§ერთი. წრფივი განტოლებათა სისტემები.

ხედვის სისტემა

სისტემას უწოდებენ მწრფივი განტოლებები ნუცნობი.

Აქ
- უცნობი, - კოეფიციენტები უცნობისთვის,
- განტოლებების თავისუფალი წევრები.

თუ განტოლების ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, სისტემა ეწოდება ერთგვაროვანი.გადაწყვეტილებასისტემას ეწოდება რიცხვების ერთობლიობა
, როდესაც ისინი ცვლის მათ სისტემაში უცნობის ნაცვლად, ყველა განტოლება იქცევა იდენტებად. სისტემა ე.წ ერთობლივითუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც. უნიკალური ხსნარის მქონე ერთობლივ სისტემას ე.წ გარკვეული. ორ სისტემას ე.წ ექვივალენტითუ მათი ამონახსნები ერთნაირია.

სისტემა (1) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით განტოლების გამოყენებით

(2)

.

§2. წრფივი განტოლებათა სისტემების თავსებადობა.

სისტემის გაფართოებულ მატრიცას (1) ჩვენ ვუწოდებთ მატრიცას

კრონეკერი - კაპელის თეორემა. სისტემა (1) თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის:

.

§3. სისტემური გადაწყვეტან წრფივი განტოლებებინ უცნობი.

განვიხილოთ არაჰომოგენური სისტემა ნწრფივი განტოლებები ნუცნობი:

(3)

კრამერის თეორემა.თუ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი (3)
, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რომელიც განისაზღვრება ფორმულებით:

იმათ.
,

სადაც - დეტერმინანტისგან მიღებული განმსაზღვრელი ჩანაცვლება ე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტამდე.

Თუ
და ერთი მაინც ≠0, მაშინ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

Თუ
, მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

სისტემის (3) ამოხსნა შესაძლებელია მისი მატრიცული აღნიშვნის (2) გამოყენებით. თუ მატრიცის რანგი მაგრამუდრის ნ, ე.ი.
, შემდეგ მატრიცა მაგრამაქვს შებრუნებული
. მატრიცული განტოლების გამრავლება
მატრიცამდე
მარცხნივ ვიღებთ:

.

ბოლო ტოლობა გამოხატავს წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის გზას შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით.

მაგალითი.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით.

გამოსავალი. მატრიცა
არადეგენერატი, რადგან
ასე რომ, არსებობს შებრუნებული მატრიცა. გამოვთვალოთ შებრუნებული მატრიცა:
.

,

ვარჯიში. სისტემის ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

§ოთხი. წრფივი განტოლებათა თვითნებური სისტემების ამოხსნა.

მიეცით (1) ფორმის წრფივი განტოლებათა არაერთგვაროვანი სისტემა.

დავუშვათ, რომ სისტემა თანმიმდევრულია, ე.ი. კრონეკერ-კაპელის თეორემის პირობა შესრულებულია:
. თუ მატრიცის რანგი
(უცნობების რაოდენობამდე), მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. Თუ
, მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. ავხსნათ.

მოდით მატრიცის რანგი რ(ა)= რ< ნ. Იმიტომ რომ
, მაშინ არსებობს რიგის არანულოვანი მინორი რ. მოდით ვუწოდოთ მას ძირითადი მინორი. უცნობებს, რომელთა კოეფიციენტები ქმნიან ძირითად მინორს, ეწოდება ძირითადი ცვლადები. დარჩენილ უცნობებს თავისუფალ ცვლადებს უწოდებენ. ჩვენ გადავაწყობთ განტოლებებს და გადავრიცხავთ ცვლადებს ისე, რომ ეს მინორი მდებარეობს სისტემის მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში:

.

Პირველი რრიგები წრფივად დამოუკიდებელია, დანარჩენი მათი მეშვეობით არის გამოხატული. ამიტომ, ეს ხაზები (განტოლებები) შეიძლება გაუქმდეს. ჩვენ ვიღებთ:

თავისუფალ ცვლადებს მივცეთ თვითნებური რიცხვითი მნიშვნელობები: . მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ ძირითად ცვლადებს, ხოლო თავისუფალ ცვლადებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს.

მიიღო სისტემა რწრფივი განტოლებები რუცნობი, რომლის განმსაზღვრელი განსხვავდება 0-ისგან. მას აქვს უნიკალური ამონახსნი.

ამ სისტემას ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი (1). წინააღმდეგ შემთხვევაში: საბაზისო ცვლადების გამოხატვა თავისუფალი მნიშვნელობით ეწოდება საერთო გადაწყვეტასისტემები. მისგან შეგიძლიათ მიიღოთ უსასრულო რიცხვი პირადი გადაწყვეტილებები, თავისუფალ ცვლადებს ანიჭებს თვითნებურ მნიშვნელობებს. ზოგადიდან მიღებული კონკრეტული ამონახსნი თავისუფალი ცვლადების ნულოვან მნიშვნელობებზე ეწოდება ძირითადი გადაწყვეტა. სხვადასხვა ძირითადი გადაწყვეტილებების რაოდენობა არ აღემატება
. ბაზისური ხსნარი არაუარყოფითი კომპონენტებით ეწოდება გადამწყვეტისისტემური გადაწყვეტა.

მაგალითი.

,რ=2.

ცვლადები
- ძირითადი,
- უფასო.

დავამატოთ განტოლებები; გამოხატოს
მეშვეობით
:

- საერთო გადაწყვეტილება.

- პირადი გადაწყვეტა
.

- ძირითადი გამოსავალი, ძირითადი.

§5. გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი უნივერსალური მეთოდია წრფივი განტოლებების თვითნებური სისტემების შესწავლისა და ამოხსნისთვის. იგი მოიცავს სისტემის დიაგონალურ (ან სამკუთხა) ფორმამდე მიყვანას უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრის გზით ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, რომლებიც არ არღვევენ სისტემების ეკვივალენტობას. ცვლადი ითვლება გამორიცხულად, თუ იგი შეიცავს სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებას კოეფიციენტით 1.

ელემენტარული გარდაქმნებისისტემებია:

განტოლების გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;

რომელიმე რიცხვზე გამრავლებული განტოლების სხვა განტოლებასთან დამატება;

განტოლებათა გადაწყობა;

0 = 0 განტოლების ამოღება.

ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება შესრულდეს არა განტოლებებზე, არამედ მიღებული ეკვივალენტური სისტემების გაფართოებულ მატრიცებზე.

მაგალითი.

გამოსავალი.ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

.

ელემენტარული გარდაქმნების შესრულებისას მატრიცის მარცხენა მხარეს მივყავართ ერთეულ ფორმამდე: შევქმნით ერთეულებს მთავარ დიაგონალზე, ხოლო ნულებს მის გარეთ.

კომენტარი. თუ ელემენტარული გარდაქმნების შესრულებისას 0-ის ფორმის განტოლება = მდე(სად რომ0), მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდით შეიძლება ფორმალიზებული იყოს სახით მაგიდები.

ცხრილის მარცხენა სვეტი შეიცავს ინფორმაციას გამორიცხული (ძირითადი) ცვლადების შესახებ. დარჩენილი სვეტები შეიცავს უცნობების კოეფიციენტებს და განტოლებების თავისუფალ წევრებს.

სისტემის გაფართოებული მატრიცა იწერება წყაროს ცხრილში. შემდეგი, გააგრძელეთ იორდანიის ტრანსფორმაციების განხორციელება:

1. აირჩიეთ ცვლადი , რომელიც გახდება საფუძველი. შესაბამის სვეტს საკვანძო სვეტი ეწოდება. შეარჩიეთ განტოლება, რომელშიც ეს ცვლადი დარჩება სხვა განტოლებიდან გამორიცხული. ცხრილის შესაბამის რიგს საკვანძო მწკრივი ეწოდება. კოეფიციენტი , რომელიც დგას საკვანძო მწკრივისა და საკვანძო სვეტის გადაკვეთაზე, ეწოდება გასაღები.

2. საკვანძო სტრიქონის ელემენტები იყოფა საკვანძო ელემენტზე.

3. გასაღების სვეტი ივსება ნულებით.

4. დარჩენილი ელემენტები გამოითვლება მართკუთხედის წესის მიხედვით. ისინი ქმნიან მართკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე წვეროებზე არის ძირითადი ელემენტი და ხელახლა გამოსათვლელი ელემენტი; საკვანძო ელემენტთან მართკუთხედის დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს აკლდება სხვა დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი, შედეგად მიღებული განსხვავება იყოფა საკვანძო ელემენტზე.

მაგალითი. იპოვეთ განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა და ძირითადი ამონახსნი:

გამოსავალი.

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა:

ძირითადი გადაწყვეტა:
.

ერთჯერადი ჩანაცვლებითი ტრანსფორმაცია საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს სისტემის ერთი საფუძვლიდან მეორეზე: ერთ-ერთი მთავარი ცვლადის ნაცვლად, ერთ-ერთი თავისუფალი ცვლადი შედის ბაზაში. ამისათვის შეირჩევა საკვანძო ელემენტი თავისუფალ ცვლადის სვეტში და ტრანსფორმაციები ხორციელდება ზემოაღნიშნული ალგორითმის მიხედვით.

§6. დამხმარე გადაწყვეტილებების პოვნა

წრფივი განტოლებათა სისტემის საცნობარო ამონახსნები არის ძირითადი ამოხსნა, რომელიც არ შეიცავს უარყოფით კომპონენტებს.

სისტემის დამხმარე გადაწყვეტილებები ნაპოვნია გაუსის მეთოდით შემდეგ პირობებში.

1. თავდაპირველ სისტემაში ყველა უფასო პირობა უნდა იყოს არაუარყოფითი:
.

2. ძირითადი ელემენტი არჩეულია დადებით კოეფიციენტებს შორის.

3. თუ საფუძველში შეყვანილ ცვლადს აქვს რამდენიმე დადებითი კოეფიციენტი, მაშინ საკვანძო სტრიქონი არის ის, რომელშიც თავისუფალი წევრის შეფარდება დადებით კოეფიციენტთან ყველაზე მცირეა.

შენიშვნა 1. თუ უცნობის აღმოფხვრის პროცესში ჩნდება განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი არაპოზიტიურია და თავისუფალი წევრი
, მაშინ სისტემას არ აქვს არაუარყოფითი გადაწყვეტილებები.

შენიშვნა 2. თუ თავისუფალი ცვლადების კოეფიციენტების სვეტებში არ არის ერთი დადებითი ელემენტი, მაშინ სხვა საცნობარო გადაწყვეტაზე გადასვლა შეუძლებელია.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა (SLAE) უდავოდ არის ხაზოვანი ალგებრის კურსის ყველაზე მნიშვნელოვანი თემა. მათემატიკის ყველა დარგიდან ამოცანების დიდი რაოდენობა მცირდება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნაზე. ეს ფაქტორები ხსნის ამ სტატიის შექმნის მიზეზს. სტატიის მასალა ისეა შერჩეული და სტრუქტურირებული, რომ მისი დახმარებით შეძლოთ

• აირჩიეთ ოპტიმალური მეთოდი თქვენი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად,
• შეისწავლეთ არჩეული მეთოდის თეორია,
• გადაწყვიტეთ თქვენი წრფივი განტოლებების სისტემა, დეტალურად განიხილეთ ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების ამონახსნები.

სტატიის მასალის მოკლე აღწერა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ყველა საჭირო განმარტებას, კონცეფციას და შემოგთავაზებთ რამდენიმე აღნიშვნას.

შემდეგ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდებს, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები. ჯერ კრამერის მეთოდზე გავამახვილოთ ყურადღება, მეორეც ვაჩვენებთ განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნის მატრიცულ მეთოდს და მესამედ გავაანალიზებთ გაუსის მეთოდს (უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი). თეორიის გასამყარებლად, ჩვენ აუცილებლად მოვაგვარებთ რამდენიმე SLAE-ს სხვადასხვა გზით.

ამის შემდეგ მივმართავთ ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნას, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა დეგენერირებულია. ჩვენ ვაყალიბებთ კრონეკერ-კაპელის თეორემას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ SLAE-ების თავსებადობა. მოდით გავაანალიზოთ სისტემების ამოხსნა (მათი თავსებადობის შემთხვევაში) მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფციის გამოყენებით. ჩვენ ასევე განვიხილავთ გაუსის მეთოდს და დეტალურად აღვწერთ მაგალითების ამონახსნებს.

დარწმუნდით, რომ ყურადღება მიაქციეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი სისტემების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურას. მოდით მივცეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის კონცეფცია და ვაჩვენოთ, როგორ იწერება SLAE-ის ზოგადი ამონახსნები ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით. უკეთესი გაგებისთვის, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

დასასრულს, განვიხილავთ განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შემცირებულია წრფივზე, ასევე სხვადასხვა ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტისას წარმოიქმნება SLAE.

გვერდის ნავიგაცია.

განმარტებები, ცნებები, აღნიშვნები.

განვიხილავთ p წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებს n უცნობი ცვლადით (p შეიძლება ტოლი იყოს n-ის) ფორმის

უცნობი ცვლადები, - კოეფიციენტები (ზოგიერთი რეალური ან რთული რიცხვი), - თავისუფალი წევრები (ასევე რეალური ან რთული რიცხვები).

SLAE-ის ამ ფორმას ე.წ კოორდინაცია.

AT მატრიცის ფორმაგანტოლებათა ამ სისტემას აქვს ფორმა,
სადაც - სისტემის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების მატრიცა-სვეტი, - თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტი.

თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ,

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნითეწოდება უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტურებად. უცნობი ცვლადების მოცემული მნიშვნელობების მატრიცული განტოლება ასევე იქცევა იდენტურობაში.

თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას უწოდებენ ერთობლივი.

თუ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული; თუ არის ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ - გაურკვეველი.

თუ სისტემის ყველა განტოლების თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია , მაშინ სისტემას ეძახიან ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნა.

თუ სისტემის განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ასეთ SLAE-ებს დავარქმევთ. ელემენტარული. განტოლებათა ასეთ სისტემებს აქვთ უნიკალური ამონახსნები და ერთგვაროვანი სისტემის შემთხვევაში ყველა უცნობი ცვლადი ნულის ტოლია.

ასეთი SLAE-ის შესწავლა საშუალო სკოლაში დავიწყეთ. მათი ამოხსნისას ავიღეთ ერთი განტოლება, გამოვხატეთ ერთი უცნობი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩავანაცვლეთ დარჩენილ განტოლებებში, შემდეგ ავიღეთ შემდეგი განტოლება, გამოვხატეთ შემდეგი უცნობი ცვლადი და ჩავანაცვლეთ სხვა განტოლებებით და ა.შ. ან გამოიყენეს შეკრების მეთოდი, ანუ დაამატეს ორი ან მეტი განტოლება ზოგიერთი უცნობი ცვლადის აღმოსაფხვრელად. ამ მეთოდებზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, რადგან ისინი არსებითად გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციებია.

წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია კრამერის მეთოდი, მატრიცული მეთოდი და გაუსის მეთოდი. მოდით დაალაგოთ ისინი.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

დაგვჭირდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა

რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობი ცვლადების რაოდენობის ტოლია და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, ანუ .

მოდით იყოს სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი და არის მატრიცების განმსაზღვრელი, რომლებიც მიიღება A-დან ჩანაცვლებით 1-ლი, მე-2, ..., მე-რსვეტი, შესაბამისად, თავისუფალი წევრების სვეტში:

ასეთი აღნიშვნით უცნობი ცვლადები გამოითვლება კრამერის მეთოდის ფორმულებით როგორც . ასე მოიძებნება წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი კრამერის მეთოდით.

მაგალითი.

კრამერის მეთოდი .

გამოსავალი.

სისტემის ძირითად მატრიცას აქვს ფორმა . გამოთვალეთ მისი განმსაზღვრელი (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

ვინაიდან სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით.

შეადგინეთ და გამოთვალეთ საჭირო დეტერმინანტები (განმსაზღვრელი მიიღება A მატრიცაში პირველი სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით, განმსაზღვრელი - მეორე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით, - A მატრიცის მესამე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. ):

უცნობი ცვლადების პოვნა ფორმულების გამოყენებით :

პასუხი:

კრამერის მეთოდის მთავარი მინუსი (თუ შეიძლება მას მინუსად ვუწოდოთ) არის დეტერმინანტების გამოთვლის სირთულე, როდესაც სისტემის განტოლებათა რაოდენობა სამზე მეტია.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

მოდით, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა მატრიცის სახით იყოს მოცემული, სადაც A მატრიცას აქვს განზომილება n-ზე n-ზე და მისი განმსაზღვრელი არის არანულოვანი.

ვინაიდან , მაშინ მატრიცა A არის შექცევადი, ანუ არსებობს შებრუნებული მატრიცა. თუ ტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ მარცხნივ, მაშინ მივიღებთ ფორმულას უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცის საპოვნელად. ასე მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი მატრიცული მეთოდით.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდი.

გამოსავალი.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით:

იმიტომ რომ

მაშინ SLAE შეიძლება ამოხსნას მატრიცული მეთოდით. ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით, ამ სისტემის გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს როგორც .

მოდით ავაშენოთ ინვერსიული მატრიცა A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატების მატრიცის გამოყენებით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

რჩება გამოთვლა - უცნობი ცვლადების მატრიცა შებრუნებული მატრიცის გამრავლებით თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტზე (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

პასუხი:

ან სხვა აღნიშვნით x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

მატრიცული მეთოდით წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამონახსნების ძიების მთავარი პრობლემა არის შებრუნებული მატრიცის პოვნის სირთულე, განსაკუთრებით მესამეზე მაღალი რიგის კვადრატული მატრიცებისთვის.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამონახსნი n წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის n უცნობი ცვლადით
რომლის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან.

გაუსის მეთოდის არსიშედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული გამორიცხვაში: ჯერ x 1 გამოირიცხება სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული, შემდეგ x 2 გამოირიცხება ყველა განტოლებიდან, დაწყებული მესამედან და ასე შემდეგ, სანამ მხოლოდ უცნობი ცვლადია. x n რჩება ბოლო განტოლებაში. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის სისტემის განტოლებების გარდაქმნის ასეთ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. გაუსის მეთოდის წინ გაშვების დასრულების შემდეგ, x n მოიძებნება ბოლო განტოლებიდან, x n-1 გამოითვლება ბოლო განტოლებიდან ამ მნიშვნელობის გამოყენებით და ასე შემდეგ, x 1 გვხვდება პირველი განტოლებიდან. სისტემის ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების გამოთვლის პროცესს ეწოდება საპირისპირო გაუსის მეთოდი.

მოდით მოკლედ აღვწეროთ უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ალგორითმი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით გამოვხატავთ x 1-ს და მიღებული გამონათქვამი შევცვლით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დავუმატოთ მეორეზე გამრავლებული განტოლება, მეოთხე განტოლებას დავუმატოთ მეორეზე გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც x n-ის მიღებული მნიშვნელობის გამოყენებით, ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს. პირველი განტოლება.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1. ამისათვის, მეორე და მესამე განტოლების ორივე ნაწილს ვამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, გამრავლებული და შესაბამისად:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ x 2-ს მესამე განტოლებიდან მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დავუმატოთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, გამრავლებული:

ამაზე დასრულებულია გაუსის მეთოდის წინა კურსი, ვიწყებთ საპირისპირო კურსს.

განტოლებათა სისტემის ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ x 3:

მეორე განტოლებიდან ვიღებთ.

პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ დარჩენილ უცნობ ცვლადს და ამით სრულდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.

პასუხი:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა.

ზოგად შემთხვევაში, p სისტემის განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას n:

ასეთ SLAE-ებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, ჰქონდეთ ერთი გამოსავალი ან უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი. ეს განცხადება ასევე ეხება განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის კვადრატული და გადაგვარებული.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პოვნამდე აუცილებელია მისი თავსებადობის დადგენა. პასუხი კითხვაზე, როდის არის SLAE თავსებადი და როდის შეუთავსებელი, იძლევა კრონეკერ-კაპელის თეორემა:
იმისათვის, რომ p განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი) თანმიმდევრული იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს გაფართოებული მატრიცის რანგის, ანუ რანგი( A)=რანგი(T) .

მაგალითისთვის განვიხილოთ კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის დასადგენად.

მაგალითი.

გაარკვიეთ აქვს თუ არა წრფივი განტოლებათა სისტემა გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი.

. გამოვიყენოთ არასრულწლოვანთა შემოსაზღვრების მეთოდი. მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. მოდით გადავხედოთ მის გარშემო არსებულ მესამე რიგის არასრულწლოვანებს:

ვინაიდან ყველა მოსაზღვრე მესამე რიგის მცირეწლოვანი უდრის ნულს, მთავარი მატრიცის წოდება არის ორი.

თავის მხრივ, გაზრდილი მატრიცის წოდება უდრის სამს, ვინაიდან მესამე რიგის მინორი

განსხვავდება ნულიდან.

Ამგვარად, Rang(A) , შესაბამისად, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი:

გადაწყვეტის სისტემა არ არსებობს.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ სისტემის შეუსაბამობის დადგენა კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით.

მაგრამ როგორ მოვძებნოთ SLAE-ის გამოსავალი, თუ დადგინდა მისი თავსებადობა?

ამისათვის ჩვენ გვჭირდება მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფცია და მატრიცის რანგის თეორემა.

A მატრიცის უმაღლესი რიგის მინორი, გარდა ნულისა, ეწოდება ძირითადი.

საბაზისო მინორის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი რიგი უდრის მატრიცის რანგს. არანულოვანი მატრიცისთვის A, შეიძლება იყოს რამდენიმე ძირითადი მინორი; ყოველთვის არის ერთი ძირითადი მინორი.

მაგალითად, განიხილეთ მატრიცა .

ამ მატრიცის ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია, რადგან ამ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები არის პირველი და მეორე რიგების შესაბამისი ელემენტების ჯამი.

მეორე რიგის შემდეგი მცირე რაოდენობა ძირითადია, რადგან ისინი ნულოვანია

არასრულწლოვანთა არ არის ძირითადი, რადგან ისინი ნულის ტოლია.

მატრიცის რანგის თეორემა.

თუ p რიგის მატრიცის რანგი არის r, მაშინ მატრიცის მწკრივების (და სვეტების) ყველა ელემენტი, რომლებიც არ ქმნიან არჩეულ საფუძველს მინორი, წრფივად გამოხატულია მწკრივების (და სვეტების) შესაბამისი ელემენტების მიხედვით. ) რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს.

რას გვაძლევს მატრიცის რანგის თეორემა?

თუ კრონეკერ-კაპელის თეორემით დავადგინეთ სისტემის თავსებადობა, მაშინ ვირჩევთ სისტემის მთავარი მატრიცის ნებისმიერ ძირითად მინორს (მისი რიგი უდრის r) და გამოვრიცხავთ სისტემიდან ყველა განტოლებას, რომელიც არ არის შექმენით არჩეული ძირითადი მცირე. ამ გზით მიღებული SLAE იქნება თავდაპირველის ექვივალენტი, ვინაიდან გაუქმებული განტოლებები ჯერ კიდევ ზედმეტია (მატრიცის რანგის თეორემის მიხედვით, ისინი არის დარჩენილი განტოლებების წრფივი კომბინაცია).

შედეგად, სისტემის გადაჭარბებული განტოლებების გაუქმების შემდეგ შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

თუ მიღებულ სისტემაში r განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ ის იქნება განსაზღვრული და ერთადერთი ამონახსნი შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

მაგალითი.

.

გამოსავალი.

სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის ორს, ვინაიდან მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის ორს, რადგან მესამე რიგის ერთადერთი მინორი ნულის ტოლია

ხოლო ზემოთ განხილული მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. კრონეკერ-კაპელის თეორემაზე დაყრდნობით შეიძლება დავამტკიცოთ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის თავსებადობა, ვინაიდან რანგ(A)=Rank(T)=2 .

როგორც მინორის საფუძველს ვიღებთ . იგი იქმნება პირველი და მეორე განტოლების კოეფიციენტებით:


სისტემის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, ამიტომ მას გამოვრიცხავთ სისტემიდან მატრიცის რანგის თეორემაზე დაყრდნობით:


ამრიგად მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემა. მოდით გადავჭრათ კრემერის მეთოდით:


პასუხი:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

თუ R განტოლებათა რაოდენობა მიღებულ SLAE-ში ნაკლებია n უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ განტოლებების მარცხენა ნაწილებში ვტოვებთ ძირითად მინორის ფორმირებას, ხოლო დანარჩენ წევრებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა ნაწილებზე. სისტემა საპირისპირო ნიშნით.

განტოლებების მარცხენა მხარეს დარჩენილი უცნობი ცვლადები (არსებობს r) ეწოდება მთავარი.

უცნობ ცვლადებს (არის n - r), რომლებიც მთავრდება მარჯვენა მხარეს, ეწოდება უფასო.

ახლა ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები, ხოლო r მთავარი უცნობი ცვლადები გამოისახება თავისუფალი უცნობი ცვლადების სახით უნიკალური გზით. მათი გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს მიღებული SLAE-ის ამოხსნით კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა .

გამოსავალი.

იპოვეთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი მოსაზღვრე არასრულწლოვანთა მეთოდით. ავიღოთ 1 1 = 1, როგორც პირველი რიგის მინორი. დავიწყოთ ამ მინორის ირგვლივ არანულოვანი მეორე რიგის მინორის ძებნა:


ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ მეორე რიგის არანულოვანი მინორი. დავიწყოთ მესამე რიგის არანულოვანი მოსაზღვრე მინორის ძებნა:


ამრიგად, მთავარი მატრიცის წოდება არის სამი. გაძლიერებული მატრიცის წოდება ასევე უდრის სამს, ანუ სისტემა თანმიმდევრულია.

მესამე რიგის ნაპოვნი არანულოვანი მინორი მიიღება ძირითადში.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს:


სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ძირითად მინორში მონაწილე ტერმინებს, ხოლო დანარჩენს საპირისპირო ნიშნებით გადავცემთ მარჯვენა მხარეს:


ჩვენ ვაძლევთ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს x 2 და x 5 თვითნებურ მნიშვნელობებს, ანუ ვიღებთ , სადაც არის თვითნებური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, SLAE იღებს ფორმას


ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების მიღებულ ელემენტარულ სისტემას ვხსნით კრამერის მეთოდით:


შესაბამისად,.

პასუხში არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ უფასო უცნობი ცვლადები.

პასუხი:

სად არის თვითნებური რიცხვები.

შეაჯამეთ.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, პირველ რიგში გავარკვევთ მის თავსებადობას კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით. თუ მთავარი მატრიცის რანგი არ არის გაფართოებული მატრიცის რანგის ტოლი, მაშინ დავასკვნით, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია.

თუ ძირითადი მატრიცის წოდება ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორს და ვტოვებთ სისტემის განტოლებებს, რომლებიც არ მონაწილეობენ არჩეული ძირითადი მინორის ფორმირებაში.

თუ საბაზისო მინორის რიგი უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ SLAE-ს აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომლის პოვნაც ჩვენთვის ცნობილი ნებისმიერი მეთოდით შეიძლება.

თუ საბაზისო მინორის რიგი ნაკლებია უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ტერმინებს ძირითად უცნობი ცვლადებით, დარჩენილი ტერმინები გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს და ვანიჭებთ თვითნებურ მნიშვნელობებს. თავისუფალ უცნობ ცვლადებს. მიღებული წრფივი განტოლებათა სისტემიდან ჩვენ ვპოულობთ მთავარ უცნობ ცვლადებს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდის გამოყენებით, შესაძლებელია ნებისმიერი სახის წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემების ამოხსნა მათი წინასწარი გამოკვლევის გარეშე. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესი შესაძლებელს ხდის დასკვნის გაკეთებას SLAE-ის თავსებადობისა და შეუსაბამობის შესახებ და თუ გამოსავალი არსებობს, შესაძლებელს ხდის მის პოვნას.

გამოთვლითი მუშაობის თვალსაზრისით, სასურველია გაუსის მეთოდი.

მისი დეტალური აღწერა და გაანალიზებული მაგალითები იხილეთ სტატიაში გაუსის მეთოდი ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის.

ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის ჩაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთობლივ ერთგვაროვან და არაერთგვაროვან სისტემებზე, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ჯერ ერთგვაროვან სისტემებს გავუმკლავდეთ.

ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა p წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემა n უცნობი ცვლადებით არის ამ სისტემის (n – r) წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნების ერთობლიობა, სადაც r არის სისტემის მთავარი მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი.

თუ ერთგვაროვანი SLAE-ის წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს დავნიშნავთ, როგორც X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) არის n განზომილების მატრიცების სვეტები. 1-ით), მაშინ ამ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია თვითნებური მუდმივი კოეფიციენტებით С 1 , С 2 , …, С (n-r), ანუ .

რას ნიშნავს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ტერმინი (ოროსლაუ)?

მნიშვნელობა მარტივია: ფორმულა განსაზღვრავს ორიგინალური SLAE-ს ყველა შესაძლო ამონახსნებს, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იღებს თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობების C 1 , C 2 , ..., C (n-r) ფორმულის მიხედვით, მიიღებს ორიგინალური ერთგვაროვანი SLAE-ის ერთ-ერთ ხსნარს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ვიპოვით ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ამ ერთგვაროვანი SLAE-ის ყველა ამონახსნები, როგორც .

მოდით ვაჩვენოთ ხსნარების ფუნდამენტური სისტემის აგების პროცესი ერთგვაროვანი SLAE-სთვის.

ჩვენ ვირჩევთ წრფივი განტოლებათა ორიგინალური სისტემის ძირითად მინორს, გამოვრიცხავთ ყველა სხვა განტოლებას სისტემიდან და გადავიტანთ სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნებით ყველა ტერმინს, რომელიც შეიცავს თავისუფალ უცნობ ცვლადებს. მოდით, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცეთ მნიშვნელობები 1,0,0,…,0 და გამოვთვალოთ მთავარი უცნობი წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემის ნებისმიერი გზით ამოხსნით, მაგალითად, კრამერის მეთოდით. ამრიგად, მიიღება X (1) - ფუნდამენტური სისტემის პირველი ამონახსნი. თუ თავისუფალ უცნობებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,1,0,0,…,0 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (2) . Და ასე შემდეგ. თუ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,0,…,0,1 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (n-r) . ასე აშენდება ერთგვაროვანი SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და მისი ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს სახით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების არაჰომოგენური სისტემებისთვის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და წრფივი ალგებრული განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნი .

გამოსავალი.

წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემების მთავარი მატრიცის რანგი ყოველთვის ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის. მოდი ვიპოვოთ მთავარი მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა ფრინგის მეთოდით. როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი, ვიღებთ ელემენტს a 1 1 = 9 სისტემის მთავარი მატრიციდან. იპოვეთ მეორე რიგის მოსაზღვრე არა-ნულოვანი მინორი:

ნაპოვნია მეორე რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან. მოდით გავიაროთ მესამე რიგის არასრულწლოვანები, რომლებიც მას ესაზღვრება არა-ნულოვანის მოსაძებნად:

მესამე რიგის ყველა მოსაზღვრე არასრულწლოვანი უდრის ნულს, შესაბამისად, მთავარი და გაფართოებული მატრიცის წოდება არის ორი. ავიღოთ ძირითადი მინორი. სიცხადისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ სისტემის ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მას:

ორიგინალური SLAE-ის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, შესაბამისად, შეიძლება გამოირიცხოს:

ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ძირითად უცნობებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინებს გადავიტანთ თავისუფალი უცნობიებით მარჯვენა მხარეს:

მოდით ავაშენოთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი ერთგვაროვანი სისტემისთვის. ამ SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამონახსნისაგან, ვინაიდან თავდაპირველი SLAE შეიცავს ოთხ უცნობ ცვლადს და მისი ძირითადი მინორის რიგია ორი. X (1) საპოვნელად, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს ვაძლევთ მნიშვნელობებს x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, შემდეგ ვპოულობთ მთავარ უცნობებს განტოლებების სისტემიდან.
.

მიეცით ორი უტოლობა ვ 1(x) > გ 1(x) და ვ 2(x) > გ 2(x). უტოლობების სისტემა წარმოადგენს არის ამ უთანასწორობების შეერთება . სისტემა ასე იწერება:

ამ სისტემის გამოსავალი X, რომელიც აქცევს თითოეულ უტოლობას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უტოლობათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არის მოცემული სისტემის ფორმირების უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეების გადაკვეთა.

უთანასწორობა | x| < ა, სად ა> 0, უდრის სისტემას ან ორმაგ უტოლობას -- ა < x < ა.

უტოლობების ნაკრები ვ 1(x) > გ 1(x) და ვ 2(x) > გ 2(x) წარმოადგენს საკუთარ თავს ამ უთანასწორობების დისიუნიქცია .

ნაკრები ასე იწერება:

ამ ნაკრების გადაწყვეტა არის ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობა X, რომელიც იქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად სიმრავლის უტოლობებიდან ერთ-ერთ მაინც. სიმრავლის ამონახსნების სიმრავლე არის ამონახსნების სიმრავლეების გაერთიანება უტოლობაზე, რომლებიც ქმნიან სიმრავლეს.

უთანასწორობა | x| > ა, სად ა> 0, სიმრავლის ტოლფასია

Დავალება.იპოვნეთ უტოლობების სისტემის ამონახსნების ნაკრები:

გამოსავალი.მოდით ვიპოვოთ ამონახსნების კომპლექტები სისტემის თითოეული უტოლობისთვის და შემდეგ ვიპოვოთ მათი კვეთა. მოდით გადავიტანოთ თითოეული უტოლობა ფორმაში x > აან x < ა.

Û Û

Û Û Û

X> -7 არის რიცხვითი ინტერვალი (-7; ¥) და უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).

Დავალება.უტოლობის ამოხსნა | x+ 3| 4 ფუნტი.

გამოსავალი.ეს უტოლობა უდრის ორმაგ უტოლობას -4 £ x+ 3 £ 4. მისი ამოხსნით ვხვდებით, რომ -7 £ x£ 1, ე.ი. XО [-7; ერთი].

Დავალება.იპოვნეთ პოპულაციის გადაწყვეტილებების ნაკრები

გამოსავალი.ჯერ ვიპოვოთ ამონახსნების კომპლექტები თითოეული პოპულაციის უთანასწორობისთვის, შემდეგ კი მათი გაერთიანება.

ჩვენ გარდაქმნით თითოეულ პოპულაციის უთანასწორობას, ვცვლით მას ექვივალენტით: Û Û Û

უტოლობის ამონახსნების ერთობლიობა X> 2 არის რიცხვითი ინტერვალი (2; ¥) და უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე X> 1 - ინტერვალი (1; ¥). ვიპოვოთ მათი კავშირი: (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥). მაშასადამე, კრებულის ამონახსნების სიმრავლე არის რიცხვითი ინტერვალი (1; ¥).

Დავალება.უტოლობის ამოხსნა | x+ 3| > 5.

გამოსავალი.ეს უტოლობა უდრის უტოლობათა სიმრავლეს:

ამრიგად, მიღებული სიმრავლის ამონახსნი არის რიცხვითი ინტერვალი (-¥; -8) È (2; ¥).

სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. იპოვეთ შემდეგი უტოლობათა კავშირების ჭეშმარიტების სიმრავლეები და დახაზეთ ისინი რეალურ წრფეზე:

ა) ( X> 3) u ( X> 5); გ) ( X³ -7) u ( X³ -9);

ბ) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) u ( X£ -2);

in) ( X³ -4) u ( X£ -2); ე) ( X³ -6) u ( X < 11).

2. ამოხსენით უტოლობების სისტემები:

ა) ბ)

in) გ)

3. იპოვეთ უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეები:

ა) | x - 6| < 13; в) |3x- 6| £0;

ბ) |5 - 2 x| £3; დ) |3 x - 8| < - 1.

4. იპოვეთ უტოლობების შემდეგი დისუნქციების ჭეშმარიტების სიმრავლეები:

ა) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); გ) ( X < 2) Ú (X > 8);

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ამონახსნების სიმრავლის პოვნას. და ორი განტოლების სისტემის ამოხსნა ორი ცვლადით არის ცვლადების მნიშვნელობების წყვილი, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ განტოლებას ნამდვილ რიცხვობრივ თანასწორობაში. ორი ცვლადის მქონე განტოლებათა სისტემები ამოხსნილია ა) გრაფიკულად; ბ) ჩანაცვლების მეთოდი; გ) დამატების მეთოდი. ამოხსნის მეთოდის არჩევანი დამოკიდებულია სისტემაში შემავალ განტოლებებზე. გრაფიკული მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი სისტემის ამოხსნისთვის, მაგრამ განტოლებების გრაფიკების დახმარებით შესაძლებელია სისტემის ამონახსნების მიახლოებით პოვნა. სისტემის მხოლოდ ზოგიერთი ნაპოვნი გადაწყვეტა შეიძლება აღმოჩნდეს ზუსტი. ამის დამოწმება შესაძლებელია მათი კოორდინატების სისტემის განტოლებებში ჩანაცვლებით. ჩანაცვლების მეთოდი "კარგია" სისტემების ამოხსნისას, როდესაც ერთ-ერთი განტოლება არის პირველი ხარისხის განტოლება. მიმატების მეთოდის გამოყენება უმჯობესია იმ შემთხვევაში, როდესაც სისტემის ორივე განტოლება მეორე ხარისხის განტოლებაა.

მაგალითი 1. გრაფიკების გამოყენებით მოვაგვარებთ განტოლებათა სისტემას: (x - 3) 2 + (y - 4) 2 = 4, ამოხსნა. y - x 2 \u003d 0. გეომეტრიულ ენაში განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს სისტემაში შემავალი განტოლებების გრაფიკების ყველა საერთო წერტილის პოვნას. მაშასადამე, ჩვენ გავარკვევთ, რა არის ამ სისტემის თითოეული განტოლების გრაფიკი. ასე რომ, განტოლების გრაფიკი (x - 3) 2 + (y - 4) 2 = 4 არის 2 რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია წერტილში კოორდინატებით (3; 4). y - x 2 \u003d 0 განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა y \u003d x 2, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო წვერო მდებარეობს კოორდინატებით (0; 0) წერტილში. გამოვსახოთ განტოლებების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში და ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები, ეს არის სისტემის ამონახსნები. პასუხი: x 1 1.7, y 1 2.5; x2 2.4, y2 5.9.

მაგალითი 2. ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით: 0.5x 2 - y = 2, y - x = 2. ამოხსნა. 1) სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს x-მდე, ვიღებთ განტოლებას: y \u003d x) სისტემის პირველ განტოლებაში, y-ის ნაცვლად, ვცვლით გამოსახულებას (x + 2), ვიღებთ განტოლება: 0.5x 2 - (x + 2) \u003d 2, ჩვენ ვხსნით მას. 0.5x 2 - x - 2 \u003d 2, 0.5x 2 - x \u003d 0, 0.5x 2 - x - 4 \u003d 0. განტოლების ორივე ნაწილის 2-ზე გამრავლებით, მივიღებთ წინას ექვივალენტურ განტოლებას: x x - 8 \u003d 0. საპირისპირო ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვებს - ეს არის რიცხვები -2 და 4. 3) თუ x = -2, მაშინ y = x + 2 = = 0. თუ x = 4, შემდეგ y = x + 2 = = 6 . პასუხი: ( (-2; 0), (4; 6) )

მაგალითი 3. განტოლებათა სისტემას ვხსნით დამატებით: x 2 - 2xy - 3 \u003d 0, 2x 2 + 3xy - 27 \u003d 0. ამოხსნა. 1) სისტემის პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 3-ზე, ხოლო მეორეს - 2-ზე. ვიღებთ ამის ექვივალენტურ სისტემას: 3x 2 - 6xy - 9 \u003d 0, 4x 2 + 6xy - 54 \u003d 0. 2 ) სისტემის განტოლებების დამატების შემდეგ, ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით: 7x 2 - 63 \u003d 0, 7x 2 \u003d 63, x 2 \u003d 63: 7, x \u003d ± 3. 3) შეცვალეთ ნაპოვნი x-ის მნიშვნელობები სისტემის პირველ განტოლებაში: თუ x \u003d - 3, მაშინ (- 3) 2 - 2 *(- 3)*y - 3 = 0, შესაბამისად y = - 1; თუ x \u003d 3, მაშინ 3 2 - 2 * 3 * y - 3 \u003d 0, აქედან გამომდინარე y \u003d 1. პასუხი: ( (- 3; - 1), (3; 1)).

გრაფიკულად ამოხსენით განტოლებათა სისტემები: 1) xy + 3 = 0, 2) y =, y = x xy - 8 = 0. პასუხი (დაწკაპუნებით) (- 1; 3) (4; 2)

მინიშნებების სისტემა 1). თუ სისტემის მეორე განტოლებაში ტერმინი „- 2xy“ გადატანილია მარცხენა მხარეს, მაშინ იქ მივიღებთ ჯამის კვადრატს (x + y) 2. სისტემის პირველ განტოლებაში გამოვხატავთ x-ს y-მდე. და ჩაანაცვლეთ მიღებული გამოხატულება მეორე გარდაქმნილ განტოლებაში; მისი ამოხსნისას ვპოულობთ y-ის მნიშვნელობებს. y-ის მნიშვნელობის აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ x-ის შესაბამის მნიშვნელობებს. პასუხი: ( (2; - 5), (5; - 2) ). სისტემა 2). თუ სისტემის მეორე განტოლებაში გავხსნით ფრჩხილებს, შევცვლით „xy“ ტერმინს „-8“ მნიშვნელობით და მივიღებთ მსგავს ტერმინებს და შემდეგ განტოლების ორივე ნაწილს გავყოფთ „2-ზე“, მაშინ შეგვიძლია გამოვხატოთ x-ით. წ. მიღებული გამოხატვის x-დან y-მდე ჩანაცვლებით სისტემის პირველ განტოლებაში, მივიღებთ y-ის კვადრატულ განტოლებას; მისი ამოხსნისას ვპოულობთ y-ის მნიშვნელობებს. y-ის მნიშვნელობის აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ x-ის შესაბამის მნიშვნელობებს. პასუხი: ( (- 2; 4), (8; - 1) ). სისტემა 3). თუ სისტემის პირველი განტოლებიდან x-ს გამოვხატავთ y-ში და ჩავანაცვლებთ მეორე განტოლებით, მაშინ მივიღებთ წილად-რაციონალურ განტოლებას y-ის მიმართ; მისი ამოხსნისას ვპოულობთ y-ის მნიშვნელობებს. y-ის მნიშვნელობის აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ x-ის შესაბამის მნიშვნელობებს. პასუხი: ( (3; 1), (- 1; - 3) ). შემდეგი, გაეცანით სისტემების გადაჭრის გრაფიკულ მეთოდს

1. წრფივი განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

პარამეტრის მქონე წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. ხაზოვანი სისტემების გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა გაადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.

მაგალითი 1

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

გამოსავალი.

მოდით შევხედოთ ამ პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე გზას.

1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდება უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ან სისტემა

(და 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

პირველი განტოლებიდან a 2 \u003d 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.

პასუხი: a = -2.

2 გზა.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ

(და 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

აშკარაა, რომ a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, მოცემულია მხოლოდ მინუს პასუხი.

პასუხი: a = -2.

მაგალითი 2

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.

გამოსავალი.

თვისებით, თუ x და y-ზე კოეფიციენტების თანაფარდობა იგივეა და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (ანუ a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). აქედან გამომდინარე, 8/a = a/2 = 2/1. მიღებული თითოეული განტოლების ამოხსნით, აღმოვაჩენთ, რომ ამ მაგალითში არის პასუხი \u003d 4.

პასუხი: a = 4.

2. რაციონალური განტოლებათა სისტემები პარამეტრით

მაგალითი 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

გამოსავალი.

გაამრავლეთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

გამოვაკლოთ მეორე განტოლება პირველს, მივიღებთ 5|х| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).

პასუხი: a = 4.

მაგალითი 4

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

გამოსავალი.

ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით. პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრფეთა სიმრავლეს y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ სისტემას აქვს გამოსავალი, თუ სწორი ხაზი y \u003d -x + a არის პარაბოლის ტანგენტი კოორდინატებით (-0.5; 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას:

1,25 = 0,5 + ა;

პასუხი: a = 0.75.

მაგალითი 5

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

გამოსავალი.

გამოთქვით y პირველი განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მეორეში:

(y \u003d ah - a - 1,
(ცული + (a + 2) (ცული - a - 1) = 2.

მეორე განტოლება მივიღებთ kx = b ფორმას, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:

ცული + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

კვადრატული ტრინომი a 2 + 3a + 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფრჩხილების ნამრავლად

(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.

პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.

მაგალითი 6

გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური ამონახსნები.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

გამოსავალი.

მდგომარეობიდან გამომდინარე ვაშენებთ წრეს ცენტრით კოორდინატების საწყისთან და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით, სწორედ ეს წრე ადგენს სისტემის პირველ განტოლებას.

x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. Გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3.

პასუხი: a = 3.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.