პირველი დონე

გეომეტრიული პროგრესია. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო მაგალითებით (2019)

რიცხვითი თანმიმდევრობა

მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.

რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,), და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რიცხვის ტოლი ინდექსით: .

ჩვენს შემთხვევაში:

პროგრესირების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის არითმეტიკული და გეომეტრიული. ამ თემაში ვისაუბრებთ მეორე სახეობაზე - გეომეტრიული პროგრესია.

რატომ გვჭირდება გეომეტრიული პროგრესია და მისი ისტორია?

ჯერ კიდევ ძველ დროში იტალიელი მათემატიკოსი, ბერი ლეონარდო პიზაელი (უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი) ეხებოდა ვაჭრობის პრაქტიკულ საჭიროებებს. ბერის წინაშე დადგა დავალება, დაედგინა, რა არის საწონების ყველაზე მცირე რაოდენობა, რომლითაც შესაძლებელია საქონელი? თავის ნაწერებში ფიბონაჩი ამტკიცებს, რომ წონების ასეთი სისტემა ოპტიმალურია: ეს არის ერთ-ერთი პირველი სიტუაციიდან, როდესაც ადამიანებს მოუწიათ გეომეტრიულ პროგრესიასთან გამკლავება, რომლის შესახებაც ალბათ გსმენიათ და ზოგადი წარმოდგენა მაინც გაქვთ. მას შემდეგ რაც სრულად გაიგებთ თემას, დაფიქრდით, რატომ არის ასეთი სისტემა ოპტიმალური?

დღეისათვის ცხოვრების პრაქტიკაში გეომეტრიული პროგრესია ვლინდება ბანკში ფულის ინვესტიციისას, როდესაც პროცენტის ოდენობა ირიცხება წინა პერიოდის ანგარიშზე დაგროვილ თანხაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ დადებთ ფულს შემნახველ ბანკში ვადიან დეპოზიტზე, მაშინ ერთ წელიწადში ანაბარი გაიზრდება საწყისი თანხიდან, ე.ი. ახალი თანხა ტოლი იქნება შენატანის გამრავლებული. კიდევ ერთ წელიწადში ეს თანხა გაიზრდება, ე.ი. იმ დროს მიღებული თანხა ისევ მრავლდება და ა.შ. მსგავსი სიტუაციაა აღწერილი გამოთვლის პრობლემებში ე.წ საერთო ინტერესი- პროცენტი აღებულია ყოველ ჯერზე ანგარიშზე არსებული თანხიდან, წინა პროცენტის გათვალისწინებით. ამ ამოცანების შესახებ ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

არსებობს კიდევ ბევრი მარტივი შემთხვევა, როდესაც გამოიყენება გეომეტრიული პროგრესია. მაგალითად, გრიპის გავრცელება: ერთმა ადამიანმა დააინფიცირა ადამიანი, მათ, თავის მხრივ, დააინფიცირეს მეორე ადამიანი და ამით ინფექციის მეორე ტალღა - ადამიანი და მათ, თავის მხრივ, დაინფიცირეს მეორე ... და ასე შემდეგ. .

სხვათა შორის, ფინანსური პირამიდა, იგივე MMM, არის მარტივი და მშრალი გამოთვლა გეომეტრიული პროგრესიის თვისებების მიხედვით. საინტერესოა? მოდი გავარკვიოთ.

გეომეტრიული პროგრესია.

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა:

მაშინვე გიპასუხებთ, რომ ეს მარტივია და ასეთი თანმიმდევრობის სახელი არის არითმეტიკული პროგრესია მისი წევრების სხვაობით. რაც შეეხება ასეთ რამეს:

თუ წინა რიცხვს გამოაკლებთ შემდეგ რიცხვს, დაინახავთ, რომ ყოველ ჯერზე მიიღებთ ახალ განსხვავებას (და ასე შემდეგ), მაგრამ თანმიმდევრობა ნამდვილად არსებობს და ადვილად შესამჩნევია - ყოველი შემდეგი რიცხვი ჯერ უფრო დიდია ვიდრე წინა. !

ამ ტიპის თანმიმდევრობას ე.წ გეომეტრიული პროგრესიადა აღინიშნება.

გეომეტრიული პროგრესია ( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ რიცხვს გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

შეზღუდვები, რომ პირველი წევრი ( ) არ არის ტოლი და არ არის შემთხვევითი. ვთქვათ, რომ არ არსებობს და პირველი წევრი მაინც ტოლია, და q არის, ჰმ.. მოდით, შემდეგ გამოდის:

დამეთანხმებით, რომ ეს არ არის პროგრესი.

როგორც გესმით, იგივე შედეგებს მივიღებთ, თუ ეს არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა, მაგრამ. ამ შემთხვევებში, უბრალოდ არ იქნება პროგრესი, რადგან მთელი რიცხვების სერია იქნება ან ყველა ნული, ან ერთი რიცხვი და ყველა დანარჩენი ნული.

ახლა უფრო დეტალურად ვისაუბროთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელზე, ანუ დაახლოებით.

გავიმეოროთ: - ეს არის რიცხვი, რამდენჯერ იცვლება ყოველი მომდევნო ტერმინიგეომეტრიული პროგრესია.

როგორ ფიქრობთ, რა შეიძლება იყოს? ასეა, დადებითი და უარყოფითი, მაგრამ არა ნული (ამაზე ცოტა მაღლა ვისაუბრეთ).

ვთქვათ, გვაქვს დადებითი. მოდით ჩვენს შემთხვევაში, ა. რა არის მეორე ვადა და? ამაზე მარტივად შეგიძლიათ უპასუხოთ:

Კარგი. შესაბამისად, თუ, მაშინ პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითი.

რა მოხდება, თუ ის უარყოფითია? მაგალითად, ა. რა არის მეორე ვადა და?

სულ სხვა ამბავია

შეეცადეთ დათვალოთ ამ პროგრესირების ვადა. რამდენი მიიღეთ? Მე მაქვს. ამრიგად, თუ, მაშინ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება. ანუ თუ მის წევრებში ხედავთ პროგრესიას ალტერნატიული ნიშნებით, მაშინ მისი მნიშვნელი უარყოფითია. ეს ცოდნა დაგეხმარებათ გამოცადოთ საკუთარი თავი ამ თემაზე პრობლემების გადაჭრისას.

ახლა ცოტა ვივარჯიშოთ: შეეცადეთ დაადგინოთ რომელი რიცხვითი მიმდევრობაა გეომეტრიული პროგრესია და რომელი არითმეტიკული:

Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

• გეომეტრიული პროგრესია - 3, 6.
• არითმეტიკული პროგრესია - 2, 4.
• ეს არ არის არც არითმეტიკული და არც გეომეტრიული პროგრესია - 1, 5, 7.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ბოლო პროგრესიას და შევეცადოთ ვიპოვოთ მისი ტერმინი ისევე, როგორც არითმეტიკაში. როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, მისი პოვნის ორი გზა არსებობს.

თითოეულ წევრს თანმიმდევრულად ვამრავლებთ.

ასე რომ, აღწერილი გეომეტრიული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.

როგორც უკვე მიხვდით, ახლა თქვენ თვითონ გამოიმუშავებთ ფორმულას, რომელიც დაგეხმარებათ გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის პოვნაში. ან თქვენ უკვე გამოიტანეთ ეს თქვენთვის და აღწერეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მე-ე წევრი ეტაპობრივად? თუ ასეა, მაშინ შეამოწმეთ თქვენი მსჯელობის სისწორე.

მოდით ავხსნათ ეს ამ პროგრესიის მე-მე წევრის პოვნის მაგალითით:

Სხვა სიტყვებით:

იპოვნეთ მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

მოხდა? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამრავლებთ გეომეტრიული პროგრესიის თითოეულ წინა წევრზე.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაციას“ - მივიღებთ მას ზოგად ფორმაში და მივიღებთ:

მიღებული ფორმულა მართალია ყველა მნიშვნელობისთვის - როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. თავად შეამოწმეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლით შემდეგი პირობებით: , ა.

დაითვალეთ? მოდით შევადაროთ შედეგები:

დამეთანხმებით, რომ პროგრესის წევრის პოვნა შესაძლებელი იქნებოდა წევრის მსგავსად, თუმცა არსებობს არასწორი გაანგარიშების შესაძლებლობა. და თუ ჩვენ უკვე ვიპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მე-ა ტერმინი, მაშინ რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი, ვიდრე ფორმულის „შეკვეცილი“ ნაწილის გამოყენება.

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

ახლახან ჩვენ ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა შეიძლება იყოს ნულზე მეტი ან ნაკლები, თუმცა არსებობს სპეციალური მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გეომეტრიული პროგრესია ე.წ. უსასრულოდ მცირდება.

როგორ ფიქრობთ, რატომ აქვს მას ასეთი სახელი?
დასაწყისისთვის, მოდით ჩამოვწეროთ წევრებისგან შემდგარი გეომეტრიული პროგრესია.
მაშინ ვთქვათ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყოველი მომდევნო ტერმინი წინაზე ნაკლებია ჯერ, მაგრამ იქნება თუ არა რაიმე რიცხვი? თქვენ მაშინვე პასუხობთ - "არა". ამიტომ უსასრულოდ კლებადი - მცირდება, მცირდება, მაგრამ არასოდეს არ ხდება ნული.

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყურება ეს ვიზუალურად, შევეცადოთ დავხატოთ ჩვენი პროგრესირების გრაფიკი. ასე რომ, ჩვენს შემთხვევაში, ფორმულა იღებს შემდეგ ფორმას:

სქემებზე ჩვენ მიჩვეული ვართ დამოკიდებულების შექმნას, ამიტომ:

გამოხატვის არსი არ შეცვლილა: პირველ ჩანაწერში ჩვენ ვაჩვენეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიგით რიცხვზე, ხოლო მეორე ჩანაწერში უბრალოდ ავიღეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა და რიგითი ნომერი დასახელდა არა როგორც, არამედ როგორც. დარჩენილია მხოლოდ გრაფიკის დახაზვა.
ვნახოთ რა გაქვთ. აი ეს სქემა მივიღე:

ნახე? ფუნქცია მცირდება, მიდრეკილია ნულისკენ, მაგრამ არასოდეს კვეთს მას, ამიტომ ის უსასრულოდ მცირდება. მოდით აღვნიშნოთ ჩვენი პუნქტები გრაფიკზე და ამავდროულად რას ნიშნავს კოორდინატი და:

სცადეთ სქემატურად გამოსახოთ გეომეტრიული პროგრესიის გრაფიკი, თუ მისი პირველი წევრიც ტოლია. გაანალიზეთ, რა განსხვავებაა ჩვენს წინა სქემასთან?

მოახერხე? აი ეს სქემა მივიღე:

ახლა, როდესაც თქვენ სრულად გაიგეთ გეომეტრიული პროგრესიის თემის საფუძვლები: თქვენ იცით, რა არის ის, იცით, როგორ იპოვოთ მისი ტერმინი და ასევე იცით, რა არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, მოდით გადავიდეთ მის მთავარ თვისებაზე.

გეომეტრიული პროგრესიის თვისება.

გახსოვთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება? დიახ, დიახ, როგორ ვიპოვოთ პროგრესიის გარკვეული რაოდენობის მნიშვნელობა, როდესაც არსებობს ამ პროგრესიის წევრების წინა და შემდგომი მნიშვნელობები. Გაიხსენა? ეს:

ახლა ჩვენ ზუსტად იგივე კითხვის წინაშე ვდგავართ გეომეტრიული პროგრესიის თვალსაზრისით. ასეთი ფორმულის გამოსატანად დავიწყოთ ხატვა და მსჯელობა. ნახავ, ძალიან ადვილია და თუ დაგავიწყდა, თავადაც გამოიტანე.

ავიღოთ კიდევ ერთი მარტივი გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც ვიცით და. როგორ მოვძებნოთ? არითმეტიკული პროგრესიით, ეს მარტივი და მარტივია, მაგრამ როგორ არის აქ? სინამდვილეში, გეომეტრიაშიც არაფერია რთული - თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ თითოეული ჩვენთვის მოცემული მნიშვნელობა ფორმულის მიხედვით.

თქვენ ჰკითხავთ და ახლა რა ვუყოთ მას? დიახ, ძალიან მარტივი. დასაწყისისთვის, მოდით გამოვსახოთ ეს ფორმულები ფიგურაში და შევეცადოთ გავაკეთოთ სხვადასხვა მანიპულაციები მათთან, რათა მივიღოთ მნიშვნელობა.

ჩვენ აბსტრაქტულნი ვართ იმ რიცხვებიდან, რომლებიც მოცემულია, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ მხოლოდ მათ გამოხატვაზე ფორმულის საშუალებით. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ნარინჯისფერში მონიშნული მნიშვნელობა, ვიცოდეთ მის მიმდებარე ტერმინები. შევეცადოთ მათთან ერთად სხვადასხვა მოქმედებების შესრულება, რის შედეგადაც მივიღებთ.

დამატება.
შევეცადოთ დავამატოთ ორი გამონათქვამი და მივიღებთ:

ამ გამოთქმიდან, როგორც ხედავთ, ვერანაირად ვერ გამოვხატავთ, შესაბამისად, შევეცდებით სხვა ვარიანტს - გამოკლებას.

გამოკლება.

როგორც ხედავთ, აქედანაც ვერ გამოვხატავთ, შესაბამისად, შევეცდებით ეს გამონათქვამები ერთმანეთზე გავამრავლოთ.

გამრავლება.

ახლა კარგად დააკვირდით რა გვაქვს, გავამრავლოთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინები, რაც უნდა ვიპოვოთ:

გამოიცანით რაზე ვსაუბრობ? სწორად, რომ ვიპოვოთ, უნდა ავიღოთ გეომეტრიული პროგრესიის რიცხვების კვადრატული ფესვი სასურველი რიცხვის მიმდებარედ გამრავლებული ერთმანეთზე:

აი შენ წადი. თქვენ თვითონ გამოიტანეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისება. შეეცადეთ დაწეროთ ეს ფორმულა ზოგადი ფორმით. მოხდა?

დაგავიწყდა პირობა როდის? იფიქრეთ იმაზე, თუ რატომ არის ეს მნიშვნელოვანი, მაგალითად, შეეცადეთ გამოთვალოთ იგი საკუთარ თავს. რა ხდება ამ შემთხვევაში? მართალია, სრული სისულელეა, რადგან ფორმულა ასე გამოიყურება:

შესაბამისად, არ დაივიწყოთ ეს შეზღუდვა.

ახლა გამოვთვალოთ რა არის

Სწორი პასუხი - ! თუ გაანგარიშებისას არ დაგავიწყდათ მეორე შესაძლო მნიშვნელობა, მაშინ შესანიშნავი მეგობარი ხართ და შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააგრძელოთ ვარჯიში, ხოლო თუ დაგავიწყდათ, წაიკითხეთ რა არის გაანალიზებული ქვემოთ და ყურადღება მიაქციეთ, რატომ უნდა ეწეროს პასუხში ორივე ძირი. .

მოდით დავხატოთ ჩვენი ორივე გეომეტრიული პროგრესია - ერთი მნიშვნელობით, მეორე კი მნიშვნელობით და შევამოწმოთ, აქვს თუ არა ორივეს არსებობის უფლება:

იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, არსებობს თუ არა ასეთი გეომეტრიული პროგრესია, საჭიროა დავინახოთ, არის თუ არა იგი ერთნაირი მის ყველა მოცემულ წევრს შორის? გამოთვალეთ q პირველი და მეორე შემთხვევისთვის.

ნახეთ, რატომ უნდა დავწეროთ ორი პასუხი? რადგან საჭირო ტერმინის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, დადებითია თუ უარყოფითი! და რადგან არ ვიცით რა არის, ორივე პასუხი უნდა დავწეროთ პლუსით და მინუსებით.

ახლა, როცა აითვისეთ ძირითადი პუნქტები და გამოიტანეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისების ფორმულა, იპოვეთ, იცოდეთ და

შეადარეთ თქვენი პასუხები სწორ პასუხებს:

როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება, თუ მოგვცეს არა გეომეტრიული პროგრესიის წევრების მნიშვნელობები სასურველი რიცხვის მიმდებარედ, არამედ მისგან თანაბარი მანძილით. მაგალითად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ და მივცეთ და. შეგვიძლია ამ შემთხვევაში გამოვიყენოთ ჩვენ მიერ მიღებული ფორმულა? შეეცადეთ დაადასტუროთ ან უარყოთ ეს შესაძლებლობა იმავე გზით, აღწეროთ რისგან შედგება თითოეული მნიშვნელობა, როგორც ეს გააკეთეთ ფორმულის თავიდან გამოყვანისას.
Რა მიიღე?

ახლა კიდევ ერთხელ დააკვირდით.
და შესაბამისად:

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფორმულა მუშაობს არა მარტო მეზობლებთანგეომეტრიული პროგრესიის სასურველი პირობებით, არამედ თანაბარი მანძილირასაც წევრები ეძებენ.

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური ფორმულა ხდება:

ანუ, თუ პირველ შემთხვევაში ეს ვთქვით, ახლა ვამბობთ, რომ ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის ტოლი, რომელიც ნაკლებია. მთავარია ორივე მოცემული რიცხვისთვის ერთნაირი იყოს.

ივარჯიშეთ კონკრეტულ მაგალითებზე, უბრალოდ იყავით ძალიან ფრთხილად!

1. , . იპოვე.
2. , . იპოვე.
3. , . იპოვე.

Გადავწყვიტე? ვიმედოვნებ, რომ იყავით ძალიან ყურადღებიანი და შენიშნეთ პატარა დაჭერა.

ჩვენ ვადარებთ შედეგებს.

პირველ ორ შემთხვევაში ჩვენ მშვიდად ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას და ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს:

მესამე შემთხვევაში, ჩვენთვის მოცემული ნომრების სერიული ნომრების გულდასმით გათვალისწინებისას, ჩვენ გვესმის, რომ ისინი არ არიან თანაბარი მანძილისგან ჩვენ ვეძებთ: ეს არის წინა ნომერი, მაგრამ ამოღებულია პოზიციაზე, ასე რომ შეუძლებელია. ფორმულის გამოსაყენებლად.

როგორ მოვაგვაროთ? სინამდვილეში ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს! მოდით, თქვენთან ერთად ჩამოვწეროთ, რისგან შედგება თითოეული ჩვენთვის მოცემული და სასურველი რიცხვი.

ასე რომ გვაქვს და. ვნახოთ, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ მათთან. მე გთავაზობთ გაყოფას. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვცვლით ჩვენს მონაცემებს ფორმულაში:

შემდეგი ნაბიჯი ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ - ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ მიღებული რიცხვის კუბური ფესვი.

ახლა კიდევ ერთხელ გადავხედოთ რა გვაქვს. გვაქვს, მაგრამ უნდა ვიპოვოთ და ის, თავის მხრივ, უდრის:

ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო მონაცემი გაანგარიშებისთვის. ჩანაცვლება ფორმულაში:

ჩვენი პასუხი: .

შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ სხვა იგივე პრობლემა:
მოცემული:,
იპოვე:

რამდენი მიიღეთ? Მე მაქვს - .

როგორც ხედავთ, სინამდვილეში გჭირდებათ დაიმახსოვრე მხოლოდ ერთი ფორმულა- . დანარჩენი თქვენ შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს გაიყვანოთ უპრობლემოდ. ამისათვის უბრალოდ დაწერეთ უმარტივესი გეომეტრიული პროგრესია ფურცელზე და ჩაწერეთ, თუ რის ტოლია ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით მისი თითოეული რიცხვი.

გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ახლა განვიხილოთ ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს სწრაფად გამოვთვალოთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამი მოცემულ ინტერვალში:

სასრული გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოსატანად, ჩვენ გავამრავლებთ ზემოთ მოყვანილი განტოლების ყველა ნაწილს. ჩვენ ვიღებთ:

დააკვირდით: რა საერთო აქვს ბოლო ორ ფორმულას? ასეა, საერთო წევრები, მაგალითად და ასე შემდეგ, გარდა პირველი და ბოლო წევრისა. შევეცადოთ გამოვაკლოთ 1-ლი განტოლება მე-2 განტოლებას. Რა მიიღე?

ახლა გამოხატეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის ფორმულით და ჩაანაცვლეთ მიღებული გამოხატულება ჩვენს ბოლო ფორმულაში:

გამოთქმის დაჯგუფება. თქვენ უნდა მიიღოთ:

რჩება მხოლოდ გამოხატვა:

შესაბამისად, ამ შემთხვევაში.

Რა იქნება თუ? რა ფორმულა მუშაობს მაშინ? წარმოიდგინეთ გეომეტრიული პროგრესია. Როგორ გამოიყურება? სწორად იდენტური რიცხვების სერია, შესაბამისად, ფორმულა ასე გამოიყურება:

როგორც არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიით, ბევრი ლეგენდაა. ერთ-ერთი მათგანია ჭადრაკის შემქმნელი სეტის ლეგენდა.

ბევრმა იცის, რომ ჭადრაკის თამაში ინდოეთში გამოიგონეს. როდესაც ინდუის მეფე მას შეხვდა, აღფრთოვანებული იყო მისი ჭკუით და მასში შესაძლო პოზიციების მრავალფეროვნებით. როდესაც შეიტყო, რომ ის გამოიგონა ერთ-ერთმა ქვეშევრდომმა, მეფემ გადაწყვიტა პირადად დაეჯილდოებინა იგი. დაუძახა გამომგონებელს და უბრძანა, ეთხოვა რაც სურდა, დაპირდა, რომ შეასრულებდა თუნდაც ყველაზე ოსტატურ სურვილს.

სეტამ ფიქრისთვის დრო ითხოვა და როცა მეორე დღეს სეტა მეფის წინაშე წარდგა, მან მეფე გააკვირვა მისი თხოვნის უბადლო მოკრძალებით. ჭადრაკის დაფის პირველი კვადრატისთვის ხორბლის მარცვალი სთხოვა, მეორესთვის, მესამესთვის, მეოთხესთვის და ა.შ.

მეფე განრისხდა და განდევნა სეტი და თქვა, რომ მსახურის თხოვნა არ იყო სამეფო კეთილშობილების ღირსი, მაგრამ დაჰპირდა, რომ მსახური მიიღებდა თავის მარცვლებს გამგეობის ყველა საკნისთვის.

ახლა კი ისმის კითხვა: გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყენებით გამოთვალეთ რამდენი მარცვალი უნდა მიიღოს სეტმა?

დავიწყოთ მსჯელობა. ვინაიდან, პირობის მიხედვით, სეთმა მოითხოვა ხორბლის მარცვალი ჭადრაკის დაფის პირველი უჯრედისთვის, მეორესთვის, მესამესთვის, მეოთხესთვის და ა.შ., ჩვენ ვხედავთ, რომ პრობლემაში ჩვენ ვსაუბრობთგეომეტრიული პროგრესიის შესახებ. რა არის ამ შემთხვევაში თანაბარი?
სწორად.

ჭადრაკის დაფის სულ უჯრედები. შესაბამისად,. ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, რჩება მხოლოდ ფორმულაში ჩანაცვლება და გამოთვლა.

მოცემული რიცხვის მინიმუმ დაახლოებით "მასშტაბების" წარმოსადგენად, ჩვენ გარდაქმნით ხარისხის თვისებების გამოყენებით:

რა თქმა უნდა, თუ გინდათ, შეგიძლიათ აიღოთ კალკულატორი და გამოთვალოთ რა რიცხვი დამთავრდება, ხოლო თუ არა, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ჩემი სიტყვა: გამოხატვის საბოლოო მნიშვნელობა იქნება.
ანუ:

კვინტილიონი კვადრილონი ტრილიონი მილიარდი მილიონი ათასი.

ფუჰ) თუ გსურთ წარმოიდგინოთ ამ რიცხვის უზარმაზარი რაოდენობა, მაშინ შეაფასეთ რა ზომის ბეღელი იქნება საჭირო მარცვლეულის მთელი ოდენობის დასატევად.
მ ბეღლის სიმაღლე და m სიგანე, მისი სიგრძე კმ-მდე უნდა გაგრძელდეს, ე.ი. ორჯერ უფრო შორს, ვიდრე დედამიწიდან მზემდე.

მეფე რომ ძლიერი იყო მათემატიკაში, მას შეეძლო მეცნიერს თავად შესთავაზოს მარცვლების დათვლა, რადგან მილიონი მარცვლების დასათვლელად მას ერთი დღე მაინც დასჭირდებოდა დაუღალავი დათვლა და იმის გათვალისწინებით, რომ აუცილებელია კვინტილიონების დათვლა. მარცვლები მთელი ცხოვრება უნდა დათვალოს.

ახლა კი ჩვენ მოვაგვარებთ მარტივ ამოცანას გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამზე.
ვასია, მე-5 კლასის მოსწავლე, გრიპით დაავადდა, მაგრამ აგრძელებს სკოლაში სიარული. ყოველდღე ვასია აინფიცირებს ორ ადამიანს, რომლებიც, თავის მხრივ, კიდევ ორ ადამიანს აინფიცირებენ და ა.შ. კლასში მხოლოდ ერთი ადამიანი. რამდენ დღეში დაავადდება მთელი კლასი გრიპით?

ასე რომ, გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი არის ვასია, ანუ ადამიანი. გეომეტრიული პროგრესიის წევრი, ეს არის ის ორი ადამიანი, რომლებიც მან დაინფიცირდა ჩამოსვლის პირველ დღეს. პროგრესის წევრთა ჯამი უდრის მოსწავლეთა რაოდენობას 5A. შესაბამისად, ჩვენ ვსაუბრობთ პროგრესზე, რომელშიც:

მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულაში:

მთელი კლასი რამდენიმე დღეში დაავადდება. არ გჯერათ ფორმულების და რიცხვების? შეეცადეთ თავად წარმოაჩინოთ სტუდენტების „ინფექცია“. მოხდა? ნახეთ, როგორ გამოიყურება ჩემთვის:

თავად გამოთვალეთ რამდენი დღის განმავლობაში დაავადდებოდნენ მოსწავლეები გრიპით, თუ ყველა ადამიანს დააინფიცირებდა და კლასში იყო ადამიანი.

რა ღირებულება მიიღეთ? აღმოჩნდა, რომ ყველამ ავად გახდა ერთი დღის შემდეგ.

როგორც ხედავთ, ასეთი დავალება და მისთვის ნახატი წააგავს პირამიდას, რომელშიც ყოველი მომდევნო „მოჰყავს“ ახალ ადამიანებს. თუმცა, ადრე თუ გვიან დგება მომენტი, როცა ეს უკანასკნელი ვერავის იზიდავს. ჩვენს შემთხვევაში, თუ წარმოვიდგენთ, რომ კლასი იზოლირებულია, ადამიანი ხურავს ჯაჭვს (). ამრიგად, თუ ადამიანი ჩართული იყო ფინანსურ პირამიდაში, რომელშიც ფული გაცემული იყო, თუ თქვენ მოიყვანდით სხვა ორ მონაწილეს, მაშინ ადამიანი (ან ზოგადად) არავის არ მოიყვანდა, შესაბამისად, დაკარგავს ყველაფერს, რაც ჩადო ამ ფინანსურ თაღლითობაში. .

ყველაფერი, რაც ზემოთ ითქვა, ეხება კლებად ან მზარდ გეომეტრიულ პროგრესიას, მაგრამ, როგორც გახსოვთ, ჩვენ გვაქვს განსაკუთრებული სახეობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. როგორ გამოვთვალოთ მისი წევრების ჯამი? და რატომ აქვს ამ ტიპის პროგრესირებას გარკვეული მახასიათებლები? ერთად გავარკვიოთ.

ასე რომ, დამწყებთათვის, მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ამ სურათს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ ჩვენი მაგალითიდან:

ახლა კი მოდით შევხედოთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულას, რომელიც მიღებულია ცოტა ადრე:
ან

რისკენ ვისწრაფვით? მართალია, გრაფიკი აჩვენებს, რომ ის ნულისკენ არის მიდრეკილი. ანუ როდის იქნება თითქმის თანაბარი, შესაბამისად გამოთვლების გამოთვლას მივიღებთ თითქმის. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ გვჯერა, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის გამოთვლისას, ეს ფრჩხილი შეიძლება უგულებელვყოთ, რადგან ის ტოლი იქნება.

- ფორმულა არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა ცალსახად ამბობს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჯამი. გაუთავებელიწევრთა რაოდენობა.

თუ მითითებულია კონკრეტული რიცხვი n, მაშინ ვიყენებთ ფორმულას n ტერმინების ჯამისთვის, თუნდაც ან.

ახლა კი ვივარჯიშოთ.

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამი და.
2. იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი და.

იმედია ძალიან ფრთხილად იყავი. შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

ახლა თქვენ იცით ყველაფერი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ და დროა გადავიდეთ თეორიიდან პრაქტიკაში. გამოცდაზე ნაპოვნი ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური პრობლემები არის რთული პროცენტის პრობლემები. სწორედ მათზე ვისაუბრებთ.

რთული პროცენტის გამოანგარიშების პრობლემები.

თქვენ ალბათ გსმენიათ ეგრეთ წოდებული რთული პროცენტის ფორმულის შესახებ. გესმით, რას გულისხმობს იგი? თუ არა, მოდით გავარკვიოთ, რადგან თავად პროცესის გაცნობიერების შემდეგ, თქვენ მაშინვე მიხვდებით, თუ რა შუაშია გეომეტრიული პროგრესია მასთან.

ჩვენ ყველა მივდივართ ბანკში და ვიცით, რომ დეპოზიტებისთვის განსხვავებული პირობებია: ეს არის ვადა, დამატებითი მოვლა და პროცენტი მისი გამოთვლის ორი განსხვავებული გზით - მარტივი და რთული.

FROM მარტივი ინტერესიყველაფერი მეტ-ნაკლებად გასაგებია: ანაბრის ვადის ბოლოს პროცენტი ირიცხება ერთხელ. ანუ, თუ ვსაუბრობთ წელიწადში 100 რუბლის დადებაზე, მაშინ ისინი მხოლოდ წლის ბოლოს ჩაირიცხება. შესაბამისად, ანაბრის ბოლოს, ჩვენ მივიღებთ რუბლებს.

Საერთო ინტერესიარის ვარიანტი, რომელშიც პროცენტის კაპიტალიზაცია, ე.ი. მათი დამატება ანაბრის ოდენობაზე და შემდგომში შემოსავლის გამოთვლა არა დეპოზიტის საწყისი, არამედ დაგროვილი თანხიდან. კაპიტალიზაცია არ ხდება მუდმივად, მაგრამ გარკვეული პერიოდულობით. როგორც წესი, ასეთი პერიოდები თანაბარია და ყველაზე ხშირად ბანკები იყენებენ თვეს, მეოთხედს ან წელიწადში.

ვთქვათ, რომ ჩვენ ვდებთ ყველა ერთსა და იმავე რუბლს წელიწადში, მაგრამ დეპოზიტის ყოველთვიური კაპიტალიზაციით. რას ვიღებთ?

გესმის აქ ყველაფერი? თუ არა, მოდით მივიღოთ ეს ეტაპობრივად.

ბანკში რუბლი მივიტანეთ. თვის ბოლომდე, ჩვენს ანგარიშზე უნდა გვქონდეს თანხა, რომელიც შედგება ჩვენი რუბლისგან პლუს მათზე პროცენტი, ანუ:

Ვეთანხმები?

შეგვიძლია ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან და შემდეგ მივიღოთ:

დამეთანხმებით, ეს ფორმულა უკვე უფრო ჰგავს იმას, რაც დასაწყისში დავწერეთ. რჩება პროცენტებთან გამკლავება

პრობლემის პირობებში გვეუბნებიან წლიური. მოგეხსენებათ, ჩვენ არ ვამრავლებთ - პროცენტებს ვაქცევთ ათწილადებად, ანუ:

მართალია? ახლა თქვენ იკითხავთ, საიდან გაჩნდა ნომერი? Ძალიან მარტივი!
ვიმეორებ: პრობლემის მდგომარეობა ამბობს წლიურიდარიცხული პროცენტი ყოველთვიური. მოგეხსენებათ, თვეში, შესაბამისად, ბანკი დაგვირიცხავს ყოველთვიურად წლიური პროცენტის ნაწილს:

მიხვდა? ახლა შეეცადეთ დაწეროთ, როგორი იქნება ფორმულის ეს ნაწილი, თუ ვამბობ, რომ პროცენტი გამოითვლება ყოველდღიურად.
მოახერხე? მოდით შევადაროთ შედეგები:

კარგად გააკეთე! დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: ჩაწერეთ, რა თანხა დაირიცხება ჩვენს ანგარიშზე მეორე თვის განმავლობაში, იმის გათვალისწინებით, რომ პროცენტი ირიცხება დაგროვილი ანაბრის თანხაზე.
აი რა დამემართა:

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

მე ვფიქრობ, რომ თქვენ უკვე შენიშნეთ ნიმუში და გეომეტრიული პროგრესია დაინახეთ ამ ყველაფერში. დაწერეთ რისი ტოლი იქნება მისი წევრი ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენ ფულს მივიღებთ თვის ბოლოს.
გააკეთა? შემოწმება!

როგორც ხედავთ, თუ ბანკში ერთი წლის განმავლობაში ჩადებთ ფულს უბრალო პროცენტით, მაშინ მიიღებთ რუბლებს, ხოლო თუ მას განათავსებთ ნაერთით, თქვენ მიიღებთ რუბლებს. სარგებელი მცირეა, მაგრამ ეს ხდება მხოლოდ წლის განმავლობაში, მაგრამ მეტი ხანგრძლივი პერიოდიკაპიტალიზაცია ბევრად უფრო მომგებიანია:

განვიხილოთ სხვა ტიპის რთული პროცენტის პრობლემები. მას შემდეგ რაც გაარკვიე, ეს შენთვის ელემენტარული იქნება. ასე რომ, ამოცანაა:

ზვეზდამ ინდუსტრიაში ინვესტიციები 2000 წელს დაიწყო დოლარის კაპიტალით. 2001 წლიდან მოყოლებული ყოველწლიურად იღებს მოგებას, რომელიც უტოლდება წინა წლის კაპიტალს. რა მოგებას მიიღებს კომპანია ზვეზდა 2003 წლის ბოლოს, თუ მოგება არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან?

ზვეზდას კომპანიის კაპიტალი 2000 წ.
- ზვეზდას კაპიტალი 2001 წელს.
- ზვეზდას კაპიტალი 2002 წელს.
- ზვეზდას კაპიტალი 2003 წელს.

ან შეგვიძლია მოკლედ დავწეროთ:

ჩვენი შემთხვევისთვის:

2000, 2001, 2002 და 2003 წწ.

შესაბამისად:
რუბლი
გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემაში არ გვაქვს გაყოფა არც მიერ და არც მიერ, რადგან პროცენტი მოცემულია ყოველწლიურად და ის გამოითვლება ყოველწლიურად. ანუ რთული პროცენტის ამოცანის წაკითხვისას მიაქციეთ ყურადღება, რა პროცენტია მოცემული და რა პერიოდშია დარიცხული და მხოლოდ ამის შემდეგ გადადით გამოთვლებზე.
ახლა თქვენ იცით ყველაფერი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ.

Ვარჯიში.

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია, რომ და
2. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამი, თუ ცნობილია, რომ და
3. MDM Capital-მა ინდუსტრიაში ინვესტიცია 2003 წელს დაიწყო დოლარის კაპიტალით. 2004 წლიდან მოყოლებული ყოველწლიურად იღებს მოგებას, რომელიც უტოლდება წინა წლის კაპიტალს. კომპანია „MSK Cash Flows“-მა ინდუსტრიაში ინვესტირება დაიწყო 2005 წელს $10000 ოდენობით, დაიწყო მოგების მიღება 2006 წელს ოდენობით. რამდენი დოლარით აღემატება ერთი კომპანიის კაპიტალი მეორის კაპიტალს 2007 წლის ბოლოს, თუ მოგება არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან?

პასუხები:

1. ვინაიდან პრობლემის პირობა არ ამბობს, რომ პროგრესია უსასრულოა და საჭიროა მისი წევრების კონკრეტული რაოდენობის ჯამის პოვნა, გამოთვლა ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:
2. 
   კომპანია "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 წწ.
   - იზრდება 100%-ით, ანუ 2-ჯერ.
   შესაბამისად:
   რუბლი
   MSK ფულადი ნაკადები:

   2005, 2006, 2007 წწ.
   - იზრდება, ანუ ჯერ.
   შესაბამისად:
   რუბლი
   რუბლი

შევაჯამოთ.

1) გეომეტრიული პროგრესია ( ) არის რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ რიცხვს გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

2) გეომეტრიული პროგრესიის წევრების განტოლება -.

3) შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, გარდა და.

• თუ, მაშინ პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითი;
• თუ, მაშინ პროგრესის ყველა მომდევნო წევრი ალტერნატიული ნიშნები;
• როდესაც - პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი.

4) , at - გეომეტრიული პროგრესიის თვისება (მეზობელი ტერმინები)

ან
, ზე (თანაბარი მანძილით)

როდესაც იპოვით, არ დაგავიწყდეთ ორი პასუხი უნდა იყოს..

Მაგალითად,

5) გეომეტრიული პროგრესიის წევრების ჯამი გამოითვლება ფორმულით:
ან

თუ პროგრესი უსასრულოდ მცირდება, მაშინ:
ან

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ჩვენ ვიყენებთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა ცალსახად ამბობს, რომ აუცილებელია უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამის პოვნა.

6) რთული პროცენტის ამოცანები ასევე გამოითვლება გეომეტრიული პროგრესიის მე-1 წევრის ფორმულის მიხედვით, იმ პირობით, რომ სახსრები არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან:

გეომეტრიული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

გეომეტრიული პროგრესია( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ ნომერს ეძახიან გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, გარდა და.

• თუ, მაშინ პროგრესირების ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითია;
• თუ, მაშინ პროგრესირების ყველა მომდევნო წევრი ალტერნატიული ნიშნებით;
• როდესაც - პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი.

გეომეტრიული პროგრესიის წევრების განტოლება - .

გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამიგამოითვლება ფორმულით:
ან

ფიზიკისა და მათემატიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნა შესაძლებელია რიცხვითი რიგის თვისებების გამოყენებით. ორი უმარტივესი რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელიც ისწავლება სკოლებში არის ალგებრული და გეომეტრიული. ამ სტატიაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ გეომეტრიული კლების უსასრულო პროგრესიის ჯამი.

გეომეტრიული პროგრესია

ეს სიტყვები ნიშნავს ნამდვილ რიცხვთა ისეთ სერიას, რომლის ელემენტები a i აკმაყოფილებს გამოთქმას:

აქ i არის რიგის ელემენტის რიცხვი, r არის მუდმივი რიცხვი, რომელსაც მნიშვნელი ეწოდება.

ეს განსაზღვრება გვიჩვენებს, რომ პროგრესიის ნებისმიერი ტერმინის და მისი მნიშვნელის ცოდნით, შესაძლებელია რიცხვების მთელი სერიის აღდგენა. მაგალითად, თუ მე-10 ელემენტი ცნობილია, მაშინ მისი გაყოფა r-ზე მივიღებთ მე-9 ელემენტს, შემდეგ ისევ გავყოფთ, ვიღებთ მე-8-ს და ა.შ. ეს მარტივი არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ გამონათქვამი, რომელიც მოქმედებს განხილული რიცხვების სერიისთვის:

პროგრესიის მაგალითი 2-ის მნიშვნელით იქნება:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

თუ მნიშვნელი არის -2, მაშინ მიიღება სრულიად განსხვავებული სერია:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

გეომეტრიული პროგრესია ბევრად უფრო სწრაფია ვიდრე ალგებრული, ანუ მისი ტერმინები სწრაფად იზრდება და სწრაფად მცირდება.

პროგრესიის i წევრების ჯამი

პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად ხშირად საჭიროა გათვალისწინებული რიცხვითი მიმდევრობის რამდენიმე ელემენტის ჯამის გამოთვლა. ამ შემთხვევაში მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

ჩანს, რომ i ტერმინების ჯამის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ორი რიცხვი: a 1 და r, რაც ლოგიკურია, რადგან ისინი ცალსახად განსაზღვრავენ მთელ თანმიმდევრობას.

კლებადი მიმდევრობა და მისი წევრთა ჯამი

ახლა განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ r მნიშვნელის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება ერთს, ანუ -1

კლებადი გეომეტრიული პროგრესია საინტერესოა გასათვალისწინებელი, რადგან მისი წევრთა უსასრულო ჯამი მიდრეკილია სასრული რეალური რიცხვისკენ.

მივიღოთ ჯამის ფორმულა ამის გაკეთება ადვილია, თუ წინა აბზაცში მოცემულ S i-ს გამონათქვამს ამოვიწერთ. Ჩვენ გვაქვს:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც i->∞. ვინაიდან მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია, მაშინ მისი უსასრულო სიმძლავრემდე აწევა მისცემს ნულს. ამის დადასტურება შესაძლებელია r=0.5 მაგალითის გამოყენებით:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

შედეგად, კლების უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი მიიღებს ფორმას:

ეს ფორმულა ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში, მაგალითად, ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად. იგი ასევე გამოიყენება ზენო ელეას პარადოქსის გადასაჭრელად კუსთან და აქილევსთან.

ცხადია, გეომეტრიული ზრდის უსასრულო პროგრესიის ჯამის გათვალისწინებით (r>1), მივყავართ შედეგს S ∞ = +∞.

პროგრესის პირველი ტერმინის პოვნის პრობლემა

ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა იქნას გამოყენებული ზემოთ მოცემული ფორმულები პრობლემის გადაჭრის მაგალითის გამოყენებით. ცნობილია, რომ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 11. უფრო მეტიც, მისი მე-7 წევრი 6-ჯერ ნაკლებია მესამე წევრზე. რა არის პირველი ელემენტი ამ რიცხვების სერიისთვის?

ჯერ დავწეროთ ორი გამონათქვამი მე-7 და მე-3 ელემენტების დასადგენად. ჩვენ ვიღებთ:

პირველი გამოხატვის მეორეზე გაყოფით და მნიშვნელის გამოსახატავად გვაქვს:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

ვინაიდან მეშვიდე და მესამე წევრის თანაფარდობა მოცემულია ამოცანის პირობაში, შეგვიძლია შევცვალოთ იგი და ვიპოვოთ r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

ჩვენ გამოვთვალეთ r ათწილადის შემდეგ ხუთი მნიშვნელოვანი ციფრის სიზუსტით. ვინაიდან მიღებული მნიშვნელობა ერთზე ნაკლებია, ეს ნიშნავს, რომ პროგრესია მცირდება, რაც ამართლებს ფორმულის გამოყენებას მისი უსასრულო ჯამისთვის. ჩვენ ვწერთ გამონათქვამს პირველი წევრისთვის S ∞ ჯამის მიხედვით:

ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს ამ ფორმულაში და ვიღებთ პასუხს:

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

ზენონის ცნობილი პარადოქსი სწრაფ აქილევსთან და ნელი კუსთან

ზენო ელეელი ცნობილი ბერძენი ფილოსოფოსია, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V საუკუნეში. ე. მისმა რიგმა აპოგეებმა თუ პარადოქსებმა მიაღწია დღემდე, რომელშიც ჩამოყალიბებულია მათემატიკაში უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირეს პრობლემა.

ზენონის ერთ-ერთი ცნობილი პარადოქსია აქილევსის და კუს შეჯიბრი. ზენონს სჯეროდა, რომ თუ აქილევსი კუს გარკვეულ უპირატესობას მისცემდა დისტანციაში, ის ვერასოდეს გაუსწრებდა მას. მაგალითად, აქილევსმა 10-ჯერ უფრო სწრაფად ირბინოს, ვიდრე მცოცავი ცხოველი, რომელიც, მაგალითად, 100 მეტრით უსწრებს მას. როცა მეომარი 100 მეტრს გარბის, კუ 10 მეტრით უკან იხევს. ისევ 10 მეტრის გაშვებით, აქილევსი დაინახავს, ​​რომ კუს კიდევ 1 მეტრს დაეძრა. შეიძლება ასე უსასრულოდ კამათი, კონკურენტებს შორის მანძილი ნამდვილად შემცირდება, მაგრამ კუ ყოველთვის წინ იქნება.

მან მიიყვანა ზენონი იმ დასკვნამდე, რომ მოძრაობა არ არსებობს და ობიექტების მთელი მოძრაობა ილუზიაა. რა თქმა უნდა, ძველი ბერძენი ფილოსოფოსი ცდებოდა.

პარადოქსის გამოსავალი მდგომარეობს იმაში, რომ მუდმივად კლებადი სეგმენტების უსასრულო ჯამი სასრულ რიცხვისკენ მიისწრაფვის. ზემოაღნიშნულ შემთხვევაში აქილევსის მიერ გავლილი მანძილისთვის ვიღებთ:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

S ∞ \u003d 100 / (1-0,1) ≈ 111,111 მეტრი

ეს შედეგი აჩვენებს, რომ აქილევსი გაუსწრებს კუს, როდესაც ის მხოლოდ 11,111 მეტრზე დაცოცავს.

ძველმა ბერძნებმა არ იცოდნენ უსასრულო რაოდენობით მუშაობა მათემატიკაში. თუმცა, ეს პარადოქსი შეიძლება გადაიჭრას, თუ ყურადღებას მივაქცევთ არა უსასრულო რაოდენობის ხარვეზებს, რომლებიც აქილევსმა უნდა გადალახოს, არამედ ნაბიჯების სასრულ რაოდენობას, რომელსაც მორბენალი სჭირდება მიზნის მისაღწევად.

მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს.

საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი

გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში შესასვლელ ტესტებში ასევე ხშირია დავალებები, რომლებიც დაკავშირებულია გეომეტრიული პროგრესიის კონცეფციასთან. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები.

ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, ნასესხები მათემატიკაში შესასვლელი ტესტების ამოცანებიდან.

მოდით წინასწარ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება.ციფრულ მიმდევრობას გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება, თუ მისი ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიისთვისფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) არის გეომეტრიული პროგრესიის მთავარი თვისება: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი წევრების გეომეტრიულ საშუალოს და .

Შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განსახილველ პროგრესიას ეწოდება „გეომეტრიული“.

ზემოთ (1) და (2) ფორმულები შეჯამებულია შემდეგნაირად:

, (3)

ჯამის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიფორმულა გამოიყენება

თუ დავნიშნავთ

სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება.

იმ შემთხვევაში, როცა და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. ჯამის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ფორმულა გამოიყენება

. (7)

Მაგალითად , ფორმულის გამოყენებით (7), შეიძლება აჩვენოთ, რა

სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა).

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება. თუ, მაშინ,

თეორემა დადასტურდა.

გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე „გეომეტრიული პროგრესია“.

მაგალითი 1მოცემული: , და . იპოვე .

გამოსავალი.თუ ფორმულა (5) გამოიყენება, მაშინ

პასუხი:.

მაგალითი 2დაე და. იპოვე .

გამოსავალი.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს . განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.

2. თუ , მაშინ .

მაგალითი 3დაე , და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულიდან (2) გამომდინარეობს, რომ ან. მას შემდეგ ან .

პირობით. თუმცა , ამიტომ . რადგან და, მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან .

ვინაიდან განტოლებას აქვს ერთი შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, სისტემის პირველი განტოლება გულისხმობს.

ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 4მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.Მას შემდეგ .

იმიტომ რომ, მაშინ ან

ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან .

თუმცა, პირობით, ამიტომ.

მაგალითი 5ცნობილია რომ . იპოვე .

გამოსავალი. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა

მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ.

პასუხი:.

მაგალითი 6მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ

Მას შემდეგ . მას შემდეგ, რაც და, მაშინ.

მაგალითი 7დაე და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (1) შეგვიძლია დავწეროთ

ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და , ამიტომ და .

პასუხი:.

მაგალითი 8იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ

და .

გამოსავალი. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია, და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, მაშინ მივიღებთ

ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია.

გამოსავალი.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან .

აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის ფესვებიადა .

შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ; თუ , მაშინ და .

პირველ შემთხვევაში გვაქვსდა , და მეორეში - და .

პასუხი: ,.

მაგალითი 10განტოლების ამოხსნა

, (11)

სად და.

გამოსავალი. განტოლების (11) მარცხენა მხარე არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , იმ პირობით: და .

ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, რა . ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმასან . შესაფერისი ფესვი კვადრატული განტოლება არის

პასუხი:.

მაგალითი 11.პ დადებითი რიცხვების თანმიმდევრობააყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას, ა - გეომეტრიული პროგრესია, რა შუაშია . იპოვე .

გამოსავალი.იმიტომ რომ არითმეტიკული თანმიმდევრობა, მაშინ (არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება). Იმიტომ რომ, მაშინ ან . ეს გულისხმობს, რომ გეომეტრიული პროგრესია არის. ფორმულის მიხედვით (2), მაშინ ჩვენ ვწერთ ამას.

მას შემდეგ და მერე . იმ შემთხვევაში გამოთქმაიღებს ფორმას ან. პირობით, ასე რომ განტოლებიდანჩვენ ვიღებთ განსახილველი პრობლემის უნიკალურ გადაწყვეტას, ე.ი. .

პასუხი:.

მაგალითი 12.ჯამის გამოთვლა

. (12)

გამოსავალი. გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთ

თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას, მაშინ

ან .

გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ. Მას შემდეგ .

პასუხი:.

აქ მოცემული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები გამოსადეგი იქნება აპლიკანტებისთვის მისაღები გამოცდებისთვის მომზადებისას. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, ასოცირდება გეომეტრიულ პროგრესირებასთან, შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. - 208გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გეომეტრიული პროგრესია, არითმეტიკასთან ერთად, არის მნიშვნელოვანი რიცხვითი სერია, რომელიც შეისწავლება სკოლის ალგებრის კურსში მე-9 კლასში. ამ სტატიაში განვიხილავთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელს და როგორ მოქმედებს მისი მნიშვნელობა მის თვისებებზე.

გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვაძლევთ ამ რიცხვების სერიის განმარტებას. გეომეტრიული პროგრესია არის რაციონალური რიცხვების სერია, რომელიც წარმოიქმნება მისი პირველი ელემენტის თანმიმდევრულად გამრავლებით მუდმივ რიცხვზე, რომელსაც მნიშვნელი ეწოდება.

მაგალითად, სერიების რიცხვები 3, 6, 12, 24, ... არის გეომეტრიული პროგრესია, რადგან თუ 3 (პირველი ელემენტი) გავამრავლებთ 2-ზე, მივიღებთ 6-ს. თუ გავამრავლებთ 6-ს 2-ზე, მივიღებთ 12 და ასე შემდეგ.

განხილული მიმდევრობის წევრები ჩვეულებრივ აღინიშნება ai სიმბოლოთი, სადაც i არის მთელი რიცხვი, რომელიც მიუთითებს სერიების ელემენტის რაოდენობაზე.

პროგრესიის ზემოაღნიშნული განმარტება შეიძლება დაიწეროს მათემატიკის ენაზე შემდეგნაირად: an = bn-1 * a1, სადაც b არის მნიშვნელი. ამ ფორმულის შემოწმება მარტივია: თუ n = 1, მაშინ b1-1 = 1 და მივიღებთ a1 = a1. თუ n = 2, მაშინ an = b * a1 და კვლავ მივდივართ განსახილველ რიცხვთა სერიის განსაზღვრებამდე. მსგავსი მსჯელობა შეიძლება გაგრძელდეს n-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი

რიცხვი b მთლიანად განსაზღვრავს რა სიმბოლოს ექნება მთელი რიცხვების სერია. b მნიშვნელი შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ერთზე მეტი ან ნაკლები. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ვარიანტი იწვევს სხვადასხვა თანმიმდევრობას:

• b > 1. არის რაციონალური რიცხვების მზარდი სერია. მაგალითად, 1, 2, 4, 8, ... თუ ელემენტი a1 უარყოფითია, მაშინ მთელი თანმიმდევრობა გაიზრდება მხოლოდ მოდულით, მაგრამ შემცირდება რიცხვების ნიშნის გათვალისწინებით.
• b = 1. ხშირად ასეთ შემთხვევას არ უწოდებენ პროგრესიას, ვინაიდან არსებობს იდენტური რაციონალური რიცხვების ჩვეულებრივი სერია. მაგალითად, -4, -4, -4.

ჯამის ფორმულა

სანამ კონკრეტული ამოცანების განხილვას განვიხილავთ განსახილველი პროგრესიის ტიპის მნიშვნელის გამოყენებით, უნდა მივცეთ მნიშვნელოვანი ფორმულა მისი პირველი n ელემენტის ჯამისთვის. ფორმულა არის: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ეს გამოხატულება, თუ განიხილავთ პროგრესიის წევრების რეკურსიულ თანმიმდევრობას. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ მოცემულ ფორმულაში საკმარისია ვიცოდეთ მხოლოდ პირველი ელემენტი და მნიშვნელი, რათა ვიპოვოთ პირობათა თვითნებური რაოდენობის ჯამი.

უსასრულოდ კლებადი თანმიმდევრობა

ზემოთ იყო განმარტება, თუ რა არის ეს. ახლა, ვიცით Sn-ის ფორმულა, მოდით გამოვიყენოთ იგი ამ რიცხვების სერიაზე. ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვი, რომლის მოდულიც არ აღემატება 1-ს, მიდრეკილია ნულისკენ, როდესაც ამაღლებულია დიდ ხარისხებამდე, ანუ b∞ => 0 თუ -1

ვინაიდან სხვაობა (1 - b) ყოველთვის დადებითი იქნება, მნიშვნელის მნიშვნელობის მიუხედავად, უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის S∞ ჯამის ნიშანი ცალსახად განისაზღვრება მისი პირველი ელემენტის a1 ნიშნით.

ახლა განვიხილავთ რამდენიმე პრობლემას, სადაც ვაჩვენებთ, როგორ გამოვიყენოთ მიღებული ცოდნა კონკრეტულ რიცხვებზე.

დავალება ნომერი 1. პროგრესიის უცნობი ელემენტების გამოთვლა და ჯამი

გეომეტრიული პროგრესიის გათვალისწინებით, პროგრესიის მნიშვნელი არის 2, ხოლო მისი პირველი ელემენტი არის 3. როგორი იქნება მისი მე-7 და მე-10 წევრი და რა არის მისი შვიდი საწყისი ელემენტის ჯამი?

პრობლემის მდგომარეობა საკმაოდ მარტივია და გულისხმობს ზემოაღნიშნული ფორმულების უშუალო გამოყენებას. ასე რომ, n რიცხვით ელემენტის გამოსათვლელად ვიყენებთ გამოხატულებას an = bn-1 * a1. მე-7 ელემენტისთვის გვაქვს: a7 = b6 * a1 ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლებით ვიღებთ: a7 = 26 * 3 = 192. იგივეს ვაკეთებთ მე-10 წევრზე: a10 = 29 * 3 = 1536.

ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ცნობილ ფორმულას და ამ მნიშვნელობას ვადგენთ სერიის პირველი 7 ელემენტისთვის. გვაქვს: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

დავალება ნომერი 2. პროგრესიის თვითნებური ელემენტების ჯამის განსაზღვრა

მოდით -2 იყოს bn-1 * 4 ექსპონენციალური პროგრესიის მნიშვნელი, სადაც n არის მთელი რიცხვი. აუცილებელია ამ სერიის მე-5-დან მე-10 ელემენტის ჩათვლით ჯამის დადგენა.

დასმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია უშუალოდ ცნობილი ფორმულების გამოყენებით. მისი გადაჭრა შესაძლებელია 2 სხვადასხვა გზით. სისრულისთვის წარმოგიდგენთ ორივეს.

მეთოდი 1. მისი იდეა მარტივია: თქვენ უნდა გამოთვალოთ პირველი წევრის ორი შესაბამისი ჯამი და შემდეგ გამოაკლოთ მეორე ერთს. გამოთვალეთ უფრო მცირე ჯამი: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ დიდ ჯამს: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო გამონათქვამში მხოლოდ 4 ტერმინი იყო შეჯამებული, რადგან მე-5 უკვე შედის იმ ჯამში, რომელიც უნდა გამოითვალოს პრობლემის პირობის მიხედვით. და ბოლოს, ჩვენ ვიღებთ განსხვავებას: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

მეთოდი 2. რიცხვების ჩანაცვლებამდე და დათვლამდე შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა ამ სერიის m და n ტერმინებს შორის ჯამისთვის. ჩვენ ვმოქმედებთ ზუსტად ისევე, როგორც მეთოდი 1, მხოლოდ ჩვენ ვმუშაობთ პირველ რიგში ჯამის სიმბოლური წარმოდგენით. გვაქვს: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ცნობილი რიცხვები მიღებულ გამოსახულებაში და გამოთვალოთ საბოლოო შედეგი: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

დავალება ნომერი 3. რა არის მნიშვნელი?

მოდით a1 = 2, ვიპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი, იმ პირობით, რომ მისი უსასრულო ჯამი იყოს 3 და ცნობილია, რომ ეს არის რიცხვების კლებადი სერია.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომელი ფორმულით უნდა გადაჭრას იგი. რა თქმა უნდა, უსასრულოდ კლებადი პროგრესიის ჯამისთვის. გვაქვს: S∞ = a1 / (1 - b). საიდანაც გამოვხატავთ მნიშვნელს: b = 1 - a1 / S∞. რჩება ცნობილი მნიშვნელობების ჩანაცვლება და საჭირო რაოდენობის მიღება: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ან -0.333 (3). ეს შედეგი თვისობრივად შეგვიძლია შევამოწმოთ, თუ გვახსოვს, რომ ამ ტიპის მიმდევრობისთვის b მოდული არ უნდა სცდებოდეს 1-ს. როგორც ხედავთ, |-1 / 3|

დავალება ნომერი 4. რიცხვების სერიის აღდგენა

მოყვანილი იყოს რიცხვითი სერიის 2 ელემენტი, მაგალითად, მე-5 უდრის 30-ს, ხოლო მე-10 უდრის 60-ს. აუცილებელია მთელი რიგის აღდგენა ამ მონაცემებიდან, იმის ცოდნა, რომ იგი აკმაყოფილებს გეომეტრიული პროგრესიის თვისებებს.

პრობლემის გადასაჭრელად, ჯერ უნდა ჩაწეროთ თითოეული ცნობილი წევრის შესაბამისი გამოხატულება. გვაქვს: a5 = b4 * a1 და a10 = b9 * a1. ახლა ჩვენ ვყოფთ მეორე გამონათქვამს პირველზე, მივიღებთ: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელს ამოცანის მდგომარეობიდან ცნობილი წევრების თანაფარდობის მეხუთე ხარისხის ფესვის აღებით, b = 1.148698. ჩვენ ვცვლით მიღებულ რიცხვს ერთ-ერთ გამონათქვამში ცნობილი ელემენტისთვის, ვიღებთ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ რა არის bn პროგრესიის მნიშვნელი და გეომეტრიული პროგრესია bn-1 * 17.2304966 = an, სადაც b = 1.148698.

სად გამოიყენება გეომეტრიული პროგრესიები?

ამ რიცხვითი სერიის პრაქტიკაში გამოყენება რომ არ ყოფილიყო, მაშინ მისი შესწავლა წმინდა თეორიულ ინტერესამდე დაიყვანებოდა. მაგრამ არის ასეთი განაცხადი.

3 ყველაზე ცნობილი მაგალითი ჩამოთვლილია ქვემოთ:

• ზენოს პარადოქსი, რომელშიც მოქნილი აქილევსი ვერ დაეწია ნელი კუს, ამოხსნილია რიცხვების უსასრულოდ კლებადი მიმდევრობის კონცეფციის გამოყენებით.
• თუ ჭადრაკის დაფის თითოეულ უჯრაზე ხორბლის მარცვალი ისეა მოთავსებული, რომ პირველ უჯრაზე 1 მარცვალია, მე-2 2, მე-3 და ასე შემდეგ, მაშინ 18446744073709551615 მარცვალი დაგჭირდებათ ყველა უჯრედის შესავსებად. დაფა!
• თამაშში "ჰანოის კოშკი", დისკების ერთი ღეროდან მეორეზე გადასაწყობად, აუცილებელია 2n - 1 ოპერაციების შესრულება, ანუ მათი რიცხვი ექსპონენტურად იზრდება გამოყენებული n დისკების რაოდენობის მიხედვით.

დაკავშირებული გაკვეთილი „უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია“ (ალგებრა, კლასი 10)

გაკვეთილის მიზანი:მოსწავლეებს ახალი სახის მიმდევრობის გაცნობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

აღჭურვილობა:პროექტორი, ეკრანი.

გაკვეთილის ტიპი:გაკვეთილი - ახალი თემის ათვისება.

გაკვეთილების დროს

მე . ორგ. მომენტი. შეტყობინება გაკვეთილის თემისა და მიზნის შესახებ.

II . მოსწავლეთა ცოდნის განახლება.

მე-9 კლასში შეისწავლეთ არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები.

კითხვები

1. არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება. (არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს, რომელიც დაემატა იმავე რიცხვს.)

2. ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრი (
)

3. პირველის ჯამის ფორმულა ნარითმეტიკული პროგრესიის წევრები.

(
ან
)

4. გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება. (გეომეტრიული პროგრესია არის არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე.)

5. ფორმულა ნ- გეომეტრიული პროგრესიის მე-1 წევრი (

)

6. პირველის ჯამის ფორმულა ნგეომეტრიული პროგრესიის წევრები. (
)

7. რა ფორმულები იცით ჯერ კიდევ?

(
, სად
;
;
;
,
)

5. გეომეტრიული პროგრესიისთვის
იპოვეთ მეხუთე ტერმინი.

6. გეომეტრიული პროგრესიისთვის
იპოვე ნ-ე წევრი.

7. ექსპონენტურად ბ 3 = 8 და ბ 5 = 2 . იპოვე ბ 4 . (4)

8. ექსპონენტურად ბ 3 = 8 და ბ 5 = 2 . იპოვე ბ 1 და ქ .

9. ექსპონენტურად ბ 3 = 8 და ბ 5 = 2 . იპოვე ს 5 . (62)

III . ახალი თემის შესწავლა(სადემონსტრაციო პრეზენტაცია).

განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 1. დავხატოთ კიდევ ერთი კვადრატი, რომლის გვერდი არის პირველი კვადრატის ნახევარი, შემდეგ მეორე, რომლის გვერდი არის მეორეს ნახევარი, შემდეგ შემდეგი და ა.შ. ყოველ ჯერზე, როდესაც ახალი კვადრატის გვერდი წინას ნახევარია.

შედეგად მივიღეთ კვადრატების გვერდების თანმიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიის ფორმირება მნიშვნელით.

და, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია, რაც მეტს ავაშენებთ ასეთ კვადრატებს, მით უფრო პატარა იქნება კვადრატის მხარე. Მაგალითად,

იმათ. როგორც n რიცხვი იზრდება, პროგრესის მიდგომის პირობები ნულის ტოლია.

ამ ფიგურის დახმარებით კიდევ ერთი თანმიმდევრობის განხილვა შეიძლება.

მაგალითად, კვადრატების ფართობების თანმიმდევრობა:

. და კიდევ, თუ ნიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, მაშინ ფართობი უახლოვდება ნულს თვითნებურად ახლოს.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით 1 სმ. ავაშენოთ შემდეგი სამკუთხედი წვეროებით 1-ლი სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებში, სამკუთხედის შუა ხაზის თეორემის მიხედვით - მე-2-ის გვერდი უდრის პირველის გვერდის ნახევარს, მე-3-ის გვერდი არის გვერდის ნახევარი. მე-2 და ა.შ. ისევ ვიღებთ სამკუთხედების გვერდების სიგრძის თანმიმდევრობას.

ზე
.

თუ განვიხილავთ გეომეტრიულ პროგრესიას უარყოფითი მნიშვნელით.

შემდეგ, ისევ, მზარდი რიცხვებით ნპროგრესის მიდგომის პირობები ნულოვანია.

მივაქციოთ ყურადღება ამ მიმდევრობების მნიშვნელებს. ყველგან მნიშვნელები 1 მოდულოზე ნაკლები იყო.

შეგვიძლია დავასკვნათ: გეომეტრიული პროგრესია იქნება უსასრულოდ კლებადი, თუ მისი მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია.

განმარტება:

გეომეტრიულ პროგრესიას ამბობენ, რომ უსასრულოდ მცირდება, თუ მისი მნიშვნელის მოდული ერთზე ნაკლებია.
.

განმარტების დახმარებით შესაძლებელია გადაწყვიტოს კითხვა, არის თუ არა გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ კლებადი.

Დავალება

არის თუ არა მიმდევრობა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, თუ იგი მოცემულია ფორმულით:

;
.

გამოსავალი:

. მოდი ვიპოვოთ ქ .

;
;
;
.

ეს გეომეტრიული პროგრესია უსასრულოდ მცირდება.

ბ)ეს თანმიმდევრობა არ არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია 1. გაყავით იგი შუაზე, ერთი ნახევარი ისევ შუაზე და ა.შ. ყველა მიღებული მართკუთხედის ფართობი ქმნის უსასრულოდ კლებულ გეომეტრიულ პროგრესიას:

ამ გზით მიღებული ყველა მართკუთხედის ფართობის ჯამი იქნება 1-ლი კვადრატის ფართობის ტოლი და 1-ის ტოლი.