რაციონალური რიცხვების თემა საკმაოდ ვრცელია. შეგიძლიათ უსასრულოდ ისაუბროთ და დაწეროთ მთელი ნამუშევრები, ყოველ ჯერზე ახალი ჩიპებით გაკვირვებული.

მომავალში შეცდომების თავიდან აცილების მიზნით, ამ გაკვეთილზე ცოტათი ჩავუღრმავდებით რაციონალური რიცხვების თემას, გამოვიყვანთ მისგან საჭირო ინფორმაციას და გავაგრძელებთ.

გაკვეთილის შინაარსი

რა არის რაციონალური რიცხვი

რაციონალური რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, სადაც ა -არის წილადის მრიცხველი ბარის წილადის მნიშვნელი. და ბარ უნდა იყოს ნული, რადგან ნულზე გაყოფა დაუშვებელია.

რაციონალური რიცხვები მოიცავს რიცხვების შემდეგ კატეგორიებს:

• მთელი რიცხვები (მაგალითად -2, -1, 0 1, 2 და ა.შ.)

• ათობითი წილადები (მაგალითად 0.2 და ა.შ.)

• უსასრულო პერიოდული წილადები (მაგალითად, 0, (3) და ა.შ.)

ამ კატეგორიის თითოეული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით.

მაგალითი 1მთელი რიცხვი 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ასე რომ, ნომერი 2 ეხება არა მხოლოდ მთელ რიცხვებს, არამედ რაციონალურებსაც.

მაგალითი 2შერეული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ეს წილადი მიიღება შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევით.

ასე რომ, შერეული რიცხვი რაციონალური რიცხვია.

მაგალითი 3ათობითი 0.2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ეს წილადი მიღებული იყო ათობითი წილადის 0.2 ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევით. თუ ამ ეტაპზე გიჭირთ, გაიმეორეთ თემა.

ვინაიდან ათობითი წილადი 0.2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, ეს ნიშნავს, რომ ის ასევე ეხება რაციონალურ რიცხვებს.

მაგალითი 4უსასრულო პერიოდული წილადი 0, (3) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ეს წილადი მიიღება სუფთა პერიოდული წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევით. თუ ამ ეტაპზე გიჭირთ, გაიმეორეთ თემა.

ვინაიდან უსასრულო პერიოდული წილადი 0, (3) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, ეს ნიშნავს, რომ ის ასევე რაციონალურ რიცხვებს ეკუთვნის.

მომავალში, ყველა რიცხვს, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, ჩვენ სულ უფრო და უფრო დავარქმევთ ერთ ფრაზას - რაციონალური რიცხვი.

რაციონალური რიცხვები კოორდინატთა წრფეზე

უარყოფითი რიცხვების შესწავლისას განვიხილეთ კოორდინატთა წრფე. შეგახსენებთ, რომ ეს არის სწორი ხაზი, რომელზეც მრავალი წერტილი დევს. Შემდეგნაირად:

ეს ფიგურა გვიჩვენებს კოორდინატთა ხაზის მცირე ფრაგმენტს -5-დან 5-მდე.

კოორდინატთა ხაზზე 2, 0, −3 ფორმის მთელი რიცხვების მონიშვნა არ არის რთული.

ბევრად უფრო საინტერესოა ყველაფერი დანარჩენი რიცხვებით: ჩვეულებრივი წილადებით, შერეული რიცხვებით, ათობითი წილადებით და ა.შ. ეს რიცხვები დევს მთელ რიცხვებს შორის და ეს რიცხვები უსასრულოდ ბევრია.

მაგალითად, ავღნიშნოთ რაციონალური რიცხვი კოორდინატთა წრფეზე. ეს რიცხვი ზუსტად ნულსა და ერთს შორისაა.

შევეცადოთ გავიგოთ, რატომ მდებარეობს წილადი მოულოდნელად ნულსა და ერთს შორის.

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, მთელ რიცხვებს შორის დევს სხვა რიცხვები - ჩვეულებრივი წილადები, ათობითი წილადები, შერეული რიცხვები და ა.შ. მაგალითად, თუ გაზრდით კოორდინატთა ხაზის მონაკვეთს 0-დან 1-მდე, შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი სურათი

ჩანს, რომ 0 და 1 რიცხვებს შორის უკვე არის სხვა რაციონალური რიცხვები, რომლებიც ჩვენთვის ნაცნობი ათობითი წილადებია. აქ ჩანს ჩვენი წილადიც, რომელიც მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 0.5. ამ ფიგურის საგულდაგულო ​​გამოკვლევა იძლევა პასუხს კითხვაზე, თუ რატომ მდებარეობს წილადი ზუსტად იქ.

წილადი ნიშნავს 1-ის 2-ზე გაყოფას. და თუ 1-ს გავყოფთ 2-ზე, მაშინ მივიღებთ 0,5-ს.

ათობითი წილადი 0.5 შეიძლება შენიღბული იყოს სხვა წილადებად. წილადის ძირითადი თვისებიდან ვიცით, რომ თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება ან იყოფა იმავე რიცხვზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლებთ ნებისმიერ რიცხვზე, მაგალითად 4 რიცხვზე, მაშინ მივიღებთ ახალ წილადს და ეს წილადიც უდრის 0,5-ს.

ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატთა ხაზზე, წილადი შეიძლება განთავსდეს იმავე ადგილას, სადაც მდებარეობდა ფრაქცია

მაგალითი 2ვცადოთ რაციონალური რიცხვის აღნიშვნა კოორდინატზე. ეს რიცხვი მდებარეობს ზუსტად 1 და 2 ნომრებს შორის

წილადის მნიშვნელობა არის 1,5

თუ კოორდინატთა ხაზის მონაკვეთს გავზრდით 1-დან 2-მდე, მაშინ დავინახავთ შემდეგ სურათს:

ჩანს, რომ 1 და 2 რიცხვებს შორის უკვე არის სხვა რაციონალური რიცხვები, რომლებიც ჩვენთვის ნაცნობი ათობითი წილადებია. აქ ჩანს ჩვენი წილადიც, რომელიც მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 1.5.

ჩვენ გავზარდეთ გარკვეული სეგმენტები კოორდინატთა ხაზზე, რათა დავინახოთ ამ სეგმენტზე არსებული დანარჩენი რიცხვები. შედეგად, ჩვენ ვიპოვეთ ათობითი წილადები, რომლებსაც ერთი ციფრი ჰქონდათ ათობითი წერტილის შემდეგ.

მაგრამ ეს არ იყო ერთადერთი რიცხვები, რომლებიც დევს ამ სეგმენტებზე. კოორდინატთა ხაზზე უსასრულოდ ბევრი რიცხვია.

ადვილი მისახვედრია, რომ ათობითი წილადებს შორის, რომლებსაც აქვთ ერთი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ, უკვე არის სხვა ათობითი წილადები, რომლებსაც აქვთ ორი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტის მეასედი.

მაგალითად, ვცადოთ ვნახოთ რიცხვები, რომლებიც დევს ათობითი წილადებს შორის 0.1 და 0.2.

Სხვა მაგალითი. ათწილადები, რომლებსაც აქვთ ორი ციფრი ათწილადის შემდეგ და დევს ნულსა და რაციონალურ რიცხვს 0.1 შორის, ასე გამოიყურება:

მაგალითი 3ჩვენ ვნიშნავთ რაციონალურ რიცხვს კოორდინატთა ხაზზე. ეს რაციონალური რიცხვი ძალიან ახლოს იქნება ნულთან.

წილადის მნიშვნელობა არის 0,02

თუ სეგმენტს გავზრდით 0-დან 0,1-მდე, დავინახავთ, სად მდებარეობს ზუსტად რაციონალური რიცხვი

ჩანს, რომ ჩვენი რაციონალური რიცხვი მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 0.02.

მაგალითი 4მოდი აღვნიშნოთ რაციონალური რიცხვი 0 კოორდინატთა წრფეზე, (3)

რაციონალური რიცხვი 0, (3) არის უსასრულო პერიოდული წილადი. მისი წილადი ნაწილი არასოდეს მთავრდება, ის უსასრულოა

და რადგან რიცხვს 0, (3) აქვს უსასრულო წილადი ნაწილი, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვერ ვიპოვით ზუსტ ადგილს კოორდინატთა ხაზზე, სადაც ეს რიცხვი მდებარეობს. ეს ადგილი მხოლოდ დაახლოებით შეგვიძლია მივუთითოთ.

რაციონალური რიცხვი 0.33333... ძალიან ახლოს იქნება ჩვეულებრივ ათობითი 0.3-თან

ეს ფიგურა არ აჩვენებს 0,(3) რიცხვის ზუსტ ადგილს. ეს მხოლოდ ილუსტრაციაა, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენად ახლოს შეიძლება იყოს პერიოდული წილადი 0.(3) რეგულარულ ათობითი 0.3-თან.

მაგალითი 5ჩვენ ვნიშნავთ რაციონალურ რიცხვს კოორდინატთა ხაზზე. ეს რაციონალური რიცხვი განთავსდება შუაში 2 და 3 რიცხვებს შორის

ეს არის 2 (ორი მთელი რიცხვი) და (ერთი წამი). წილადს ასევე უწოდებენ "ნახევარს". აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნეთ ორი მთლიანი სეგმენტი და სეგმენტის მეორე ნახევარი კოორდინატთა ხაზზე.

თუ შერეულ რიცხვს ვთარგმნით არასწორ წილადად, მივიღებთ ჩვეულებრივ წილადს. კოორდინატთა ხაზის ეს წილადი განთავსდება იმავე ადგილას, სადაც წილადი

წილადის მნიშვნელობა არის 2,5

თუ კოორდინატთა ხაზის მონაკვეთს გავზრდით 2-დან 3-მდე, მაშინ დავინახავთ შემდეგ სურათს:

ჩანს, რომ ჩვენი რაციონალური რიცხვი მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც ათობითი წილადი 2.5

მინუსი რაციონალური რიცხვის წინ

წინა გაკვეთილზე, რომელიც ეწოდა, ვისწავლეთ როგორ გავყოთ რიცხვები. დივიდენდი და გამყოფი შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები.

განვიხილოთ უმარტივესი გამოთქმა

(−6) : 2 = −3

ამ გამოსახულებაში დივიდენდი (−6) არის უარყოფითი რიცხვი.

ახლა განიხილეთ მეორე გამოთქმა

6: (−2) = −3

აქ გამყოფი (−2) უკვე უარყოფითი რიცხვია. მაგრამ ორივე შემთხვევაში ვიღებთ ერთსა და იმავე პასუხს -3.

იმის გათვალისწინებით, რომ ნებისმიერი გაყოფა შეიძლება დაიწეროს წილადად, ზემოთ განხილული მაგალითებიც შეგვიძლია წილადის სახით დავწეროთ:

და რადგან ორივე შემთხვევაში წილადის მნიშვნელობა ერთნაირია, მრიცხველში ან მნიშვნელში მყოფი მინუსი შეიძლება იყოს საერთო წილადის წინ დაყენებით.

აქედან გამომდინარე, გამონათქვამებს შორის და შეგიძლიათ დააყენოთ თანაბარი ნიშანი, რადგან ისინი ერთსა და იმავე მნიშვნელობას ატარებენ

მომავალში, წილადებთან მუშაობისას, თუ მრიცხველში ან მნიშვნელში მინუსს შევხვდებით, ამ მინუსს საერთო გავხდით, წილადის წინ დავაყენებთ.

საპირისპირო რაციონალური რიცხვები

მთელი რიცხვის მსგავსად, რაციონალურ რიცხვს აქვს თავისი საპირისპირო რიცხვი.

მაგალითად, რაციონალური რიცხვისთვის საპირისპირო რიცხვია. იგი მდებარეობს კოორდინატთა ხაზზე სიმეტრიულად მდებარეობის მიმართ საწყისის მიმართ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორივე ეს რიცხვი თანაბრად არის დაშორებული საწყისიდან

შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად

ჩვენ ვიცით, რომ შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევისთვის საჭიროა მთელი ნაწილი გაამრავლოთ წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და დაამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება ახალი წილადის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება.

მაგალითად, გადავიყვანოთ შერეული რიცხვი არასწორ წილადად

გაამრავლეთ მთელი ნაწილი წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და დაამატეთ წილადი ნაწილის მრიცხველი:

გამოვთვალოთ ეს გამოთქმა:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

შედეგად მიღებული რიცხვი 5 იქნება ახალი წილადის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე დარჩება:

მთელი პროცესი დაწერილია შემდეგნაირად:

თავდაპირველი შერეული რიცხვის დასაბრუნებლად საკმარისია წილადის მთელი ნაწილის შერჩევა

მაგრამ შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევის ეს გზა გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შერეული რიცხვი დადებითია. უარყოფითი რიცხვისთვის ეს მეთოდი არ იმუშავებს.

განვიხილოთ წილადი. ავიღოთ ამ წილადის მთელი რიცხვი. მიიღეთ

თავდაპირველი წილადის დასაბრუნებლად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ შერეული რიცხვი არასწორ წილადად. მაგრამ თუ გამოვიყენებთ ძველ წესს, კერძოდ, გავამრავლებთ მთელ ნაწილს წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და დავამატებთ წილადი ნაწილის მრიცხველს მიღებულ რიცხვს, მაშინ მივიღებთ შემდეგ წინააღმდეგობას:

ჩვენ მივიღეთ წილადი, მაგრამ უნდა მიგვეღო წილადი.

ჩვენ ვასკვნით, რომ შერეული რიცხვი არასწორად იყო გადათარგმნილი არასწორ წილადში

უარყოფითი შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადასატანად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი ნაწილი წილადი ნაწილის მნიშვნელზე და მიღებული რიცხვიდან გამოკლებაწილადი მრიცხველი. ამ შემთხვევაში ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება

უარყოფითი შერეული რიცხვი შერეული რიცხვის საპირისპიროა. თუ დადებითი შერეული რიცხვი მდებარეობს მარჯვენა მხარეს და ასე გამოიყურება

როგორც ვნახეთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე

დახურულია შეკრებისა და გამრავლების ქვეშ და მთელი რიცხვების სიმრავლე

დახურულია შეკრების, გამრავლებისა და გამოკლების ქვეშ. თუმცა, არცერთი ეს სიმრავლე არ არის დახურული გაყოფის ქვეშ, რადგან მთელი რიცხვების დაყოფამ შეიძლება გამოიწვიოს წილადები, როგორც 4/3, 7/6, -2/5 და ა.შ. ყველა ასეთი წილადის სიმრავლე ქმნის რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს. ამრიგად, რაციონალური რიცხვი (რაციონალური წილადი) არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც , სადაც a და d მთელი რიცხვებია და d არ არის ნულის ტოლი. მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე შენიშვნა ამ განმარტებასთან დაკავშირებით.

1) ჩვენ მოვითხოვეთ, რომ d განსხვავებული იყოს ნულიდან. ეს მოთხოვნა (მათემატიკურად იწერება როგორც უტოლობა ) აუცილებელია, რადგან აქ d არის გამყოფი. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები:

შემთხვევა 1. .

შემთხვევა 2. .

1-ში d არის გამყოფი წინა თავის გაგებით, ანუ 7 არის 21-ის ზუსტი გამყოფი. 2-ში d მაინც არის გამყოფი, მაგრამ სხვა გაგებით, რადგან 7 არ არის ზუსტი გამყოფი. 25.

თუ 25-ს გამყოფი ეწოდება, ხოლო 7-ს გამყოფი, მაშინ მივიღებთ კოეფიციენტს 3-ს და ნარჩენს 4-ს. ასე რომ, სიტყვა გამყოფი აქ უფრო ზოგადი მნიშვნელობით გამოიყენება და უფრო მეტ შემთხვევას ეხება, ვიდრე ჩ. I. თუმცა, ისეთ შემთხვევებში, როგორიცაა საქმე 1, გამყოფის ცნება შემოღებული ჩ. ᲛᲔ; ამიტომ აუცილებელია, როგორც თავ. I, გამოვრიცხავ შესაძლებლობას d = 0.

2) გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამები რაციონალური რიცხვი და რაციონალური წილადი სინონიმებია, თავად სიტყვა წილადი გამოიყენება მრიცხველისა და მნიშვნელისაგან შემდგარი ნებისმიერი ალგებრული გამონათქვამისთვის, როგორიცაა, მაგალითად,

3) რაციონალური რიცხვის განმარტება მოიცავს გამოთქმას „რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც , სადაც a და d არის მთელი რიცხვები და . რატომ არ შეიძლება მისი ჩანაცვლება გამოთქმით „ფორმის რიცხვი, სადაც a და d არის მთელი რიცხვები და ამის მიზეზი არის ის, რომ არსებობს უსასრულოდ მრავალი გზა ერთი და იგივე წილადის გამოსათქმელად (მაგალითად, 2/3-ს ასევე შეუძლია დაიწეროს როგორც 4/6, 6/9, ან 213/33 ან ა.შ.), და ჩვენთვის სასურველია, რომ რაციონალური რიცხვის ჩვენი განმარტება არ იყოს დამოკიდებული მისი გამოხატვის კონკრეტულ ხერხზე.

წილადი განისაზღვრება ისე, რომ მისი მნიშვნელობა არ იცვლება, როდესაც მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება ერთსა და იმავე რიცხვზე. თუმცა, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი მხოლოდ მოცემული წილადის დათვალიერებით იმის თქმა, რაციონალურია თუ არა. განვიხილოთ, მაგალითად, რიცხვები

ჩვენ მიერ არჩეულ აღნიშვნაში არცერთ მათგანს არ აქვს ფორმა, სადაც a და d მთელი რიცხვებია.

თუმცა ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ არითმეტიკული გარდაქმნების სერია პირველ წილადზე და მივიღოთ

ამრიგად, ჩვენ მივდივართ წილადამდე, რომელიც ტოლია საწყისი წილადისა, რომლისთვისაც . რიცხვი მაშასადამე რაციონალურია, მაგრამ რაციონალური არ იქნება, თუ რაციონალური რიცხვის განმარტება მოითხოვს, რომ რიცხვი იყოს a/b ფორმის, სადაც a და b მთელი რიცხვებია. კონვერტაციის წილადის შემთხვევაში

მივყავართ რიცხვამდე. შემდგომ თავებში გავიგებთ, რომ რიცხვი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობით და, შესაბამისად, არ არის რაციონალური, ან ამბობენ, რომ ირაციონალურია.

4) გაითვალისწინეთ, რომ ყველა მთელი რიცხვი რაციონალურია. როგორც ახლა ვნახეთ, ეს ასეა რიცხვი 2-ის შემთხვევაში. თვითნებური მთელი რიცხვების ზოგად შემთხვევაში, ანალოგიურად შეიძლება მივანიჭოთ 1-ის ტოლი მნიშვნელი თითოეულ მათგანს და მივიღოთ მათი წარმოდგენა რაციონალურ წილადებად.

საშუალო სკოლის მოსწავლეები და მათემატიკური სპეციალობების სტუდენტები, სავარაუდოდ, ადვილად უპასუხებენ ამ კითხვას. მაგრამ მათთვის, ვინც პროფესიით შორს არის ამისგან, ეს უფრო რთული იქნება. რა არის სინამდვილეში?

არსი და აღნიშვნა

რაციონალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. პოზიტიური, უარყოფითი, ასევე ნული ასევე შედის ამ კომპლექტში. წილადის მრიცხველი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელი უნდა იყოს

ეს სიმრავლე მათემატიკაში აღინიშნება როგორც Q და ეწოდება "რაციონალური რიცხვების ველი". იგი მოიცავს ყველა მთელ რიცხვს და ნატურალურ რიცხვს, რომლებიც აღინიშნება შესაბამისად, როგორც Z და N. სიმრავლე Q თავად შედის R სიმრავლეში. სწორედ ეს ასო აღნიშნავს ე.წ.

Შესრულება

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რაციონალური რიცხვები არის სიმრავლე, რომელიც მოიცავს ყველა მთელ და წილად მნიშვნელობას. ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით. პირველი, ჩვეულებრივი წილადის სახით: 5/7, 1/5, 11/15 და ა.შ. რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვები შეიძლება დაიწეროს მსგავსი ფორმით: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 და ა.შ. მეორე, სხვა ტიპის წარმოდგენა არის ათობითი წილადი ბოლო წილადი ნაწილით: 0.01, -15.001006 და ა.შ. ეს ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ფორმაა.

მაგრამ არის მესამეც - პერიოდული ფრაქცია. ეს ტიპი არ არის ძალიან გავრცელებული, მაგრამ მაინც გამოიყენება. მაგალითად, წილადი 10/3 შეიძლება დაიწეროს როგორც 3.33333... ან 3,(3). ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა წარმოდგენები განიხილება მსგავს რიცხვებად. ტოლ წილადებს ასევე დაერქმევა, მაგალითად, 3/5 და 6/10. როგორც ჩანს, ცხადი გახდა, რა არის რაციონალური რიცხვები. მაგრამ რატომ გამოიყენება ეს ტერმინი მათ მიმართ?

სახელის წარმოშობა

სიტყვა "რაციონალური" თანამედროვე რუსულ ენაზე ზოგადად ოდნავ განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს. საკმაოდ „გონივრული“, „გააზრებული“. მაგრამ მათემატიკური ტერმინები ახლოსაა ამის პირდაპირ მნიშვნელობასთან.ლათინურად „რატიო“ არის „ფარდობა“, „წილადი“ ან „გაყოფა“. ამრიგად, სახელი ასახავს რაციონალური რიცხვების არსს. თუმცა, მეორე მნიშვნელობა

შორს არ არის სიმართლისგან.

მოქმედებები მათთან

მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისას გამუდმებით ვხვდებით რაციონალურ რიცხვებს, თვითონაც არ ვიცით ამის შესახებ. და მათ აქვთ მრავალი საინტერესო თვისება. ყველა მათგანი გამომდინარეობს ან კომპლექტის განმარტებიდან ან მოქმედებებიდან.

პირველი, რაციონალურ რიცხვებს აქვთ თანმიმდევრობის მიმართების თვისება. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ ერთი თანაფარდობა შეიძლება არსებობდეს ორ რიცხვს შორის - ისინი ან ერთმანეთის ტოლია, ან ერთი მეორეზე დიდი ან ნაკლები. ანუ:

ან a = bან a > bან ა< b.

უფრო მეტიც, ეს თვისება ასევე გულისხმობს ურთიერთობის გარდამავალობას. ანუ თუ ამეტი ბ, ბმეტი გ, მაშინ ამეტი გ. მათემატიკის ენაზე ასე გამოიყურება:

(ა > ბ) ^ (ბ > გ) => (ა > გ).

მეორეც, არის არითმეტიკული მოქმედებები რაციონალური რიცხვებით, ანუ შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და, რა თქმა უნდა, გამრავლება. ამავდროულად, გარდაქმნების პროცესში შეიძლება გამოიყოს მრავალი თვისება.

• a + b = b + a (ტერმინების ჩანაცვლება, კომუტატიულობა);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (ასოციაციურობა);
• a + (-a) = 0;
• აბ=ბა;
• (ab)c = a(bc) (განაწილება);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (ამ შემთხვევაში, a არ არის 0-ის ტოლი);
• (a + b)c = ac + ab;
• (ა > ბ) ^ (გ > 0) => (ac > ძვ. წ.).

რაც შეეხება ჩვეულებრივ, და არა ან მთელ რიცხვებს, მათთან ოპერაციებმა შეიძლება გამოიწვიოს გარკვეული სირთულეები. ამრიგად, შეკრება და გამოკლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელები ტოლია. თუ ისინი თავდაპირველად განსხვავდებიან, უნდა იპოვოთ საერთო, მთელი წილადის გარკვეულ რიცხვებზე გამრავლების გამოყენებით. შედარება ასევე ყველაზე ხშირად შესაძლებელია მხოლოდ ამ პირობის დაკმაყოფილების შემთხვევაში.

ჩვეულებრივი წილადების გაყოფა და გამრავლება ხდება საკმაოდ მარტივი წესების შესაბამისად. საერთო მნიშვნელამდე შემცირება საჭირო არ არის. მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება ცალ-ცალკე, ხოლო მოქმედების შესრულების პროცესში, თუ შესაძლებელია, წილადი მაქსიმალურად უნდა შემცირდეს და გამარტივდეს.

რაც შეეხება დაყოფას, ეს ქმედება პირველის მსგავსია მცირედი განსხვავებით. მეორე წილადისთვის თქვენ უნდა იპოვოთ საპასუხო, ანუ,

"გაატრიალეთ". ამრიგად, პირველი წილადის მრიცხველი უნდა გამრავლდეს მეორეს მნიშვნელზე და პირიქით.

დაბოლოს, რაციონალური რიცხვებისთვის დამახასიათებელი სხვა თვისება ეწოდება არქიმედეს აქსიომას. ტერმინი „პრინციპი“ ასევე ხშირად გვხვდება ლიტერატურაში. ის მოქმედებს რეალური რიცხვების მთელი ნაკრებისთვის, მაგრამ არა ყველგან. ამრიგად, ეს პრინციპი არ მუშაობს რაციონალური ფუნქციების ზოგიერთ კოლექციაზე. არსებითად, ეს აქსიომა ნიშნავს, რომ ორი a და b სიდიდის არსებობის გათვალისწინებით, ყოველთვის შეგიძლიათ აიღოთ საკმარისი a, რომ გადააჭარბოთ b.

განაცხადის არეალი

ასე რომ, მათთვის, ვინც ისწავლა ან გაიხსენა, რა არის რაციონალური რიცხვები, ცხადი ხდება, რომ ისინი ყველგან გამოიყენება: ბუღალტერიაში, ეკონომიკაში, სტატისტიკაში, ფიზიკაში, ქიმიაში და სხვა მეცნიერებებში. ბუნებრივია, მათემატიკაშიც აქვთ ადგილი. ყოველთვის არ ვიცით, რომ მათთან გვაქვს საქმე, მუდმივად ვიყენებთ რაციონალურ რიცხვებს. მცირეწლოვანი ბავშვებიც კი, რომლებიც სწავლობენ საგნების დათვლას, ვაშლის ნაჭრებად დაჭრას ან სხვა მარტივ მოქმედებებს, ხვდებიან მათ. ისინი ფაქტიურად გვახვევენ გარშემო. და მაინც, ისინი არ არის საკმარისი ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, კერძოდ, პითაგორას თეორემის მაგალითის გამოყენებით, შეიძლება გაიგოს კონცეფციის დანერგვის აუცილებლობა.

რაციონალური რიცხვების განმარტება

რაციონალური რიცხვებია:

• ნატურალური რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, $7=\frac(7)(1)$.
• მთელი რიცხვები, ნულის რიცხვის ჩათვლით, რომლებიც შეიძლება გამოისახოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი წილადები, ან როგორც ნული. მაგალითად, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• ჩვეულებრივი წილადები (დადებითი ან უარყოფითი).
• შერეული რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს არასწორ საერთო წილადად. მაგალითად, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ და $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• სასრულ ათწილადი და უსასრულო პერიოდული წილადი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საერთო წილადი. მაგალითად, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

შენიშვნა 1

გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი არ ვრცელდება რაციონალურ რიცხვებზე, რადგან ის არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი.

მაგალითი 1

ნატურალური რიცხვები $7, 670, 21 \ 456$ რაციონალურია.

მთელი რიცხვები $76, -76, 0, -555 \ 666$ რაციონალურია.

ჩვეულებრივი წილადები $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ რაციონალური რიცხვებია. .

ამრიგად, რაციონალური რიცხვები იყოფა დადებით და უარყოფითად. ნული რაციონალური რიცხვია, მაგრამ ეს არ არის დადებითი ან უარყოფითი რაციონალური რიცხვი.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ რაციონალური რიცხვების უფრო მოკლე განმარტება.

განმარტება 3

რაციონალურიზარის ნომრები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სასრული ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით.

შემდეგი დასკვნების გამოტანა შეიძლება:

• დადებითი და უარყოფითი მთელი რიცხვები და წილადი რიცხვები მიეკუთვნება რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს;
• რაციონალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი და ბუნებრივი მნიშვნელი და არის რაციონალური რიცხვი;
• რაციონალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნებისმიერი პერიოდული ათობითი რიცხვი, რომელიც რაციონალური რიცხვია.

როგორ განვსაზღვროთ რიცხვი რაციონალურია თუ არა

1. რიცხვი მოცემულია რიცხვითი გამოსახულების სახით, რომელიც შედგება მხოლოდ რაციონალური რიცხვებისა და არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებისგან. ამ შემთხვევაში, გამოხატვის მნიშვნელობა იქნება რაციონალური რიცხვი.
2. ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვი რაციონალური რიცხვია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფესვი არის რიცხვი, რომელიც არის გარკვეული ნატურალური რიცხვის სრულყოფილი კვადრატი. მაგალითად, $\sqrt(9)$ და $\sqrt(121)$ რაციონალური რიცხვებია, ვინაიდან $9=3^2$ და $121=11^2$.
3. მთელი რიცხვის $n$th ფესვი რაციონალური რიცხვია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირის ნიშნის ქვეშ არსებული რიცხვი არის რომელიმე მთელი რიცხვის $n$th ხარისხში. მაგალითად, $\sqrt(8)$ არის რაციონალური რიცხვი, რადგან $8=2^3$.

რაციონალური რიცხვები ყველგან მკვრივია რიცხვების ღერძზე: ყოველ ორ რაციონალურ რიცხვს შორის, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია, შეიძლება განთავსდეს მინიმუმ ერთი რაციონალური რიცხვი (აქედან გამომდინარე, რაციონალური რიცხვების უსასრულო რაოდენობა). ამავდროულად, რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს ახასიათებს თვლადი კარდინალობა (ანუ სიმრავლის ყველა ელემენტი შეიძლება იყოს დანომრილი). ძველმა ბერძნებმა დაამტკიცეს, რომ არსებობს რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წილადის სახით ჩაიწეროს. მათ აჩვენეს, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის $2$-ს. მაშინ რაციონალური რიცხვები არ იყო საკმარისი ყველა სიდიდის გამოსახატავად, რამაც მოგვიანებით გამოიწვია რეალური რიცხვების გამოჩენა. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე, რეალური რიცხვებისგან განსხვავებით, ნულოვანია.

Რაციონალური რიცხვი

მეოთხედი

1. მოწესრიგებულობა. ადა ბარსებობს წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ცალსახად ამოიცნოთ მათ შორის სამი და მხოლოდ ერთი ურთიერთობა: ”< », « >' ან ' = '. ამ წესს ე.წ შეკვეთის წესიდა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი არაუარყოფითი რიცხვი და დაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი მთელი რიცხვი და ; ორი არადადებითი რიცხვი ადა ბდაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი არაუარყოფითი რიცხვი და ; თუ მოულოდნელად აარაუარყოფითი და ბ- მაშინ უარყოფითი ა > ბ. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   წილადების ჯამი

2. დამატების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ შეჯამების წესი გ. თუმცა, თავად ნომერი გდაურეკა ჯამინომრები ადა ბდა აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესი ეწოდება შეჯამება. შეჯამების წესს აქვს შემდეგი ფორმა: .
3. გამრავლების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ გამრავლების წესი, რაც მათ შესაბამისობაში აყენებს რაღაც რაციონალურ რიცხვთან გ. თუმცა, თავად ნომერი გდაურეკა მუშაობანომრები ადა ბდა აღინიშნება , და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესსაც უწოდებენ გამრავლება. გამრავლების წესი ასეთია: .
4. წესრიგის მიმართების გარდამავალობა.რაციონალური რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ა , ბდა გთუ ანაკლები ბდა ბნაკლები გ, მაშინ ანაკლები გ, რა იქნება თუ აუდრის ბდა ბუდრის გ, მაშინ აუდრის გ. 6435">მიმატების ურთიერთშენაცვლება. რაციონალური ტერმინების ადგილების შეცვლით ჯამი არ იცვლება.
5. დამატების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის მიმატების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
6. ნულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 0, რომელიც შეჯამებისას ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს.
7. საპირისპირო რიცხვების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს საპირისპირო რაციონალური რიცხვი, რომელიც შეჯამებისას იძლევა 0-ს.
8. გამრავლების კომუტატიულობა.რაციონალური ფაქტორების ადგილების შეცვლით პროდუქტი არ იცვლება.
9. გამრავლების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის გამრავლების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
10. ერთეულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 1, რომელიც ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს გამრავლებისას.
11. რეციპროკულების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს შებრუნებული რაციონალური რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას იძლევა 1-ს.
12. შეკრების მიმართ გამრავლების განაწილება.გამრავლების ოპერაცია შეესაბამება შეკრების ოპერაციას განაწილების კანონით:
13. შეკვეთის მიმართების კავშირი მიმატების ოპერაციასთან.იგივე რაციონალური რიცხვი შეიძლება დაემატოს რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. არქიმედეს აქსიომა.რაც არ უნდა იყოს რაციონალური რიცხვი ა, შეგიძლიათ აიღოთ იმდენი ერთეული, რომ მათი ჯამი გადააჭარბოს ა. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

დამატებითი თვისებები

რაციონალური რიცხვების თანდაყოლილი ყველა სხვა თვისება არ არის გამოყოფილი, როგორც ძირითადი, რადგან, ზოგადად, ისინი აღარ არის დაფუძნებული პირდაპირ მთელი რიცხვების თვისებებზე, მაგრამ შეიძლება დადასტურდეს მოცემული ძირითადი თვისებების საფუძველზე ან პირდაპირ განსაზღვრებით. რაღაც მათემატიკური ობიექტი. უამრავი ასეთი დამატებითი თვისებაა. აქ აზრი აქვს მხოლოდ რამდენიმე მათგანის ციტირებას.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

თვლადობის დაყენება

რაციონალური რიცხვების ნუმერაცია

რაციონალური რიცხვების რაოდენობის შესაფასებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ნაკრების კარდინალურობა. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. ამისათვის საკმარისია მივცეთ ალგორითმი, რომელიც ჩამოთვლის რაციონალურ რიცხვებს, ანუ ადგენს ბიექციას რაციონალურ და ნატურალურ რიცხვებს შორის.

ამ ალგორითმებიდან ყველაზე მარტივი შემდეგია. შედგენილია ჩვეულებრივი წილადების უსასრულო ცხრილი, თითოეულზე მე-მეე ხაზი თითოეულში ჯრომლის სვეტი არის წილადი. დაზუსტებისთვის, ვარაუდობენ, რომ ამ ცხრილის სტრიქონები და სვეტები დანომრილია ერთიდან. ცხრილის უჯრედები აღინიშნება , სადაც მე- ცხრილის რიგის ნომერი, რომელშიც მდებარეობს უჯრედი და ჯ- სვეტის ნომერი.

მიღებულ ცხრილს მართავს „გველი“ შემდეგი ფორმალური ალგორითმის მიხედვით.

ეს წესები სკანირებულია ზემოდან ქვემოდან და შემდეგი პოზიცია შეირჩევა პირველი მატჩის მიხედვით.

ასეთი შემოვლითი პროცესის დროს ყოველი ახალი რაციონალური რიცხვი ენიჭება შემდეგ ნატურალურ რიცხვს. ანუ წილადებს 1/1 ენიჭებათ რიცხვი 1, წილადებს 2/1 - რიცხვი 2 და ა.შ. უნდა აღინიშნოს, რომ დანომრილია მხოლოდ შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადობის ფორმალური ნიშანი არის წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთ-ერთი უდიდესი საერთო გამყოფის ტოლობა.

ამ ალგორითმის მიხედვით, შეიძლება ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვის ჩამოთვლა. ეს ნიშნავს, რომ დადებითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. დადებითი და უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს შორის ბიექციის დადგენა მარტივია, უბრალოდ თითოეულ რაციონალურ რიცხვს მისი საპირისპირო მინიჭებით. რომ. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეც თვლადია. მათი გაერთიანება ასევე დასათვლელია თვლადი სიმრავლეების თვისებით. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ასევე დასათვლელია, როგორც თვლადი სიმრავლის კავშირი სასრულთან.

რაციონალური რიცხვების სიმრავლის თვლადობის შესახებ განცხადებამ შეიძლება გარკვეული გაურკვევლობა გამოიწვიოს, რადგან ერთი შეხედვით იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ის ბევრად აღემატება ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს. სინამდვილეში ეს ასე არ არის და საკმარისია ნატურალური რიცხვები ყველა რაციონალურის დასათვლელად.

რაციონალური რიცხვების უკმარისობა

ასეთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არ არის გამოხატული რაიმე რაციონალური რიცხვით

ფორმის რაციონალური რიცხვები 1 / ნდიდად ნთვითნებურად მცირე რაოდენობით შეიძლება გაიზომოს. ეს ფაქტი ქმნის მცდარ შთაბეჭდილებას, რომ რაციონალურ რიცხვებს შეუძლიათ გაზომონ ნებისმიერი გეომეტრიული მანძილი ზოგადად. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება.

შენიშვნები

ლიტერატურა

• ი.კუშნირი. მათემატიკის სახელმძღვანელო სკოლის მოსწავლეებისთვის. - კიევი: ASTARTA, 1998. - 520გვ.
• P.S. ალექსანდროვი. სიმრავლეების თეორიისა და ზოგადი ტოპოლოგიის შესავალი. - მ.: თავი. რედ. ფიზ.-მათ. განათებული. რედ. "მეცნიერება", 1977 წ
• I. L. ხმელნიცკი. ალგებრული სისტემების თეორიის შესავალი

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.