პირველი დონე

ფუნქციის წარმოებული. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

წარმოიდგინეთ სწორი გზა, რომელიც გადის მთიან მხარეში. ანუ ადის და ქვევით, მაგრამ არ უხვევს მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ ღერძი მიმართულია გზის გასწვრივ ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად, მაშინ გზის ხაზი ძალიან წააგავს რაიმე უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკს:

ღერძი არის ნულოვანი სიმაღლის გარკვეული დონე, ცხოვრებაში ჩვენ ვიყენებთ ზღვის დონეს როგორც მას.

წინ მივდივართ ასეთი გზის გასწვრივ, ჩვენც მაღლა ან ქვევით მივდივართ. ასევე შეგვიძლია ვთქვათ: როდესაც არგუმენტი იცვლება (აბსცისის ღერძის გასწვრივ მოძრაობა), იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა (ორდინატთა ღერძის გასწვრივ მოძრაობა). ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ როგორ განვსაზღვროთ ჩვენი გზის „ციცაბო“? რა შეიძლება იყოს ეს ღირებულება? ძალიან მარტივია: რამდენად შეიცვლება სიმაღლე გარკვეული მანძილის წინ გადაადგილებისას. მართლაც, გზის სხვადასხვა მონაკვეთზე, ერთი კილომეტრის წინ (აბსცისის გასწვრივ) ავწევთ ან ჩამოვწევთ ზღვის დონიდან (ორდინატის გასწვრივ) მეტრით განსხვავებული რაოდენობით.

ჩვენ აღვნიშნავთ წინსვლას (წაიკითხეთ "დელტა x").

ბერძნული ასო (დელტა) ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკაში, როგორც პრეფიქსი, რაც ნიშნავს "ცვლილებას". ანუ - ეს არის სიდიდის ცვლილება, - ცვლილება; მაშინ რა არის? მართალია, ზომის ცვლილება.

მნიშვნელოვანია: გამოხატულება არის ერთი ერთეული, ერთი ცვლადი. არასდროს არ უნდა გააწყვეტინო "დელტა" "x"-დან ან სხვა ასოდან! ანუ, მაგალითად,.

ასე რომ, ჩვენ წინ წავედით, ჰორიზონტალურად. თუ გზის ხაზს შევადარებთ ფუნქციის გრაფიკს, მაშინ როგორ აღვნიშნოთ აწევა? Რა თქმა უნდა, . ანუ, როდესაც წინ მივდივართ, ჩვენ მაღლა ავწევთ.

მნიშვნელობის გამოთვლა მარტივია: თუ თავიდან სიმაღლეზე ვიყავით, გადაადგილების შემდეგ კი სიმაღლეზე, მაშინ. თუ საბოლოო წერტილი საწყის წერტილზე დაბალი აღმოჩნდა, ის უარყოფითი იქნება - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ არ აღმავალთ, არამედ დაღმავალს ვართ.

დაბრუნება "ციცაბოზე": ეს არის მნიშვნელობა, რომელიც მიუთითებს იმაზე, თუ რამდენად (ციცაბო) იზრდება სიმაღლე, როდესაც წინ მიიწევთ ერთეულ მანძილზე:

დავუშვათ, რომ ბილიკის ზოგიერთ მონაკვეთზე, კმ-ით წინსვლისას, გზა აწევა კმ-ით. მაშინ ამ ადგილას ციცაბო ტოლია. და თუ გზა m-ით წინსვლისას კმ-ით ჩაიძირა? მაშინ დახრილობა ტოლია.

ახლა განიხილეთ გორაკის მწვერვალი. თუ მონაკვეთის დასაწყისს ნახევარი კილომეტრით აიღებთ ზევით, ბოლოს კი - ნახევარი კილომეტრის შემდეგ, ხედავთ, რომ სიმაღლე თითქმის იგივეა.

ანუ ჩვენი ლოგიკით გამოდის, რომ აქ დახრილობა თითქმის ნულის ტოლია, რაც აშკარად არ შეესაბამება სინამდვილეს. ბევრი რამ შეიძლება შეიცვალოს რამდენიმე მილის დაშორებით. უფრო მცირე ტერიტორიები უნდა იყოს გათვალისწინებული ციცაბოობის უფრო ადეკვატური და ზუსტი შეფასებისთვის. მაგალითად, თუ გაზომავთ სიმაღლის ცვლილებას ერთი მეტრის გადაადგილებისას, შედეგი გაცილებით ზუსტი იქნება. მაგრამ ეს სიზუსტეც კი შეიძლება არ იყოს საკმარისი ჩვენთვის - ბოლოს და ბოლოს, თუ შუა გზაზე არის ბოძი, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გადავცუროთ. რა მანძილი უნდა ავირჩიოთ მაშინ? სანტიმეტრი? მილიმეტრი? ნაკლები უკეთესია!

რეალურ ცხოვრებაში, მანძილის გაზომვა უახლოეს მილიმეტრამდე საკმარისზე მეტია. მაგრამ მათემატიკოსები ყოველთვის სრულყოფილებისკენ ისწრაფვიან. აქედან გამომდინარე, კონცეფცია იყო უსასრულოდ მცირე, ანუ მოდულის მნიშვნელობა ნაკლებია ნებისმიერ რიცხვზე, რომლის დასახელებაც შეგვიძლია. მაგალითად, თქვენ ამბობთ: ერთი ტრილიონედი! რამდენით ნაკლები? და თქვენ გაყავით ეს რიცხვი - და ეს კიდევ უფრო ნაკლები იქნება. და ა.შ. თუ გვინდა დავწეროთ, რომ მნიშვნელობა უსასრულოდ მცირეა, ვწერთ ასე: (ვკითხულობთ „x მიდრეკილია ნულისკენ“). ძალიან მნიშვნელოვანია გაგება რომ ეს რიცხვი ნულის ტოლი არ არის!მაგრამ ძალიან ახლოს. ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს.

ცნება უსასრულოდ პატარას საპირისპირო არის უსასრულოდ დიდი (). თქვენ ალბათ უკვე შეგხვედრიათ მას, როცა უტოლობაზე მუშაობდით: ეს რიცხვი მოდულში უფრო დიდია, ვიდრე ნებისმიერი რიცხვი, რომელზეც შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ. თუ თქვენ მიიღებთ ყველაზე დიდ რაოდენობას, უბრალოდ გაამრავლეთ ის ორზე და მიიღებთ კიდევ უფრო მეტს. და უსასრულობა კიდევ უფრო მეტია, ვიდრე ის, რაც ხდება. ფაქტობრივად, უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ პატარა არის შებრუნებული ერთმანეთის მიმართ, ანუ at და პირიქით: at.

ახლა ისევ ჩვენს გზას. იდეალურად გამოთვლილი ფერდობი არის დახრილობა, რომელიც გამოითვლება ბილიკის უსასრულოდ მცირე სეგმენტზე, ანუ:

აღვნიშნავ, რომ უსასრულოდ მცირე გადაადგილებით, სიმაღლის ცვლილებაც უსასრულოდ მცირე იქნება. მაგრამ შეგახსენებთ, რომ უსასრულოდ მცირე არ ნიშნავს ნულის ტოლს. თუ უსასრულოდ მცირე რიცხვებს ერთმანეთზე გაყოფთ, შეგიძლიათ მიიღოთ სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვი, მაგალითად,. ანუ, ერთი მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ზუსტად ორჯერ მეტი მეორეზე.

რატომ ეს ყველაფერი? გზა, ციცაბო... მიტინგზე არ მივდივართ, მაგრამ მათემატიკას ვსწავლობთ. და მათემატიკაში ყველაფერი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ სხვანაირად უწოდებენ.

წარმოებულის ცნება

ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ზრდაზე.

მატებამათემატიკაში ცვლილებას უწოდებენ. რამდენად შეიცვალა არგუმენტი () ღერძის გასწვრივ მოძრაობისას ეწოდება არგუმენტის ზრდადა აღინიშნება იმით, თუ რამდენად შეიცვალა ფუნქცია (სიმაღლე) ღერძის გასწვრივ მანძილით წინ გადაადგილებისას ე.წ. ფუნქციის გაზრდადა აღინიშნება.

ამრიგად, ფუნქციის წარმოებული არის კავშირი როდისთან. წარმოებულს აღვნიშნავთ იგივე ასოებით, როგორც ფუნქცია, მხოლოდ ზემოდან მარჯვნივ: ან უბრალოდ. მოდით დავწეროთ წარმოებული ფორმულა ამ აღნიშვნების გამოყენებით:

როგორც გზის ანალოგიაში, აქაც, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როცა მცირდება, უარყოფითი.

მაგრამ წარმოებული ტოლია ნულის? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, თუ ვმოძრაობთ ბრტყელ ჰორიზონტალურ გზაზე, ციცაბოობა ნულის ტოლია. მართლაც, სიმაღლე საერთოდ არ იცვლება. ასე რომ, წარმოებულთან: მუდმივი ფუნქციის წარმოებული (მუდმივი) ნულის ტოლია:

ვინაიდან ასეთი ფუნქციის ზრდა არის ნული ნებისმიერისთვის.

ავიღოთ გორაკზე მაგალითი. აღმოჩნდა, რომ შესაძლებელი იყო სეგმენტის ბოლოების დალაგება წვეროს მოპირდაპირე მხარეებზე ისე, რომ ბოლოებში სიმაღლე აღმოჩნდეს იგივე, ანუ სეგმენტი ღერძის პარალელურად იყოს:

მაგრამ დიდი სეგმენტები არაზუსტი გაზომვის ნიშანია. ჩვენ ავწევთ ჩვენს სეგმენტს თავის პარალელურად, შემდეგ მისი სიგრძე შემცირდება.

საბოლოო ჯამში, როდესაც ჩვენ უსასრულოდ ახლოს ვართ ზევით, სეგმენტის სიგრძე უსასრულოდ მცირე გახდება. მაგრამ ამავე დროს, იგი დარჩა ღერძის პარალელურად, ანუ მის ბოლოებში სიმაღლის სხვაობა ნულის ტოლია (არ მიდრეკილია, მაგრამ უდრის). ასე რომ წარმოებული

ეს შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად: როდესაც ჩვენ ვდგავართ ზევით, მცირე ცვლა მარცხნივ ან მარჯვნივ უმნიშვნელოდ ცვლის ჩვენს სიმაღლეს.

ასევე არის წმინდა ალგებრული ახსნა: ზემოდან მარცხნივ ფუნქცია იზრდება, მარჯვნივ კი მცირდება. როგორც უკვე გავარკვიეთ, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როდესაც მცირდება, უარყოფითი. მაგრამ ის იცვლება შეუფერხებლად, ნახტომების გარეშე (რადგან გზა მკვეთრად არსად ცვლის ფერდობას). ამიტომ, უარყოფითი და დადებითი მნიშვნელობები უნდა იყოს. ეს იქნება იქ, სადაც ფუნქცია არც იზრდება და არც მცირდება - წვეროს წერტილში.

იგივე ეხება ხეობას (არეალი, სადაც ფუნქცია მცირდება მარცხნივ და იზრდება მარჯვნივ):

ცოტა მეტი დანამატების შესახებ.

ასე რომ, ჩვენ ვცვლით არგუმენტს მნიშვნელობაზე. რა ღირებულებიდან ვცვლით? რა გახდა ის (არგუმენტი) ახლა? ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ნებისმიერი წერტილი და ახლა ჩვენ ვიცეკვებთ მისგან.

განვიხილოთ წერტილი კოორდინატით. მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია. შემდეგ ჩვენ ვაკეთებთ იგივე ზრდას: გავზარდოთ კოორდინატი. რა არგუმენტია ახლა? ძალიან ადვილია:. რა არის ფუნქციის ღირებულება ახლა? სადაც არგუმენტი მიდის, ფუნქცია მიდის იქ: . რაც შეეხება ფუნქციის გაზრდას? ახალი არაფერია: ეს არის ის თანხა, რომლითაც ფუნქცია შეიცვალა:

ივარჯიშეთ ნამატების პოვნაში:

1. იპოვეთ ფუნქციის ნამატი წერტილში არგუმენტის ტოლი ნაზრდით.
2. იგივეა ფუნქციისთვის წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

სხვადასხვა წერტილში, არგუმენტის ერთი და იგივე მატებით, ფუნქციის ზრდა განსხვავებული იქნება. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებულს თითოეულ წერტილში აქვს თავისი (ეს თავიდანვე განვიხილეთ - სხვადასხვა წერტილში გზის ციცაბო განსხვავებულია). ამიტომ, როდესაც ჩვენ ვწერთ წარმოებულს, უნდა მივუთითოთ რა წერტილში:

დენის ფუნქცია.

სიმძლავრის ფუნქციას უწოდებენ ფუნქციას, სადაც არგუმენტი გარკვეულწილად არის (ლოგიკური, არა?).

და - ნებისმიერი ზომით: .

უმარტივესი შემთხვევაა, როდესაც მაჩვენებელი არის:

მოდი ვიპოვოთ მისი წარმოებული ერთ წერტილში. გახსოვდეთ წარმოებულის განმარტება:

ასე რომ, არგუმენტი იცვლება. რა არის ფუნქციის ზრდა?

ზრდა არის. მაგრამ ფუნქცია ნებისმიერ წერტილში უდრის მის არგუმენტს. Ისე:

წარმოებული არის:

წარმოებული არის:

ბ) ახლა განვიხილოთ კვადრატული ფუნქცია (): .

ახლა ეს გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ნამატის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი, რადგან ის უსასრულოდ მცირეა და, შესაბამისად, უმნიშვნელო სხვა ტერმინის ფონზე:

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სხვა წესი:

გ) ვაგრძელებთ ლოგიკურ სერიას: .

ეს გამოთქმა შეიძლება გამარტივდეს სხვადასხვა გზით: გახსენით პირველი ფრჩხილი ჯამის კუბის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით, ან დაშალეთ მთელი გამოხატულება ფაქტორებად კუბების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით. სცადეთ ეს თავად გააკეთოთ რომელიმე შემოთავაზებული გზით.

ასე რომ, მე მივიღე შემდეგი:

და კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ყველა ტერმინი, რომელიც შეიცავს:

ვიღებთ: .

დ) მსგავსი წესების მიღება შესაძლებელია დიდი სიმძლავრეებისთვის:

ე) გამოდის, რომ ეს წესი შეიძლება განზოგადდეს ძალაუფლების ფუნქციისთვის თვითნებური მაჩვენებლით და არა მთელი რიცხვით:

(2)

თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ წესი სიტყვებით: ”ხარისხი გამოდის წინ, როგორც კოეფიციენტი, შემდეგ კი მცირდება”.

ამ წესს მოგვიანებით (თითქმის ბოლოს) დავამტკიცებთ. ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებული:

1. (ორი გზით: ფორმულით და წარმოებულის განმარტებით - ფუნქციის ნამატის დათვლით);

1. . დაიჯერეთ თუ არა, ეს არის დენის ფუნქცია. თუ თქვენ გაქვთ შეკითხვები, როგორიცაა „როგორ არის? და სად არის ხარისხი? ”, დაიმახსოვრე თემა“ ”!
   დიახ, დიახ, ფესვიც არის ხარისხი, მხოლოდ წილადი:.
   ასე რომ, ჩვენი კვადრატული ფესვი არის მხოლოდ სიმძლავრე მაჩვენებლით:
   .
   ჩვენ ვეძებთ წარმოებულს ახლახანს ნასწავლი ფორმულის გამოყენებით:

   თუ ამ ეტაპზე ისევ გაუგებარი გახდა, გაიმეორეთ თემა "" !!! (დაახლოებით ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით)

2. . ახლა მაჩვენებელი:

   ახლა კი განმარტებით (კიდევ დაგავიწყდათ?):
   ;
   .
   ახლა, როგორც ყოველთვის, ჩვენ უგულებელყოფთ ტერმინს, რომელიც შეიცავს:
   .

3. . წინა შემთხვევების კომბინაცია: .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

აქ ჩვენ გამოვიყენებთ ერთ ფაქტს უმაღლესი მათემატიკიდან:

როცა გამოხატვა.

მტკიცებულებას ინსტიტუტის პირველ კურსზე გაიგებთ (და იქ მისასვლელად, გამოცდა კარგად უნდა ჩააბაროთ). ახლა მე მხოლოდ გრაფიკულად ვაჩვენებ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც ფუნქცია არ არსებობს - გრაფიკის წერტილი პუნქციაა. მაგრამ რაც უფრო ახლოსაა მნიშვნელობასთან მით უფრო ახლოსაა ფუნქცია.ეს არის სწორედ „სწრაფვა“.

გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს წესი კალკულატორით. დიახ, დიახ, არ შეგეშინდეთ, აიღეთ კალკულატორი, ჩვენ ჯერ არ ვართ გამოცდაზე.

მოდით ვცადოთ: ;

არ დაგავიწყდეთ კალკულატორის გადართვა Radians რეჟიმში!

და ა.შ. ჩვენ ვხედავთ, რომ რაც უფრო მცირეა, მით უფრო უახლოვდება თანაფარდობის მნიშვნელობა.

ა) განიხილეთ ფუნქცია. როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვპოულობთ მის ზრდას:

სინუსების სხვაობა პროდუქტად ვაქციოთ. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (გაიხსენეთ თემა ""):.

ახლა წარმოებული:

გავაკეთოთ ჩანაცვლება: . მაშინ უსასრულოდ პატარასთვის ის ასევე უსასრულოდ მცირეა: . გამოთქმა for იღებს ფორმას:

და ახლა ჩვენ გვახსოვს ეს გამონათქვამით. და ასევე, რა მოხდება, თუ უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი ჯამში (ანუ at).

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წესს: სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის:

ეს არის ძირითადი ("ცხრილი") წარმოებულები. აქ ისინი ერთ სიაშია:

მოგვიანებით მათ კიდევ რამდენიმეს დავამატებთ, მაგრამ ეს არის ყველაზე მნიშვნელოვანი, რადგან ისინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

ვარჯიში:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გადაწყვეტილებები:

1. პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს ზოგადი ფორმით და შემდეგ ვანაცვლებთ მის მნიშვნელობას:
   ;
   .
2. აქ გვაქვს სიმძლავრის ფუნქციის მსგავსი. ვცადოთ მისი მიყვანა
   ნორმალური ხედი:
   .
   კარგი, ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:
   .
   .
3. . ეეეეეე….. რა არის????

კარგი, მართალი ხარ, ჩვენ ჯერ კიდევ არ ვიცით როგორ მოვძებნოთ ასეთი წარმოებულები. აქ ჩვენ გვაქვს რამდენიმე ტიპის ფუნქციის კომბინაცია. მათთან მუშაობისთვის, თქვენ უნდა ისწავლოთ კიდევ რამდენიმე წესი:

ექსპონენტური და ბუნებრივი ლოგარითმი.

მათემატიკაში არის ასეთი ფუნქცია, რომლის წარმოებული ნებისმიერისთვის უდრის თავად ფუნქციის მნიშვნელობას იმავესთვის. მას ეწოდება "ექსპონენტი" და არის ექსპონენციალური ფუნქცია

ამ ფუნქციის საფუძველი - მუდმივი - არის უსასრულო ათობითი წილადი, ანუ ირაციონალური რიცხვი (როგორიცაა). მას „ეილერის რიცხვს“ უწოდებენ, რის გამოც იგი ასოებით აღინიშნება.

ასე რომ, წესი ასეთია:

ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

ისე, ჩვენ შორს არ წავალთ, მაშინვე განვიხილავთ შებრუნებულ ფუნქციას. რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: მის ნაცვლად ვწერთ.

რისი ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენტი და ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუნქციები, რომლებიც ცალსახად მარტივია წარმოებულის თვალსაზრისით. ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ექნება განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენციაციის წესები

რა წესები? კიდევ ერთი ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

მხოლოდ და ყველაფერი. რა არის სხვა სიტყვა ამ პროცესისთვის? არა proizvodnovanie... მათემატიკის დიფერენციალს ეწოდება ფუნქციის თვით ზრდა. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესი ასევე მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. მოდით, ან უფრო ადვილია.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

1. (წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ფუნქციას და ვპოულობთ მის ზრდას:

წარმოებული:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ მაჩვენებლის (დაგავიწყდათ თუ არა რა არის ეს?).

მაშ სად არის რაღაც რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე მივიყვანოთ:

ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან წააგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ არ შეიძლება მისი ჩაწერა უფრო მარტივი ფორმით. მაშასადამე, პასუხში ის დარჩა ამ ფორმით.

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

მაშასადამე, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმიდან განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა ამის ნაცვლად დავწერთ:

მნიშვნელი აღმოჩნდა მხოლოდ მუდმივი (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული ძალიან მარტივია:

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები გამოცდაზე თითქმის არ გვხვდება, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც რკალის ტანგენსი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი რთულად მოგეჩვენებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და ყველაფერი გამოვა), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ნივთებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი ლენტით აკრავს. გამოდის ასეთი კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი გამოვასწორებთ მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ისინი გვაძლევენ რიცხვს (შოკოლადს), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც, მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, პირველ მოქმედებას ვაკეთებთ პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც მოხდა პირველის შედეგად.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე ნაბიჯები გავაკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატულობთ და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს:. ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

პირველი მაგალითისთვის,.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ბოლო მოქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ, იქნება დაძახებული "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

1. რა ქმედებებს მივიღებთ პირველ რიგში? ჯერ ვიანგარიშებთ სინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ ავწევთ მას კუბამდე. ასე რომ, ეს არის შიდა ფუნქცია და არა გარეგანი.
   ხოლო თავდაპირველი ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
3. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
4. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
5. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.

ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

კარგი, ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადს - მოძებნეთ წარმოებული. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალური მაგალითისთვის, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ აქამდე ნუ ცდილობ შემცირებას! კოსინუსის ქვეშ არაფერია ამოღებული, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ცხადია, რომ აქ არის სამ დონის რთული ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვს მაინც გამოვყოფთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და ლენტით პორტფელში). მაგრამ შიშის საფუძველი არ არის: ყოველ შემთხვევაში, ჩვენ ამ ფუნქციას "გახსნით" იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა - როგორც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნაზრდით:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენციაციის წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან:

ჯამის წარმოებული:

წარმოებული პროდუქტი:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ "შიდა" ფუნქციას, ვპოულობთ მის წარმოებულს.
2. ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას, ვიპოვით მის წარმოებულს.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

წარმოებული გამოთვლადიფერენციალური გამოთვლების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ოპერაციაა. ქვემოთ მოცემულია ცხრილი მარტივი ფუნქციების წარმოებულების საპოვნელად. დიფერენცირების უფრო რთული წესებისთვის იხილეთ სხვა გაკვეთილები:

• ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

გამოიყენეთ მოცემული ფორმულები, როგორც საცნობარო მნიშვნელობები. ისინი დაგეხმარებიან დიფერენციალური განტოლებებისა და ამოცანების ამოხსნაში. სურათზე, მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილში მოცემულია წარმოებულის გამოსაყენებლად გასაგებ ფორმაში პოვნის ძირითადი შემთხვევების "მოტყუების ფურცელი", მის გვერდით არის განმარტებები თითოეული შემთხვევისთვის.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულები

1. რიცხვის წარმოებული არის ნული
с´ = 0
მაგალითი:
5' = 0

ახსნა:
წარმოებული აჩვენებს სიჩქარეს, რომლითაც იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა არგუმენტის ცვლილებისას. ვინაიდან რიცხვი არავითარ შემთხვევაში არ იცვლება, მისი ცვლილების სიჩქარე ყოველთვის ნულის ტოლია.

2. ცვლადის წარმოებულიერთის ტოლი
x' = 1

ახსნა:
არგუმენტის (x) ყოველი ერთით გაზრდისას ფუნქციის მნიშვნელობა (გამოთვლის შედეგი) იმავე ოდენობით იზრდება. ამრიგად, y = x ფუნქციის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარე ზუსტად უდრის არგუმენტის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარეს.

3. ცვლადისა და ფაქტორის წარმოებული ტოლია ამ ფაქტორის
сx´ = с
მაგალითი:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
ახსნა:
ამ შემთხვევაში, ყოველ ჯერზე ფუნქციის არგუმენტი ( X) მისი მნიშვნელობა (y) იზრდება თანერთხელ. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარე არგუმენტის ცვლილების სიჩქარესთან მიმართებაში ზუსტად უდრის მნიშვნელობას თან.

საიდან გამომდინარეობს, რომ
(cx + b)" = გ
ანუ y=kx+b წრფივი ფუნქციის დიფერენციალი სწორი წრფის (k) დახრის ტოლია.

4. ცვლადის მოდულო წარმოებულიუდრის ამ ცვლადის კოეფიციენტს მის მოდულს
|x|"= x / |x| იმ პირობით, რომ x ≠ 0
ახსნა:
ვინაიდან ცვლადის წარმოებული (იხ. ფორმულა 2) უდრის ერთს, მოდულის წარმოებული განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის მნიშვნელობა საპირისპიროდ იცვლება საწყისი წერტილის გადაკვეთისას (სცადეთ გრაფიკის დახატვა y = |x| ფუნქციის და თავად ნახეთ ეს არის ზუსტად მნიშვნელობა და აბრუნებს გამოხატულებას x / |x| როცა x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ერთი. ანუ, x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებით, არგუმენტის ცვლილების ყოველი მატებით, ფუნქციის მნიშვნელობა მცირდება ზუსტად იგივე მნიშვნელობით, ხოლო დადებითი მნიშვნელობებით, პირიქით, იზრდება, მაგრამ ზუსტად. იგივე ღირებულება.

5. ცვლადის დენის წარმოებულიუდრის ამ სიმძლავრის რაოდენობისა და სიმძლავრის ცვლადის ნამრავლს, შემცირებული ერთით
(x c)"= cx c-1, იმ პირობით, რომ x c და cx c-1 განსაზღვრულია და c ≠ 0
მაგალითი:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ფორმულის დასამახსოვრებლად:
აიღეთ ცვლადის "down" მაჩვენებლის მაჩვენებელი მულტიპლიკატორად და შემდეგ შეამცირეთ თავად მაჩვენებელი ერთით. მაგალითად, x 2-ისთვის - ორი უსწრებდა x-ს და შემდეგ შემცირებულმა სიმძლავრემ (2-1 = 1) უბრალოდ მოგვცა 2x. იგივე მოხდა x 3-ზეც - ვამცირებთ სამეულს, ვამცირებთ ერთით და კუბის ნაცვლად გვაქვს კვადრატი, ანუ 3x2. ცოტა „არამეცნიერული“, მაგრამ ძალიან ადვილად დასამახსოვრებელი.

6.წილადის წარმოებული 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
მაგალითი:
ვინაიდან წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ამაღლება უარყოფით ხარისხზე
(1/x)" = (x -1)" , მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა წარმოებულების ცხრილის მე-5 წესიდან
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. წილადის წარმოებული თვითნებური ხარისხის ცვლადითმნიშვნელში
(1/x გ)" = - c / x c+1
მაგალითი:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. ფესვის წარმოებული(ცვლადის წარმოებული კვადრატული ფესვის ქვეშ)
(√x)" = 1 / (2√x)ან 1/2 x -1/2
მაგალითი:
(√x)" = (x 1/2)" ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა მე-5 წესიდან
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. ცვლადის წარმოებული თვითნებური ხარისხის ფესვის ქვეშ
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

თუ ჩვენ მივყვებით განსაზღვრებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილი არის Δ ფუნქციის ნამატის შეფარდების ზღვარი. წΔ არგუმენტის ნამატამდე x:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოთვალოთ ამ ფორმულით, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ე xცოდვა x. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება განვასხვავოთ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებისგან. ეს არის შედარებით მარტივი გამონათქვამები, რომელთა წარმოებულები დიდი ხანია გამოითვლება და შეტანილია ცხრილში. ასეთი ფუნქციების დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია, მათ წარმოებულებთან ერთად.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველაფერი ჩამოთვლილი ქვემოთ. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება არ არის რთული - ამიტომაც ისინი ელემენტარულია.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
მუდმივი	ვ(x) = C, C ∈ რ	0 (დიახ, დიახ, ნული!)
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით	ვ(x) = x ნ	ნ · x ნ − 1
სინუსი	ვ(x) = ცოდვა x	cos x
კოსინუსი	ვ(x) = cos x	- ცოდვა x(მინუს სინუსი)
ტანგენტი	ვ(x) = ტგ x	1/co 2 x
კოტანგენსი	ვ(x) = ctg x	− 1/ცოდვა2 x
ბუნებრივი ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი x	1/x
თვითნებური ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი ა x	1/(xლნ ა)
ექსპონენციალური ფუნქცია	ვ(x) = ე x	ე x(არაფერი შეცვლილა)

თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:

(C · ვ)’ = C · ვ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს და ბევრი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის ძალიან ელემენტარული, მაგრამ ასევე დიფერენცირებადი გარკვეული წესების მიხედვით. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

დაუშვით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

1. (ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
2. (ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულების ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. აქედან გამომდინარე, განსხვავება ვ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით ვ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

ვ(x) = x 2 + სინქსი; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, ასე რომ:

ვ ’(x) = (x 2+ ცოდვა x)’ = (x 2)' + (ცოდვა x)’ = 2x+ cosx;

ჩვენ ანალოგიურად ვკამათობთ ფუნქციისთვის გ(x). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):

გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

პასუხი:
ვ ’(x) = 2x+ cosx;
გ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

პროდუქტის წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა"\u003e ტოლია წარმოებულების ნამრავლს. მაგრამ ლეღვი შენთვის! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:

(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებული. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cosx; გ(x) = (x 2 + 7x− 7) · ე x .

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:

ვ ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (კოს x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-ცოდვა x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x)

ფუნქცია გ(x) პირველი მულტიპლიკატორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა აქედან არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი მულტიპლიკატორი გ(x) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ე x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ე x + (x 2 + 7x− 7) ( ე x)’ = (2x+ 7) · ე x + (x 2 + 7x− 7) · ე x = ე x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x+ 9) · ე x .

პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x);
გ ’(x) = x(x+ 9) · ე x .

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზირება. ფორმალურად, ეს არ არის აუცილებელი, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ არის გამოთვლილი დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესასწავლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული გაუტოლდება ნულს, გაირკვევა მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამოთქმა იყოს ფაქტორებად დაშლილი.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო სიმრავლეზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x). ასეთი ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? მაგრამ ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარკვევა ბოთლის გარეშე. ამიტომ ჯობია მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითებით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

თითოეული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის ელემენტარული ფუნქციები, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:

ტრადიციულად, ჩვენ მრიცხველს ვაქცევთ ფაქტორებად - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) = ცოდვა xდა შეცვალეთ ცვლადი x, ვთქვათ, on x 2 + ლნ x. თურმე ვ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x) რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა არ გამოდგება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით.

Როგორ უნდა იყოს? ასეთ შემთხვევებში, ცვლადის ჩანაცვლება და რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა ეხმარება:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ“, თუ xშეცვლილია ტ(x).

როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თითოეული ნაბიჯის დეტალური აღწერით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში ვ(x) გამოთქმის ნაცვლად 2 x+3 ადვილი იქნება x, მაშინ ვიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x. ამიტომ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულება: ტ = 2x+ 3. ჩვენ ვიღებთ:

ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ე 2x+ 3 2 = 2 ე 2x + 3

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(x). აშკარად გამოსაცვლელია. x 2 + ლნ x = ტ. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ' = cos ტ · ტ ’

საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ლნ x. შემდეგ:

გ ’(x) = cos ( x 2 + ლნ x) · ( x 2 + ლნ x)' = cos ( x 2 + ლნ x) · (2 x + 1/x).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილია ჯამის წარმოებულის გამოთვლაზე.

პასუხი:
ვ ’(x) = 2 ე 2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ლნ x).

ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე ტერმინის „წარმოებული“ ნაცვლად ვიყენებ სიტყვას „ინსულტი“. მაგალითად, ჯამის დარტყმა უდრის დარტყმების ჯამს. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.

ამრიგად, წარმოებულის გაანგარიშება ხდება სწორედ ამ დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც საბოლოო მაგალითი, დავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:

(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1

ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0.5 . მაგრამ რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც სახიფათო? ისევ რთული ფუნქცია გამოვა - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებში და გამოცდებში.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველი, მოდით გადავიწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ვ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით x 2 + 8x − 7 = ტ. წარმოებულს ვპოულობთ ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5)' ტ' = 0,5 ტ−0,5 ტ ’.

ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = x 2 + 8x− 7. გვაქვს:

ვ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

და ბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:

1- წარმოებული, მნიშვნელობა სხვადასხვა ამოცანებსა და თვისებებში

1.1. წარმოებულის ცნება

დაუშვით ფუნქცია ზე– ვ(x) განსაზღვრულია ინტერვალზე დ. მიიღეთ გარკვეული მნიშვნელობა X0 დდა განიხილეთ ნამატი ∆ X: x0 +∆x დ. თუ არსებობს ფუნქციის ცვლილების (ნამატის) შეფარდება არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი მიდრეკილია რომნულოვანი, მაშინ მას ეძახიან წარმოებული ფუნქცია ზე= ვ(x) წერტილში x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

წარმოებულების პოვნის პროცესს ე.წ დიფერენციაცია .

Თუ ვ"(x) სასრულია ყველასთვის x დ, შემდეგ ფუნქცია ზე= ვ(x) დაურეკა დიფერენცირებადი in დ. ფუნქციის დიფერენციალურობის ზუსტი ფორმულირება და ფუნქციის დიფერენცირებულობის კრიტერიუმი მოცემულია 1.5-ში.

წარმოებულის განმარტების გამოყენებით ვიღებთ დიფერენციაციის წესებს და ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს, რომლებსაც შემდეგ ვაჯამებთ ცხრილებში.

10. მუდმივის წარმოებული არის ნული:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

მართლაც,

Კერძოდ,

30 . ფუნქციისთვის y = x2წარმოებული y' = 2x.

ამ ფორმულის გამოსაყვანად ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის ზრდას:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">გამოიყენეთ ფორმულა ბინომიური ნიუტონი, შეიძლება აჩვენოს, რომ სიმძლავრის ფუნქციისთვის

1.2. ცალმხრივი წარმოებულის ცნება

ფუნქციის გაანგარიშების საფუძვლებში ზე=ვ(x) დაინერგა მარცხენა და მარჯვენა საზღვრების ცნებები წერტილში ა:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

მარჯვენა წარმოებული -

შეგახსენებთ, რომ ფუნქციის სასრული ზღვრის არსებობისთვის ზე= ვ(x) წერტილში x = aაუცილებელია და საკმარისია, რომ ფუნქციის მარცხენა და მარჯვენა საზღვრები ამ ეტაპზე იყოს სასრული და ტოლი:

(x - 0) = ვ’(x + 0).

1.3. უმაღლესი რიგის წარმოებულების კონცეფცია

მოდით ფუნქციისთვის ზე= ვ(x) კომპლექტზე განსაზღვრული დ, არსებობს წარმოებული ზე"= ვ"(x) ყოველი x დ, ტ. ე. წარმოებული არის ფუნქცია და მისთვის შეიძლება დაისვას საკითხი წარმოებულის არსებობის შესახებ. პირველი წარმოებულის წარმოებული, თუ ის არსებობს - ამ ფუნქციის მეორე წარმოებულიან მეორე რიგის წარმოებული

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

n-ე რიგის წარმოებული

0, y"" = 0,...y(n) = 0. ფუნქციისთვის y = x2წარმოებული შენ= 2x.მერე ზე"= 2, ""-ზე= 0,.., y(n) = 0.

1.4. წარმოებულის გეომეტრიული და მექანიკური ინტერპრეტაციები

1.4.1. წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა. არაერთგვაროვანი მოძრაობის სიჩქარისა და აჩქარების პრობლემა

სხეულის მიერ გავლილი გზის დამოკიდებულება დროში ტ, აღწერილია ფუნქციით ს = ს(ტ), და მოძრაობის სიჩქარე და აჩქარება, შესაბამისად, ფუნქციების მიხედვით ვ = ვ(ტ), ა = ა(ტ). თუ სხეული ერთნაირად მოძრაობს, მაშინ, როგორც ფიზიკიდან არის ცნობილი, ს = ვტ, ე.ი. ვ = ს/ ტ. თუ სხეული ერთგვაროვანი აჩქარებით მოძრაობს და vo= 0, შემდეგ აჩქარება ა = ვ/ ტ.

თუ მოძრაობა არ არის ერთგვაროვანი და ერთნაირად აჩქარებული, მაშინ სიჩქარისა და აჩქარების საშუალო მნიშვნელობა გარკვეული დროის განმავლობაში Δ ტშესაბამისად, აშკარად თანაბარია.

დაე იყოს ვ(ტ)- მოძრაობის სიჩქარე, ა(ტ)- აჩქარება დროს ტ.

შემდეგ, ამგვარად,

იმ პირობით, რომ არსებობს ბოლო საზღვრები.

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა: ბილიკის წარმოებულის = ს(ტ) არადროტარის მატერიალური წერტილის მყისიერი სიჩქარე, ე.ი.ვ(ტ)= ს"(ტ). გზის მეორე წარმოებული დროის მიმართ- აჩქარება, ე.ი.ს""(ტ)= ვ"(ტ)=ა(ტ).

ფუნქციის წარმოებულის ცნების შემოღებით, ფ. ენგელსის აზრით, მოძრაობა მოვიდა მათემატიკაში, რადგან წარმოებული ნიშნავს ნებისმიერი პროცესის ცვლილების სიჩქარეს, მაგალითად: სხეულის გაცხელების ან გაგრილების პროცესს, სიჩქარეს. ქიმიური ან ბირთვული რეაქცია და ა.შ.

მაგალითი 1.1. გამტარში გამავალი ელექტროენერგიის რაოდენობა (კულონებში) განისაზღვრება კანონით ქ = 2 ტ2 + 3 ტ + 4 . იპოვეთ დენი მესამე წამის ბოლოს.

გადაწყვეტილება. მიმდინარე სიძლიერე მე = ქ" = 4 ტ+3. ზე ტ = 3 მე=15 კ/s=15 ა.

1.4.2.3 ტანგენტის ამოცანა. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დაუშვით ფუნქცია ზე= ვ(x) განსაზღვრული და უწყვეტი წერტილში X= x0 და ამ წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში. მოდით გავარკვიოთ ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად. აიღეთ წერტილი ფუნქციის გრაფიკზე (ნახ. 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу)და დახაზეთ სეკანტი M0M.მოდით გამოვყოთ წერტილი მ M0 წერტილამდე, ანუ Δ x → 0. ქულა M()ფიქსირდება, ამიტომ ლიმიტში სეკანტი დაიკავებს ტანგენტის პოზიციას TO.

y ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი= ვ(x) ეწერტილიმ0 ეწოდება M0M სეკანტის შემზღუდველი პოზიცია, იმ პირობით, რომ წერტილი M მიისწრაფვის M0 წერტილისკენ G მრუდის გასწვრივ.ვ- ფუნქციური გრაფიკაწ = ვ(x).

შემდეგ სექანტის დახრილობა M0M

ზღვარში ხდება ტანგენსის დახრილობის ტოლი:

{ x0 ) = ტგა, სადაც α არის კუთხე Ox ღერძის ტანგენტსა და დადებით მიმართულებას შორის(იხ. სურ. 1.1).

როგორც ანალიტიკური გეომეტრიიდან ცნობილია, წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება ( x0, y0) და დახრილობის მქონე კნება

y - y0 =კ(x-x0).

შემდეგ, წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გათვალისწინებით, ტანგენტის განტოლება (TO)ფუნქციის გრაფიკამდე ზე= ვ(x) წერტილში (x0, y0)ფორმა აქვს

(K) y =ვ(x0 ) + ვ"(x0 )(x- x0 ).

ნორმალური განტოლება (ნ) - შეხების წერტილში ტანგენტის პერპენდიკულარული:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(ოჰ)- შესახებ-პატარა Δx).

თეორემა. ფუნქციის მიზნით ზე= ვ(x) იყო დიფერენცირებადი x წერტილში დ), აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ეტაპზე მას ჰქონდეს სასრულ წარმოებული y' =ვ"(x).

მტკიცებულება . საჭიროება.დაუშვით ფუნქცია წ= ვ(x) დიფერენცირებადი x-ზე დ, ანუ კავშირი (1.1) მოქმედებს. შემდეგ, წარმოებულის განმარტებით, (1.1) გათვალისწინებით.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

შემდეგ, თეორემის საფუძველზე ფუნქციას, მის ზღვარსა და უსასრულოდ მცირე რაოდენობას შორის კავშირის შესახებ.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი წევრის ჯამი, რომელთაგან პირველი პროპორციულია არგუმენტის ზრდისა Δхპროპორციულობის ფაქტორით ვ(X),ხოლო მეორე არის უსასრულოდ მცირე უფრო მაღალი რიგი, ვიდრე Δх, ანუ, (1.1) მოქმედებს და მაშასადამე, ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში x დ.

გაითვალისწინეთ, რომ თანაფარდობა

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, მაგრამ ფუნქცია უწყვეტია X= 0.

1.6. დიფერენციაციის წესები

ერთი . ფუნქციების ალგებრული ჯამის დიფერენციაცია. სასრული რაოდენობის დიფერენცირებადი ფუნქციების ალგებრული ჯამი დიფერენცირებადი ფუნქციაა, ხოლო ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულთა ალგებრული ჯამის. მაგალითად: ორი ფუნქციისთვის

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

განიხილეთ ფუნქციის შეცვლა და ±ვარგუმენტის Δ შეცვლისას X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

ვინაიდან თითოეული წევრის ზღვარი არსებობს და პირობით სასრულია, ალგებრული ჯამის ზღვარი ტოლია ზღვრების ალგებრული ჯამის. ანუ ფუნქცია (და ±ვ) დიფერენცირებადი თვითნებურ წერტილში Xდა (u± ვ)" = u’ ± ვ’ . მტკიცება დადასტურდა.

2°.ფუნქციების ნამრავლის დიფერენციაცია . ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლი არის დიფერენცირებადი ფუნქცია, ხოლო პროდუქტის წარმოებული უდრის პირველი ფაქტორის წარმოებულის ნამრავლს მეორეზე ცვლილების გარეშე, პლუს პირველი ფაქტორი გამრავლებული მეორის წარმოებულზე:

(დავ) = და"ვ + UV".

ზემოაღნიშნული წესი ადვილად შეიძლება განზოგადდეს დიფერენცირებადი ფუნქციების ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ნამრავლზე, მაგალითად.

მტკიცებულება. პირობით თვითნებურ წერტილში x დ

Δ-ის შეცვლისას Xფუნქციის შეცვლა

წარმოადგინოს სახით

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

ვინაიდან დიფერენციალურობის გამო და

ლიმი Δ ვ = 0 ფუნქციის უწყვეტობის გამო, შემდეგ ზღვრების თვისებებით

Δх→ ო

(UV)" = u"v + uv".

ფუნქციების პროდუქტის დიფერენცირების წესის შედეგად, მკითხველებს ვპატიჟებთ, მიიღონ სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული. არა,ნ ნ :

(დან)’ = მონაზონი-1 და'

3° დასკვნა 2°. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ნიშნიდან

წარმოებული:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

მტკიცებულება. Δ-ის შეცვლისას Xგანიხილეთ ცვლილებები დიფერენცირებად ფუნქციებში u = u(x),ვ= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δх) - ისინი)],Δ ვ = [ ვ(x+ Δх) - ვ(x)].

შეცვლილი ფუნქციის მნიშვნელობები იქნება: და +აუ, v + ავ,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

ფუნქციები და= w(x),v = v(x) ≠ 0 დიფერენცირებადია პირობით და, შესაბამისად, ასევე უწყვეტი, ე.ი.

ლიმიტების თვისებების მიხედვით

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაცია . დაუშვით ფუნქცია ზე= ვ(და) დიფერენცირებადია მიმართებით X, ფუნქცია და= მათ)დიფერენცირებადი მიმართებით X. შემდეგ კომპლექსური ფუნქცია ზე= ვ(u(x)) დიფერენცირებადი მიმართებით X, და

y" =ვ"(u)∙ u"

მტკიცებულება . ფუნქციების დიფერენცირებულობის გამო ვ(u), u(x) და შეზღუდოს თვისებები

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. ინვერსიული ფუნქციის დიფერენციაცია . დაუშვით ფუნქცია y=ვ(x) დიფერენცირებადი მიმართებით Xდა y "x ≠ 0.შემდეგ შებრუნებული ფუნქცია x =გ(ზე) დიფერენცირებადია მიმართებით ზედა x "y \u003d 1 / y" x

მტკიცებულება. მართლაც,

გამოყენების სიმარტივისთვის, ჩვენ წარმოგიდგენთ დიფერენციაციის ძირითად წესებს ცხრილში 1.

ცხრილი 1

დიფერენციაციის წესები

ფორმულის ნომერი
	c =კონსტ, c" = 0.
	(u± ვ)" =u"± ვ", და= მათ),ვ = ვ(x).
	(u ∙ v)= გ ∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",თან = კონსტ.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"ზე =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

ფუნქციის წარმოებულის განმარტებისა და დიფერენცირების წესების გამოყენებით ვპოულობთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს, რომლებიც მოცემულია ქვემოთ ცხრილში 2.

ცხრილი 2

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

	მარტივი ფუნქციები	კომპლექსური ფუნქციები

განმარტება.დაე, ფუნქცია \(y = f(x) \) განისაზღვროს რაღაც ინტერვალში, რომელიც შეიცავს \(x_0 \) წერტილს შიგნით. მოდით გავზარდოთ \(\დელტა x\) არგუმენტამდე ისე, რომ არ დავტოვოთ ეს ინტერვალი. იპოვეთ \(\Delta y \) ფუნქციის შესაბამისი ნამატი (\(x_0 \) წერტილიდან \(x_0 + \Delta x\) წერტილზე გადასვლისას) და შეადგინეთ მიმართება \(\frac(\Delta y). )(\დელტა x) \). თუ ამ მიმართების ზღვარი არის \(\დელტა x \მარჯვნივ arrow 0 \), მაშინ მითითებული ლიმიტი ეძახიან. წარმოებული ფუნქცია\(y=f(x) \) წერტილში \(x_0 \) და აღვნიშნო \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \ to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

სიმბოლო y ხშირად გამოიყენება წარმოებულის აღსანიშნავად. გაითვალისწინეთ, რომ y" = f(x) არის ახალი ფუნქცია, მაგრამ ბუნებრივად ასოცირდება ფუნქციასთან y = f(x), განსაზღვრული ყველა x წერტილში, რომელზედაც ზემოაღნიშნული ზღვარი არსებობს. ამ ფუნქციას ასე ჰქვია: y \u003d f (x) ფუნქციის წარმოებული.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობაშედგება შემდეგი. თუ y ღერძის პარალელური ტანგენტი შეიძლება დახაზოთ y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკზე x \u003d a აბსცისის წერტილში, მაშინ f (a) გამოხატავს ტანგენსის დახრილობას:
\(k = f"(a)\)

ვინაიდან \(k = tg(a) \), ტოლობა \(f"(a) = tg(a) \) მართალია.

და ახლა ჩვენ განვმარტავთ წარმოებულის განმარტებას მიახლოებითი თანასწორობების მიხედვით. დაე, ფუნქციას \(y = f(x) \) ჰქონდეს წარმოებული კონკრეტულ წერტილში \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \ to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ეს ნიშნავს, რომ x წერტილთან ახლოს არის სავარაუდო ტოლობა \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \დაახლოებით f"(x) \), ანუ \(\Delta y \დაახლოებით f"(x) \cdot \დელტაქსი\). მიღებული მიახლოებითი ტოლობის მნიშვნელობითი მნიშვნელობა ასეთია: ფუნქციის ზრდა „თითქმის პროპორციულია“ არგუმენტის ზრდასთან, ხოლო პროპორციულობის კოეფიციენტი არის წარმოებულის მნიშვნელობა მოცემულ x წერტილში. მაგალითად, ფუნქციისთვის \(y = x^2 \) სავარაუდო ტოლობა \(\Delta y \დაახლოებით 2x \cdot \Delta x\) არის ჭეშმარიტი. თუ ყურადღებით გავაანალიზებთ წარმოებულის განმარტებას, აღმოვაჩენთ, რომ იგი შეიცავს მის პოვნის ალგორითმს.

ჩამოვაყალიბოთ.

როგორ მოვძებნოთ y \u003d f (x) ფუნქციის წარმოებული?

1. დააფიქსირეთ მნიშვნელობა \(x \), იპოვეთ \(f(x) \)
2. გაზარდეთ \(x \) არგუმენტი \(\დელტა x\), გადადით ახალ წერტილში \(x+ \დელტა x\), იპოვეთ \(f(x+ \დელტა x) \)
3. იპოვეთ ფუნქციის ზრდა: \(\დელტა y = f(x + \დელტა x) - f(x) \)
4. შეადგინეთ მიმართება \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. გამოთვალეთ $$ \lim_(\Delta x \ to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ეს ზღვარი არის x-ზე ფუნქციის წარმოებული.

თუ ფუნქციას y = f(x) აქვს წარმოებული x წერტილში, მაშინ მას x წერტილში დიფერენცირებადი ეწოდება. y \u003d f (x) ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცედურა ეწოდება დიფერენციაციაფუნქციები y = f(x).

მოდით განვიხილოთ შემდეგი კითხვა: როგორ არის დაკავშირებული ფუნქციის უწყვეტობა და დიფერენცირება ერთ წერტილში?

დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს დიფერენცირებადი x წერტილში. მაშინ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახატვა შესაძლებელია M წერტილში (x; f (x)) და, გავიხსენოთ, ტანგენსის დახრილობა უდრის f "(x). ასეთი გრაფიკი არ შეიძლება "გატეხოს" წერტილი M, ანუ ფუნქცია უნდა იყოს უწყვეტი x-ზე.

ეს იყო მსჯელობა „თითებზე“. მოდით, უფრო მკაცრი არგუმენტი წარმოვადგინოთ. თუ ფუნქცია y = f(x) დიფერენცირებადია x წერტილში, მაშინ მოქმედებს სავარაუდო ტოლობა \(\Delta y \დაახლოებით f"(x) \cdot \Delta x \) ნული, მაშინ \(\Delta y \). ) ასევე მიისწრაფვის ნულისკენ და ეს არის ფუნქციის უწყვეტობის პირობა წერტილში.

Ისე, თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია x წერტილში, მაშინ ის ასევე უწყვეტია ამ წერტილში.

საპირისპირო არ არის სიმართლე. მაგალითად: ფუნქცია y = |x| უწყვეტია ყველგან, კერძოდ x = 0 წერტილში, მაგრამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი „ერთობლივ წერტილში“ (0; 0) არ არსებობს. თუ რაღაც მომენტში შეუძლებელია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახატვა, მაშინ ამ ეტაპზე წარმოებული არ არის.

კიდევ ერთი მაგალითი. ფუნქცია \(y=\sqrt(x) \) უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე, x = 0 წერტილის ჩათვლით. და ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არსებობს ნებისმიერ წერტილში, მათ შორის x = 0 წერტილში. მაგრამ ამ მომენტში ტანგენსი ემთხვევა y-ღერძს, ანუ ის პერპენდიკულარულია აბსცისის ღერძზე, მის განტოლებას აქვს ფორმა x \u003d 0. ასეთი სწორი ხაზისთვის დახრილობა არ არის, რაც ნიშნავს რომ \ ( f "(0) \) არც არსებობს

ასე რომ, ჩვენ გავეცანით ფუნქციის ახალ თვისებას - დიფერენცირებადობას. როგორ შეგიძლიათ განასხვავოთ ფუნქცია ფუნქციის გრაფიკისგან?

პასუხი რეალურად მოცემულია ზემოთ. თუ რაღაც მომენტში შესაძლებელია ტანგენტის დახატვა ფუნქციის გრაფიკზე, რომელიც არ არის x ღერძის პერპენდიკულარული, მაშინ ამ დროს ფუნქცია დიფერენცირებადია. თუ რაღაც მომენტში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არ არსებობს ან ის პერპენდიკულარულია x-ღერძზე, მაშინ ამ დროს ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი.

დიფერენციაციის წესები

წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია. ამ ოპერაციის შესრულებისას ხშირად გიწევთ მუშაობა კოეფიციენტებთან, ჯამებთან, ფუნქციების პროდუქტებთან, ასევე „ფუნქციების ფუნქციებთან“, ანუ რთულ ფუნქციებთან. წარმოებულის განმარტებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ დიფერენციაციის წესები, რომლებიც ხელს უწყობს ამ სამუშაოს. თუ C არის მუდმივი რიცხვი და f=f(x), g=g(x) ზოგიერთი დიფერენცირებადი ფუნქციაა, მაშინ ჭეშმარიტია შემდეგი დიფერენციაციის წესები:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ რთული ფუნქციის წარმოებული:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ზოგიერთი ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი

$$ \left(\frac(1)(x) \მარჯვნივ) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \მარცხნივ(e^x \მარჯვნივ) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $