ასე რომ, ონლაინ მატრიცების გადაჭრის სერვისები:

მატრიცული სერვისი საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ მატრიცების ელემენტარული ტრანსფორმაციები.
თუ თქვენ გაქვთ დავალება შეასრულოთ უფრო რთული ტრანსფორმაცია, მაშინ ეს სერვისი უნდა გამოიყენოთ როგორც კონსტრუქტორი.

მაგალითი. მატრიცის მონაცემები ადა ბ, უნდა იპოვოთ C = ა -1 * ბ + ბ T ,

1. ჯერ უნდა იპოვოთ ინვერსიული მატრიცაA1 = ა-1, შებრუნებული მატრიცის პოვნის სერვისის გამოყენებით;
2. შემდგომ, მატრიცის პოვნის შემდეგ A1გააკეთე მატრიცის გამრავლებაA2 = A1 * ბ, მატრიცის გამრავლების სერვისის გამოყენება;
3. Მოდი გავაკეთოთ ეს მატრიცის ტრანსპოზიციაA3 = ბ T (გადატანილი მატრიცის პოვნის სერვისი);
4. და ბოლო - იპოვეთ მატრიცების ჯამი თან = A2 + A3(მატრიცების ჯამის გამოთვლის სერვისი) - და ვიღებთ პასუხს ყველაზე დეტალური ამოხსნით!;

მატრიცების პროდუქტი

ეს არის ონლაინ სერვისი ორი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ პირველი ფაქტორის მატრიცა ა
• შეიყვანეთ მეორე ფაქტორის მატრიცა ან სვეტის ვექტორი ბ

მატრიცის გამრავლება ვექტორზე

მატრიცის გამრავლება ვექტორზე შეგიძლიათ იპოვოთ სერვისის გამოყენებით მატრიცული გამრავლება
(პირველი ფაქტორი იქნება მოცემული მატრიცა, მეორე ფაქტორი იქნება მოცემული ვექტორის ელემენტებისაგან შემდგარი სვეტი)

ეს არის ონლაინ სერვისი ორი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ მატრიცა ა, რისთვისაც თქვენ უნდა იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა
• მიიღეთ პასუხი დეტალური ამოხსნით შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად

მატრიცის განმსაზღვრელი

ეს არის ონლაინ სერვისი ერთი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ მატრიცა ა, რისთვისაც თქვენ უნდა იპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი

მატრიცის ტრანსპოზიცია

აქ შეგიძლიათ მიჰყვეთ მატრიცის ტრანსპოზიციის ალგორითმს და ისწავლოთ როგორ მოაგვაროთ ასეთი პრობლემები თავად.
ეს არის ონლაინ სერვისი ერთი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ მატრიცა ა, რომელიც საჭიროებს ტრანსპონირებას

მატრიცის რანგი

ეს არის ონლაინ სერვისი ერთი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ მატრიცა ა, რისთვისაც თქვენ უნდა იპოვოთ წოდება

მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები და მატრიცის საკუთრივვექტორები

ეს არის ონლაინ სერვისი ერთი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ მატრიცა ა, რისთვისაც თქვენ უნდა იპოვოთ საკუთრივ ვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები (საკუთრივ მნიშვნელობები)

მატრიცის ექსპონენტაცია

ეს არის ონლაინ სერვისი ორი ნაბიჯი:

• შეიყვანეთ მატრიცა ა, რომელიც ამაღლდება ძალაუფლებაზე
• შეიყვანეთ მთელი რიცხვი ქ- ხარისხი

სამსახურის დავალება. მატრიცის კალკულატორი შექმნილია ხაზოვანი განტოლებების სისტემების მატრიცული გზით გადასაჭრელად (იხილეთ მსგავსი ამოცანების ამოხსნის მაგალითი).

ინსტრუქცია. ონლაინ გადაწყვეტისთვის, თქვენ უნდა აირჩიოთ განტოლების ტიპი და დააყენოთ შესაბამისი მატრიცების განზომილება.

განტოლების ტიპი: A X = B X A = B A X B = C
მატრიცის A ზომა
მატრიცის B ზომა 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C მატრიცის ზომა 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

სადაც A, B, C მოცემულია მატრიცები, X არის სასურველი მატრიცა. (1), (2) და (3) ფორმის მატრიცული განტოლებები ამოხსნილია შებრუნებული მატრიცის A -1 მეშვეობით. თუ მოცემულია გამოთქმა A X - B = C, მაშინ საჭიროა ჯერ C + B მატრიცების დამატება და გამოსავალი A X = D გამოთქმისთვის, სადაც D = C + B (). თუ გამოთქმა A*X = B 2 არის მოცემული, მაშინ B მატრიცა ჯერ უნდა იყოს კვადრატში. ასევე რეკომენდებულია გაეცნოთ მატრიცების ძირითად ოპერაციებს.

მაგალითი #1. ვარჯიში. იპოვნეთ მატრიცული განტოლების ამონახსნი
გადაწყვეტილება. აღნიშნე:
მაშინ მატრიცული განტოლება დაიწერება სახით: A·X·B = C.
A მატრიცის განმსაზღვრელი არის detA=-1
ვინაიდან A არის არასიგნორული მატრიცა, არსებობს შებრუნებული მატრიცა A -1. მარცხნივ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე A -1-ზე: გავამრავლოთ ამ განტოლების ორივე მხარე A -1-ზე და მარჯვნივ B -1-ზე: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . ვინაიდან A -1 = B B -1 = E და E X = X E = X, მაშინ X = A -1 C B -1

ინვერსიული მატრიცა A -1:
იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა B -1.
მატრიცის ტრანსპოზირება B T:
ინვერსიული მატრიცა B -1:
ჩვენ ვეძებთ X მატრიცას ფორმულით: X = A -1 C B -1

პასუხი:

მაგალითი #2. ვარჯიში.მატრიცული განტოლების ამოხსნა
გადაწყვეტილება. აღნიშნე:
შემდეგ მატრიცული განტოლება დაიწერება სახით: A X = B.
A მატრიცის განმსაზღვრელი არის detA=0
ვინაიდან A არის დეგენერაციული მატრიცა (განმსაზღვრელი არის 0), შესაბამისად, განტოლებას არ აქვს ამონახსნი.

მაგალითი #3. ვარჯიში. იპოვნეთ მატრიცული განტოლების ამონახსნი
გადაწყვეტილება. აღნიშნე:
მაშინ მატრიცული განტოლება დაიწერება სახით: X·A = B.
A მატრიცის განმსაზღვრელი არის detA=-60
ვინაიდან A არის არასიგნორული მატრიცა, არსებობს შებრუნებული მატრიცა A -1. გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარეს მარჯვენა A -1-ზე: X A A -1 = B A -1 , საიდანაც ვხვდებით, რომ X = B A -1
იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა A -1.
ტრანსპონირებული მატრიცა A T:
ინვერსიული მატრიცა A -1:
ჩვენ ვეძებთ X მატრიცას ფორმულით: X = B A -1


პასუხი: >

ინვერსიული მატრიცა- ასეთი მატრიცა ა −1 , როდესაც მრავლდება რომელზე, ორიგინალური მატრიცა აიძლევა შედეგად პირადობის მატრიცა ე:

კვადრატული მატრიცაშექცევადია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის არადეგენერატია, ანუ მისი განმსაზღვრელიარ არის ნულის ტოლი. არაკვადრატული მატრიცებისთვის და დეგენერაციული მატრიცებიინვერსიული მატრიცები არ არსებობს. თუმცა ამ კონცეფციის განზოგადება და დანერგვა შესაძლებელია ფსევდოინვერსიული მატრიცები, ინვერსიების მსგავსი ბევრ თვისებაში.

მატრიცული განტოლებების ამოხსნა

მატრიცული განტოლებები შეიძლება გამოიყურებოდეს:

AX = B, XA = B, AXB = C,

სადაც A, B, C მოცემულია მატრიცები, X არის სასურველი მატრიცა.

მატრიცული განტოლებები წყდება განტოლების შებრუნებულ მატრიცებზე გამრავლებით.

მაგალითად, განტოლებიდან მატრიცის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს განტოლება მარცხნივ.

ამიტომ, განტოლების ამოხსნის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა და გაამრავლოთ იგი განტოლების მარჯვენა მხარეს არსებულ მატრიცზე.

სხვა განტოლებები წყდება ანალოგიურად.

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება AX = B თუ

გადაწყვეტილება: ვინაიდან მატრიცის შებრუნებული ტოლია (იხ. მაგალითი 1)

ხაზოვანი სივრცეები

ხაზოვანი სივრცის განსაზღვრა

დაე იყოს ვ- არა ცარიელი სიმრავლე (მის ელემენტებს ვუწოდებთ ვექტორებს და აღვნიშნავთ ...), რომელშიც დადგენილია წესები:

1) ნებისმიერი ორი ელემენტი შეესაბამება მესამე ელემენტს, რომელსაც ეწოდება ელემენტების ჯამი (შიდა ოპერაცია);

2) თითოეული მათგანი შეესაბამება გარკვეულ ელემენტს (გარე ოპერაცია).

Რამოდენიმე ვეწოდება ნამდვილ წრფივ (ვექტორულ) სივრცეს, თუ მოქმედებს შემდეგი აქსიომები:

ᲛᲔ.

III. (ნულოვანი ელემენტი, ისეთი რომ ).

IV. (ელემენტის საპირისპირო ელემენტი), ისეთი, რომ

ვ.

VIII. რთული წრფივი სივრცე განისაზღვრება ანალოგიურად (ნაცვლად რგანიხილება C).

წრფივი სივრცის ქვესივრცე

სიმრავლეს წრფივი სივრცის ქვესივრცე ეწოდება ვ, თუ:

1)

ხაზოვანი სივრცის ვექტორული სისტემა ლ ფორმები საფუძველი in ლ თუ ვექტორთა ეს სისტემა დალაგებულია, წრფივად დამოუკიდებელია და ნებისმიერი ვექტორი ლ წრფივად არის გამოხატული სისტემის ვექტორების მიხედვით.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების ხაზოვანი დამოუკიდებელი მოწესრიგებული სისტემა ე 1 , ..., ე ნ აყალიბებს საფუძველს ლ თუ რაიმე ვექტორი xდან ლ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

x= C 1 ე 1 + C 2 ე 2 + ... + C ნ · ე ნ .

საფუძველი შეიძლება განსხვავებულად განისაზღვროს.

ნებისმიერი მოწესრიგებული ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემა ე 1 , ..., ე ნვექტორები n-განზომილებიანი ხაზოვანი სივრცე ლ ნ ქმნის ამ სივრცის საფუძველს.

Იმდენად, რამდენადაც ნ, სივრცის განზომილება ლ ნ არის წრფივად დამოუკიდებელი სივრცის ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა, შემდეგ ვექტორთა სისტემა x,ე 1 , ..., ე ნწრფივად დამოკიდებული და, შესაბამისად, ვექტორი xწრფივად გამოხატული ვექტორებით ე 1 , ..., ე ნ :

x = xერთი · ე 1 + x 2 ე 2 + ...+ x ნ · ე ნ .

ვექტორის ასეთი დაშლა საფუძვლის თვალსაზრისით მხოლოდ.

თეორემა 1. (ვექტორების რაოდენობის შესახებ ვექტორების წრფივად დამოუკიდებელ და წარმომქმნელ სისტემებში.) ვექტორების რაოდენობა ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელ სისტემაში არ აღემატება ვექტორების რაოდენობას იმავე ვექტორების რომელიმე გენერირებელ სისტემაში. ვექტორისივრცე.

მტკიცებულება. დაე, ვექტორების თვითნებური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა იყოს თვითნებური წარმომქმნელი სისტემა. დავუშვათ, რომ.

იმიტომ რომ გენერირების სისტემა, მაშინ იგი წარმოადგენს სივრცის ნებისმიერ ვექტორს, ვექტორის ჩათვლით. მოდით დავამატოთ ის ამ სისტემაში. ჩვენ ვიღებთ ვექტორების ხაზობრივად დამოკიდებულ და გენერირებულ სისტემას: . შემდეგ არის ამ სისტემის ვექტორი, რომელიც წრფივად არის გამოხატული ამ სისტემის წინა ვექტორების მიხედვით და, ლემის ძალით, ის შეიძლება ამოღებულ იქნეს სისტემიდან, ხოლო ვექტორთა დარჩენილი სისტემა კვლავ წარმოიქმნება.

ჩვენ ხელახლა ვნომრავთ ვექტორთა დარჩენილ სისტემას: . იმიტომ რომ ეს სისტემა წარმოქმნის, შემდეგ ის წარმოადგენს ვექტორს და ამ სისტემაზე მიმაგრებით კვლავ ვიღებთ წრფივად დამოკიდებულ და წარმომქმნელ სისტემას: .

მერე ყველაფერი მეორდება. ამ სისტემაში არის ვექტორი, რომელიც წრფივად გამოიხატება წინა პირების მიხედვით და ეს არ შეიძლება იყოს ვექტორი, ვინაიდან თავდაპირველი სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და ვექტორი არ არის გამოხატული წრფივად ვექტორის მიხედვით. ასე რომ, ის შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთ-ერთი ვექტორი. სისტემიდან ამოღებით, გადანომრვის შემდეგ ვიღებთ სისტემას, რომელიც იქნება გენერირების სისტემა. ამ პროცესის გაგრძელებით, ნაბიჯების შემდეგ ვიღებთ ვექტორების გენერირების სისტემას: , სად, იმიტომ ჩვენი ვარაუდით. ეს ნიშნავს, რომ ეს სისტემა, როგორც გენერატორი, ასევე წარმოადგენს ვექტორს, რომელიც ეწინააღმდეგება სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის პირობას.

თეორემა 1 დადასტურებულია.

თეორემა 2. (ბაზისში ვექტორების რაოდენობის შესახებ.) ვექტორის ნებისმიერ საფუძველში სივრცეშეიცავს იგივე რაოდენობის ვექტორებს.

მტკიცებულება. მოდით და იყოს ორი თვითნებური ვექტორული სივრცის ბაზა. ნებისმიერი საფუძველი არის ვექტორების ხაზოვანი დამოუკიდებელი და გენერატორი სისტემა.

იმიტომ რომ პირველი სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო მეორე გენერირდება, შემდეგ თეორემა 1, .

ანალოგიურად, მეორე სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და პირველი წარმოქმნის, შემდეგ . აქედან გამომდინარეობს , რომ პ.თ.დ.

თეორემა 2 დადასტურებულია.

ეს თეორემასაშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ შემდეგი განმარტება.

განმარტება. ვექტორული სივრცის განზომილება V ველზე K არის ვექტორების რაოდენობა მის საფუძველში.

აღნიშვნა: ან .

ვექტორული კოორდინატებიარის ერთადერთი შესაძლოს კოეფიციენტები ხაზოვანი კომბინაცია ძირითადი ვექტორებიშერჩეულში კოორდინატთა სისტემამოცემული ვექტორის ტოლი.

მატრიცა არის მათემატიკური ობიექტი, რომელიც იწერება რიცხვების მართკუთხა ცხრილის სახით და იძლევა ალგებრულ ოპერაციებს (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და ა.შ.) მასსა და სხვა მსგავს ობიექტებს შორის. მატრიცებზე ოპერაციების შესრულების წესები შედგენილია შემდეგნაირად:

რათა მოსახერხებელი იყოს წრფივი განტოლებათა სისტემების დაწერა. ჩვეულებრივ, მატრიცა აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით და გამოირჩევა მრგვალი ფრჩხილებით "(...)" (ასევე გვხვდება

კვადრატული ფრჩხილებით ხაზგასმა „[…]“, ორმაგი სწორი ხაზები „||…||“) და რიცხვები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას (მატრიცის ელემენტები) აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც თავად მატრიცა, მაგრამ მცირე. თითოეულ მატრიცის ელემენტს აქვს 2 სუბსკრიპტი (a ij ) - პირველი "i" ნიშნავს

მწკრივის ნომერი, რომელშიც არის ელემენტი, ხოლო მეორე "j" არის სვეტის ნომერი.

მატრიცული ოპერაციები

A მატრიცის გამრავლება რიცხვზე

B , რომლის ელემენტები მიიღება A მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვზე გამრავლებით, ანუ B მატრიცის თითოეული ელემენტი არის

b ij = λ a ij

მატრიცის დამატება A

C მატრიცის ელემენტია

c ij= a ij+ b ij

მატრიცის გამოკლება ა

c ij= a ij- b ij

A+Θ=A

მატრიცული გამრავლება(აღნიშვნა: AB , იშვიათად გამრავლების ნიშნით) - არის ოპერაცია C მატრიცის გამოსათვლელად, რომლის ელემენტები უდრის პირველი ფაქტორის შესაბამის მწკრივში და მეორის სვეტის ელემენტების ნამრავლების ჯამს.

c ij= ∑ a ikb kj

პირველ მულტიპლიკატორს უნდა ჰქონდეს იმდენი სვეტი, რამდენი მწკრივია მეორეში. თუ A მატრიცას აქვს განზომილება, B -, მაშინ მათი პროდუქტის განზომილება AB = C

იქ არის . მატრიცის გამრავლება არ არის კომუტაციური. ეს ჩანს სულ მცირე იქიდან, რომ თუ მატრიცები არ არის კვადრატი, მაშინ შეგიძლიათ მხოლოდ ერთი მეორეზე გაამრავლოთ, მაგრამ არა პირიქით. ამისთვის

კვადრატული მატრიცები, გამრავლების შედეგი დამოკიდებულია ფაქტორების თანმიმდევრობაზე.

მხოლოდ კვადრატული მატრიცები შეიძლება გაიზარდოს სიმძლავრემდე.

იდენტობის მატრიცა

კვადრატული მატრიცებისთვის არის პირადობის მატრიცა E ისეთი, რომ ნებისმიერი გამრავლება

მასზე მატრიცა გავლენას არ ახდენს შედეგზე, კერძოდ

EA=AE=A

იდენტურობის მატრიცას აქვს ერთეულები მხოლოდ შიგნით

დიაგონალები, სხვა ელემენტები ნულის ტოლია

ზოგიერთი კვადრატული მატრიცისთვის შეიძლება მოიძებნოს ე.წინვერსიული მატრიცა.

შებრუნებული მატრიცა A - 1 ისეთია, რომ თუ მატრიცას გაამრავლებთ მასზე, მიიღებთ იდენტურობის მატრიცას.

AA − 1 = E

ინვერსიული მატრიცა ყოველთვის არ არსებობს. მატრიცები, რომლებისთვისაც არსებობს ინვერსია, ეწოდება

არადეგენერატი და რომლისთვისაც არ არის - გადაგვარებული. მატრიცა არ არის გადაგვარებული, თუ მისი ყველა მწკრივი (სვეტი) წრფივად დამოუკიდებელია, როგორც ვექტორები. წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა

(სვეტები) ეწოდება მატრიცის რანგი. მატრიცის განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი) არის ნორმალიზებული დახრილ-სიმეტრიული ხაზოვანი ფუნქცია მატრიცის რიგებზე. მატრიცა

არის გადაგვარებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

მატრიცის თვისებები

1. A + (B + C ) = (A + B ) + C

2.A+B=B+A

3. A (BC ) = (AB )C

4.A(B+C)=AB+AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. სიმეტრიული მატრიცა A არის დადებითი განსაზღვრული (A > 0), თუ მისი ყველა ძირითადი კუთხის მნიშვნელობები მცირეა A k > 0

10. სიმეტრიული მატრიცა A არის უარყოფითი განსაზღვრული (A< 0), если матрица (−A )

არის დადებით-განსაზღვრული, ანუ თუ რომელიმე k-სთვის k-ე რიგის მთავარ მცირეს აქვს A k ნიშანი (− 1)k

წრფივი განტოლებათა სისტემები

m განტოლებათა სისტემა n უცნობით

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით

და შემდეგ მთელი სისტემა შეიძლება ჩაიწეროს ასე: AX =B

მატრიცული ოპერაციები

მოდით a ij იყოს A მატრიცის ელემენტები, ხოლო b ij - B მატრიცა.

A მატრიცის გამრავლება რიცხვზეλ (აღნიშვნა: λA ) არის მატრიცის აგება

B , რომლის ელემენტები მიიღება A მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვზე გამრავლებით, ანუ B მატრიცის თითოეული ელემენტია b ij = λa ij.

დავწეროთ მატრიცა A

გაამრავლეთ A მატრიცის პირველი ელემენტი 2-ზე

მატრიცის დამატება A+ B არის C მატრიცის პოვნის ოპერაცია, რომლის ყველა ელემენტი ტოლია A და B მატრიცების ყველა შესაბამისი ელემენტის წყვილი ჯამით, ანუ თითოეული

C მატრიცის ელემენტია

c ij= a ij+ b ij

А+В დავწეროთ А და В მატრიცები

შეასრულეთ მატრიცების პირველი ელემენტების დამატება

მნიშვნელობების გაჭიმვა ჯერ ჰორიზონტალურად და შემდეგ ვერტიკალურად (შეგიძლიათ პირიქით)

მატრიცის გამოკლება ა− B განსაზღვრულია შეკრების მსგავსად, ეს არის C მატრიცის პოვნის ოპერაცია, რომლის ელემენტებიც

c ij= a ij- b ij

შეკრება და გამოკლება დასაშვებია მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის.

არსებობს ნულოვანი Θ მატრიცა, რომ მისი დამატება სხვა A მატრიცაში არ ცვლის A, ე.ი.

A+Θ=A

ნულოვანი მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

ეს თემა ერთ-ერთი ყველაზე საძულველია სტუდენტებში. უარესი, ალბათ, მხოლოდ განმსაზღვრელი.

ხრიკი იმაში მდგომარეობს, რომ ინვერსიული ელემენტის კონცეფცია (და მე ახლა მხოლოდ მატრიცებზე არ ვსაუბრობ) მიგვანიშნებს გამრავლების ოპერაციაზე. სასკოლო პროგრამაშიც კი გამრავლება რთულ ოპერაციად ითვლება, მატრიცული გამრავლება კი ზოგადად ცალკე თემაა, რომელსაც მთელი აბზაცი და ვიდეო გაკვეთილი მიძღვნილი მაქვს.

დღეს ჩვენ არ შევეხებით მატრიცის გამოთვლების დეტალებს. უბრალოდ დაიმახსოვრეთ: როგორ აღინიშნება მატრიცები, როგორ მრავლდება ისინი და რა მოჰყვება აქედან.

მიმოხილვა: მატრიცული გამრავლება

პირველ რიგში შევთანხმდეთ აღნიშვნაზე. $A$ ზომის $\left[ m\ჯერ n \მარჯვნივ]$ მატრიცა არის უბრალოდ რიცხვების ცხრილი ზუსტად $m$ რიგებით და $n$ სვეტებით:

\=\ქვედაჭერი(\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])_(n)\]

იმისათვის, რომ შემთხვევით არ ავურიოთ რიგები და სვეტები ადგილებზე (დამერწმუნეთ, გამოცდაზე შეგიძლიათ აურიოთ ერთი დუში - რა შეგვიძლია ვთქვათ იქ ზოგიერთ ხაზზე), უბრალოდ შეხედეთ სურათს:

მატრიქსის უჯრედების ინდექსების განსაზღვრა

Რა ხდება? თუ ზედა მარცხენა კუთხეში მოვათავსებთ სტანდარტულ კოორდინატთა სისტემას $OXY$ და მივმართავთ ღერძებს ისე, რომ დაფარონ მთელი მატრიცა, მაშინ ამ მატრიცის თითოეული უჯრედი შეიძლება ცალსახად იყოს დაკავშირებული $\left(x;y \right) კოორდინატებთან. $ - ეს იქნება რიგის ნომერი და სვეტის ნომერი.

რატომ არის კოორდინატთა სისტემა მოთავსებული ზუსტად ზედა მარცხენა კუთხეში? დიახ, რადგან სწორედ იქიდან ვიწყებთ ნებისმიერი ტექსტის კითხვას. ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

რატომ არის $x$ ღერძი მიმართული ქვემოთ და არა მარჯვნივ? კიდევ ერთხელ, ეს მარტივია: აიღეთ სტანდარტული კოორდინატთა სისტემა ($x$ ღერძი მიდის მარჯვნივ, $y$ ღერძი მაღლა) და დაატრიალეთ ისე, რომ იგი აკრავს მატრიცას. ეს არის 90 გრადუსიანი ბრუნვა საათის ისრის მიმართულებით - მის შედეგს სურათზე ვხედავთ.

ზოგადად, ჩვენ გავარკვიეთ, თუ როგორ უნდა განვსაზღვროთ მატრიცის ელემენტების ინდექსები. ახლა მოდით გამრავლებას გავუმკლავდეთ.

განმარტება. მატრიცები $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$, როდესაც სვეტების რაოდენობა პირველში ემთხვევა მეორეში მწკრივების რაოდენობას, არის თანმიმდევრული ეწოდება.

ეს იმ თანმიმდევრობით. შეიძლება იყოს ორაზროვანი და ვთქვათ, რომ $A$ და $B$ მატრიცები ქმნიან დალაგებულ წყვილს $\left(A;B \right)$: თუ ისინი თანმიმდევრულია ამ თანმიმდევრობით, მაშინ სულაც არ არის აუცილებელი, რომ $B $ და $A$, ესენი. წყვილი $\left(B;A \right)$ ასევე თანმიმდევრულია.

მხოლოდ თანმიმდევრული მატრიცების გამრავლება შეიძლება.

განმარტება. თანმიმდევრული მატრიცების ნამრავლი $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$ არის ახალი მატრიცა $C=\left[m\ჯერ k \მარჯვნივ ]$ , რომლის ელემენტები $((c)_(ij))$ გამოითვლება ფორმულით:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)((a)_(ik)))\cdot ((ბ)_(kj))\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: $((c)_(ij))$ მატრიცის $((c)_(ij))$ ელემენტის მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ პირველი მატრიცის $i$-სტრიქონი, $j$. -მეორე მატრიცის -მეორე სვეტი და შემდეგ გავამრავლოთ წყვილებში ელემენტები ამ მწკრივისა და სვეტიდან. დაამატეთ შედეგები.

დიახ, ეს მკაცრი განმარტებაა. რამდენიმე ფაქტი დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს მისგან:

1. მატრიცის გამრავლება, ზოგადად, არაკომუტაციურია: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. თუმცა, გამრავლება ასოციაციურია: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. და თანაც გამანაწილებელი: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. და ისევ გამანაწილებელი: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

გამრავლების განაწილება ცალ-ცალკე უნდა ყოფილიყო აღწერილი მარცხენა და მარჯვენა მულტიპლიკატორ-ჯამისთვის მხოლოდ გამრავლების ოპერაციის არაკომუტატიურობის გამო.

თუ, მიუხედავად ამისა, აღმოჩნდება, რომ $A\cdot B=B\cdot A$, ასეთ მატრიცებს უწოდებენ პერმუტაციას.

ყველა იმ მატრიცებს შორის, რომლებიც იქ რაღაცაზე მრავლდება, არის სპეციალური - ისეთებიც, რომლებიც $A$-ზე რაიმე მატრიცით გამრავლებისას კვლავ იძლევა $A$-ს:

განმარტება. $E$ მატრიცას ეწოდება იდენტურობა, თუ $A\cdot E=A$ ან $E\cdot A=A$. $A$ კვადრატული მატრიცის შემთხვევაში შეგვიძლია დავწეროთ:

იდენტურობის მატრიცა ხშირი სტუმარია მატრიცის განტოლებების ამოხსნისას. და საერთოდ, ხშირი სტუმარი მატრიცების სამყაროში. :)

და ამ $E$-ის გამო ვიღაცამ მოიფიქრა მთელი თამაში, რომელიც შემდეგ დაიწერება.

რა არის ინვერსიული მატრიცა

ვინაიდან მატრიცის გამრავლება ძალიან შრომატევადი ოპერაციაა (თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიგები და სვეტები), ინვერსიული მატრიცის კონცეფცია ასევე არ არის ყველაზე ტრივიალური. და ამას გარკვეული ახსნა სჭირდება.

გასაღების განმარტება

ისე, დროა ვიცოდეთ სიმართლე.

განმარტება. $B$ მატრიცას ეწოდება $A$ მატრიცის შებრუნებული თუ

შებრუნებული მატრიცა აღინიშნება $((A)^(-1))$-ით (არ უნდა აგვერიოს ხარისხში!), ასე რომ, განმარტება შეიძლება გადაიწეროს ასე:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ძალიან მარტივი და გასაგებია. მაგრამ ასეთი განმარტების გაანალიზებისას, დაუყოვნებლივ ჩნდება რამდენიმე კითხვა:

1. ინვერსიული მატრიცა ყოველთვის არსებობს? და თუ არა ყოველთვის, მაშინ როგორ განვსაზღვროთ: როდის არსებობს და როდის არა?
2. და ვინ თქვა, რომ ასეთი მატრიცა ზუსტად ერთია? რა მოხდება, თუ ორიგინალური $A$ მატრიცისთვის არის ინვერსიების მთელი ბრბო?
3. რას ჰგავს ყველა ეს "უკუქცევა"? და როგორ ითვლი მათ რეალურად?

რაც შეეხება გაანგარიშების ალგორითმებს - ამაზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ. მაგრამ დანარჩენ კითხვებზე ახლავე გავცემთ პასუხს. მოვაწყოთ ისინი ცალკეული მტკიცება-ლემების სახით.

ძირითადი თვისებები

დავიწყოთ იმით, თუ როგორ უნდა გამოიყურებოდეს $A$ მატრიცა, რათა მას ჰქონდეს $((A)^(-1))$. ახლა ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ორივე მატრიცა უნდა იყოს კვადრატული და იგივე ზომის: $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$.

ლემა 1. მოცემულია $A$ მატრიცა და მისი შებრუნებული $((A)^(-1))$. მაშინ ორივე ეს მატრიცა კვადრატულია და აქვს იგივე რიგი $n$.

მტკიცებულება. ყველაფერი მარტივია. მოდით მატრიცა $A=\left[ m\ჯერ n \მარჯვნივ]$, $((A)^(-1))=\left[ a\ჯერ b \მარჯვნივ]$. ვინაიდან პროდუქტი $A\cdot ((A)^(-1))=E$ არსებობს განსაზღვრებით, $A$ და $((A)^(-1))$ მატრიცები თანმიმდევრულია ამ თანმიმდევრობით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ m\ჯერ n \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[a\ჯერ b \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ m\ჯერ b \მარჯვნივ] \\ & n=a \end( გასწორება)\]

ეს არის მატრიცის გამრავლების ალგორითმის პირდაპირი შედეგი: კოეფიციენტები $n$ და $a$ არის "ტრანზიტი" და უნდა იყოს ტოლი.

ამავდროულად, ასევე განისაზღვრება შებრუნებული გამრავლება: $((A)^(-1))\cdot A=E$, ამიტომ $((A)^(-1))$ და $A$ არის მატრიცები. ასევე შეესაბამება ამ თანმიმდევრობას:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ a\ჯერ b \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ m\ჯერ n \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ a\ჯერ n \მარჯვნივ] \\ & b=m \end( გასწორება)\]

ამრიგად, განზოგადების დაკარგვის გარეშე, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ $A=\left[m\ჯერ n \right]$, $((A)^(-1))=\left[n\ჯერ m \მარჯვნივ]$. თუმცა, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$-ის განმარტების მიხედვით, მატრიცების ზომები ზუსტად იგივეა:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ m\ჯერ n \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[n\ჯერ m \მარჯვნივ] \\ & m=n \end (გასწორება)\]

გამოდის, რომ სამივე მატრიცა - $A$, $((A)^(-1))$ და $E$ - არის კვადრატული ზომის $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$. ლემა დადასტურებულია.

ისე, ეს უკვე კარგია. ჩვენ ვხედავთ, რომ მხოლოდ კვადრატული მატრიცებია შექცევადი. ახლა მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ინვერსიული მატრიცა ყოველთვის იგივეა.

ლემა 2. მოცემულია $A$ მატრიცა და მისი შებრუნებული $((A)^(-1))$. მაშინ ეს ინვერსიული მატრიცა უნიკალურია.

მტკიცებულება. დავიწყოთ საპირისპიროდან: დაე, $A$-ს მატრიცას ჰქონდეს ინვერსიის მინიმუმ ორი ეგზემპლარი - $B$ და $C$. მაშინ, განმარტების მიხედვით, შემდეგი ტოლობები მართალია:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

Lemma 1-დან დავასკვნათ, რომ ოთხივე მატრიცა $A$, $B$, $C$ და $E$ არის იგივე რიგის კვადრატი: $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$. ამრიგად, პროდუქტი განისაზღვრება:

ვინაიდან მატრიცის გამრავლება ასოციაციურია (მაგრამ არა კომუტაციური!), შეგვიძლია დავწეროთ:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ მივიღეთ ერთადერთი შესაძლო ვარიანტი: შებრუნებული მატრიცის ორი ასლი ტოლია. ლემა დადასტურებულია.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა თითქმის სიტყვასიტყვით იმეორებს შებრუნებული ელემენტის უნიკალურობის დადასტურებას ყველა რეალური რიცხვისთვის $b\ne 0$. ერთადერთი მნიშვნელოვანი დამატება არის მატრიცების განზომილების გათვალისწინება.

თუმცა, ჩვენ ჯერ კიდევ არაფერი ვიცით იმის შესახებ, არის თუ არა რაიმე კვადრატული მატრიცა ინვერსიული. აქ განმსაზღვრელი გვეხმარება - ეს არის ყველა კვადრატული მატრიცის ძირითადი მახასიათებელი.

ლემა 3. მოცემულია $A$ მატრიცა. თუ არსებობს $((A)^(-1))$ მატრიცა მის საპირისპიროდ, მაშინ ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი:

\[\მარცხნივ| A \მარჯვნივ|\ne 0\]

მტკიცებულება. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ $A$ და $((A)^(-1))$ არის $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ ზომის კვადრატული მატრიცები. მაშასადამე, თითოეული მათგანისთვის შესაძლებელია გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი: $\left| \მარჯვნივ|$ და $\მარცხნივ| ((A)^(-1)) \მარჯვნივ|$. თუმცა, პროდუქტის განმსაზღვრელი ტოლია დეტერმინანტების ნამრავლის:

\[\მარცხნივ| A\cdot B \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| B \მარჯვნივ|\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ| A\cdot ((A)^(-1)) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| ((A)^(-1)) \მარჯვნივ|\]

მაგრამ $A\cdot ((A)^(-1))=E$-ის განმარტების მიხედვით და $E$-ის განმსაზღვრელი ყოველთვის 1-ის ტოლია, ასე რომ

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \მარცხნივ| A\cdot ((A)^(-1)) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| E\right|; \\ & \მარცხნივ| \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| ((A)^(-1)) \მარჯვნივ|=1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ორი რიცხვის ნამრავლი ერთის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თითოეული ეს რიცხვი განსხვავდება ნულიდან:

\[\მარცხნივ| A \მარჯვნივ|\ne 0;\ოთხი \მარცხნივ| ((A)^(-1)) \მარჯვნივ|\ne 0.\]

ასე რომ, გამოდის, რომ $\left| A \right|\ne 0$. ლემა დადასტურებულია.

სინამდვილეში, ეს მოთხოვნა საკმაოდ ლოგიკურია. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმს - და სრულიად გასაგები გახდება, თუ რატომ, პრინციპში, არ შეიძლება არსებობდეს შებრუნებული მატრიცა ნულოვანი დეტერმინანტით.

მაგრამ ჯერ მოდით ჩამოვაყალიბოთ "დამხმარე" განმარტება:

განმარტება. გადაგვარებული მატრიცა არის $\left[n\ჯერ n\right]$ ზომის კვადრატული მატრიცა, რომლის განმსაზღვრელი არის ნული.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ნებისმიერი ინვერსიული მატრიცა არ არის გადაგვარებული.

როგორ მოვძებნოთ ინვერსიული მატრიცა

ახლა განვიხილავთ უნივერსალურ ალგორითმს ინვერსიული მატრიცების საპოვნელად. ზოგადად, არსებობს ორი ზოგადად მიღებული ალგორითმი და მეორესაც დღეს განვიხილავთ.

ის, რომელიც ახლა განვიხილავთ, ძალიან ეფექტურია $\left[ 2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და - ნაწილობრივ - $\left[ 3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცებისთვის. მაგრამ $\left[ 4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$ ზომიდან დაწყებული, უმჯობესია არ გამოიყენოთ იგი. რატომ - ახლა ყველაფერს გაიგებ.

ალგებრული დამატებები

Მოემზადე. ახლა იქნება ტკივილი. არა, არ ინერვიულო: ლამაზი ექთანი კალთაში, წინდები მაქმანით არ მოგდის და არ გაგიკეთებს ინექციას დუნდულოში. ყველაფერი ბევრად უფრო პროზაულია: ალგებრული დამატებები და მისი უდიდებულესობა "საკავშირო მატრიცა" მოდის თქვენთან.

დავიწყოთ მთავარით. იყოს $A=\left[ n\ჯერ n \right]$ ზომის კვადრატული მატრიცა, რომლის ელემენტები დასახელებულია $((a)_(ij))$. შემდეგ, თითოეული ასეთი ელემენტისთვის, შეიძლება განისაზღვროს ალგებრული დანამატი:

განმარტება. $((A)_(ij))$ $((A)_(ij))$ ელემენტის $((a)_(ij))$ $i$-th მწკრივში და $j$-th მატრიცის $A=\მარცხნივ. [ n \times n \right]$ არის ფორმის კონსტრუქცია

\[((A)_(ij))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

სადაც $M_(ij)^(*)$ არის მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია საწყისი $A$-დან იგივე $i$-th მწკრივის და $j$-th სვეტის წაშლით.

ისევ. მატრიცის ელემენტის ალგებრული დანამატი $\left(i;j \right)$ კოორდინატებით აღინიშნება $((A)_(ij))$ და გამოითვლება სქემის მიხედვით:

1. პირველ რიგში, ჩვენ ვშლით $i$-სტრიქონს და $j$-th სვეტს ორიგინალური მატრიციდან. ვიღებთ ახალ კვადრატულ მატრიცას და აღვნიშნავთ მის განმსაზღვრელს, როგორც $M_(ij)^(*)$.
2. შემდეგ ამ განმსაზღვრელს ვამრავლებთ $((\left(-1 \right))^(i+j))$-ზე - თავიდან ეს გამოთქმა შეიძლება დამაფიქრებელი ჩანდეს, მაგრამ სინამდვილეში ჩვენ უბრალოდ ვიგებთ ნიშანს $-ის წინ. M_(ij)^(*) $.
3. ჩვენ ვითვლით - ვიღებთ კონკრეტულ რიცხვს. იმათ. ალგებრული დამატება მხოლოდ რიცხვია და არა ახალი მატრიცა და ა.შ.

თავად $M_(ij)^(*)$ მატრიცას ეწოდება $((a)_(ij))$ ელემენტის დამატებითი მინორი. და ამ თვალსაზრისით, ალგებრული დანამატის ზემოაღნიშნული განმარტება არის უფრო რთული განმარტების განსაკუთრებული შემთხვევა - ის, რაც განვიხილეთ გაკვეთილზე განმსაზღვრელზე.

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. სინამდვილეში, "ზრდასრულთა" მათემატიკაში ალგებრული დამატებები განისაზღვრება შემდეგნაირად:

1. ჩვენ ვიღებთ $k$ რიგებს და $k$ სვეტებს კვადრატულ მატრიცაში. მათ გადაკვეთაზე ვიღებთ $\left[ k\times k \right]$ ზომის მატრიცას — მის განმსაზღვრელს ეწოდება $k$ რიგის მინორი და აღინიშნება $((M)_(k))$-ით.
2. შემდეგ ჩვენ გადავკვეთთ ამ "არჩეულ" $k$ სტრიქონებს და $k$ სვეტებს. ისევ ვიღებთ კვადრატულ მატრიცას - მის განმსაზღვრელს ეწოდება დამატებითი მინორი და აღინიშნება $M_(k)^(*)$-ით.
3. გაამრავლეთ $M_(k)^(*)$$((\left(-1 \მარჯვნივ))^(t))$-ზე, სადაც $t$ არის (ახლავე ყურადღება!) ყველა არჩეული მწკრივის რიცხვების ჯამი და სვეტები . ეს იქნება ალგებრული დამატება.

შეხედეთ მესამე საფეხურს: რეალურად არის $2k$ ტერმინების ჯამი! კიდევ ერთი რამ არის ის, რომ $k=1$-ისთვის ვიღებთ მხოლოდ 2 ტერმინს - ეს იქნება იგივე $i+j$ - ელემენტის $((a)_(ij))$-ის "კოორდინატები", რისთვისაც ჩვენ ვართ. ეძებს ალგებრულ დანამატს.

ასე რომ, დღეს ჩვენ ვიყენებთ ოდნავ გამარტივებულ განმარტებას. მაგრამ როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, ეს საკმარისზე მეტი იქნება. ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია შემდეგი:

განმარტება. გაერთიანების მატრიცა $S$ კვადრატული მატრიცის $A=\left[n\times n \right]$ არის ახალი მატრიცა $\left[ n\ჯერ n \right]$, რომელიც მიღებულია $A$-დან. $((a)_(ij))$ ალგებრული ავსებით $((A)_(ij))$-ით შეცვლით:

\\მარჯვენა ისარი S=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\]

პირველი აზრი, რომელიც ჩნდება ამ განსაზღვრების რეალიზაციის მომენტში, არის "აი რამდენი უნდა დათვალო ჯამში!" დამშვიდდი: უნდა დაითვალო, მაგრამ არც ისე ბევრი. :)

კარგი, ეს ყველაფერი ძალიან კარგია, მაგრამ რატომ არის საჭირო? Მაგრამ რატომ.

მთავარი თეორემა

ცოტა უკან დავბრუნდეთ. დაიმახსოვრეთ, ლემა 3-ში ნათქვამია, რომ $A$ შექცევადი მატრიცა ყოველთვის არაერთგულოვანია (ანუ, მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი: $\left| A \right|\ne 0$).

ასე რომ, პირიქითაც მართალია: თუ $A$ მატრიცა არ არის გადაგვარებული, მაშინ ის ყოველთვის ინვერსიულია. და კიდევ არსებობს საძიებო სქემა $((A)^(-1))$. Შეამოწმე:

ინვერსიული მატრიცის თეორემა. მოდით იყოს მოცემული კვადრატული მატრიცა $A=\left[ n\ჯერ n \right]$ და მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი: $\left| A \right|\ne 0$. მაშინ შებრუნებული მატრიცა $((A)^(-1))$ არსებობს და გამოითვლება ფორმულით:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\მარცხნივ| A \მარჯვნივ|)\cdot ((S)^(T))\]

ახლა კი - ერთი და იგივე, ოღონდ წაკითხული ხელწერით. ინვერსიული მატრიცის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1. გამოთვალეთ განმსაზღვრელი $\left| A \right|$ და დარწმუნდით, რომ ის არ არის ნულოვანი.
2. შეადგინეთ კავშირის მატრიცა $S$, ე.ი. დაითვალეთ 100500 ალგებრული დამატება $((A)_(ij))$ და დადეთ ისინი $((a)_(ij))$.
3. გადაიტანეთ ეს მატრიცა $S$ და შემდეგ გაამრავლეთ ის რაღაც რიცხვზე $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

და ეს არის ის! ნაპოვნია შებრუნებული მატრიცა $((A)^(-1))$. მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\]

გადაწყვეტილება. მოდით შევამოწმოთ შექცევადობა. მოდით გამოვთვალოთ დეტერმინანტი:

\[\მარცხნივ| A \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან. ასე რომ, მატრიცა შექცევადია. მოდით შევქმნათ კავშირის მატრიცა:

გამოვთვალოთ ალგებრული დამატებები:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((A)_(11))=((\left(-1 \მარჯვნივ))^(1+1))\cdot \მარცხნივ| 2\მარჯვნივ|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \მარჯვნივ))^(1+2))\cdot \მარცხნივ| 5\მარჯვნივ|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(2+1))\cdot \მარცხნივ| 1 \მარჯვნივ|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \მარჯვნივ))^(2+2))\cdot \მარცხნივ| 3\მარჯვნივ|=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ყურადღება მიაქციეთ: განმსაზღვრელი |2|, |5|, |1| და |3| არის $\left[ 1\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცების განმსაზღვრელი და არა მოდულები. იმათ. თუ დეტერმინანტებში იყო უარყოფითი რიცხვები, არ არის აუცილებელი „მინუსის“ ამოღება.

საერთო ჯამში, ჩვენი კავშირის მატრიცა ასე გამოიყურება:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\მარცხნივ| A \მარჯვნივ|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ])^(T))=\მარცხნივ[ \დაწყება (მასივი)(*(35)(რ)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

Ის არის. პრობლემა მოგვარებულია.

უპასუხე. $\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(მასივი) \მარჯვნივ]$

დავალება. იპოვნეთ შებრუნებული მატრიცა:

\[\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \]

გადაწყვეტილება. კვლავ განვიხილავთ განმსაზღვრელს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ|=\ დასაწყისი(მატრიცა ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-1 \მარჯვნივ)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \მარჯვნივ)- \\ -\მარცხნივ (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \მარჯვნივ)\cdot 0 \მარჯვნივ) \\\ბოლო(მატრიცა)= \ \ & =\მარცხნივ(2+1+0 \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(4+0+0 \მარჯვნივ)=-1\ne 0. \\ \ბოლო(გასწორება)\]

განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან - მატრიცა შექცევადია. მაგრამ ახლა ის იქნება ყველაზე პატარა: თქვენ უნდა დაითვალოთ 9 (ცხრა, ჯანდაბა!) ალგებრული დამატებები. და თითოეული მათგანი შეიცავს $\left[ 2\ჯერ 2 \right]$ კვალიფიკატორს. Გაფრინდა:

\[\begin(მატრიცა) ((A)_(11))=((\left(-1 \მარჯვნივ))^(1+1))\cdot \მარცხნივ| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(1+2))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|=-1; \\ ((A)_(13))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(1+3))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \მარჯვნივ))^(3+3))\cdot \მარცხნივ| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

მოკლედ, კავშირის მატრიცა ასე გამოიყურება:

ამრიგად, შებრუნებული მატრიცა იქნება:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

აბა, სულ ესაა. აი პასუხი.

უპასუხე. $\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end (მაივი) \მარჯვნივ ]$

როგორც ხედავთ, ყოველი მაგალითის ბოლოს ჩვენ შევასრულეთ შემოწმება. ამასთან დაკავშირებით მნიშვნელოვანი შენიშვნა:

არ დაიზაროთ შემოწმება. გაამრავლეთ ორიგინალური მატრიცა ნაპოვნი ინვერსიით - თქვენ უნდა მიიღოთ $E$.

გაცილებით ადვილი და სწრაფია ამ შემოწმების შესრულება, ვიდრე შეცდომის ძებნა შემდგომ გამოთვლებში, როდესაც, მაგალითად, ამოხსნით მატრიცულ განტოლებას.

ალტერნატიული გზა

როგორც ვთქვი, ინვერსიული მატრიცის თეორემა კარგად მუშაობს $\left[ 2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $\left[ 3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ ზომებზე (ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, ეს არც ისე "შესანიშნავია" აღარ). ”), მაგრამ დიდი მატრიცებისთვის იწყება სევდა.

მაგრამ არ ინერვიულოთ: არსებობს ალტერნატიული ალგორითმი, რომლის საშუალებითაც შეგიძლიათ მშვიდად იპოვოთ ინვერსია $\left[ 10\ჯერ 10 \right]$ მატრიცისთვისაც კი. მაგრამ, როგორც ხშირად ხდება, ამ ალგორითმის გასათვალისწინებლად, ცოტა თეორიული ფონი გვჭირდება.

ელემენტარული გარდაქმნები

მატრიცის სხვადასხვა ტრანსფორმაციას შორის არის რამდენიმე განსაკუთრებული - მათ ელემენტარულს უწოდებენ. არსებობს ზუსტად სამი ასეთი ტრანსფორმაცია:

1. გამრავლება. შეგიძლიათ აიღოთ $i$-th მწკრივი (სვეტი) და გაამრავლოთ იგი ნებისმიერ რიცხვზე $k\ne 0$;
2. დამატება. დაამატეთ $i$-th მწკრივს (სვეტი) ნებისმიერი სხვა $j$-th მწკრივი (სვეტი) გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე $k\ne 0$ (რა თქმა უნდა, $k=0$ ასევე შესაძლებელია, მაგრამ რა აზრი აქვს ამით? ?არაფერი შეიცვლება).
3. პერმუტაცია. აიღეთ $i$-th და $j$-th რიგები (სვეტები) და შეცვალეთ ისინი.

რატომ ჰქვია ამ გარდაქმნებს ელემენტარული (დიდი მატრიცებისთვის ისინი არც ისე ელემენტარულად გამოიყურება) და რატომ არის მხოლოდ სამი მათგანი - ეს კითხვები დღევანდელ გაკვეთილს სცილდება. ამიტომ დეტალებში არ შევალთ.

კიდევ ერთი რამ არის მნიშვნელოვანი: ჩვენ უნდა შევასრულოთ ყველა ეს პერვერსია ასოცირებულ მატრიცაზე. დიახ, დიახ, სწორად გაიგეთ. ახლა კიდევ ერთი განმარტება იქნება - ბოლო დღევანდელ გაკვეთილზე.

მიმაგრებული მატრიცა

რა თქმა უნდა, სკოლაში თქვენ გადაჭრით განტოლებების სისტემები შეკრების მეთოდის გამოყენებით. აბა, ერთი წრფეს გამოაკელი მეორე, გაამრავლე რაღაც წრფე რიცხვზე - სულ ესაა.

ასე რომ: ახლა ყველაფერი იგივე იქნება, მაგრამ უკვე "ზრდასრული გზით". მზადაა?

განმარტება. მოდით, მატრიცა $A=\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ და იგივე ზომის $n$ იდენტობის მატრიცა $E$. შემდეგ ასოცირებული მატრიცა $\left[ A\left| მართალი. \right]$ არის ახალი $\left[ n\ჯერ 2n \right]$ მატრიცა, რომელიც ასე გამოიყურება:

\[\მარცხნივ[ A\მარცხნივ| მართალი. \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrrr|rrrr)(a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

მოკლედ, ვიღებთ $A$ მატრიცას, მარჯვნივ ვანიჭებთ მას საჭირო ზომის იდენტურობის მატრიცას $E$, გამოვყოფთ მათ სილამაზისთვის ვერტიკალური ზოლით - აქ თქვენ გაქვთ დართული. :)

რა არის დაჭერა? და აი რა:

თეორემა. დაე, $A$ მატრიცა იყოს ინვერსიული. განვიხილოთ მიმდებარე მატრიცა $\left[ A\left| მართალი. \მარჯვნივ]$. თუ იყენებთ სიმების ელემენტარული გარდაქმნებიმიიყვანეთ $\left[ E\left| ფორმაში ბ\მარჯვნივ. \right]$, ე.ი. რიგების გამრავლებით, გამოკლებით და გადაწყობით, რომ მიიღოთ $E$ მატრიცა მარჯვნივ $A$-დან, შემდეგ $B$ მატრიცა, რომელიც მიღებულია მარცხნივ, არის $A$-ის შებრუნებული:

\[\მარცხნივ[ A\მარცხნივ| მართალი. \მარჯვნივ]\მარცხნივ[ E\მარცხნივ| ბ\მარჯვნივ. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

ეს ასე მარტივია! მოკლედ, ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმი ასე გამოიყურება:

1. ჩაწერეთ ასოცირებული მატრიცა $\left[ A\left| მართალი. \right]$;
2. განახორციელეთ სტრიქონების ელემენტარული კონვერტაცია მანამ, სანამ მარჯვნივ $A$-ის ნაცვლად არ გამოჩნდება $E$;
3. რა თქმა უნდა, რაღაც ასევე გამოჩნდება მარცხნივ - გარკვეული მატრიცა $B$. ეს იქნება პირიქით;
4. მოგება! :)

რა თქმა უნდა, სათქმელი ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე გაკეთება. მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს: $\left[ 3\ჯერ 3 \right]$ და $\left[4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$ ზომისთვის.

დავალება. იპოვნეთ შებრუნებული მატრიცა:

\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\ ]

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვადგენთ თანდართულ მატრიცას:

\[\ მარცხნივ[ \begin(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 და 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

ვინაიდან ორიგინალური მატრიცის ბოლო სვეტი ივსება ერთეულებით, გამოაკლეთ პირველი რიგი დანარჩენებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ]\ დასაწყისი (მატრიცა) \ქვემოთ \\ -1 \\ -1 \\\ბოლო (მატრიცა)\\\ & \მარცხნივ [ \ დასაწყისი(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო(გასწორება)\]

მეტი ერთეული არ არის, გარდა პირველი ხაზისა. მაგრამ ჩვენ მას არ ვეხებით, წინააღმდეგ შემთხვევაში ახლად ამოღებული ერთეულები მესამე სვეტში დაიწყებენ "გამრავლებას".

მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია მეორე სტრიქონი გამოვაკლოთ ბოლოდან ორჯერ - ქვედა მარცხენა კუთხეში ვიღებთ ერთეულს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\დაწყება(მატრიცა) \ \\ \ქვემოთ \\ -2 \\\ბოლო(მატრიცა)\\\ & \მარცხნივ [ \ დასაწყისი(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო(გასწორება)\]

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ ბოლო მწკრივი პირველს და ორჯერ მეორეს - ამ გზით ჩვენ "ნულებს" პირველ სვეტს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\დაწყება(მატრიცა) -1 \\ -2 \\ \ზედა \\\ბოლო (მატრიცა)\\\ & \ \ მარცხნივ[ \begin(მასივი)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო (გასწორება)\]

გავამრავლოთ მეორე მწკრივი −1-ზე და შემდეგ გამოვაკლოთ 6-ჯერ პირველს და დავუმატოთ 1 ჯერ ბოლოს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მასივი) (rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\დაწყება(მატრიცა) \ \\ \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ \ \\\ბოლო (მატრიცა)\ \\ & \ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მასივი) (rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\დაწყება(მატრიცა) -6 \\ \ქვემოთ ვიწრო \\ +1 \\\ბოლო (მატრიცა)\\\ & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ 1 და 3 ხაზების შეცვლა:

\[\ მარცხნივ[ \begin(მასივი)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

მზადაა! მარჯვნივ არის საჭირო ინვერსიული მატრიცა.

უპასუხე. $\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ ]$

დავალება. იპოვნეთ შებრუნებული მატრიცა:

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\]

გადაწყვეტილება. კვლავ ვწერთ თანდართულს:

\[\ left[ \begin(მასივი)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

ცოტა ვისესხოთ, ვიფიქროთ იმაზე, რამდენი უნდა დავთვალოთ ახლა... და დავიწყოთ თვლა. დასაწყისისთვის, ჩვენ „ნულებს“ ვხსნით პირველ სვეტს მე-2 და მე-3 სტრიქონებს 1 მწკრივის გამოკლებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\დაწყება(მატრიცა) \ქვემოთ \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ბოლო(მატრიცა)\\\ და \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ძალიან ბევრ „მინუსს“ ვაკვირდებით 2-4 სტრიქონებში. გაამრავლეთ სამივე მწკრივი -1-ზე და შემდეგ დაწვით მესამე სვეტი მე-3 მწკრივის დანარჩენს გამოკლებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end (მასივი) \მარჯვნივ]\ დასაწყისი (მატრიცა) \ \\ \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\\ბოლო(მატრიცა)\\\ & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (მაივი) \მარჯვნივ]\ დასაწყისი (მატრიცა) -2 \\ -1 \\ \ქვემოთ ვიწრო \\ -2 \\\ბოლო (მატრიცა)\\\ და \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა დროა "შემობრაწოთ" ორიგინალური მატრიცის ბოლო სვეტი: გამოვაკლოთ მე-4 მწკრივი დანარჩენს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ბოლო (მასივი ) \right]\begin(მატრიცა) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\ to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო (გასწორება)\]

საბოლოო როლი: "დაწვა" მეორე სვეტი მე-2 მწკრივის გამოკლებით 1 და 3 მწკრივიდან:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მასივი)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ბოლო( მასივი) \მარჯვნივ]\ დასაწყისი (მატრიცა) 6 \\ \ქვემოთ ვიწრო \\ -5 \\ \ \\\ბოლო (მატრიცა)\\\ & \მარცხნივ[ \begin(მატრიცა)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ისევ, იდენტურობის მატრიცა მარცხნივ, ანუ შებრუნებული მარჯვნივ. :)

უპასუხე. $\left[ \begin(მატრიცა) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$