ფუნქციის ცნება. ლიმიტი უტოლობის დროს ზღვრამდე გადასასვლელი ფუნქციის ლიმიტი უსასრულობაში უსასრულოდ მცირე ფუნქციები უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები

ფუნქციის კონცეფცია არის ძირითადი და ორიგინალური, ისევე როგორც კომპლექტის კონცეფცია. მოდით X იყოს x რეალური რიცხვების სიმრავლე. თუ რაიმე კანონის მიხედვით თითოეულ x ∈ X-ს ენიჭება გარკვეული რეალური რიცხვი y, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია X სიმრავლეზეა მოცემული და წერენ. ამ გზით შეყვანილ ფუნქციას რიცხვითი ეწოდება. ამ შემთხვევაში X სიმრავლეს ეწოდება ფუნქციის განსაზღვრის დომენი, ხოლო დამოუკიდებელ ცვლად x-ს - არგუმენტი. ფუნქციის აღსანიშნავად ზოგჯერ გამოიყენება მხოლოდ სიმბოლო, რომელიც აღნიშნავს შესაბამისობის კანონს, ანუ f (x) n-ისა და jester-ის ნაცვლად მხოლოდ /. ამრიგად, ფუნქცია მოცემულია, თუ 1) მითითებულია განსაზღვრების დომენი 2) წესი /, რომელიც ანიჭებს თითოეულ მნიშვნელობას a: € X გარკვეულ რიცხვს y \u003d / (x) - ამ მნიშვნელობის შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობა არგუმენტის x. ფუნქციებს / და g ეწოდება ტოლი, თუ მათი განმარტების დომენები ემთხვევა და ტოლობა f(x) = g(x) ჭეშმარიტია x არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მათი საერთო დომენიდან. ამრიგად, y ფუნქციები არ არის ტოლი; ისინი ტოლია მხოლოდ ინტერვალზე [O, I]. ფუნქციის მაგალითები. 1. მიმდევრობა (o„) არის მთელი არგუმენტის ფუნქცია, განსაზღვრული ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე, ისეთი, რომ f(n) = an (n = 1,2,...). 2. ფუნქცია y = n? (წაიკითხეთ "en-factorial"). მოცემულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე: ყოველი ნატურალური რიცხვი n ასოცირდება ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლთან 1-დან n-მდე: უფრო მეტიც, 0! = 1. აღნიშვნის ნიშანი მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან signum - ნიშანი. ეს ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ხაზზე; მისი მნიშვნელობების ნაკრები შედგება სამი რიცხვისგან -1.0, I (ნახ. 1). y = |x), სადაც (x) აღნიშნავს x რეალური რიცხვის მთელ ნაწილს, ანუ [x| - ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება იკითხება: - თამაში უდრის antie x-ს ”(fr. entier). ეს ფუნქცია დაყენებულია მთელ რიცხვთა ღერძზე და მისი ყველა მნიშვნელობის სიმრავლე შედგება მთელი რიცხვებისგან (ნახ. 2). ფუნქციის განსაზღვრის გზები ანალიტიკური ფუნქციის დაზუსტება ფუნქცია y = f(x) ითვლება ანალიტიკურად, თუ ის განისაზღვრება ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მიუთითებს, თუ რა ოპერაციები უნდა შესრულდეს x-ის თითოეულ მნიშვნელობაზე, რათა მივიღოთ შესაბამისი მნიშვნელობა. წ. მაგალითად, ფუნქცია მოცემულია ანალიტიკურად. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის დომენი (თუ ის წინასწარ არ არის მითითებული) გაგებულია, როგორც x არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობის სიმრავლე, რომლისთვისაც ანალიტიკური გამოხატულება, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას, იღებს მხოლოდ რეალურ და საბოლოო მნიშვნელობებს. ამ თვალსაზრისით, ფუნქციის დომენს ასევე უწოდებენ მის არსებობის დომენს. ფუნქციისთვის განმარტების დომენი არის სეგმენტი, y - sin x ფუნქციისთვის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი. გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ფორმულა არ განსაზღვრავს ფუნქციას. მაგალითად, ფორმულა არ განსაზღვრავს რაიმე ფუნქციას, რადგან არ არსებობს x-ის ერთი რეალური მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ზემოთ დაწერილ ორივე ფესვს ექნება რეალური მნიშვნელობები. ფუნქციის ანალიტიკური მინიჭება შეიძლება საკმაოდ რთული ჩანდეს. კერძოდ, ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა ფორმულით მისი განმარტების დომენის სხვადასხვა ნაწილზე. მაგალითად, ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ასე: 1.2. ფუნქციის მითითების გრაფიკული ხერხი ფუნქცია y = f(x) ეწოდება გრაფიკულად განსაზღვრულს, თუ მისი განრიგი მითითებულია, ე.ი. წერტილების ნაკრები (xy/(x)) xOy სიბრტყეზე, რომელთა აბსციები ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს, ხოლო ორდინატები ტოლია ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების (ნახ. 4). არა ყველა ფუნქციისთვის, მისი გრაფიკი შეიძლება იყოს გამოსახული ფიგურაში. მაგალითად, დირიხლეს ფუნქცია, თუ x არის რაციონალური, თუ x არის ირაციონალური, ZX \o, არ იძლევა ასეთ წარმოდგენას. ფუნქცია R(x) მოცემულია მთელ რიცხვით ღერძზე და მისი მნიშვნელობების სიმრავლე შედგება ორი რიცხვისგან 0 და 1. 1.3. ფუნქციის მითითების ტაბულური ხერხი ფუნქცია ითვლება ცხრილად, თუ მოცემულია ცხრილი, რომელიც შეიცავს ფუნქციის ციფრულ მნიშვნელობებს არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. როდესაც ფუნქცია განსაზღვრულია ცხრილში, მისი განმარტების დომენი შედგება მხოლოდ ცხრილში ჩამოთვლილი x\t x2i..., xn მნიშვნელობებისგან. §2. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია ცენტრალურია მათემატიკური ანალიზისთვის. მოდით, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს xq წერტილის Q-ის რომელიმე უბანში, გარდა, შესაძლოა, თავად გაფართოების (კოშის) წერტილისა. A რიცხვს ეწოდება f(x) ფუნქციის ზღვარი x0 წერტილში, თუ ნებისმიერი e > 0 რიცხვისთვის, რომელიც შეიძლება იყოს თვითნებურად მცირე, არსებობს რიცხვი.<5 > 0 ისეთი, რომ ყველა iGH.i^ x0, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას უტოლობა არის ჭეშმარიტი ფუნქციის განმარტება ფუნქციის განსაზღვრის გზები ფუნქციების მაგალითები ფუნქციის ანალიტიკური განსაზღვრება ფუნქციის განსაზღვრის გრაფიკული გზა ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. ფუნქციის განსაზღვრა ლიმიტის თეორემები ლიმიტის უნიკალურობა ფუნქციის შეზღუდულობა, რომელსაც აქვს ლიმიტი უტოლობის ზღვრამდე ფუნქციის ლიმიტი უსასრულობაში უსასრულო ფუნქციები უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები აღნიშვნა: ლოგიკური სიმბოლოების დახმარებით ეს განსაზღვრება გამოიხატება როგორც მოყვება მაგალითები. 1. ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრის გამოყენებით აჩვენეთ, რომ ფუნქცია ყველგან არის განსაზღვრული, წერტილის ჩათვლით zo = 1: /(1) = 5. აიღეთ ნებისმიერი. უტოლობის მიზნით |(2x + 3) - 5| მოხდა, აუცილებელია შემდეგი უტოლობების შესრულება, ამიტომ თუ ავიღებთ გვექნება. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5 არის ფუნქციის ზღვარი: მე-2 წერტილში. ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრის გამოყენებით აჩვენეთ, რომ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული xo = 2 წერტილში. განვიხილოთ /(x) ზოგიერთ სამეზობლოში. წერტილი-Xq = 2, მაგალითად, ინტერვალზე ( 1, 5), რომელიც არ შეიცავს x = 0 წერტილს, სადაც ფუნქცია /(x) ასევე არ არის განსაზღვრული. აიღეთ თვითნებური რიცხვი c > 0 და გადააქციეთ გამონათქვამი |/(x) - 2| x f 2-სთვის შემდეგნაირად x b-სთვის (1, 5) ვიღებთ უტოლობას აქედან ცხადია, რომ თუ ავიღებთ 6 \u003d c, მაშინ ყველა x € (1.5) პირობით, უტოლობა იქნება ჭეშმარიტი. რიცხვი A - 2 არის მოცემული ფუნქციის ზღვარი წერტილში. მოდით მივცეთ გეომეტრიული ახსნა წერტილის ფუნქციის ლიმიტის ცნების შესახებ მის გრაფიკზე მითითებით (ნახ. 5). x-სთვის, /(x) ფუნქციის მნიშვნელობები განისაზღვრება M \ M მრუდის წერტილების ორდინატებით, x>ho-სთვის - MM2 მრუდის წერტილების ორდინატებით. მნიშვნელობა /(x0) განისაზღვრება N წერტილის ორდინატით. ამ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება, თუ ავიღებთ „კარგ“ მრუდს M\MMg და მრუდზე M(x0, A) წერტილს შევცვლით წერტილით. jV. ვაჩვენოთ, რომ x0 წერტილში ფუნქციას /(x) აქვს A რიცხვის ტოლი ზღვარი (M წერტილის ორდინატი). აიღეთ ნებისმიერი (თვითნებურად მცირე) რიცხვი e > 0. Oy ღერძის წერტილებზე მონიშნეთ ორდინატებით A, A - e, A + e. P-ით და Q-ით აღნიშნეთ y \u003d / (x) ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები. ) ხაზებით y \u003d A - enu = A + e. მოდით, ამ წერტილების აბსციები იყოს x0 - hx0 + hi, შესაბამისად (ht > 0, /12 > 0). ნახატიდან ჩანს, რომ ნებისმიერი x Φ x0 ინტერვალიდან (x0 - h\, x0 + hi) ფუნქციის მნიშვნელობა f(x) შორისაა. ყველა x ⩽ x0-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობა არის ჭეშმარიტი ჩვენ ვაყენებთ შემდეგ ინტერვალი იქნება შეტანილი ინტერვალში და, შესაბამისად, უტოლობა ან, რომელიც ასევე დაკმაყოფილდება ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას. ეს ადასტურებს, რომ ამგვარად, ფუნქცია y \u003d f (x) აქვს ზღვარი A x0 წერტილში, თუ რაოდენ ვიწროც არ უნდა იყოს e-ზოლი წრფეებს შორის y = A - eny = A + e, არის ასეთი "5 > 0, ისეთი, რომ ყველასთვის x y = / (x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილის x0 წერტილის პუნქციური სამეზობლოდან არის მითითებული e-ზოლის შიგნით. შენიშვნა 1. b სიდიდე დამოკიდებულია e-ზე: 6 = 6(e). შენიშვნა 2. Xq წერტილში ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრისას თვით x0 წერტილი გამორიცხულია განხილვისგან. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობა Hons წერტილში არ ახდენს გავლენას ამ წერტილის ფუნქციის ლიმიტზე. უფრო მეტიც, ფუნქცია შეიძლება არც კი იყოს განსაზღვრული Xq წერტილში. მაშასადამე, ორ ფუნქციას, რომლებიც ტოლია Xq წერტილის სამეზობლოში, გამოკლებით, შესაძლოა, თავად xo წერტილის (მათ შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობები იქ, ერთი მათგანი ან ორივე ერთად არ იყოს განსაზღვრული), აქვს იგივე ზღვარი. x - Xq, ან ორივეს არ აქვს ლიმიტი. აქედან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ წილადის ზღვრის პოვებისთვის xo წერტილში, ლეგიტიმურია ამ წილადის შემცირება ტოლი გამონათქვამებით, რომლებიც ქრება x = Xq-ზე. მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქცია /(x) = j ყველა x Ф 0 უდრის ერთს, ხოლო x = 0 წერტილში ის არ არის განსაზღვრული. ვცვლით f(x) ფუნქციით g(x) = 1, რომლის ტოლია x 0-ზე, მივიღებთ ფუნქციის ცნებას ფუნქციის განსაზღვრის გზები ფუნქციების მაგალითები ფუნქციის ანალიტიკური განსაზღვრება ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრის გრაფიკული ხერხი. ფუნქცია წერტილში ფუნქციის განსაზღვრის ტაბულური ხერხი ლიმიტის თეორემები ზღვრის უნიკალურობა ფუნქციის შეზღუდულობა, რომელსაც აქვს ლიმიტი გადასვლის ლიმიტზე უტოლობაში ფუნქციის ლიმიტი უსასრულოდ მცირე ფუნქციები უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები x = 0 ლიმიტი უდრის ნული: lim q(x) = 0 (აჩვენე!). ამიტომ lim /(x) = 0. პრობლემა. ჩამოაყალიბეთ უტოლობების დახმარებით (e -6-ის ენაზე), რაც ნიშნავს. მოდით, ფუნქცია /(n) განისაზღვროს x0 წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა, შესაძლოა, თავად x0 წერტილისა. განმარტება (ჰაინე). რიცხვს A ეწოდება /(x) ფუნქციის ზღვარი x0 წერტილში, თუ არგუმენტის x 6 P, zn / x0 მნიშვნელობების რომელიმე თანმიმდევრობისთვის (xn) x0 წერტილთან კონვერტაციისთვის, შესაბამისი თანმიმდევრობა. ფუნქციის (/(xn)) მნიშვნელობების კონვერგირება ხდება A რიცხვთან. მოსახერხებელია ზემოაღნიშნული განმარტების გამოყენება, როდესაც საჭიროა დადგინდეს, რომ ფუნქცია f(x) არ აქვს ლიმიტი x0 წერტილში. ამისათვის საკმარისია ვიპოვოთ მიმდევრობა (/(xn)), რომელსაც არ აქვს ლიმიტი, ან მივუთითოთ ორი მიმდევრობა (/(xn)) და (/(x"n)), რომლებსაც აქვთ განსხვავებული საზღვრები. აჩვენე, მაგალითად, რომ ფუნქცია iiya / (x) = sin j (ნახ. 7), განსაზღვრული ყველგან, გარდა წერტილისა X = O, ნახ. 7-ს არ აქვს ლიმიტი x = 0 წერტილში. განვიხილოთ ორი მიმდევრობები (, კონვერტაცია x = 0 წერტილამდე. /(x) ფუნქციის შესაბამისი მიმდევრობების მნიშვნელობები ერთმანეთს ემთხვევა სხვადასხვა ზღვრებს: თანმიმდევრობა (sinnTr) უახლოვდება ნულს, ხოლო მიმდევრობა (sin(5 +) ერთს. . ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია f(x) = sin j წერტილი x = 0 არ აქვს ლიმიტი. კომენტარი. ფუნქციის ლიმიტის ორივე განმარტება წერტილში (კოშის განმარტება და ჰაინის განმარტება) ექვივალენტურია. §3. თეორემები ზღვრებზე თეორემა 1 (ზღვრის უნიკალურობა). თუ f(x) ფუნქციას აქვს ლიმიტი xo-ზე, მაშინ ეს ზღვარი უნიკალურია. A მოდით lim f(x) = A. ვაჩვენოთ, რომ არცერთი რიცხვი B φ A არ შეიძლება იყოს x-x0 ფუნქციის ზღვარი x0 წერტილში. ის ფაქტი, რომ lim / (x) φ ლოგიკური სიმბოლოების დახმარებით XO ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ჩვენ ვიღებთ უტოლობის გამოყენებით e = > 0. ვინაიდან lim / (x) = A, არჩეული e > 0 არის 6 > 0 ისეთი, რომ x-ის მითითებული მნიშვნელობებისთვის (1) დამოკიდებულებიდან გვაქვს, ასე რომ, აღმოჩნდა, რომ რაც არ უნდა მცირე იყოს, არის x Φ xQ, ისეთი, რომ და ამავე დროს ^ e აქედან გამომდინარეობს განმარტება. ფუნქცია /(x) ითვლება, რომ ესაზღვრება x0 წერტილის სამეზობლოში, თუ არის რიცხვები M > 0 და 6 > 0 ისეთი, რომ თეორემა 2 (ფუნქციის საზღვარი, რომელსაც აქვს ზღვარი). თუ ფუნქცია f(x) განისაზღვრა x0 წერტილის სამეზობლოში და აქვს სასრული ზღვარი x0 წერტილში, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ამ წერტილის რომელიმე მიდამოში. m მოდით, ნებისმიერი მაგალითისთვის, e = 1-ისთვის, არის 6 > 0, რომ ყველა x φ x0-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობა იქნება ჭეშმარიტი. შეამჩნია, რომ ყოველთვის ვიღებთ Let. მაშინ ინტერვალის თითოეულ x წერტილში გვაქვს ეს ნიშნავს, განმარტების მიხედვით, რომ ფუნქცია f(x) შემოსაზღვრულია სამეზობლოში. მაგალითად, ფუნქცია /(x) = sin არის შემოსაზღვრული წერტილის სამეზობლოში, მაგრამ არ აქვს საზღვარი x = 0 წერტილში. ჩამოვაყალიბოთ კიდევ ორი ​​თეორემა, რომელთა გეომეტრიული მნიშვნელობა საკმაოდ ნათელია. თეორემა 3 (უტოლობაში ზღვარზე გადასვლა). თუ /(x) ⩽ ip(x) ყველა x-სთვის x0 წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა, შესაძლოა, თავად x0 წერტილისა და თითოეულ /(x) და ip(x) ფუნქციას x0 წერტილში აქვს ლიმიტი. , მაშინ გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციების მკაცრი უთანასწორობა სულაც არ გულისხმობს მკაცრ უთანასწორობას მათი საზღვრებისთვის. თუ ეს ზღვრები არსებობს, მაშინ შეგვიძლია მხოლოდ იმის მტკიცება, რომ ასე, მაგალითად, უტოლობა while მართალია ფუნქციებისთვის თეორემა 4 (შუალედური ფუნქციის ზღვარი). თუ Xq წერტილის რომელიმე სამეზობლოში ყველა x-ისთვის, გარდა, შესაძლოა, თავად x0 წერტილისა (ნახ. 9) და ფუნქციებს f(x) და ip(x) xo წერტილში აქვთ იგივე ზღვარი A, მაშინ ფუნქცია f (x) x0 წერტილში აქვს ზღვარი A-ს იგივე მნიშვნელობის ტოლი. § 4. ფუნქციის ლიმიტი უსასრულობაში მოდით ფუნქცია /(x) განისაზღვროს ან მთელ რეალურ ღერძზე ან სულ მცირე ყველა x აკმაყოფილებს პირობას jx| > K ზოგიერთი K > 0-ისთვის. განმარტება. A რიცხვს უწოდებენ f(x) ფუნქციის ზღვარს, რადგან x მიდრეკილია უსასრულობისკენ და ისინი წერენ, თუ რომელიმე e > 0-ისთვის არსებობს რიცხვი jV > 0 ისე, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას |x| > X, უტოლობა არის ჭეშმარიტი ამ განმარტების პირობის შესაბამისად ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ განმარტებებს ამ განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთდროულად ეს ფაქტი გეომეტრიულად ნიშნავს შემდეგს: რაც არ უნდა ვიწრო იყოს ელ. ზოლი y \ წრფეებს შორის. u003d A- euy \u003d A + e, არის ისეთი სწორი ხაზი x = N > 0, რომელიც მარჯვნივ არის გადატანილი y = /(x) ფუნქციის გრაფიკი მთლიანად შეიცავს მითითებულ e-ზოლს (ნახ. 10 ). ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ, რომ x + oo-სთვის y \u003d / (x) ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტომურად უახლოვდება სწორ ხაზს y \u003d A. მაგალითი, ფუნქცია / (x) \u003d jtjj- განსაზღვრულია მთლიანზე. რეალური ღერძი და არის წილადი, რომლის მრიცხველი მუდმივია და მნიშვნელი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, როგორც |x| +ოო. ბუნებრივია იმის მოლოდინი, რომ lim /(x)=0. ვაჩვენოთ. M აიღეთ ნებისმიერი e > 0, იმ პირობით, რომ კავშირი ადგილი ჰქონდეს, უტოლობა c ან უნდა დაკმაყოფილდეს, რაც იგივეა, რაც აქედან ასე. თუ ავიღებთ გვექნება. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი არის ამ ფუნქციის ზღვარი აქ შენიშვნა, რომ რადიკალური გამოხატულება არის მხოლოდ t ^ 1-ისთვის. იმ შემთხვევაში, როდესაც c უტოლობა ავტომატურად დაკმაყოფილდება ყველასთვის. ლუწი ფუნქციის გრაფიკი y = - ასიმპტომურად უახლოვდება სწორი ხაზი ჩამოაყალიბეთ უტოლობების გამოყენებით, რაც ნიშნავს §5. უსასრულოდ მცირე ფუნქციები მოდით, ფუნქცია a(x) განისაზღვროს x0 წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა, შესაძლოა, თავად x0 წერტილისა. განმარტება. a(x) ფუნქციას უწოდებენ უსასრულოდ მცირე ფუნქციას (შემოკლებით b.m.f.), რადგან x მიდრეკილია x0-მდე, თუ ფუნქციის ზღვრული შეზღუდვის უნიკალურობის ფარგლებშია, რომელსაც აქვს ზღვრული გადასვლა ზღვრამდე უტოლობაში ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში. უსასრულოდ მცირე ფუნქციები უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები მაგალითად, ფუნქცია a(x) = x - 1 არის b. მ.ფ. x 1-ზე, ვინაიდან lim (x-l) \u003d 0. ფუნქციის გრაფიკი y \u003d x-1 1-1 ნაჩვენებია ნახ. II. ზოგადად, ფუნქცია a(x)=x-x0 არის b-ის უმარტივესი მაგალითი. მ.ფ. x-»ho-ზე. წერტილში ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრის გათვალისწინებით, ბ-ს განსაზღვრა. მ.ფ. შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს. განმარტება. ფუნქცია a(x) არის უსასრულოდ მცირე x - * xo-სთვის, თუ რომელიმე t > 0-ისთვის არსებობს ასეთი "5 > 0 ისეთი, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობა არის ჭეშმარიტი ფუნქციები განმარტებაში. a(x) ფუნქციას უწოდებენ უსასრულოდ პატარა x -» oo-სთვის, თუ შემდეგ ფუნქციას a(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე, შესაბამისად, ან მაგალითად, ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა x -» oo-სთვის, ვინაიდან lim j = 0. ფუნქცია a(x) = e~x არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, როგორც x -* + oo, ვინაიდან შემდეგში ჩვენ, როგორც წესი, განვიხილავთ ფუნქციების საზღვრებთან დაკავშირებულ ყველა ცნებას და თეორემას მხოლოდ მიმართებაში. ფუნქციის ლიმიტის შემთხვევისთვის წერტილში, მკითხველს უტოვებს ჩამოაყალიბოს შესაბამისი ცნებები და დაამტკიცოს დღის მსგავსი თეორემები, როდესაც უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები თეორემა 5. თუ a(x) და P(x) - ბ. მ.ფ. x - * xo-სთვის, მაშინ მათი ჯამი a(x) + P(x) ასევე არის b.m. ვ. ზე x -» ჰო. 4 აიღეთ ნებისმიერი e > 0. ვინაიდან a(x) არის b.m.f. x -* o-სთვის, მაშინ არის "51 > 0 ისეთი, რომ ყველა x Φ o, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობა მართალია. პირობით P(x) ასევე b.m.f. x ho-სთვის არის ისეთი, რომ ყველა χ φ ho, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობა არის ჭეშმარიტი. მოდით დავაყენოთ 6 = min(«5j, 62). მაშინ ყველა x Ф ho, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობები (1) და (2) ერთდროულად იქნება ჭეშმარიტი. ამიტომ ეს ნიშნავს, რომ ჯამი a(x) +/3(x) არის b.m.f. xxq-სთვის. კომენტარი. თეორემა ძალაში რჩება ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ფუნქციების ჯამისთვის, ბ. მ x ზოში. თეორემა 6 (b.m.f.-ის ნამრავლი შემოსაზღვრული ფუნქციით). თუ ფუნქცია a(x) არის b. მ.ფ. x -* x0-სთვის და f(x) ფუნქცია შემოსაზღვრულია Xo წერტილის სამეზობლოში, მაშინ a(x)/(x) ნამრავლი არის 6. მ.ფ. x -» x0-სთვის. ვარაუდით, ფუნქცია f(x) შემოსაზღვრულია x0 წერტილის სამეზობლოში. ეს ნიშნავს, რომ არის რიცხვები 0 და M > 0 ისეთი, რომ ავიღოთ ნებისმიერი e > 0. ვინაიდან, ვარაუდით, არის 62 > 0 ისეთი, რომ ყველა x φ x0, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას |x - xol, უტოლობა იქნება true მოდით დავაყენოთ i ყველა x f x0, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას |x - x0|, უტოლობა იქნება ერთდროულად ჭეშმარიტი ამიტომ ეს ნიშნავს, რომ a(x)/(x) ნამრავლი არის b. მ.ფ. მაგალითთან ერთად. ფუნქცია y \u003d xsin - (ნახ. 12) შეიძლება ჩაითვალოს a (ar) \u003d x და f (x) \u003d sin j ფუნქციების ნამრავლად. ფუნქცია a(a) არის b. მ.ფ. x-სთვის - 0, ხოლო f ფუნქცია აღნიშნავს მთელ რიცხვებს შორის ყველაზე დიდს, რომელიც არ აღემატება x-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ x = r + q, სადაც r არის მთელი რიცხვი (შეიძლება იყოს უარყოფითი) და q ეკუთვნის = r ინტერვალს. ფუნქცია E(x) = [x] მუდმივია = r ინტერვალზე.

მაგალითი 2: ფუნქცია y = (x) - რიცხვის წილადი ნაწილი. უფრო ზუსტად, y =(x) = x - [x], სადაც [x] არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x-ისთვის. თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ წარმოვადგენთ მას როგორც x = r + q (r = [x]), სადაც r არის მთელი რიცხვი და q დევს ინტერვალში

ახლა ყველაფერი ისეა, როგორც უნდა იყოს. სამეული არ შედის პასუხში, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრია. და ექვსი ირთვება, რადგან და ფუნქცია ექვსზე არსებობს და უტოლობის პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენ წარმატებით მოვაგვარეთ უთანასწორობა, რომელიც (მის ჩვეულ ფორმაში) არ არსებობს...

ასე ინახავს ზოგიერთი ცოდნა და ელემენტარული ლოგიკა არასტანდარტულ შემთხვევებში.)

ფუნქციის ანალიტიკური განსაზღვრება

ფუნქცია %%y = f(x), x \in X%% მოცემული აშკარა ანალიტიკური გზით, თუ მოცემულია ფორმულა, რომელიც მიუთითებს მათემატიკური მოქმედებების თანმიმდევრობას, რომელიც უნდა შესრულდეს არგუმენტით %%x%% ამ ფუნქციის %%f(x)%% მნიშვნელობის მისაღებად.

მაგალითი

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

ასე, მაგალითად, ფიზიკაში, თანაბრად აჩქარებული მართკუთხა მოძრაობით, სხეულის სიჩქარე განისაზღვრება ფორმულით t%% იწერება როგორც: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

ცალმხრივი განსაზღვრული ფუნქციები

ზოგჯერ განსახილველი ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე ფორმულით, რომლებიც მოქმედებენ მისი განმარტების დომენის სხვადასხვა ნაწილში, რომელშიც იცვლება ფუნქციის არგუმენტი. მაგალითად: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

ამ ტიპის ფუნქციებს ზოგჯერ უწოდებენ შემადგენელიან ცალ-ცალკე. ასეთი ფუნქციის მაგალითია %%y = |x|%%

ფუნქციის ფარგლები

თუ ფუნქცია მითითებულია აშკარა ანალიტიკური გზით ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ფუნქციის ფარგლები %%D%% სიმრავლის სახით არ არის მითითებული, მაშინ %%D%%–ით ყოველთვის ვიგულისხმებთ მნიშვნელობების სიმრავლეს. არგუმენტი %%x%% რომლისთვისაც ეს ფორმულა აზრი აქვს. ასე რომ, %%y = x^2% ფუნქციისთვის, განმარტების დომენი არის ნაკრები %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, რადგან არგუმენტი %%x% %–ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნომრის ხაზი. და %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))% ფუნქციისთვის, განსაზღვრების დომენი იქნება მნიშვნელობების ნაკრები %%x%%, რომელიც აკმაყოფილებს %1 უტოლობას. - x^2 > 0%%, მ .ე. %%D = (-1, 1)%%.

აშკარა ანალიტიკური ფუნქციის განსაზღვრის უპირატესობები

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის დაზუსტების აშკარა ანალიტიკური გზა საკმაოდ კომპაქტურია (ფორმულა, როგორც წესი, იკავებს მცირე ადგილს), ადვილად რეპროდუცირებადია (ფორმულა ადვილად იწერება) და ყველაზე მეტად ადაპტირებულია მათემატიკური ოპერაციებისა და გარდაქმნების შესასრულებლად. ფუნქციები.

ამ მოქმედებებიდან ზოგიერთი - ალგებრული (შეკრება, გამრავლება და ა.შ.) - კარგად არის ცნობილი სასკოლო მათემატიკის კურსიდან, ზოგიც (დიფერენციაცია, ინტეგრაცია) მომავალში შეისწავლება. თუმცა, ეს მეთოდი ყოველთვის არ არის ნათელი, რადგან არგუმენტზე ფუნქციის დამოკიდებულების ბუნება ყოველთვის არ არის ნათელი და ზოგჯერ უხერხული გამოთვლებია საჭირო ფუნქციის მნიშვნელობების მოსაძებნად (საჭიროების შემთხვევაში).

იმპლიციტური ფუნქციის სპეციფიკაცია

განსაზღვრულია ფუნქცია %%y = f(x)%%. იმპლიციტური ანალიტიკური გზით, თუ მოცემულია კავშირი $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ აკავშირებს %%y%% ფუნქციის მნიშვნელობებს და არგუმენტს %% x%%. თუ მოცემულია არგუმენტების მნიშვნელობები, მაშინ %%y%% მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელიც შეესაბამება %%x%%-ის კონკრეტულ მნიშვნელობას, საჭიროა ამოხსნათ განტოლება %%(1)%% %%y%% მიმართებით. ამ კონკრეტულ მნიშვნელობაზე %%x%%.

%%x%% მნიშვნელობის გათვალისწინებით, განტოლებას %%(1)%% შეიძლება არ ჰქონდეს ან ერთზე მეტი ამონახსნი. პირველ შემთხვევაში, მითითებული მნიშვნელობა %%x%% არ არის იმპლიციტური ფუნქციის ფარგლებში, ხოლო მეორე შემთხვევაში ის აკონკრეტებს მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქცია, რომელსაც აქვს ერთზე მეტი მნიშვნელობა მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლება %%(1)%% შეიძლება ცალსახად ამოხსნას %%y = f(x)%%-ის მიმართ, მაშინ ჩვენ ვიღებთ იგივე ფუნქციას, მაგრამ უკვე განსაზღვრულია აშკარა ანალიტიკური გზით. ასე რომ, განტოლება %%x + y^5 - 1 = 0%%

და ტოლობა %%y = \sqrt(1 - x)%% განსაზღვრავს იგივე ფუნქციას.

პარამეტრული ფუნქციის განსაზღვრა

როდესაც %%y%%-ის დამოკიდებულება %%x%%-ზე პირდაპირ არ არის მოცემული, მაგრამ სამაგიეროდ მოცემულია ორივე ცვლადის %%x%% და %%y%% დამოკიდებულება მესამე დამხმარე ცვლადზე %%t%% ფორმაში

$$ \დაწყება(შემთხვევები) x = \varphi(t), \\ y = \psi(t), \end (შემთხვევები) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$ზე საუბრობენ პარამეტრულიფუნქციის დაყენების მეთოდი;

მაშინ დამხმარე ცვლადს %%t%% ეწოდება პარამეტრი.

თუ შესაძლებელია პარამეტრის %%t%% გამორიცხვა განტოლებიდან %%(2)%%, მაშინ ისინი მიდიან ფუნქციამდე, რომელიც მოცემულია %%y%%%%x%%–ზე გამოკვეთილი ან იმპლიციტური ანალიტიკური დამოკიდებულებით. . მაგალითად, ურთიერთობებიდან $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end (cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ გარდა % %t%% პარამეტრისთვის ვიღებთ დამოკიდებულებას %%y = 2 x + 2%%, რომელიც ადგენს სწორ ხაზს %%xOy%% სიბრტყეში.

გრაფიკული გზა

ფუნქციის გრაფიკული განმარტების მაგალითი

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები აჩვენებს, რომ ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური გზა შეესაბამება მის გრაფიკული გამოსახულება, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციის აღწერის მოსახერხებელ და ვიზუალურ ფორმად. ზოგჯერ გამოიყენება გრაფიკული გზაფუნქციის განსაზღვრა, როდესაც %%y%%–ის დამოკიდებულება %%x%%–ზე მოცემულია წრფით %%xOy%% სიბრტყეზე. თუმცა, მთელი მისი სიცხადისთვის, ის კარგავს სიზუსტეს, რადგან არგუმენტის მნიშვნელობები და ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები შეიძლება მიღებულ იქნას გრაფიკიდან მხოლოდ დაახლოებით. შედეგად მიღებული შეცდომა დამოკიდებულია გრაფიკის ცალკეული წერტილების აბსცისა და ორდინატის გაზომვის მასშტაბსა და სიზუსტეზე. სამომავლოდ ფუნქციის გრაფიკს მივანიჭავთ მხოლოდ ფუნქციის ქცევის ილუსტრირების როლს და ამიტომ შემოვიფარგლებით გრაფიკების „ესკიზების“ აგებით, რომლებიც ასახავს ფუნქციების ძირითად მახასიათებლებს.

ცხრილის გზა

შენიშვნა ცხრილის გზაფუნქციების მინიჭება, როდესაც ზოგიერთი არგუმენტის მნიშვნელობა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები მოთავსებულია ცხრილში გარკვეული თანმიმდევრობით. ასე აგებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი ცხრილები, ლოგარითმების ცხრილები და ა.შ. ცხრილის სახით, ჩვეულებრივ, წარმოდგენილია ექსპერიმენტულ კვლევებში, დაკვირვებებსა და ტესტებში გაზომულ სიდიდეებს შორის ურთიერთობა.

ამ მეთოდის მინუსი არის ფუნქციის მნიშვნელობების უშუალოდ განსაზღვრის შეუძლებლობა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ არის შეტანილი ცხრილში. თუ არსებობს დარწმუნებული, რომ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის წარმოდგენილი ცხრილში, ეკუთვნის განხილული ფუნქციის დომენს, მაშინ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით ინტერპოლაციისა და ექსტრაპოლაციის გამოყენებით.

მაგალითი

ფუნქციების დაზუსტების ალგორითმული და ვერბალური გზები

ფუნქციის დაყენება შესაძლებელია ალგორითმული(ან პროგრამული) ისე, რომ ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გამოთვლებში.

საბოლოოდ, შეიძლება აღინიშნოს აღწერითი(ან სიტყვიერი) ფუნქციის დაზუსტების ხერხი, როდესაც ფუნქციის მნიშვნელობების არგუმენტის მნიშვნელობებთან შესაბამისობის წესი გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითად, ფუნქცია %%[x] = m~\forall (x \in)