განვიხილოთ მატრიცის გამრავლების შებრუნებული ოპერაციის განსაზღვრის პრობლემა.
მოდით A იყოს n-ის რიგის კვადრატული მატრიცა. მატრიცა A^(-1), რომელიც მოცემულ მატრიცასთან ერთად A აკმაყოფილებს შემდეგ ტოლობებს:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
დაურეკა საპირისპირო. მატრიცა A ეწოდება შექცევადი, თუ მას აქვს შებრუნებული, წინააღმდეგ შემთხვევაში - შეუქცევადი.
განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ შებრუნებული მატრიცა A^(-1) არსებობს, მაშინ ის იგივე რიგის კვადრატია, როგორც A. თუმცა, ყველა კვადრატულ მატრიცას არ აქვს ინვერსიული. თუ A მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია (\det(A)=0) , მაშინ მისთვის შებრუნებული არ არსებობს. მართლაც, მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელზე თეორემის გამოყენებით იდენტობის მატრიცისთვის E=A^(-1)A მივიღებთ წინააღმდეგობას.
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
ვინაიდან იდენტურობის მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის 1-ს. გამოდის, რომ კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი ნულიდან განსხვავება შებრუნებული მატრიცის არსებობის ერთადერთი პირობაა. შეგახსენებთ, რომ კვადრატულ მატრიცას, რომლის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ეწოდება დეგენერატი (სიგოლური), წინააღმდეგ შემთხვევაში - არაერთგულოვანი (არაერთობითი).
თეორემა 4.1 შებრუნებული მატრიცის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ. კვადრატული მატრიცა A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), რომლის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, აქვს შებრუნებული მატრიცა და, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \ დასაწყისი(პმატრიცა)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
სადაც A^(+) არის A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატებისგან შემდგარი მატრიცისთვის გადატანილი მატრიცა.
მატრიცა A^(+) ეწოდება მიმაგრებული მატრიცა A მატრიცის მიმართ.
მართლაც, მატრიცა \frac(1)(\det(A))\,A^(+)არსებობს პირობით \det(A)\ne0 . უნდა ვაჩვენოთ, რომ ის შებრუნებულია A-სთან, ე.ი. აკმაყოფილებს ორ პირობას:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(გასწორებული)
დავამტკიცოთ პირველი თანასწორობა. შენიშვნების 2.3 მე-4 პუნქტის მიხედვით, დეტერმინანტის თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ამიტომაც
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
რომელიც უნდა ეჩვენებინა. ანალოგიურად დადასტურებულია მეორე თანასწორობაც. მაშასადამე, პირობით \det(A)\ne0, A მატრიცას აქვს შებრუნებული
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
ჩვენ ვამტკიცებთ შებრუნებული მატრიცის უნიკალურობას წინააღმდეგობით. მოდით A^(-1) მატრიცის გარდა არსებობდეს კიდევ ერთი შებრუნებული მატრიცა B\,(B\ne A^(-1)) ისეთი, რომ AB=E . მარცხნივ ამ ტოლობის ორივე გვერდის გამრავლებით A^(-1) მატრიცით, მივიღებთ \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. აქედან გამომდინარე B=A^(-1) , რომელიც ეწინააღმდეგება B\ne A^(-1) დაშვებას. ამიტომ, ინვერსიული მატრიცა უნიკალურია.
შენიშვნები 4.1
1. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ A და A^(-1) მატრიცები შეუცვლელია.
2. არადეგენერაციული დიაგონალის შებრუნებული მატრიცა ასევე დიაგონალურია:
\Bigl[\ოპერატორის სახელი(დიაგი)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \ოპერატორის სახელი(დიაგი)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\მარჯვნივ)\!.
3. არადეგენერაციული ქვედა (ზედა) სამკუთხა მატრიცის შებრუნებული მატრიცა არის ქვედა (ზედა) სამკუთხა.
4. ელემენტარულ მატრიცებს აქვთ ინვერსიები, რომლებიც ასევე ელემენტარულია (იხ. შენიშვნების 1.11 პუნქტი).
ინვერსიული მატრიცის თვისებები
მატრიცის ინვერსიის ოპერაციას აქვს შემდეგი თვისებები:
\ დასაწყისი (გასწორებული)\ თამამი (1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \მამამი (2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \მამამი(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \ ბოლოს (გასწორებული)
თუ 1-4 ტოლებში მითითებულ მოქმედებებს აზრი აქვს.
მოდით დავამტკიცოთ თვისება 2: თუ ერთი და იმავე რიგის არაერთგულოვანი კვადრატული მატრიცების AB ნამრავლს აქვს შებრუნებული მატრიცა, მაშინ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
მართლაც, AB მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, ვინაიდან
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), სად \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
მაშასადამე, ინვერსიული მატრიცა (AB)^(-1) არსებობს და უნიკალურია. დეფინიციით ვაჩვენოთ, რომ B^(-1)A^(-1) მატრიცა შებრუნებულია AB მატრიცის მიმართ. მართლა.
განმარტება 1:მატრიცას დეგენერატი ეწოდება, თუ მისი განმსაზღვრელი ნულია.
განმარტება 2:მატრიცას უწოდებენ არასინგულარული, თუ მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი.
მატრიცა "A" ეწოდება ინვერსიული მატრიცა, თუ პირობა A*A-1 = A-1 *A = E (იდენტობის მატრიცა) დაკმაყოფილებულია.
კვადრატული მატრიცა შექცევადია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის არაინგულარულია.
შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის სქემა:
1) გამოთვალეთ მატრიცის „A“ განმსაზღვრელი თუ ∆ A = 0, მაშინ ინვერსიული მატრიცა არ არსებობს.
2) იპოვეთ "A" მატრიცის ყველა ალგებრული დანამატი.
3) შეადგინეთ ალგებრული დამატებების მატრიცა (Aij)
4) ალგებრული კომპლემენტების მატრიცა (Aij )T
5) გადანაწილებული მატრიცა გავამრავლოთ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი საპასუხოდ.
6) შეასრულეთ შემოწმება:
ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს რთულია, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ძალიან მარტივია. ყველა ამონახსნი ეფუძნება მარტივ არითმეტიკულ ოპერაციებს, ამოხსნისას მთავარია არ აგვერიოს „-“ და „+“ ნიშნებში და არ დაკარგო ისინი.
ახლა კი მოდით, თქვენთან ერთად გადავჭრათ პრაქტიკული ამოცანა შებრუნებული მატრიცის გამოთვლით.
ამოცანა: იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა "A", რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე:
1. პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ, არის მატრიცის "A" განმსაზღვრელის პოვნა:
ახსნა:
ჩვენ გავამარტივეთ ჩვენი განმსაზღვრელი მისი ძირითადი ფუნქციების გამოყენებით. ჯერ მე-2 და მე-3 რიგს დავამატეთ პირველი რიგის ელემენტები, გამრავლებული ერთი რიცხვით.
მეორეც, ჩვენ შევცვალეთ განმსაზღვრელი მე-2 და მე-3 სვეტები და მისი თვისებების მიხედვით შევცვალეთ მის წინ ნიშანი.
მესამე, ჩვენ ამოვიღეთ მეორე რიგის საერთო ფაქტორი (-1), რითაც კვლავ შევცვალეთ ნიშანი და ის გახდა დადებითი. ჩვენ ასევე გავამარტივეთ ხაზი 3 ისევე, როგორც მაგალითის დასაწყისში.
გვაქვს სამკუთხა განმსაზღვრელი, რომელშიც დიაგონალის ქვემოთ ელემენტები ნულის ტოლია, ხოლო თვისებით 7 უდრის დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს. შედეგად მივიღეთ ∆ A = 26, აქედან გამომდინარე, არსებობს შებრუნებული მატრიცა.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. შემდეგი ნაბიჯი არის მატრიცის შედგენა მიღებული დანამატებიდან:
5. ამ მატრიცას ვამრავლებთ დეტერმინანტის ორმხრივად, ანუ 1/26-ზე:
6. ახლა ჩვენ უბრალოდ უნდა შევამოწმოთ:
გადამოწმების დროს მივიღეთ იდენტურობის მატრიცა, შესაბამისად, გადაწყვეტილება მიიღეს აბსოლუტურად სწორად.
შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის 2 გზა.
1. მატრიცების ელემენტარული ტრანსფორმაცია
2. ინვერსიული მატრიცა ელემენტარული გადამყვანის მეშვეობით.
ელემენტარული მატრიცის ტრანსფორმაცია მოიცავს:
1. სტრიქონის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე.
2. სხვა წრფის რომელიმე სტრიქონის დამატება, რიცხვზე გამრავლებული.
3. მატრიცის რიგების შეცვლა.
4. ელემენტარული გარდაქმნების ჯაჭვის გამოყენებით ვიღებთ სხვა მატრიცას.
მაგრამ -1 = ?
1. (ა|ე) ~ (ე|ა -1 )
2. ა -1*A=E
მოდით შევხედოთ ამას პრაქტიკულ მაგალითში რეალური რიცხვებით.
ვარჯიში:იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა.
გამოსავალი:
მოდით შევამოწმოთ:
მცირე განმარტება გამოსავალზე:
ჩვენ ჯერ შევცვალეთ მატრიცის 1 და 2 რიგები, შემდეგ გავამრავლეთ პირველი მწკრივი (-1-ზე).
ამის შემდეგ პირველი მწკრივი გამრავლდა (-2) და დაემატა მატრიცის მეორე რიგს. შემდეგ მე-2 რიგი გავამრავლეთ 1/4-ზე.
ტრანსფორმაციის ბოლო ეტაპი იყო მეორე რიგის 2-ზე გამრავლება და პირველიდან შეკრება. შედეგად, ჩვენ გვაქვს იდენტურობის მატრიცა მარცხნივ, შესაბამისად, ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა მარჯვნივ.
შემოწმების შემდეგ დავრწმუნდით ამოხსნის სისწორეში.
როგორც ხედავთ, ინვერსიული მატრიცის გამოთვლა ძალიან მარტივია.
ამ ლექციის დასასრულს ასევე მსურს გარკვეული დრო დავუთმო ასეთი მატრიცის თვისებებს.
$A^(-1)$ მატრიცას ეწოდება $A$ კვადრატული მატრიცის შებრუნებული, თუ $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, სადაც $E $ არის იდენტურობის მატრიცა, რომლის რიგი უდრის $A$ მატრიცის რიგითობას.
არაინგულარული მატრიცა არის მატრიცა, რომლის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი. შესაბამისად, დეგენერაციული მატრიცა არის ის, რომლის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.
შებრუნებული მატრიცა $A^(-1)$ არსებობს თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ $A$ მატრიცა არაერთგულოვანია. თუ შებრუნებული მატრიცა $A^(-1)$ არსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.
მატრიცის ინვერსიის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს და ჩვენ განვიხილავთ ორ მათგანს. ამ გვერდზე განხილული იქნება დამხმარე მატრიცის მეთოდი, რომელიც სტანდარტად ითვლება უმაღლეს მათემატიკის კურსებში. შებრუნებული მატრიცის (ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდი) მოძიების მეორე გზა, რომელიც გულისხმობს გაუსის მეთოდის ან გაუს-იორდანიის მეთოდის გამოყენებას, განხილულია მეორე ნაწილში.
გვერდითი (კავშირის) მატრიცის მეთოდი
მოდით იყოს $A_(n\ჯერ n)$ მატრიცა. $A^(-1)$ შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად საჭიროა სამი ნაბიჯი:
- იპოვეთ $A$ მატრიცის განმსაზღვრელი და დარწმუნდით, რომ $\Delta A\neq 0$, ე.ი. რომ მატრიცა A არადეგენერატიულია.
- შეადგინეთ $A_(ij)$ მატრიცის თითოეული ელემენტის ალგებრული შემავსებლები $A$ და ჩაწერეთ $A_(n\ჯერ n)^(*)=\left(A_(ij) \მარჯვნივ)$ ნაპოვნიდან ალგებრული დამატებები.
- დაწერეთ შებრუნებული მატრიცა $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ ფორმულის გათვალისწინებით.
$(A^(*))^T$ მატრიცას ხშირად მოიხსენიებენ, როგორც $A$-ის მიმდებარე (ურთიერთ, მოკავშირე) მატრიცას.
თუ გადაწყვეტილება მიიღება ხელით, მაშინ პირველი მეთოდი კარგია მხოლოდ შედარებით მცირე შეკვეთების მატრიცებისთვის: მეორე (), მესამე (), მეოთხე (). უმაღლესი რიგის მატრიცისთვის შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად სხვა მეთოდები გამოიყენება. მაგალითად, გაუსის მეთოდი, რომელიც განხილულია მეორე ნაწილში.
მაგალითი #1
იპოვეთ მატრიცა შებრუნებული $A=\left(\begin(მაივი) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$.
ვინაიდან მეოთხე სვეტის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ $\Delta A=0$ (ანუ $A$ მატრიცა დეგენერირებულია). ვინაიდან $\Delta A=0$, არ არსებობს $A$-ის შებრუნებული მატრიცა.
მაგალითი #2
იპოვეთ $A=\left(\begin(მაივი) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(მაივი)\right)$ მატრიცის შებრუნებული მატრიცა.
ჩვენ ვიყენებთ მიმდებარე მატრიცის მეთოდს. ჯერ ვიპოვოთ მოცემული $A$ მატრიცის განმსაზღვრელი:
$$ \დელტა A=\მარცხნივ| \begin(მაივი) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end (მაივი)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
ვინაიდან $\Delta A \neq 0$, მაშინ შებრუნებული მატრიცა არსებობს, ამიტომ ჩვენ ვაგრძელებთ ამონახსნებს. ალგებრული კომპლემენტების მოძიება
\begin(გასწორებული) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(გასწორებული)
შეადგინეთ ალგებრული კომპლემენტების მატრიცა: $A^(*)=\left(\begin(მასივი) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(მასივი)\right)$.
მიღებული მატრიცა გადაიტანეთ: $(A^(*))^T=\left(\begin(მასივი) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(მასივი)\right)$ (შედეგი მატრიცას ხშირად უწოდებენ მატრიცას $A$-ის მატრიცის მიმდევარ ან გაერთიანებას). $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ ფორმულის გამოყენებით, გვაქვს:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\ დასაწყისი(მასივი) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(მაივი)\მარჯვნივ) =\left(\begin(მაივი) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(მაივი)\მარჯვნივ) $$
ასე რომ, ნაპოვნია შებრუნებული მატრიცა: $A^(-1)=\left(\begin(მასივი) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(მასივი) \მარჯვნივ) $. შედეგის სიმართლის შესამოწმებლად საკმარისია შეამოწმოთ ერთ-ერთი ტოლობის ჭეშმარიტება: $A^(-1)\cdot A=E$ ან $A\cdot A^(-1)=E$. მოდით შევამოწმოთ $A^(-1)\cdot A=E$ თანასწორობა. იმისათვის, რომ ნაკლები ვიმუშაოთ წილადებთან, ჩვენ ჩავანაცვლებთ $A^(-1)$ მატრიცას არა $\left(\begin(მასივი) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ)$ მაგრამ როგორც $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(მასივი) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ)$:
უპასუხე: $A^(-1)=\left(\begin(მასივი) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(მასივი)\right)$.
მაგალითი #3
იპოვეთ $A=\left(\begin(მაივი) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(მასივი) \\right)$ მატრიცის შებრუნებული.
დავიწყოთ $A$ მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლით. ასე რომ, $A$ მატრიცის განმსაზღვრელი არის:
$$ \დელტა A=\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end (მასივი) \მარჯვნივ| = 18-36+56-12=26. $$
ვინაიდან $\Delta A\neq 0$, მაშინ არსებობს შებრუნებული მატრიცა, ამიტომ ვაგრძელებთ ამონახსნებს. ჩვენ ვპოულობთ მოცემული მატრიცის თითოეული ელემენტის ალგებრულ დანამატებს:
ჩვენ ვადგენთ ალგებრულ დამატებების მატრიცას და ვანაწილებთ მას:
$$ A^*=\left(\begin(მასივი) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(მაივი) \მარჯვნივ); \; (A^*)^T=\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end (მაივი) \მარჯვნივ) $$
$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\ დასაწყისი(მასივი) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(მასივი) \მარჯვნივ)= \მარცხნივ(\ დასაწყისი(მასივი) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(მასივი) \მარჯვნივ) $$
ასე რომ, $A^(-1)=\left(\begin(მასივი) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$. შედეგის სიმართლის შესამოწმებლად საკმარისია შეამოწმოთ ერთ-ერთი ტოლობის ჭეშმარიტება: $A^(-1)\cdot A=E$ ან $A\cdot A^(-1)=E$. მოდით შევამოწმოთ $A\cdot A^(-1)=E$ თანასწორობა. იმისთვის, რომ ნაკლები ვიმუშაოთ წილადებთან, ჩვენ ჩავანაცვლებთ $A^(-1)$ მატრიცას არა $\left(\begin(მასივი) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$, მაგრამ როგორც $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(მასივი) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end (მასივი) \მარჯვნივ)$:
შემოწმება წარმატებით გაიარა, შებრუნებული მატრიცა $A^(-1)$ სწორად იქნა ნაპოვნი.
უპასუხე: $A^(-1)=\left(\begin(მასივი) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$.
მაგალითი #4
იპოვეთ $A=\left(\begin(მაივი) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 შებრუნებული მატრიცის & -8 & -3 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$.
მეოთხე რიგის მატრიცისთვის, შებრუნებული მატრიცის პოვნა ალგებრული დამატებების გამოყენებით გარკვეულწილად რთულია. თუმცა, ასეთი მაგალითები გვხვდება საკონტროლო სამუშაოებში.
ინვერსიული მატრიცის საპოვნელად ჯერ უნდა გამოთვალოთ $A$ მატრიცის განმსაზღვრელი. ამ სიტუაციაში ამის საუკეთესო გზაა განმსაზღვრელი ზედიზედ (სვეტი) გაფართოება. ვირჩევთ ნებისმიერ მწკრივს ან სვეტს და ვპოულობთ შერჩეული მწკრივის ან სვეტის თითოეული ელემენტის ალგებრულ დანამატს.
როგორც წესი, ინვერსიული ოპერაციები გამოიყენება რთული ალგებრული გამონათქვამების გასამარტივებლად. მაგალითად, თუ პრობლემა შეიცავს წილადზე გაყოფის მოქმედებას, შეგიძლიათ შეცვალოთ იგი ორმხრივად გამრავლების ოპერაციით, რომელიც არის შებრუნებული ოპერაცია. უფრო მეტიც, მატრიცების დაყოფა შეუძლებელია, ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ შებრუნებული მატრიცით. 3x3 მატრიცის ინვერსიის გამოთვლა საკმაოდ შრომატევადია, მაგრამ თქვენ უნდა შეძლოთ ამის გაკეთება ხელით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ საპასუხო კარგი გრაფიკული კალკულატორით.
ნაბიჯები
თანდართული მატრიცის გამოყენებით
გადაიტანეთ ორიგინალური მატრიცა.ტრანსპოზიცია არის რიგების ჩანაცვლება სვეტებით მატრიცის მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში, ანუ თქვენ უნდა შეცვალოთ ელემენტები (i, j) და (j, i). ამ შემთხვევაში, ძირითადი დიაგონალის ელემენტები (იწყება ზედა მარცხენა კუთხეში და მთავრდება ქვედა მარჯვენა კუთხეში) არ იცვლება.
- სტრიქონების სვეტებად გადასანაცვლებლად, ჩაწერეთ პირველი რიგის ელემენტები პირველ სვეტში, მეორე რიგის ელემენტები მეორე სვეტში და მესამე რიგის ელემენტები მესამე სვეტში. ელემენტების პოზიციის შეცვლის თანმიმდევრობა ნაჩვენებია ნახატზე, რომელშიც შესაბამისი ელემენტები შემოხაზულია ფერადი წრეებით.
იპოვეთ თითოეული 2x2 მატრიცის განმარტება.ნებისმიერი მატრიცის თითოეული ელემენტი, ტრანსპოზიციის ჩათვლით, ასოცირდება შესაბამის 2x2 მატრიცასთან. იმისათვის, რომ იპოვოთ 2x2 მატრიცა, რომელიც შეესაბამება გარკვეულ ელემენტს, გადაკვეთეთ სტრიქონი და სვეტი, რომელშიც მდებარეობს ეს ელემენტი, ანუ თქვენ უნდა გადაკვეთოთ ორიგინალური 3x3 მატრიცის ხუთი ელემენტი. ოთხი ელემენტი, რომლებიც არის შესაბამისი 2x2 მატრიცის ელემენტები, გადაკვეთილი დარჩება.
- მაგალითად, იმ ელემენტის 2x2 მატრიცის საპოვნელად, რომელიც მდებარეობს მეორე მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე, გადაკვეთეთ ხუთი ელემენტი, რომლებიც მეორე რიგში და პირველ სვეტშია. დანარჩენი ოთხი ელემენტი არის შესაბამისი 2x2 მატრიცის ელემენტები.
- იპოვეთ თითოეული 2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი. ამისთვის, გამოვაკლოთ მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს (იხ. სურათი).
- დეტალური ინფორმაცია 2x2 მატრიცების შესახებ, რომლებიც შეესაბამება 3x3 მატრიცის გარკვეულ ელემენტებს, შეგიძლიათ იხილოთ ინტერნეტში.
შექმენით კოფაქტორების მატრიცა.ჩაწერეთ ადრე მიღებული შედეგები კოფაქტორების ახალი მატრიცის სახით. ამისათვის ჩაწერეთ თითოეული 2x2 მატრიცის ნაპოვნი განმსაზღვრელი, სადაც მდებარეობდა 3x3 მატრიცის შესაბამისი ელემენტი. მაგალითად, თუ განიხილავთ 2x2 მატრიცას ელემენტისთვის (1,1), ჩაწერეთ მისი განმსაზღვრელი პოზიციაზე (1,1). შემდეგ შეცვალეთ შესაბამისი ელემენტების ნიშნები გარკვეული ნიმუშის მიხედვით, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურაში.
- ნიშნის შეცვლის სქემა: პირველი ხაზის პირველი ელემენტის ნიშანი არ იცვლება; პირველი ხაზის მეორე ელემენტის ნიშანი შებრუნებულია; პირველი ხაზის მესამე ელემენტის ნიშანი არ იცვლება და ასე სტრიქონი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ნიშნები "+" და "-", რომლებიც ნაჩვენებია დიაგრამაზე (იხ. სურათი), არ მიუთითებს, რომ შესაბამისი ელემენტი იქნება დადებითი ან უარყოფითი. ამ შემთხვევაში "+" ნიშანი მიუთითებს, რომ ელემენტის ნიშანი არ იცვლება, ხოლო "-" მიუთითებს, რომ ელემენტის ნიშანი შეიცვალა.
- დეტალური ინფორმაცია კოფაქტორული მატრიცების შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ ინტერნეტში.
- ასე იპოვით ორიგინალური მატრიცის ასოცირებულ მატრიცას. მას ზოგჯერ უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატ მატრიცას. ასეთი მატრიცა აღინიშნება როგორც adj(M).
მიმდებარე მატრიცის თითოეული ელემენტი გაყავით განმსაზღვრელზე.მატრიცის M-ის განმსაზღვრელი გამოითვალა თავიდანვე, რათა შემოწმდეს შებრუნებული მატრიცის არსებობა. ახლა გავყოთ მიმდებარე მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ განმსაზღვრელზე. ჩაწერეთ თითოეული გაყოფის ოპერაციის შედეგი, სადაც მდებარეობს შესაბამისი ელემენტი. ასე რომ თქვენ იპოვით მატრიცას, ორიგინალის ინვერსიას.
- ნახატზე ნაჩვენები მატრიცის განმსაზღვრელი არის 1. ამრიგად, ასოცირებული მატრიცა აქ არის შებრუნებული მატრიცა (რადგან რომელიმე რიცხვის 1-ზე გაყოფა არ ცვლის მას).
- ზოგიერთ წყაროში გაყოფის ოპერაცია ჩანაცვლებულია 1/det(M-ზე) გამრავლებით. ამ შემთხვევაში, საბოლოო შედეგი არ იცვლება.
ჩაწერეთ შებრუნებული მატრიცა.ჩაწერეთ დიდი მატრიცის მარჯვენა ნახევარზე განლაგებული ელემენტები ცალკე მატრიცის სახით, რომელიც არის შებრუნებული მატრიცა.
შეიყვანეთ ორიგინალური მატრიცა კალკულატორის მეხსიერებაში.ამისათვის დააჭირეთ ღილაკს Matrix, თუ ეს შესაძლებელია. Texas Instruments კალკულატორისთვის შეიძლება დაგჭირდეთ მე-2 და Matrix ღილაკების დაჭერა.
აირჩიეთ რედაქტირების მენიუ.გააკეთეთ ეს ისრის ღილაკების ან შესაბამისი ფუნქციის ღილაკის გამოყენებით, რომელიც მდებარეობს კალკულატორის კლავიატურის ზედა ნაწილში (ღილაკის მდებარეობა დამოკიდებულია კალკულატორის მოდელზე).
შეიყვანეთ მატრიცის აღნიშვნა.გრაფიკული კალკულატორების უმეტესობას შეუძლია იმუშაოს 3-10 მატრიცით, რომლებიც შეიძლება აღინიშნოს A-J ასოებით. როგორც წესი, უბრალოდ აირჩიეთ [A] ორიგინალური მატრიცის აღსანიშნავად. შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს Enter.
შეიყვანეთ მატრიცის ზომა.ამ სტატიაში საუბარია 3x3 მატრიცებზე. მაგრამ გრაფიკულ კალკულატორებს შეუძლიათ დიდი მატრიცებით მუშაობა. შეიყვანეთ რიგების რაოდენობა, დააჭირეთ ღილაკს Enter, შემდეგ შეიყვანეთ სვეტების რაოდენობა და კვლავ დააჭირეთ ღილაკს Enter.
შეიყვანეთ მატრიცის თითოეული ელემენტი.მატრიცა გამოჩნდება კალკულატორის ეკრანზე. თუ მატრიცა უკვე შეყვანილია კალკულატორში, ის გამოჩნდება ეკრანზე. კურსორი გამოყოფს მატრიცის პირველ ელემენტს. შეიყვანეთ პირველი ელემენტის მნიშვნელობა და დააჭირეთ Enter. კურსორი ავტომატურად გადავა მატრიცის შემდეგ ელემენტზე.
მატრიცა A -1 ეწოდება შებრუნებულ მატრიცას A მატრიცის მიმართ, თუ A * A -1 \u003d E, სადაც E არის n-ე რიგის იდენტურობის მატრიცა. ინვერსიული მატრიცა შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.
სამსახურის დავალება. ამ სერვისის ონლაინ გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ალგებრული დამატებები, ტრანსპონირებული მატრიცა A T, კავშირის მატრიცა და შებრუნებული მატრიცა. გადაწყვეტა ხორციელდება პირდაპირ საიტზე (ონლაინ) და უფასოა. გაანგარიშების შედეგები წარმოდგენილია ანგარიშში Word ფორმატში და Excel ფორმატში (ანუ შესაძლებელია გადაწყვეტის შემოწმება). იხილეთ დიზაინის მაგალითი.
ინსტრუქცია. გამოსავლის მისაღებად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მატრიცის განზომილება. შემდეგ, ახალ დიალოგურ ფანჯარაში, შეავსეთ მატრიცა A.
აგრეთვე ინვერსიული მატრიცა ჟორდანია-გაუსის მეთოდით
ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმი
- ტრანსპონირებული მატრიცის პოვნა A T.
- ალგებრული დამატებების განმარტება. ჩაანაცვლეთ მატრიცის თითოეული ელემენტი მისი ალგებრული დანამატით.
- ინვერსიული მატრიცის შედგენა ალგებრული დამატებებიდან: შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი იყოფა თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული მატრიცა არის ორიგინალური მატრიცის ინვერსია.
- დაადგინეთ არის თუ არა მატრიცა კვადრატული. თუ არა, მაშინ ამისთვის ინვერსიული მატრიცა არ არსებობს.
- A მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ის არ არის ნულის ტოლი, ვაგრძელებთ ამონახსნებს, წინააღმდეგ შემთხვევაში, შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს.
- ალგებრული დამატებების განმარტება.
- გაერთიანების (ერთობლივი, მიმდებარე) მატრიცის შევსება.
- ინვერსიული მატრიცის შედგენა ალგებრული მიმატებიდან: მიმდებარე მატრიცის C თითოეული ელემენტი იყოფა თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული მატრიცა არის ორიგინალური მატრიცის ინვერსია.
- გააკეთეთ შემოწმება: გაამრავლეთ ორიგინალი და მიღებული მატრიცები. შედეგი უნდა იყოს იდენტურობის მატრიცა.
მაგალითი #1. ჩვენ ვწერთ მატრიცას სახით:
ალგებრული დამატებები.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
მერე ინვერსიული მატრიცაშეიძლება დაიწეროს როგორც:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
კიდევ ერთი ალგორითმი შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად
წარმოგიდგენთ სხვა სქემას შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად.- იპოვეთ მოცემული კვადრატული მატრიცის A განმსაზღვრელი.
- ვპოულობთ ალგებრულ მიმატებებს A მატრიცის ყველა ელემენტზე.
- ჩვენ ვწერთ მწკრივების ელემენტების ალგებრულ დანამატებს სვეტებში (ტრანსპოზიცია).
- მიღებული მატრიცის თითოეულ ელემენტს ვყოფთ A მატრიცის განმსაზღვრელზე.
განსაკუთრებული შემთხვევა: ინვერსიული, იდენტურობის E მატრიცის მიმართ, არის იდენტობის მატრიცა E.
