ნახეთ, რა არის „პირობითი ექსტრემალური“ სხვა ლექსიკონებში:

ფარდობითი ექსტრემი, n + m ცვლადის f (x1,..., xn + m) ფუნქციის უკიდურესი, თუ ვივარაუდებთ, რომ ეს ცვლადები ექვემდებარება m უფრო დაწყვილების განტოლებებს (პირობებს): φk (x1,..., xn + მ) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (იხ. ექსტრემი).……

მიეცით ფუნქციები ღია კომპლექტს და ჩართვას. დაე იყოს. ამ განტოლებებს უწოდებენ შეზღუდვის განტოლებებს (ტერმინოლოგია ნასესხებია მექანიკიდან). დაე, ფუნქცია განისაზღვროს G ... ვიკიპედიაზე

- (ლათინური extremum უკიდურესიდან) უწყვეტი ფუნქციის f (x) მნიშვნელობა, რომელიც არის მაქსიმალური ან მინიმალური. უფრო ზუსტად: ფუნქცია f (x) უწყვეტ x0 წერტილში აქვს მაქსიმუმი (მინიმუმი) x0-ზე, თუ არის ამ წერტილის სამეზობლო (x0 + δ, x0 δ), ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ექსტრემალური (მნიშვნელობები). ექსტრემუმი (ლათინური extremum უკიდურესი) მათემატიკაში არის ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილი, სადაც მიიღწევა ექსტრემუმი არის ... ... ვიკიპედია

ფუნქცია, რომელიც გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად რამდენიმე ცვლადისა და ფუნქციის ფუნქციების პირობითი ექსტრემისთვის. L.f-ის დახმარებით. პირობითი ექსტრემისთვის ამოცანებში ჩაწერილია ოპტიმალური პირობების აუცილებელი პირობები. არ არის საჭირო მხოლოდ ცვლადების გამოხატვა... მათემატიკური ენციკლოპედია

მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც ეძღვნება ცვლადების ფუნქციების უკიდურესი (მაქსიმალური და მინიმალური) მნიშვნელობების პოვნას ერთი ან მეტი ფუნქციის არჩევის მიხედვით. In და. ამ თავის ბუნებრივი განვითარებაა…… დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ცვლადები, რომელთა დახმარებით აგებულია ლაგრანჟის ფუნქცია პირობითი ექსტრემის ამოცანების შესწავლისას. L.m-ისა და ლაგრანგის ფუნქციის გამოყენება შესაძლებელს ხდის ოპტიმალური პირობების ერთგვაროვნად მიღებას პირობითი ექსტრემის პრობლემებში ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ვარიაციების გაანგარიშება არის ფუნქციური ანალიზის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციონალების ვარიაციებს. ვარიაციების გაანგარიშების ყველაზე ტიპიური ამოცანაა იპოვოთ ფუნქცია, რომელზეც მოცემული ფუნქცია აღწევს ... ... ვიკიპედია

მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეძღვნება ფუნქციების ექსტრემების პოვნის მეთოდების შესწავლას, რომლებიც დამოკიდებულია ერთი ან მეტი ფუნქციის არჩევანზე სხვადასხვა სახის შეზღუდვებზე (ფაზა, დიფერენციალური, ინტეგრალური და ა.შ.) დაწესებული ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ვარიაციების გამოთვლა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ფუნქციების ვარიაციებს. ვარიაციების გაანგარიშების ყველაზე ტიპიური ამოცანაა იპოვოთ ფუნქცია, რომელზეც ფუნქციური აღწევს უკიდურეს მნიშვნელობას. მეთოდები ... ... ვიკიპედია

წიგნები

• ლექციები კონტროლის თეორიაზე. ტომი 2. ოპტიმალური კონტროლი, V. Boss. განხილულია ოპტიმალური კონტროლის თეორიის კლასიკური პრობლემები. პრეზენტაცია იწყება სასრულ განზომილებიანი სივრცეებში ოპტიმიზაციის ძირითადი ცნებებით: პირობითი და უპირობო ექსტრემუმი, ...

განმარტება 1ფუნქციას ამბობენ, რომ აქვს ლოკალური მაქსიმუმი წერტილში, თუ არსებობს წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის მკოორდინატებით (x, y)უთანასწორობა სრულდება: . ამ შემთხვევაში, ანუ ფუნქციის ზრდა< 0.

განმარტება 2: ამბობენ, რომ ფუნქციას აქვს ლოკალური მინიმუმი იმ წერტილში, თუ არსებობს წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის მკოორდინატებით (x, y)უთანასწორობა სრულდება: . ამ შემთხვევაში, ანუ ფუნქციის ზრდა > 0.

განმარტება 3: ლოკალური მინიმალური და მაქსიმალური ქულები ეწოდება ექსტრემალური წერტილები.

პირობითი ექსტრემები

მრავალი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემის ძიებისას ხშირად ჩნდება პრობლემები ე.წ პირობითი უკიდურესი.ეს კონცეფცია შეიძლება აიხსნას ორი ცვლადის ფუნქციის მაგალითით.

მიეცით ფუნქცია და ხაზი ლზედაპირზე 0xy. ამოცანაა ხაზი ლიპოვნეთ ასეთი წერტილი P (x, y),რომელშიც ფუნქციის მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი ან უმცირესი ხაზის წერტილებში ამ ფუნქციის მნიშვნელობებთან შედარებით ლმდებარეობს პუნქტთან ახლოს პ. ასეთი პუნქტები პდაურეკა პირობითი ექსტრემალური წერტილებიხაზის ფუნქციები ლ. ჩვეულებრივი ექსტრემალური წერტილისგან განსხვავებით, პირობითი ექსტრემალური წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობა შედარებულია ფუნქციის მნიშვნელობებთან არა მისი ზოგიერთი სამეზობლოს ყველა წერტილში, არამედ მხოლოდ იმ ხაზთან, რომელიც მდებარეობს ხაზზე. ლ.

სავსებით ნათელია, რომ ჩვეულებრივი ექსტრემის წერტილი (ასევე ამბობენ უპირობო ექსტრემუმი) ასევე არის პირობითი ექსტრემალური წერტილი ამ წერტილში გამავალი ნებისმიერი ხაზისთვის. საპირისპირო, რა თქმა უნდა, არ შეესაბამება სიმართლეს: პირობითი ექსტრემალური წერტილი შეიძლება არ იყოს ჩვეულებრივი ექსტრემალური წერტილი. ნება მომეცით ავხსნა ეს მარტივი მაგალითით. ფუნქციის გრაფიკი არის ზედა ნახევარსფერო (დანართი 3 (ნახ. 3)).

ამ ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი სათავეში; იგი შეესაბამება ზედა მნახევარსფეროები. თუ ხაზი ლწერტილებში გადის ხაზი მაგრამდა AT(მისი განტოლება x+y-1=0), მაშინ გეომეტრიულად ნათელია, რომ ამ ხაზის წერტილებისთვის ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა წერტილებს შორის შუაში მდებარე წერტილში. მაგრამდა AT.ეს არის ფუნქციის პირობითი ექსტრემის (მაქსიმუმის) წერტილი მოცემულ ხაზზე; ის შეესაბამება M 1 წერტილს ნახევარსფეროზე და ნახატიდან ჩანს, რომ აქ არ შეიძლება იყოს რაიმე ჩვეულებრივი ექსტრემის შესახებ საუბარი.

გაითვალისწინეთ, რომ დახურულ რეგიონში ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ამოცანის დასკვნით ნაწილში უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობები ამ რეგიონის საზღვარზე, ე.ი. რაღაც ხაზზე და ამით მოაგვარეთ პრობლემა პირობითი ექსტრემისთვის.

ახლა გადავიდეთ Z= f(x, y) ფუნქციის პირობითი კიდურების წერტილების პრაქტიკულ ძიებაზე იმ პირობით, რომ x და y ცვლადები დაკავშირებულია განტოლებით (x, y) = 0. ეს მიმართება იქნება უწოდა შეზღუდვის განტოლება. თუ კავშირის განტოლებიდან y შეიძლება გამოხატული იყოს x-ით: y \u003d (x), ჩვენ ვიღებთ ერთი ცვლადის ფუნქციას Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

როდესაც ვიპოვნეთ x-ის მნიშვნელობა, რომლითაც ეს ფუნქცია აღწევს უკიდურესობას და შემდეგ განვსაზღვრავთ y-ს შესაბამისი მნიშვნელობების კავშირის განტოლებიდან, მივიღებთ პირობითი ექსტრემის სასურველ წერტილებს.

ასე რომ, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში x+y-1=0 კომუნიკაციის განტოლებიდან გვაქვს y=1-x. აქედან

ადვილია იმის შემოწმება, რომ z აღწევს მაქსიმუმს x = 0,5-ზე; მაგრამ შემდეგ კავშირის განტოლებიდან y = 0.5 და მივიღებთ ზუსტად P წერტილს, რომელიც ნაპოვნია გეომეტრიული მოსაზრებებიდან.

პირობითი ექსტრემის ამოცანა ძალიან მარტივად წყდება მაშინაც კი, როდესაც შეზღუდვის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პარამეტრული განტოლებებით x=x(t), y=y(t). ამ ფუნქციით x და y გამონათქვამების ჩანაცვლებით, კვლავ მივდივართ ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის პოვნის პრობლემამდე.

თუ შეზღუდვის განტოლებას აქვს უფრო რთული ფორმა და ჩვენ ვერც ერთ ცვლადს ვერ გამოვხატავთ მეორის თვალსაზრისით და ვერც შევცვლით პარამეტრული განტოლებებით, მაშინ პირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემა რთულდება. განვაგრძობთ ვივარაუდოთ, რომ z= f(x, y) ფუნქციის გამოხატულებაში ცვლადი (x, y) = 0. z= f(x, y) ფუნქციის ჯამური წარმოებული უდრის:

სად არის წარმოებული y`, ნაპოვნი იმპლიციტური ფუნქციის დიფერენციაციის წესით. პირობითი ექსტრემის წერტილებში ნაპოვნი ჯამური წარმოებული უნდა იყოს ნულის ტოლი; ეს იძლევა ერთ განტოლებას x და y-თან დაკავშირებით. ვინაიდან ისინი ასევე უნდა აკმაყოფილებდნენ შეზღუდვის განტოლებას, მივიღებთ ორი განტოლების სისტემას ორი უცნობით.

მოდით გადავიტანოთ ეს სისტემა ბევრად უფრო მოსახერხებელ სისტემად, პირველი განტოლების პროპორციულად ჩაწერით და ახალი დამხმარე უცნობის შემოღებით:

(მოხერხებულობისთვის წინ არის მინუს ნიშანი). ადვილია ამ თანასწორობიდან შემდეგ სისტემაზე გადასვლა:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

რომელიც შეზღუდვის განტოლებასთან ერთად (x, y) = 0, ქმნის სამი განტოლების სისტემას უცნობი x, y და.

ეს განტოლებები (*) ყველაზე ადვილი დასამახსოვრებელია შემდეგი წესის გამოყენებით: იმისათვის, რომ იპოვოთ წერტილები, რომლებიც შეიძლება იყოს ფუნქციის პირობითი უკიდურესობის წერტილები.

Z= f(x, y) შეზღუდვის განტოლებით (x, y) = 0, თქვენ უნდა ჩამოაყალიბოთ დამხმარე ფუნქცია

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

სად არის გარკვეული მუდმივი და დაწერეთ განტოლებები ამ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების საპოვნელად.

განტოლებათა მითითებული სისტემა აწვდის, როგორც წესი, მხოლოდ აუცილებელ პირობებს, ე.ი. x და y მნიშვნელობების ყველა წყვილი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ სისტემას, არ არის აუცილებლად პირობითი ექსტრემალური წერტილი. პირობითი ექსტრემალური ქულების საკმარის პირობებს არ მივცემ; ძალიან ხშირად პრობლემის სპეციფიკური შინაარსი მიუთითებს იმაზე, თუ რა არის ნაპოვნი წერტილი. პირობითი ექსტრემისთვის ამოცანების გადაჭრის აღწერილ ტექნიკას ეწოდება ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მეთოდი.

პირობითი უკიდურესი.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ექსტრემა

მინიმალური კვადრატის მეთოდი.

FNP-ის ადგილობრივი ექსტრემუმი

დაუშვით ფუნქცია და= ვ(P), RÎDÌR ნდა მივცეთ წერტილი Р 0 ( ა 1 , ა 2 , ..., პ) –შიდანაკრების წერტილი D.

განმარტება 9.4.

1) წერტილი P 0 ეწოდება მაქსიმალური ქულა ფუნქციები და= ვ(P) თუ არსებობს ამ წერტილის მეზობლობა U(P 0) Ì D ისეთი, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , მდგომარეობა ვ(P) £ ვ(P0) . მნიშვნელობა ვ(P 0) ფუნქციებს მაქსიმალურ წერტილში ეწოდება ფუნქცია მაქსიმუმ და აღნიშნა ვ(P 0) = მაქს ვ(P) .

2) წერტილი P 0 ეწოდება მინიმალური ქულა ფუნქციები და= ვ(P) თუ არსებობს ამ წერტილის მეზობლობა U(P 0)Ì D ისეთი, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0, მდგომარეობა ვ(P)³ ვ(P0) . მნიშვნელობა ვ(P 0) ფუნქციები მინიმალურ წერტილში ეწოდება ფუნქციის მინიმუმი და აღნიშნა ვ(P 0) = მინ ვ(P).

ფუნქციის მინიმალური და მაქსიმალური რაოდენობა ეწოდება უკიდურესი წერტილები, ექსტრემალური წერტილების ფუნქციის მნიშვნელობებს უწოდებენ ექსტრემალური ფუნქცია.

როგორც განმარტებიდან ჩანს, უტოლობები ვ(P) £ ვ(P0) , ვ(P)³ ვ(P 0) უნდა შესრულდეს მხოლოდ P 0 წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში და არა ფუნქციის მთელ დომენში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იმავე ტიპის რამდენიმე ექსტრემა (რამდენიმე მინიმუმი, რამდენიმე მაქსიმუმი). ამიტომ, ზემოთ განსაზღვრულ ექსტრემას უწოდებენ ადგილობრივი(ადგილობრივი) უკიდურესობები.

თეორემა 9.1 (აუცილებელი პირობა FNP-ის ექსტრემისთვის)

თუ ფუნქცია და= ვ(X 1 , X 2 , ..., x n) აქვს უკიდურესობა P 0 წერტილში, მაშინ მისი პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში ან ნულის ტოლია ან არ არსებობს.

მტკიცებულება.წერტილი Р 0 ( ა 1 , ა 2 , ..., პ) ფუნქცია და= ვ(P) აქვს უკიდურესი, როგორიცაა მაქსიმუმი. გავასწოროთ არგუმენტები X 2 , ..., x n, აყენებს X 2 =ა 2 ,..., x n = პ. მერე და= ვ(P) = ვ 1 ((X 1 , ა 2 , ..., პ) არის ერთი ცვლადის ფუნქცია Xერთი . ვინაიდან ეს ფუნქცია აქვს X 1 = ა 1 ექსტრემუმი (მაქსიმუმი), შემდეგ ვ 1 ¢=0 ან არ არსებობს როცა X 1 =ა 1 (აუცილებელი პირობა ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის არსებობისთვის). მაგრამ , მაშინ ან არ არსებობს P 0 წერტილში - უკიდურესობის წერტილი. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ნაწილობრივი წარმოებულები სხვა ცვლადებთან მიმართებაში. CHTD.

ფუნქციის დომენის წერტილები, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია ან არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული წერტილები ამ ფუნქციას.

როგორც თეორემა 9.1-დან ჩანს, FNP-ის უკიდურესი წერტილები უნდა ვეძებოთ ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებს შორის. მაგრამ, რაც შეეხება ერთი ცვლადის ფუნქციას, ყველა კრიტიკული წერტილი არ არის ექსტრემალური წერტილი.

თეორემა 9.2

Р 0 იყოს ფუნქციის კრიტიკული წერტილი და= ვ(P) და არის ამ ფუნქციის მეორე რიგის დიფერენციალი. მერე

და თუ დ 2 u(P 0) > 0 for , მაშინ Р 0 არის წერტილი მინიმალურიფუნქციები და= ვ(P);

ბ) თუ დ 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка მაქსიმუმფუნქციები და= ვ(P);

გ) თუ დ 2 u(P 0) არ არის განსაზღვრული ნიშნით, მაშინ P 0 არ არის უკიდურესი წერტილი;

ჩვენ განვიხილავთ ამ თეორემას მტკიცების გარეშე.

გაითვალისწინეთ, რომ თეორემა არ განიხილავს შემთხვევას, როდესაც დ 2 u(P 0) = 0 ან არ არსებობს. ეს ნიშნავს, რომ ასეთ პირობებში P 0 წერტილში ექსტრემის არსებობის საკითხი ღია რჩება - საჭიროა დამატებითი კვლევები, მაგალითად, ამ ეტაპზე ფუნქციის ზრდის შესწავლა.

მათემატიკის უფრო დეტალურ კურსებში დასტურდება, რომ, კერძოდ, ფუნქციისთვის z = f(x,წ) ორი ცვლადის, რომელთა მეორე რიგის დიფერენციალი არის ფორმის ჯამი

Р 0 კრიტიკულ წერტილში ექსტრემის არსებობის შესწავლა შეიძლება გამარტივდეს.

აღნიშნეთ , , . შეადგინეთ განმსაზღვრელი

.

Აღმოჩნდა:

დ 2 ზ> 0 P 0 წერტილში, ე.ი. P 0 - მინიმალური ქულა, თუ ა(P 0) > 0 და D(P 0) > 0;

დ 2 ზ < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ა(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

თუ D(P 0)< 0, то დ 2 ზР 0 წერტილის სიახლოვეს იცვლის ნიშანს და Р 0 წერტილში ექსტრემი არ არის;

თუ D(Р 0) = 0, მაშინ ასევე საჭიროა რ 0 კრიტიკული წერტილის სიახლოვეს ფუნქციის დამატებითი შესწავლა.

ამრიგად, ფუნქციისთვის z = f(x,წ) ორი ცვლადი, ჩვენ გვაქვს შემდეგი ალგორითმი (მოდით დავარქვათ "ალგორითმი D") ექსტრემის საპოვნელად:

1) იპოვეთ განსაზღვრების დომენი D( ვ) ფუნქციები.

2) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები, ე.ი. ქულები D-დან ( ვ) რომლისთვისაც და ტოლია ნულის ან არ არსებობს.

3) ყოველ კრიტიკულ წერტილში Р 0 შეამოწმეთ საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის. ამისათვის იპოვეთ , სადაც , , და გამოთვალეთ D(Р 0) და მაგრამ(P 0). შემდეგ:

თუ D(Р 0) >0, მაშინ არის ექსტრემუმი Р 0 წერტილში, უფრო მეტიც, თუ მაგრამ(P 0) > 0 - მაშინ ეს არის მინიმალური და თუ მაგრამ(P 0)< 0 – максимум;

თუ D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

თუ D(Р 0) = 0, მაშინ საჭიროა დამატებითი კვლევები.

4) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ნაპოვნი უკიდურეს წერტილებში.

მაგალითი 1.

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა ზ = x 3 + 8წ 3 – 3xy .

გადაწყვეტილება.ამ ფუნქციის დომენი არის მთელი კოორდინატთა სიბრტყე. მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

მოდით შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური პირობების შესრულება. მოდი ვიპოვოთ

6X, = -3, = 48ზედა = 288ჰუ – 9.

შემდეგ D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - Р 1 წერტილში არის ექსტრემუმი და ვინაიდან მაგრამ(P 1) = 3 >0, მაშინ ეს ექსტრემი არის მინიმალური. ასე რომ, მინ ზ=ზ(P1) = .

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა .

გამოსავალი: D( ვ) = R2. კრიტიკული წერტილები: ; არ არსებობს ზე= 0, ამიტომ P 0 (0,0) არის ამ ფუნქციის კრიტიკული წერტილი.

2, = 0, = , = , მაგრამ D(Р 0) არ არის განსაზღვრული, ამიტომ მისი ნიშნის შესწავლა შეუძლებელია.

ამავე მიზეზით, შეუძლებელია 9.2 თეორემის პირდაპირ გამოყენება − დ 2 ზამ ეტაპზე არ არსებობს.

განვიხილოთ ფუნქციის ზრდა ვ(x, წ) Р 0 წერტილში. თუ დ ვ =ვ(P) - ვ(P 0)>0 "P, მაშინ P 0 არის მინიმალური წერტილი, თუ D ვ < 0, то Р 0 – точка максимума.

გვაქვს ჩვენს საქმეში

დ ვ = ვ(x, წ) – ვ(0, 0) = ვ(0+D x,0+D წ) – ვ(0, 0) = .

დ x= 0.1 და D წ= -0,008 ვიღებთ D ვ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 და D წ= 0.001D ვ= 0.01 + 0.1 > 0, ე.ი. Р 0 წერტილის მიდამოებში არც პირობა D ვ <0 (т.е. ვ(x, წ) < ვ(0, 0) და, შესაბამისად, P 0 არ არის მაქსიმალური წერტილი), არც პირობა D ვ>0 (ე.ი. ვ(x, წ) > ვ(0, 0) და შემდეგ Р 0 არ არის მინიმალური ქულა). აქედან გამომდინარე, ექსტრემის განმარტებით, ამ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემები.

პირობითი უკიდურესი.

ფუნქციის განხილული უკიდურესი ეწოდება უპირობო, ვინაიდან არანაირი შეზღუდვა (პირობები) არ არის დაწესებული ფუნქციის არგუმენტებზე.

განმარტება 9.2.ექსტრემალური ფუნქცია და = ვ(X 1 , X 2 , ... , x n), ნაპოვნია იმ პირობით, რომ მისი არგუმენტები X 1 , X 2 , ... , x nდააკმაყოფილეთ განტოლებები j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j ტ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, სადაც P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( ვ), ეწოდება პირობითი ექსტრემუმი .

განტოლებები ჯ კ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , კ = 1, 2,..., მ, უწოდებენ კავშირის განტოლებები.

განიხილეთ ფუნქციები z = f(x,წ) ორი ცვლადის. თუ არსებობს მხოლოდ ერთი შეზღუდვის განტოლება, ე.ი. , მაშინ პირობითი ექსტრემის პოვნა ნიშნავს, რომ ექსტრემი მოიძებნება არა ფუნქციის მთელ დომენში, არამედ ზოგიერთ მრუდზე, რომელიც მდებარეობს D( ვ) (ანუ, არ არის მოძიებული ზედაპირის უმაღლესი ან ყველაზე დაბალი წერტილები z = f(x,წდა ყველაზე მაღალი ან ყველაზე დაბალი წერტილები ამ ზედაპირის ცილინდრთან გადაკვეთის წერტილებს შორის, სურ. 5).

ფუნქციის პირობითი ექსტრემუმი z = f(x,წ) ორი ცვლადის ნახვა შესაძლებელია შემდეგი გზით( აღმოფხვრის მეთოდი). განტოლებიდან გამოთქვით ერთ-ერთი ცვლადი მეორის ფუნქციით (მაგალითად ჩაწერეთ) და ცვლადის ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ფუნქციაში ჩაწერეთ ეს უკანასკნელი ერთი ცვლადის ფუნქციად (განხილულ შემთხვევაში ). იპოვეთ ერთი ცვლადის შედეგად მიღებული ფუნქციის უკიდურესი.