კითხვაზე 1. მიეცით პარალელური წრფეების განმარტება. რომელ ორ წრფეს ეწოდება პარალელური? ავტორის მიერ მოცემული საშა ნიჟევიასოვისაუკეთესო პასუხია რომელიც თვითმფრინავში არასოდეს გადაიკვეთება

პასუხი ეხლა ადაპტირება[გურუ]
პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და ემთხვევა ან არ იკვეთება.

პასუხი ეხლა ნაუმენკო[გურუ]
სეგმენტები. პარალელურ ხაზებს მიეკუთვნება. პარალელურები არიან.
სწორი ხაზები თვითმფრინავში ე.წ. პარალელურად. თუ ისინი არ იკვეთება ან ემთხვევა.

პასუხი ეხლა ნევროლოგი[ახალშობილი]
ორ წრფეს, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და საერთო წერტილი არ აქვთ, პარალელურს უწოდებენ.

პასუხი ეხლა ჩააგდოს[ოსტატი]

პასუხი ეხლა ვარვარა ლამეკინა[ახალშობილი]
სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურად ითვლება, თუ ისინი არ იკვეთება)

პასუხი ეხლა მაქსიმ ივანოვი[ახალშობილი]
რომლებიც არ იკვეთება სიბრტყეზე.

პასუხი ეხლა Sem2805[აქტიური]
სიბრტყეში ორ წრფეს უწოდებენ პარალელურს, თუ ისინი არ იკვეთება (კლასი 7)

პასუხი ეხლა საშა კლიუჩნიკოვი[ახალშობილი]
პარალელური ხაზები ევკლიდეს გეომეტრიაში, წრფეები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ იკვეთება. აბსოლუტურ გეომეტრიაში, წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, გადის მინიმუმ ერთი ხაზი, რომელიც არ კვეთს მოცემულ წრფეს. ევკლიდეს გეომეტრიაში მხოლოდ ერთი ასეთი ხაზია. ეს ფაქტი ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატის (დაახლოებით პარალელის) ტოლფასია. ლობაჩოვსკის გეომეტრიაში (იხ. აქედან მხოლოდ ორს უწოდებენ AB-ს პარალელურად. CE წრფეს უწოდებენ AB წრფეს პარალელურად A-დან B-მდე მიმართულებით, თუ: 1) წერტილები B და E დევს AC წრფის ერთ მხარეს; 2) CE წრფე არ კვეთს AB წრფეს; ნებისმიერი სხივი, რომელიც გადის კუთხის შიგნით ACE კვეთს სხივს. AB სწორი ხაზი CF AB-ის პარალელურად B-დან A-მდე მიმართულებით განისაზღვრება ანალოგიურად.

პასუხი ეხლა ანატოლი მიშინი[ახალშობილი]
სივრცეში ორ წრფეს უწოდებენ პარალელურს, თუ ისინი დევს ერთ სიბრტყეში და არ იკვეთება.

პასუხი ეხლა ილია[აქტიური]
პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც არ იკვეთება

პასუხი ეხლა თქვა ჩარაკოვმა[ახალშობილი]
პარალელურია ორი წრფე, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.
წერტილის გავლით, მოცემული სიბრტყის პარალელურად მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება.

პასუხი ეხლა ოლგა ნემტირევა[ახალშობილი]
პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და ემთხვევა ან არ იკვეთება. ..ლობაჩევსკის გეომეტრია) სიბრტყეში C წერტილის გავლით (იხ. ნახ.) მოცემული AB წრფის გარეთ გადის წრფეთა უსასრულო ნაკრები, რომლებიც არ იკვეთება AB. აქედან მხოლოდ ორს უწოდებენ AB-ს პარალელურად.

პასუხი ეხლა ოქსანა ტიშჩენკო[ახალშობილი]
პარალელური ხაზები არის ორი წრფე სიბრტყეში, რომლებიც არ იკვეთება. ორ წრფეს პარალელურს უწოდებენ, თუ ისინი პარალელურ წრფეებზეა.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ეს სტატია ეხება პარალელურ ხაზებს და პარალელურ ხაზებს. თავდაპირველად მოცემულია პარალელური წრფეების განმარტება სიბრტყეში და სივრცეში, შემოღებულია აღნიშვნა, მოცემულია პარალელური წრფეების მაგალითები და გრაფიკული ილუსტრაციები. შემდგომში გაანალიზებულია სწორი ხაზების პარალელურობის ნიშნები და პირობები. დასასრულს, ნაჩვენებია გადაწყვეტილებები სწორი ხაზების პარალელურობის დამადასტურებელი ტიპიური ამოცანებისთვის, რომლებიც მოცემულია სწორი ხაზის ზოგიერთი განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში.

გვერდის ნავიგაცია.

პარალელური ხაზები - ძირითადი ინფორმაცია.

განმარტება.

სიბრტყეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურადთუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება.

ორ ხაზს სამ განზომილებაში ეწოდება პარალელურადთუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და საერთო წერტილები არ აქვთ.

გაითვალისწინეთ, რომ სივრცეში პარალელური წრფეების განმარტებაში პუნქტი „თუ ისინი ერთსა და იმავე სიბრტყეში არიან“ ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით განვმარტოთ ეს პუნქტი: ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური, არამედ დახრილი.

აქ მოცემულია პარალელური ხაზების რამდენიმე მაგალითი. ნოუთბუქის ფურცლის საპირისპირო კიდეები დევს პარალელურ ხაზებზე. სწორი ხაზები, რომლითაც სახლის კედლის სიბრტყე კვეთს ჭერისა და იატაკის სიბრტყეებს, პარალელურია. რკინიგზის ლიანდაგები დონის ადგილზე ასევე შეიძლება ჩაითვალოს პარალელურ ხაზებად.

სიმბოლო "" გამოიყენება პარალელური ხაზების აღსანიშნავად. ანუ, თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგიძლიათ მოკლედ დაწეროთ b.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a წრფე პარალელურია b წრფესთან და ასევე, რომ b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით გამოვთქვათ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიბრტყეში პარალელური წრფეების შესწავლაში: მოცემულ წრფეზე არ მდებარე წერტილის გავლით გადის მოცემულის პარალელურად ერთადერთი წრფე. ეს დებულება მიღებულია როგორც ფაქტი (არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე) და მას უწოდებენ პარალელური წრფეების აქსიომას.

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს პარალელური წრფეების ზემოაღნიშნული აქსიომის გამოყენებით (მისი დადასტურება შეგიძლიათ გეომეტრიის სახელმძღვანელოში 10-11 კლასი, რომელიც ჩამოთვლილია სტატიის ბოლოს ბიბლიოგრაფიაში).

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა ადვილად დამტკიცდება ზემოთ მოცემული პარალელური წრფეების აქსიომის გამოყენებით.

წრფეთა პარალელიზმი – პარალელურობის ნიშნები და პირობები.

პარალელური ხაზების ნიშანიარის საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის, ანუ ისეთი პირობა, რომლის შესრულებაც პარალელური ხაზების გარანტიას იძლევა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია იმ ფაქტზე, რომ ხაზები პარალელურია.

ასევე არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის.

ავხსნათ ფრაზის მნიშვნელობა „აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პარალელური ხაზების საკმარისი პირობა. და რა არის „აუცილებელი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“? სახელწოდებით „აუცილებელი“ ირკვევა, რომ ამ პირობის შესრულება აუცილებელია იმისთვის, რომ ხაზები იყოს პარალელური. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ხაზები არ არის პარალელური. ამრიგად, აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ხაზები იყოს პარალელურიარის პირობა, რომლის შესრულებაც აუცილებელია და საკმარისია პარალელური ხაზებისთვის. ანუ, ერთის მხრივ, ეს არის პარალელური წრფეების ნიშანი და მეორე მხრივ, ეს არის თვისება, რომელიც გააჩნია პარალელურ წრფეებს.

ხაზების პარალელურად ყოფნის აუცილებელ და საკმარის პირობამდე, სასარგებლოა გავიხსენოთ რამდენიმე დამხმარე განმარტება.

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს.

სეკანტის ორი ხაზის გადაკვეთაზე იქმნება რვა არაგანლაგებული. Ე. წ იწვა ჯვარედინად, შესაბამისიდა ცალმხრივი კუთხეები. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ნახატზე.

თეორემა.

თუ სიბრტყეზე ორი წრფე იკვეთება სეკანტით, მაშინ მათი პარალელიზმისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი იყოს, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180 გრადუსს.

მოდით ვაჩვენოთ ამ აუცილებელი და საკმარისი პირობის გრაფიკული ილუსტრაცია სიბრტყეში პარალელური ხაზებისთვის.

ამ პირობების მტკიცებულება შეგიძლიათ იპოვოთ პარალელური ხაზებისთვის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში 7-9 კლასებისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობების გამოყენება შესაძლებელია სამგანზომილებიან სივრცეშიც - მთავარია, რომ ორი ხაზი და სეკანტი ერთ სიბრტყეში იყოს.

აქ არის კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის დადასტურება გამომდინარეობს პარალელური წრფეების აქსიომიდან.

მსგავსი პირობაა პარალელური ხაზებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში.

თეორემა.

თუ სივრცეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის მტკიცებულება განიხილება მე-10 კლასის გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

მოდით გამოვხატოთ გაჟღერებული თეორემები.

მოდით მივცეთ კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ სიბრტყეში წრფეების პარალელიზმი.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

არსებობს მსგავსი თეორემა სივრცეში წრფეებისთვის.

თეორემა.

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

მოდით დავხატოთ ამ თეორემების შესაბამისი სურათები.

ყველა ზემოთ ჩამოყალიბებული თეორემა, ნიშნები და აუცილებელი და საკმარისი პირობები სავსებით შესაფერისია სწორი ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გეომეტრიის მეთოდებით. ანუ ორი მოცემული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად აუცილებელია იმის ჩვენება, რომ ისინი პარალელურია მესამე წრფის, ან ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობის ჩვენება და ა.შ. ამ პრობლემებიდან ბევრი წყდება საშუალო სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია კოორდინატების მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემული წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი.

სტატიის ამ ნაწილში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები პარალელური ხაზებისთვისმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, განტოლებების ტიპებიდან გამომდინარე, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ ხაზებს და ასევე მივცემთ ტიპურ ამოცანებს დეტალურ ამონახსნებს.

დავიწყოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე ორი წრფის პარალელურობის პირობით. მისი მტკიცებულება ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის განმარტებას და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განსაზღვრას.

თეორემა.

იმისთვის, რომ სიბრტყეში ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან ამ წრფეების ნორმალური ვექტორები იყოს წრფივი, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი ნორმალურის პერპენდიკულარული იყოს. მეორე ხაზის ვექტორი.

ცხადია, სიბრტყეში ორი წრფის პარალელურობის პირობა მცირდება (წრფეთა მიმართულების ვექტორები ან წრფეების ნორმალური ვექტორები) ან (ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი და მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი). ამრიგად, თუ და არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები და და არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად, პარალელური წრფეებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა a და b შეიძლება ჩაიწეროს როგორც , ან , ან , სადაც t არის რეალური რიცხვი. თავის მხრივ, a და b სწორი ხაზების მიმართული და (ან) ნორმალური ვექტორების კოორდინატები გვხვდება სწორი ხაზების ცნობილი განტოლებიდან.

კერძოდ, თუ წრფე a მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე განსაზღვრავს ფორმის ხაზის ზოგად განტოლებას. და სწორი ხაზი b - , მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად და a და b წრფეების პარალელურობის პირობა დაიწერება როგორც .

თუ სწორი ხაზი a შეესაბამება სწორი ხაზის განტოლებას ფორმის დახრილობის კოეფიციენტთან . მაშასადამე, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზები პარალელურია და შეიძლება მიცემული იყოს დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზების განტოლებით, მაშინ ხაზების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და პირიქით: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი სწორი ხაზები შეიძლება მიღებულ იქნას ტოლი დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზის განტოლებით, მაშინ ასეთი სწორი ხაზები პარალელურია.

თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში a და წრფე b განსაზღვრავს წრფის კანონიკურ განტოლებებს ფორმის სიბრტყეზე. და , ან სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ფორმის სიბრტყეზე და შესაბამისად, მაშინ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და , ხოლო a და b წრფეების პარალელურობის პირობა იწერება როგორც .

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

ხაზები პარალელურია? და ?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების სახით: . ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი და არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი t, რომლის ტოლობა ( ). შესაბამისად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, შესაბამისად, მოცემული წრფეები არ არის პარალელური.

პასუხი:

არა, ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი.

არის ხაზები და პარალელები?

გადაწყვეტილება.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება მივყავართ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის განტოლებამდე: . ცხადია, წრფეების განტოლებები და არ არის ერთნაირი (ამ შემთხვევაში მოცემული ხაზები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, შესაბამისად, თავდაპირველი ხაზები პარალელურია.

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ პარალელურ ხაზებზე, მივცემთ განმარტებებს, აღვნიშნავთ პარალელიზმის ნიშნებსა და პირობებს. თეორიული მასალის სიცხადისთვის გამოვიყენებთ ილუსტრაციებს და ტიპიური მაგალითების ამოხსნას.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

პარალელური ხაზები სიბრტყეშიარის ორი სწორი ხაზი სიბრტყეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება 2

პარალელური ხაზები 3D სივრცეში- ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.

უნდა აღინიშნოს, რომ სივრცეში პარალელური ხაზების დასადგენად ძალიან მნიშვნელოვანია განმარტება „იგივე სიბრტყეში წევა“: ორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის. პარალელური, მაგრამ გადამკვეთი.

პარალელური ხაზების აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება სიმბოლო ∥ . ანუ, თუ მოცემული წრფეები a და b პარალელურია, ეს პირობა მოკლედ უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად: a ‖ b . სიტყვიერად, წრფეთა პარალელურობა მითითებულია შემდეგნაირად: a და b წრფეები პარალელურია, ან წრფე a პარალელურია b წრფესთან, ან b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შესასწავლ თემაში.

აქსიომა

წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, არის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემული წრფის პარალელურად. ეს განცხადება არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც საქმე ეხება სივრცეს, თეორემა მართალია:

თეორემა 1

სივრცის ნებისმიერი წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი იქნება.

ეს თეორემა ადვილი დასამტკიცებელია ზემოაღნიშნული აქსიომის საფუძველზე (გეომეტრიის პროგრამა 10-11 კლასებისთვის).

პარალელიზმის ნიშანი არის საკმარისი პირობა, რომლითაც პარალელური ხაზები გარანტირებულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია პარალელურობის ფაქტის დასადასტურებლად.

კერძოდ, სიბრტყეში და სივრცეში წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობებია. განვმარტოთ: აუცილებელი ნიშნავს პირობას, რომლის შესრულებაც აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის; თუ ის არ არის დაკმაყოფილებული, ხაზები არ არის პარალელური.

შეჯამებით, წრფეთა პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა ისეთი პირობა, რომლის დაცვაც აუცილებელია და საკმარისია წრფეები ერთმანეთის პარალელურად იყოს. ერთის მხრივ, ეს არის პარალელიზმის ნიშანი, მეორეს მხრივ, პარალელური ხაზების თანდაყოლილი თვისება.

საჭირო და საკმარისი პირობების ზუსტი ფორმულირებამდე გავიხსენებთ კიდევ რამდენიმე დამატებით კონცეფციას.

განმარტება 3

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს, რომლებიც ერთმანეთს არ ემთხვევა.

ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას სეკანტი ქმნის რვა გაშლილ კუთხეს. აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოსაყალიბებლად გამოვიყენებთ ისეთ ტიპის კუთხეებს, როგორიცაა ჯვარედინი, შესაბამისი და ცალმხრივი. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ილუსტრაციაში:

თეორემა 2

თუ სიბრტყეზე ორი წრფე კვეთს სეკანტს, მაშინ მოცემული წრფეები რომ იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი იყოს 180-ის ტოლი. გრადუსი.

მოდით გრაფიკულად წარმოვადგინოთ სიბრტყეზე პარალელური ხაზების აუცილებელი და საკმარისი პირობა:

ამ პირობების დადასტურება მოცემულია 7-9 კლასების გეომეტრიის პროგრამაში.

ზოგადად, ეს პირობები ასევე გამოიყენება სამგანზომილებიანი სივრცისთვის, იმ პირობით, რომ ორი ხაზი და სეკანტი მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

მოდით აღვნიშნოთ კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა 3

სიბრტყეში მესამის პარალელურად ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია. ეს თვისება დასტურდება ზემოხსენებული პარალელიზმის აქსიომაზე.

თეორემა 4

სამგანზომილებიან სივრცეში მესამეს პარალელურად ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

ატრიბუტის დადასტურება შესწავლილია მე-10 კლასის გეომეტრიის პროგრამაში.

ჩვენ ვაძლევთ ამ თეორემების ილუსტრაციას:

მივუთითოთ კიდევ ერთი წყვილი თეორემები, რომლებიც ადასტურებენ წრფეების პარალელურობას.

თეორემა 5

სიბრტყეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ მსგავსი სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.

თეორემა 6

სამგანზომილებიან სივრცეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

მოდით ილუსტრაციით:

ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა, ნიშანი და პირობა შესაძლებელს ხდის გეომეტრიის მეთოდებით მოხერხებულად დავამტკიცოთ წრფეების პარალელურობა. ანუ წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან ვაჩვენოთ ის ფაქტი, რომ ორი მოცემული წრფე პერპენდიკულარულია მესამეზე და ა.შ. მაგრამ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ხშირად უფრო მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი

მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი განისაზღვრება ერთ-ერთი შესაძლო ტიპის სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებით. ანალოგიურად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მოცემული სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში შეესაბამება სწორი ხაზის ზოგიერთ განტოლებას სივრცეში.

დავწეროთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეთა პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, მოცემული წრფეების აღწერის განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ სიბრტყეში პარალელური წრფეების მდგომარეობით. იგი ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის და სიბრტყეში წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებებს.

თეორემა 7

იმისთვის, რომ სიბრტყეზე ორი არადამთხვევა წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან მოცემული წრფეების ნორმალური ვექტორები, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორები. მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარული.

აშკარა ხდება, რომ სიბრტყეზე პარალელური წრფეების მდგომარეობა ეფუძნება კოლინარული ვექტორების მდგომარეობას ან ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის პირობას. ანუ, თუ a → = (a x , a y) და b → = (b x, b y) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები;

და n b → = (n b x, n b y) არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შემდეგ ზემოაღნიშნულ აუცილებელ და საკმარის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ან n a → = t n b → ⇔ n a x. = t n b x n a y = t n b y ან a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, სადაც t არის რეალური რიცხვი. მიმართული ან პირდაპირი ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება წრფეების მოცემული განტოლებებით. განვიხილოთ ძირითადი მაგალითები.

1. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a წრფე განისაზღვრება წრფის ზოგადი განტოლებით: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; ხაზი b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (A 1 , B 1) და (A 2 , B 2) შესაბამისად. პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. სწორი ხაზი a აღწერილია სწორი ხაზის განტოლებით y = k 1 x + b 1 ფორმის დახრილობით. სწორი ხაზი b - y \u003d k 2 x + b 2. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (k 1 , - 1) და (k 2 , - 1) შესაბამისად და პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

ამრიგად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე პარალელური ხაზები მოცემულია დახრილობის კოეფიციენტებით განტოლებით, მაშინ მოცემული წრფეების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და საპირისპირო დებულება მართალია: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები განისაზღვრება იმავე დახრილობის კოეფიციენტების მქონე წრფის განტოლებით, მაშინ ეს მოცემული ხაზები პარალელურია.

1. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a და b წრფეები მოცემულია სიბრტყეზე წრფის კანონიკური განტოლებებით: x - x 1 a x = y - y 1 a y და x - x 2 b x = y - y 2 b y ან პარამეტრული განტოლებები. სიბრტყეზე წრფის: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y და x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

მაშინ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იქნება: a x , a y და b x , b y შესაბამისად და პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:

a x = t b x a y = t b y

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1

მოცემულია ორი ხაზი: 2 x - 3 y + 1 = 0 და x 1 2 + y 5 = 1. თქვენ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა ისინი პარალელური.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში ზოგადი განტოლების სახით:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

ჩვენ ვხედავთ, რომ n a → = (2, - 3) არის 2 x - 3 y + 1 = 0 წრფის ნორმალური ვექტორი და n b → = 2, 1 5 არის x 1 2 + y 5 წრფის ნორმალური ვექტორი. = 1.

მიღებული ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს t-ის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

ამრიგად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.

პასუხი:მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი 2

მოცემული ხაზები y = 2 x + 1 და x 1 = y - 4 2 . ისინი პარალელურები არიან?

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიტანოთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება x 1 \u003d y - 4 2 სწორი ხაზის განტოლებაზე დახრილობით:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ y = 2 x + 1 და y = 2 x + 4 წრფეების განტოლებები არ არის იგივე (სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, წრფეები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები პარალელურია.

შევეცადოთ პრობლემის გადაჭრა სხვაგვარად. პირველ რიგში ვამოწმებთ ემთხვევა თუ არა მოცემული ხაზები. ჩვენ ვიყენებთ y \u003d 2 x + 1 წრფის ნებისმიერ წერტილს, მაგალითად, (0, 1), ამ წერტილის კოორდინატები არ შეესაბამება x 1 \u003d y - 4 2 წრფის განტოლებას, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები არ ემთხვევა.

შემდეგი ნაბიჯი არის მოცემული წრფეებისთვის პარალელურობის პირობის შესრულების დადგენა.

y = 2 x + 1 წრფის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n a → = (2 , - 1) , ხოლო მეორე მოცემული წრფის მიმართულების ვექტორი არის b → = (1 , 2) . ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

ამრიგად, ვექტორები პერპენდიკულარულია: ეს გვიჩვენებს იმ აუცილებელი და საკმარისი პირობის შესრულებას, რომ ორიგინალური ხაზები იყოს პარალელური. იმათ. მოცემული ხაზები პარალელურია.

პასუხი:ეს ხაზები პარალელურია.

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გამოიყენება შემდეგი აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

თეორემა 8

იმისთვის, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი შეუსაბამო ხაზი იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ხაზების მიმართულების ვექტორები იყოს კოლინური.

იმათ. სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეთა მოცემული განტოლებისთვის პასუხი კითხვაზე: პარალელურები არიან თუ არა, გვხვდება მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატების განსაზღვრით, აგრეთვე მათი კოლინარობის მდგომარეობის შემოწმებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a → = (a x, a y, a z) და b → = (b x, b y, b z) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები, მაშინ იმისათვის, რომ ისინი იყოს პარალელური, არსებობა ასეთი რეალური რიცხვი t აუცილებელია, რათა ტოლობა იყოს:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

მაგალითი 3

მოცემული ხაზები x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 და x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. აუცილებელია ამ წრფეების პარალელურობის დამტკიცება.

გადაწყვეტილება

ამოცანის პირობებია ერთი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები სივრცეში და მეორე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები სივრცეში. მიმართულების ვექტორები a → და b → მოცემულ ხაზებს აქვთ კოორდინატები: (1 , 0 , - 3) და (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, შემდეგ a → = 1 2 b →.

ამიტომ, სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა დაკმაყოფილებულია.

პასუხი:დასტურდება მოცემული წრფეების პარალელურობა.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter