განტოლებები პარამეტრებით: გრაფიკული ამოხსნის მეთოდი

8-9 კლასები

სტატიაში განხილულია ზოგიერთი განტოლების პარამეტრებით ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი, რომელიც ძალიან ეფექტურია, როცა უნდა დაადგინოთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას პარამეტრზე დამოკიდებულებით. ა.

ამოცანა 1. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას | | x | – 2 | = ა პარამეტრის მიხედვით ა?

გადაწყვეტილება. კოორდინატთა სისტემაში (x; y) გამოვსახავთ y = | ფუნქციების გრაფიკებს | x | – 2 | და y= ა. y = | ფუნქციის გრაფიკი | x | – 2 | ნაჩვენებია ფიგურაში.

y = a ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი Ox ღერძის პარალელურად ან ემთხვევა მას ( ა = 0).

ნახატიდან ჩანს, რომ:

Თუ ა= 0, შემდეგ ხაზი y = აემთხვევა Ox ღერძს და აქვს y = | ფუნქციის გრაფიკს | x | – 2 | ორი საერთო წერტილი; ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ორი ფესვი (ამ შემთხვევაში, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს: x 1.2 \u003d q 2).
თუ 0< ა < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Თუ ა= 2, მაშინ y = 2 წრფეს სამი საერთო წერტილი აქვს ფუნქციის გრაფიკთან. მაშინ თავდაპირველ განტოლებას სამი ფესვი აქვს.
Თუ ა> 2, შემდეგ წრფე y = აექნება ორი წერტილი საწყისი ფუნქციის გრაფიკით, ანუ ამ განტოლებას ექნება ორი ფესვი.

თუ ა < 0, то корней нет;
თუ ა = 0, ა> 2, შემდეგ ორი ფესვი;
თუ ა= 2, შემდეგ სამი ფესვი;
თუ 0< ა < 2, то четыре корня.

ამოცანა 2. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას | x 2 – 2| x | – 3 | = ა პარამეტრის მიხედვით ა?

გადაწყვეტილება. კოორდინატთა სისტემაში (x; y) გამოვსახავთ y = | ფუნქციების გრაფიკებს x 2 – 2| x | – 3 | და y= ა.

y = | ფუნქციის გრაფიკი x 2 – 2| x | – 3 | ნაჩვენებია ფიგურაში. y = a ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი Ox-ის პარალელურად ან ემთხვევა მას (როდესაც ა = 0).

ნახატიდან შეგიძლიათ იხილოთ:

Თუ ა= 0, შემდეგ ხაზი y = აემთხვევა Ox ღერძს და აქვს y = | ფუნქციის გრაფიკს x2-2| x | – 3 | ორი საერთო წერტილი, ასევე ხაზი y = აექნება ფუნქციის გრაფიკით y = | x 2 – 2| x | – 3 | ორი საერთო წერტილი ა> 4. აქედან გამომდინარე, ამისთვის ა= 0 და ა> 4 თავდაპირველ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
თუ 0< ა < 3, то прямая y = ააქვს ფუნქციის გრაფიკით y = | x 2 – 2| x | – 3 | ოთხი საერთო წერტილი, ასევე წრფე y= აექნება ოთხი საერთო წერტილი აგებული ფუნქციის გრაფიკით at ა= 4. აქედან გამომდინარე, 0-ზე< ა < 3, ა= 4 თავდაპირველ განტოლებას ოთხი ფესვი აქვს.
Თუ ა= 3, შემდეგ ხაზი y = აკვეთს ფუნქციის გრაფიკს ხუთ წერტილზე; შესაბამისად, განტოლებას ხუთი ფესვი აქვს.
თუ 3< ა < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Თუ ა < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

თუ ა < 0, то корней нет;
თუ ა = 0, ა> 4, შემდეგ ორი ფესვი;
თუ 0< ა < 3, ა= 4, შემდეგ ოთხი ფესვი;
თუ ა= 3, შემდეგ ხუთი ფესვი;
თუ 3< ა < 4, то шесть корней.

ამოცანა 3. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

პარამეტრის მიხედვით ა?

გადაწყვეტილება. კოორდინატთა სისტემაში (x; y) ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს ოღონდ ჯერ მივცეთ ფორმაში:

ხაზები x = 1, y = 1 არის ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები. y = | ფუნქციის გრაფიკი x | + ამიღებული y = | ფუნქციის გრაფიკიდან x | ოფსეტური ერთეულებით Oy ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში ა> – 1; აქედან გამომდინარე, განტოლებას (1) პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის აქვს ერთი გამოსავალი.

ზე ა = – 1, ა= – 2 გრაფიკი იკვეთება ორ წერტილზე; ამრიგად, პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის, განტოლებას (1) აქვს ორი ფესვი.
ზე - 2< ა < – 1, ა < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

თუ ა> – 1, შემდეგ ერთი ხსნარი;
თუ ა = – 1, ა= – 2, შემდეგ ორი გამოსავალი;
თუ - 2< ა < – 1, ა < – 1, то три решения.

კომენტარი. მე-3 ამოცანის (1) განტოლების ამოხსნისას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს იმ შემთხვევას, როცა ა= - 2, ვინაიდან წერტილი (- 1; - 1) არ ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს მაგრამ ეკუთვნის y = | ფუნქციის გრაფიკს x | + ა.

მოდით გადავიდეთ სხვა პრობლემის გადაჭრაზე.

ამოცანა 4. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

x + 2 = ა| x – 1 | (2)

პარამეტრის მიხედვით ა?

გადაწყვეტილება. გაითვალისწინეთ, რომ x = 1 არ არის ამ განტოლების ფესვი, რადგან ტოლობა 3 = ა 0 არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობისთვის ა. განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ |-ზე x – 1 |(| x – 1 | No. 0), შემდეგ განტოლება (2) მიიღებს ფორმას xOy კოორდინატთა სისტემაში ვხატავთ ფუნქციას

ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე. y = ფუნქციის გრაფიკი აარის სწორი ხაზი Ox-ის ღერძის პარალელურად ან ემთხვევა მას (ამისთვის ა = 0).

თუ ა J - 1, მაშინ ფესვები არ არის;
თუ - 1< აЈ 1, შემდეგ ერთი ფესვი;
თუ ა> 1, მაშინ არის ორი ფესვი.

განვიხილოთ ყველაზე რთული განტოლება.

დავალება 5. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აგანტოლება

ა x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

აქვს სამი გამოსავალი?

გადაწყვეტილება. 1. ამ განტოლებისთვის პარამეტრის საკონტროლო მნიშვნელობა იქნება რიცხვი ა= 0, რომლის დროსაც განტოლება (3) იღებს ფორმას 0 + | x – 1 | = 0, საიდანაც x = 1. ამიტომ, ამისთვის ა= 0 განტოლებას (3) აქვს ერთი ფესვი, რომელიც არ აკმაყოფილებს ამოცანის პირობას.

2. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ა № 0.

მოდით გადავწეროთ განტოლება (3) შემდეგი სახით: ა x 2 = - | x – 1 |. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებას ექნება მხოლოდ ამონახსნები ა < 0.

xOy კოორდინატთა სისტემაში გამოვსახავთ y = | ფუნქციების გრაფიკებს x – 1 | და y= ა x 2 . y = | ფუნქციის გრაფიკი x – 1 | ნაჩვენებია ფიგურაში. y = ფუნქციის გრაფიკი ა x 2 არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ, რადგან ა < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

განტოლებას (3) ექნება სამი ამონახსნები მხოლოდ მაშინ, როდესაც წრფე y = – x + 1 არის tangent y= ფუნქციის გრაფიკზე. ა x 2 .

მოდით x 0 იყოს შეხების წერტილის აბსციზა y = - x + 1 პარაბოლით y = ა x 2 . ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა

y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

მოდით ჩამოვწეროთ შეხების პირობები:

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას წარმოებულის კონცეფციის გამოყენების გარეშე.

განვიხილოთ სხვა გზა. ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ თუ y = kx + b წრფეს აქვს ერთი საერთო წერტილი პარაბოლასთან y = ა x 2 + px + q, შემდეგ განტოლება ა x 2 + px + q = kx + b უნდა ჰქონდეს უნიკალური ამონახსნი, ანუ მისი დისკრიმინანტი არის ნული. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს განტოლება ა x 2 \u003d - x + 1 ( ა No 0). განტოლების დისკრიმინანტი

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

6. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას პარამეტრიდან გამომდინარე ა?

1)| | x | – 3 | = ა;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = ა;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = ა;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = ა.

1) თუ ა<0, то корней нет; если ა=0, ა>3, შემდეგ ორი ფესვი; თუ ა=3, შემდეგ სამი ფესვი; თუ 0<ა<3, то четыре корня;
2) თუ ა<1, то корней нет; если ა=1, შემდეგ ამონახსნების უსასრულო ნაკრები [– 2; - ერთი]; თუ ა> 1, შემდეგ ორი ხსნარი;
3) თუ ა<0, то корней нет; если ა=0, ა<3, то четыре корня; если 0<ა<1, то восемь корней; если ა=1, შემდეგ ექვსი ფესვი; თუ ა=3, შემდეგ სამი გამოსავალი; თუ ა>3, შემდეგ ორი ხსნარი;
4) თუ ა<0, то корней нет; если ა=0, 4<ა<5, то четыре корня; если 0<ა< 4, то восемь корней; если ა=4, შემდეგ ექვსი ფესვი; თუ ა=5, შემდეგ სამი ფესვი; თუ ა>5, შემდეგ ორი ფესვი.

7. რამდენ ფესვს აქვს განტოლება | x + 1 | = ა(x – 1) დამოკიდებულია პარამეტრზე ა?

ინსტრუქცია. იმის გამო, რომ x = 1 არ არის განტოლების ფესვი, ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე .

პასუხი: თუ ა J -1, ა > 1, ა=0, შემდეგ ერთი ფესვი; თუ - 1<ა<0, то два корня; если 0<აЈ 1, მაშინ ფესვები არ არის.

8. რამდენ ფესვს აქვს განტოლება x + 1 = ა| x – 1 | დამოკიდებულია პარამეტრზე ა?

შექმენით გრაფიკი (იხ. სურათი).

პასუხი: თუ აЈ –1, მაშინ ფესვები არ არის; თუ - 1<აЈ 1, შემდეგ ერთი ფესვი; თუ ა>1, მაშინ არის ორი ფესვი.

9. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

2| x | – 1 = a(x – 1)

პარამეტრის მიხედვით ა?

ინსტრუქცია. მიიტანეთ განტოლება ფორმაში

პასუხი: თუ ა J -2, ა>2, ა=1, შემდეგ ერთი ფესვი; თუ -2<ა<1, то два корня; если 1<აЈ 2, მაშინ ფესვები არ არის.

10. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

პარამეტრის მიხედვით ა?

პასუხი: თუ აЈ 0, ამე 2, შემდეგ ერთი ფესვი; თუ 0<ა<2, то два корня.

11. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება

x 2 + ა| x – 2 | = 0

აქვს სამი გამოსავალი?

ინსტრუქცია. მიიტანეთ განტოლება ფორმაში x 2 = - ა| x - 2 |.

პასუხი: როდის აЈ -8.

12. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება

ა x 2 + | x + 1 | = 0

აქვს სამი გამოსავალი?

ინსტრუქცია. გამოიყენეთ ამოცანა 5. ამ განტოლებას სამი ამონახსნი აქვს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლება ა x 2 + x + 1 = 0 აქვს ერთი ამონახსნი და შემთხვევა ა= 0 არ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას, ანუ საქმე რჩება როცა

13. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

x | x – 2 | = 1 - ა

პარამეტრის მიხედვით ა?

ინსტრუქცია. მიიტანეთ განტოლება ფორმაში –x |x – 2| + 1 = ა

პარამეტრის მიხედვით ა?

ინსტრუქცია. შექმენით ამ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების გრაფიკები.

პასუხი: თუ ა<0, ა>2, შემდეგ ორი ფესვი; თუ 0Ј აЈ 2, შემდეგ ერთი ფესვი.

16. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას

პარამეტრის მიხედვით ა?

ინსტრუქცია. შექმენით ამ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების გრაფიკები. ფუნქციის დასახატად იპოვეთ x + 2 და x გამონათქვამების მუდმივობის ინტერვალები:

პასუხი: თუ ა>– 1, შემდეგ ერთი ხსნარი; თუ ა= – 1, შემდეგ ორი გამოსავალი; თუ - 3<ა<–1, то четыре решения; если აЈ –3, შემდეგ სამი გამოსავალი.

რომ ამოცანები პარამეტრითმოიცავს, მაგალითად, წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძიებას ზოგადი ფორმით, არსებული ფესვების რაოდენობის განტოლების შესწავლას, პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დეტალური განმარტებების მიცემის გარეშე, განიხილეთ შემდეგი განტოლებები მაგალითებად:

y = kx, სადაც x, y არის ცვლადები, k არის პარამეტრი;

y = kx + b, სადაც x, y არის ცვლადები, k და b არის პარამეტრები;

ax 2 + bx + c = 0, სადაც x არის ცვლადები, a, b და c არის პარამეტრები.

განტოლების (უტოლობა, სისტემა) პარამეტრით ამოხსნა ნიშნავს, როგორც წესი, განტოლებათა უსასრულო სიმრავლის ამოხსნას (უტოლობა, სისტემები).

პარამეტრის მქონე ამოცანები პირობითად შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად:

ა)პირობა ამბობს: გადაწყვიტე განტოლება (უტოლობა, სისტემა) - ეს ნიშნავს, რომ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის იპოვეთ ყველა ამონახსნები. თუ ერთი შემთხვევა მაინც რჩება შეუსწავლელი, ასეთი გამოსავალი არ შეიძლება ჩაითვალოს დამაკმაყოფილებლად.

ბ)საჭიროა მიუთითოთ იმ პარამეტრის შესაძლო მნიშვნელობები, რომლისთვისაც განტოლებას (უთანასწორობა, სისტემა) აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, მას აქვს ერთი ამონახსნი, არ აქვს ამონახსნები, აქვს ამონახსნები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს და ა.შ. ასეთ ამოცანებში აუცილებელია მკაფიოდ მიეთითოს პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა დაკმაყოფილებული საჭირო პირობა.

პარამეტრს, როგორც უცნობი ფიქსირებული რიცხვი, აქვს, თითქოს, განსაკუთრებული ორმაგი. უპირველეს ყოვლისა, გასათვალისწინებელია, რომ სავარაუდო პოპულარობა ვარაუდობს, რომ პარამეტრი უნდა იყოს აღქმული, როგორც რიცხვი. მეორეც, პარამეტრის დამუშავების თავისუფლება შეზღუდულია მისი უცნობით. ასე, მაგალითად, გამონათქვამზე გაყოფის ოპერაციები, რომელშიც არის პარამეტრი, ან მსგავსი გამოსახულებიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება მოითხოვს წინასწარ კვლევას. ამიტომ, სიფრთხილეა საჭირო პარამეტრის დამუშავებისას.

მაგალითად, ორი რიცხვის -6a და 3a შესადარებლად, უნდა განიხილებოდეს სამი შემთხვევა:

1) -6a იქნება 3a-ზე მეტი, თუ a უარყოფითი რიცხვია;

2) -6a = 3a იმ შემთხვევაში, როდესაც a = 0;

3) -6a იქნება 3a-ზე ნაკლები, თუ a არის დადებითი რიცხვი 0.

გადაწყვეტილება იქნება პასუხი.

მოცემული იყოს განტოლება kx = b. ეს განტოლება არის ერთ ცვლადში განტოლებათა უსასრულო ნაკრების სტენოგრაფია.

ასეთი განტოლებების ამოხსნისას შეიძლება იყოს შემთხვევები:

1. დავუშვათ k ნებისმიერი არა ნულოვანი რეალური რიცხვი და b ნებისმიერი რიცხვი R-დან, შემდეგ x = b/k.

2. ვთქვათ k = 0 და b ≠ 0, თავდაპირველი განტოლება მიიღებს 0 · x = b ფორმას. ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

3. დავუშვათ k და b ნულის ტოლი რიცხვები, მაშინ გვაქვს ტოლობა 0 · x = 0. მისი ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. განსაზღვრეთ პარამეტრის "საკონტროლო" მნიშვნელობები.

2. ამოხსენით x-ის საწყისი განტოლება იმ პარამეტრის მნიშვნელობებით, რომლებიც განსაზღვრულია პირველ აბზაცში.

3. ამოხსენით x-ის საწყისი განტოლება პარამეტრის მნიშვნელობებით, რომლებიც განსხვავდება პირველ აბზაცში შერჩეულიდან.

4. პასუხი შეგიძლიათ ჩამოწეროთ შემდეგი ფორმით:

1) როდესაც ... (პარამეტრის მნიშვნელობა), განტოლებას აქვს ფესვები ...;

2) როდესაც ... (პარამეტრის მნიშვნელობა), განტოლებაში ფესვები არ არის.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება პარამეტრით |6 – x| = ა.

გადაწყვეტილება.

ადვილი მისახვედრია, რომ აქ არის ≥ 0.

მოდულის 6 – x = ±a წესით გამოვხატავთ x:

პასუხი: x = 6 ± a, სადაც a ≥ 0.

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 x ცვლადის მიმართ.

გადაწყვეტილება.

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები: ცული - a + 2x - 2 \u003d 0

დავწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით: x(a + 2) = a + 2.

თუ გამოხატულება a + 2 არ არის ნული, ანუ თუ a ≠ -2, გვაქვს ამონახსნი x = (a + 2) / (a ​​+ 2), ე.ი. x = 1.

თუ a + 2 უდრის ნულს, ე.ი. a \u003d -2, მაშინ გვაქვს სწორი ტოლობა 0 x \u003d 0, ამიტომ x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

პასუხი: x \u003d 1 a ≠ -2-სთვის და x € R a \u003d -2-ისთვის.

მაგალითი 3

ამოხსენით განტოლება x/a + 1 = a + x x ცვლადის მიმართ.

გადაწყვეტილება.

თუ a \u003d 0, მაშინ განტოლებას ვცვლით ფორმაში a + x \u003d a 2 + ax ან (a - 1) x \u003d -a (a - 1). a = 1-ის ბოლო განტოლებას აქვს ფორმა 0 · x = 0, შესაბამისად, x არის ნებისმიერი რიცხვი.

თუ a ≠ 1, მაშინ ბოლო განტოლება მიიღებს x = -a ფორმას.

ეს გამოსავალი შეიძლება ილუსტრირებული იყოს კოორდინატთა ხაზზე (ნახ. 1)

პასუხი: არ არის ამონახსნები a = 0-სთვის; x - ნებისმიერი რიცხვი a = 1-ზე; x \u003d -a ≠ 0-ით და a ≠ 1-ით.

გრაფიკული მეთოდი

განვიხილოთ პარამეტრით განტოლებების ამოხსნის სხვა გზა - გრაფიკული. ეს მეთოდი საკმაოდ ხშირად გამოიყენება.

მაგალითი 4

რამდენ ძირს, a პარამეტრიდან გამომდინარე, აქვს განტოლება ||x| – 2| = ა?

გადაწყვეტილება.

გრაფიკული მეთოდით ამოსახსნელად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს y = ||x| – 2| და y = a (ნახ. 2).

ნახაზზე ნათლად ჩანს y = a წრფის მდებარეობის შესაძლო შემთხვევები და თითოეულ მათგანში ფესვების რაოდენობა.

პასუხი: განტოლებას არ ექნება ფესვები, თუ ა< 0; два корня будет в случае, если a >2 და a = 0; განტოლებას ექნება სამი ფესვი a = 2 შემთხვევაში; ოთხი ფესვი - 0-ზე< a < 2.

მაგალითი 5

რისთვისაც a არის განტოლება 2|x| + |x – 1| = a-ს აქვს ერთი ფესვი?

გადაწყვეტილება.

დავხატოთ y = 2|x| ფუნქციების გრაფიკები + |x – 1| და y = a. y = 2-ისთვის | x| + |x - 1|, მოდულების გაფართოებით უფსკრული მეთოდით, მივიღებთ:

(-3x + 1, x-ზე< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1-ისთვის,

(3x – 1, x > 1-ისთვის.

Ზე სურათი 3აშკარად ჩანს, რომ განტოლებას ექნება უნიკალური ფესვი მხოლოდ მაშინ, როდესაც a = 1.

პასუხი: a = 1.

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა |x + 1| + |x + 2| = a დამოკიდებულია a პარამეტრზე?

გადაწყვეტილება.

y = |x + 1 ფუნქციის გრაფიკი + |x + 2| იქნება გატეხილი ხაზი. მისი წვეროები განთავსდება (-2; 1) და (-1; 1) წერტილებზე. (სურათი 4).

პასუხი: თუ პარამეტრი a არის ერთზე ნაკლები, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება; თუ a = 1, მაშინ განტოლების ამონახსნი არის რიცხვების უსასრულო ნაკრები [-2; -ერთი]; თუ პარამეტრის a მნიშვნელობები ერთზე მეტია, მაშინ განტოლებას ექნება ორი ფესვი.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ განტოლებები პარამეტრით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

პარამეტრებთან განტოლებები სამართლიანად ითვლება ერთ-ერთ ყველაზე რთულ ამოცანად სასკოლო მათემატიკის კურსში. სწორედ ეს ამოცანები ხვდება წლიდან წლამდე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B და C ტიპის ამოცანების ჩამონათვალში. ამასთან, პარამეტრებთან დაკავშირებული განტოლებების დიდ რაოდენობას შორის არის ისეთებიც, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია გრაფიკულად. განვიხილოთ ეს მეთოდი რამდენიმე პრობლემის გადაჭრის მაგალითზე.

იპოვეთ a-ის მთელი მნიშვნელობების ჯამი, რომლის განტოლებაა |x 2 – 2x – 3| = a-ს აქვს ოთხი ფესვი.

გადაწყვეტილება.

პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს ერთ კოორდინატულ სიბრტყეზე

y = |x 2 – 2x – 3| და y = a.

პირველი ფუნქციის გრაფიკი y = |x 2 – 2x – 3| მიიღება y = x 2 - 2x - 3 პარაბოლის გრაფიკიდან, გრაფიკის აბსცისის ღერძის მიმართ სიმეტრიულად ჩვენებით Ox ღერძის ქვემოთ. გრაფიკის ნაწილი x ღერძის ზემოთ უცვლელი დარჩება.

მოდით გავაკეთოთ ეს ეტაპობრივად. y \u003d x 2 - 2x - 3 ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. მისი გრაფიკის ასაგებად, ჩვენ ვპოულობთ წვეროს კოორდინატებს. ეს შეიძლება გაკეთდეს ფორმულის გამოყენებით x 0 = -b / 2a. ამრიგად, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. პარაბოლის წვეროს კოორდინატის საპოვნელად y-ღერძის გასწვრივ, მიღებული მნიშვნელობა x 0-ს ვცვლით განსახილველი ფუნქციის განტოლებაში. მივიღებთ, რომ y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. აქედან გამომდინარე, პარაბოლას წვეროს აქვს კოორდინატები (1; -4).

შემდეგი, თქვენ უნდა იპოვოთ პარაბოლის ტოტების გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით. პარაბოლის ტოტების აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობა არის ნული. ამიტომ, ჩვენ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 - 2x - 3 \u003d 0. მისი ფესვები იქნება სასურველი წერტილები. ვიეტას თეორემით გვაქვს x 1 = -1, x 2 = 3.

პარაბოლის ტოტების y ღერძთან გადაკვეთის წერტილებში არგუმენტის მნიშვნელობა არის ნული. ამრიგად, წერტილი y = -3 არის პარაბოლის ტოტების გადაკვეთის წერტილი y ღერძთან. შედეგად მიღებული გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 1.

y = |x 2 - 2x - 3| ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად ჩვენ გამოვაჩენთ გრაფიკის ნაწილს, რომელიც x ღერძის ქვემოთაა, x ღერძის მიმართ სიმეტრიულად. შედეგად მიღებული გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 2.

y = a ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად. ეს ნაჩვენებია ნახატ 3-ზე. ფიგურის გამოყენებით ვხვდებით, რომ გრაფიკებს აქვთ ოთხი საერთო წერტილი (და განტოლებას აქვს ოთხი ფესვი), თუ a ეკუთვნის ინტერვალს (0; 4).

a რიცხვის მთელი მნიშვნელობები მიღებული ინტერვალიდან: 1; 2; 3. ამოცანის კითხვაზე პასუხის გასაცემად ვიპოვოთ ამ რიცხვების ჯამი: 1 + 2 + 3 = 6.

პასუხი: 6.

იპოვეთ a რიცხვის მთელი მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, რომლისთვისაც არის განტოლება |x 2 – 4|x| – 1| = a-ს აქვს ექვსი ფესვი.

დავიწყოთ y = |x 2 – 4|x| ფუნქციის გამოსახვით – 1|. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ტოლობას a 2 = |a| 2 და აირჩიეთ სრული კვადრატი ფუნქციის მარჯვენა მხარეს დაწერილ ქვემოდულის გამოსახულებაში:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

მაშინ ორიგინალური ფუნქცია გამოიყურება y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

ამ ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, ჩვენ ვაშენებთ თანმიმდევრულად ფუნქციების გრაფიკებს:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - პარაბოლა წვერით წერტილში კოორდინატებით (2; -5); (ნახ. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - პარაბოლის 1-ლ პარაგრაფში აგებული ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ორდინატთა ღერძის მარჯვნივ, სიმეტრიულად არის გამოსახული Oy ღერძის მარცხნივ; (ნახ. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - მე-2 პუნქტში აგებული გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, სიმეტრიულად არის ნაჩვენები აბსცისის ღერძის მიმართ ზემოთ. (ნახ. 3).

განვიხილოთ მიღებული ნახატები:

y = a ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად.

ფიგურის გამოყენებით დავასკვნით, რომ ფუნქციის გრაფიკებს აქვთ ექვსი საერთო წერტილი (განტოლებას აქვს ექვსი ფესვი), თუ a ეკუთვნის ინტერვალს (1; 5).

ეს ჩანს შემდეგ ფიგურაში:

იპოვეთ a პარამეტრის მთელი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

პასუხი: 3.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

§ 8. ალბათობის თეორიის გამოყენება სტატისტიკაში.

2. უცნობი განაწილების პარამეტრების განსაზღვრა.

ჰისტოგრამის დახმარებით ჩვენ შეგვიძლია დაახლოებით ავაშენოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი. ამ გრაფის გამოჩენა ხშირად იძლევა ვარაუდის გაკეთებას შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის შესახებ. ამ განაწილების სიმკვრივის გამოხატულება ჩვეულებრივ მოიცავს ზოგიერთ პარამეტრს, რომელიც უნდა განისაზღვროს ექსპერიმენტული მონაცემებით.
მოდით ვისაუბროთ კონკრეტულ შემთხვევაზე, როდესაც განაწილების სიმკვრივე დამოკიდებულია ორ პარამეტრზე.
ასე რომ მოდით x 1 , x 2 , ..., x nარის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობები და მისი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე დამოკიდებულია ორ უცნობ პარამეტრზე ადა ბ, ე.ი. როგორც ჩანს . უცნობი პარამეტრების პოვნის ერთ-ერთი მეთოდი ადა ბარის ის, რომ ისინი არჩეულია ისე, რომ თეორიული განაწილების მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიული ემთხვევა შერჩევის საშუალოსა და დისპერსიას:

(66)

სადაც

(67)

მიღებული ორი განტოლებიდან () იპოვეთ უცნობი პარამეტრები ადა ბ. მაგალითად, თუ შემთხვევითი ცვლადი ემორჩილება ალბათობის განაწილების ნორმალურ კანონს, მაშინ მისი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე

დამოკიდებულია ორ პარამეტრზე ადა . ეს პარამეტრები, როგორც ვიცით, არის, შესაბამისად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა; ასე რომ ტოლები () დაიწერება ასე:

(68)

ამიტომ, ალბათობის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა

შენიშვნა 1.ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს პრობლემა. გაზომვის შედეგი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ემორჩილება ნორმალურ განაწილების კანონს პარამეტრებით ადა . მიახლოებისთვის აჩვენ ავირჩიეთ მნიშვნელობა, ხოლო სავარაუდო მნიშვნელობისთვის - მნიშვნელობა.

შენიშვნა 2.ექსპერიმენტების დიდი რაოდენობით, მნიშვნელობების პოვნა და ფორმულების გამოყენება () დაკავშირებულია რთულ გამოთვლებთან. ამრიგად, ისინი მოქმედებენ შემდეგნაირად: თითოეული დაკვირვებული მნიშვნელობის რაოდენობა, რომელშიც მოხვდა მე- ინტერვალი ] X i-1 , X i [სტატისტიკური სერია, მიჩნეულია დაახლოებით შუას ტოლი გ იეს ინტერვალი, ე.ი. c i \u003d (X i-1 + X i) / 2. განვიხილოთ პირველი ინტერვალი ] X 0, X 1 [. ის მოხვდა მ 1შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობები, რომელთაგან თითოეულს ვანაცვლებთ რიცხვით 1-დან. ამრიგად, ამ მნიშვნელობების ჯამი დაახლოებით ტოლია m 1 s 1. ანალოგიურად, მნიშვნელობების ჯამი, რომელიც მოხვდა მეორე ინტერვალში, დაახლოებით ტოლია m 2 s 2და ა.შ. Ისე

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ მიახლოებით ტოლობას

მოდით ვაჩვენოთ ეს

(71)

მართლაც,