ყველა სამკუთხედს შორის არის ორი განსაკუთრებული ტიპი: მართკუთხა სამკუთხედები და ტოლფერდა სამკუთხედები. რატომ არის ამ ტიპის სამკუთხედები ასეთი განსაკუთრებული? ჯერ ერთი, ასეთი სამკუთხედები ძალიან ხშირად აღმოჩნდებიან მთავარი მოქმედი პირები პირველი ნაწილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში. და მეორეც, მართკუთხა და ტოლფერდა სამკუთხედებთან დაკავშირებული პრობლემები ბევრად უფრო ადვილი მოსაგვარებელია, ვიდრე გეომეტრიის სხვა ამოცანები. თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ რამდენიმე წესი და თვისება. ყველა ყველაზე საინტერესო განიხილება შესაბამის თემაში, ახლა კი განვიხილავთ ტოლფეროვან სამკუთხედებს. და პირველ რიგში რა არის ტოლფერდა სამკუთხედი. ან, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, რა არის ტოლფერდა სამკუთხედის განმარტება?
ნახეთ, როგორ გამოიყურება:
მართკუთხა სამკუთხედის მსგავსად, ტოლფერდა სამკუთხედს აქვს სპეციალური სახელები მისი გვერდებისთვის. ორი თანაბარი მხარე ეწოდება მხარეებიდა მესამე მხარე საფუძველი.
და ისევ შეხედეთ სურათს:
ეს, რა თქმა უნდა, შეიძლება ასე იყოს:
ასე რომ ფრთხილად: გვერდითი მხარე - ორი თანაბარი მხარიდან ერთიტოლფერდა სამკუთხედში და საფუძველი არის მესამე მხარე.
რატომ არის ტოლფერდა სამკუთხედი ასე კარგი? ამის გასაგებად, მოდით დავხატოთ სიმაღლე ძირამდე. გახსოვთ რა სიმაღლეა?
Რა მოხდა? ერთი ტოლკუთხედი სამკუთხედიდან ორი მართკუთხა გამოვიდა.
ეს უკვე კარგია, მაგრამ ეს მოხდება ნებისმიერ, ყველაზე "დახრილ" სამკუთხედში.
რა განსხვავებაა ტოლფერდა სამკუთხედის სურათს შორის? კიდევ ერთხელ შეხედე:
პირველ რიგში, რა თქმა უნდა, ამ უცნაური მათემატიკოსებისთვის უბრალოდ დანახვა საკმარისი არ არის - მათ აუცილებლად უნდა დაამტკიცონ. და შემდეგ მოულოდნელად ეს სამკუთხედები ოდნავ განსხვავდებიან და ჩვენ მათ ერთნაირად განვიხილავთ.
მაგრამ არ ინერვიულოთ: ამ შემთხვევაში მტკიცება თითქმის ისეთივე მარტივია, როგორც დანახვა.
დავიწყოთ? დააკვირდით, გვაქვს:
Და, შესაბამისად,! რატომ? დიახ, ჩვენ უბრალოდ ვპოულობთ და, და პითაგორას თეორემიდან (იმავდროულად გავიხსენოთ, რომ)
Დარწმუნებული ხარ? კარგი, ახლა გვაქვს
და სამ მხარეს - სამკუთხედების თანასწორობის ყველაზე მარტივი (მესამე) ნიშანი.
ისე, ჩვენი ტოლფერდა სამკუთხედი იყოფა ორ იდენტურ მართკუთხედად.
ნახეთ რა საინტერესოა? აღმოჩნდა, რომ:
როგორ არის მიღებული მათემატიკოსებისთვის ამაზე საუბარი? მოდით წავიდეთ თანმიმდევრობით:
(აქ გავიხსენებთ, რომ მედიანა არის წვეროდან გამოყვანილი ხაზი, რომელიც ყოფს გვერდს, ხოლო ბისექტორი არის კუთხე.)
აქ ჩვენ განვიხილეთ, თუ რა სიკეთის ნახვა შეიძლება, თუ მოცემულია ტოლფერდა სამკუთხედი. ჩვენ დავასკვნათ, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია, ხოლო სიმაღლე, ბისექტორი და შუალედი, რომელიც ფუძესთან არის დახატული, იგივეა.
ახლა კი ჩნდება სხვა კითხვა: როგორ ამოვიცნოთ ტოლფერდა სამკუთხედი? ანუ, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, რა არის ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშნები?
და გამოდის, რომ თქვენ უბრალოდ უნდა "გადატრიალოთ" ყველა განცხადება პირიქით. ეს, რა თქმა უნდა, ყოველთვის არ ხდება, მაგრამ ტოლფერდა სამკუთხედი მაინც დიდი რამ არის! რა ხდება "შებრუნების" შემდეგ?
აბა ნახე აქ:
თუ სიმაღლე და მედიანა ერთნაირია, მაშინ:
თუ სიმაღლე და ბისექტორი ერთნაირია, მაშინ: 
თუ ბისექტორი და მედიანა ერთნაირია, მაშინ:
ნუ დაგავიწყდებათ და გამოიყენეთ:
- თუ მოცემულია ტოლფერდა სამკუთხედი, თავისუფლად დახაზეთ სიმაღლე, მიიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი და ამოხსენით პრობლემა უკვე მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ.
- თუ მიეცემა რომ ორი კუთხე ტოლია, შემდეგ სამკუთხედი ზუსტადტოლფერდა და შეგიძლიათ დახაზოთ სიმაღლე და .... (სახლი, რომელიც ჯეკმა ააგო...).
- თუ აღმოჩნდა, რომ სიმაღლე იყოფა გვერდით ნახევრად, მაშინ სამკუთხედი არის ტოლფერდა ყველა მომდევნო ბონუსით.
- თუ აღმოჩნდა, რომ სიმაღლე დაყო კუთხე სართულებზე - ასევე ტოლფერდა!
- თუ ბისექტორმა გაყო გვერდი შუაზე ან მედიანა - კუთხე, მაშინ ეს ასევე ხდება მხოლოდტოლფერდა სამკუთხედში
ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ამოცანები.
დავალება 1(უმარტივესი)
სამკუთხედში გვერდები და ტოლია ა. Პოვნა.
Ჩვენ ვწყვეტთ:
ჯერ ნახატი.
რა არის აქ საფუძველი? Რა თქმა უნდა, .
შეგახსენებთ, რომ თუ, მაშინ და.
განახლებული ნახაზი:
დავნიშნოთ ამისთვის. რა არის სამკუთხედის კუთხეების ჯამი? ?
Ჩვენ ვიყენებთ:
ესე იგი პასუხი: .
ადვილია, არა? მაღლა ასვლაც არ მომიწია.
დავალება 2(ასევე არ არის ძალიან რთული, მაგრამ თქვენ უნდა გაიმეოროთ თემა)
სამკუთხედში, Პოვნა.
Ჩვენ ვწყვეტთ:
სამკუთხედი არის ტოლფერდა! ჩვენ ვხატავთ სიმაღლეს (ეს არის აქცენტი, რომლის დახმარებითაც ყველაფერი გადაწყდება ახლა).
ახლა "ჩვენ ვშლით ცხოვრებიდან", განვიხილავთ მხოლოდ.
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
ჩვენ ვიხსენებთ კოსინუსების ცხრილის მნიშვნელობებს (კარგად, ან შეხედეთ მოტყუების ფურცელს ...)
რჩება პოვნა: .
პასუხი: .
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ აქ ვართ ძალიანსაჭირო ცოდნა მართკუთხა სამკუთხედის და "ტაბულური" სინუსებისა და კოსინუსების შესახებ. ძალიან ხშირად ასე ხდება: თემები, „ისოსკელური სამკუთხედი“ და თავსატეხები შეფუთულია, მაგრამ ისინი არ არიან ძალიან მეგობრული სხვა თემებთან.
Ტოლფერდა სამკუთხედი. საშუალო დონე.
ესენი ორი თანაბარი მხარედაურეკა მხარეები, ა მესამე მხარე არის ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძე.
შეხედეთ სურათს: და - გვერდები, - ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძე.
მოდი ვნახოთ ერთ სურათზე, რატომ არის ასე. დახაზეთ სიმაღლე წერტილიდან.
ეს ნიშნავს, რომ ყველა შესაბამისი ელემენტი თანაბარია.
ყველაფერი! ერთი დარტყმით (სიმაღლე) ყველა განცხადება ერთდროულად დადასტურდა.
და გახსოვთ: ტოლფერდა სამკუთხედის პრობლემის გადასაჭრელად ხშირად ძალიან სასარგებლოა სიმაღლის დაწევა ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძემდე და მისი დაყოფა ორ თანაბარ მართკუთხა სამკუთხედად.
ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშნები
საპირისპირო განცხადებები ასევე მართალია:
თითქმის ყველა ეს განცხადება შეიძლება კიდევ ერთხელ დადასტურდეს "ერთი დარტყმით".
1. მაშ ასე, v ტოლი აღმოჩნდა და.
ავიღოთ სიმაღლე. მერე
2. ა) ახლა შემოვუშვათ რაიმე სამკუთხედი იგივე სიმაღლე და ბისექტორი.
2. ბ) ხოლო თუ სიმაღლე და მედიანა ერთნაირია? ყველაფერი თითქმის იგივეა, არაფერი უფრო რთული!
 |
- ორ ფეხზე |
2. გ) მაგრამ თუ სიმაღლე არ არის, რომელიც დაშვებულია ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძემდე, მაშინ თავდაპირველად მართკუთხა სამკუთხედები არ არსებობს. ცუდად!
მაგრამ არსებობს გამოსავალი - წაიკითხეთ ეს თეორიის შემდეგ დონეზე, რადგან აქ მტკიცებულება უფრო რთულია, მაგრამ ახლა გახსოვდეთ, რომ თუ მედიანა და ბისექტორი ემთხვევა, მაშინ სამკუთხედი ასევე იქნება ტოლფერდა, ხოლო სიმაღლე - მაინც ემთხვევა ამ ბისექტორს და მედიანას.
Შეჯამება:
- თუ სამკუთხედი ტოლფერდაა, მაშინ ფუძესთან არსებული კუთხეები ტოლია, ხოლო სიმაღლე, ბისექტორი და შუამავლები, რომლებიც ფუძესთან არის დახატული, იგივეა.
- თუ რომელიმე სამკუთხედში არის ორი თანაბარი კუთხე, ან სამი წრფედან ორი (ბისექტორი, მედიანა, სიმაღლე) ემთხვევა, მაშინ ასეთი სამკუთხედი ტოლფერდაა.
Ტოლფერდა სამკუთხედი. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულები
ტოლფერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი გვერდი.
ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშნები:
- თუ სამკუთხედს აქვს ორი თანაბარი კუთხე, მაშინ ის ტოლფერდაა.
- თუ რომელიმე სამკუთხედში ემთხვევა:
ა) სიმაღლე და ბისექტორიან
ბ) სიმაღლე და მედიანაან
in) მედიანა და ბისექტორი,
ერთ მხარეს დახატული, მაშინ ასეთი სამკუთხედი არის ტოლფერდა.
დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!
გახდი YouClever-ის სტუდენტი,
მოემზადეთ OGE-სთვის ან მათემატიკაში გამოყენებისთვის "თვეში ერთი ფინჯანი ყავის" ფასად.
ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" სასწავლო პროგრამაზე (გადაწყვეტილების წიგნი), შეუზღუდავი საცდელი USE და OGE, 6000 დავალება გადაწყვეტილებების ანალიზით და სხვა YouClever და 100gia სერვისებით.
ჩვენი ცივილიზაციის პირველი ისტორიკოსები - ძველი ბერძნები - ახსენებენ ეგვიპტეს, როგორც გეომეტრიის სამშობლოს. ძნელია არ დაეთანხმო მათ, იცის რა საოცარი სიზუსტით იყო აღმართული ფარაონების გიგანტური სამარხები. პირამიდების სიბრტყეების ურთიერთგანლაგება, მათი პროპორციები, ორიენტაცია კარდინალურ წერტილებზე - წარმოუდგენელი იქნებოდა ასეთი სრულყოფის მიღწევა გეომეტრიის საფუძვლების ცოდნის გარეშე.
თვით სიტყვა "გეომეტრია" შეიძლება ითარგმნოს როგორც "დედამიწის გაზომვა". უფრო მეტიც, სიტყვა "დედამიწა" ჩნდება არა როგორც პლანეტა - მზის სისტემის ნაწილი, არამედ როგორც თვითმფრინავი. სოფლის მეურნეობისთვის ტერიტორიების აღნიშვნა, სავარაუდოდ, არის გეომეტრიული ფორმების, მათი ტიპებისა და თვისებების მეცნიერების ძალიან ორიგინალური საფუძველი.
სამკუთხედი არის პლანიმეტრიის უმარტივესი სივრცითი ფიგურა, რომელიც შეიცავს მხოლოდ სამ წერტილს - წვეროებს (არანაკლებია). საძირკვლის საფუძველი, ალბათ, სწორედ ამიტომ ჩანს მასში რაღაც იდუმალი და უძველესი. სამკუთხედის შიგნით ყოვლისმომცველი თვალი ერთ-ერთი ყველაზე ადრეული ცნობილი ოკულტური ნიშანია და მისი გავრცელების გეოგრაფია და დროის ჩარჩო უბრალოდ გასაოცარია. ძველი ეგვიპტური, შუმერული, აცტეკებისა და სხვა ცივილიზაციებიდან დაწყებული ოკულტის მოყვარულთა უფრო თანამედროვე საზოგადოებებამდე, რომლებიც მიმოფანტულია მთელს მსოფლიოში.
რა არის სამკუთხედები
ჩვეულებრივი სკალენური სამკუთხედი არის დახურული გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სხვადასხვა სიგრძისა და სამი კუთხის სამი სეგმენტისგან, რომელთაგან არცერთი არ არის სწორი. გარდა ამისა, არსებობს რამდენიმე სპეციალური ტიპი.
მახვილ სამკუთხედს ყველა კუთხე აქვს 90 გრადუსზე ნაკლები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი სამკუთხედის ყველა კუთხე მწვავეა.
მართკუთხა სამკუთხედს, რომელზეც სკოლის მოსწავლეები ყოველთვის ტიროდნენ თეორემების სიმრავლის გამო, აქვს ერთი კუთხე 90 გრადუსიანი მნიშვნელობით, ან, როგორც მას ასევე უწოდებენ, მართი.
ბლაგვი სამკუთხედი გამოირჩევა იმით, რომ მისი ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, ანუ მისი მნიშვნელობა 90 გრადუსზე მეტია.
ტოლგვერდა სამკუთხედს აქვს ერთი და იგივე სიგრძის სამი გვერდი. ასეთ ფიგურაში ყველა კუთხე ასევე თანაბარია.
და ბოლოს, სამი გვერდის ტოლფერდა სამკუთხედში ორი ერთმანეთის ტოლია.
Გამორჩეული მახასიათებლები
ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები ასევე განაპირობებს მის მთავარ, მთავარ განსხვავებას - ორი გვერდის თანასწორობას. ამ თანაბარ გვერდებს ჩვეულებრივ უწოდებენ თეძოებს (ან, უფრო ხშირად, გვერდებს), მაგრამ მესამე მხარეს ეწოდება "ბაზა".
განხილულ ფიგურაში a = b.
ტოლფერდა სამკუთხედის მეორე ნიშანი მომდინარეობს სინუსების თეორემიდან. ვინაიდან a და b გვერდები ტოლია, მათი საპირისპირო კუთხის სინუსებიც ტოლია:
a/sin γ = b/sin α, საიდანაც გვაქვს: sin γ = sin α.
სინუსების ტოლობიდან გამომდინარეობს კუთხეების ტოლობა: γ = α.
ასე რომ, ტოლფერდა სამკუთხედის მეორე ნიშანი არის ფუძის მიმდებარე ორი კუთხის თანასწორობა.
მესამე ნიშანი. სამკუთხედში გამოიყოფა ისეთი ელემენტები, როგორიცაა სიმაღლე, ბისექტორი და მედიანა.
თუ ამოცანის ამოხსნის პროცესში აღმოჩნდება, რომ განხილულ სამკუთხედში ამ ელემენტებიდან რომელიმე ორი ემთხვევა: სიმაღლე ბისექტორთან; ბისექტორი მედიანით; მედიანა სიმაღლით - ნამდვილად შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სამკუთხედი არის ტოლფერდა.
ფიგურის გეომეტრიული თვისებები
1. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები. ფიგურის ერთ-ერთი გამორჩეული თვისებაა ფუძის მიმდებარე კუთხეების თანასწორობა:
<ВАС = <ВСА.
2. ზემოთ განხილული კიდევ ერთი თვისება: ტოლფერდა სამკუთხედში მედიანა, ბისექტორი და სიმაღლე იგივეა, თუ ისინი აგებულია მისი ზემოდან ფუძემდე.
3. ფუძეზე მდებარე წვეროებიდან გამოყვანილი ბისექტორების ტოლობა:
თუ AE არის BAC კუთხის ბისექტორი და CD არის BCA კუთხის ბისექტორი, მაშინ: AE = DC.
4. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები ასევე ითვალისწინებს სიმაღლეების ტოლობას, რომლებიც გამოყვანილია ფუძის წვეროებიდან.
თუ სამკუთხედის ABC (სადაც AB = BC) სიმაღლეებს ავაგებთ A და C წვეროებიდან, მაშინ მიღებული სეგმენტები CD და AE ტოლი იქნება.
5. ძირში კუთხეებიდან გამოყვანილი მედიანებიც თანაბარი აღმოჩნდება.
ასე რომ, თუ AE და DC არის მედიანები, ანუ AD = DB და BE = EC, მაშინ AE = DC.
ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე
მათთან გვერდებისა და კუთხეების თანასწორობა გარკვეულ მახასიათებლებს შემოაქვს მოცემული ფიგურის ელემენტების სიგრძის გამოთვლაში.
ტოლფერდა სამკუთხედში სიმაღლე ყოფს ფიგურას 2 სიმეტრიულ მართკუთხა სამკუთხედად, რომელთა ჰიპოტენუსებია გვერდები. სიმაღლე ამ შემთხვევაში განისაზღვრება პითაგორას თეორემის მიხედვით, როგორც ფეხი.
სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს სამივე გვერდი ტოლი, მაშინ მას ტოლგვერდა ეძახიან. ტოლგვერდა სამკუთხედში სიმაღლე განისაზღვრება ანალოგიურად, მხოლოდ გამოთვლებისთვის საკმარისია მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის ცოდნა - ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძე.
თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ სიმაღლე სხვა გზით, მაგალითად, იცოდეთ ბაზა და მის მიმდებარე კუთხე.
ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა
განხილული სამკუთხედის ტიპი, გეომეტრიული მახასიათებლების გამო, წყდება საკმაოდ მარტივად საწყისი მონაცემების მინიმალური ნაკრებით. ვინაიდან ტოლფერდა სამკუთხედში მედიანა უდრის როგორც მის სიმაღლეს, ასევე მის ბისექტორს, მისი განსაზღვრის ალგორითმი არაფრით განსხვავდება ამ ელემენტების გამოთვლის თანმიმდევრობისგან.
მაგალითად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მედიანის სიგრძე ცნობილი გვერდითი გვერდით და კუთხის მნიშვნელობით წვეროზე.
როგორ განვსაზღვროთ პერიმეტრი
ვინაიდან განსახილველ პლანიმეტრულ ფიგურას ორი გვერდი ყოველთვის ტოლია, პერიმეტრის დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ ფუძის სიგრძე და ერთ-ერთი მხარის სიგრძე.
განვიხილოთ მაგალითი, როდესაც საჭიროა სამკუთხედის პერიმეტრის განსაზღვრა ცნობილი ფუძისა და სიმაღლის გათვალისწინებით.
პერიმეტრი უდრის ფუძის ჯამს და გვერდის სიგრძის ორჯერ. გვერდითი მხარე, თავის მხრივ, განისაზღვრება პითაგორას თეორემის გამოყენებით, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. მისი სიგრძე უდრის სიმაღლის კვადრატისა და ფუძის ნახევარის კვადრატის ჯამის კვადრატულ ფესვს.
ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი
არ იწვევს, როგორც წესი, სირთულეებს და ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლას. სამკუთხედის ფართობის დადგენის უნივერსალური წესი, როგორც ფუძის ნამრავლის ნახევრად და მისი სიმაღლე, გამოიყენება, რა თქმა უნდა, ჩვენს შემთხვევაში. თუმცა, ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები კვლავ აადვილებს ამოცანას.
დავუშვათ, რომ ვიცით სიმაღლე და ფუძის მიმდებარე კუთხე. თქვენ უნდა განსაზღვროთ ფიგურის ფართობი. თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება ამ გზით.
ვინაიდან ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180°-ია, კუთხის სიდიდის დადგენა რთული არ არის. გარდა ამისა, სინუსების თეორემის მიხედვით შედგენილი პროპორციის გამოყენებით, განისაზღვრება სამკუთხედის ფუძის სიგრძე. ყველაფერი, ბაზა და სიმაღლე - საკმარისი მონაცემები ფართობის დასადგენად - ხელმისაწვდომია.
ტოლფერდა სამკუთხედის სხვა თვისებები
ტოლფერდა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრის პოზიცია დამოკიდებულია წვეროს კუთხეზე. ასე რომ, თუ ტოლფერდა სამკუთხედი მახვილკუთხაა, წრის ცენტრი მდებარეობს ფიგურის შიგნით.
ბლაგვი ტოლფერდა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი მის გარეთ მდებარეობს. და ბოლოს, თუ წვეროზე კუთხე 90°-ია, ცენტრი ზუსტად ფუძის შუაშია და წრის დიამეტრი თავად ფუძეს გადის.
იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ წრის რადიუსი, რომელიც შემოხაზულია ტოლფერდა სამკუთხედზე, საკმარისია გვერდითი გვერდის სიგრძე გავყოთ წვეროზე მდებარე კუთხის ნახევრის კოსინუსზე.
ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები გამოხატავს შემდეგ თეორემებს.
თეორემა 1. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.
თეორემა 2. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიყვანილი ბისექტორი არის შუასა და სიმაღლეზე.
თეორემა 3. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიყვანილი მედიანა არის ბისექტორი და სიმაღლე.
თეორემა 4. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიზიდული სიმაღლე არის ბისექტორი და მედიანა.
მოდით დავამტკიცოთ ერთი მათგანი, მაგალითად, თეორემა 2.5.
მტკიცებულება. განვიხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედი ABC BC ფუძით და დაადასტურეთ, რომ ∠ B = ∠ C. მოდით იყოს AD სამკუთხედის ABC (ნახ. 1). სამკუთხედები ABD და ACD ტოლია სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნის მიხედვით (AB = AC პირობით, AD არის საერთო გვერდი, ∠ 1 = ∠ 2, რადგან AD არის ბისექტორი). ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ B = ∠ C. თეორემა დადასტურებულია.
თეორემა 1-ის გამოყენებით ვაყალიბებთ შემდეგ თეორემას.
თეორემა 5. სამკუთხედების ტოლობის მესამე კრიტერიუმი. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები ტოლია (ნახ. 2).
კომენტარი. 1 და 2 მაგალითებში ჩამოყალიბებული წინადადებები გამოხატავს მონაკვეთის პერპენდიკულარული ბისექტრის თვისებებს. ამ წინადადებებიდან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება.
მაგალითი 1დაამტკიცეთ, რომ სიბრტყის წერტილი, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან, დევს ამ მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.
გადაწყვეტილება. წერტილი M იყოს თანაბრად დაშორებული AB სეგმენტის ბოლოებიდან (ნახ. 3), ანუ AM = VM.
მაშინ ΔAMV არის ტოლფერდა. გავავლოთ p წრფე M წერტილსა და AB სეგმენტის O შუა წერტილში. კონსტრუქციით სეგმენტი MO არის AMB ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა და, შესაბამისად, (თეორემა 3), ხოლო სიმაღლე, ანუ სწორი ხაზი MO, არის AB სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი.
მაგალითი 2დაამტკიცეთ, რომ მონაკვეთის პერპენდიკულარული ბისექტრის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული მისი ბოლოებისგან.
გადაწყვეტილება. დავუშვათ, p იყოს AB სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი, ხოლო O წერტილი AB სეგმენტის შუა წერტილი (იხ. სურ. 3).
განვიხილოთ თვითნებური წერტილი M, რომელიც მდებარეობს p წრფეზე. დავხატოთ სეგმენტები AM და VM. სამკუთხედები AOM და VOM ტოლია, რადგან მათი კუთხეები O წვეროზე სწორია, ფეხი OM საერთოა, ხოლო ფეხი OA ტოლია OB ფეხის მდგომარეობის მიხედვით. სამკუთხედების AOM და BOM ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ AM = BM.
მაგალითი 3სამკუთხედში ABC (იხ. სურ. 4) AB \u003d 10 სმ, BC \u003d 9 სმ, AC \u003d 7 სმ; სამკუთხედში DEF DE = 7 სმ, EF = 10 სმ, FD = 9 სმ.
შეადარეთ სამკუთხედები ABC და DEF. იპოვეთ შესაბამისი ტოლი კუთხეები.
გადაწყვეტილება. მესამე კრიტერიუმში ეს სამკუთხედები ტოლია. შესაბამისად, თანაბარი კუთხეები: A და E (ისინი დგანან BC და FD ტოლი გვერდების საპირისპიროდ), B და F (ისინი დგანან AC და DE ტოლი გვერდების საპირისპიროდ), C და D (ისინი დევს ტოლი გვერდების AB და EF საპირისპიროდ).
მაგალითი 4ფიგურაში 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
იპოვეთ კუთხე D.
გადაწყვეტილება. განვიხილოთ სამკუთხედები ABC და ADC. ისინი ტოლია მესამე მახასიათებელში (AB = DC, BC = AD პირობით და გვერდითი AC საერთოა). ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ B = ∠ D, მაგრამ B კუთხე არის 100°, შესაბამისად კუთხე D არის 100°.
მაგალითი 5ტოლკუთხედის ABC სამკუთხედში AC ფუძით, გარე კუთხე C წვეროზე არის 123°. იპოვეთ კუთხე ABC. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.
ვიდეო გადაწყვეტა.
