4. წრის რადიუსის ფორმულა, რომელიც აღწერილია ოთხკუთხედის შესახებ კვადრატის დიაგონალზე:

5. წრის რადიუსის ფორმულა, რომელიც აღწერილია მართკუთხედის მახლობლად წრის დიამეტრის მეშვეობით (მოხაზული):

6. წრის რადიუსის ფორმულა, რომელიც აღწერილია მართკუთხედის მახლობლად დიაგონალის მიმდებარე კუთხის სინუსში და ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარის სიგრძეზე:

7. წრის რადიუსის ფორმულა, რომელიც აღწერილია მართკუთხედის შესახებ დიაგონალის მიმდებარე კუთხის კოსინუსის და ამ კუთხით გვერდის სიგრძის მიხედვით:

8. წრის რადიუსის ფორმულა, რომელიც აღწერილია მართკუთხედის მახლობლად დიაგონალებსა და მართკუთხედის ფართობს შორის მწვავე კუთხის სინუსში:

კუთხე მართკუთხედის გვერდსა და დიაგონალს შორის.

ოთხკუთხედის გვერდსა და დიაგონალს შორის კუთხის განსაზღვრის ფორმულები:

1. მართკუთხედის გვერდსა და დიაგონალს შორის დიაგონალისა და გვერდის გავლით კუთხის განსაზღვრის ფორმულა:

2. მართკუთხედის გვერდსა და დიაგონალს შორის კუთხის განსაზღვრის ფორმულა დიაგონალებს შორის კუთხით:

კუთხე მართკუთხედის დიაგონალებს შორის.

მართკუთხედის დიაგონალებს შორის კუთხის განსაზღვრის ფორმულები:

1. მართკუთხედის დიაგონალებს შორის კუთხის განსაზღვრის ფორმულა გვერდსა და დიაგონალს შორის კუთხით:

β = 2α

2. მართკუთხედის დიაგონალებს შორის ფართობისა და დიაგონალის კუთხის განსაზღვრის ფორმულა.

მართკუთხედიარის ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა კუთხე არის მართი კუთხე.

მტკიცებულება

თვისება აიხსნება პარალელოგრამის მე-3 მახასიათებლის მოქმედებით (ანუ \კუთხე A = \კუთხე C , \კუთხე B = \კუთხე D )

2. მოპირდაპირე მხარეები ტოლია.

AB = CD, \ სივრცე BC = AD

3. მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია.

AB \პარალელური CD,\enspace BC \პარალელური AD

4. მიმდებარე გვერდები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია.

AC=BD

მტკიცებულება

Მიხედვით ქონება 1მართკუთხედი არის პარალელოგრამი, რაც ნიშნავს AB = CD.

ამიტომ, \სამკუთხედი ABD = \სამკუთხედი DCA ორი ფეხის გასწვრივ (AB = CD და AD - ერთობლივი).

თუ ორივე ფიგურა - ABC და DCA იდენტურია, მაშინ მათი ჰიპოტენუზა BD და AC ასევე იდენტურია.

ასე რომ, AC = BD.

ყველა ფიგურის მხოლოდ მართკუთხედს (მხოლოდ პარალელოგრამებიდან!) აქვს ტოლი დიაგონალები.

ესეც დავამტკიცოთ.

ABCD არის პარალელოგრამი \Rightarrow AB = CD , AC = BD პირობით. \მარჯვენა ისარი \სამკუთხედი ABD = \სამკუთხედი DCAუკვე სამ მხარეს.

გამოდის, რომ \კუთხე A = \კუთხე D (როგორც პარალელოგრამის კუთხეები). და \კუთხე A = \კუთხე C , \კუთხე B = \კუთხე D .

ჩვენ ამას დავასკვნით \ კუთხე A = \კუთხე B = \კუთხე C = \კუთხე D. ისინი ყველა 90^(\circ) არიან. სულ არის 360^(\circ) .

დადასტურებული!

6. დიაგონალის კვადრატი მისი ორი მიმდებარე გვერდის კვადრატების ჯამის ტოლია.

ეს თვისება მოქმედებს პითაგორას თეორემის მიხედვით.

AC^2=AD^2+CD^2

7. დიაგონალი ყოფს მართკუთხედს ორ იდენტურ მართკუთხა სამკუთხედად.

\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ACD, \სივრცე \სამკუთხედი ABD = \სამკუთხედი BCD

8. დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი ორად ყოფს მათ.

AO=BO=CO=DO

9. დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი არის მართკუთხედის ცენტრი და შემოხაზული წრე.

10. ყველა კუთხის ჯამი 360 გრადუსია.

\კუთხე ABC + \კუთხე BCD + \კუთხე CDA + \კუთხე DAB = 360^(\circ)

11. მართკუთხედის ყველა კუთხე სწორია.

\კუთხე ABC = \კუთხე BCD = \კუთხე CDA = \კუთხე DAB = 90^(\circ)

12. მართკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის დიამეტრი ტოლია მართკუთხედის დიაგონალზე.

13. წრე ყოველთვის შეიძლება იყოს აღწერილი მართკუთხედის გარშემო.

ეს თვისება მოქმედებს იმის გამო, რომ მართკუთხედის მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი არის 180^(\circ)

\ კუთხე ABC = \კუთხე CDA = 180^(\circ),\სივრცე \კუთხე BCD = \კუთხე DAB = 180^(\circ)

14. მართკუთხედი შეიძლება შეიცავდეს შემოხაზულ წრეს და მხოლოდ ერთს, თუ გვერდების სიგრძე ერთნაირი აქვს (ეს არის კვადრატი).

მართკუთხედი. ვინაიდან მართკუთხედს აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი, მისი სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს სიმეტრიის ღერძების გადაკვეთაზე, ე.ი. მართკუთხედის დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე.

სამკუთხედი. სიმძიმის ცენტრი მდგომარეობს მისი შუამავლების გადაკვეთის წერტილში. გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში და იყოფა ფუძიდან 1:2 თანაფარდობით.

Წრე. ვინაიდან წრეს აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი, მისი სიმძიმის ცენტრი სიმეტრიის ღერძების კვეთაზეა.

ნახევარწრე. ნახევარწრეს აქვს სიმეტრიის ერთი ღერძი, მაშინ სიმძიმის ცენტრი დევს ამ ღერძზე. სიმძიმის ცენტრის კიდევ ერთი კოორდინატი გამოითვლება ფორმულით: .

ბევრი სტრუქტურული ელემენტი მზადდება სტანდარტული ნაგლინი პროდუქტებისგან - კუთხეები, I-სხივები, არხები და სხვა. ყველა განზომილება, ისევე როგორც ნაგლინი პროფილების გეომეტრიული მახასიათებლები, არის ცხრილის მონაცემები, რომლებიც შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო ლიტერატურაში სტანდარტული ასორტიმენტის ცხრილებში (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

მაგალითი 1 განსაზღვრეთ ფიგურაში ნაჩვენები ფიგურის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია.

გამოსავალი:

ჩვენ ვირჩევთ კოორდინატთა ღერძებს ისე, რომ Ox ღერძი გაიაროს უკიდურესი ქვედა საერთო განზომილების გასწვრივ, ხოლო Oy ღერძი - უკიდურესი მარცხენა საერთო განზომილების გასწვრივ.

ჩვენ ვყოფთ რთულ ფიგურას მარტივი ფიგურების მინიმალურ რაოდენობად:

მართკუთხედი 20x10;

სამკუთხედი 15x10;

წრე R=3 სმ.

ჩვენ ვიანგარიშებთ თითოეული მარტივი ფიგურის ფართობს, სიმძიმის ცენტრის კოორდინატებს. გამოთვლების შედეგები შეტანილია ცხრილში

პასუხი: C(14.5; 4.5)

მაგალითი 2 . განსაზღვრეთ ფურცლისა და ნაგლინი პროფილებისგან შემდგარი კომპოზიტური მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

გამოსავალი.

ჩვენ ვირჩევთ კოორდინატთა ღერძებს, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

ჩვენ აღვნიშნავთ ფიგურებს რიცხვებით და ვწერთ ცხრილიდან საჭირო მონაცემებს:

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატებს ფორმულების გამოყენებით:

პასუხი: C(0; 10)

ლაბორატორიული სამუშაო No1 "კომპოზიტური ბრტყელი ფიგურების სიმძიმის ცენტრის განსაზღვრა"

სამიზნე: ექსპერიმენტული და ანალიტიკური მეთოდებით განსაზღვრეთ მოცემული ბრტყელი რთული ფიგურის სიმძიმის ცენტრი და შეადარეთ მათი შედეგები.

სამუშაო შეკვეთა

რვეულებში დახაზეთ თქვენი ბრტყელი ფიგურა ზომით, კოორდინატთა ღერძების მითითებით.

ანალიტიკურად განსაზღვრეთ სიმძიმის ცენტრი.

1. დაყავით ფიგურა ფიგურების მინიმალურ რაოდენობად, რომელთა სიმძიმის ცენტრები ჩვენ ვიცით როგორ განვსაზღვროთ.

   მიუთითეთ არეების რაოდენობა და თითოეული ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

   გამოთვალეთ თითოეული ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

   გამოთვალეთ თითოეული ფიგურის ფართობი.

   გამოთვალეთ მთელი ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები ფორმულების გამოყენებით (დაიტანეთ სიმძიმის ცენტრის პოზიცია ფიგურის ნახაზზე):

სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების ექსპერიმენტული განსაზღვრისთვის დაკიდება შედგება ვერტიკალური თაროსგან. 1 (იხ. ნახ.), რომელზეც ნემსი არის მიმაგრებული 2 . ბრტყელი ფიგურა 3 დამზადებულია მუყაოსგან, რომელიც ადვილად ხვრეტავს. ხვრელები მაგრამ და AT გახვრეტილი შემთხვევით განლაგებულ წერტილებზე (სასურველია ერთმანეთისგან ყველაზე შორ მანძილზე). ბრტყელი ფიგურა ჩამოკიდებულია ნემსზე, ჯერ წერტილში მაგრამ და შემდეგ წერტილში AT . სანტექნიკის დახმარებით 4 , იმავე ნემსზე დამაგრებული, ფიგურაზე ვერტიკალური ხაზი იხაზება ქლიავის ხაზის შესაბამისი ფანქრით. Გრავიტაციის ცენტრი FROM ფიგურა განთავსდება იმ ვერტიკალური ხაზების გადაკვეთაზე, რომელიც ფიგურის წერტილებზე ჩამოკიდებისას მაგრამ და AT .

ხშირად, სახლის ხელოსანს სჭირდება წრის ცენტრი ან მრგვალი ნაწილის პოვნა. მე უკვე დავწერე სტატიაში ამ პრობლემის მოგვარების ერთ-ერთი გზის შესახებ როგორ მოვძებნოთ წრის ცენტრი.მაგრამ მას აქვს ერთი მნიშვნელოვანი ნაკლი - აუცილებელია ზუსტად იპოვოთ აკორდის შუა ნაწილი და ზუსტად ააგოთ მისგან პერპენდიკულარული.

საბედნიეროდ, არსებობს წრის ცენტრის ზუსტად პოვნის კიდევ ერთი მეთოდი, რომელიც არ საჭიროებს რაიმე ზუსტ გაზომვას. იგი ეფუძნება მარტივ პრინციპს, რომ თუ მართკუთხა სამკუთხედი წრეშია ჩაწერილი, მაშინ მისი ჰიპოტენუზა (ყველაზე გრძელი გვერდი) იქნება ამ წრის ან წრის დიამეტრი.

ამას ადასტურებს ის ფაქტი, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია. და მთელი წრე 360 გრადუსია. და ნებისმიერი მართკუთხედი, რომლის ჰიპოტენუზა უდრის წრის დიამეტრს, იქნება მართკუთხა. და პირიქით - ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედი თავისი ჰიპოტენუზით წარმოადგენს წრის დიამეტრს.

და რა მოგვცემს წრის ცენტრს უფრო ზუსტად, თუ არა წრის ორი დიამეტრის გადაკვეთა?

როგორც მართი კუთხის "წყარო", ყველაზე ადვილია საწერი ფურცლის აღება. ქაღალდის ქარხნებში, ისინი იჭრება ძალიან მაღალი სიზუსტით. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ჟურნალის გვერდი და ა.შ.

მრგვალ ნაწილზე ფურცელს ვდებთ ისე, რომ მისი ერთ-ერთი კუთხე იყოს წრეზე ან წრის კიდეზე. და მონიშნეთ ის წერტილები, სადაც ფურცელი ეხება წრის სხვა კიდეებს. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წერტილებს.

ჩვენ ვხატავთ სწორ ხაზს მონიშნულ წერტილებს შორის. მათ შორის მანძილი არის ამ წრის დიამეტრი. ზედმეტ ქაღალდს ვჭრით და სწორ ხაზს ვხატავთ ნაწილზე - დიამეტრზე.

საკმარისია ჩვენი სამკუთხედი გადავიტანოთ სხვა პოზიციაზე და დავხატოთ წრის სხვა დიამეტრი და მაშინვე დიამეტრის გადაკვეთის ადგილზე მივიღებთ წრის სასურველ ცენტრს ...

ამრიგად, ყოველგვარი გაზომვის გარეშე, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ნებისმიერი წრის ცენტრი.