დიდი რაოდენობით დაკვირვებით ან დიდი რიცხვითი მნიშვნელობით, ვარიანტი გამოიყენება

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის გამარტივებული გზა არის მომენტების მეთოდი.

M = A+ iSap

სადაც M არის საშუალო არითმეტიკული; A - პირობითი საშუალო; i - ოფცია ჯგუფებს შორის ინტერვალი;

S - შემაჯამებელი ნიშანი.; a - თითოეული ვარიანტის პირობითი გადახრა პირობითი საშუალოდან;

p არის ვარიანტის გაჩენის სიხშირე; n არის დაკვირვებების რაოდენობა.

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის მაგალითი მომენტების მეთოდით (სხეულის საშუალო წონა

ბიჭები 18 წლამდე)

V (n კგ-ში)	რ	a (V-A)	ა. რ
		+2	+4
		+1	+3
M o \u003d 62
		-1	-6
		-2	-8
		-3	-3
	n = 25		სარ \u003d - 10 კგ

საშუალოს გამოთვლის ეტაპები მომენტების მეთოდით:

2) ჩვენ განვსაზღვრავთ "a" - ვარიანტების პირობით გადახრას პირობითი საშუალოდან, ამისათვის გამოვაკლებთ პირობით საშუალოს თითოეულ ვარიანტს: a \u003d V - A, (მაგალითად, a \u003d 64 - 62 \u003d + 2 და ა.შ.).

3) პირობითი გადახრა "a" გავამრავლოთ თითოეული ვარიანტის "p" სიხშირეზე და მივიღოთ a p ნამრავლი;

4) იპოვეთ ჯამი Sa. p = - 10 კგ

5) გამოთვალეთ საშუალო არითმეტიკული მომენტების მეთოდით:

M = A + i SaP\u003d 62 - 1 × 0.4 \u003d 61.6 კგ

ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჩვენ მიერ შესწავლილ ახალგაზრდების ჯგუფში სხეულის საშუალო წონა

არითმეტიკული საშუალო თავისთავად არაფერს ამბობს იმ ვარიაციულ სერიაზე, საიდანაც

იგი გათვლილი იყო. მის ტიპურობაზე (სანდოობაზე) გავლენას ახდენს განხილულის ერთგვაროვნება

მასალისა და სერიის ცვალებადობა.

მაგალითი: მოცემულია დაკვირვებების რაოდენობის იდენტური ორი ვარიაციების სერია, რომელშიც

წარმოგიდგენთ 1-დან 2 წლამდე ასაკის ბავშვების თავის გარშემოწერილობის საზომ მონაცემებს

დაკვირვების ერთნაირი რაოდენობის და არითმეტიკული საშუალებების ერთნაირი (M = 46 სმ) სერიები

აქვს განსხვავებები განაწილებაში შიგნით. ასე რომ, პირველი რიგის ვარიანტები ზოგადად გადახრილია

არითმეტიკული საშუალო უფრო დაბალი მნიშვნელობით, ვიდრე მეორე რიგის ვარიანტები, რაც იძლევა

შესაძლებლობა ვივარაუდოთ, რომ არითმეტიკული საშუალო (46 სმ) უფრო დამახასიათებელია პირველისთვის

რიგი, ვიდრე მეორე.

სტატისტიკაში, ვარიაციების სერიის მრავალფეროვნების დასახასიათებლად იყენებენ საშუალოდ

სტანდარტული გადახრა(s)

სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად ორი გზა არსებობს: საშუალო არითმეტიკული

მომენტების გზა და გზა. გაანგარიშების საშუალო არითმეტიკული მეთოდით გამოიყენება ფორმულა:

სადაც d არის თითოეული ვარიანტის ჭეშმარიტი გადახრა M ჭეშმარიტი საშუალოდან. ფორმულა გამოიყენება, როდესაც

დაკვირვებების მცირე რაოდენობა (n<30)

მომენტების მეთოდით s-ის განსაზღვრის ფორმულა:

სადაც a არის ვარიანტების პირობითი გადახრა პირობითი საშუალოდან;

მეორე ხარისხის მომენტი და პირველი ხარისხის მომენტი კვადრატში.

თეორიულად და პრაქტიკულად დადასტურდა, რომ თუ დაკვირვების დიდი რაოდენობით, საშუალოდ

არითმეტიკული დავამატოთ და გამოვაკლოთ მას 1s (M ± 1s), შემდეგ მიღებული მნიშვნელობების ფარგლებში

ვარიაციის სერიის ყველა ვარიანტის 68.3% განთავსდება. თუ საშუალო არითმეტიკამდე

დავამატოთ და გამოვაკლოთ 2s (M ± 2s), მაშინ 95.5% იქნება მიღებული მნიშვნელობების ფარგლებში

ყველა ვარიანტი. M ±3s მოიცავს ვარიაციის სერიის ყველა ვარიანტის 99.7%-ს.

ამ დებულებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემოწმდეს საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობისთვის

ვარიაციული სერია, საიდანაც იგი გამოითვალა. ამისთვის საჭიროა საშუალოდ

დაამატეთ არითმეტიკა და გამოაკელი სამჯერ s (M ± 3s). თუ ფარგლებში

მოცემული ვარიაციული სერია ერგება, მაშინ საშუალო არითმეტიკული ტიპიურია, ე.ი. ის არის

გამოხატავს სერიის ძირითად კანონზომიერებას და მისი გამოყენება შესაძლებელია.

ეს დებულება ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა სტანდარტების შემუშავებაში (ტანსაცმელი,

ფეხსაცმელი, სასკოლო ავეჯი და ა.შ.).

მრავალფეროვნების ხარისხითვისება ვარიაციულ სერიაში შეიძლება შეფასდეს კოეფიციენტი

ვარიაციები(სტანდარტული გადახრის თანაფარდობა საშუალო არითმეტიკასთან,

გამრავლებული 100%-ზე

ერთად v = s x 100

C v-ზე 10%-ზე ნაკლები, აღინიშნება სუსტი მრავალფეროვნება, C v 10-20%-ზე - საშუალო და 20%-ზე მეტზე -

ძლიერი თვისებების მრავალფეროვნება.

სტატისტიკური კვლევის შედეგების სანდოობის შეფასება

როგორც ვთქვით, ყველაზე საიმედო შედეგების მიღება შესაძლებელია განაცხადის საშუალებით

უწყვეტი მეთოდი ე.ი. ზოგადი მოსახლეობის შესწავლისას.

იმავდროულად, ზოგადი მოსახლეობის შესწავლა მნიშვნელოვან შრომატევადობას უკავშირდება.

ამიტომ, ბიოსამედიცინო კვლევაში, როგორც წესი, შერჩევითია

დაკვირვებები. ისე, რომ შერჩევის პოპულაციის შესწავლის შედეგად მიღებული მონაცემები შეიძლება იყოს

გადაეცა ზოგად მოსახლეობას, საჭიროა სანდოობის შეფასება

სტატისტიკური კვლევის შედეგები. ნიმუშის ჩარჩო შეიძლება არ იყოს საკმარისი

სრულად წარმოადგენს პოპულაციას, ამიტომ ნიმუშის დაკვირვებები ყოველთვის არის

თან ახლავს წარმომადგენლობითი შეცდომა. საშუალო შეცდომის ზომით (მ) შეიძლება ვიმსჯელოთ

როგორ განსხვავდება ნაპოვნი ნიმუშის საშუალო ზოგადი საშუალოდან

აგრეგატები. მცირე შეცდომა მიუთითებს ამ მაჩვენებლების სიახლოვეს, დიდი შეცდომა ასეთი

არ იძლევა თავდაჯერებულობას.

საშუალო არითმეტიკული ცდომილების მნიშვნელობაზე გავლენას ახდენს შემდეგი ორი გარემოება.

პირველი, შეგროვებული მასალის ერთგვაროვნება: რაც უფრო მცირეა ვარიანტის დისპერსია გარშემო

მისი საშუალო, რაც უფრო მცირეა წარმომადგენლობითობის შეცდომა. მეორე, დაკვირვებების რაოდენობა:

საშუალო შეცდომა იქნება რაც უფრო მცირეა, მით უფრო დიდი იქნება დაკვირვებების რაოდენობა.

საშუალო არითმეტიკული ცდომილება გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

შედარებითი მნიშვნელობების საშუალო შეცდომა (წარმომადგენლობის შეცდომა) განისაზღვრება

ფორმულა:

სადაც m p არის ინდიკატორის საშუალო შეცდომა;

p - მაჩვენებელი% ან% o

q - (100 -p), (1000 -p)

n - დაკვირვების საერთო რაოდენობა

სამედიცინო დაწესებულება დატოვა 289 პაციენტმა, მათგან 12 გარდაიცვალა.

ფარდობითი მნიშვნელობა (სიკვდილობის მაჩვენებელი) p = (12:289)x100 = 4.1%; q=100 -p=

100-4.1 \u003d 95.9, საიდანაც

m p = ±

ამრიგად, ფარდობითი მნიშვნელობა ხელახალი შემოწმებისას შეესაბამება

ნდობის საზღვრებიარის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა, რომლის ფარგლებშიც

უშეცდომო პროგნოზის ალბათობის მოცემული ხარისხისთვის შეიძლება იყოს ნათესავი

მაჩვენებელი ან საშუალო ზოგად პოპულაციაში

საერთო პოპულაციაში ფარდობითი ღირებულების ნდობის ლიმიტები განისაზღვრება

P გენი = P ნიმუში ± tm m

საშუალო არითმეტიკული საზღვრები საერთო პოპულაციაში განისაზღვრება ფორმულით:

M გენი = M აირჩიეთ ± tm m

სადაც P გენი და M გენი არის ზოგადისთვის მიღებული ფარდობითი და საშუალო მნიშვნელობები

აგრეგატები.

P vyb და M vyb - შერჩევის პოპულაციისთვის მიღებული ფარდობითი და საშუალო მნიშვნელობების მნიშვნელობები.

m p და m m - წარმომადგენლობითი შეცდომა საშუალო და ფარდობითი მნიშვნელობებისთვის.

t - სანდოობის კრიტერიუმი.

დადგენილია, რომ თუ t= 1, სანდოობა არ აღემატება 68%-ს; თუ t=2 -95%; თუ t=3- 99%

სამედიცინო და ბიოლოგიურ კვლევებში საკმარისად ითვლება თუ კრიტერიუმი

ნდობა t³ 2 (95% ნდობა)

30 ფუნტი დაკვირვების რაოდენობის t კრიტერიუმის მოსაძებნად აუცილებელია სპეციალური

მაგიდა

რაც მცირდება წარმომადგენლობის შეცდომის ზომა, მცირდება ნდობის ლიმიტები.

საშუალო და ფარდობითი მნიშვნელობები, ანუ კვლევის შედეგები დაზუსტებულია, ახლოვდება

საერთო მოსახლეობის შესაბამისი ღირებულებები. თუ წარმომადგენლობითი შეცდომა

დიდი, შემდეგ მიიღეთ დიდი ნდობის ლიმიტები, რაც შეიძლება ეწინააღმდეგებოდეს

საერთო პოპულაციაში სასურველი მნიშვნელობის ლოგიკური შეფასება. ნდობის საზღვრები

ასევე დამოკიდებულია მკვლევარის მიერ არჩეული უშეცდომო პროგნოზის ალბათობის ხარისხზე. ზე

ნდობის ლიმიტების პროგნოზის უშეცდომო დიაპაზონის ალბათობის მაღალი ხარისხი

M cf - გამოითვლება მომენტების მეთოდით = 61,6 კგ

საშუალო არითმეტიკას სამი თვისება აქვს.

1. შუა იკავებს შუა პოზიციას ვარიაციულ სერიაში . მკაცრად სიმეტრიულ რიგში: M \u003d M 0 \u003d M e.

2. საშუალო არის განზოგადებული მნიშვნელობა და შემთხვევითი რყევები, ცალკეულ მონაცემებში განსხვავებები არ ჩანს საშუალოს მიღმა, ეს ცხადყოფს, რომ ტიპიურია, რომელიც დამახასიათებელია მთელი პოპულაციისთვის. . საშუალო გამოიყენება ყოველთვის, როდესაც აუცილებელია ინდივიდუალური ფაქტორების შემთხვევითი გავლენის გამორიცხვა, საერთო მახასიათებლების, არსებული შაბლონების იდენტიფიცირება, სრული და ღრმა წარმოდგენის მისაღებად მთელი ჯგუფის ყველაზე გავრცელებულ და დამახასიათებელ მახასიათებლებზე.

3. ყველა ვარიანტის საშუალოდან გადახრების ჯამი არის ნული : S(V-M)=0 . ეს იმიტომ ხდება, რომ საშუალო მნიშვნელობა აღემატება ზოგიერთი ვარიანტის ზომებს და უფრო მცირეა, ვიდრე სხვა ვარიანტების ზომები.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვარიანტის ჭეშმარიტი გადახრა ჭეშმარიტი საშუალოდან (დ=ვ-მ)შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი, ასე რომ ჯამი ს ყველა "+"d და "-"d უდრის ნულს.

საშუალოს ეს თვისება გამოიყენება გამოთვლების სისწორის შემოწმებისას მ.თუ ვარიანტის საშუალოდან გადახრების ჯამი არის ნული, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ საშუალო სწორად არის გამოთვლილი. ეს თვისება ემყარება განსაზღვრის მომენტების მეთოდს მ.ყოველივე ამის შემდეგ, თუ პირობითი საშუალო მაგრამტოლი იქნება ჭეშმარიტისა მ,მაშინ პირობითი საშუალოდან ვარიანტის გადახრების ჯამი ნულის ტოლი იქნება.

საშუალოების როლი ბიოლოგიაში ძალიან დიდია. ერთის მხრივ, ისინი გამოიყენება ფენომენების მთლიანობაში დასახასიათებლად, მეორეს მხრივ, აუცილებელია ცალკეული რაოდენობების შესაფასებლად. ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალოსთან შედარებისას, თითოეული მათგანისთვის მიიღება ღირებული მახასიათებლები. საშუალოების გამოყენება მოითხოვს მოსახლეობის ჰომოგენურობის პრინციპის მკაცრ დაცვას. ამ პრინციპის დარღვევა ამახინჯებს რეალური პროცესების იდეას.

სოციალურ-ეკონომიკურად ჰეტეროგენული მოსახლეობის საშუალო მაჩვენებლების გამოთვლა მათ ფიქტიურს, დამახინჯებულს ხდის. ამიტომ, საშუალო მაჩვენებლების სწორად გამოსაყენებლად, დარწმუნებული უნდა იყოს, რომ ისინი ახასიათებენ ერთგვაროვან სტატისტიკურ პოპულაციებს.

B ნიშნის მრავალფეროვნების მახასიათებლები

სტატისტიკური მოსახლეობა

ამა თუ იმ მახასიათებლის ღირებულება მოსახლეობის ყველა წევრისთვის ერთნაირი არ არის, მიუხედავად მისი შედარებითი ერთგვაროვნებისა. მაგალითად, ბავშვების ჯგუფში, რომლებიც ერთგვაროვანია ასაკის, სქესის და საცხოვრებელი ადგილის მიხედვით, თითოეული ბავშვის სიმაღლე განსხვავდება თანატოლების სიმაღლისგან. იგივე შეიძლება ითქვას პოლიკლინიკაში ვიზიტების რაოდენობაზე, რევმატიზმის მქონე თითოეულ პაციენტში სისხლის ცილის დონის შესახებ, ჰიპერტენზიის მქონე პირებში არტერიული წნევის დონეზე და ა.შ. ეს გვიჩვენებს მრავალფეროვნებას, რყევებს. ნიშანი შესწავლილ პოპულაციაში. ცვალებადობა შეიძლება გამომწვევად იყოს წარმოდგენილი მოზარდთა ჯგუფებში ზრდის მაგალითით.

სტატისტიკა საშუალებას გვაძლევს დავახასიათოთ ეს სპეციალური კრიტერიუმებით, რომლებიც განსაზღვრავს თითოეული მახასიათებლის მრავალფეროვნების დონეს კონკრეტულ ჯგუფში. ეს კრიტერიუმები მოიცავს ლიმიტი (ლიმი), სერიის ამპლიტუდა (Ვარ),სტანდარტული გადახრა (s) და ვარიაციის კოეფიციენტი (C v).ვინაიდან თითოეულ ამ კრიტერიუმს აქვს საკუთარი დამოუკიდებელი მნიშვნელობა, აუცილებელია მათზე ცალკე საუბარი.

Ზღვარი- განისაზღვრება ვარიაციის სერიის ვარიანტის უკიდურესი მნიშვნელობებით

Დიაპაზონი (Ვარ) - უკიდურესობათა განსხვავება

ლიმიტი და ამპლიტუდა - მიეცით გარკვეული ინფორმაცია თითოეულ ჯგუფში ზრდის მრავალფეროვნების ხარისხის შესახებ. თუმცა, სერიის ლიმიტს და ამპლიტუდასაც ერთი მნიშვნელოვანი ნაკლი აქვს.ისინი ითვალისწინებენ მხოლოდ ექსტრემალური ვარიანტების მრავალფეროვნებას და არ იძლევიან საშუალებას მიიღოთ ინფორმაცია აგრეგატში ნიშან-თვისების მრავალფეროვნების შესახებ, მისი შიდა სტრუქტურის გათვალისწინებით. ფაქტია, რომ მრავალფეროვნება ვლინდება არა იმდენად ექსტრემალურ ვარიანტებში, რამდენადაც ჯგუფის მთელი შიდა სტრუქტურის ანალიზში. აქედან გამომდინარე, ეს კრიტერიუმები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალფეროვნების სავარაუდო დახასიათებისთვის, განსაკუთრებით მცირე რაოდენობის დაკვირვებით (n<30).

აგრეგატში თვისების მრავალფეროვნების ყველაზე სრულყოფილ აღწერას იძლევა ე.წ სტანდარტული გადახრა, აღინიშნება ბერძნული ასო "სიგმა" -ს.

სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად ორი გზა არსებობს: საშუალო არითმეტიკული და მომენტების მეთოდი.

გამოთვლის საშუალო არითმეტიკული მეთოდით გამოიყენება ფორმულა სადაც დ-ვარიანტის ჭეშმარიტი გადახრა ჭეშმარიტი საშუალოდან (V-M).

ფორმულა გამოიყენება მცირე რაოდენობის დაკვირვებით (n<30), когда в вариационном ряду все частоты p= 1.

ზე რ> 1 გამოიყენეთ ასეთი ფორმულა:

კომპიუტერული ტექნოლოგიების თანდასწრებით, ეს ფორმულა ასევე გამოიყენება დიდი რაოდენობით დაკვირვებისთვის.

ეს ფორმულა შექმნილია "სიგმას" დასადგენად მომენტების მეთოდით:

სადაც:ა-პირობითი გადახრა პირობითი საშუალოდან ( V-A); p-ვარიანტების გაჩენის სიხშირე; n-ნომრის ვარიანტი; მე-ჯგუფებს შორის ინტერვალის ზომა.

ეს მეთოდი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც არ არსებობს კომპიუტერული ტექნოლოგია და ვარიაციების სერია რთულია როგორც დაკვირვებების დიდი რაოდენობის, ასევე მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვებით გამოხატული ვარიანტის გამო. დაკვირვებების რაოდენობა ტოლია 30 ან ნაკლები, მეორე ხარისხის მომენტში პჩანაცვლება (პ-1).

როგორც ჩანს სტანდარტული გადახრის ფორმულიდან (4), მნიშვნელი არის ( პ-1), ე.ი. როდესაც დაკვირვებების რაოდენობა უდრის ან ნაკლებია 30-ზე (n £ 30), აუცილებელია ფორმულის მნიშვნელის მიღება ( პ- ერთი). თუ არითმეტიკული საშუალოს განსაზღვრისას მგაითვალისწინეთ სერიის ყველა ელემენტი, შემდეგ გამოთვალეთ ა,აუცილებელია არა ყველა შემთხვევის, არამედ ერთით ნაკლების აღება (p-1).

დაკვირვებების დიდი რაოდენობით (n>30), ფორმულის მნიშვნელი არის P,Ისე როგორც ერთეული არ ცვლის გამოთვლის შედეგებს და ამიტომ ავტომატურად გამოტოვებულია.

უნდა აღინიშნოს, რომ სტანდარტული გადახრა არის დასახელებული მნიშვნელობა, ამიტომ მას უნდა ჰქონდეს ვარიანტის საერთო აღნიშვნა და საშუალო არითმეტიკული (განზომილება - კგ, იხ. კმ და ა.შ.).

სტანდარტული გადახრის გამოთვლა მომენტების მეთოდით ხორციელდება საშუალო მნიშვნელობის გაანგარიშების შემდეგ.

არსებობს კიდევ ერთი კრიტერიუმი, რომელიც ახასიათებს აგრეგატში ნიშან-თვისებების მნიშვნელობების მრავალფეროვნების დონეს, - ვარიაციის კოეფიციენტი.

ვარიაციის კოეფიციენტი (Cv)- არის მრავალფეროვნების შედარებითი საზომი, რადგან ის გამოითვლება სტანდარტული გადახრის პროცენტულად (ა) რომსაშუალო არითმეტიკული (მ).ცვალებადობის კოეფიციენტის ფორმულა არის:

ნიშან-თვისების მრავალფეროვნების ხარისხის მიახლოებითი შეფასებისთვის გამოიყენება ცვალებადობის კოეფიციენტის შემდეგი გრადაციები. თუ კოეფიციენტი 20%-ზე მეტია, მაშინ აღინიშნება ძლიერი მრავალფეროვნება; 20-10%-ზე - საშუალოდ, ხოლო თუ კოეფიციენტი 10%-ზე ნაკლებია, მაშინ ითვლება, რომ მრავალფეროვნება სუსტია.

ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოიყენება იმ მახასიათებლების მრავალფეროვნების ხარისხის შედარებისას, რომლებსაც აქვთ განსხვავებები მახასიათებლების ზომაში ან მათ არათანაბარ ზომებში. დავუშვათ, რომ გსურთ შეადაროთ სხეულის წონის მრავალფეროვნების ხარისხი ახალშობილებსა და 5 წლის ბავშვებში. გასაგებია, რომ ახალშობილებს ყოველთვის ნაკლები „სიგმა“ ექნებათ, ვიდრე შვიდი წლის ბავშვებს, ვინაიდან მათი ინდივიდუალური წონა ნაკლებია. სტანდარტული გადახრა უფრო მცირე იქნება იქ, სადაც თავად ფუნქციის მნიშვნელობა უფრო მცირეა. ამ შემთხვევაში, მრავალფეროვნების ხარისხში სხვაობის დასადგენად, საჭიროა ფოკუსირება არა სტანდარტულ გადახრაზე, არამედ მრავალფეროვნების ფარდობით ზომაზე - ვარიაციის Сv კოეფიციენტზე.

ცვალებადობის კოეფიციენტს ასევე დიდი მნიშვნელობა აქვს სხვადასხვა განზომილების მქონე რამდენიმე მახასიათებლის მრავალფეროვნების ხარისხის შესაფასებლად და შედარებისთვის. სტანდარტული გადახრით ჯერ კიდევ შეუძლებელია ვიმსჯელოთ მითითებული სიმბოლოების მრავალფეროვნების ხარისხში განსხვავებაზე. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ვარიაციის კოეფიციენტი - Cv.

სტანდარტული გადახრა დაკავშირებულია ფუნქციების განაწილების სერიის სტრუქტურასთან. სქემატურად, ეს შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად.

სტატისტიკის თეორიამ დაამტკიცა, რომ ნორმალური განაწილებით, ყველა შემთხვევის 68% არის M ± s ფარგლებში, ყველა შემთხვევის 95.5% არის M ± 2s ფარგლებში, ხოლო ყველა შემთხვევის 99.7%, რომელიც ქმნის პოპულაციას, არის M ± 3s ფარგლებში. . ამრიგად, M±3s მოიცავს თითქმის მთელ ვარიაციულ სერიას.

სტატისტიკის ამ თეორიულ პოზიციას რიგის სტრუქტურის კანონზომიერებაზე დიდი მნიშვნელობა აქვს სტანდარტული გადახრის პრაქტიკული გამოყენებისათვის. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს წესი გარკვევისთვის - კითხვა საშუალოს ტიპურობის შესახებ. თუ ყველა ვარიანტის 95% არის M ± 2s ფარგლებში, მაშინ საშუალო - დამახასიათებელია ამ სერიისთვის და არ არის საჭირო დაკვირვებების რაოდენობის გაზრდა აგრეგატში.საშუალოს ტიპურობის დასადგენად, ფაქტობრივი განაწილება შედარებულია თეორიულთან სიგმას გადახრების გამოთვლით.

სტანდარტული გადახრის პრაქტიკული მნიშვნელობა იმაშიც მდგომარეობს, რომ ცოდნა მდა ს, შესაძლებელია პრაქტიკული გამოყენებისათვის აუცილებელი ვარიაციული სერიის აგება. სიგმა ( ს) ასევე გამოიყენება ჰომოგენური მახასიათებლების მრავალფეროვნების ხარისხის შესადარებლად, მაგალითად, ქალაქსა და სოფლად ბავშვების ზრდის რყევების (ცვალებადობის) შედარებისას. სიგმის ცოდნა ( ს), შესაძლებელია ვარიაციის კოეფიციენტის (Cv) გამოთვლა, რომელიც აუცილებელია სხვადასხვა საზომ ერთეულებში (სანტიმეტრი, კილოგრამი და ა.შ.) გამოხატული ნიშნების მრავალფეროვნების ხარისხის შესადარებლად. ეს საშუალებას გაძლევთ ამოიცნოთ უფრო სტაბილური (მუდმივი) და ნაკლებად სტაბილური ნიშნები აგრეგატში.

ვარიაციის კოეფიციენტების შედარება (CV),შესაძლებელია დასკვნის გაკეთება, თუ რა არის ყველაზე სტაბილური თვისება მახასიათებლების მთლიანობაში. Სტანდარტული გადახრა (s)იგი ასევე გამოიყენება ერთი ობიექტის ინდივიდუალური მახასიათებლების შესაფასებლად. სტანდარტული გადახრა მიუთითებს რამდენი სიგმა ( ს) საშუალოდან (M)ინდივიდუალური გაზომვები უარყოფილია.

Სტანდარტული გადახრა ( ს)შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბიოლოგიასა და ეკოლოგიაში ნორმისა და პათოლოგიის პრობლემების განვითარებაში.

და ბოლოს, სტანდარტული გადახრა არის ფორმულის მნიშვნელოვანი კომპონენტი ტ მ- საშუალო არითმეტიკული შეცდომა (წარმომადგენლობის შეცდომა):

სადაც ტ მ- საშუალო არითმეტიკული ცდომილება (წარმომადგენლობის შეცდომა), პ- დაკვირვებების რაოდენობა.

წარმომადგენლობითობა.წარმომადგენლობითობის ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორიული საფუძვლები ზემოთ იყო მონიშნული სექციაში შერჩევისა და ზოგადი პოპულაციის შესახებ. წარმომადგენლობითობა ნიშნავს საერთო პოპულაციის შემადგენელი დაკვირვების ერთეულების წარმომადგენლობას ყველა განხილული მახასიათებლის (სქესი, ასაკი, პროფესია, სტაჟი და ა.შ.) შერჩევის ნაკრებში. შერჩევის პოპულაციის ეს წარმომადგენლობა საერთო პოპულაციასთან მიმართებაში მიიღწევა შერჩევის სპეციალური მეთოდების დახმარებით, რომლებიც ქვემოთ არის აღწერილი.

კვლევის შედეგების სანდოობის შეფასება ეფუძნება წარმომადგენლობითობის თეორიულ საფუძვლებს.

კვლევის შედეგების სანდოობის შეფასება

სტატისტიკური ინდიკატორების სანდოობა უნდა გავიგოთ, როგორც მათი შესაბამისობის ხარისხი მათ მიერ ასახულ რეალობასთან. სანდო შედეგები არის ის, რაც არ ამახინჯებს და სწორად ასახავს ობიექტურ რეალობას.

კვლევის შედეგების სანდოობის შეფასება ნიშნავს იმის დადგენას, თუ რა ალბათობით არის შესაძლებელი შერჩევის პოპულაციაზე მიღებული შედეგების გადატანა მთელ პოპულაციაზე.

კვლევების უმეტესობაში მკვლევარს, როგორც წესი, უწევს შესწავლილი ფენომენის ნაწილთან გამკლავება და ასეთი კვლევის შედეგებზე დაფუძნებული დასკვნები მთლიანად ფენომენს - ზოგად პოპულაციას გადასცემს.

ამრიგად, სანდოობის შეფასება აუცილებელია იმისათვის, რომ ვიმსჯელოთ ფენომენის მთლიანობაში, მის კანონზომიერებებზე, ფენომენის ნაწილის მიხედვით.

კვლევის შედეგების სანდოობის შეფასება გულისხმობს:

1) წარმომადგენლობითობის შეცდომები (საშუალო არითმეტიკული საშუალებების და ფარდობითი მნიშვნელობების შეცდომები) - ტ;

2) საშუალო (ან ფარდობითი) მნიშვნელობების ნდობის ზღვრები;

3) საშუალო (ან ფარდობითი) მნიშვნელობებს შორის სხვაობის სანდოობა
(კრიტერიუმის მიხედვითტ );

4) შედარებულ ჯგუფებს შორის სხვაობის სანდოობა კრიტერიუმის მიხედვითგ 2 .

1. საშუალო (ან ფარდობითი) მნიშვნელობის საშუალო ცდომილების განსაზღვრა (წარმომადგენლობის შეცდომა) - ე.ი.

წარმომადგენლობითი შეცდომა ( მ) არის ყველაზე მნიშვნელოვანი სტატისტიკური მნიშვნელობა, რომელიც საჭიროა კვლევის შედეგების სანდოობის შესაფასებლად. ეს შეცდომა ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც საჭიროა ფენომენის მთლიანობაში ნაწილობრივ დახასიათება. ეს შეცდომები გარდაუვალია. ისინი მომდინარეობს შერჩევის ბუნებიდან; ზოგადი პოპულაცია შეიძლება დახასიათდეს შერჩევის პოპულაციის მიერ მხოლოდ გარკვეული შეცდომით, რომელიც იზომება წარმომადგენლობითობის შეცდომით.

წარმომადგენლობითობის შეცდომები არ უნდა აგვერიოს შეცდომების ჩვეულებრივ იდეასთან: მეთოდოლოგიური, გაზომვის სიზუსტე, არითმეტიკა და ა.შ.

წარმომადგენლობითობის შეცდომის სიდიდე განსაზღვრავს, თუ რამდენად განსხვავდება შერჩევითი დაკვირვების დროს მიღებული შედეგები იმ შედეგებისგან, რაც შეიძლება მიღებულ იქნეს გამონაკლისის გარეშე ზოგადი პოპულაციის ყველა ელემენტის უწყვეტი შესწავლით.

ეს არის სტატისტიკური მეთოდებით აღრიცხული შეცდომების ერთადერთი ტიპი, რომელთა აღმოფხვრა შეუძლებელია, თუ არ მოხდება გადასვლა უწყვეტ კვლევაზე. წარმომადგენლობითობის შეცდომები შეიძლება შემცირდეს საკმაოდ მცირე მნიშვნელობამდე, ანუ დასაშვები შეცდომის სიდიდემდე. ეს კეთდება ნიმუშში დაკვირვების საკმარისი რაოდენობის ჩართვით. (P).

ყოველი საშუალო არის მ(მკურნალობის საშუალო ხანგრძლივობა, საშუალო სიმაღლე, სხეულის საშუალო წონა, სისხლის ცილის საშუალო დონე და ა.შ.), ისევე როგორც თითოეული ფარდობითი მნიშვნელობა - რ(სიკვდილობის მაჩვენებელი, ავადობა და ა.შ.) უნდა იყოს წარმოდგენილი მათი საშუალო შეცდომით - ტ.ამრიგად, ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული (M)აქვს წარმომადგენლობითი შეცდომა, რომელსაც ეწოდება საშუალო არითმეტიკული ცდომილება (მ მ) და განისაზღვრება ფორმულით:

როგორც ამ ფორმულიდან ჩანს, საშუალო არითმეტიკული ცდომილების მნიშვნელობა პირდაპირპროპორციულია მახასიათებლის მრავალფეროვნების ხარისხთან და უკუპროპორციულია დაკვირვებების რაოდენობის კვადრატულ ფესვთან. ამრიგად, ამ შეცდომის სიდიდის შემცირება მრავალფეროვნების ხარისხის განსაზღვრისას ( ს) შესაძლებელია დაკვირვებების რაოდენობის გაზრდით.

ეს პრინციპი სანიმუშო კვლევისთვის საკმარისი რაოდენობის დაკვირვების განსაზღვრის მეთოდის საფუძველია.

შედარებითი ღირებულებები (R),ნიმუშის კვლევაში მიღებულს ასევე აქვს საკუთარი წარმომადგენლობითი შეცდომა, რომელსაც ეწოდება ფარდობითი მნიშვნელობის საშუალო შეცდომა და აღინიშნება მ გვ

ფარდობითი მნიშვნელობის საშუალო ცდომილების დასადგენად (R)გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:

სადაც რ- ფარდობითი ღირებულება. თუ მაჩვენებელი გამოხატულია პროცენტულად, მაშინ q=100-P,თუ R- ppm-ში, მაშინ q=1000-P,თუ R-დეციმილებში, მაშინ q= 10000-რდა ა.შ. პ- დაკვირვებების რაოდენობა. როდესაც დაკვირვებების რაოდენობა 30-ზე ნაკლებია, მნიშვნელი უნდა იქნას მიღებული ( P - 1 ).

თითოეული არითმეტიკული საშუალო ან ფარდობითი მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია ნიმუშის პოპულაციისგან, უნდა იყოს წარმოდგენილი საკუთარი საშუალო შეცდომით. ეს შესაძლებელს ხდის საშუალო და ფარდობითი მნიშვნელობების ნდობის ზღვრების გამოთვლას, ასევე შედარებულ მაჩვენებლებს შორის სხვაობის სანდოობის განსაზღვრას (კვლევის შედეგები).

არსებობს სამი სახის საშუალო: რეჟიმი (M0), მედიანა (Me), საშუალო არითმეტიკული (M).

ისინი ერთმანეთს ვერ შეცვლიან და მხოლოდ მთლიანობაში, საკმაოდ სრულად და ლაკონურ ფორმაშია ვარიაციის სერიების მახასიათებლები.

მოდა (Mo)- ყველაზე ხშირად გვხვდება ვარიანტების განაწილების სერიაში. ის იძლევა წარმოდგენას ვარიაციის სერიის განაწილების ცენტრის შესახებ. Გამოყენებული:

განაწილების ცენტრის განსაზღვრა ღია ვარიაციის სერიებში

მკვეთრად ასიმეტრიული განაწილებით მწკრივებში საშუალო დონის დასადგენად

მედიანური- ეს არის საშუალო ვარიანტი, რეიტინგული სერიის ცენტრალური წევრი. სახელწოდება მედიანა აღებულია გეომეტრიიდან, სადაც ეს არის ხაზის სახელი, რომელიც ყოფს სამკუთხედის გვერდს ორ თანაბარ ნაწილად.

მედიანა გამოიყენება:

მახასიათებლის საშუალო დონის განსაზღვრა რიცხვით სერიებში არათანაბარი ინტერვალებით ჯგუფებში

მახასიათებლის საშუალო დონის დასადგენად, როდესაც წყაროს მონაცემები ხარისხობრივ მახასიათებლებად არის წარმოდგენილი და როდესაც პოპულაციის გარკვეული სიმძიმის ცენტრის მითითების ერთადერთი გზა არის ვარიანტის (ვარიანტი ჯგუფის) მითითება, რომელიც იკავებს ცენტრალურ პოზიციას.

ზოგიერთი დემოგრაფიული მაჩვენებლის გაანგარიშებისას (საშუალო სიცოცხლის ხანგრძლივობა)

ჯანმრთელობის დაწესებულებების, კომუნალური დაწესებულებების და ა.შ. ყველაზე რაციონალური მდებარეობის განსაზღვრისას (იგულისხმება დაწესებულებების ოპტიმალური მანძილის გათვალისწინება ყველა სერვისის ობიექტიდან)

დღეისათვის ძალიან ხშირია სხვადასხვა გამოკითხვა (მარკეტინგი, სოციოლოგიური და ა.შ.), რომლებშიც რესპონდენტებს სთხოვენ ქულების მინიჭებას პროდუქტებზე, პოლიტიკოსებზე და ა.შ. შემდეგ მიღებული შეფასებებიდან გამოითვლება საშუალო ქულები და განიხილება როგორც ინტეგრალური ნიშნები. რესპონდენტთა ჯგუფი. ამ შემთხვევაში საშუალო არითმეტიკული საშუალოს დასადგენად ჩვეულებრივ გამოიყენება. თუმცა, ამ მეთოდის რეალურად გამოყენება შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მედიანა ან რეჟიმი, როგორც საშუალო ქულები.

თვისების საშუალო დონის დასახასიათებლად მედიცინაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება საშუალო არითმეტიკული მაჩვენებელი (M).

Საშუალო არითმეტიკული - ეს არის შესწავლილი ფენომენების გარკვეული მახასიათებლის ზოგადი რაოდენობრივი მახასიათებელი, რომლებიც ქმნიან თვისობრივად ერთგვაროვან სტატისტიკურ კომპლექტს.

განასხვავებენ მარტივ არითმეტიკულ საშუალოსა და შეწონილ საშუალოს.

მარტივი არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება დაუჯგუფებელი ვარიაციების სერიებისთვის ყველა ვარიანტის შეჯამებით და ამ ჯამის გაყოფით ვარიაციების სერიაში შემავალი ვარიანტების საერთო რაოდენობაზე.

მარტივი არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება ფორმულით:

M - არითმეტიკული შეწონილი საშუალო,

∑Vp არის ვარიანტის პროდუქტთა ჯამი და მათი სიხშირეები,

n არის დაკვირვებების რაოდენობა.

შეწონილი არითმეტიკული საშუალოს პირდაპირი გამოთვლის მითითებული მეთოდის გარდა, არსებობს სხვა მეთოდები, კერძოდ, მომენტების მეთოდი, რომლებშიც არითმეტიკული გამოთვლები გარკვეულწილად გამარტივებულია.

მომენტების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:

M = A +	∑dp
ნ

A - პირობითი საშუალო (ყველაზე ხშირად, M0 რეჟიმი აღებულია როგორც პირობითი საშუალო)

d - თითოეული ვარიანტის გადახრა პირობითი საშუალოდან (V-A)

∑dp არის გადახრების ნამრავლებისა და მათი სიხშირის ჯამი.

გაანგარიშების თანმიმდევრობა წარმოდგენილია ცხრილში (პირობით საშუალოდ ვიღებთ M0 = 76 დარტყმას წუთში).

პულსის სიხშირე V	რ	d (V-A)	დპ
		-16	-16
		-14	-28
		-12	-36
		-10	-30
		-8	-24
		-6	-54
		-4	-24
		-2	-14
	n=54	| ∑dp=-200

სადაც i არის ინტერვალი ჯგუფებს შორის.

გაანგარიშების თანმიმდევრობა მოცემულია ცხრილში. (პირობითი საშუალოსთვის ვიღებთ M 0 = 73 დარტყმას წუთში, სადაც i = 3)

საშუალო არითმეტიკულის განსაზღვრა მომენტების მეთოდით

n=54 ∑dp=-13

M = A +	∑dp	=	73+	-13*3	\u003d 73 - 0.7 \u003d 72.3 (დარტყმა წუთში
ნ

ამრიგად, მომენტების მეთოდით მიღებული საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა ჩვეულებრივი გზით ნაპოვნის იდენტურია.

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის მეთოდები (მარტივი და შეწონილი არითმეტიკული საშუალო, მომენტების მეთოდით)

ჩვენ განვსაზღვრავთ საშუალო მნიშვნელობებს:

რეჟიმი (Mo) \u003d 11, რადგან ეს ვარიანტი ყველაზე ხშირად გვხვდება ვარიაციის სერიაში (p=6).

მედიანა (Me) - ვარიანტის სერიული ნომერი, რომელიც იკავებს შუა პოზიციას = 23, ვარიაციების სერიაში ეს ადგილი იკავებს 11-ის ტოლ ვარიანტს. საშუალო არითმეტიკული (M) საშუალებას გაძლევთ ყველაზე სრულად დაახასიათოთ საშუალო დონე. შესასწავლი თვისება. საშუალო არითმეტიკის გამოსათვლელად გამოიყენება ორი მეთოდი: საშუალო არითმეტიკული მეთოდი და მომენტების მეთოდი.

თუ ვარიაციის სერიაში თითოეული ვარიანტის გაჩენის სიხშირე 1-ის ტოლია, მაშინ მარტივი არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება საშუალო არითმეტიკული მეთოდით: M = .

თუ ვარიაციის სერიაში ვარიანტის გაჩენის სიხშირე განსხვავდება 1-დან, მაშინ შეწონილი არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება საშუალო არითმეტიკული მეთოდის მიხედვით:

მომენტების მეთოდის მიხედვით: A - პირობითი საშუალო,

M = A + =11 += 10.4 d=V-A, A=Mo=11

თუ ვარიანტების რაოდენობა ვარიაციის სერიაში 30-ზე მეტია, მაშინ აგებულია დაჯგუფებული სერია. დაჯგუფებული სერიის აგება:

1) Vmin და Vmax Vmin=3, Vmax=20 განსაზღვრა;

2) ჯგუფების რაოდენობის განსაზღვრა (ცხრილის მიხედვით);

3) ჯგუფებს შორის ინტერვალის გაანგარიშება მე = 3;

4) ჯგუფების დასაწყისისა და დასასრულის განსაზღვრა;

5) თითოეული ჯგუფის სიხშირის ვარიანტის განსაზღვრა (ცხრილი 2).

მაგიდა 2

დაჯგუფებული სერიის აგების ტექნიკა

ხანგრძლივობა მკურნალობა დღეებში
n=45 p=480 p=30 2 p=766

დაჯგუფებული ვარიაციული სერიის უპირატესობა ის არის, რომ მკვლევარი მუშაობს არა ყველა ვარიანტთან, არამედ მხოლოდ იმ ვარიანტებთან, რომლებიც საშუალოა თითოეული ჯგუფისთვის. ეს მნიშვნელოვნად აადვილებს საშუალოს გამოთვლას.

ამა თუ იმ მახასიათებლის ღირებულება მოსახლეობის ყველა წევრისთვის ერთნაირი არ არის, მიუხედავად მისი შედარებითი ერთგვაროვნებისა. სტატისტიკური პოპულაციის ეს თვისება ხასიათდება საერთო პოპულაციის ერთ-ერთი ჯგუფური თვისებით - თვისებების მრავალფეროვნება. მაგალითად, ავიღოთ 12 წლის ბიჭების ჯგუფი და გავზომოთ მათი სიმაღლე. გამოთვლების შემდეგ ამ ნიშან-თვისების საშუალო დონე იქნება 153 სმ, მაგრამ საშუალო ახასიათებს შესწავლილი ნიშან-თვისების ზოგად საზომს. ამ ასაკის ბიჭებს შორის არიან ბიჭები, რომელთა სიმაღლეა 165 სმ ან 141 სმ. რაც უფრო მეტია ბიჭი, რომელსაც აქვს სიმაღლე 153 სმ-ის გარდა, მით მეტია ამ თვისების მრავალფეროვნება სტატისტიკურ პოპულაციაში.

სტატისტიკა საშუალებას გვაძლევს დავახასიათოთ ეს თვისება შემდეგი კრიტერიუმებით:

ლიმიტი (ლიმი),

ამპლიტუდა (Amp),

სტანდარტული გადახრა ( y) ,

ვარიაციის კოეფიციენტი (Cv).

ლიმიტი (ლიმიტი)განისაზღვრება ვარიაციის სერიის ვარიანტის უკიდურესი მნიშვნელობებით:

lim=Vmin /Vmax

ამპლიტუდა (Amp) -ექსტრემალური ვარიანტების განსხვავება:

Amp=Vmax -Vmin

ეს მნიშვნელობები ითვალისწინებს მხოლოდ ექსტრემალური ვარიანტების მრავალფეროვნებას და არ იძლევა საშუალებას მიიღოთ ინფორმაცია აგრეგატში მახასიათებლის მრავალფეროვნების შესახებ, მისი შიდა სტრუქტურის გათვალისწინებით. აქედან გამომდინარე, ეს კრიტერიუმები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალფეროვნების სავარაუდო დახასიათებისთვის, განსაკუთრებით მცირე რაოდენობის დაკვირვებით (n<30).

ვარიაციული სერიის სამედიცინო სტატისტიკა

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლები შეიძლება იყოს რთული, თუ ოფციონებს (მახასიათებლის მნიშვნელობებს) და წონებს აქვთ ძალიან დიდი ან ძალიან მცირე მნიშვნელობები და თავად გამოთვლის პროცესი გართულდება. შემდეგ, გაანგარიშების სიმარტივისთვის, გამოიყენება საშუალო არითმეტიკული თვისებების მთელი რიგი:

1) თუ თქვენ შეამცირებთ (გაზრდით) ყველა ვარიანტს ნებისმიერი თვითნებური რიცხვით მაგრამ, მაშინ ახალი საშუალო იგივე რიცხვით შემცირდება (გაიზრდება). მაგრამ, ანუ შეიცვლება ± მაგრამ;

2) თუ შევამცირებთ ყველა ვარიანტს (ფუნქციის მნიშვნელობებს) ერთსა და იმავე რაოდენობაზე ( რომ), მაშინ საშუალო შემცირდება იგივე რაოდენობით და გაზრდით ( რომ) ჯერ - გაიზრდება ( რომ) ერთხელ;

3) თუ შევამცირებთ ან გავზრდით ყველა ვარიანტის წონას (სიხშირეს) რაიმე მუდმივი რიცხვით მაგრამ, მაშინ საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება;

4) ყველა ვარიანტის გადახრების ჯამი მთლიანი საშუალოდან არის ნული.

არითმეტიკული საშუალოს ჩამოთვლილი თვისებები საშუალებას იძლევა, საჭიროების შემთხვევაში, გამარტივდეს გამოთვლები აბსოლუტური სიხშირეების შეცვლით ფარდობითი სიხშირით, შემცირდეს ოფციები (ფუნქციების მნიშვნელობები) ნებისმიერი რიცხვით. მაგრამ, შეამცირეთ ისინი რომჯერ და გამოთვალეთ შემცირებული ვერსიის საშუალო არითმეტიკული და შემდეგ გადადით ორიგინალური სერიის საშუალოზე.

მისი თვისებების გამოყენებით საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის მეთოდი სტატისტიკაში ცნობილია როგორც "პირობითი ნულოვანი მეთოდი", ან "პირობითი საშუალო", ან როგორ "მომენტების მეთოდი".

მოკლედ, ეს მეთოდი შეიძლება დაიწეროს ფორმულის სახით

თუ შემცირებული ვარიანტები (სიმბოლოების მნიშვნელობები) აღინიშნება, მაშინ ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს როგორც.

ნებისმიერი რიცხვის მნიშვნელობის განსაზღვრისას არითმეტიკული საშუალო შეწონილი ინტერვალის სერიის გაანგარიშების გასამარტივებლად ფორმულის გამოყენებისას მაგრამგამოიყენოს მისი განსაზღვრის ისეთი მეთოდები.

ღირებულება მაგრამუდრის მნიშვნელობას:

1) ინტერვალის საშუალო მნიშვნელობის პირველი მნიშვნელობა (ჩვენ გავაგრძელებთ პრობლემის მაგალითს, სადაც მილიონი დოლარი და .

შემცირებული ვარიანტის საშუალო გაანგარიშება

ინტერვალები	ინტერვალის საშუალო		ქარხნების რაოდენობა ვ	მუშაობა
2-მდე	1,5	0 (1,5–1,5)
2–3	2,5	1 (2,5–1,5)
3–4	3,5	2 (3,5–1,5)
4–5	4,5	3 (4,5–1,5)
5–6	5,5	4 (5,5–1,5)
6-ზე მეტი	6,5	5 (6,5–1,5)
სულ:	3,7	–

,

2) ღირებულება მაგრამჩვენ ვიღებთ გამეორებების უმაღლესი სიხშირის მქონე ინტერვალის საშუალო მნიშვნელობის ტოლფასს, ამ შემთხვევაში მაგრამ= 3.5 at ( ვ= 30), ან შუა ვარიანტის მნიშვნელობა, ან ყველაზე დიდი ვარიანტი (ამ შემთხვევაში, მახასიათებლის უდიდესი მნიშვნელობა X= 6.5) და იყოფა ინტერვალის ზომაზე (ამ მაგალითში 1).

გაანგარიშება საშუალო at მაგრამ = 3,5, ვ = 30, რომ= 1 იმავე მაგალითში.

მომენტების საშუალო მეთოდის გამოთვლა

ინტერვალები	ინტერვალის საშუალო		ქარხნების რაოდენობა ვ	მუშაობა
2-მდე	1,5	(1,5 – 3,5) : 1 = –2		–20
2–3	2,5	(2,5 – 3,5) : 1 = –1		–20
3–4	3,5	(3,5 – 3,5) : 1 = 0
4–5	4,5	(4,5 – 3,5) : 1 = 1
5–6	5,5	(5,5 – 3,5) : 1 = 2
6-ზე მეტი	6,5	(6,5 – 3,5) : 1 = 3
სულ:	3,7	–

; ; ;

მომენტების მეთოდი, პირობითი ნული ან პირობითი საშუალო არის ის, რომ საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის შემცირებული მეთოდით ვირჩევთ ისეთ მომენტს, რომ ახალ სერიაში მახასიათებლის ერთ-ერთ მნიშვნელობას, ე.ი. აქ ჩვენ ვირჩევთ მნიშვნელობას მაგრამდა რომ.

უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ X – მაგრამ) : რომ, სად რომარის ინტერვალის ტოლი მნიშვნელობა, შემდეგ მიღებული ახალი ვარიანტები ფორმირდება ნატურალური რიცხვების (1, 2, 3 და ა.შ.) თანაბარი ინტერვალის სერიის სერიაში, დადებითი ქვემოთ და უარყოფითი ნულიდან ზემოთ. ამ ახალი ვარიანტების საშუალო არითმეტიკას ეწოდება პირველი რიგის მომენტი და გამოიხატება ფორმულით

.

საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის დასადგენად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი რიგის მომენტის მნიშვნელობა ამ ინტერვალის მნიშვნელობაზე ( რომ), რომლითაც ჩვენ ვყოფთ ყველა ვარიანტს და მიღებულ პროდუქტს ვამატებთ ოფციონის მნიშვნელობას ( მაგრამ) რომ წაიკითხეს.

;

ამრიგად, მომენტების ან პირობითი ნულის მეთოდის გამოყენებით, ბევრად უფრო ადვილია საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა ვარიაციული სერიიდან, თუ რიგი ტოლი ინტერვალია.

მოდა

რეჟიმი არის მახასიათებლის (ვარიანტის) მნიშვნელობა, რომელიც ყველაზე ხშირად მეორდება შესწავლილ პოპულაციაში.

დისკრეტული განაწილების სერიებისთვის რეჟიმი იქნება ყველაზე მაღალი სიხშირის მქონე ვარიანტების მნიშვნელობა.

მაგალითი.მამაკაცის ფეხსაცმლის წარმოების გეგმის განსაზღვრისას ქარხანამ გაყიდვის შედეგების საფუძველზე შეისწავლა მომხმარებლის მოთხოვნა. გაყიდული ფეხსაცმლის განაწილება ხასიათდებოდა შემდეგი მაჩვენებლებით:

ყველაზე დიდი მოთხოვნა 41 ზომის ფეხსაცმელზე იყო და გაყიდული რაოდენობის 30%-ს შეადგენდა. ამ განაწილების სერიაში მ 0 = 41.

თანაბარი ინტერვალებით ინტერვალის განაწილების სერიებისთვის რეჟიმი განისაზღვრება ფორმულით

.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ვიპოვოთ ინტერვალი, რომელშიც მდებარეობს რეჟიმი, ანუ მოდალური ინტერვალი.

ცვალებად სერიაში თანაბარი ინტერვალებით მოდალური დაშორებაგანისაზღვრება უმაღლესი სიხშირით, სერიებში არათანაბარი ინტერვალებით - ყველაზე მაღალი განაწილების სიმკვრივით, სადაც: - რეჟიმის შემცველი ინტერვალის ქვედა საზღვრის მნიშვნელობა; არის მოდალური ინტერვალის სიხშირე; - მოდალის წინა ინტერვალის სიხშირე, ანუ პრემოდალური; - მოდალის შემდგომი ინტერვალის სიხშირე, ანუ პოსტმოდალური.

ინტერვალის სერიაში რეჟიმის გამოთვლის მაგალითი

მოცემულია საწარმოთა დაჯგუფება სამრეწველო და საწარმოო პერსონალის რაოდენობის მიხედვით. იპოვე მოდა. ჩვენს პრობლემაში ყველაზე მეტი საწარმო (30) ჰყავს 400-დან 500-მდე დასაქმებულ ჯგუფს. ამრიგად, ეს ინტერვალი არის თანაბრად დაშორებული გამრავლების სერიის მოდალური ინტერვალი. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:

ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები რეჟიმის გამოთვლის ფორმულაში და გამოთვალეთ:

ამრიგად, ჩვენ დავადგინეთ ამ ინტერვალში შემავალი ატრიბუტის მოდალური მნიშვნელობის მნიშვნელობა (400–500), ე.ი. მ 0 = 467 ადამიანი

ხშირ შემთხვევაში, მოსახლეობის განზოგადების ინდიკატორად დახასიათებისას უპირატესობა ენიჭება მოდა, არა საშუალო არითმეტიკული. ასე რომ, ბაზარზე ფასების შესწავლისას დინამიკაში დაფიქსირებული და შესწავლილი არ არის გარკვეული პროდუქტის საშუალო ფასი, არამედ მოდალური. ფეხსაცმლისა თუ ტანსაცმლის გარკვეულ ზომაზე მოსახლეობის მოთხოვნის შესწავლისას საინტერესოა მოდალური ნომრის დადგენა და არა საშუალო ზომის, რასაც საერთოდ არ აქვს მნიშვნელობა. თუ საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობით ახლოსაა რეჟიმთან, მაშინ ის ტიპიურია.

ამოცანები გადაჭრისთვის

დავალება 1

ჯიშის სათესლე სადგურზე, ხორბლის თესლის ხარისხის დადგენისას, თესლის შემდეგი განსაზღვრა მიიღეს აღმოცენების პროცენტით:

განსაზღვრეთ მოდა.

დავალება 2

ყველაზე დატვირთულ სავაჭრო საათებში ფასების დარეგისტრირებისას, ცალკეულმა გამყიდველებმა დაარეგისტრირეს შემდეგი რეალური გასაყიდი ფასები (დოლარი კგ-ზე):

კარტოფილი: 0,2; 0.12; 0.12; 0,15; 0.2; 0.2; 0.2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0.12; 0.12; 0.12; 0.15.

საქონლის ხორცი: 2; 2.5; 2; 2; 1.8; 1.8; 2; 2.2; 2.5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2.2; 2; 2; 2; 2.

რა ფასებია კარტოფილზე და საქონლის ხორცზე?

დავალება 3

არსებობს მონაცემები 16 საამქროს მექანიკოსის ანაზღაურების შესახებ. იპოვეთ ხელფასის მოდალური მნიშვნელობა.

დოლარებში: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

მედიანური გაანგარიშება

სტატისტიკაში, მედიანა არის ვარიანტი, რომელიც მდებარეობს ვარიაციის სერიის შუაში. თუ დისკრეტულ განაწილების სერიას აქვს კენტი რაოდენობის სერიების წევრები, მაშინ მედიანა იქნება ვარიანტი, რომელიც მდებარეობს რანგის სერიის შუაში, ანუ დაამატეთ 1 სიხშირეების ჯამს და გაყავით ყველაფერი 2-ზე - შედეგი მისცემს რიგით რიცხვს. მედიანური.

თუ ვარიაციულ სერიაში არის ლუწი რაოდენობის ვარიანტები, მაშინ მედიანა იქნება ორი შუა ვარიანტის ჯამის ნახევარი.

ინტერვალის ვარიაციის სერიებში მედიანას საპოვნელად, პირველ რიგში განვსაზღვრავთ მედიანურ ინტერვალს დაგროვილი სიხშირეებისთვის. ასეთი ინტერვალი იქნება ის, რომლის კუმულაციური (კუმულაციური) სიხშირე უდრის ან აღემატება სიხშირეების ჯამის ნახევარს. დაგროვილი სიხშირეები იქმნება სიხშირეების თანდათანობითი შეჯამებით, მახასიათებლის ყველაზე დაბალი მნიშვნელობის მქონე ინტერვალიდან დაწყებული.

მედიანის გამოთვლა ინტერვალის ვარიაციის სერიაში

ინტერვალები	სიხშირეები ( ვ)	კუმულაციური (დაგროვილი) სიხშირეები
60–70		10 (10)
70–80		40 (10+30)
80–90		90 (40+50)
90–100		15 (90+60)
100–110		295 (150+145)
110–120		405 (295+110)
120–130		485 (405+80)
130–140		500 (485+15)
ჯამი:	∑ვ = 500

მაგალითში დაგროვილი სიხშირეების ჯამის ნახევარი არის 250 (500:2). მაშასადამე, მედიანური ინტერვალი იქნება 100-110 მახასიათებლის მნიშვნელობის ინტერვალი.

ამ ინტერვალამდე დაგროვილი სიხშირეების ჯამი იყო 150. ამიტომ მედიანის მნიშვნელობის მისაღებად საჭიროა კიდევ 100 ერთეულის დამატება (250 - 150). მედიანის მნიშვნელობის განსაზღვრისას, ვარაუდობენ, რომ მახასიათებლის მნიშვნელობა ინტერვალის საზღვრებში თანაბრად ნაწილდება. მაშასადამე, თუ ამ ინტერვალში 145 ერთეული თანაბრად ნაწილდება ინტერვალში, უდრის 10-ს, მაშინ 100 ერთეული შეესაბამება მნიშვნელობას:

10: 145 ´ 100 = 6.9.

მიღებულ მნიშვნელობას მედიანური ინტერვალის მინიმალურ ზღვარს დავუმატებთ, მივიღებთ მედიანის სასურველ მნიშვნელობას:

ან ვარიაციული ინტერვალის სერიაში მედიანა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

,

სად არის მედიანური ინტერვალის ქვედა საზღვრის მნიშვნელობა (); – მედიანური ინტერვალის მნიშვნელობა ( =10); – სერიის სიხშირეების ჯამი (სერიის რიცხვი არის 500); არის დაგროვილი სიხშირეების ჯამი მედიანის წინა ინტერვალში ( = 150); არის მედიანური ინტერვალის სიხშირე ( = 145).