იმუშავე 22 უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. ლექცია: "ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები"

პირველი დონე

ექსპონენციალური განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

გამარჯობა! დღეს ჩვენ განვიხილავთ თქვენთან ერთად, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიძლება იყოს როგორც ელემენტარული (და იმედი მაქვს, რომ ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თითქმის ყველა მათგანი ასე იქნება თქვენთვის) და მათ, რომლებსაც ჩვეულებრივ აძლევენ "backfill". როგორც ჩანს, მთლიანად ჩაძინება. მაგრამ მე ვეცდები მაქსიმალურად გავაკეთო, რომ ახლა თქვენ არ შეგექმნათ პრობლემები ამ ტიპის განტოლების წინაშე. ბუჩქს აღარ ვცემ, მაგრამ მაშინვე გავუმხელ პატარა საიდუმლოს: დღეს ვისწავლით ექსპონენციალური განტოლებები.

სანამ მათ გადაჭრის გზების ანალიზს გადავაწყდებით, მაშინვე გამოგივლით კითხვების წრეს (საკმაოდ მცირე), რომელიც უნდა გაიმეოროთ, სანამ ამ თემის შტურმით აჩქარდებით. ასე რომ, საუკეთესო შედეგებისთვის გთხოვთ გაიმეორე:

თვისებები და
ამოხსნა და განტოლებები

გაიმეორა? მშვენიერია! მაშინ არ გაგიჭირდებათ შეამჩნიოთ, რომ განტოლების ფესვი არის რიცხვი. დარწმუნებული ხარ, რომ გესმის, როგორ გავაკეთე ეს? სიმართლე? შემდეგ ვაგრძელებთ. ახლა მიპასუხე კითხვაზე, რას უდრის მესამე ძალა? აბსოლუტურად მართალი ხარ: . რვა რა ძალაა ორი? მართალია - მესამე! იმიტომ რომ. აბა, ახლა ვცადოთ შემდეგი ამოცანის ამოხსნა: ნება მომეცით გავამრავლო რიცხვი თავის თავზე და მივიღო შედეგი. საკითხავია, რამდენჯერ გავამრავლე საკუთარ თავზე? თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ პირდაპირ შეამოწმოთ ეს:

\ დასაწყისი (გასწორება) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( გასწორება)

მაშინ შეიძლება დაასკვნათ, რომ მე თვითონ გავამრავლე. სხვაგვარად როგორ შეიძლება ამის შემოწმება? და აი როგორ: პირდაპირ ხარისხის განსაზღვრით: . მაგრამ, უნდა აღიარო, რომ მეკითხა, რამდენჯერ უნდა გამრავლდეს ორი თავისთავად, რომ მივიღო, ვთქვათ, მეუბნებოდი: თავს არ მოვიტყუებ და არ გავამრავლებ, სანამ არ გალურჯდები. და ის აბსოლუტურად მართალი იქნებოდა. რადგან როგორ შეგიძლია მოკლედ ჩამოწერეთ ყველა მოქმედება(და სიბრტყე არის ნიჭის და)

სად - ეს არის ძალიან "ჯერ"როცა თავისთავად ამრავლებ.

მე ვფიქრობ, რომ თქვენ იცით (და თუ არ იცით, სასწრაფოდ, ძალიან სასწრაფოდ გაიმეორეთ ხარისხები!) რომ მაშინ ჩემი პრობლემა დაიწერება ფორმაში:

როგორ შეგიძლიათ გონივრულად დაასკვნათ, რომ:

ასე რომ, ჩუმად, ყველაზე მარტივი დავწერე ექსპონენციალური განტოლება:

და იპოვა კიდეც ფესვი. არ ფიქრობთ, რომ ყველაფერი საკმაოდ ტრივიალურია? ზუსტად მაგას ვფიქრობ მეც. აქ არის კიდევ ერთი მაგალითი თქვენთვის:

მაგრამ რა უნდა გააკეთოს? ყოველივე ამის შემდეგ, ის არ შეიძლება დაიწეროს, როგორც (გონივრული) რიცხვის ხარისხი. არ დავიდარდოთ და აღვნიშნოთ, რომ ორივე ეს რიცხვი მშვენივრად არის გამოხატული ერთი და იგივე რიცხვის სიმძლავრის მიხედვით. Რა? მარჯვენა:. შემდეგ ორიგინალური განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში:

საიდანაც, როგორც უკვე მიხვდით, . აღარ დავძლიოთ და დავწეროთ განმარტება:

ჩვენს შემთხვევაში თქვენთან: .

ეს განტოლებები წყდება მათი სახით შემცირებით:

განტოლების შემდგომი ამოხსნით

ჩვენ, ფაქტობრივად, ეს გავაკეთეთ წინა მაგალითში: მივიღეთ ეს. და ჩვენ გადავწყვიტეთ უმარტივესი განტოლება თქვენთან ერთად.

როგორც ჩანს, არაფერია რთული, არა? ჯერ ვივარჯიშოთ უმარტივესზე. მაგალითები:

ჩვენ კვლავ ვხედავთ, რომ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები უნდა იყოს წარმოდგენილი ერთი რიცხვის ხარისხად. მართალია, ეს უკვე გაკეთდა მარცხნივ, მაგრამ მარჯვნივ არის ნომერი. მაგრამ, ბოლოს და ბოლოს, არა უშავს და ჩემი განტოლება სასწაულებრივად გარდაიქმნება შემდეგში:

აქ რა უნდა მექნა? რა წესი? Power to Power წესირომელიც წერია:

Რა იქნება თუ:

სანამ ამ კითხვაზე პასუხს გავცემდეთ, თქვენთან ერთად შეავსოთ შემდეგი ცხრილი:

ჩვენთვის ადვილია შევამჩნიოთ, რომ რაც უფრო მცირეა, მით უფრო მცირეა მნიშვნელობა, მაგრამ მიუხედავად ამისა, ყველა ეს მნიშვნელობა ნულზე მეტია. და ყოველთვის ასე იქნება!!! იგივე თვისება მართალია ნებისმიერი ბაზისთვის, ნებისმიერი ინდექსით!! (ნებისმიერი და). მაშინ რა დასკვნის გაკეთება შეგვიძლია განტოლებაზე? და აი ერთი: ის ფესვები არ აქვს! ისევე, როგორც ნებისმიერ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ახლა ვივარჯიშოთ და მოდით გადავწყვიტოთ რამდენიმე მარტივი მაგალითი:

მოდით შევამოწმოთ:

1. აქ არაფერია საჭირო შენგან, გარდა ძალაუფლების თვისებების ცოდნისა (რისი გამეორება სხვათა შორის გთხოვე!) როგორც წესი, ყველაფერს უმცირეს ფუძამდე მივყავართ: , . მაშინ თავდაპირველი განტოლება იქნება შემდეგის ექვივალენტური: ყველაფერი რაც მე მჭირდება არის ძალაუფლების თვისებების გამოყენება: ერთსა და იმავე ფუძეზე რიცხვების გამრავლებისას ემატება მაჩვენებლები, ხოლო გაყოფისას აკლება.შემდეგ მივიღებ: კარგი, ახლა სუფთა სინდისით გადავალ ექსპონენციალური განტოლებიდან წრფივზე: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\ბოლო (გასწორება)

2. მეორე მაგალითში უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ: უბედურება ისაა, რომ მარცხენა მხარეს, ჩვენ არ შეგვიძლია იგივე რიცხვის წარმოდგენა ხარისხად. ამ შემთხვევაში ზოგჯერ სასარგებლოა წარმოადგენენ რიცხვებს, როგორც ხარისხების ნამრავლს სხვადასხვა ფუძეებით, მაგრამ იგივე მაჩვენებლებით:

განტოლების მარცხენა მხარე მიიღებს ფორმას: რა მოგვცა ამან? და აი რა: რიცხვები სხვადასხვა ფუძით, მაგრამ ერთი და იგივე მაჩვენებლით შეიძლება გამრავლდეს.ამ შემთხვევაში, ფუძეები მრავლდება, მაგრამ მაჩვენებელი არ იცვლება:

ჩემს სიტუაციაში გამოყენებული, ეს მისცემს:

\ დასაწყისი (გასწორება)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\ბოლო (გასწორება)

ცუდი არ არის, არა?

3. არ მომწონს, როცა განტოლების ერთ მხარეს მაქვს ორი წევრი, მეორეზე კი არცერთი (ზოგჯერ, რა თქმა უნდა, ეს გამართლებულია, მაგრამ ახლა ასე არ არის). გადაიტანეთ მინუს ტერმინი მარჯვნივ:

ახლა, როგორც ადრე, ყველაფერს დავწერ სამეულის ძალებით:

ვამატებ ხარისხებს მარცხნივ და ვიღებ ეკვივალენტურ განტოლებას

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვი:

4. როგორც მაგალითად სამში, ტერმინი მინუსით - ადგილი მარჯვენა მხარეს!

მარცხნივ, თითქმის ყველაფერი კარგადაა ჩემთან, რის გარდა? დიახ, დედის "არასწორი ხარისხი" მაწუხებს. მაგრამ ამის გამოსწორება მარტივად შემიძლია წერით: . ევრიკა - მარცხნივ, ყველა ფუძე განსხვავებულია, მაგრამ ყველა ხარისხი ერთი და იგივეა! ჩვენ სწრაფად ვმრავლდებით!

აქ ისევ ყველაფერი ნათელია: (თუ ვერ გაიგეთ რა ჯადოსნურად მივიღე ბოლო თანასწორობა, შეისვენეთ ერთი წუთით, შეისვენეთ და კვლავ ყურადღებით წაიკითხეთ ხარისხის თვისებები. ვინ თქვა, რომ შეგიძლიათ გამოტოვოთ ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით? აბა, აქ მე დაახლოებით ისეთივე ვარ, როგორც არავინ). ახლა მე მივიღებ:

\ დასაწყისი (გასწორება)
& ((2)^(4\მარცხნივ((x) -9 \მარჯვნივ)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\ბოლო (გასწორება)

აქ არის თქვენთვის სავარჯიშო ამოცანები, რომლებზეც მხოლოდ პასუხებს გავცემ (ოღონდ „შერეული“ ფორმით). მოაგვარეთ ისინი, შეამოწმეთ და ჩვენ გავაგრძელებთ კვლევას!

მზადაა? პასუხებიამათ მსგავსად:

ნებისმიერი ნომერი

კარგი, კარგი, ვიხუმრე! აქ მოცემულია გადაწყვეტილებების მონახაზი (ზოგიერთი საკმაოდ მოკლეა!)

არ ფიქრობთ, რომ შემთხვევითი არ არის, რომ მარცხნივ ერთი წილადი არის „შებრუნებული“ მეორე? ცოდვა იქნება ამის არ გამოყენება:

ეს წესი ძალიან ხშირად გამოიყენება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, კარგად დაიმახსოვრეთ!

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნით თქვენ მიიღებთ შემდეგ ფესვებს:

2. კიდევ ერთი ამონახსნი: განტოლების ორივე ნაწილის დაყოფა მარცხნივ (ან მარჯვნივ) გამოსახულებით. გავყოფ მარჯვენაზე, შემდეგ მივიღებ:

სად (რატომ?!)

3. არც მინდა გავიმეორო, უკვე ყველაფერი ისე "დაღეჭილია".

4. კვადრატული განტოლების ტოლფასი ფესვები

5. თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველ ამოცანაში მოცემული ფორმულა, შემდეგ მიიღებთ რომ:

განტოლება გადაიქცა ტრივიალურ იდენტობად, რაც მართალია ნებისმიერისთვის. მაშინ პასუხი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

აბა, აქ ხართ და ივარჯიშეთ გადასაწყვეტად უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებები.ახლა მინდა მოგაწოდოთ რამდენიმე ცხოვრებისეული მაგალითი, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ, რატომ არის ისინი საჭირო პრინციპში. აქ მე მოვიყვან ორ მაგალითს. ერთი მათგანი საკმაოდ ყოველდღიურია, მაგრამ მეორე უფრო მეცნიერული, ვიდრე პრაქტიკული ინტერესია.

მაგალითი 1 (მერკანტილური)ნება მიბოძეთ გქონდეთ რუბლი, მაგრამ გსურთ მისი გადაქცევა რუბლებში. ბანკი გთავაზობთ ამ თანხის აღებას თქვენგან წლიური საპროცენტო განაკვეთით პროცენტის ყოველთვიური კაპიტალიზაციით (თვიური დარიცხვა). საკითხავია, რამდენი თვის განმავლობაში გჭირდებათ ანაბრის გახსნა სასურველი საბოლოო თანხის დასაგროვებლად? საკმაოდ ამქვეყნიური ამოცანაა, არა? მიუხედავად ამისა, მისი ამოხსნა დაკავშირებულია შესაბამისი ექსპონენციალური განტოლების აგებასთან: მოდით - საწყისი თანხა, - საბოლოო თანხა, - პერიოდის საპროცენტო განაკვეთი, - პერიოდების რაოდენობა. შემდეგ:

ჩვენს შემთხვევაში (თუ განაკვეთი არის წლიური, მაშინ ის გამოითვლება თვეში). რატომ იყოფა? თუ არ იცით ამ კითხვაზე პასუხი, გახსოვდეთ თემა ""! შემდეგ მივიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ამ ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა უკვე შესაძლებელია მხოლოდ კალკულატორით (მისი გარეგნობა ამაზე მიანიშნებს და ამისათვის საჭიროა ლოგარითმების ცოდნა, რომელსაც ცოტა მოგვიანებით გავეცნობით), რასაც გავაკეთებ: ... ამრიგად, იმისათვის, რომ მიიღეთ მილიონი, ჩვენ უნდა შევიტანოთ კონტრიბუცია ერთი თვის განმავლობაში (არ არის ძალიან სწრაფად, არა?).

მაგალითი 2 (საკმაოდ სამეცნიერო).მიუხედავად მისი, გარკვეული „იზოლირებისა“, გირჩევთ, ყურადღება მიაქციოთ მას: ის რეგულარულად „გადის გამოცდაზე!! (დავალება აღებულია „რეალური“ ვერსიიდან) რადიოაქტიური იზოტოპის დაშლისას მისი მასა კანონის მიხედვით მცირდება, სადაც (მგ) არის იზოტოპის საწყისი მასა, (მინ.) არის დრო გასული საწყისი მომენტი, (მინ.) არის ნახევარგამოყოფის პერიოდი. დროის საწყის მომენტში იზოტოპის მასა არის მგ. მისი ნახევარგამოყოფის პერიოდი მინ. რამდენ წუთში იქნება იზოტოპის მასა მგ-ის ტოლი? არა უშავს: ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ და ვცვლით ყველა მონაცემს ჩვენთვის შემოთავაზებულ ფორმულაში:

მოდით გავყოთ ორივე ნაწილი, "იმ იმედით", რომ მარცხნივ მივიღებთ რაღაც საჭმლის მონელებას:

ისე, ჩვენ ძალიან გაგვიმართლა! ის დგას მარცხნივ, შემდეგ გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე:

სადაც მინ.

როგორც ხედავთ, ექსპონენციალურ განტოლებებს პრაქტიკაში ძალიან რეალური გამოყენება აქვთ. ახლა მინდა თქვენთან ერთად განვიხილო ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი (მარტივი) გზა, რომელიც ეფუძნება ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებას და შემდეგ ტერმინების დაჯგუფებას. ნუ გეშინიათ ჩემი სიტყვების, ეს მეთოდი უკვე შეგხვდათ მე-7 კლასში, როცა სწავლობდით მრავალწევრებს. მაგალითად, თუ დაგჭირდათ გამონათქვამის ფაქტორიზირება:

დავაჯგუფოთ: პირველი და მესამე ტერმინები, ასევე მეორე და მეოთხე. ნათელია, რომ პირველი და მესამე არის კვადრატების განსხვავება:

მეორეს და მეოთხეს აქვს სამი საერთო კოეფიციენტი:

მაშინ ორიგინალური გამოთქმა ამის ტოლფასია:

სად ამოიღოთ საერთო ფაქტორი, აღარ არის რთული:

შესაბამისად,

დაახლოებით ასე მოვიქცევით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას: ტერმინებს შორის მოძებნეთ „საერთოება“ და ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან და შემდეგ - რაც შეიძლება, მჯერა, რომ გაგვიმართლებს =)) მაგალითად:

მარჯვნივ შორს არის შვიდის სიმძლავრე (მე შევამოწმე!) და მარცხნივ - ოდნავ უკეთესად, შეგიძლიათ, რა თქმა უნდა, „ამოჭრათ“ ფაქტორი a პირველი ტერმინიდან და მეორედან და შემდეგ გაუმკლავდეთ. რაც გაქვს, მაგრამ მოდი უფრო გონივრულად მოვიქცეთ თქვენთან. არ მინდა საქმე იმ ფრაქციებთან, რომლებიც აუცილებლად წარმოიქმნება „შერჩევით“, ასე რომ არ ჯობია გავძლო? მაშინ მე არ მექნება წილადები: როგორც ამბობენ, მგლებიც სავსეა და ცხვრებიც უსაფრთხოა:

დაითვალეთ გამოხატულება ფრჩხილებში. ჯადოსნურად, ჯადოსნურად, გამოდის ეს (გასაკვირველია, თუმცა სხვას რას უნდა ველოდოთ?).

შემდეგ ამ ფაქტორით ვამცირებთ განტოლების ორივე მხარეს. ვიღებთ: სად.

აქ არის უფრო რთული მაგალითი (საკმაოდ, ნამდვილად):

აი უბედურება! აქ საერთო ენა არ გვაქვს! არ არის სრულიად ნათელი რა უნდა გააკეთოს ახლა. და მოდით გავაკეთოთ ის, რაც შეგვიძლია: პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ "ოთხს" ერთი მიმართულებით, ხოლო "ხუთეულს" მეორეში:

ახლა მოდით ამოვიღოთ "საერთო" მარცხნივ და მარჯვნივ:

Ახლა რა? რა სარგებელი მოაქვს ასეთ სულელურ დაჯგუფებას? ერთი შეხედვით, ეს საერთოდ არ ჩანს, მაგრამ მოდით, უფრო ღრმად ჩავიხედოთ:

კარგი, ახლა მოდით გავაკეთოთ ისე, რომ მარცხნივ გვქონდეს მხოლოდ გამოთქმა c, ხოლო მარჯვნივ - ყველაფერი დანარჩენი. როგორ გავაკეთოთ ეს? და აი როგორ: ჯერ გაყავით განტოლების ორივე მხარე (ასე რომ მოვიშოროთ მაჩვენებლის მარჯვნივ) და შემდეგ გავყოთ ორივე მხარეზე (ასე მოვიშოროთ რიცხვითი ფაქტორი მარცხნივ). საბოლოოდ მივიღებთ:

წარმოუდგენელი! მარცხნივ გვაქვს გამოხატულება, ხოლო მარჯვნივ - უბრალოდ. მაშინვე დავასკვნათ, რომ

აქ არის კიდევ ერთი მაგალითი გასამყარებლად:

მე მივცემ მის მოკლე გამოსავალს (არ მჭირს ახსნა), შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ გადაწყვეტის ყველა "დახვეწილობა".

ახლა დაფარული მასალის საბოლოო კონსოლიდაცია. შეეცადეთ დამოუკიდებლად მოაგვაროთ შემდეგი პრობლემები. მე მხოლოდ მოკლე რეკომენდაციებს და რჩევებს მოგცემთ მათ გადასაჭრელად:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:
ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ გამონათქვამს სახით: , გაყავით ორივე ნაწილი და მიიღეთ ეს
, შემდეგ თავდაპირველი განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში: აბა, ახლა მინიშნება - მოძებნეთ სად მოვაგვარეთ მე და თქვენ უკვე ეს განტოლება!
წარმოიდგინეთ როგორ, როგორ, აჰ, კარგად, შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი, ასე რომ თქვენ მიიღებთ უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას.
ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.
ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.

ექსპოზიციური განტოლებები. საშუალო დონე

ვვარაუდობ, რომ პირველი სტატიის წაკითხვის შემდეგ, რომელშიც ნათქვამია რა არის ექსპონენციალური განტოლებები და როგორ ამოხსნათ ისინი, თქვენ აითვისეთ ცოდნის აუცილებელი მინიმალური რაოდენობა, რომელიც საჭიროა უმარტივესი მაგალითების ამოსახსნელად.

ახლა გავაანალიზებ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდს, ეს არის

„ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი“ (ან ჩანაცვლება).ის ხსნის „რთულ“ ამოცანების უმეტესობას, ექსპონენციალური განტოლებების (და არა მარტო განტოლებების) თემაზე. ეს მეთოდი პრაქტიკაში ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებულია. პირველ რიგში, გირჩევთ გაეცნოთ თემას.

როგორც სახელიდან უკვე მიხვდით, ამ მეთოდის არსი არის ცვლადის ისეთი ცვლილების შემოღება, რომ თქვენი ექსპონენციალური განტოლება სასწაულებრივად გარდაიქმნება ისეთად, რომლის ამოხსნასაც უკვე მარტივად შეძლებთ. ამ ძალიან „გამარტივებული განტოლების“ ამოხსნის შემდეგ რჩება მხოლოდ „საპირისპირო ჩანაცვლება“: ანუ შეცვლილიდან შეცვლილზე დაბრუნება. მოდით ილუსტრაციულად ვთქვით ის, რაც ახლა ვთქვით ძალიან მარტივი მაგალითით:

მაგალითი 1:

ეს განტოლება წყდება "მარტივი ჩანაცვლებით", როგორც მათემატიკოსები დამამცირებლად უწოდებენ. მართლაც, ჩანაცვლება აქ ყველაზე აშკარაა. უბრალოდ ამის დანახვაა საჭირო

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

თუ დამატებით წარმოვიდგენთ როგორ, მაშინ სავსებით გასაგებია, რა უნდა შეიცვალოს: რა თქმა უნდა, . რა ხდება მაშინ თავდაპირველი განტოლება? და აი რა:

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვები დამოუკიდებლად:. Რა უნდა გავაკეთოთ ახლა? დროა დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს. რისი ჩასმა დამავიწყდა? კერძოდ: გარკვეული ხარისხის ახალი ცვლადით ჩანაცვლებისას (ანუ ტიპის ჩანაცვლებისას), დავინტერესდები მხოლოდ დადებითი ფესვები!თქვენ თვითონ შეგიძლიათ მარტივად უპასუხოთ რატომ. ამრიგად, ჩვენ არ ვართ დაინტერესებული თქვენით, მაგრამ მეორე ფესვი საკმაოდ შესაფერისია ჩვენთვის:

მერე სად.

პასუხი:

როგორც ხედავთ, წინა მაგალითში შემცვლელი ითხოვდა ჩვენს ხელებს. სამწუხაროდ, ეს ყოველთვის ასე არ არის. თუმცა, პირდაპირ სამწუხაროზე არ გადავიდეთ, არამედ ვივარჯიშოთ კიდევ ერთ მაგალითზე საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლებით

მაგალითი 2

გასაგებია, რომ დიდი ალბათობით, საჭირო იქნება ჩანაცვლება (ეს არის ყველაზე პატარა ძალაუფლება, რომელიც შედის ჩვენს განტოლებაში), თუმცა ჩანაცვლების შემოღებამდე ჩვენი განტოლება უნდა „მომზადდეს“ ამისთვის, კერძოდ: , . შემდეგ შეგიძლიათ შეცვალოთ, შედეგად მე მივიღებ შემდეგ გამოთქმას:

ოჰ საშინელება: კუბური განტოლება მისი ამოხსნის აბსოლუტურად საშინელი ფორმულებით (კარგი, ზოგადად რომ ვთქვათ). ოღონდ მაშინვე ნუ ვიდარდებთ, არამედ ვიფიქროთ რა უნდა გავაკეთოთ. მე შემოგთავაზებთ მოტყუებას: ჩვენ ვიცით, რომ იმისათვის, რომ მივიღოთ "ლამაზი" პასუხი, ჩვენ უნდა მივიღოთ სამი სიმძლავრე (რატომ იქნება ეს, ჰა?). და შევეცადოთ გამოვიცნოთ ჩვენი განტოლების ერთი ფესვი მაინც (გამოცნობას დავიწყებ სამის ხარისხებიდან).

პირველი გამოცნობა. არ არის ფესვი. ვაი და აჰ...

.
მარცხენა მხარე თანაბარია.
მარჯვენა ნაწილი: !
Იქ არის! გამოიცნო პირველი ფესვი. ახლა ყველაფერი გამარტივდება!

იცით თუ არა „კუთხის“ გაყოფის სქემა? რა თქმა უნდა, იცით, თქვენ იყენებთ მას, როდესაც ერთ რიცხვს მეორეზე ყოფთ. მაგრამ ცოტამ თუ იცის, რომ იგივე შეიძლება გაკეთდეს მრავალწევრებთან. არსებობს ერთი მშვენიერი თეორემა:

გამოიყენება ჩემს სიტუაციაში, ის მეუბნება, თუ რა იყოფა ნაშთის გარეშე. როგორ ხდება გაყოფა? ასე:

მე ვუყურებ რომელი მონომი უნდა გავამრავლო, რომ Clear მივიღო, შემდეგ:

გამოვაკლებ მიღებულ გამონათქვამს, მივიღებ:

ახლა რა უნდა გავამრავლო რომ მივიღო? გასაგებია, რომ შემდეგ მე მივიღებ:

და კვლავ გამოვაკლოთ მიღებული გამონათქვამი დანარჩენს:

ბოლო საფეხურს ვამრავლებ და ვაკლებ დარჩენილ გამონათქვამს:

ჰოოი, დაყოფა დასრულდა! რა დავაგროვეთ პირადში? Თავისით: .

შემდეგ მივიღეთ თავდაპირველი მრავალწევრის შემდეგი გაფართოება:

ამოხსნათ მეორე განტოლება:

მას აქვს ფესვები:

შემდეგ ორიგინალური განტოლება:

აქვს სამი ფესვი:

ჩვენ, რა თქმა უნდა, უარვყოფთ ბოლო ფესვს, რადგან ის ნულზე ნაკლებია. და პირველი ორი საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მოგვცემს ორ ფესვს:

პასუხი:..

ამ მაგალითით სულაც არ მინდოდა შენი შეშინება, უფრო სწორად, იმის ჩვენება დავაპირე, რომ მიუხედავად იმისა, რომ საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლება გვქონდა, მაინც მიგვიყვანა საკმაოდ რთულ განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც ჩვენგან განსაკუთრებულ უნარებს მოითხოვდა. . ისე, არავინ არ არის დაზღვეული ამისგან. მაგრამ ცვლილება ამ შემთხვევაში საკმაოდ აშკარა იყო.

აქ არის მაგალითი ოდნავ ნაკლებად აშკარა ჩანაცვლებით:

საერთოდ გაუგებარია, რა უნდა გავაკეთოთ: პრობლემა ის არის, რომ ჩვენს განტოლებაში არის ორი განსხვავებული ფუძე და ერთი ფუძის მიღება შეუძლებელია მეორისგან მისი რაიმე (გონივრული, ბუნებრივია) ძლიერებამდე აყვანით. თუმცა, რას ვხედავთ? ორივე ფუძე განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით და მათი ნამრავლი არის კვადრატების განსხვავება ერთის ტოლი:

განმარტება:

ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენს მაგალითში არის ბაზები, არის კონიუგირებული.

ამ შემთხვევაში, ჭკვიანური ნაბიჯი იქნება გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე კონიუგატულ რიცხვზე.

მაგალითად, on, მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე ტოლი გახდება, ხოლო მარჯვენა მხარე. თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, მაშინ ჩვენი თავდაპირველი განტოლება თქვენთან გახდება ასეთი:

მისი ფესვები, მაშინ, მაგრამ ამის დამახსოვრების შემდეგ, ჩვენ ამას მივიღებთ.

პასუხი: ,.

როგორც წესი, ჩანაცვლების მეთოდი საკმარისია "სასკოლო" ექსპონენციალური განტოლებების უმეტესობის ამოსახსნელად. შემდეგი ამოცანები აღებულია USE C1-დან (სირთულის გაზრდილი დონე). თქვენ უკვე საკმარისად განათლებული ხართ, რომ ეს მაგალითები დამოუკიდებლად მოაგვაროთ. მე მივცემ მხოლოდ საჭირო ჩანაცვლებას.

ამოხსენით განტოლება:
იპოვეთ განტოლების ფესვები:
ამოხსენით განტოლება: . იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს:

ახლა რამდენიმე სწრაფი ახსნა-განმარტებისა და პასუხებისთვის:

აქ საკმარისია აღინიშნოს, რომ და. მაშინ თავდაპირველი განტოლება იქნება ამ განტოლების ექვივალენტი: ეს განტოლება წყდება ჩანაცვლებით. გააკეთეთ შემდეგი გამოთვლები თავად. საბოლოო ჯამში, თქვენი ამოცანა შემცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიის ამოხსნამდე (დამოკიდებულია სინუსზე ან კოსინუსზე). ასეთი მაგალითების ამოხსნას სხვა თავებში განვიხილავთ.
აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლების გარეშეც: საკმარისია ქვეტრაჰენდის გადატანა მარჯვნივ და ორივე ფუძის წარმოდგენა ორი ძალების საშუალებით: და შემდეგ დაუყოვნებლივ გადადით კვადრატულ განტოლებაზე.
მესამე განტოლებაც საკმაოდ სტანდარტულად არის ამოხსნილი: წარმოიდგინეთ როგორ. შემდეგ, ჩანაცვლებით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას: მაშინ,
უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? არა? მაშინ სასწრაფოდ წაიკითხე თემა!

პირველი ფესვი, ცხადია, სეგმენტს არ ეკუთვნის, მეორე კი გაუგებარია! მაგრამ ძალიან მალე გავარკვევთ! მას შემდეგ (ეს ლოგარითმის თვისებაა!) მოდით შევადაროთ:

გამოვაკლოთ ორივე ნაწილს და მივიღებთ:

მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

გავამრავლოთ ორივე მხარე:

შეიძლება გამრავლდეს მაშინ

მაშინ შევადაროთ:

მას შემდეგ:

შემდეგ მეორე ფესვი მიეკუთვნება სასურველ ინტერვალს

პასუხი:

Როგორც ხედავ, ექსპონენციალური განტოლებების ფესვების შერჩევა მოითხოვს ლოგარითმების თვისებების საკმაოდ ღრმა ცოდნას., ამიტომ გირჩევთ იყოთ მაქსიმალურად ფრთხილად ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მოგეხსენებათ, მათემატიკაში ყველაფერი ურთიერთდაკავშირებულია! როგორც ჩემი მათემატიკის მასწავლებელი ამბობდა: „ერთ ღამეში მათემატიკის წაკითხვა არ შეიძლება, როგორც ისტორია“.

როგორც წესი, ყველა C1 ამოცანების ამოხსნის სირთულე არის სწორედ განტოლების ფესვების შერჩევა.ვივარჯიშოთ სხვა მაგალითით:

ცხადია, რომ განტოლება თავისთავად ამოხსნილია საკმაოდ მარტივად. ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვამცირებთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას შემდეგზე:

ჯერ პირველ ფესვს გადავხედოთ. შეადარე და: მას შემდეგ. (ლოგარითმული ფუნქციის თვისება, at). მაშინ ცხადია, რომ არც პირველი ძირი არ ეკუთვნის ჩვენს ინტერვალს. ახლა მეორე ფესვი: . გასაგებია, რომ (რადგან ფუნქცია იზრდება). რჩება შედარება და

მას შემდეგ, რაც, ამავე დროს. ამდენად, მე შემიძლია "ამოძრავო პეგი" შორის და. ეს სამაგრი რიცხვია. პირველი გამოხატულება ნაკლებია, ხოლო მეორე მეტია ვიდრე. მაშინ მეორე გამოხატულება უფრო დიდია ვიდრე პირველი და ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს.

პასუხი:.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ განტოლების სხვა მაგალითს, სადაც ჩანაცვლება საკმაოდ არასტანდარტულია:

მოდი დაუყოვნებლივ დავიწყოთ იმით, რისი გაკეთება შეგიძლიათ და რა - პრინციპში, შეგიძლიათ, მაგრამ უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს. შესაძლებელია - ყველაფრის წარმოდგენა სამი, ორი და ექვსის ძალებით. სად მივყავართ? დიახ, და არაფერამდე არ მიგვიყვანს: ხარისხების ჭურვი, რომელთაგან ზოგიერთის მოშორება საკმაოდ რთული იქნება. მერე რა არის საჭირო? აღვნიშნოთ, რომ ა და რას მოგვცემს? და ის ფაქტი, რომ ჩვენ შეგვიძლია ამ მაგალითის ამონახსნები შევამციროთ საკმაოდ მარტივი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნამდე! პირველ რიგში, მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

ახლა ჩვენ ვყოფთ მიღებული განტოლების ორივე მხარეს:

ევრიკა! ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ, მივიღებთ:

აბა, ახლა თქვენი ჯერია პრობლემების დემონსტრაციისთვის გადაჭრა და მე მათ მხოლოდ მოკლე კომენტარებს მივცემ, რომ არ გადაცდეთ! Წარმატებები!

1. ყველაზე რთული! აქ შემცვლელის ნახვა ოჰ, რა მახინჯია! მიუხედავად ამისა, ამ მაგალითის სრულად მოგვარება შესაძლებელია სრული კვადრატის შერჩევა. მის გადასაჭრელად, საკმარისია აღინიშნოს, რომ:

ასე რომ, აქ არის თქვენი შემცვლელი:

(გაითვალისწინეთ, რომ აქ, ჩვენი ჩანაცვლებით, ჩვენ არ შეგვიძლია უარი თქვან უარყოფით ფესვზე!!! და რატომ, რას ფიქრობთ?)

ახლა, მაგალითის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი განტოლება:

ორივე მოგვარებულია "სტანდარტული ჩანაცვლებით" (მაგრამ მეორე ერთ მაგალითში!)

2. დააკვირდით ამას და გააკეთეთ ჩანაცვლება.

3. გააფართოვეთ რიცხვი თანაპრიმ ფაქტორებად და გაამარტივეთ მიღებული გამოსახულება.

4. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაყავით (ან თუ გსურთ) და გააკეთეთ ჩანაცვლება ან.

5. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები და კონიუგატებია.

ექსპოზიციური განტოლებები. გაფართოებული დონე

გარდა ამისა, მოდით შევხედოთ სხვა გზას - ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ლოგარითმის მეთოდით. ვერ ვიტყვი, რომ ამ მეთოდით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ძალიან პოპულარულია, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში მხოლოდ მას შეუძლია მიგვიყვანოს ჩვენი განტოლების სწორ ამონახვამდე. განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება ე.წ. შერეული განტოლებები': ანუ ის, სადაც არის სხვადასხვა ტიპის ფუნქციები.

მაგალითად, განტოლება, როგორიცაა:

ზოგადად, მისი ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ ორივე ნაწილის ლოგარითმის აღებით (მაგალითად, ბაზის მიხედვით), რომელშიც თავდაპირველი განტოლება გადაიქცევა შემდეგში:

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

ნათელია, რომ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ლოგარითმული ფუნქციის ODZ. თუმცა, ეს გამომდინარეობს არა მხოლოდ ლოგარითმის ODZ-დან, არამედ სხვა მიზეზის გამო. ვფიქრობ, რომ არ გაგიჭირდება იმის გამოცნობა, რომელი.

ავიღოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი ფუძემდე:

როგორც ხედავთ, ჩვენი თავდაპირველი განტოლების ლოგარითმის აღებამ სწრაფად მიგვიყვანა სწორ (და მშვენიერ!) პასუხამდე. ვივარჯიშოთ სხვა მაგალითით:

აქაც სანერვიულო არაფერია: ფუძის მიხედვით ვიღებთ განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმს, შემდეგ ვიღებთ:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

თუმცა რაღაც გამოგვრჩა! შეამჩნიე სად დავუშვი შეცდომა? ყოველივე ამის შემდეგ, მაშინ:

რომელიც არ აკმაყოფილებს მოთხოვნას (იფიქრეთ საიდან მოვიდა!)

პასუხი:

შეეცადეთ დაწეროთ ქვემოთ მოცემული ექსპონენციალური განტოლების ამონახსნი:

ახლა შეამოწმეთ თქვენი გამოსავალი ამით:

1. ჩვენ ორივე ნაწილს ლოგარითმით ვაძლევთ ფუძეს, იმის გათვალისწინებით, რომ:

(მეორე ფესვი არ გვიწყობს ჩანაცვლების გამო)

2. ლოგარითმი ფუძემდე:

მოდით გადავიტანოთ მიღებული გამოხატულება შემდეგ ფორმაში:

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

ექსპონენციალური განტოლება

ტიპის განტოლება:

დაურეკა უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლება.

ხარისხის თვისებები

გადაწყვეტის მიდგომები

შემცირება იმავე ბაზაზე
შემცირება იმავე მაჩვენებელზე
ცვლადი ჩანაცვლება
გაამარტივე გამოთქმა და გამოიყენე რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილი.

პირველი დონე

ექსპონენციალური განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

თვისებები და
ამოხსნა და განტოლებები

\ დასაწყისი (გასწორება) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( გასწორება)

სად - ეს არის ძალიან "ჯერ"როცა თავისთავად ამრავლებ.

როგორ შეგიძლიათ გონივრულად დაასკვნათ, რომ:

ასე რომ, ჩუმად, ყველაზე მარტივი დავწერე ექსპონენციალური განტოლება:

საიდანაც, როგორც უკვე მიხვდით, . აღარ დავძლიოთ და დავწეროთ განმარტება:

ჩვენს შემთხვევაში თქვენთან: .

ეს განტოლებები წყდება მათი სახით შემცირებით:

განტოლების შემდგომი ამოხსნით

როგორც ჩანს, არაფერია რთული, არა? ჯერ ვივარჯიშოთ უმარტივესზე. მაგალითები:

აქ რა უნდა მექნა? რა წესი? Power to Power წესირომელიც წერია:

Რა იქნება თუ:

სანამ ამ კითხვაზე პასუხს გავცემდეთ, თქვენთან ერთად შეავსოთ შემდეგი ცხრილი:

მოდით შევამოწმოთ:

ჩემს სიტუაციაში გამოყენებული, ეს მისცემს:

ცუდი არ არის, არა?

ახლა, როგორც ადრე, ყველაფერს დავწერ სამეულის ძალებით:

ვამატებ ხარისხებს მარცხნივ და ვიღებ ეკვივალენტურ განტოლებას

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვი:

4. როგორც მაგალითად სამში, ტერმინი მინუსით - ადგილი მარჯვენა მხარეს!

მზადაა? პასუხებიამათ მსგავსად:

ნებისმიერი ნომერი

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნით თქვენ მიიღებთ შემდეგ ფესვებს:

სად (რატომ?!)

3. არც მინდა გავიმეორო, უკვე ყველაფერი ისე "დაღეჭილია".

4. კვადრატული განტოლების ტოლფასი ფესვები

სადაც მინ.

მეორეს და მეოთხეს აქვს სამი საერთო კოეფიციენტი:

მაშინ ორიგინალური გამოთქმა ამის ტოლფასია:

სად ამოიღოთ საერთო ფაქტორი, აღარ არის რთული:

შესაბამისად,

შემდეგ ამ ფაქტორით ვამცირებთ განტოლების ორივე მხარეს. ვიღებთ: სად.

აქ არის უფრო რთული მაგალითი (საკმაოდ, ნამდვილად):

ახლა მოდით ამოვიღოთ "საერთო" მარცხნივ და მარჯვნივ:

აქ არის კიდევ ერთი მაგალითი გასამყარებლად:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:
ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ გამონათქვამს სახით: , გაყავით ორივე ნაწილი და მიიღეთ ეს
, შემდეგ თავდაპირველი განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში: აბა, ახლა მინიშნება - მოძებნეთ სად მოვაგვარეთ მე და თქვენ უკვე ეს განტოლება!
წარმოიდგინეთ როგორ, როგორ, აჰ, კარგად, შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი, ასე რომ თქვენ მიიღებთ უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას.
ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.
ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.

ექსპოზიციური განტოლებები. საშუალო დონე

მაგალითი 1:

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

მერე სად.

პასუხი:

მაგალითი 2

პირველი გამოცნობა. არ არის ფესვი. ვაი და აჰ...

მე ვუყურებ რომელი მონომი უნდა გავამრავლო, რომ Clear მივიღო, შემდეგ:

გამოვაკლებ მიღებულ გამონათქვამს, მივიღებ:

ახლა რა უნდა გავამრავლო რომ მივიღო? გასაგებია, რომ შემდეგ მე მივიღებ:

და კვლავ გამოვაკლოთ მიღებული გამონათქვამი დანარჩენს:

ბოლო საფეხურს ვამრავლებ და ვაკლებ დარჩენილ გამონათქვამს:

ჰოოი, დაყოფა დასრულდა! რა დავაგროვეთ პირადში? Თავისით: .

შემდეგ მივიღეთ თავდაპირველი მრავალწევრის შემდეგი გაფართოება:

ამოხსნათ მეორე განტოლება:

მას აქვს ფესვები:

შემდეგ ორიგინალური განტოლება:

აქვს სამი ფესვი:

პასუხი:..

აქ არის მაგალითი ოდნავ ნაკლებად აშკარა ჩანაცვლებით:

განმარტება:

მისი ფესვები, მაშინ, მაგრამ ამის დამახსოვრების შემდეგ, ჩვენ ამას მივიღებთ.

პასუხი: ,.

ამოხსენით განტოლება:
იპოვეთ განტოლების ფესვები:
ამოხსენით განტოლება: . იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს:

ახლა რამდენიმე სწრაფი ახსნა-განმარტებისა და პასუხებისთვის:

აქ საკმარისია აღინიშნოს, რომ და. მაშინ თავდაპირველი განტოლება იქნება ამ განტოლების ექვივალენტი: ეს განტოლება წყდება ჩანაცვლებით. გააკეთეთ შემდეგი გამოთვლები თავად. საბოლოო ჯამში, თქვენი ამოცანა შემცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიის ამოხსნამდე (დამოკიდებულია სინუსზე ან კოსინუსზე). ასეთი მაგალითების ამოხსნას სხვა თავებში განვიხილავთ.
აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლების გარეშეც: საკმარისია ქვეტრაჰენდის გადატანა მარჯვნივ და ორივე ფუძის წარმოდგენა ორი ძალების საშუალებით: და შემდეგ დაუყოვნებლივ გადადით კვადრატულ განტოლებაზე.
მესამე განტოლებაც საკმაოდ სტანდარტულად არის ამოხსნილი: წარმოიდგინეთ როგორ. შემდეგ, ჩანაცვლებით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას: მაშინ,
უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? არა? მაშინ სასწრაფოდ წაიკითხე თემა!

პირველი ფესვი, ცხადია, სეგმენტს არ ეკუთვნის, მეორე კი გაუგებარია! მაგრამ ძალიან მალე გავარკვევთ! მას შემდეგ (ეს ლოგარითმის თვისებაა!) მოდით შევადაროთ:

გამოვაკლოთ ორივე ნაწილს და მივიღებთ:

მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

გავამრავლოთ ორივე მხარე:

შეიძლება გამრავლდეს მაშინ

მაშინ შევადაროთ:

მას შემდეგ:

შემდეგ მეორე ფესვი მიეკუთვნება სასურველ ინტერვალს

პასუხი:

პასუხი:.

ახლა ჩვენ ვყოფთ მიღებული განტოლების ორივე მხარეს:

ევრიკა! ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ, მივიღებთ:

ასე რომ, აქ არის თქვენი შემცვლელი:

ახლა, მაგალითის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი განტოლება:

ორივე მოგვარებულია "სტანდარტული ჩანაცვლებით" (მაგრამ მეორე ერთ მაგალითში!)

2. დააკვირდით ამას და გააკეთეთ ჩანაცვლება.

5. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები და კონიუგატებია.

ექსპოზიციური განტოლებები. გაფართოებული დონე

მაგალითად, განტოლება, როგორიცაა:

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

ავიღოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი ფუძემდე:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

რომელიც არ აკმაყოფილებს მოთხოვნას (იფიქრეთ საიდან მოვიდა!)

პასუხი:

შეეცადეთ დაწეროთ ქვემოთ მოცემული ექსპონენციალური განტოლების ამონახსნი:

ახლა შეამოწმეთ თქვენი გამოსავალი ამით:

1. ჩვენ ორივე ნაწილს ლოგარითმით ვაძლევთ ფუძეს, იმის გათვალისწინებით, რომ:

(მეორე ფესვი არ გვიწყობს ჩანაცვლების გამო)

2. ლოგარითმი ფუძემდე:

მოდით გადავიტანოთ მიღებული გამოხატულება შემდეგ ფორმაში:

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

ექსპონენციალური განტოლება

ტიპის განტოლება:

დაურეკა უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლება.

ხარისხის თვისებები

გადაწყვეტის მიდგომები

შემცირება იმავე ბაზაზე
შემცირება იმავე მაჩვენებელზე
ცვლადი ჩანაცვლება
გაამარტივე გამოთქმა და გამოიყენე რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილი.

ეს გაკვეთილი განკუთვნილია მათთვის, ვინც ახლახან იწყებს ექსპონენციალური განტოლებების სწავლას. როგორც ყოველთვის, დავიწყოთ განმარტებით და მარტივი მაგალითებით.

თუ თქვენ კითხულობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ მეეჭვება, რომ თქვენ უკვე გაქვთ მინიმუმ მინიმალური გაგება უმარტივესი განტოლებების - წრფივი და კვადრატული: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ და ა.შ. ასეთი კონსტრუქციების გადაჭრის შესაძლებლობა აბსოლუტურად აუცილებელია, რათა არ "ჩამოკიდებული" იმ თემაში, რომელიც ახლა განიხილება.

ასე რომ, ექსპონენციალური განტოლებები. ნება მომეცით მოგცეთ რამდენიმე მაგალითი:

\[((2)^(x))=4;\ quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\ quad ((9)^(x))=- 3\]

ზოგიერთი მათგანი შეიძლება უფრო რთულად მოგეჩვენოთ, ზოგი კი პირიქით, ძალიან მარტივია. მაგრამ ყველა მათგანს ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი აერთიანებს: ისინი შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას $f\left(x \right)=((a)^(x))$. ამრიგად, ჩვენ წარმოგიდგენთ განმარტებას:

ექსპონენციალური განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას, ე.ი. $((a)^(x))$ ფორმის გამოხატულება. გარდა მითითებული ფუნქციისა, ასეთი განტოლებები შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ სხვა ალგებრულ კონსტრუქციას - მრავალწევრებს, ფესვებს, ტრიგონომეტრიას, ლოგარითმებს და ა.შ.

კარგი მაშინ. გაიგე განმარტება. ახლა ისმის კითხვა: როგორ მოვაგვაროთ მთელი ეს სისულელე? პასუხი არის ერთდროულად მარტივი და რთული.

დავიწყოთ კარგი ამბებით: ბევრ სტუდენტთან ჩემი გამოცდილებიდან შემიძლია ვთქვა, რომ მათი უმრავლესობისთვის ექსპონენციალური განტოლებები ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე იგივე ლოგარითმები და მით უმეტეს, ტრიგონომეტრია.

მაგრამ არის ცუდი ამბავიც: ზოგჯერ ყველა სახის სახელმძღვანელოსა და გამოცდის პრობლემების შემდგენელებს „შთაგონება“ ეწვევა და მათი ნარკოტიკებით ანთებული ტვინი იწყებს ისეთი სასტიკი განტოლებების გამომუშავებას, რომ პრობლემატური ხდება არა მხოლოდ სტუდენტებისთვის მათი გადაჭრა - ბევრი მასწავლებელიც კი ჩერდება ასეთ პრობლემებზე.

თუმცა სამწუხარო რამეებზე ნუ ვისაუბრებთ. და დავუბრუნდეთ იმ სამ განტოლებას, რომლებიც მოთხრობის დასაწყისში იყო მოცემული. შევეცადოთ თითოეული მათგანის ამოხსნა.

პირველი განტოლება: $((2)^(x))=4$. აბა, რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს ნომერი 2, რომ მივიღოთ ნომერი 4? ალბათ მეორე? ბოლოს და ბოლოს, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — და მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა, ე.ი. მართლაც $x=2$. კარგი, მადლობა, ქუდი, მაგრამ ეს განტოლება იმდენად მარტივი იყო, რომ ჩემს კატასაც კი შეეძლო მისი ამოხსნა. :)

მოდით შევხედოთ შემდეგ განტოლებას:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

მაგრამ აქ ცოტა უფრო რთულია. ბევრმა სტუდენტმა იცის, რომ $((5)^(2))=25$ არის გამრავლების ცხრილი. ზოგიერთი ასევე ეჭვობს, რომ $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ არის არსებითად უარყოფითი მაჩვენებლების განმარტება (მსგავსი ფორმულა $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

დაბოლოს, მხოლოდ რამდენიმე გამოცნობს, რომ ეს ფაქტები შეიძლება გაერთიანდეს და გამოვიდეს შემდეგი შედეგი:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ახლა კი ეს უკვე მთლიანად მოგვარებულია! განტოლების მარცხენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, განტოლების მარჯვენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, მათ გარდა სხვაგან არაფერია. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ბაზების „გადაგდება“ და ინდიკატორების სულელურად გათანაბრება:

ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი წრფივი განტოლება, რომლის ამოხსნაც ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში. კარგი, ოთხ სტრიქონში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

თუ ვერ გაიგეთ რა ხდებოდა ბოლო ოთხ სტრიქონში, აუცილებლად დაუბრუნდით თემას „წრფივი განტოლებები“ და გაიმეორეთ. რადგან ამ თემის მკაფიო ასიმილაციის გარეშე, თქვენთვის ნაადრევია ექსპონენციალური განტოლებების მიღება.

\[((9)^(x))=-3\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? პირველი ფიქრი: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, ასე რომ ორიგინალური განტოლება შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=-3\]

შემდეგ გავიხსენებთ, რომ ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ინდიკატორები მრავლდება:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=(3)^(2x))\მარჯვენა ისარი ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

და ასეთი გადაწყვეტილების მისაღებად, ჩვენ ვიღებთ პატიოსნად დამსახურებულ დეუსს. ჩვენ, პოკემონის სიმშვიდით, სამივეს წინ მინუს ნიშანი გავუგზავნეთ სწორედ ამ სამს. და თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება. და ამიტომ. შეხედეთ სამეულის სხვადასხვა ძალას:

\[\begin(მატრიცა) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(მატრიცა)\]

ამ ტაბლეტის შედგენისას, როგორც კი გავაკეთე, არ გავუსწორე: მე მივიჩნიე დადებითი ხარისხები და უარყოფითი და თუნდაც წილადი ... კარგი, სად არის აქ მინიმუმ ერთი უარყოფითი რიცხვი? Იგი არ არის! და ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია $y=((a)^(x))$, პირველ რიგში, ყოველთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს (რაც არ უნდა გაამრავლოთ ერთი ან გაყოთ ორზე, ის მაინც იქნება დადებითი რიცხვი) და მეორეც, ასეთი ფუნქციის საფუძველი, რიცხვი $a$, განსაზღვრებით დადებითი რიცხვია!

აბა, როგორ ამოხსნათ განტოლება $((9)^(x))=-3$? არა, ფესვები არ არის. და ამ თვალსაზრისით, ექსპონენციალური განტოლებები ძალიან ჰგავს კვადრატულ განტოლებებს - შეიძლება ასევე არ იყოს ფესვები. მაგრამ თუ კვადრატულ განტოლებებში ფესვების რაოდენობა განისაზღვრება დისკრიმინანტით (დისკრიმინანტი დადებითია - 2 ფესვი, უარყოფითი - ფესვების გარეშე), მაშინ ექსპონენციურ განტოლებებში ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ.

ამრიგად, ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ ძირითადი დასკვნა: $((a)^(x))=b$ ფორმის უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას აქვს ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ $b>0$. იცოდეთ ეს მარტივი ფაქტი, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ, აქვს თუ არა თქვენთვის შემოთავაზებულ განტოლებას ფესვები. იმათ. ღირს თუ არა მისი გადაჭრა საერთოდ ან დაუყოვნებლივ დაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ეს ცოდნა ბევრჯერ დაგვეხმარება, როცა უფრო რთული პრობლემების გადაჭრა მოგვიწევს. იმავდროულად, საკმარისი ლექსები - დროა შევისწავლოთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი ალგორითმი.

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ პრობლემა. აუცილებელია ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"გულუბრყვილო" ალგორითმის მიხედვით, რომელიც ადრე გამოვიყენეთ, აუცილებელია რიცხვი $b$ წარმოვიდგინოთ $a$ რიცხვის ხარისხად:

გარდა ამისა, თუ $x$ ცვლადის ნაცვლად არის რაიმე გამოხატულება, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომლის ამოხსნაც უკვე შესაძლებელია. Მაგალითად:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\მარჯვენა ისარი ((3)^(-x))=((3)^(4))\მარჯვენა ისარი -x=4\მარჯვენა ისარი x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x))=(5)^(3))\მარჯვენა ისარი 2x=3\მარჯვენა ისარი x=\frac(3)( 2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

და უცნაურად საკმარისია, რომ ეს სქემა მუშაობს დაახლოებით 90% შემთხვევაში. მერე დანარჩენი 10% რას იტყვით? დანარჩენი 10% არის ფორმის ოდნავ „შიზოფრენიული“ ექსპონენციალური განტოლებები:

\[((2)^(x))=3;\ოთხი ((5)^(x))=15;\ოთხი ((4)^(2x))=11\]

რა სიმძლავრემდე გჭირდებათ 2-ის აწევა 3-ის მისაღებად? Პირველად? მაგრამ არა: $((2)^(1))=2$ არ არის საკმარისი. მეორეში? არც ერთი: $((2)^(2))=4$ ძალიან ბევრია. Რა იქნება შემდეგ?

მცოდნე სტუდენტებმა ალბათ უკვე გამოიცნეს: ასეთ შემთხვევებში, როცა შეუძლებელია „ლამაზად“ ამოხსნა, „მძიმე არტილერია“ დაკავშირებულია საქმესთან - ლოგარითმებთან. შეგახსენებთ, რომ ლოგარითმების გამოყენებით, ნებისმიერი დადებითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სხვა დადებითი რიცხვის ხარისხად (გარდა ერთისა):

გახსოვთ ეს ფორმულა? როდესაც ჩემს სტუდენტებს ვეუბნები ლოგარითმების შესახებ, მე ყოველთვის გაფრთხილებ: ეს ფორმულა (ის ასევე არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა ან, თუ გნებავთ, ლოგარითმის განმარტება) ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში დაგდევნის და ყველაზე მეტად „გაჩნდება“. მოულოდნელი ადგილები. ისე, ის გამოჩნდა. მოდით შევხედოთ ჩვენს განტოლებას და ამ ფორმულას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((2)^(x))=3 \\& a=((ბ)^((\log )_(ბ))ა)) \\\ბოლო(გასწორება) \]

თუ ვივარაუდებთ, რომ $a=3$ არის ჩვენი ორიგინალური რიცხვი მარჯვნივ და $b=2$ არის ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი, რომელსაც ასე გვინდა შევამციროთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& a=((ბ)^(((\log )_(ბ))ა))\მარჯვენა ისარი 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\მარჯვენა ისარი ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\მარჯვენა ისარი x=( (\log )_(2))3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ ოდნავ უცნაური პასუხი: $x=((\log )_(2))3$. სხვა ამოცანისას, ასეთი პასუხით, ბევრს შეეპარება ეჭვი და დაიწყებს გადაწყვეტის ორჯერ შემოწმებას: რა იქნებოდა, თუ სადმე შეცდომა იყო? მე მეჩქარება გაგახაროთ: აქ შეცდომა არ არის და ლოგარითმები ექსპონენციალური განტოლებების ფესვებში საკმაოდ ტიპიური სიტუაციაა. ასე რომ შეეგუე. :)

ახლა ჩვენ ანალოგიით ვხსნით დარჩენილ ორ განტოლებას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x))=15\მარჯვენა ისარი ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \მარჯვენა ისარი x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\მარჯვენა ისარი ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\მარჯვენა ისარი 2x=( (\log )_(4))11\მარჯვენა ისარი x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! სხვათა შორის, ბოლო პასუხი შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:

სწორედ ჩვენ შევიტანეთ მულტიპლიკატორი ლოგარითმის არგუმენტში. მაგრამ არავინ გვიშლის ხელს ამ ფაქტორის ბაზაზე დამატებაში:

უფრო მეტიც, სამივე ვარიანტი სწორია - ისინი უბრალოდ ერთი და იგივე რიცხვის ჩაწერის სხვადასხვა ფორმაა. რომელი აირჩიოთ და ჩაწეროთ ამ გადაწყვეტილებაში, თქვენზეა დამოკიდებული.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ $((a)^(x))=b$ ფორმის ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა, სადაც რიცხვები $a$ და $b$ მკაცრად დადებითია. თუმცა, ჩვენი სამყაროს მკაცრი რეალობა ის არის, რომ ასეთი მარტივი ამოცანები ძალიან, ძალიან იშვიათად შეგხვდებათ. უფრო ხშირად შეგხვდებათ მსგავსი რამ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? შეიძლება ეს საერთოდ გადაწყდეს? და თუ ასეა, როგორ?

არანაირი პანიკა. ყველა ეს განტოლება სწრაფად და მარტივად მცირდება იმ მარტივ ფორმულებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ. თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ, რომ გახსოვდეთ რამდენიმე ხრიკი ალგებრის კურსიდან. და რა თქმა უნდა, აქ დიპლომებთან მუშაობის წესები არ არსებობს. ამ ყველაფერზე ახლა ვისაუბრებ. :)

ექსპონენციალური განტოლებების ტრანსფორმაცია

პირველი, რაც უნდა გვახსოვდეს, არის ის, რომ ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს ის, ამა თუ იმ გზით უნდა დაიყვანოს უმარტივეს განტოლებამდე - სწორედ ისეთ განტოლებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ და რომლის ამოხსნაც ვიცით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის სქემა ასე გამოიყურება:

ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლება. მაგალითად: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
გააკეთე რაღაც სისულელე. ან თუნდაც რაღაც სისულელე სახელწოდებით "განტოლების გარდაქმნა";
გამოსავალზე მიიღეთ უმარტივესი გამონათქვამები, როგორიცაა $((4)^(x))=4$ ან სხვა მსგავსი. უფრო მეტიც, ერთ საწყის განტოლებას შეუძლია ერთდროულად რამდენიმე ასეთი გამონათქვამის მიცემა.

პირველი პუნქტით ყველაფერი ნათელია - ჩემს კატასაც კი შეუძლია ფოთოლზე დაწეროს განტოლება. მესამე პუნქტითაც, როგორც ჩანს, მეტ-ნაკლებად გასაგებია - ზემოთ უკვე მოვაგვარეთ ასეთი განტოლებების მთელი თაიგული.

მაგრამ რაც შეეხება მეორე პუნქტს? რა არის გარდაქმნები? რა გადავიყვანოთ რაზე? Და როგორ?

აბა, მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში, მინდა აღვნიშნო შემდეგი. ყველა ექსპონენციალური განტოლება იყოფა ორ ტიპად:

განტოლება შედგება იგივე ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციებისგან. მაგალითი: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
ფორმულა შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციებს სხვადასხვა ფუძით. მაგალითები: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ და $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

დავიწყოთ პირველი ტიპის განტოლებებით – მათი ამოხსნა ყველაზე მარტივია. და მათ გადაწყვეტაში დაგვეხმარება ისეთი ტექნიკა, როგორიცაა სტაბილური გამონათქვამების შერჩევა.

სტაბილური გამოხატვის ხაზგასმა

მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ ამ განტოლებას:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

რას ვხედავთ? ოთხივე ამაღლებულია სხვადასხვა ხარისხით. მაგრამ ყველა ეს ძალა არის $x$ ცვლადის მარტივი ჯამები სხვა რიცხვებთან. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გახსოვდეთ ხარისხებთან მუშაობის წესები:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a) )^(y))). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, მაჩვენებლების დამატება შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხების ნამრავლად, ხოლო გამოკლება ადვილად გარდაიქმნება გაყოფად. შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ჩვენი განტოლების ძალებზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას ამ ფაქტის გათვალისწინებით და შემდეგ ვაგროვებთ მარცხნივ ყველა ტერმინს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -თერთმეტი; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველი ოთხი ტერმინი შეიცავს ელემენტს $((4)^(x))$ - მოდით ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)=-11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რჩება განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა $-\frac(11)(4)$ წილადზე, ე.ი. არსებითად გავამრავლოთ შებრუნებულ წილადზე - $-\frac(4)(11)$. ჩვენ ვიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)\cdot \left(-\frac(4)(11) \მარჯვნივ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თავდაპირველი განტოლება შევამცირეთ უმარტივესამდე და მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ამავდროულად, ამოხსნის პროცესში აღმოვაჩინეთ (და ამოიღეთ კიდეც ფრჩხილიდან) საერთო ფაქტორი $((4)^(x))$ - ეს არის სტაბილური გამოხატულება. ის შეიძლება დაინიშნოს როგორც ახალი ცვლადი, ან შეგიძლიათ უბრალოდ ზუსტად გამოხატოთ და მიიღოთ პასუხი. ნებისმიერ შემთხვევაში, გადაწყვეტის ძირითადი პრინციპი შემდეგია:

იპოვეთ თავდაპირველ განტოლებაში სტაბილური გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომელიც ადვილად გამოირჩევა ყველა ექსპონენციალური ფუნქციისგან.

კარგი ამბავი ის არის, რომ თითქმის ყველა ექსპონენციალური განტოლება აღიარებს ასეთ სტაბილურ გამონათქვამს.

მაგრამ ასევე არის ცუდი ამბავი: ასეთი გამონათქვამები შეიძლება იყოს ძალიან სახიფათო და მათი გარჩევა საკმაოდ რთულია. მოდით შევხედოთ სხვა პრობლემას:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ალბათ ვინმეს ახლა გაუჩნდება კითხვა: „ფაშა, ჩაქოლეს? აქ არის სხვადასხვა ბაზები - 5 და 0.2. ოღონდ ვცადოთ სიმძლავრის გადაქცევა ბაზისით 0.2. მაგალითად, მოვიშოროთ ათობითი წილადი, მივიყვანოთ ის ჩვეულებრივზე:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(2)(10 ) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)) )\]

როგორც ხედავთ, რიცხვი 5 მაინც გამოჩნდა, თუმცა მნიშვნელში. ამავდროულად, ინდიკატორი გადაიწერა როგორც უარყოფითი. ახლა კი გავიხსენებთ ხარისხებთან მუშაობის ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან წესს:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^( -\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

აი, რა თქმა უნდა, ცოტა მოვიტყუე. იმის გამო, რომ სრული გაგებისთვის, უარყოფითი ინდიკატორებისგან თავის დაღწევის ფორმულა უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \მარჯვნივ))^(n ))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \ მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

მეორეს მხრივ, არაფერი შეგვეშალა მხოლოდ ერთ წილადთან მუშაობაში:

\[((\left(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(((5)^(-1)) \ მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((5)^(\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ) ))=((5)^(x+1))\]

მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ხარისხის სხვა ხარისხით აწევა (შეგახსენებთ: ამ შემთხვევაში ინდიკატორები ემატება). მაგრამ მე არ მომიწია წილადების „გადაბრუნება“ - ალბათ ვინმესთვის ეს უფრო ადვილი იქნება. :)

ნებისმიერ შემთხვევაში, ორიგინალური ექსპონენციალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, გამოდის, რომ თავდაპირველი განტოლება კიდევ უფრო ადვილი მოსაგვარებელია, ვიდრე ადრე განხილული: აქ თქვენ არც კი გჭირდებათ სტაბილური გამონათქვამის გამოყოფა - ყველაფერი თავისთავად შემცირდა. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ $1=((5)^(0))$, საიდანაც ვიღებთ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი! მივიღეთ საბოლოო პასუხი: $x=-2$. ამავდროულად, მინდა აღვნიშნო ერთი ხრიკი, რომელმაც მნიშვნელოვნად გაამარტივა ჩვენთვის ყველა გამოთვლა:

ექსპონენციურ განტოლებებში აუცილებლად მოიშორეთ ათობითი წილადები, გადათარგმნეთ ისინი ჩვეულებრივად. ეს საშუალებას მოგცემთ დაინახოთ გრადუსების იგივე საფუძვლები და მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ გამოსავალი.

ახლა მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე, რომლებშიც არის სხვადასხვა ფუძე, რომლებიც, როგორც წესი, არ შემცირდება ერთმანეთზე ძალების გამოყენებით.

მაჩვენებლის თვისების გამოყენება

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ გვაქვს კიდევ ორი განსაკუთრებით მკაცრი განტოლება:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აქ მთავარი სირთულე ის არის, რომ გაუგებარია რა და რის საფუძველზე მივიყვანოთ. სად არის ფიქსირებული გამონათქვამები? სად არის საერთო საფუძველი? ეს არ არსებობს.

მაგრამ შევეცადოთ სხვა გზით წავიდეთ. თუ არ არსებობს მზა იდენტური ბაზები, შეგიძლიათ სცადოთ მათი პოვნა ხელმისაწვდომი ბაზების ფაქტორინგით.

დავიწყოთ პირველი განტოლებით:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\მარჯვენა ისარი ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ პირიქით - შეადგინეთ რიცხვი 21 ნომრებიდან 7 და 3. განსაკუთრებით ადვილია ამის გაკეთება მარცხნივ, რადგან ორივე ხარისხის ინდიკატორები ერთნაირია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\ მარცხნივ(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თქვენ ამოიღეთ მაჩვენებლები პროდუქტიდან და მაშინვე მიიღეთ ლამაზი განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით საქმე მეორე განტოლებაზე. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო რთულია:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \მარჯვნივ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ამ შემთხვევაში წილადები შეუქცევადი აღმოჩნდა, მაგრამ თუ რამის შემცირება შეიძლებოდა, აუცილებლად შეამცირეთ. ეს ხშირად იწვევს საინტერესო საფუძვლებს, რომლებთანაც უკვე შეგიძლიათ მუშაობა.

სამწუხაროდ, არაფერი გამოგვივიდა. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ პროდუქტში მარცხნივ მაჩვენებლები საპირისპიროა:

შეგახსენებთ: მაჩვენებლის მინუს ნიშნის მოსაშორებლად, თქვენ უბრალოდ უნდა "გადატრიალოთ" წილადი. მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\ left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე სტრიქონში, ჩვენ უბრალოდ დავაფიქსირეთ ჯამი პროდუქტიდან $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) წესის მიხედვით ))^ (x))$ და ამ უკანასკნელში უბრალოდ ამრავლეს რიცხვი 100 წილადზე.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ მარცხნივ (ძირში) და მარჯვნივ რიცხვები გარკვეულწილად მსგავსია. Როგორ? დიახ, ცხადია: ისინი ერთნაირი რაოდენობის ძალები არიან! Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \მარჯვნივ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \მარჯვნივ))^(2))\]

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\ left(\frac(10 )(3) \მარჯვნივ))^(3\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))\]

ამავდროულად, მარჯვნივ, თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ხარისხი იმავე ფუძით, რისთვისაც საკმარისია მხოლოდ წილადის „გადაბრუნება“:

\[((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(-2))\]

საბოლოოდ, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))=((\მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი. მისი მთავარი იდეა ემყარება იმ ფაქტს, რომ სხვადასხვა საფუძვლების შემთხვევაშიც კი, ჩვენ ვცდილობთ, რომ ეს საფუძვლები ერთსა და იმავეზე დავამციროთ. ამაში გვეხმარება განტოლებების ელემენტარული გარდაქმნები და ძალებთან მუშაობის წესები.

მაგრამ რა წესები და როდის გამოვიყენოთ? როგორ გავიგოთ, რომ ერთ განტოლებაში საჭიროა ორივე მხარის გაყოფა რაღაცაზე, ხოლო მეორეში - ექსპონენციური ფუნქციის ფუძის დაშლა ფაქტორებად?

ამ კითხვაზე პასუხი გამოცდილებით მოვა. სცადეთ თქვენი ხელი ჯერ მარტივ განტოლებებზე, შემდეგ კი თანდათან გაართულეთ დავალებები - და ძალიან მალე თქვენი უნარები საკმარისი იქნება იმავე USE-დან ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების გადასაჭრელად ან ნებისმიერი დამოუკიდებელი / სატესტო სამუშაოდან.

და დაგეხმაროთ ამ რთულ ამოცანაში, მე გთავაზობთ ჩამოტვირთოთ განტოლებების ნაკრები ჩემს ვებსაიტზე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. ყველა განტოლებას აქვს პასუხი, ასე რომ თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ საკუთარი თავი.

დასკვნითი ტესტირებისთვის მომზადების ეტაპზე, საშუალო სკოლის მოსწავლეებმა უნდა გაიუმჯობესონ ცოდნა თემაზე „ექსპონენციალური განტოლებები“. გასული წლების გამოცდილება მიუთითებს, რომ მსგავსი ამოცანები გარკვეულ სირთულეებს უქმნის სკოლის მოსწავლეებს. ამიტომ, საშუალო სკოლის მოსწავლეებს, განურჩევლად მომზადების დონისა, საჭიროა ყურადღებით დაეუფლონ თეორიას, დაიმახსოვრონ ფორმულები და გაიგონ ასეთი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი. მას შემდეგ, რაც ისწავლეს ამ ტიპის ამოცანების შესრულება, კურსდამთავრებულები შეძლებენ მაღალი ქულების დათვლას მათემატიკაში გამოცდის ჩაბარებისას.

მოემზადეთ საგამოცდო ტესტირებისთვის შკოლკოვოსთან ერთად!

გაშუქებული მასალების გამეორებისას ბევრ მოსწავლეს აწყდება განტოლებების ამოსახსნელად საჭირო ფორმულების პოვნის პრობლემა. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის ხელთ არ არის და ინტერნეტში თემის შესახებ საჭირო ინფორმაციის შერჩევას დიდი დრო სჭირდება.

შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალი იწვევს სტუდენტებს გამოიყენონ ჩვენი ცოდნის ბაზა. ვახორციელებთ საბოლოო გამოცდისთვის მომზადების სრულიად ახალ მეთოდს. ჩვენს საიტზე სწავლისას თქვენ შეძლებთ ცოდნის ხარვეზების იდენტიფიცირებას და ყურადღება მიაქციოთ ზუსტად იმ ამოცანებს, რომლებიც იწვევს უდიდეს სირთულეებს.

„შკოლკოვოს“ მასწავლებლებმა შეაგროვეს, სისტემატიზაცია და წარადგინეს გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის საჭირო ყველა მასალა უმარტივესი და ხელმისაწვდომი ფორმით.

ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში "თეორიული მითითება".

მასალის უკეთ ათვისებისთვის გირჩევთ დავალებების შესრულებას. გულდასმით გადახედეთ ამ გვერდზე წარმოდგენილი ამონახსნებით ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითებს, რათა გაიგოთ გამოთვლის ალგორითმი. ამის შემდეგ გააგრძელეთ დავალებები "კატალოგების" განყოფილებაში. შეგიძლიათ დაიწყოთ უმარტივესი ამოცანებით ან პირდაპირ გადაჭრათ რთული ექსპონენციალური განტოლებები რამდენიმე უცნობი ან . ჩვენს ვებ-გვერდზე არსებული სავარჯიშოების მონაცემთა ბაზა მუდმივად ივსება და ახლდება.

ის მაგალითები ინდიკატორებით, რომლებმაც სირთულეები შეგიქმნათ, შეიძლება დაემატოს "რჩეულებს". ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ისინი და განიხილოთ გამოსავალი მასწავლებელთან.

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის ყოველდღე ისწავლეთ შკოლკოვოს პორტალზე!

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ექსპონენციალური განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ექსპოზიციური განტოლებები. საშუალო დონე

ექსპოზიციური განტოლებები. გაფართოებული დონე

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

ექსპონენციალური განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ექსპოზიციური განტოლებები. საშუალო დონე

ექსპოზიციური განტოლებები. გაფართოებული დონე

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

ექსპონენციალური განტოლებების ტრანსფორმაცია

სტაბილური გამოხატვის ხაზგასმა

მაჩვენებლის თვისების გამოყენება

მოემზადეთ საგამოცდო ტესტირებისთვის შკოლკოვოსთან ერთად!

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ