენა წრიული კონუსი, მისი ელემენტები. კონუსის მონაკვეთები თვითმფრინავით. კონუსის განვითარება. კონუსის ზედაპირის ფართობი.

გაკვეთილის მიზანი: თეორიული ცოდნის ფორმირება კონუსის, როგორც რევოლუციის სხეულის, მისი თვისებების, სიბრტყის მონაკვეთის ტიპებისა და სრული ზედაპირის ფართობის შესახებ. მათემატიკური აზროვნება, სივრცითი წარმოდგენა;

საგანმანათლებლო და შემეცნებითი საქმიანობის დამოუკიდებლობა.

გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული გაკვეთილი.

მართვის მეთოდები: ლექცია-პრაქტიკული გაკვეთილი.

საგაკვეთილო აღჭურვილობა: მათემატიკური გარემოგეოგებრა.

გაკვეთილების დროს:

საორგანიზაციო მომენტი - 1 - 2 წუთი.

მივესალმო სტუდენტებს.

მარკ არყოფნის.

II . საშინაო დავალების გამოკითხვა

1. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

2. ცილინდრის სრული ზედაპირის ფართობი;

3. პრიზმაში ჩაწერილი ცილინდრი;

4. ცილინდრი შემოხაზული პრიზმასთან.

III . ახალი მასალის ახსნა. Მოკლე მიმოხილვა.

1. კონუსი - სხეული, რომელიც შედგება წრისგან - კონუსის ფუძე, წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრის სიბრტყეში - კონუსის ზედა ნაწილი და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა წერტილს ფუძის წერტილებთან.

კონუსი მიიღება ფეხის გარშემო მართკუთხა სამკუთხედის მობრუნებით.

2. ახლა განიხილეთ, როგორ არის აგებული კონუსი. ჯერ დახაზეთ წრე ცენტრითოდა პირდაპირიOSამ წრის სიბრტყის პერპენდიკულარული. წრის თითოეულ წერტილს ვაკავშირებთ სეგმენტით წერტილითს. ამ სეგმენტების მიერ წარმოქმნილ ზედაპირს ეწოდება კონუსური ზედაპირი, ხოლო თავად სეგმენტებს - კონუსური ზედაპირის გენერატორები.

3. ტ.ს- კონუსის წრის ზედა ნაწილი (O, OA) - კონუსის საფუძველი

SA= სბარის კონუსის გენერატორები. ხაზის სეგმენტიᲘᲡᲔარის კონუსის სიმაღლე. პირდაპირᲘᲡᲔ- კონუსის ღერძი

4. ა) კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის ტოლფერდა სამკუთხედი

კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის კონუსის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის კონუსის ღერძზე და

მისი ზევით არის ტოლფერდა სამკუთხედი.

კონუსის მონაკვეთი სიმეტრიის ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით არის წრე,

AB - განყოფილება სიმეტრიის ღერძის პერპენდიკულარული და ფუძის პარალელურად.

ჩვენ გამოვხატავთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობს მისი გენერატრიქსისა და ფუძის რადიუსის მიხედვით.

რკალის ხარისხის საზომი

სექტორის რკალის სიგრძე უდრის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობის სიგრძეს.

გამოხატოს მეშვეობით და, შემდეგ

, .

როგორ მოვძებნოთ მთლიანი ზედაპირის ფართობი?

მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი ზედაპირისა და ბაზის ფართობის ჯამი.

, .

კონუსზე ტანგენტური სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელიც გადის კონუსის გენერატრიქსში და პერპენდიკულარულია ამ გენერტრიქსის შემცველი ღერძული მონაკვეთის სიბრტყეზე..

IV . ახალი მასალის შეკეთება:

Დავალება: კონუსის ფუძის რადიუსი არის 14 სმ. იპოვნეთ მისი ღერძის პერპენდიკულურად დახატული მონაკვეთის ფართობი მის შუაში. .

გამოსავალი: △ მაგრამ ს O - მართკუთხა ( ს ო  საფუძველი), ∠ ს AO=30 0 , ს O (დევს 30 კუთხით 0 )=, მაშინ ას =2O ს \u003d 2 * 12 \u003d 24. პითაგორა O-ს მიხედვით; ს ბ. = პასუხი: ს ბ. =.

Საშინაო დავალება §6.1 – 6.2, No8

ლიტერატურა

ჟ.კაიდასოვი, ვ.გუსევი, ა.კაგაზბაევა გეომეტრია 10, 11 კლასი. დიდაქტიკური მასალა გეომეტრიაზე მე-10, მე-11 კლასებისთვის.

ერთ-ერთი ფიგურა, რომელიც ჩნდება სივრცეში გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას, არის კონუსი. ის, პოლიედრებისგან განსხვავებით, მიეკუთვნება ბრუნვის ფიგურების კლასს. სტატიაში განვიხილავთ, თუ რას ნიშნავს იგი გეომეტრიაში და განვიხილავთ კონუსის სხვადასხვა მონაკვეთის მახასიათებლებს.

დავუშვათ, რომ სიბრტყეში არის რაღაც მრუდი. ეს შეიძლება იყოს პარაბოლა, წრე, ელიფსი და ა.შ. აიღეთ წერტილი, რომელიც არ ეკუთვნის მითითებულ სიბრტყეს და დააკავშირეთ მას მრუდის ყველა წერტილი. მიღებულ ზედაპირს ეწოდება კონუსი ან უბრალოდ კონუსი.

თუ თავდაპირველი მრუდი დახურულია, მაშინ კონუსური ზედაპირი შეიძლება შეივსოს მატერიით. ამ გზით მიღებული ფიგურა არის სამგანზომილებიანი სხეული. მას ასევე უწოდებენ კონუსს. რამდენიმე ქაღალდის კონუსი ნაჩვენებია ქვემოთ.

კონუსური ზედაპირი გვხვდება ჩვეულებრივ ცხოვრებაში. მაგალითად, ნაყინის კონუსს ან ზოლიან სატრანსპორტო კონუსს აქვს ასეთი ფორმა, რომელიც შექმნილია მძღოლებისა და ფეხით მოსიარულეების ყურადღების მიქცევისთვის.

გირჩების ტიპები

როგორც მიხვდით, განხილული ფიგურები ერთმანეთისგან განსხვავდებიან იმ მრუდის ტიპის მიხედვით, რომელზედაც ისინი იქმნება. მაგალითად, არის მრგვალი კონუსი ან ელიფსური. ამ მრუდს ფიგურის ფუძე ეწოდება. თუმცა, ბაზის ფორმა არ არის ერთადერთი მახასიათებელი, რომელიც კონუსების კლასიფიცირების საშუალებას იძლევა.

მათი მეორე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია სიმაღლის პოზიცია ფუძის მიმართ. კონუსის სიმაღლე არის სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც დაშვებულია ფიგურის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე და პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის მიმართ. თუ სიმაღლე კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (მაგალითად, წრის ცენტრში), მაშინ კონუსი სწორი იქნება, თუ პერპენდიკულარული სეგმენტი დაეცემა ფუძის ნებისმიერ სხვა წერტილს ან მის მიღმა, მაშინ ფიგურა იქნება მიდრეკილი.

კონუსის ელემენტების გეომეტრიული სახელები

ზემოთ ითქვა, რომ კონუსს აქვს საფუძველი. იგი შემოსაზღვრულია წრით, რომელსაც კონუსის მეგზური ეწოდება. სეგმენტებს, რომლებიც აკავშირებს გზამკვლევს იმ წერტილთან, რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში, ეწოდება გენერატორები. გენერატორების ყველა წერტილის სიმრავლეს ფიგურის კონუსური ან გვერდითი ზედაპირი ეწოდება. მრგვალი მარჯვენა კონუსისთვის, ყველა გენერატორს აქვს იგივე სიგრძე.

გენერატორების გადაკვეთის წერტილს ფიგურის წვერო ეწოდება. პოლიედრებისგან განსხვავებით, კონუსს აქვს ერთი წვერო და არ აქვს სახეები.

სწორ ხაზს, რომელიც გადის ფიგურის ზედა და წრის ცენტრს, ღერძი ეწოდება. ღერძი შეიცავს სწორი კონუსის სიმაღლეს, ამიტომ იგი ქმნის სწორ კუთხეს ფუძის სიბრტყესთან. ეს ინფორმაცია მნიშვნელოვანია კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობის გაანგარიშებისას.

მრგვალი სწორი კონუსი - ბრუნვის ფიგურა

განსახილველი კონუსი არის საკმაოდ სიმეტრიული ფიგურა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ სამკუთხედის ბრუნვის შედეგად. დავუშვათ, გვაქვს სამკუთხედი მართი კუთხით. კონუსის მისაღებად საკმარისია ეს სამკუთხედი შემოატრიალოთ ერთ-ერთი ფეხის გარშემო, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ჩანს, რომ ბრუნვის ღერძი არის კონუსის ღერძი. ერთი ფეხი ტოლი იქნება ფიგურის სიმაღლეზე, ხოლო მეორე ფეხი გახდება ფუძის რადიუსი. ბრუნვის შედეგად სამკუთხედის ჰიპოტენუზა აღწერს კონუსურ ზედაპირს. ეს იქნება კონუსის გენერაცია.

მრგვალი სწორი კონუსის მიღების ეს მეთოდი მოსახერხებელია ფიგურის ხაზოვან პარამეტრებს შორის მათემატიკური ურთიერთობის შესასწავლად: სიმაღლე h, მრგვალი ფუძის რადიუსი r და გზამკვლევი g. მართკუთხა სამკუთხედის თვისებებიდან გამომდინარეობს შესაბამისი ფორმულა. იგი ჩამოთვლილია ქვემოთ:

ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ერთი განტოლება და სამი ცვლადი, ეს ნიშნავს, რომ მრგვალი კონუსის პარამეტრების ცალსახად დასაყენებლად აუცილებელია ვიცოდეთ ნებისმიერი ორი სიდიდე.

კონუსის მონაკვეთები სიბრტყით, რომელიც არ შეიცავს ფიგურის წვეროს

ფიგურის მონაკვეთების აგების საკითხი არ არის ტრივიალური. ფაქტია, რომ კონუსის მონაკვეთის ფორმა ზედაპირის მიხედვით დამოკიდებულია ფიგურისა და სეკანტის შედარებით პოზიციაზე.

დავუშვათ, რომ კონუსს ვკვეთთ სიბრტყეს. რა იქნება ამ გეომეტრიული მოქმედების შედეგი? განყოფილების ფორმის ვარიანტები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ვარდისფერი განყოფილება არის წრე. იგი წარმოიქმნება ფიგურის გადაკვეთის შედეგად კონუსის ფუძის პარალელურად. ეს არის ფიგურის ღერძის პერპენდიკულარული მონაკვეთები. საჭრელი სიბრტყის ზემოთ ჩამოყალიბებული ფიგურა არის ორიგინალის მსგავსი კონუსი, მაგრამ ძირში უფრო მცირე წრე აქვს.

მწვანე მონაკვეთი არის ელიფსი. იგი მიიღება იმ შემთხვევაში, თუ საჭრელი სიბრტყე არ არის ფუძის პარალელურად, არამედ მხოლოდ იკვეთება, სიბრტყის ზემოთ ამოჭრილ ფიგურას ეწოდება ელიფსური დახრილი კონუსი.

ლურჯი და ნარინჯისფერი სექციები პარაბოლური და ჰიპერბოლურია, შესაბამისად. როგორც ნახატიდან ჩანს, ისინი მიიღება იმ შემთხვევაში, თუ ჭრის სიბრტყე ერთდროულად კვეთს ფიგურის გვერდით ზედაპირს და ფუძეს.

განხილული კონუსის მონაკვეთების არეების დასადგენად აუცილებელია სიბრტყეზე შესაბამისი ფიგურის ფორმულების გამოყენება. მაგალითად, წრისთვის ეს არის Pi გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე, ხოლო ელიფსისთვის ეს არის Pi-ს ნამრავლი მცირე და ძირითადი ნახევარღერძების სიგრძით:

წრე: S \u003d pi * r 2;

ელიფსი: S = pi*a*b .

სექციები, რომლებიც შეიცავს კონუსის ზედა ნაწილს

ახლა განიხილეთ სექციების ვარიანტები, რომლებიც წარმოიქმნება, თუ ჭრის თვითმფრინავი გადის კონუსის ზედა ნაწილში. შესაძლებელია სამი შემთხვევა:

1. განყოფილება არის ერთი წერტილი. მაგალითად, სიბრტყე, რომელიც გადის წვეროზე და ფუძის პარალელურად, იძლევა სწორედ ასეთ მონაკვეთს.
2. მონაკვეთი არის სწორი ხაზი. ეს ვითარება ხდება მაშინ, როდესაც თვითმფრინავი კონუსურ ზედაპირთან არის ტანგენტი. მონაკვეთის სწორი ხაზი ამ შემთხვევაში იქნება კონუსის გენერაცია.
3. ღერძული განყოფილება. იგი იქმნება, როდესაც თვითმფრინავი შეიცავს არა მხოლოდ ფიგურის ზედა ნაწილს, არამედ მთელ მის ღერძს. ამ შემთხვევაში, თვითმფრინავი იქნება მრგვალი ფუძის პერპენდიკულარული და დაყოფს კონუსს ორ თანაბარ ნაწილად.

აშკარაა, რომ პირველი ორი ტიპის მონაკვეთების ფართობი ნულის ტოლია. რაც შეეხება კონუსის განივი ფართობს მე-3 ტიპისთვის, ეს საკითხი უფრო დეტალურად განიხილება შემდეგ აბზაცში.

ღერძული განყოფილება

ზემოთ აღინიშნა, რომ კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება, როდესაც კონუსი იკვეთება მის ღერძზე გამავალი სიბრტყით. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს განყოფილება წარმოადგენს ფიგურას, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ეს არის ტოლფერდა სამკუთხედი. კონუსის ღერძული მონაკვეთის წვერო არის ამ სამკუთხედის წვერო, რომელიც წარმოიქმნება იდენტური გვერდების გადაკვეთით. ეს უკანასკნელი უდრის კონუსის გენერატრიქსის სიგრძეს. სამკუთხედის საფუძველი არის კონუსის ფუძის დიამეტრი.

კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობის გაანგარიშება მცირდება მიღებული სამკუთხედის ფართობის პოვნამდე. თუ თავიდანვე ცნობილია r ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე h, მაშინ განსახილველი მონაკვეთის ფართობი S ტოლი იქნება:

ეს გამოთქმა არის სამკუთხედის ფართობის სტანდარტული ფორმულის გამოყენების შედეგი (სიმაღლის ნახევარი გამრავლებული ფუძეზე).

გაითვალისწინეთ, რომ თუ იგი უდრის მისი მრგვალი ფუძის დიამეტრს, მაშინ კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი.

სამკუთხა მონაკვეთი იქმნება, როდესაც ჭრის სიბრტყე პერპენდიკულარულია კონუსის ფუძესთან და გადის მის ღერძზე. დასახელებული სიბრტყის პარალელურად ნებისმიერი სხვა სიბრტყე იძლევა ჰიპერბოლას განყოფილებაში. თუმცა, თუ სიბრტყე შეიცავს კონუსის წვეროს და კვეთს მის ფუძეს არა დიამეტრით, მაშინ მიღებული მონაკვეთი ასევე იქნება ტოლფერდა სამკუთხედი.

კონუსის წრფივი პარამეტრების განსაზღვრის ამოცანა

ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ღერძული მონაკვეთის ფართობისთვის დაწერილი ფორმულა გეომეტრიული პრობლემის გადასაჭრელად.

ცნობილია, რომ კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 100 სმ 2. შედეგად მიღებული სამკუთხედი ტოლგვერდაა. რა არის კონუსის სიმაღლე და მისი ფუძის რადიუსი?

ვინაიდან სამკუთხედი ტოლგვერდაა, მისი სიმაღლე h დაკავშირებულია a გვერდის სიგრძესთან შემდეგი მიმართებით:

იმის გათვალისწინებით, რომ სამკუთხედის გვერდი ორჯერ აღემატება კონუსის ფუძის რადიუსს და ამ გამონათქვამის ჩანაცვლებით განივი კვეთის ფართობის ფორმულაში, მივიღებთ:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

მაშინ კონუსის სიმაღლეა:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

რჩება პრობლემის მდგომარეობიდან ფართობის ღირებულების ჩანაცვლება და პასუხის მიღება:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 სმ;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 სმ.

რა სფეროებშია მნიშვნელოვანი განხილული მონაკვეთების პარამეტრების ცოდნა?

სხვადასხვა ტიპის კონუსის მონაკვეთების შესწავლა არა მხოლოდ თეორიულ ინტერესს წარმოადგენს, არამედ აქვს პრაქტიკული გამოყენებაც.

პირველ რიგში, უნდა აღინიშნოს აეროდინამიკის არეალი, სადაც კონუსური მონაკვეთების დახმარებით შესაძლებელია მყარი სხეულების იდეალური გლუვი ფორმების შექმნა.

მეორეც, კონუსური მონაკვეთები არის ტრაექტორია, რომლის გასწვრივ კოსმოსური ობიექტები მოძრაობენ გრავიტაციულ ველებში. ზუსტად რა არის სისტემის კოსმოსური სხეულების მოძრაობის ტრაექტორია, განისაზღვრება მათი მასების, აბსოლუტური სიჩქარის და მათ შორის მანძილების თანაფარდობით.

კონუსის ფუძის რადიუსი წვეროსთან არის 6-ის, ხოლო მისი გენერტრიქსის სიგრძე 9-ის ტოლია. წერტილები და არჩეულია კონუსის ფუძის წრეზე, წრეს ორ რკალად ყოფს, რომელთა სიგრძე დაკავშირებულია 1:3-ით. იპოვნეთ კონუსის მონაკვეთის ფართობი სიბრტყით.

პრობლემის გადაწყვეტა

ეს გაკვეთილი გვიჩვენებს, თუ როგორ სწორად ავაშენოთ კონუსის მონაკვეთი თვითმფრინავით და იპოვოთ ამ მონაკვეთის ფართობი. ამ პრობლემის გადაჭრის მთავარი პუნქტია რკალების თანაფარდობა, რომელიც მოცემულია პირობით: იმის გათვალისწინებით, რომ თანაფარდობა არის 1:3, ნათლად შეიძლება განისაზღვროს, რომ ერთი რკალის ხარისხის ზომა იქნება 90 °. და ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს პრობლემის გადაჭრას. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა: ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის ნახევარი - შესაძლებელს ხდის განვსაზღვროთ სეგმენტები, რომელთა სიგრძეც უნდა ვიპოვოთ. ფუძის სიგრძის საპოვნელად ვიყენებთ პითაგორას თეორემას (სამკუთხედი გამოდის არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდაც - სამკუთხედის ფეხები წრის ფუძის რადიუსია). ჩვენ ასევე ვპოულობთ მონაკვეთის სიმაღლეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ჩვენ უკვე ვიცით საფუძველი (ჩვენ გვჭირდება მისი ნახევარი) და გენერატრიქსის სიგრძე მოცემულია პირობით. რჩება მიღებული სეგმენტების პროდუქტის პოვნა და ორად გაყოფა. პასუხი მიღებულია.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა რეკომენდირებულია მე-8 კლასის მოსწავლეებისთვის, როდესაც სწავლობენ თემას "ფართი" ("პითაგორას თეორემა", "სამკუთხედის ფართობი"); მე-11 კლასის მოსწავლეებისთვის თემის „რევოლუციის სხეული“ („პრობლემის გადაჭრა. კონუსი“) შესწავლისას. გამოცდისთვის მომზადებისას გაკვეთილი რეკომენდებულია თემის „არეალი“, „რევოლუციის სხეული“ გამეორებისას.

დაგჭირდებათ

• კონუსის ნახაზი მითითებული პარამეტრებით
• მმართველი
• ფანქარი
• მათემატიკური ფორმულები და განმარტებები
• კონუსის სიმაღლე
• კონუსის ფუძის წრის რადიუსი
• სამკუთხედის ფართობის ფორმულა

ინსტრუქცია

დახაზეთ კონუსი მოცემული პარამეტრებით. მონიშნეთ წრის ცენტრი, როგორც O და წვერო, როგორც P. თქვენ უნდა იცოდეთ კონუსის რადიუსი და სიმაღლე. დაიმახსოვრე კონუსის სიმაღლეები. ეს არის პერპენდიკულარული, კონუსის ზემოდან მის ფუძემდე. კონუსის სიმაღლის გადაკვეთის წერტილი მარჯვენა კონუსის ფუძესთან ემთხვევა ფუძის წრის ცენტრს. ააგეთ კონუსის ღერძული მონაკვეთი. ეს არის ფუძის დიამეტრი და კონუსის გენერატორები, რომლებიც გადიან დიამეტრის წრესთან გადაკვეთის წერტილებში. მონიშნეთ მიღებული წერტილები, როგორც A და B.

ღერძული მონაკვეთი იქმნება ორი მართკუთხა სამკუთხედით, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და აქვთ ერთი საერთო ფეხი. ღერძული მონაკვეთის ფართობის გამოსათვლელად ორი გზა არსებობს. პირველი გზა არის მიღებული სამკუთხედების ფართობის პოვნა და მათი შეკრება. ეს არის ყველაზე ვიზუალური გზა, მაგრამ სინამდვილეში ის არაფრით განსხვავდება სამკუთხედის კლასიკური გაანგარიშებისგან. ასე რომ, თქვენ გაქვთ 2 მართკუთხა სამკუთხედი, რომელთა საერთო ფეხი არის კონუსის სიმაღლე h, მეორე ფეხი არის R ფუძის გარშემოწერილობის რადიუსი, ხოლო ჰიპოტენუსები კონუსის გენერატორებია. ვინაიდან ამ სამკუთხედების სამივე გვერდი ერთმანეთის ტოლია, მაშინ სამკუთხედების ტოლობის მესამე თვისების მიხედვით თავად სამკუთხედებიც ტოლი აღმოჩნდა. მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ფეხების ნამრავლის ნახევარს, ანუ S=1/2Rh. ორი სამკუთხედის ფართობი, შესაბამისად, ტოლი იქნება ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის S=Rh.

ღერძული მონაკვეთი ყველაზე ხშირად განიხილება როგორც, რომლის სიმაღლე არის კონუსის სიმაღლე. ამ შემთხვევაში, ეს არის სამკუთხედი APV, რომლის ფუძე უდრის D კონუსის ფუძის წრეწირის დიამეტრს, ხოლო სიმაღლე უდრის კონუსის სიმაღლეს h. მისი ფართობი გამოითვლება კლასიკური ფორმულის მიხედვით სამკუთხედის ფართობისთვის, ანუ შედეგად ვიღებთ იგივე ფორმულას S = 1/2Dh = Rh, სადაც S არის სამკუთხედის ფართობი, R. არის ფუძის წრის რადიუსი და h არის სამკუთხედის სიმაღლე, რომელიც ასევე არის კონუსის სიმაღლე.

სასარგებლო რჩევა

კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობი გამოითვლება ტრაპეციის ფართობის ფორმულით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორც ბაზის რადიუსი, ასევე სიმაღლე და შუა ხაზი.

წყაროები:

• გაკვეთილის თემა „კონუსის მონაკვეთები

კონუსი არის სხეული, რომელიც მიიღება ერთი წერტილიდან გამომავალი ყველა სხივის გაერთიანებით, რომელსაც ეწოდება კონუსის ზევით და გადის ბრტყელ ზედაპირზე, რომელსაც კონუსის ფუძე ეწოდება. კონუსის ფართობი არის მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი და ფუძის ფართობი, რომელიც არის წრე.

დაგჭირდებათ

• სტერეომეტრიის ელემენტარული ცოდნა.

ინსტრუქცია

კონუსის საბოლოო ფართობი უდრის მისი ზედაპირისა და ფუძის ფართობების ჯამს. ანუ S \u003d P * R * R + P * R * l. კარგად, ან ტრანსფორმაციის შემდეგ, S \u003d P * R (R + l).

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

ფართობი არის დადებითი მნიშვნელობა და თუ თქვენ მიიღებთ უარყოფით მნიშვნელობას, მაშინ სადღაც შეცდომა დაუშვით. ყურადღებით შეამოწმეთ ყველა თქვენი გამოთვლა.

სასარგებლო რჩევა

თუ იცით კონუსის ფართობი და მისი ფუძის რადიუსი, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი გიდის სიგრძე, ხოლო სახელმძღვანელოს ფართობისა და სიგრძის ცოდნა - მისი ფუძის რადიუსი.

წყაროები:

• როგორ მოვძებნოთ კონუსის ზედაპირი 2019 წელს

კონუსის მონაკვეთის აგება არც ისე რთული ამოცანაა. მთავარია დაიცვას მოქმედებების მკაცრი თანმიმდევრობა. მაშინ ეს ამოცანა ადვილი შესასრულებელი იქნება და თქვენგან დიდ ძალისხმევას არ მოითხოვს.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• - კალამი;
• - წრე;
• - მმართველი.

ინსტრუქცია

ამ კითხვაზე პასუხის გაცემისას, ჯერ უნდა გადაწყვიტოთ, რა პარამეტრებზეა დაყენებული განყოფილება.
ეს იყოს l სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი სიბრტყესთან და O წერტილი, რომელიც არის გადაკვეთის წერტილი მის მონაკვეთთან.

კონსტრუქცია ილუსტრირებულია ნახ.1-ზე. მონაკვეთის აგების პირველი ნაბიჯი არის მისი დიამეტრის მონაკვეთის ცენტრი, რომელიც გაგრძელებულია ამ ხაზის პერპენდიკულარულად l-მდე. შედეგად მიიღება წერტილი L. შემდგომ, O წერტილის გავლით, დახაზეთ სწორი ხაზი LW და ააგეთ ორი მიმართული კონუსი, რომლებიც დევს მთავარ მონაკვეთში O2M და O2C. ამ გიდების გადაკვეთაზე დევს წერტილი Q, ასევე უკვე ნაჩვენები წერტილი W. ეს არის საჭირო მონაკვეთის პირველი ორი წერტილი.

ახლა დახაზეთ პერპენდიკულარული MC კონუსის BB1 ბაზაზე და ააგეთ O2B და O2B1 პერპენდიკულარული მონაკვეთის გენერატორები. ამ განყოფილებაში დახაზეთ სწორი ხაზი RG t.O-ს გავლით BB1-ის პარალელურად. T.R და t.G - სასურველი მონაკვეთის კიდევ ორი ​​წერტილი. თუ ბურთის განივი მონაკვეთი ცნობილი იყო, მაშინ მისი აგება უკვე ამ ეტაპზე შეიძლებოდა. თუმცა, ეს საერთოდ არ არის ელიფსი, არამედ რაღაც ელიფსური, რომელსაც აქვს სიმეტრია QW სეგმენტთან მიმართებაში. ამიტომ, თქვენ უნდა ააწყოთ მონაკვეთის რაც შეიძლება მეტი წერტილი, რათა მომავალში დააკავშიროთ ისინი გლუვი მრუდით, რათა მიიღოთ ყველაზე საიმედო ესკიზი.

შექმენით თვითნებური მონაკვეთის წერტილი. ამისათვის დახაზეთ თვითნებური დიამეტრი AN კონუსის ძირში და ააგეთ შესაბამისი გიდები O2A და O2N. PO-ს მეშვეობით გავავლოთ სწორი ხაზი, რომელიც გადის PQ-სა და WG-ზე, სანამ ის არ გადაიკვეთება ახლად აგებულ გიდებთან P და E წერტილებში. ეს არის სასურველი მონაკვეთის კიდევ ორი ​​წერტილი. იმავე გზით და შემდგომში, შეგიძლიათ თვითნებურად სასურველი ქულები.

მართალია, მათი მოპოვების პროცედურა შეიძლება ოდნავ გამარტივდეს სიმეტრიის გამოყენებით QW-სთან მიმართებაში. ამისათვის შესაძლებელია სწორი ხაზების დახაზვა SS' RG-ის პარალელურად სასურველი მონაკვეთის სიბრტყეში, RG-ის პარალელურად, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება კონუსის ზედაპირთან. კონსტრუქცია სრულდება აგებული პოლიხაზის აკორდებისგან დამრგვალებით. საკმარისია საჭირო მონაკვეთის ნახევრის აგება QW-სთან მიმართებაში უკვე აღნიშნული სიმეტრიის გამო.

Მსგავსი ვიდეოები

რჩევა 4: როგორ მოვძებნოთ შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობი

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, რა არის შეკვეცილი კონუსი და რა თვისებები აქვს მას. აუცილებლად დახატე. ეს განსაზღვრავს რომელი გეომეტრიული ფიგურა არის განყოფილება. სავსებით შესაძლებელია, რომ ამის შემდეგ პრობლემის მოგვარება აღარ გაგიჭირდეთ.

ინსტრუქცია

მრგვალი კონუსი არის სხეული, რომელიც მიიღება მისი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო სამკუთხედის ბრუნვით. სწორი ხაზები მოდის ზემოდან გირჩებიდა მისი ფუძის გადაკვეთას გენერატორები ეწოდებათ. თუ ყველა გენერატორი თანაბარია, მაშინ კონუსი სწორია. რაუნდის ბაზაზე გირჩებიდევს წრე. ზემოდან ძირზე ჩამოშვებული პერპენდიკულური არის სიმაღლე გირჩები. მრგვალ პირდაპირ გირჩებისიმაღლე ემთხვევა მის ღერძს. ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს ბაზის ცენტრს. თუ წრიულის ჰორიზონტალური ჭრის სიბრტყე გირჩები, მაშინ მისი ზედა ფუძე არის წრე.

ვინაიდან პრობლემის პირობაში არ არის მითითებული, რომ სწორედ კონუსია მოცემული ამ შემთხვევაში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის სწორი შეკვეცილი კონუსი, რომლის ჰორიზონტალური მონაკვეთი ფუძის პარალელურია. მისი ღერძული განყოფილება, ე.ი. ვერტიკალური სიბრტყე, რომელიც წრიული ღერძის გავლით გირჩები, არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ყველა ღერძული სექციებიმრგვალი სწორი გირჩებიერთმანეთის ტოლები არიან. ამიტომ, რომ იპოვოთ კვადრატიღერძული სექციები, მოძიებაა საჭირო კვადრატიტრაპეცია, რომლის ფუძეები არის ჩამოსხმული ფუძის დიამეტრი გირჩები, და მხარეები მისი გენერატორები არიან. შეკვეცილი სიმაღლე გირჩებიარის ასევე ტრაპეციის სიმაღლე.

ტრაპეციის ფართობი განისაზღვრება ფორმულით: S = ½(a+b) h, სადაც S არის კვადრატიტრაპეცია; a - ტრაპეციის ქვედა ფუძის მნიშვნელობა; b - მისი ზედა ფუძის მნიშვნელობა; h - ტრაპეციის სიმაღლე.

კონუსის სექციური ფართობი. კიდევ ერთი სტატია გირჩებით წარმოგიდგენთ. ამ წერის დროს ბლოგმა ამოხსნა ამოცანების ყველა მაგალითი (პროტოტიპი) კონუსებით, რაც გამოცდაზეა შესაძლებელი. ამოხსნის პროცესი მარტივია (1-2 ქმედება), გარკვეული პრაქტიკით იხსნება ზეპირად. თქვენ უნდა იცოდეთ გენერატრიქსის კონცეფცია, ამის შესახებ ინფორმაცია. ასევე აუცილებელია იმის გაგება, თუ როგორ იქმნება კონუსის მონაკვეთები.

1. თუ სიბრტყე გადის კონუსის წვეროზე, მაშინ მონაკვეთი სამკუთხედია.

*თუ სიბრტყე გადის კონუსის ღერძზე, მაშინ მონაკვეთი არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის სიმაღლე უდრის კონუსის სიმაღლეს, ხოლო ფუძე, რომელზედაც ეს სიმაღლე დაშვებულია, უდრის ფუძის დიამეტრს. კონუსის.

2. თუ სიბრტყე გადის კონუსის ღერძის პერპენდიკულარულად, მაშინ მონაკვეთი არის წრე.

ამ ამოცანების მახასიათებელია ის, რომ გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის ფორმულა,. პერიოდულად გაიმეორეთ ფორმულები. განიხილეთ დავალებები:

324453. კონუსის ფუძის ფართობია 16pi, სიმაღლე 6. იპოვეთ კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობი.

კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის სამკუთხედი, რომლის ფუძე უდრის კონუსის ფუძის დიამეტრს და სიმაღლეს უდრის კონუსის სიმაღლეს. დიამეტრი ავღნიშნოთ როგორც D, სიმაღლე როგორც H, ჩამოვწეროთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა:

სიმაღლე ცნობილია, ჩვენ ვიანგარიშებთ დიამეტრს. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას წრის ფართობისთვის:

ასე რომ, დიამეტრი 8-ის ტოლი იქნება. გამოთვალეთ კვეთის ფართობი:

პასუხი: 24

324454. კონუსის ფუძის ფართობია 18. კონუსის ფუძის სიბრტყის პარალელურად სიბრტყე თავის სიმაღლეს ყოფს 3 და 6 სიგრძის სეგმენტებად, ზემოდან დათვლით. იპოვეთ კონუსის განივი ფართობი ამ სიბრტყით.

განყოფილება არის წრე. თქვენ უნდა იპოვოთ ამ წრის ფართობი.

მოდით ავაშენოთ ღერძული მონაკვეთი:

განვიხილოთ სამკუთხედები AKL და AOC - ისინი მსგავსია. ცნობილია, რომ მსგავს ფიგურებში შესაბამისი ელემენტების შეფარდება თანაბარია. ჩვენ განვიხილავთ სიმაღლისა და ფეხების (რადიუსების) ურთიერთობას:

OC არის ბაზის რადიუსი, ის შეიძლება მოიძებნოს:

ნიშნავს

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ კვეთის ფართობი:

*ეს არის გამოთვლის ალგებრული გზა მსგავსი სხეულების ფართობის თვისების გამოყენების გარეშე. ამის მტკიცება შეიძლება ასე:

ორი კონუსი (ორიგინალი და ამოჭრილი) მსგავსია, ამიტომ მათი ბაზები მსგავსი ფიგურებია. მსგავსი ფიგურების სფეროებისთვის არსებობს დამოკიდებულება:

მსგავსების კოეფიციენტი ამ შემთხვევაში უდრის 1/3-ს (პირველი კონუსის სიმაღლეა 9, ამოჭრილი 3), 3/9=1/3.

ამრიგად, შედეგად მიღებული კონუსის ფუძის ფართობია:

პასუხი: 2

323455. კონუსის სიმაღლეა 8, ხოლო გენერატრიქსის სიგრძე 10. იპოვეთ ამ კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობი.

მოდით გენერატრიქსი იყოს L, სიმაღლე იყოს H და ფუძის რადიუსი იყოს R.

იპოვეთ ფუძის დიამეტრი და გამოიყენეთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა ფართობის გამოსათვლელად. პითაგორას თეორემის მიხედვით:

გენერატრიცა იყოს L, სიმაღლე H, ფუძის რადიუსი იყოს R. ესე იგი. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.