$E \ქვეკომპლექტი \mathbb(R)^(n)$. ამბობენ, რომ $f$ აქვს ადგილობრივი მაქსიმუმი$x_(0) წერტილში \E$-ში, თუ არსებობს $U$ $x_(0)$ წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ყველა $x \in U$ უტოლობა $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

ლოკალური მაქსიმუმი ეწოდება მკაცრი , თუ $U$ სამეზობლო შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ ყველა $x \in U$ განსხვავებული $x_(0)$ იყოს $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

განმარტება
მოდით $f$ იყოს რეალური ფუნქცია ღია ნაკრებზე $E \subset \mathbb(R)^(n)$. ამბობენ, რომ $f$ აქვს ადგილობრივი მინიმალური$x_(0) წერტილში \E$-ში, თუ არსებობს $U$ $x_(0)$ წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ყველა $x \in U$ უტოლობა $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

ამბობენ, რომ ადგილობრივი მინიმუმი მკაცრია, თუ $U$-ის სამეზობლო შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ ყველა $x \in U$ განსხვავდება $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\მარჯვნივ)$.

ლოკალური ექსტრემუმი აერთიანებს ლოკალური მინიმუმისა და ლოკალური მაქსიმუმის ცნებებს.

თეორემა (დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა)
მოდით $f$ იყოს რეალური ფუნქცია ღია ნაკრებზე $E \subset \mathbb(R)^(n)$. თუ $x_(0) \E$-ში $f$ ფუნქციას აქვს ლოკალური ექსტრემი ამ ეტაპზეც, მაშინ $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ ტოლობა ნულოვანი დიფერენციალის ტოლფასია იმისა, რომ ყველა ტოლია ნულის, ე.ი. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

ერთგანზომილებიან შემთხვევაში, ეს არის. აღნიშნეთ $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, სადაც $h$ არის თვითნებური ვექტორი. ფუნქცია $\phi$ განისაზღვრება $t$-ის საკმარისად მცირე მოდულის მნიშვნელობებისთვის. უფრო მეტიც, რაც შეეხება , ის დიფერენცირებადია და $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
დაე, $f$-ს ჰქონდეს ადგილობრივი მაქსიმალური x $0$. აქედან გამომდინარე, ფუნქციას $\phi$ at $t = 0$ აქვს ლოკალური მაქსიმუმი და ფერმას თეორემით $(\phi)' \left(0\right)=0$.
ასე რომ, მივიღეთ $df \left(x_(0)\right) = 0$, ე.ი. $f$ ფუნქცია $x_(0)$ ტოლია ნულის ნებისმიერ ვექტორზე $h$.

განმარტება
წერტილები, რომლებშიც დიფერენციალი ნულის ტოლია, ე.ი. მათ, რომლებშიც ყველა ნაწილობრივი წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია, სტაციონარული ეწოდება. კრიტიკული წერტილები$f$ ფუნქციები არის ის წერტილები, რომლებშიც $f$ არ არის დიფერენცირებადი, ან ნულის ტოლია. თუ წერტილი სტაციონარულია, მაშინ ჯერ არ გამომდინარეობს, რომ ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი ამ ეტაპზე.

მაგალითი 1
მოდით $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. შემდეგ $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, ასე რომ, $\left(0,0\right)$ არის სტაციონარული წერტილი, მაგრამ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი ამ ეტაპზე. მართლაც, $f \left(0,0\right) = 0$, მაგრამ ადვილი მისახვედრია, რომ $\left(0,0\right)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში ფუნქცია იღებს როგორც დადებით, ასევე უარყოფით მნიშვნელობებს.

მაგალითი 2
ფუნქცია $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ აქვს კოორდინატების საწყისი, როგორც სტაციონარული წერტილი, მაგრამ ცხადია, რომ არ არის ექსტრემი ამ წერტილში.

თეორემა (საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის).
დაე, $f$ ფუნქცია იყოს ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ღია სიმრავლეზე $E \subset \mathbb(R)^(n)$. მოდით $x_(0) \E$-ში იყოს სტაციონარული წერტილი და $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\ ნაწილობრივი^(2) f)(\ნაწილობრივი x_(i) \ნაწილობრივი x_(j)) \left(x_(0)\მარჯვნივ)h^(i)h^(j).$ $ მაშინ

1. თუ $Q_(x_(0))$ არის , მაშინ $f$ ფუნქციას $x_(0)$ აქვს ლოკალური უკიდურესი, კერძოდ, მინიმალური, თუ ფორმა დადებითია-განსაზღვრული და მაქსიმალური, თუ ფორმა არის უარყოფით-განსაზღვრული;
2. თუ $Q_(x_(0))$ კვადრატული ფორმა განუსაზღვრელია, მაშინ $f$ ფუნქციას $x_(0)$ არ აქვს ექსტრემი.

გამოვიყენოთ გაფართოება ტეილორის ფორმულის მიხედვით (12.7 გვ. 292). იმის გათვალისწინებით, რომ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები $x_(0)$ წერტილში ნულის ტოლია, მივიღებთ $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\მარჯვნივ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ ნაწილობრივი x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ სადაც $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ და $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ for $h \rightarrow 0$, მაშინ მარჯვენა მხარე დადებითია ნებისმიერი $h$ საკმარისად მცირე სიგრძის ვექტორისთვის.
ამრიგად, ჩვენ მივედით დასკვნამდე, რომ $x_(0)$ წერტილის ზოგიერთ მიმდებარე ტერიტორიაზე უტოლობა $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ დაკმაყოფილებულია, თუ მხოლოდ $ x \neq x_ (0)$ (ვაყენებთ $x=x_(0)+h$\მარჯვნივ). ეს ნიშნავს, რომ $x_(0)$-ზე ფუნქციას აქვს მკაცრი ლოკალური მინიმუმი და ამით დამტკიცდება ჩვენი თეორემის პირველი ნაწილი.
დავუშვათ, რომ $Q_(x_(0))$ განუსაზღვრელი ფორმაა. შემდეგ არის ვექტორები $h_(1)$, $h_(2)$ ისეთი, რომ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \მარცხენა(h_(2)\მარჯვნივ)= \ლამბდა_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. შემდეგ მივიღებთ $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ მარცხენა[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ საკმარისად მცირე $t>0$-ისთვის, მარჯვენა მხარე არის დადებითი. ეს ნიშნავს, რომ $x_(0)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში ფუნქცია $f$ იღებს $f \left(x\right)$ უფრო მეტს, ვიდრე $f \left(x_(0)\right)$.
ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ, რომ $x_(0)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში ფუნქცია $f$ იღებს $f \left(x_(0)\right)$-ზე ნაკლებ მნიშვნელობებს. ეს, წინასთან ერთად, ნიშნავს, რომ $f$ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემუმი $x_(0)$ წერტილში.

განვიხილოთ ამ თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა $\left(x_(0),y_(0)\right) ორი ცვლადის $f \left(x,y\right)$ ფუნქციისთვის. $ და აქვს პირველი და მეორე რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები. მოდით $\left(x_(0),y_(0)\right)$ იყოს სტაციონარული წერტილი და მოდით $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ შემდეგ წინა თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას.

თეორემა
მოდით $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. შემდეგ:

1. თუ $\Delta>0$, მაშინ $f$ ფუნქციას აქვს ლოკალური უკიდურესი წერტილი $\left(x_(0),y_(0)\right)$, კერძოდ, მინიმალური, თუ $a_(11)> 0$ და მაქსიმუმ თუ $a_(11)<0$;
2. თუ $\დელტა<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

ალგორითმი მრავალი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის საპოვნელად:

1. ვპოულობთ სტაციონალურ წერტილებს;
2. მე-2 რიგის დიფერენციალს ვპოულობთ ყველა სტაციონარულ წერტილში
3. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის საკმარისი პირობის გამოყენებით, ჩვენ განვიხილავთ მეორე რიგის დიფერენციალს თითოეულ სტაციონარულ წერტილში.

1. გამოიკვლიეთ ფუნქცია უკიდურესად $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   გამოსავალი

   იპოვეთ 1-ლი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ სისტემის შედგენა და ამოხსნა: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0 \\\ frac (\ ნაწილობრივი f) (\ ნაწილობრივი y) = 0\ დასასრული (შემთხვევები) \მარჯვენა ისარი \ დასაწყისი (შემთხვევები)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\ end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ მე-2 განტოლებიდან გამოვხატავთ $x=4 \cdot y^(2)$ — ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ მარჯვნივ )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ შედეგად მიიღება 2 სტაციონარული წერტილი:
   1) $y=0 \მარჯვენა ისარი x = 0, M_(1) = \მარცხნივ(0, 0\მარჯვნივ)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\მარჯვნივ)$
   მოდით შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური პირობის შესრულება:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) წერტილისთვის $M_(1)= \მარცხნივ(0,0\მარჯვნივ)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\ ნაწილობრივი^(2) f)(\ნაწილობრივი y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $M_(2)$ წერტილისთვის:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\ ნაწილობრივი^(2) f)(\ნაწილობრივი y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, ასე რომ არის ექსტრემი $M_(2)$ წერტილში და ვინაიდან $A_(2)>0 $, მაშინ ეს არის მინიმალური.
   პასუხი: წერტილი $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ არის $f$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი.
   

2. გამოიკვლიეთ $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   გამოსავალი

   იპოვეთ სტაციონარული წერტილები: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   შეადგინეთ და ამოხსენით სისტემა: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \Begin(cases) y = 2\\y + x = 1\ბოლო(შემთხვევები) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ არის სტაციონარული წერტილი.
   შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური პირობის შესრულება: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   პასუხი: არ არსებობს ექსტრემები.
   

ვადა: 0

ნავიგაცია (მხოლოდ სამუშაო ნომრები)

შესრულებულია 0 4 დავალებიდან

ინფორმაცია

გაიარეთ ეს ვიქტორინა, რათა შეამოწმოთ თქვენი ცოდნა იმ თემის შესახებ, რომელიც ახლახან წაიკითხეთ, მრავალი ცვლადის ფუნქციების ლოკალური ექსტრემა.

თქვენ უკვე გაიარეთ ტესტი. თქვენ არ შეგიძლიათ მისი ხელახლა გაშვება.

ტესტი იტვირთება...

ტესტის დასაწყებად უნდა შეხვიდეთ სისტემაში ან დარეგისტრირდეთ.

ამის დასაწყებად თქვენ უნდა შეავსოთ შემდეგი ტესტები:

შედეგები

სწორი პასუხები: 0 4-დან

Შენი დრო:

Დრო ამოიწურა

თქვენ დააგროვეთ 0 ქულა 0-დან (0)

თქვენი ქულა დაფიქსირდა ლიდერბორდზე

1. პასუხით
2. შემოწმებული

ამოცანა 1 4-დან

1 .

ქულების რაოდენობა: 1

გამოიკვლიეთ $f$ ფუნქცია უკიდურესად: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

სწორად


არა სათანადოდ


1. დავალება 2 4-დან

   2 .

   ქულების რაოდენობა: 1

   აქვს თუ არა ფუნქცია $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

ფუნქციის ცვლილება გარკვეულ მომენტში და განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის გაზრდის ზღვარი არგუმენტის ზრდამდე, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. მის საპოვნელად გამოიყენეთ წარმოებულების ცხრილი. მაგალითად, y = x3 ფუნქციის წარმოებული იქნება y’ = x2.

გაუტოლეთ ამ წარმოებულს ნულს (ამ შემთხვევაში x2=0).

იპოვეთ მოცემული ცვლადის მნიშვნელობა. ეს იქნება მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ეს წარმოებული იქნება 0-ის ტოლი. ამისათვის გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ თვითნებური რიცხვები x-ის ნაცვლად, რომლებზეც მთელი გამოხატულება გახდება ნული. Მაგალითად:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

გამოიყენეთ მიღებული მნიშვნელობები კოორდინატთა ხაზზე და გამოთვალეთ წარმოებულის ნიშანი თითოეული მიღებული. კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნება წერტილები, რომლებიც აღებულია როგორც საწყისი. ინტერვალებში მნიშვნელობის გამოსათვლელად, შეცვალეთ თვითნებური მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება კრიტერიუმებს. მაგალითად, წინა ფუნქციისთვის -1 ინტერვალამდე, შეგიძლიათ აირჩიოთ მნიშვნელობა -2. -1-დან 1-მდე შეგიძლიათ აირჩიოთ 0, ხოლო 1-ზე მეტი მნიშვნელობებისთვის აირჩიეთ 2. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები წარმოებულში და გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშანი. ამ შემთხვევაში წარმოებული x = -2 ტოლი იქნება -0,24, ე.ი. უარყოფითი და ამ ინტერვალზე იქნება მინუს ნიშანი. თუ x=0, მაშინ მნიშვნელობა იქნება 2-ის ტოლი და ამ ინტერვალზე იდება ნიშანი. თუ x=1, მაშინ წარმოებულიც იქნება -0,24-ის ტოლი და დავსვათ მინუსი.

თუ კოორდინატთა ხაზის წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, მაშინ ეს არის მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ პლუსიდან მინუსამდე, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

წარმოებულის მოსაძებნად, არის ონლაინ სერვისები, რომლებიც გამოთვლიან საჭირო მნიშვნელობებს და აჩვენებს შედეგს. ასეთ საიტებზე შეგიძლიათ იპოვოთ 5-მდე შეკვეთის წარმოებული.

წყაროები:

• წარმოებულების გამოთვლის ერთ-ერთი სერვისი
• ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილებს მინიმალურ წერტილებთან ერთად ექსტრემალური წერტილები ეწოდება. ამ წერტილებში ფუნქცია ცვლის თავის ქცევას. ექსტრემები განისაზღვრება შეზღუდული რიცხვითი ინტერვალებით და ყოველთვის ლოკალურია.

ინსტრუქცია

ლოკალური კიდურების პოვნის პროცესს ფუნქცია ეწოდება და ხორციელდება ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულების ანალიზით. კვლევის დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ არგუმენტების მნიშვნელობების მითითებული დიაპაზონი მიეკუთვნება დაშვებულ მნიშვნელობებს. მაგალითად, F=1/x ფუნქციისთვის x=0 არგუმენტის მნიშვნელობა არასწორია. ან Y=tg(x) ფუნქციისთვის არგუმენტს არ შეიძლება ჰქონდეს x=90° მნიშვნელობა.

დარწმუნდით, რომ Y ფუნქცია დიფერენცირებადია მთელ მოცემულ ინტერვალში. იპოვნეთ პირველი წარმოებული Y". აშკარაა, რომ ლოკალური მაქსიმუმის წერტილამდე მიღწევამდე ფუნქცია იზრდება, ხოლო მაქსიმუმზე გავლისას ფუნქცია მცირდება. პირველი წარმოებული თავისი ფიზიკური მნიშვნელობით ახასიათებს ცვლილების სიჩქარეს. ფუნქცია. სანამ ფუნქცია იზრდება, ამ პროცესის სიჩქარე არის დადებითი მნიშვნელობა. ლოკალური მაქსიმუმის გავლისას ფუნქცია იწყებს კლებას და ფუნქციის ცვლილების პროცესის სიჩქარე ხდება უარყოფითი. სიჩქარის გადასვლა ფუნქციის ცვლილება ნულის მეშვეობით ხდება ლოკალური მაქსიმუმის წერტილში.

ამბობენ, რომ ფუნქციას აქვს შიდა წერტილი
ტერიტორიები დ ადგილობრივი მაქსიმუმი(მინიმალური) თუ არსებობს წერტილის ასეთი მეზობლობა
, თითოეული პუნქტისთვის
რომელიც აკმაყოფილებს უთანასწორობას

თუ ფუნქცია აქვს წერტილში
ლოკალური მაქსიმუმი ან ადგილობრივი მინიმალური, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მას აქვს ამ ეტაპზე ადგილობრივი ექსტრემუმი(ან უბრალოდ ექსტრემალური).

თეორემა (ექსტრემის არსებობის აუცილებელი პირობა). თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია აღწევს წერტილში უკიდურესობას
, შემდეგ ფუნქციის ყოველი პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებული ქრება ამ ეტაპზე.

წერტილებს, რომლებშიც ყველა პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებული ქრება, ეწოდება ფუნქციის სტაციონარული წერტილები
. ამ წერტილების კოორდინატები შეგიძლიათ იხილოთ სისტემის ამოხსნით განტოლებები

.

დიფერენცირებადი ფუნქციის შემთხვევაში ექსტრემის არსებობის აუცილებელი პირობა შეიძლება მოკლედ ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

არის შემთხვევები, როდესაც ზოგიერთ მომენტში ზოგიერთ ნაწილობრივ წარმოებულს აქვს უსასრულო მნიშვნელობები ან არ არსებობს (ხოლო დანარჩენი ნულის ტოლია). ასეთ წერტილებს ე.წ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.ეს წერტილები ასევე უნდა ჩაითვალოს როგორც "საეჭვო" ექსტრემისთვის, ასევე სტაციონარული.

ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, უკიდურესობის აუცილებელ პირობას, კერძოდ კიდეურ წერტილში ნაწილობრივი წარმოებულის (დიფერენციალური) ნულის ტოლობას, აქვს გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: ზედაპირის ტანგენტური სიბრტყე
უკიდურეს წერტილში უნდა იყოს სიბრტყის პარალელურად
.

20. საკმარისი პირობები ექსტრემის არსებობისთვის

რაღაც მომენტში ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი პირობის შესრულება საერთოდ არ იძლევა იქ ექსტრემის არსებობის გარანტიას. მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ყველგან დიფერენცირებადი ფუნქცია
. მისი ნაწილობრივი წარმოებულები და თავად ფუნქცია ქრება წერტილში
. თუმცა, ამ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში არის ორივე დადებითი (დიდი
) და უარყოფითი (უფრო მცირე
) ამ ფუნქციის მნიშვნელობები. მაშასადამე, ამ ეტაპზე, განსაზღვრებით, არ არსებობს ექსტრემუმი. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ვიცოდეთ საკმარისი პირობები, რომლებშიც ექსტრემუმში ეჭვმიტანილი წერტილი არის შესწავლილი ფუნქციის ექსტრემალური წერტილი.

განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევა. დავუშვათ, რომ ფუნქცია
არის განსაზღვრული, უწყვეტი და აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მეორე რიგის ჩათვლით რაღაც წერტილის სამეზობლოში
, რომელიც არის ფუნქციის სტაციონარული წერტილი
, ანუ აკმაყოფილებს პირობებს

,
.

შემოვიღოთ აღნიშვნა:

თეორემა (საკმარისი პირობები ექსტრემის არსებობისთვის). დაუშვით ფუნქცია
აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პირობებს, კერძოდ: დიფერენცირებადი სტაციონარული წერტილის ზოგიერთ უბანში
და ორჯერ დიფერენცირებადია თავად წერტილში
. მაშინ თუ

თუ
შემდეგ ფუნქცია
წერტილში
აღწევს

ადგილობრივი მაქსიმუმიზე
და

ადგილობრივი მინიმალურიზე
.

ზოგადად, ფუნქციისთვის
საკმარისი პირობა არსებობისთვის წერტილში
ადგილობრივიმინიმალური(მაქსიმუმ) არის დადებითი(უარყოფითი) მეორე დიფერენციალის განსაზღვრულობა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემდეგი განცხადება მართალია.

თეორემა . თუ წერტილში
ფუნქციისთვის

ნებისმიერისთვის, რომელიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი
, მაშინ ამ ეტაპზე ფუნქცია აქვს მინიმალური(მსგავსი მაქსიმუმ, თუ
).

მაგალითი 18.იპოვეთ ფუნქციის ადგილობრივი უკიდურესი წერტილები

გამოსავალი. იპოვეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და გაათანაბრეთ ისინი ნულამდე:

ამ სისტემის ამოხსნისას ჩვენ ვიპოვით ორ შესაძლო უკიდურეს წერტილს:

მოდით ვიპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ამ ფუნქციისთვის:

პირველ სტაციონალურ წერტილში, შესაბამისად, და
ამიტომ, ამ პუნქტისთვის დამატებითი კვლევაა საჭირო. ფუნქციის ღირებულება
ამ ეტაპზე არის ნული:
Უფრო,

ზე

ა

ზე

ამიტომ, წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში
ფუნქცია
იღებს მნიშვნელობებს როგორც დიდს
და უფრო პატარა
, და აქედან გამომდინარე, წერტილი
ფუნქცია
განმარტებით, არ აქვს ადგილობრივი ექსტრემი.

მეორე სტაციონარულ წერტილში



ამიტომ, ამიტომ, ვინაიდან
შემდეგ წერტილში
ფუნქციას აქვს ადგილობრივი მაქსიმუმი.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები

წერტილები, რომლებზეც იგი იღებს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობებს განმარტების სფეროში; ასეთ წერტილებს უწოდებენ ასევე აბსოლუტური მაქსიმუმის ან აბსოლუტური მინიმალური ქულები. თუ f განისაზღვრება ტოპოლოგიურზე სივრცე X, შემდეგ წერტილი x 0დაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (ლოკალური მინიმალური), თუ ასეთი წერტილი არსებობს x 0,რომ ამ სამეზობლოზე განსახილველი ფუნქციის შეზღუდვისათვის წერტილი x 0არის აბსოლუტური მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი. განასხვავებენ მკაცრი და არამკაცრი მაქსიმუმის წერტილებს (მინი მ უ მ ა) (როგორც აბსოლუტური, ისე ლოკალური). მაგალითად, წერტილი ე.წ f ფუნქციის არამკაცრი (მკაცრი) ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი, თუ არსებობს წერტილის ასეთი მეზობლობა x 0,რომელიც მოქმედებს ყველასთვის (შესაბამისად, f(x) x0). )/

სასრულ განზომილებიან დომენებზე განსაზღვრული ფუნქციებისთვის, დიფერენციალური გამოთვლების თვალსაზრისით, არსებობს პირობები და კრიტერიუმები, რომ მოცემული წერტილი იყოს ადგილობრივი მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი. დაე, ფუნქცია f განისაზღვროს რეალური ღერძის x 0 უჯრის გარკვეულ მიმდებარედ. Თუ x 0 -არა მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის (მინიმუმის) წერტილი და ამ ეტაპზე არსებობს f"( x0), მაშინ ის ნულის ტოლია.

თუ მოცემული f ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილის სამეზობლოში x 0,გარდა, შესაძლოა, თავად ამ წერტილისა, სადაც ის უწყვეტია, და წარმოებული f" წერტილის თითოეულ მხარეს x0ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს ამ სამეზობლოში, შემდეგ რათა x0იყო მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის (ადგილობრივი მინიმალური) წერტილი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ წარმოებულმა შეიცვალოს ნიშანი პლუსიდან მინუსზე, ანუ, რომ f "(x)> 0 x-ზე.<.x0და f"(x)<0 при x>x0(შესაბამისად მინუს პლიუსამდე: ვ"(X) <0 x-ზე<x0და f"(x)>0 როცა x>x 0). თუმცა, არა ყველა ფუნქციისთვის, რომელიც დიფერენცირებულია წერტილის სამეზობლოში x 0,ამ ეტაპზე შეიძლება ვისაუბროთ წარმოებულის ნიშნის ცვლილებაზე. . "

თუ f ფუნქციას აქვს წერტილში x 0 ტწარმოებულები, უფრო მეტიც, რათა x 0არის მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ τ იყოს ლუწი და რომ f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

მოდით ფუნქცია f( x 1 ..., x გვ] განისაზღვრება წერტილის n-განზომილებიანი სამეზობლოში და დიფერენცირებადია ამ წერტილში. თუ x (0) არის არამკაცრი ლოკალური მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი, მაშინ ფუნქცია f ამ წერტილში ნულის ტოლია. ეს პირობა უდრის f ფუნქციის 1-ლი რიგის ყველა ნაწილობრივი წარმოებულის ტოლობის ნულს. თუ ფუნქციას აქვს მე-2 უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებული x(0)-ზე, მისი ყველა 1-ლი წარმოებული ქრება x(0)-ზე და მე-2 რიგის დიფერენციალი x(0) არის უარყოფითი (დადებითი) კვადრატული ფორმა, მაშინ x(0) არის მკაცრი ადგილობრივი მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი. M. და M. T. დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის ცნობილია პირობები, როდესაც არგუმენტების ცვლილებებზე დაწესებულია გარკვეული შეზღუდვები: შეზღუდვის განტოლებები დაკმაყოფილებულია. რეალური ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმუმის) აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომელსაც აქვს უფრო რთული სტრუქტურა, შესწავლილია მათემატიკის სპეციალურ დარგებში: მაგალითად, ამოზნექილი ანალიზი, მათემატიკური პროგრამირება(იხილეთ ასევე მაქსიმიზაცია და ფუნქციის მინიმიზაცია). შესწავლილია კოლექტორებზე განსაზღვრული M. და m.t. ფუნქციები ზოგადად ვარიაციების გაანგარიშება,და M. და m.t. ფუნქციებისთვის განსაზღვრული ფუნქციებისთვის, ანუ ფუნქციონალებისთვის, ვარიაციული გაანგარიშება.ასევე არსებობს მ.-სა და მ.ტ-ის რიცხვითი მიახლოებითი აღმოჩენის სხვადასხვა მეთოდი.

განათებული: Il'in V. A., Poznya to E. G., მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები, მე-3 გამოცემა, ნაწილი 1, M., 1971; კუდრიავცევი ლ. L. D. კუდრიავცევი.

მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.

ნახეთ, რა არის "მაქსიმალური და მინიმალური ქულა" სხვა ლექსიკონებში:

დისკრეტული პონტრიაგინის მაქსიმალური პრინციპი დროის დისკრეტული კონტროლის პროცესებისთვის. ასეთი პროცესისთვის, M. p. შეიძლება არ იყოს დაკმაყოფილებული, თუმცა მისი უწყვეტი ანალოგისთვის, რომელიც მიიღება სასრული განსხვავების ოპერატორის დიფერენციალურით შეცვლით ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

თეორემა, რომელიც გამოხატავს ანალიტიკური მოდულის ერთ-ერთ ძირითად თვისებას. ფუნქციები. მოდით f(z) იყოს p-კომპლექსური ცვლადების რეგულარული ანალიტიკური ან ჰოლომორფული ფუნქცია რთული რიცხვების სივრცის D დომენში, გარდა მუდმივისა, M.m.s. in ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ფუნქციის უდიდესი და, შესაბამისად, უმცირესი მნიშვნელობები, რომელიც იღებს რეალურ მნიშვნელობებს. განსახილველი ფუნქციის განსაზღვრის დომენის წერტილი, რომელშიც მას სჭირდება მაქსიმუმი ან მინიმალური, ეწოდება. შესაბამისად მაქსიმალური ქულა ან მინიმალური ქულა ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

იხილეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური, ქულის მაქსიმალური და მინიმალური... მათემატიკური ენციკლოპედია

უწყვეტი ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც არის მაქსიმალური ან მინიმალური (იხ. მაქსიმალური და მინიმალური ქულები). ტერმინი LE ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ინდიკატორი- (ინდიკატორი) ინდიკატორი არის საინფორმაციო სისტემა, ნივთიერება, მოწყობილობა, მოწყობილობა, რომელიც აჩვენებს ცვლილებებს ნებისმიერ პარამეტრში, ფორექსის სავალუტო ბაზრის სქემების ინდიკატორები, რა არის და სად შეიძლება მათი ჩამოტვირთვა? MACD ინდიკატორების აღწერა, ... ... ინვესტორის ენციკლოპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ექსტრემალური (მნიშვნელობები). ექსტრემუმი (ლათინური extremum უკიდურესი) მათემატიკაში არის ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილი, სადაც მიიღწევა ექსტრემუმი არის ... ... ვიკიპედია

დიფერენციალური გაანგარიშება არის მათემატიკური ანალიზის ფილიალი, რომელიც სწავლობს წარმოებული და დიფერენციალური ცნებებს და როგორ შეიძლება მათი გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად. სარჩევი 1 ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა ... ვიკიპედია

ლემნისკატი და მისი ხრიკები ბერნულის ლემნისკატი სიბრტყის ალგებრული მრუდია. განისაზღვრება, როგორც ქულების ლოკუსი, პროდუქტი ... ვიკიპედია

დივერგენცია- (დივერგენცია) დივერგენცია, როგორც ინდიკატორი სავაჭრო სტრატეგია MACD დივერგენციით. ნაწილი 2. განსხვავება როგორ. დივერგენცია არის ტერმინი, რომელიც გამოიყენება ეკონომიკაში, რათა მიმართოს მოძრაობას განსხვავებული ... ... ინვესტორის ენციკლოპედია

მრავალი ცვლადის f(x) ფუნქციისთვის წერტილი x არის ვექტორი, f'(x) არის f(x) ფუნქციის პირველი წარმოებულების ვექტორი (გრადიენტი), f ′ (x) არის სიმეტრიული მატრიცა. მეორე ნაწილობრივი წარმოებულების (ჰესეს მატრიცა − ჰესიანი) ფუნქციების f(x).
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციისთვის, ოპტიმალური პირობები ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად.
ადგილობრივი ოპტიმალურის აუცილებელი პირობა. მოდით f(x) დიფერენცირებადი იყოს x * R n წერტილში. თუ x * არის ადგილობრივი უკიდურესი წერტილი, მაშინ f'(x *) = 0.
როგორც ადრე, წერტილებს, რომლებიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნებია, სტაციონარული ეწოდება. სტაციონარული წერტილის x * ბუნება დაკავშირებულია ჰესიანური მატრიცის ნიშან-განსაზღვრულობასთან f′ ′(x).
A მატრიცის ნიშნის განსაზღვრულობა დამოკიდებულია Q(α)= კვადრატული ფორმის ნიშნებზე.< α A, α >ყველა არანულოვანი α∈R n .
აქ და შემდგომში აღინიშნება x და y ვექტორების სკალარული ნამრავლი. Განმარტებით,

მატრიცა A დადებითად (არაუარყოფითად) განსაზღვრულია, თუ Q(α)>0 (Q(α)≥0) ყველა არანულოვანი α∈R n; უარყოფითად (არადადებითად) განსაზღვრული თუ Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 ზოგიერთი არანულოვანი α∈R n და Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
საკმარისი პირობა ადგილობრივი ოპტიმალურად. მოდით, f(x) ორჯერ დიფერენცირებადი იყოს x * R n წერტილში და f’(x *)=0, ე.ი. x * − სტაციონარული წერტილი. მაშინ, თუ f (x *) მატრიცა დადებითი (უარყოფითი) განსაზღვრულია, მაშინ x * არის ადგილობრივი მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი; თუ f′′(x *) მატრიცა განუსაზღვრელია, მაშინ x * არის უნაგირის წერტილი.
თუ f′′(x *) მატრიცა არაუარყოფითი (არადადებითად) განსაზღვრულია, მაშინ x * სტაციონარული წერტილის ბუნების დასადგენად საჭიროა უმაღლესი რიგის წარმოებულების შესწავლა.
მატრიცის ნიშნის განსაზღვრულობის შესამოწმებლად, როგორც წესი, გამოიყენება სილვესტერის კრიტერიუმი. ამ კრიტერიუმის მიხედვით, სიმეტრიული მატრიცა A არის დადებითი განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ყველა კუთხური მინორი დადებითია. ამ შემთხვევაში, A მატრიცის კუთხური მინორი არის A მატრიცის ელემენტებიდან აგებული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც დგას რიგებისა და სვეტების გადაკვეთაზე იგივე (და პირველი) რიცხვებით. სიმეტრიული A მატრიცის უარყოფითი განსაზღვრულობის შესამოწმებლად, უნდა შეამოწმოთ მატრიცა (−A) დადებითი განსაზღვრულობისთვის.
ასე რომ, მრავალი ცვლადის ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილების განსაზღვრის ალგორითმი შემდეგია.
1. იპოვეთ f′(x).
2. სისტემა მოგვარებულია

შედეგად, გამოითვლება სტაციონარული წერტილები x i.
3. იპოვეთ f′′(x), სიმრავლე i=1.
4. იპოვეთ f′′(x i)
5. გამოითვლება f′′(x i) მატრიცის კუთხური მინორები. თუ ყველა კუთხური მინორი არ არის ნულოვანი, მაშინ x i სტაციონარული წერტილის ბუნების დასადგენად საჭიროა უმაღლესი რიგის წარმოებულების შესწავლა. ამ შემთხვევაში, მე-8 პუნქტზე გადასვლა ხორციელდება.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადადით მე-6 ნაბიჯზე.
6. გაანალიზებულია კუთხოვანი მინორების ნიშნები f′′(x i). თუ f′′(x i) დადებითი განსაზღვრულია, მაშინ x i არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი. ამ შემთხვევაში, მე-8 პუნქტზე გადასვლა ხორციელდება.
წინააღმდეგ შემთხვევაში გადადით მე-7 პუნქტზე.
7. გამოითვლება -f′′(x i) მატრიცის კუთხური მინორები და გაანალიზებულია მათი ნიშნები.
თუ -f′′(x i) − დადებითი განსაზღვრულია, მაშინ f′′(x i) არის უარყოფითი განსაზღვრული და x i არის ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, f′′(x i) განუსაზღვრელია და x i არის უნაგირის წერტილი.
8. მოწმდება ყველა სტაციონარული წერტილის ბუნების განსაზღვრის პირობა i=N.
თუ ის დაკმაყოფილებულია, მაშინ გამოთვლები დასრულებულია.
თუ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ივარაუდება i=i+1 და ხდება მე-4 საფეხურზე გადასვლა.

მაგალითი #1. განსაზღვრეთ f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილები









ვინაიდან ყველა კუთხის მინორი არ არის ნულოვანი, x 2-ის სიმბოლო განისაზღვრება f′′(x-ით).
ვინაიდან f′′(x2) მატრიცა დადებითი განსაზღვრულია, x 2 არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი.
პასუხი: ფუნქციას f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 აქვს ლოკალური მინიმუმი x = (5/3; 8/3) წერტილში.