პირველი დონე

გამოხატვის კონვერტაცია. დეტალური თეორია (2019)

გამოხატვის კონვერტაცია

ხშირად გვესმის ეს უსიამოვნო ფრაზა: „გამოთქმის გამარტივება“. ჩვეულებრივ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვყავს ასეთი სახის მონსტრი:

”დიახ, ბევრად უფრო ადვილია”, - ვამბობთ ჩვენ, მაგრამ ასეთი პასუხი ჩვეულებრივ არ მუშაობს.

ახლა გასწავლით, არ შეგეშინდეთ ასეთი ამოცანების. უფრო მეტიც, გაკვეთილის ბოლოს, თქვენ თვითონ გაამარტივებთ ამ მაგალითს (უბრალოდ!) ჩვეულებრივ რიცხვს (დიახ, ამ ასოებით).

მაგრამ სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებდეთ, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების და ფაქტორების მრავალწევრების მართვა. ამიტომ, პირველ რიგში, თუ ეს აქამდე არ გაგიკეთებიათ, აუცილებლად დაეუფლეთ თემებს "" და "".

წაიკითხეთ? თუ კი, მაშინ მზად ხართ.

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები

ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ტექნიკას, რომლებიც გამოიყენება გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მათგან ყველაზე მარტივია

1. მსგავსის მოტანა

რა მსგავსია? თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში, როდესაც რიცხვების ნაცვლად მათემატიკაში ასოები პირველად გამოჩნდა. მსგავსია ტერმინები (მონომები) ერთი და იგივე ასო ნაწილით. მაგალითად, ჯამში მსგავსი ტერმინები არის და.

Გაიხსენა?

მსგავსი ტერმინების მოტანა ნიშნავს ერთმანეთს რამდენიმე მსგავსი ტერმინის დამატებას და ერთი ტერმინის მიღებას.

მაგრამ როგორ შეგვიძლია ასოების შეკრება? - გეკითხებით.

ამის გაგება ძალიან ადვილია, თუ წარმოიდგენთ, რომ ასოები რაღაც საგნებია. მაგალითად, წერილი არის სკამი. მაშინ რა არის გამოხატულება? ორ სკამს პლუს სამი სკამი, რამდენი იქნება? მართალია, სკამები: .

ახლა სცადეთ ეს გამოთქმა:

იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, მოდით, სხვადასხვა ასო აღნიშნავს სხვადასხვა ობიექტს. მაგალითად, - ეს არის (ჩვეულებისამებრ) სკამი და - ეს არის მაგიდა. შემდეგ:

სკამები მაგიდები სკამი მაგიდები სკამები სკამები მაგიდები

რიცხვები, რომლებითაც მრავლდება ასოები ასეთ ტერმინებში, ეწოდება კოეფიციენტები. მაგალითად, მონომში კოეფიციენტი ტოლია. და ის თანაბარია.

ასე რომ, მსგავსების შემოტანის წესი:

მაგალითები:

მოიყვანეთ მსგავსი:

პასუხები:

2. (და მსგავსია, ვინაიდან, მაშასადამე, ამ ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი).

2. ფაქტორიზაცია

ეს, როგორც წესი, ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაწილია გამონათქვამების გამარტივებაში. მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ მსგავსებს, ყველაზე ხშირად მიღებული გამონათქვამი უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წილადებში: ბოლოს და ბოლოს, წილადის შესამცირებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა იყოს წარმოდგენილი ნამრავლის სახით.

თქვენ გაიარეთ გამონათქვამების ფაქტორინგის დეტალური მეთოდები თემაში "", ასე რომ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ის, რაც ისწავლეთ. ამისათვის გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითები(გამოირიცხება):

გადაწყვეტილებები:

3. წილადის შემცირება.

აბა, რა შეიძლება იყოს იმაზე ლამაზი, ვიდრე მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილის გადაკვეთა და მათი ცხოვრებიდან გადაგდება?

ეს არის აბრევიატურის სილამაზე.

Ეს მარტივია:

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფაქტორებს, ისინი შეიძლება შემცირდეს, ანუ ამოღებულ იქნეს წილადიდან.

ეს წესი გამომდინარეობს წილადის ძირითადი თვისებიდან:

ანუ შემცირების ოპერაციის არსი ისაა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვყოფთ იმავე რიცხვზე (ან იგივე გამოსახულებით).

წილადის შესამცირებლად საჭიროა:

1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება

2) თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საერთო ფაქტორები, მათი წაშლა შესაძლებელია.

პრინციპი, ვფიქრობ, გასაგებია?

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო ერთ ტიპურ შეცდომაზე შემოკლებით. მართალია ეს თემა მარტივია, მაგრამ ბევრი ადამიანი ყველაფერს არასწორად აკეთებს, ამას ვერ ხვდება გაჭრა- ეს ნიშნავს გაყოფამრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით.

არ არის შემოკლებები, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არის ჯამი.

მაგალითად: თქვენ გჭირდებათ გამარტივება.

ზოგი ამას აკეთებს: რაც აბსოლუტურად არასწორია.

კიდევ ერთი მაგალითი: შემცირება.

"ყველაზე ჭკვიანი" ამას გააკეთებს:.

მითხარი რა არის აქ? როგორც ჩანს: - ეს არის მულტიპლიკატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ.

მაგრამ არა: - ეს არის მხოლოდ ერთი ტერმინის კოეფიციენტი მრიცხველში, მაგრამ თავად მრიცხველი მთლიანობაში არ იშლება ფაქტორებად.

აი კიდევ ერთი მაგალითი: .

ეს გამონათქვამი იყოფა ფაქტორებად, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ, ანუ გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ:

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ:

ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, გახსოვდეთ მარტივი გზა იმის დასადგენად, არის თუ არა გამოხატვის ფაქტორი:

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი". ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად). თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორიზებული (და, შესაბამისად, შეუძლებელია მისი შემცირება).

გამოსასწორებლად, თავად მოაგვარეთ რამდენიმე მაგალითები:

პასუხები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება ცნობილი ოპერაციაა: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს. გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ, უპირველეს ყოვლისა, ვაქცევთ შერეულ წილადებს არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ / ვაკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ჩვენ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იმავე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) მნიშვნელების დაშლა ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველა განსხვავებული მაჩვენებლით. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად ნათქვამია, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ არ არის სიმართლე!

თავად ნახეთ: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მიიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები". მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - ძალიან. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის იმ მარტივი ფაქტორების ანალოგი, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენ იგივეს გავაკეთებთ მათთან ერთად.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მამრავლი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკურად გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ როგორ მოახდინოთ ისინი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

კარგად! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ უნდა გვახსოვდეს კიდევ ერთი რამ - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე არის სამი წილადი?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ მნიშვნელებში ფაქტორების მაქსიმალური რაოდენობა იგივეა:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუბრუნდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში და შემდეგ ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ დაწერილა, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის უმარტივესი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია რიცხვითი გამოხატვის გამოთვლის პროცედურა? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამონათქვამი შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილი გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ გამონათქვამს თითოეულ ფრჩხილში და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოაღნიშნული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ არითმეტიკული ოპერაციების ნაცვლად საჭიროა ალგებრული მოქმედებების შესრულება, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი ოპერაციები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

Ის არის. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა. ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა. შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით. მე სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

ბოლოს ორ სასარგებლო რჩევას მოგცემთ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც დაამატებთ ან აკლებთ: თუ მათ ახლა აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება უნდა დატოვოთ მოგვიანებით.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ ჩათვალეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ იმავე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;

ᲛᲔ. გამოსახულებებს, რომლებშიც რიცხვები, არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნები და ფრჩხილები შეიძლება ასოებთან ერთად იყოს გამოყენებული, ალგებრული გამონათქვამები ეწოდება.

ალგებრული გამონათქვამების მაგალითები:

2მ-ნ; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

ვინაიდან ალგებრულ გამოსახულებაში ასო შეიძლება შეიცვალოს რამდენიმე განსხვავებული რიცხვით, ასოს ეწოდება ცვლადი, ხოლო თავად ალგებრულ გამონათქვამს ეწოდება გამოხატულება ცვლადით.

II. თუ ალგებრულ გამოსახულებაში ასოები (ცვლადები) შეიცვალა მათი მნიშვნელობებით და შესრულებულია მითითებული მოქმედებები, მაშინ მიღებულ რიცხვს ეწოდება ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა.

მაგალითები. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) a + 2b -c a = -2-სთვის; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8-ზე; y=-5; z = 6.

გადაწყვეტილება.

1) a + 2b -c a = -2-სთვის; b = 10; c = -3,5. ცვლადების ნაცვლად, ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8-ზე; y=-5; z = 6. ჩვენ ვცვლით მითითებულ მნიშვნელობებს. გახსოვდეთ, რომ უარყოფითი რიცხვის მოდული უდრის მის საპირისპირო რიცხვს, ხოლო დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს. ჩვენ ვიღებთ:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც ალგებრული გამოთქმა აზრი აქვს, ასოს (ცვლადი) მოქმედი მნიშვნელობები ეწოდება.

მაგალითები. ცვლადის რომელ მნიშვნელობებზე გამოთქმას აზრი არ აქვს?

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიცით, რომ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, ამიტომ თითოეულ ამ გამოთქმას აზრი არ ექნება იმ ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობით, რომელიც წილადის მნიშვნელს ნულს აქცევს!

მაგალითში 1) ეს მნიშვნელობა არის a = 0. მართლაც, თუ a-ის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ 0-ს, მაშინ რიცხვი 6 უნდა გაიყოს 0-ზე, მაგრამ ეს შეუძლებელია. პასუხი: გამოთქმა 1) არ აქვს აზრი, როდესაც a = 0.

მაგალითში 2) მნიშვნელი x - 4 = 0 x = 4-ზე, შესაბამისად, ეს მნიშვნელობა x = 4 და არ შეიძლება იქნას მიღებული. პასუხი: გამოთქმა 2) არ აქვს აზრი x = 4-ს.

მაგალითში 3) მნიშვნელი არის x + 2 = 0 x = -2-ისთვის. პასუხი: გამოხატულებას 3) აზრი არ აქვს x = -2-ზე.

მაგალითში 4) მნიშვნელი არის 5 -|x| = 0 |x|-ისთვის = 5. და ვინაიდან |5| = 5 და |-5| \u003d 5, მაშინ ვერ აიღებთ x \u003d 5 და x \u003d -5. პასუხი: გამოთქმა 4) არ აქვს აზრი x = -5 და x = 5.
IV. ნათქვამია, რომ ორი გამონათქვამი იდენტურია ტოლია, თუ ცვლადების ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობებისთვის, ამ გამონათქვამების შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია.

მაგალითი: 5 (a - b) და 5a - 5b იდენტურია, რადგან ტოლობა 5 (a - b) = 5a - 5b იქნება ჭეშმარიტი a და b-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ტოლობა 5 (a - b) = 5a - 5b არის იდენტობა.

იდენტობა არის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს მასში შემავალი ცვლადების ყველა დასაშვებ მნიშვნელობებზე. თქვენთვის უკვე ცნობილი იდენტობების მაგალითებია, მაგალითად, შეკრების და გამრავლების თვისებები, განაწილების თვისება.

ერთი გამონათქვამის შეცვლას მეორით, მისი იდენტურად ტოლი, ეწოდება იდენტური ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის ტრანსფორმაცია. ცვლადებთან გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები შესრულებულია რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებზე დაყრდნობით.

მაგალითები.

ა)გადაიყვანეთ გამოხატულება იდენტურ ტოლად გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

გადაწყვეტილება. გავიხსენოთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება (კანონი):

(a+b) c=a c+b გ(გამრავლების კანონი შეკრების მიმართ: ორი რიცხვის ჯამის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ შედეგები).
(a-b) c=a c-b გ(გამრავლების გამანაწილებელი კანონი გამოკლებასთან მიმართებაში: ორი რიცხვის სხვაობის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ამ რიცხვზე ცალ-ცალკე შემცირებული და გამოკლებული და გამოაკლოთ მეორე პირველ შედეგს).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

ბ)გარდაქმენით გამოხატვის იდენტურად თანაბარი მიმატების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების (კანონების) გამოყენებით:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ დამატების კანონებს (თვისებებს):

a+b=b+a(გადაადგილება: ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან).
(a+b)+c=a+(b+c)(კომბინატიული: ორი წევრის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვი).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

in)გადააქციეთ გამოხატულება იდენტურ ტოლად გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების (კანონების) გამოყენებით:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 წ · (-ერთი); 9) 3ა · (-3) · 2 წმ.

გადაწყვეტილება.გამოვიყენოთ გამრავლების კანონები (თვისებები):

a b=b a(გადაადგილება: ფაქტორების პერმუტაცია არ ცვლის პროდუქტს).
(ა ბ) c=a (ბ გ)(კომბინატიული: ორი რიცხვის ნამრავლის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 წ · (-1) = 7წ.

9) 3ა · (-3) · 2s = -18as.

თუ ალგებრული გამონათქვამი მოცემულია როგორც შემცირებადი წილადი, მაშინ წილადის შემცირების წესის გამოყენებით შეიძლება მისი გამარტივება, ე.ი. შეცვალეთ მისი იდენტური ტოლი უფრო მარტივი გამოსახულებით.

მაგალითები. გამარტივება წილადის შემცირების გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.წილადის შემცირება ნიშნავს მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას იმავე რიცხვზე (გამოხატვაზე) ნულის გარდა. წილადი 10) შემცირდება 3ბ; წილადი 11) შემცირება ადა წილადი 12) შემცირება 7n. ჩვენ ვიღებთ:

ალგებრული გამონათქვამები გამოიყენება ფორმულების ფორმულირებისთვის.

ფორმულა არის ალგებრული გამონათქვამი, რომელიც დაწერილია ტოლობის სახით, რომელიც გამოხატავს ურთიერთობას ორ ან მეტ ცვლადს შორის.მაგალითი: ბილიკის ფორმულა, რომელიც თქვენ იცით s=v ტ(s არის გავლილი მანძილი, v არის სიჩქარე, t არის დრო). დაიმახსოვრეთ სხვა რა ფორმულები იცით.

გვერდი 1 1-დან 1

ხშირად ამოცანებში საჭიროა გამარტივებული პასუხის გაცემა. მიუხედავად იმისა, რომ ორივე გამარტივებული და არამარტივი პასუხი სწორია, თქვენმა ინსტრუქტორმა შეიძლება შეამციროს თქვენი შეფასება, თუ თქვენ არ გაამარტივებთ პასუხს. უფრო მეტიც, გამარტივებულ მათემატიკური გამოხატულებასთან მუშაობა ბევრად უფრო ადვილია. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ვისწავლოთ როგორ გავამარტივოთ გამონათქვამები.

ნაბიჯები

მათემატიკური მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობა

1. დაიმახსოვრეთ მათემატიკური მოქმედებების შესრულების სწორი თანმიმდევრობა.მათემატიკური გამოთქმის გამარტივებისას უნდა დაიცვან გარკვეული რიგი, რადგან ზოგიერთი მათემატიკური ოპერაცია უპირატესია სხვებზე და პირველ რიგში უნდა შესრულდეს (ფაქტობრივად, მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობის შეუსრულებლობა არასწორ შედეგამდე მიგიყვანთ). დაიმახსოვრეთ მათემატიკური მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა: გამოხატულება ფრჩხილებში, სიძლიერე, გამრავლება, გაყოფა, შეკრება, გამოკლება.

   • გაითვალისწინეთ, რომ ოპერაციების სწორი თანმიმდევრობის ცოდნა საშუალებას მოგცემთ გაამარტივოთ უმარტივესი გამონათქვამები, მაგრამ პოლინომის (გამოსახულება ცვლადით) გასამარტივებლად თქვენ უნდა იცოდეთ სპეციალური ხრიკები (იხილეთ შემდეგი განყოფილება).

2. დაიწყეთ ფრჩხილებში გამოსახულების ამოხსნით.მათემატიკაში, ფრჩხილებში მითითებულია, რომ თანდართული გამოხატულება ჯერ უნდა შეფასდეს. ამიტომ, ნებისმიერი მათემატიკური გამოთქმის გამარტივებისას, დაიწყეთ ფრჩხილებში ჩასმული გამოხატვის ამოხსნით (არ აქვს მნიშვნელობა რა ოპერაციების შესრულება გჭირდებათ ფრჩხილებში). მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ფრჩხილებში ჩასმული გამოხატულებასთან მუშაობისას უნდა დაიცვათ მოქმედებების თანმიმდევრობა, ანუ ფრჩხილებში მოცემული ტერმინები ჯერ მრავლდება, იყოფა, ემატება, აკლდება და ა.შ.

   • მაგალითად, გავამარტივოთ გამოთქმა 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). აქ ვიწყებთ ფრჩხილებში გამოსახულებებით: 5 + 2 = 7 და 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • ფრჩხილების მეორე წყვილის გამოხატულება გამარტივებულია 5-მდე, რადგან 4/2 ჯერ უნდა გაიყოს (მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობის მიხედვით). თუ ამ თანმიმდევრობას არ დაიცავთ, მაშინ მიიღებთ არასწორ პასუხს: 3 + 4 = 7 და 7 ÷ 2 = 7/2.
   • თუ ფრჩხილებში არის კიდევ ერთი წყვილი ფრჩხილებში, დაიწყეთ გამარტივება შიდა ფრჩხილებში გამოსახულების ამოხსნით და შემდეგ გადადით გარე ფრჩხილებში გამოსახულების ამოხსნაზე.

3. ამაღლება ძალამდე.ფრჩხილებში გამოსახულებების ამოხსნის შემდეგ გადადით ხარისხზე ამაღლებაზე (გახსოვდეთ, რომ ხარისხს აქვს მაჩვენებლები და საფუძველი). აწიეთ შესაბამისი გამოხატულება (ან რიცხვი) ხარისხზე და შეცვალეთ შედეგი თქვენთვის მოცემული გამოსახულებით.

   • ჩვენს მაგალითში ერთადერთი გამოხატულება (რიცხვი) ძალაში არის 3 2: 3 2 = 9. თქვენ მოცემულ გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ 9 3 2-ის ნაცვლად და მიიღებთ: 2x + 4(7) + 9 - 5. .

4. გაამრავლე.გახსოვდეთ, რომ გამრავლების ოპერაცია შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი სიმბოლოებით: "x", "∙" ან "*". მაგრამ თუ რიცხვსა და ცვლადს შორის არ არის სიმბოლოები (მაგალითად, 2x) ან რიცხვსა და რიცხვს შორის ფრჩხილებში (მაგალითად, 4(7)), მაშინ ეს ასევე გამრავლების ოპერაციაა.

   • ჩვენს მაგალითში არის ორი გამრავლების ოპერაცია: 2x (ორჯერ x) და 4(7) (ოთხჯერ შვიდი). ჩვენ არ ვიცით x-ის მნიშვნელობა, ამიტომ გამონათქვამს 2x დავტოვებთ ისე, როგორც არის. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადაწეროთ თქვენთვის მოცემული გამოთქმა ასე: 2x + 28 + 9 - 5.

5. გაყოფა.გახსოვდეთ, რომ გაყოფის ოპერაცია შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგი სიმბოლოებით: "/", "÷" ან "-" (ბოლო სიმბოლო შეგიძლიათ ნახოთ წილადებში). მაგალითად, 3/4 არის სამი გაყოფილი ოთხზე.

   • ჩვენს მაგალითში აღარ არის გაყოფა, რადგან თქვენ უკვე გაყავით 4 2-ზე (4/2) ფრჩხილებში გამოსახული გამოსახულების ამოხსნისას. ამიტომ, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემდეგ ეტაპზე. გახსოვდეთ, რომ გამონათქვამების უმეტესობას არ აქვს ყველა მათემატიკური მოქმედება ერთდროულად (მხოლოდ ზოგიერთ მათგანს).

6. დაკეცეთ.გამოხატვის ტერმინების დამატებისას, შეგიძლიათ დაიწყოთ ყველაზე გარე (მარცხენა) ტერმინით, ან შეგიძლიათ ჯერ დაამატოთ ის ტერმინები, რომლებიც ადვილად გროვდება. მაგალითად, გამოხატულებაში 49 + 29 + 51 +71 ჯერ უფრო ადვილია 49 + 51 = 100, შემდეგ 29 + 71 = 100 და ბოლოს 100 + 100 = 200. ასე შეკრება გაცილებით რთულია. : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • ჩვენს 2x + 28 + 9 + 5 მაგალითში არის ორი მიმატების ოპერაცია. დავიწყოთ ყველაზე უკიდურესი (მარცხენა) ტერმინით: 2x + 28; თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ 2x და 28, რადგან არ იცით x-ის მნიშვნელობა. ამიტომ დაამატეთ 28 + 9 = 37. ახლა გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: 2x + 37 - 5.

7. გამოკლება.ეს არის ბოლო ოპერაცია მათემატიკური მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობით. ამ ეტაპზე ასევე შეგიძლიათ დაამატოთ უარყოფითი რიცხვები, ან შეგიძლიათ ეს გააკეთოთ წევრების დამატების ეტაპზე - ეს არანაირად არ იმოქმედებს საბოლოო შედეგზე.

   • ჩვენს მაგალითში 2x + 37 - 5, არსებობს მხოლოდ ერთი გამოკლების ოპერაცია: 37 - 5 = 32.

8. ამ ეტაპზე, ყველა მათემატიკური ოპერაციის შესრულების შემდეგ, თქვენ უნდა მიიღოთ გამარტივებული გამოხატულება.მაგრამ თუ თქვენთვის მოცემული გამოხატულება შეიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს, მაშინ გახსოვდეთ, რომ ცვლადის მქონე წევრი დარჩება ისეთი, როგორიც არის. ცვლადით გამოხატვის ამოხსნა (და არა გამარტივება) გულისხმობს ამ ცვლადის მნიშვნელობის პოვნას. ზოგჯერ ცვლადის მქონე გამონათქვამები შეიძლება გამარტივდეს სპეციალური მეთოდების გამოყენებით (იხილეთ შემდეგი განყოფილება).

   • ჩვენს მაგალითში, საბოლოო პასუხი არის 2x + 32. თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ ორი წევრი, სანამ არ იცით x-ის მნიშვნელობა. მას შემდეგ რაც გეცოდინებათ ცვლადის მნიშვნელობა, შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ ეს ბინომი.

   რთული გამონათქვამების გამარტივება

   1. მსგავსი ტერმინების დამატება.გახსოვდეთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ გამოკლოთ და დაამატოთ მსგავსი ტერმინები, ანუ ტერმინები იგივე ცვლადით და იგივე მაჩვენებლით. მაგალითად, შეგიძლიათ დაამატოთ 7x და 5x, მაგრამ არ შეგიძლიათ დაამატოთ 7x და 5x 2 (რადგან მაჩვენებლები აქ განსხვავებულია).

      • ეს წესი ასევე ვრცელდება რამდენიმე ცვლადის მქონე წევრებზე. მაგალითად, შეგიძლიათ დაამატოთ 2xy 2 და -3xy 2, მაგრამ არ შეგიძლიათ დაამატოთ 2xy 2 და -3x 2 y ან 2xy 2 და -3y 2.
      • განვიხილოთ მაგალითი: x 2 + 3x + 6 - 8x. აქ მსგავსი ტერმინები არის 3x და 8x, ასე რომ მათი დამატება შესაძლებელია. გამარტივებული გამოხატულება ასე გამოიყურება: x 2 - 5x + 6.

   2. რიცხვის გამარტივება.ასეთ წილადში მრიცხველიც და მნიშვნელიც შეიცავს რიცხვებს (ცვლადის გარეშე). რიცხვითი წილადი გამარტივებულია რამდენიმე გზით. პირველ რიგში, უბრალოდ გაყავით მნიშვნელი მრიცხველზე. მეორე, აკრიფეთ მრიცხველი და მნიშვნელი და გააუქმეთ იგივე ფაქტორები (რადგან როცა რიცხვს თავის თავზე ყოფთ, მიიღებთ 1-ს). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ერთი და იგივე კოეფიციენტი აქვს, შეგიძლიათ გადააგდოთ იგი და მიიღოთ გამარტივებული წილადი.

      • მაგალითად, განვიხილოთ წილადი 36/60. კალკულატორის გამოყენებით გაყავით 36 60-ზე და მიიღეთ 0.6. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ ამ წილადის სხვაგვარად გამარტივება მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორინგით: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 \u003d 1-დან, შემდეგ გამარტივებული წილადი: 1 x 6/10 \u003d 6/10. მაგრამ ეს ფრაქცია ასევე შეიძლება გამარტივდეს: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. თუ ფრაქცია შეიცავს ცვლადს, შეგიძლიათ შეამციროთ იგივე ფაქტორები ცვლადთან ერთად.აკრიფეთ როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი და გააუქმეთ ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინაც კი, თუ ისინი შეიცავენ ცვლადს (გახსოვდეთ, რომ აქ იგივე ფაქტორები შეიძლება შეიცავდეს ან არ შეიცავდეს ცვლადს).

      • განვიხილოთ მაგალითი: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს (ფაქტორირებული) როგორც: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). ვინაიდან 3x წევრი არის როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, ის შეიძლება შემცირდეს, რათა მოგცეთ გამარტივებული გამოხატულება: (x + 1)/(5 - x). განვიხილოთ სხვა მაგალითი: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გააუქმოთ ნებისმიერი ტერმინი - გაუქმებულია მხოლოდ იგივე ფაქტორები, რომლებიც წარმოდგენილია როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. მაგალითად, გამოხატულებაში (x(x + 2))/x ცვლადი (გამრავლება) "x" არის მრიცხველშიც და მნიშვნელშიც, ამიტომ "x" შეიძლება შემცირდეს და მივიღოთ გამარტივებული გამოხატულება: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. თუმცა, გამოხატულებაში (x + 2)/x, ცვლადი "x" არ შეიძლება შემცირდეს (რადგან მრიცხველში "x" არ არის ფაქტორი).

   4. გახსენით ფრჩხილები.ამისათვის გაამრავლეთ ფრჩხილის გარეთ არსებული ტერმინი ფრჩხილებში თითოეულ ტერმინზე. ზოგჯერ ეს ხელს უწყობს რთული გამოხატვის გამარტივებას. ეს ეხება როგორც პირველ რიცხვებს, ასევე წევრებს, რომლებიც შეიცავს ცვლადს.

      • მაგალითად, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 და 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ წილადის გამონათქვამებში ფრჩხილების გახსნა არ არის საჭირო, თუ მრიცხველიც და მნიშვნელიც ერთსა და იმავე ფაქტორს შეიცავს. მაგალითად, გამოხატულებაში (3(x 2 + 8)) / 3x, თქვენ არ გჭირდებათ ფრჩხილების გაფართოება, რადგან აქ შეგიძლიათ შეამციროთ ფაქტორი 3 და მიიღოთ გამარტივებული გამოხატულება (x 2 + 8) / x. ამ გამოთქმასთან მუშაობა უფრო ადვილია; თუ გააფართოვებთ ფრჩხილებს, მიიღებთ შემდეგ რთულ გამონათქვამს: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. მრავალწევრების ფაქტორიზაცია.ამ მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ გაამარტივოთ ზოგიერთი გამონათქვამი და მრავალწევრი. ფაქტორინგი ფრჩხილების გაფართოების საპირისპიროა, ანუ გამონათქვამი იწერება, როგორც ორი გამონათქვამის პროდუქტი, რომელთაგან თითოეული ჩასმულია ფრჩხილებში. ზოგიერთ შემთხვევაში, ფაქტორინგი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ იგივე გამოხატულება. განსაკუთრებულ შემთხვევებში (ჩვეულებრივ, კვადრატული განტოლებებით), ფაქტორინგი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ განტოლება.

      • განვიხილოთ გამონათქვამი x 2 - 5x + 6. ის იშლება ფაქტორებად: (x - 3) (x - 2). ამრიგად, თუ, მაგალითად, მოცემულია გამოხატულება (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), მაშინ შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი როგორც (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), შეამცირეთ გამოხატულება (x - 2) და მიიღეთ გამარტივებული გამოხატულება (x - 3) / 2.
      • მრავალწევრების ფაქტორინგი გამოიყენება განტოლებების გადასაჭრელად (ძირების მოსაძებნად (განტოლება არის 0-ის ტოლი მრავალწევრი). მაგალითად, განიხილეთ განტოლება x 2 - 5x + 6 \u003d 0. მისი ფაქტორების მიხედვით, თქვენ მიიღებთ (x - 3) (x - 2) \u003d 0. ვინაიდან 0-ზე გამრავლებული ნებისმიერი გამოხატულება არის 0, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ის ისე. ეს : x - 3 = 0 და x - 2 = 0. ამრიგად, x = 3 და x = 2, ანუ თქვენ იპოვეთ თქვენთვის მოცემული განტოლების ორი ფესვი.

ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება არის ალგებრის სწავლის ერთ-ერთი გასაღები და ძალიან სასარგებლო უნარი ყველა მათემატიკოსისთვის. გამარტივება საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ რთული ან გრძელი გამოხატულება მარტივ გამოხატულებამდე, რომლებთანაც ადვილია მუშაობა. საბაზისო გამარტივების უნარები კარგია მათთვისაც, ვინც არ არის ენთუზიაზმი მათემატიკით. რამდენიმე მარტივი წესის დაცვით, ალგებრული გამონათქვამების მრავალი ყველაზე გავრცელებული სახეობა შეიძლება გამარტივდეს რაიმე განსაკუთრებული მათემატიკური ცოდნის გარეშე.

ნაბიჯები

მნიშვნელოვანი განმარტებები

1. მსგავსი წევრები.ესენი არიან ერთიდაიგივე რიგის ცვლადის მქონე წევრები, იგივე ცვლადების მქონე წევრები ან თავისუფალი წევრები (წევრები, რომლებიც არ შეიცავს ცვლადს). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მსგავსი ტერმინები მოიცავს ერთ ცვლადს იმავე ზომით, მოიცავს რამდენიმე იდენტურ ცვლადს ან საერთოდ არ შეიცავს ცვლადს. გამოთქმაში ტერმინების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს.

   • მაგალითად, 3x 2 და 4x 2 ტერმინების მსგავსია, რადგან ისინი შეიცავს მეორე რიგის ცვლადს "x" (მეორე ხარისხში). თუმცა, x ​​და x 2 არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა რიგის ცვლადს "x" (პირველი და მეორე). ანალოგიურად, -3yx და 5xz არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს.

2. ფაქტორიზაცია.ეს არის ისეთი რიცხვების პოვნა, რომელთა ნამრავლი მივყავართ თავდაპირველ რიცხვამდე. ნებისმიერ ორიგინალურ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ფაქტორი. მაგალითად, რიცხვი 12 შეიძლება დაიყოს ფაქტორების შემდეგ სერიად: 1 × 12, 2 × 6 და 3 × 4, ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვები 1, 2, 3, 4, 6 და 12 არის ფაქტორები. ნომერი 12. ფაქტორები იგივეა, რაც გამყოფები, ანუ რიცხვები, რომლებზედაც იყოფა თავდაპირველი რიცხვი.

   • მაგალითად, თუ გსურთ რიცხვი 20 დაასახელოთ, დაწერეთ ასე: 4×5.
   • გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტორინგის დროს მხედველობაში მიიღება ცვლადი. მაგალითად, 20x = 4 (5x).
   • მარტივი რიცხვების გაანგარიშება შეუძლებელია, რადგან ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე.

3. დაიმახსოვრეთ და დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.

   • ფრჩხილები
   • ხარისხი
   • გამრავლება
   • განყოფილება
   • დამატება
   • გამოკლება

   წევრების მსგავსად კასტინგი

   1. ჩამოწერეთ გამოთქმა.უმარტივესი ალგებრული გამონათქვამები (რომლებიც არ შეიცავს წილადებს, ფესვებს და ა.

      • მაგალითად, გამოთქმის გამარტივება 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. განსაზღვრეთ მსგავსი წევრები (წევრები იმავე რიგის ცვლადით, წევრები იგივე ცვლადებით ან თავისუფალი წევრები).

      • იპოვეთ მსგავსი ტერმინები ამ გამოთქმაში. ტერმინები 2x და 4x შეიცავს იმავე რიგის ცვლადს (პირველი). ასევე, 1 და -3 არის თავისუფალი წევრები (არ შეიცავს ცვლადს). ამრიგად, ამ გამოთქმაში ტერმინები 2x და 4xმსგავსია და წევრები 1 და -3ასევე მსგავსია.

   3. მიეცით მსგავსი პირობები.ეს ნიშნავს მათ დამატებას ან გამოკლებას და გამოხატვის გამარტივებას.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. გადაწერეთ გამოთქმა მოცემული წევრების გათვალისწინებით.თქვენ მიიღებთ მარტივ გამოთქმას ნაკლები ტერმინებით. ახალი გამოთქმა ორიგინალის ტოლია.

      • ჩვენს მაგალითში: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ანუ ორიგინალური გამოთქმა გამარტივებულია და ადვილია მუშაობა.

   5. მსგავსი ტერმინების ჩამოსხმისას დააკვირდით ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობას.ჩვენს მაგალითში ადვილი იყო მსგავსი ტერმინების მოყვანა. თუმცა რთული გამონათქვამების შემთხვევაში, რომლებშიც წევრები ფრჩხილებშია ჩასმული და წილადები და ფესვებია, ასეთი ტერმინების მოყვანა არც ისე ადვილია. ამ შემთხვევებში დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა.

      • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. აქ შეცდომა იქნება დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ 3x და 2x, როგორც მსგავსი ტერმინები და მათი ციტირება, რადგან ჯერ უნდა გააფართოვოთ ფრჩხილები. ამიტომ, შეასრულეთ ოპერაციები მათი თანმიმდევრობით.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. ახლა, როდესაც გამონათქვამი შეიცავს მხოლოდ შეკრების და გამოკლების ოპერაციებს, შეგიძლიათ გადმოწეროთ მსგავსი ტერმინები.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   მულტიპლიკატორის ფრჩხილებში შეყვანა

   1. იპოვეთ გამოხატვის ყველა კოეფიციენტის უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd). GCD არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც იყოფა გამოხატვის ყველა კოეფიციენტი.

      • მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება 9x 2 + 27x - 3. ამ შემთხვევაში gcd=3, ვინაიდან ამ გამოსახულების ნებისმიერი კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე.

   2. გამოთქმის თითოეული წევრი გაყავით gcd-ზე.მიღებული ტერმინები შეიცავენ უფრო მცირე კოეფიციენტებს, ვიდრე თავდაპირველ გამოსახულებაში.

      • ჩვენს მაგალითში, თითოეული გამონათქვამის ტერმინი გაყავით 3-ზე.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • აღმოჩნდა გამოთქმა 3x2 + 9x-1. ეს არ არის ორიგინალური გამოხატვის ტოლი.

   3. დაწერეთ ორიგინალური გამოხატულება, როგორც ტოლი gcd-ის ნამრავლის შედეგად გამოსახულებაზე.ანუ, ჩასვით მიღებული გამოხატულება ფრჩხილებში და მოათავსეთ GCD ფრჩხილებიდან.

      • ჩვენს მაგალითში: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. წილადური გამონათქვამების გამარტივება მულტიპლიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღებით.რატომ ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ფრჩხილებიდან, როგორც ეს ადრე გაკეთდა? შემდეგ, ისწავლეთ რთული გამონათქვამების გამარტივება, როგორიცაა წილადი. ამ შემთხვევაში, ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება დაგეხმარებათ წილადის (მნიშვნელიდან) მოშორებაში.

      • მაგალითად, განიხილეთ წილადური გამოხატულება (9x 2 + 27x - 3)/3. გამოიყენეთ ფრჩხილები ამ გამოთქმის გასამარტივებლად.
        • აიღეთ ფაქტორი 3 (როგორც ადრე გააკეთეთ): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ახლა აქვს რიცხვი 3. ეს შეიძლება შემცირდეს და მიიღებთ გამონათქვამს: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • ვინაიდან ნებისმიერი წილადი, რომელსაც აქვს რიცხვი 1 მნიშვნელში, მხოლოდ მრიცხველის ტოლია, ორიგინალური წილადური გამოხატულება გამარტივებულია: 3x2 + 9x-1.

   დამატებითი გამარტივების ტექნიკა

4. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი: √(90). რიცხვი 90 შეიძლება დაიყოს შემდეგ ფაქტორებად: 9 და 10, ხოლო 9-დან აიღეთ კვადრატული ფესვი (3) და ამოიღეთ 3 ფესვის ქვეშ.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. გამოთქმების გამარტივება ძალებით.ზოგიერთ გამონათქვამში არის რიცხვების გამრავლების ან გაყოფის მოქმედებები ხარისხით. წევრთა ერთი ფუძით გამრავლების შემთხვევაში ემატება მათი ხარისხები; ერთიდაიგივე ფუძით ტერმინების გაყოფის შემთხვევაში მათ ხარისხს აკლებს.

   • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). გამრავლების შემთხვევაში დაამატეთ მაჩვენებლები, ხოლო გაყოფის შემთხვევაში გამოაკლეთ ისინი.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • ქვემოთ მოცემულია პუნქტებით გამრავლებისა და გაყოფის წესის განმარტება.
     • წევრთა გამრავლება ძალაუფლებაზე უდრის მათზე გამრავლებას. მაგალითად, რადგან x 3 = x × x × x და x 5 = x × x × x × x × x, მაშინ x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ან x 8.
     • ანალოგიურად, ტერმინების დაყოფა უფლებამოსილებით არის ტერმინების თავისთავად გაყოფის ექვივალენტური. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). ვინაიდან მსგავსი ტერმინები, რომლებიც არის როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, შეიძლება შემცირდეს, ორი "x" ან x 2-ის ნამრავლი რჩება მრიცხველში.

• ყოველთვის გაითვალისწინეთ ნიშნები (პლუს ან მინუს) გამოხატვის ტერმინების წინ, რადგან ბევრ ადამიანს უჭირს სწორი ნიშნის არჩევა.
• საჭიროების შემთხვევაში ითხოვეთ დახმარება!
• ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება ადვილი არ არის, მაგრამ თუ ხელი მოგივიდათ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს უნარი მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

ალგებრულ გამონათქვამს, რომლის ჩანაწერში შეკრების, გამოკლების და გამრავლების ოპერაციებთან ერთად, ასევე გამოიყენება დაყოფა ლიტერატურულ გამონათქვამებად, ეწოდება წილადი ალგებრული გამოხატულება. ასეთია, მაგალითად, გამონათქვამები

ალგებრულ წილადს ვუწოდებთ ალგებრულ გამოსახულებას, რომელსაც აქვს ორი მთელი ალგებრული გამონათქვამის (მაგალითად, მონომების ან მრავალწევრების) გაყოფის ფორმა. ასეთია, მაგალითად, გამონათქვამები

გამოთქმებიდან მესამე).

წილადი ალგებრული გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები უმეტესწილად გამიზნულია მათი ალგებრული წილადის სახით წარმოსაჩენად. საერთო მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენება წილადების - ტერმინების მნიშვნელების ფაქტორიზაცია მათი უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად. ალგებრული წილადების შემცირებისას შეიძლება დაირღვეს გამონათქვამების მკაცრი იდენტურობა: აუცილებელია გამოირიცხოს რაოდენობების მნიშვნელობები, რომლებზეც ქრება ფაქტორი, რომლითაც ხდება შემცირება.

მოვიყვანოთ წილადი ალგებრული გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნების მაგალითები.

მაგალითი 1: გამოხატვის გამარტივება

ყველა ტერმინი შეიძლება შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე (მოხერხებულია ნიშნის შეცვლა ბოლო ტერმინის მნიშვნელში და მის წინ ნიშანში):

ჩვენი გამოხატულება უდრის ერთს ყველა მნიშვნელობისთვის ამ მნიშვნელობების გარდა, ის არ არის განსაზღვრული და წილადის შემცირება უკანონოა).

მაგალითი 2. გამოთქმის წარმოდგენა ალგებრული წილადის სახით

გადაწყვეტილება. გამოთქმა შეიძლება მივიღოთ როგორც საერთო მნიშვნელი. თანმიმდევრულად ვპოულობთ:

Სავარჯიშოები

1. იპოვეთ ალგებრული გამონათქვამების მნიშვნელობები პარამეტრების მითითებული მნიშვნელობებისთვის:

2. ფაქტორიზაცია.