პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ფუძეზე მრავალკუთხედია. ყველა სახე, თავის მხრივ, ქმნის სამკუთხედებს, რომლებიც იყრიან თავს ერთ წვეროზე. პირამიდები არის სამკუთხა, ოთხკუთხა და ა.შ. იმისათვის, რომ დაადგინოთ, რომელი პირამიდა არის თქვენს წინ, საკმარისია დათვალოთ კუთხეების რაოდენობა მის ძირში. „პირამიდის სიმაღლის“ განმარტება ძალიან ხშირად გვხვდება სასკოლო სასწავლო გეგმის გეომეტრიის ამოცანებში. სტატიაში შევეცდებით განვიხილოთ მისი პოვნის სხვადასხვა გზები.

პირამიდის ნაწილები

თითოეული პირამიდა შედგება შემდეგი ელემენტებისაგან:

• გვერდითი სახეები, რომლებსაც აქვთ სამი კუთხე და იყრიან თავს ზედა;
• აპოთემა წარმოადგენს სიმაღლეს, რომელიც ეშვება მისი ზემოდან;
• პირამიდის ზედა არის წერტილი, რომელიც აკავშირებს გვერდით კიდეებს, მაგრამ არ დევს ფუძის სიბრტყეში;
• ფუძე არის მრავალკუთხედი, რომელიც არ შეიცავს წვეროს;
• პირამიდის სიმაღლე არის სეგმენტი, რომელიც კვეთს პირამიდის ზედა ნაწილს და ქმნის სწორ კუთხეს მის ფუძესთან.

როგორ მოვძებნოთ პირამიდის სიმაღლე, თუ ცნობილია მისი მოცულობა

ფორმულის მეშვეობით V \u003d (S * h) / 3 (ფორმულაში V არის მოცულობა, S არის საბაზისო ფართობი, h არის პირამიდის სიმაღლე), აღმოვაჩენთ, რომ h \u003d (3 * V) / S . მასალის კონსოლიდაციისთვის, მოდით დაუყოვნებლივ გადავჭრათ პრობლემა. სამკუთხა ფუძე არის 50 სმ 2, ხოლო მოცულობა 125 სმ 3. სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე უცნობია, რომელიც უნდა ვიპოვოთ. აქ ყველაფერი მარტივია: ჩვენ ჩავსვამთ მონაცემებს ჩვენს ფორმულაში. ჩვენ ვიღებთ h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 სმ.

როგორ ვიპოვოთ პირამიდის სიმაღლე, თუ ცნობილია დიაგონალის სიგრძე და მისი კიდე

როგორც გვახსოვს, პირამიდის სიმაღლე მის ფუძესთან სწორ კუთხეს ქმნის. და ეს ნიშნავს, რომ სიმაღლე, კიდე და დიაგონალის ნახევარი ერთად ქმნიან ბევრს, რა თქმა უნდა, ახსოვს პითაგორას თეორემა. ორი განზომილების ცოდნა, მესამე მნიშვნელობის პოვნა რთული არ იქნება. გავიხსენოთ კარგად ცნობილი თეორემა a² = b² + c², სადაც a არის ჰიპოტენუზა, ჩვენს შემთხვევაში კი პირამიდის კიდე; b - დიაგონალის პირველი ფეხი ან ნახევარი და c - შესაბამისად, მეორე ფეხი, ან პირამიდის სიმაღლე. ამ ფორმულიდან c² = a² - b².

ახლა პრობლემა: ჩვეულებრივ პირამიდაში დიაგონალი არის 20 სმ, ხოლო კიდის სიგრძე 30 სმ. თქვენ უნდა იპოვოთ სიმაღლე. ჩვენ ვხსნით: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. აქედან გამომდინარე, c \u003d √ 500 \u003d დაახლოებით 22.4.

როგორ მოვძებნოთ ჩამოჭრილი პირამიდის სიმაღლე

ეს არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ფუძის პარალელურად მონაკვეთი. ჩამოჭრილი პირამიდის სიმაღლე არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის ორ ფუძეს. სიმაღლე შეიძლება ნაპოვნი იყოს ჩვეულებრივ პირამიდაზე, თუ ცნობილია ორივე ფუძის დიაგონალების სიგრძე, ისევე როგორც პირამიდის კიდეები. უფრო დიდი ფუძის დიაგონალი იყოს d1, ხოლო პატარა ფუძის დიაგონალი არის d2, ხოლო კიდეს აქვს სიგრძე l. სიმაღლის საპოვნელად შეგიძლიათ სიმაღლეები ჩამოწიოთ დიაგრამის ორი ზედა საპირისპირო წერტილიდან მის ბაზამდე. ჩვენ ვხედავთ, რომ მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი, რჩება მათი ფეხების სიგრძის პოვნა. ამისათვის გამოაკლეთ პატარა დიაგონალი უფრო დიდ დიაგონალს და გაყავით 2-ზე. ასე რომ, ჩვენ ვიპოვით ერთ ფეხს: a \u003d (d1-d2) / 2. ამის შემდეგ, პითაგორას თეორემის მიხედვით, მხოლოდ მეორე ფეხი უნდა ვიპოვოთ, რომელიც არის პირამიდის სიმაღლე.

ახლა მოდით შევხედოთ ამ ყველაფერს პრაქტიკაში. ჩვენ წინ გვაქვს ამოცანა. წაკვეთილ პირამიდას ძირში აქვს კვადრატი, უფრო დიდი ფუძის დიაგონალური სიგრძეა 10 სმ, ხოლო პატარას 6 სმ, ხოლო კიდე 4 სმ, საჭიროა სიმაღლის პოვნა. დასაწყისისთვის, ჩვენ ვპოულობთ ერთ ფეხს: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 სმ. ერთი ფეხი არის 2 სმ, ხოლო ჰიპოტენუზა არის 4 სმ. გამოდის, რომ მეორე ფეხი ან სიმაღლე იქნება 16- 4 \u003d 12, ანუ h \u003d √12 = დაახლოებით 3,5 სმ.

თეორემა. პირამიდის მოცულობა უდრის მისი ფუძის ფართობის ნამრავლს და სიმაღლის მესამედს.

ჯერ ვამტკიცებთ ამ თეორემას სამკუთხა პირამიდისთვის, შემდეგ კი მრავალკუთხედისთვის.

1) სამკუთხა პირამიდის SABC (ნახ. 102) საფუძველზე ვაშენებთ SABCDE პრიზმას, რომლის სიმაღლე უდრის პირამიდის სიმაღლეს, ხოლო ერთი გვერდითი კიდე ემთხვევა SB კიდეს. დავამტკიცოთ, რომ პირამიდის მოცულობა არის ამ პრიზმის მოცულობის მესამედი. გამოყავით ეს პირამიდა პრიზმისგან. ეს ტოვებს ოთხკუთხა პირამიდას SADEC (რომელიც ცალკეა ნაჩვენები სიცხადისთვის). დავხატოთ მასში საჭრელი სიბრტყე S წვეროზე და ფუძის DC დიაგონალზე. მიღებულ ორ სამკუთხა პირამიდას აქვს საერთო წვერო S და თანაბარი ფუძეები DEC და DAC, რომლებიც დევს იმავე სიბრტყეში; შესაბამისად, ზემოთ დადასტურებული ლემის მიხედვით, ეს პირამიდები თანაბარია. მოდით შევადაროთ ერთ-ერთი მათგანი, კერძოდ SDEC, ამ პირამიდას. SDEC პირამიდის ფუძისთვის შეგიძლიათ აიღოთ \(\Delta\)SDE; მაშინ მისი ზედა იქნება C წერტილში და სიმაღლე უდრის ამ პირამიდის სიმაღლეს. ვინაიდან \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, მაშინ, იგივე ლემის მიხედვით, პირამიდები SDEC და SABC ტოლია.

ABCDES პრიზმა ჩვენს მიერ იყოფა სამ თანაბარი ზომის პირამიდად: SABC, SDEC და SDAC. (ცხადია, ნებისმიერი სამკუთხა პრიზმა შეიძლება დაექვემდებაროს ასეთ დაყოფას. ეს არის სამკუთხა პრიზმის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება.) ამრიგად, სამი პირამიდის მოცულობის ჯამი, რომლებიც ზომით უდრის მოცემულ პირამიდს, არის მოცულობა. პრიზმა; აქედან გამომდინარე,

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

სადაც H არის პირამიდის სიმაღლე.

2) SABCDE მრავალკუთხა პირამიდის ფუძის ზოგიერთი E წვერის მეშვეობით (სურ. 103) ვხატავთ EB და EC დიაგონალებს.

შემდეგ ჩვენ ვხატავთ საჭრელ სიბრტყეებს SE კიდეზე და თითოეულ ამ დიაგონალზე. შემდეგ მრავალკუთხა პირამიდა დაიყოფა რამდენიმე სამკუთხა პირამიდად, რომლებსაც აქვთ საერთო სიმაღლე მოცემულ პირამიდასთან. სამკუთხა პირამიდების ფუძეების ფართობის აღნიშვნა ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 და სიმაღლე H-მდე, გვექნება:

მოცულობა SABCDE = 1/3 ბ 1სთ+1/3 ბ 2სთ+1/3 ბ 3 H = ( ბ 1 + ბ 2 + ბ 3) H / 3 =

= (ფართობი ABCDE) H / 3 .

შედეგი. თუ V, B და H ნიშნავს რიცხვებს, რომლებიც შესაბამისი ერთეულებით გამოხატავენ ნებისმიერი პირამიდის მოცულობას, ფუძის ფართობს და სიმაღლეს, მაშინ

თეორემა. დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა უდრის სამი პირამიდის მოცულობის ჯამს, რომლებსაც აქვთ იგივე სიმაღლე, როგორც შეკვეცილი პირამიდის სიმაღლე და ფუძეები: ერთი არის ამ პირამიდის ქვედა ფუძე, მეორე არის ზედა ფუძე, და მესამე პირამიდის ფუძის ფართობი უდრის ზედა და ქვედა ფუძის ფართობების გეომეტრიულ საშუალოს.

დაე, დამსხვრეული პირამიდის ფუძეების ფართობები (სურ. 104) იყოს B და ბ, სიმაღლე H და მოცულობა V (შეჭრილი პირამიდა შეიძლება იყოს სამკუთხა ან მრავალკუთხა - არ აქვს მნიშვნელობა).

ამის დამტკიცებაა საჭირო

V = 1/3 BH + 1/3 ბ H + 1 / 3 H√B ბ= 1/3H(B+ ბ+√B ბ ),

სადაც √B ბარის გეომეტრიული საშუალო B და ბ.

უფრო მცირე ზომის დასამტკიცებლად, ჩვენ ვათავსებთ პატარა პირამიდას, რომელიც ავსებს ამ შეკვეცილ პირამიდას სრულ პირამიდას. მაშინ შეგვიძლია ვიმსჯელოთ V პირამიდის მოცულობა ორი მოცულობის სხვაობად მივიჩნიოთ - სრული პირამიდისა და ზედა დამატებითი.

დამატებითი პირამიდის სიმაღლის აღნიშვნა ასოთი X, ჩვენ ამას ვიპოვით

V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - ბ)X].

სიმაღლის საპოვნელად Xჩვენ ვიყენებთ თეორემას დან, რომლის მიხედვითაც შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

ამ განტოლების გასამარტივებლად, ჩვენ გამოვყოფთ მის არითმეტიკულ კვადრატულ ფესვს ორივე მხრიდან:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

ამ განტოლებიდან (რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს პროპორციულად) მივიღებთ:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

და აქედან გამომდინარე

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

ამ გამოთქმის ჩანაცვლებით ფორმულით, რომელიც მივიღეთ V მოცულობისთვის, ვპოულობთ:

$$ V = \frac(1)(3)\მარცხენა $$

მას შემდეგ, რაც V- ბ= (√B + √ ბ) (√B - √ ბ), შემდეგ წილადის შემცირებით √B - √ სხვაობით ბჩვენ ვიღებთ:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

ანუ ვიღებთ ფორმულას, რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

სხვა მასალები

პირამიდაეწოდება მრავალედრონი, რომლის ფუძე არის თვითნებური მრავალკუთხედი და ყველა სახე არის სამკუთხედი საერთო წვერით, რომელიც არის პირამიდის მწვერვალი.

პირამიდა არის სამგანზომილებიანი ფიგურა. ამიტომ საკმაოდ ხშირად საჭიროა არა მხოლოდ მისი ფართობის, არამედ მისი მოცულობის პოვნა. პირამიდის მოცულობის ფორმულა ძალიან მარტივია:

სადაც S არის ფუძის ფართობი და h არის პირამიდის სიმაღლე.

სიმაღლეპირამიდას უწოდებენ სწორ ხაზს, რომელიც დაშვებულია მისი ზემოდან ძირამდე მარჯვენა კუთხით. შესაბამისად, პირამიდის მოცულობის საპოვნელად საჭიროა განვსაზღვროთ რომელი მრავალკუთხედი დევს ფუძესთან, გამოვთვალოთ მისი ფართობი, გავარკვიოთ პირამიდის სიმაღლე და ვიპოვოთ მოცულობა. განვიხილოთ პირამიდის მოცულობის გამოთვლის მაგალითი.

დავალება: მოცემულია რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა.

ფუძის გვერდები a = 3 სმ, ყველა გვერდითი კიდე b = 4 სმ იპოვეთ პირამიდის მოცულობა.
პირველ რიგში, გახსოვდეთ, რომ მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა პირამიდის სიმაღლე. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება დიაგონალის სიგრძე, უფრო სწორად, მისი ნახევარი. მაშინ, როდესაც ვიცით მართკუთხა სამკუთხედის ორი გვერდი, შეგვიძლია ვიპოვოთ სიმაღლე. ჯერ იპოვეთ დიაგონალი:

შეცვალეთ მნიშვნელობები ფორმულაში:


ჩვენ ვპოულობთ h სიმაღლეს d და კიდეების b გამოყენებით:


ახლა ვიპოვოთ

სივრცეში ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურის მთავარი მახასიათებელი მისი მოცულობაა. ამ სტატიაში განვიხილავთ რა არის პირამიდა ფუძეზე სამკუთხედით და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სამკუთხა პირამიდის მოცულობა - რეგულარული სრული და შეკვეცილი.

რა არის სამკუთხა პირამიდა?

ყველას სმენია ძველი ეგვიპტური პირამიდების შესახებ, თუმცა ისინი ოთხკუთხა რეგულარულია და არა სამკუთხა. მოდი ავხსნათ, როგორ მივიღოთ სამკუთხა პირამიდა.

ავიღოთ თვითნებური სამკუთხედი და დავაკავშიროთ მისი ყველა წვერო ამ სამკუთხედის სიბრტყის გარეთ მდებარე ერთ წერტილთან. მიღებულ ფიგურას ეწოდება სამკუთხა პირამიდა. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

როგორც ხედავთ, განსახილველი ფიგურა შედგება ოთხი სამკუთხედით, რომლებიც ზოგადად განსხვავებულია. თითოეული სამკუთხედი არის პირამიდის გვერდები ან მისი სახე. ამ პირამიდას ხშირად უწოდებენ ტეტრაედრონს, ანუ ოთხმხრივ სამგანზომილებიან ფიგურას.

გვერდების გარდა, პირამიდას ასევე აქვს კიდეები (არის 6 მათგანი) და წვეროები (არის 4 მათგანი).

სამკუთხა ფუძით

ფიგურა, რომელიც მიიღება თვითნებური სამკუთხედის და სივრცეში წერტილის გამოყენებით, ზოგად შემთხვევაში იქნება არარეგულარული დახრილი პირამიდა. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თავდაპირველ სამკუთხედს აქვს იგივე გვერდები და სივრცეში წერტილი მდებარეობს ზუსტად მისი გეომეტრიული ცენტრის ზემოთ სამკუთხედის სიბრტყიდან h მანძილზე. ამ საწყისი მონაცემების გამოყენებით აგებული პირამიდა სწორი იქნება.

ცხადია, რეგულარული სამკუთხა პირამიდის კიდეების, გვერდებისა და წვეროების რაოდენობა იგივე იქნება, რაც პირამიდის თვითნებური სამკუთხედიდან აგებული.

თუმცა, სწორ ფიგურას აქვს რამდენიმე გამორჩეული თვისება:

• მისი სიმაღლე, ზემოდან დახატული, ზუსტად გადაკვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (მედიანების გადაკვეთის წერტილი);
• ასეთი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი შედგება სამი იდენტური სამკუთხედით, რომლებიც ტოლგვერდა ან ტოლგვერდაა.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა არ არის მხოლოდ წმინდა თეორიული გეომეტრიული ობიექტი. ბუნებაში ზოგიერთ სტრუქტურას აქვს თავისი ფორმა, მაგალითად, ალმასის კრისტალური გისოსი, სადაც ნახშირბადის ატომი დაკავშირებულია ოთხ ატომთან კოვალენტური ბმებით, ან მეთანის მოლეკულა, სადაც პირამიდის მწვერვალები წარმოიქმნება წყალბადის ატომებით.

სამკუთხა პირამიდა

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ აბსოლუტურად ნებისმიერი პირამიდის მოცულობა, რომელსაც აქვს თვითნებური n-გონი ბაზაზე შემდეგი გამოხატვის გამოყენებით:

აქ სიმბოლო S o აღნიშნავს ფუძის ფართობს, h არის პირამიდის ზემოდან მონიშნულ ფუძეზე დახატული ფიგურის სიმაღლე.

ვინაიდან თვითნებური სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი a გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს და აპოთემა h a ამ მხარეს ჩამოშვებული, სამკუთხა პირამიდის მოცულობის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით:

V = 1/6 × a × h a × სთ

ზოგადი ტიპისთვის სიმაღლის დადგენა ადვილი საქმე არ არის. მის გადასაჭრელად უმარტივესი გზაა გამოიყენოს ფორმულის მანძილი წერტილის (ვერტექსს) და სიბრტყეს (სამკუთხა ფუძე) შორის, რომელიც წარმოდგენილია ზოგადი განტოლებით.

სწორისთვის, მას აქვს სპეციფიკური სახე. ფუძის ფართობი (ტოლგვერდა სამკუთხედი) მისთვის უდრის:

ჩვენ მას ვცვლით V-ს ზოგად გამოხატულებაში, მივიღებთ:

V = √3/12 × a 2 × სთ

განსაკუთრებული შემთხვევაა სიტუაცია, როდესაც ტეტრაედრის ყველა მხარე იდენტური ტოლგვერდა სამკუთხედები აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში მისი მოცულობის დადგენა შესაძლებელია მხოლოდ მისი კიდის a პარამეტრის ცოდნის საფუძველზე. შესაბამისი გამოთქმა ასე გამოიყურება:

შეკვეცილი პირამიდა

თუ წვეროს შემცველი ზედა ნაწილი მოწყვეტილია რეგულარული სამკუთხა პირამიდისგან, მაშინ მიიღება შეკვეცილი ფიგურა. ორიგინალისგან განსხვავებით, იგი შედგება ორი ტოლგვერდა სამკუთხა ფუძისა და სამი ტოლგვერდა ტრაპეციისგან.

ქვემოთ მოყვანილი ფოტო გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ქაღალდისგან დამზადებული ჩვეულებრივი ჩამოჭრილი სამკუთხა პირამიდა.

დამსხვრეული სამკუთხა პირამიდის მოცულობის დასადგენად აუცილებელია ვიცოდეთ მისი სამი წრფივი მახასიათებელი: ფუძის თითოეული გვერდი და ფიგურის სიმაღლე, რომელიც უდრის ზედა და ქვედა ფუძეს შორის მანძილს. მოცულობის შესაბამისი ფორმულა იწერება შემდეგნაირად:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

აქ h არის ფიგურის სიმაღლე, A და a არის დიდი (ქვედა) და პატარა (ზედა) ტოლგვერდა სამკუთხედების გვერდების სიგრძეები, შესაბამისად.

პრობლემის გადაწყვეტა

იმისათვის, რომ სტატიაში მოცემული ინფორმაცია მკითხველისთვის უფრო გასაგები გახდეს, ნათელი მაგალითით გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ზოგიერთი დაწერილი ფორმულა.

სამკუთხა პირამიდის მოცულობა იყოს 15 სმ 3. ცნობილია, რომ ფიგურა სწორია. თქვენ უნდა იპოვოთ გვერდითი კიდის a b აპოთემა, თუ ცნობილია, რომ პირამიდის სიმაღლეა 4 სმ.

ვინაიდან ფიგურის მოცულობა და სიმაღლე ცნობილია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შესაბამისი ფორმულა მისი ფუძის მხარის სიგრძის გამოსათვლელად. Ჩვენ გვაქვს:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × სთ) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 სმ

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 სმ

ფიგურის აპოთემის გამოთვლილი სიგრძე მის სიმაღლეზე მეტი აღმოჩნდა, რაც მართალია ნებისმიერი ტიპის პირამიდისთვის.

თეორემა.

პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლის მესამედს..

მტკიცებულება:

ჯერ ვამტკიცებთ თეორემას სამკუთხა პირამიდისთვის, შემდეგ თვითნებურისთვის.

1. განვიხილოთ სამკუთხა პირამიდაOABCV მოცულობით, ბაზის ფართობითსდა სიმაღლე თ. დახაზეთ ღერძი ოჰ (OM2- სიმაღლე), განიხილეთ მონაკვეთიA1 B1 C1პირამიდები ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყითოჰდა, შესაბამისად, ბაზის სიბრტყის პარალელურად. აღნიშნეთ მიერXაბსცისის წერტილი მ1 ამ სიბრტყის გადაკვეთა x ღერძთან და გადისS(x)- განივი ფართობი. ექსპრესი S(x)მეშვეობით ს, თდა X. გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები A1 AT1 თან1 და ABC მსგავსია. მართლაც ა1 AT1 II AB, ასე სამკუთხედი OA 1 AT 1 OAB სამკუთხედის მსგავსი. თანშესაბამისად, მაგრამ1 AT1 : მაგრამB= OA 1: OA .

მართკუთხა სამკუთხედები OA 1 AT 1 და OAB ასევე მსგავსია (მათ აქვთ საერთო მახვილი კუთხე O წვეროსთან). ამიტომ, OA 1: OA = O 1 მ1 : OM = x: თ. ამგვარადმაგრამ 1 AT 1 : A B = x: თ.ანალოგიურად, დადასტურებულია, რომB1 C1:მზე = X: თდა A1 C1:AC = X: თ.ასე რომ, სამკუთხედიA1 B1 C1და ABCმსგავსი მსგავსების კოეფიციენტით X: თ.ამიტომ, S(x): S = (x: თ)², ან S(x) = S x²/ თ².

ახლა გამოვიყენოთ ძირითადი ფორმულა სხეულების მოცულობის გამოსათვლელადა= 0, b=თვიღებთ

2. ახლა დავამტკიცოთ თეორემა სიმაღლის თვითნებური პირამიდის შესახებ თდა ბაზის ფართობი ს. ასეთი პირამიდა შეიძლება დაიყოს სამკუთხა პირამიდებად საერთო სიმაღლით თ.ჩვენ გამოვხატავთ თითოეული სამკუთხა პირამიდის მოცულობას ჩვენ მიერ დამტკიცებული ფორმულის მიხედვით და ვამატებთ ამ ტომებს. ფრჩხილებიდან საერთო კოეფიციენტის 1/3 სთ-ის ამოღებით, ფრჩხილებში ვიღებთ სამკუთხა პირამიდების ფუძეების ჯამს, ე.ი. საწყისი პირამიდის ფუძეების S ფართობი.

ამრიგად, თავდაპირველი პირამიდის მოცულობა არის 1/3Sh. თეორემა დადასტურდა.

შედეგი:

მოკვეთილი პირამიდის V მოცულობა h სიმაღლით და ფუძის ფართობებით S და S1 , გამოითვლება ფორმულით

h - პირამიდის სიმაღლე

S ზედა - ზედა ბაზის ფართობი

S ქვედა - ქვედა ბაზის ფართობი