ស្វែងរកទម្រង់នៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ វិធីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាសមីការដែលរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ និងមួយ ឬច្រើននៃដេរីវេរបស់វា។ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងភាគច្រើន មុខងារគឺជាបរិមាណរូបវន្ត និស្សន្ទវត្ថុត្រូវគ្នាទៅនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណទាំងនេះ ហើយសមីការកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងពួកវា។

អត្ថបទនេះពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រភេទសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាមួយចំនួន ដំណោះស្រាយដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ មុខងារបឋមនោះគឺជាអនុគមន៍ពហុនាម អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងត្រីកោណមាត្រ ក៏ដូចជាមុខងារច្រាសរបស់វា។ សមីការទាំងនេះជាច្រើនកើតឡើងក្នុងជីវិតពិត ទោះបីជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលភាគច្រើនមិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រទាំងនេះក៏ដោយ ហើយសម្រាប់ពួកគេ ចម្លើយត្រូវបានសរសេរជាមុខងារពិសេស ឬស៊េរីថាមពល ឬរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រលេខ។

ដើម្បីយល់ពីអត្ថបទនេះ អ្នកត្រូវដឹងពីការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល ព្រមទាំងមានការយល់ដឹងខ្លះៗអំពីនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក។ វាត្រូវបានណែនាំផងដែរឱ្យដឹងពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ជាពិសេសសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ ទោះបីជាចំណេះដឹងនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវាក៏ដោយ។

ព័ត៌មានបឋម

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានការចាត់ថ្នាក់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ អត្ថបទនេះនិយាយអំពី សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។នោះគឺអំពីសមីការដែលរួមបញ្ចូលមុខងារនៃអថេរមួយ និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាគឺងាយស្រួលយល់ និងដោះស្រាយជាង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកដែលរួមបញ្ចូលមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ អត្ថបទនេះមិនពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែកទេ ដោយសារវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ដោយទម្រង់ជាក់លាក់របស់វា។
- ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
- ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\ផ្នែក y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
បញ្ជាទិញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ដោយលំដាប់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលខ្ពស់បំផុតរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនេះ។ ទីមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាខាងលើគឺជាសមីការទីមួយ ចំណែកឯសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរគឺជាលំដាប់ទីពីរ។ សញ្ញាបត្រនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា អំណាចខ្ពស់បំផុត ដែលលក្ខខណ្ឌមួយនៃសមីការនេះត្រូវបានលើកឡើង។
- ឧទាហរណ៍ សមីការខាងក្រោមគឺជាលំដាប់ទីបី និងថាមពលទីពីរ។
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)))^(3)y)((\mathrm (d))x^(3)))\ ស្តាំ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=0)
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅក្នុងអំណាចទីមួយ។ បើមិនដូច្នោះទេសមីការគឺ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរគឺគួរអោយកត់សំគាល់ដែលបន្សំលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ដែលនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។
- ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ។
- ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ។ សមីការទីមួយគឺមិនមែនលីនេអ៊ែរ ដោយសារពាក្យស៊ីនុស។
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d))x)((\mathrm (d))t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
ការសម្រេចចិត្តទូទៅសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាមិនមានតែមួយទេ វារួមបញ្ចូល អថេរបំពាននៃការរួមបញ្ចូល. ក្នុងករណីភាគច្រើន ចំនួននៃថេរបំពានគឺស្មើនឹងលំដាប់នៃសមីការ។ នៅក្នុងការអនុវត្តតម្លៃនៃថេរទាំងនេះត្រូវបានកំណត់ដោយការផ្តល់ឱ្យ លក្ខខណ្ឌដំបូង, នោះគឺដោយតម្លៃនៃអនុគមន៍និងដេរីវេរបស់វានៅ x = 0. (\displaystyle x=0.)ចំនួននៃលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលត្រូវការដើម្បីស្វែងរក ការសម្រេចចិត្តឯកជនសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ក្នុងករណីភាគច្រើនក៏ស្មើនឹងលំដាប់នៃសមីការនេះដែរ។
- ជាឧទាហរណ៍ អត្ថបទនេះនឹងពិនិត្យមើលការដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម។ នេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរ។ ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាមានអថេរបំពានពីរ។ ដើម្បីស្វែងរកថេរទាំងនេះ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីលក្ខខណ្ឌដំបូងនៅ x (0) (\ រចនាប័ទ្ម x(0))និង x′ (0) ។ (\displaystyle x"(0))ជាធម្មតាលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅចំណុច x = 0 , (\ រចនាប័ទ្ម x = 0,)ទោះបីជាវាមិនត្រូវបានទាមទារក៏ដោយ។ អត្ថបទនេះក៏នឹងពិចារណាផងដែរអំពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់សម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

ជំហាន

ផ្នែកទី 1

សមីការលំដាប់ទីមួយ

នៅពេលប្រើប្រាស់សេវាកម្មនេះ ព័ត៌មានមួយចំនួនអាចត្រូវបានផ្ទេរទៅ YouTube ។

សមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ។ផ្នែកនេះពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយជាទូទៅ និងករណីពិសេស នៅពេលដែលពាក្យមួយចំនួនស្មើនឹងសូន្យ។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ y = y (x), (\displaystyle y = y(x),) p (x) (\ displaystyle p(x))និង q (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ q (x))គឺជាមុខងារ x (\ រចនាប័ទ្ម x ។ )
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)យោងតាមទ្រឹស្តីបទសំខាន់មួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយក៏ជាមុខងារមួយផងដែរ។ ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការរួមបញ្ចូលសមីការដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះវាគួរតែត្រូវបានគេយកទៅក្នុងគណនីថានៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ថេរថេរមួយលេចឡើង។
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d))x)
Q(x)=0. (\displaystyle q(x)=0.)យើងប្រើវិធីសាស្រ្ត ការបំបែកអថេរ. ក្នុងករណីនេះ អថេរផ្សេងៗត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកផ្សេងគ្នានៃសមីការ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចផ្ទេរសមាជិកទាំងអស់ពី y (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y)ទៅជាមួយ និងសមាជិកទាំងអស់ជាមួយ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ទៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃសមីការ។ សមាជិកក៏អាចផ្លាស់ទីបានដែរ។ d x (\displaystyle (\mathrm (d))x)និង d y (\displaystyle (\mathrm (d))y)ដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមដេរីវេ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា នេះគ្រាន់តែជាអនុសញ្ញាមួយ ដែលងាយស្រួលនៅពេលបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ។ ការពិភាក្សាអំពីលក្ខខណ្ឌទាំងនេះដែលត្រូវបានគេហៅថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺនៅក្រៅវិសាលភាពនៃអត្ថបទនេះ។
- ដំបូងអ្នកត្រូវផ្លាស់ទីអថេរនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃសញ្ញាស្មើ។
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d))y=-p(x)(\mathrm (d))x)
- យើងរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការ។ បន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូល ថេរបំពានលេចឡើងនៅលើភាគីទាំងពីរ ដែលអាចត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d))x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d))x))
- ឧទាហរណ៍ 1.1 ។នៅជំហានចុងក្រោយយើងបានប្រើច្បាប់ e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))និងជំនួស e C (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម e^(C))នៅលើ C (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C)ព្រោះវាក៏ជាអថេរនៃការរួមបញ្ចូលផងដែរ។
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d))y&=\sin x(\mathrm (d))x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(តម្រឹម)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ យើងបានណែនាំ កត្តារួមបញ្ចូលជាមុខងាររបស់ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ដើម្បីកាត់បន្ថយផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាដេរីវេទូទៅ ហើយដូច្នេះដោះស្រាយសមីការ។
- គុណទាំងសងខាងដោយ μ (x) (\ រចនាប័ទ្ម\mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+\mu py=\mu q)
- ដើម្បីកាត់បន្ថយផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាដេរីវេទូទៅ ការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោមត្រូវធ្វើ៖
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d)))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d))\mu)((\mathrm (d))x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+\mu py)
- សមភាពចុងក្រោយមានន័យថា d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))\mu)((\mathrm (d))x))=\mu p). នេះគឺជាកត្តារួមបញ្ចូលដែលគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ។ ឥឡូវនេះយើងអាចទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនេះទាក់ទងនឹង µ , (\displaystyle \mu ,)ទោះបីជាសម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាលវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការធ្វើការគណនាកម្រិតមធ្យមទាំងអស់។
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x) = e^(\int p(x)(\mathrm (d))x))
- ឧទាហរណ៍ 1.2 ។ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងពិចារណាពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x) = e^(\int p(t)(\mathrm (d))t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned))(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d))t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ (កត់ត្រាដោយ Intuit - National Open University) ។
សមីការលំដាប់ទីមួយដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ. នៅក្នុងផ្នែកនេះ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយត្រូវបានពិចារណា។ ទោះបីជាមិនមានវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះក៏ដោយ ក៏ពួកវាខ្លះអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រខាងក្រោម។
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) ។ (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=h(x)g(y))ប្រសិនបើមុខងារ f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាមុខងារនៃអថេរមួយ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលអាចបំបែកបាន។. ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចប្រើវិធីខាងលើ៖
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d))y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- ឧទាហរណ៍ 1.3 ។
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d))y&=\int (\frac(x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d))x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(តម្រឹម)))
ឃ y d x = g (x , y) h (x , y) ។ (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ g (x, y) (\ displaystyle g(x, y))និង h (x, y) (\ displaystyle h(x, y))គឺជាមុខងារ x (\ រចនាប័ទ្ម x)និង y (\ រចនាប័ទ្ម y ។ )បន្ទាប់មក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។គឺជាសមីការដែលក្នុងនោះ g (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម g)និង h (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ h)គឺ មុខងារដូចគ្នា។សញ្ញាបត្រដូចគ្នា។ នោះគឺមុខងារត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ g (α x, α y) = α k g (x, y), (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)កន្លែងណា k (\ រចនាប័ទ្ម k)ត្រូវបានគេហៅថាកម្រិតនៃភាពដូចគ្នា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាណាមួយអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមស្របមួយ។ ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ (v = y / x (\displaystyle v=y/x)ឬ v = x/y (\displaystyle v=x/y)) ដើម្បីបំប្លែងទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។
- ឧទាហរណ៍ 1.4 ។ការពិពណ៌នាខាងលើនៃភាពដូចគ្នាអាចហាក់ដូចជាមិនច្បាស់លាស់។ សូមក្រឡេកមើលគំនិតនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសមីការនេះគឺមិនមែនលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង y (\ រចនាប័ទ្ម y ។ )យើងក៏ឃើញដែរថាក្នុងករណីនេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបំបែកអថេរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះគឺដូចគ្នា ដោយហេតុថា ទាំងភាគយក និងភាគបែងគឺដូចគ្នាជាមួយនឹងអំណាចនៃ 3។ ដូច្នេះហើយ យើងអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ v=y/x ។ (\displaystyle v=y/x ។ )
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2))))=v-(\frac (1)(v^(2)))))
  - y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d))x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 ។ (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d))x))x=-(\frac (1)(v^(2))))ជាលទ្ធផលយើងមានសមីការសម្រាប់ v (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម v)ជាមួយអថេរដែលបានចែករំលែក។
  - v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=p(x)y+q(x)y^(n))នេះ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល Bernoulli- ប្រភេទពិសេសនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរនៃដឺក្រេទីមួយ ដំណោះស្រាយដែលអាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើអនុគមន៍បឋម។
- គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- យើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយនៅខាងឆ្វេង ហើយបំប្លែងសមីការទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរដោយគោរពតាម y 1 − n , (\ displaystyle y^(1-n),)ដែលអាចដោះស្រាយបានតាមវិធីខាងលើ។
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) y^(1-n))) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=0.)នេះ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប. វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកអ្វីដែលគេហៅថា មុខងារសក្តានុពល φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),)ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))\varphi)((\mathrm (d))x))=0.)
- ដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះវាចាំបាច់ដើម្បីឱ្យមាន ដេរីវេសរុប. ដេរីវេសរុបគិតគូរពីការពឹងផ្អែកលើអថេរផ្សេងទៀត។ ដើម្បីគណនាដេរីវេសរុប φ (\ រចនាប័ទ្ម \\ varphi )ដោយ x , (\ រចនាប័ទ្ម x,)យើងសន្មត់ថា y (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y)ក៏អាចពឹងផ្អែកលើ x (\ រចនាប័ទ្ម x ។ )
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))\varphi)((\mathrm (d))x)))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)))
- ការប្រៀបធៀបលក្ខខណ្ឌផ្តល់ឱ្យយើង M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x, y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))និង N (x, y) = ∂ φ ∂ y ។ (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)))នេះគឺជាលទ្ធផលធម្មតាសម្រាប់សមីការដែលមានអថេរជាច្រើន ដែលដេរីវេចម្រុះនៃអនុគមន៍រលោងគឺស្មើគ្នា។ ពេលខ្លះករណីនេះត្រូវបានគេហៅថា ទ្រឹស្តីបទរបស់ Clairaut. ក្នុងករណីនេះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាសមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការស្វែងរកមុខងារសក្តានុពលនៅក្នុងវត្តមាននៃដេរីវេជាច្រើនដែលយើងនឹងពិភាក្សាដោយសង្ខេប។ ដំបូងយើងរួមបញ្ចូល M (\ រចនាប័ទ្ម M)ដោយ x (\ រចនាប័ទ្ម x ។ )ដោយសារតែ M (\ រចនាប័ទ្ម M)គឺជាមុខងារនិង x (\ រចនាប័ទ្ម x), និង y , (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y,)នៅពេលរួមបញ្ចូល យើងទទួលបានមុខងារមិនពេញលេញ φ , (\ រចនាប័ទ្ម \\ varphi ,)ដាក់ស្លាកថាជា φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). លទ្ធផលក៏រួមបញ្ចូលផងដែរ អាស្រ័យលើ y (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y)ការរួមបញ្ចូលថេរ។
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d))x=(\tilde (\varphi))(x,y)+c(y))
- បន្ទាប់ពីនោះដើម្បីទទួលបាន c (y) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ c (y))អ្នកអាចយកដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍លទ្ធផលដោយគោរព y , (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y,)ស្មើលទ្ធផល N (x , y) (\ displaystyle N(x, y))និងរួមបញ្ចូល។ មួយក៏អាចរួមបញ្ចូលដំបូងផងដែរ។ N (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម N)ហើយបន្ទាប់មកយកដេរីវេដោយផ្នែកដោយគោរពទៅ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញមុខងារបំពាន d(x) (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម d(x))វិធីសាស្រ្តទាំងពីរគឺសមរម្យ ហើយជាធម្មតាមុខងារសាមញ្ញជាងត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ការរួមបញ្ចូល។
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ ផ្នែក (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y)))
- ឧទាហរណ៍ 1.5 ។អ្នកអាចយកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ថាសមីការខាងក្រោមគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned))\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d))x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y))\end(aligned)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- ប្រសិនបើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនមែនជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបទេ ក្នុងករណីខ្លះអ្នកអាចរកឃើញកត្តារួមបញ្ចូលដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបម្លែងវាទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការបែបនេះកម្រត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត ហើយទោះបីជាកត្តារួមបញ្ចូលក៏ដោយ។ មាន, រកឃើញវាកើតឡើង មិនងាយស្រួលដូច្នេះសមីការទាំងនេះមិនត្រូវបានពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះទេ។

ផ្នែកទី 2

សមីការលំដាប់ទីពីរ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរ។សមីការទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្ត ដូច្នេះដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេមានសារៈសំខាន់បំផុត។ ក្នុងករណីនេះ យើងមិនបាននិយាយអំពីមុខងារដូចគ្នាទេ ប៉ុន្តែអំពីការពិតដែលមាន 0 នៅខាងស្ដាំនៃសមីការ។ នៅផ្នែកបន្ទាប់យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលត្រូវគ្នា ខុសគ្នាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខាងក្រោម a (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ a)និង b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ)គឺថេរ។
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+by=0)
សមីការលក្ខណៈ. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះគឺគួរឱ្យកត់សម្គាល់ដែលវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់លើលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីដែលដំណោះស្រាយរបស់វាគួរតែមាន។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីសមីការនោះ។ y (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y)ហើយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាគឺសមាមាត្រទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ ពីឧទាហរណ៍មុន ដែលត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកនៃសមីការលំដាប់ទីមួយ យើងដឹងថាមានតែអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលប៉ុណ្ណោះដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ។ ដូច្នេះអាចដាក់ទៅមុខបាន។ អាណាសាស(ការទស្សន៍ទាយដែលមានការអប់រំ) អំពីអ្វីដែលដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
- ដំណោះស្រាយនឹងយកទម្រង់នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល e r x , (\displaystyle e^(rx),)កន្លែងណា r (\ រចនាប័ទ្ម r)គឺជាថេរដែលតម្លៃត្រូវបានរកឃើញ។ ជំនួសមុខងារនេះទៅក្នុងសមីការ ហើយទទួលបានកន្សោមខាងក្រោម
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- សមីការនេះបង្ហាញថាផលគុណនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងពហុនាមត្រូវតែជាសូន្យ។ វាត្រូវបានគេដឹងថានិទស្សន្តមិនអាចស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃដឺក្រេទេ។ ដូច្នេះហើយ យើងសន្និដ្ឋានថាពហុធាគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ យើងបានកាត់បន្ថយបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទៅជាបញ្ហាសាមញ្ញជាងនៃការដោះស្រាយសមីការពិជគណិត ដែលត្រូវបានគេហៅថាសមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm)=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- យើងមានឫសពីរ។ ដោយសារសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះគឺលីនេអ៊ែរ ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយផ្នែក។ ដោយសារនេះជាសមីការលំដាប់ទីពីរ យើងដឹងថានេះគឺ ពិតជាដំណោះស្រាយទូទៅ ហើយមិនមានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។ យុត្តិកម្មដ៏តឹងរ៉ឹងសម្រាប់រឿងនេះ ស្ថិតនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទស្តីពីអត្ថិភាព និងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយ ដែលអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា។
- មធ្យោបាយមានប្រយោជន៍ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយពីរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺដើម្បីគណនា វ៉ុនស្គីន. វ៉ុនស្គីន W (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម W)- នេះគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលនៅក្នុងជួរឈរមានមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុបន្តបន្ទាប់របស់វា។ ទ្រឹស្តីបទពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ចែងថា មុខងារនៅក្នុង Wronskian គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ Wronskian ស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងអាចសាកល្បងថាតើដំណោះស្រាយពីរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរដោយធ្វើឱ្យប្រាកដថា Wronskian គឺមិនមែនសូន្យ។ Wronskian មានសារៈសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonhomogeneous ជាមួយនឹងមេគុណថេរដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
  - w = | y 1 y 2 y 1′ y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ សំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាចន្លោះវ៉ិចទ័រដែលវិមាត្រស្មើនឹងលំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ក្នុងចន្លោះនេះ មនុស្សម្នាក់អាចជ្រើសរើសមូលដ្ឋានពី ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរការសម្រេចចិត្តពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ នេះគឺអាចធ្វើទៅបានដោយសារតែការពិតដែលថាមុខងារ y (x) (\ រចនាប័ទ្ម y (x))ត្រឹមត្រូវ។ ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ. ដេរីវេ គឺប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីវាបំប្លែងចន្លោះនៃមុខងារផ្សេងគ្នាទៅជាចន្លោះនៃមុខងារទាំងអស់។ សមីការត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នានៅក្នុងករណីដែលសម្រាប់ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរមួយចំនួន L (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម L)វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅរកឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយចំនួន។ ករណីនៃឫសច្រើននៃសមីការលក្ខណៈនឹងត្រូវបានពិចារណាបន្តិចក្រោយមក នៅក្នុងផ្នែកស្តីពីការកាត់បន្ថយលំដាប់។
ប្រសិនបើឫស r ± (\displaystyle r_(\pm))ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានដំណោះស្រាយដូចខាងក្រោម
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
ឫសស្មុគស្មាញពីរ។វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតដែលដំណោះស្រាយចំពោះសមីការពហុនាមដែលមានមេគុណពិតមានឫសដែលពិត ឬបង្កើតជាគូ។ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)គឺជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ r ∗ = α − i β (\ displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta)ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការនេះដែរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះគឺជាចំនួនកុំផ្លិច ហើយមិនចង់បានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។
- ជំនួសមកវិញ អ្នកអាចប្រើ រូបមន្តអយល័រ e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ៖
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- ឥឡូវនេះអ្នកអាចជំនួសឱ្យថេរ c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))កត់ទុក c 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ c_(1)), និងការបញ្ចេញមតិ i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))ជំនួសដោយ គ ២. (\displaystyle c_(2))បន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយដូចខាងក្រោមៈ
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
- មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទំហំ និងដំណាក់កាល ដែលសមស្របជាងសម្រាប់បញ្ហារាងកាយ។
- ឧទាហរណ៍ 2.1 ។ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោមជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចំពោះបញ្ហានេះវាចាំបាច់ក្នុងការយកដំណោះស្រាយដែលទទួលបាន។ ក៏ដូចជាដេរីវេរបស់វា។ហើយជំនួសពួកវាទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដំបូង ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ថេរតាមអំពើចិត្ត។
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = −1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)x)(( \mathrm (d))t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d))x)((\mathrm (d))t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = −3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40))))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) ) ខ្ញុំ)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t) + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31)))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\sqrt (31))(2))t\right))
ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី 9 ជាមួយនឹងមេគុណថេរ (កត់ត្រាដោយ Intuit - National Open University) ។
ការទម្លាក់ចំណាត់ថ្នាក់។ការកាត់បន្ថយលំដាប់គឺជាវិធីសាស្រ្តមួយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅពេលដែលដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរមួយត្រូវបានគេស្គាល់។ វិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការបន្ថយលំដាប់នៃសមីការដោយមួយ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកមុន។ សូមឱ្យដំណោះស្រាយត្រូវបានដឹង។ គំនិតចម្បងនៃការបន្ថយលំដាប់គឺដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់មុខងារ v (x) (\displaystyle v(x))ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងការស្វែងរក v(x) (\displaystyle v(x))ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលការកាត់បន្ថយលំដាប់អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងមេគុណថេរ និងឫសច្រើន។

ឫសច្រើន។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរ។ សូមចាំថាសមីការលំដាប់ទីពីរត្រូវតែមានដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរ។ ប្រសិនបើសមីការលក្ខណៈមានឫសច្រើន សំណុំនៃដំណោះស្រាយ ទេ។បង្កើតលំហមួយ ចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយទាំងនេះពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។ ក្នុងករណីនេះ ការកាត់បន្ថយការបញ្ជាទិញត្រូវតែប្រើដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយឯករាជ្យតាមលីនេអ៊ែរទីពីរ។
- សូមឱ្យសមីការលក្ខណៈមានឫសច្រើន។ r (\ រចនាប័ទ្ម r). យើងសន្មតថាដំណោះស្រាយទីពីរអាចត្រូវបានសរសេរជា y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ក្នុងករណីនេះភាគច្រើននៃពាក្យដោយលើកលែងតែពាក្យដែលមានដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ v , (\displaystyle v,)នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
  - v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- ឧទាហរណ៍ 2.2 ។ដែលបានផ្តល់ឱ្យសមីការខាងក្រោមដែលមានឫសច្រើន។ r = − 4. (\displaystyle r=-4.)នៅពេលជំនួស លក្ខខណ្ឌភាគច្រើនត្រូវបានលុបចោល។
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(តម្រឹម)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(តម្រឹម) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x))))+(\cancel (16ve^(-4x))))=0\end(aligned)))
- ដូចជា ansatz របស់យើងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយមេគុណថេរ ក្នុងករណីនេះមានតែដេរីវេទី 2 ប៉ុណ្ណោះដែលអាចស្មើនឹងសូន្យ។ យើងរួមបញ្ចូលពីរដងហើយទទួលបានកន្សោមដែលចង់បាន v (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានមេគុណថេរ ប្រសិនបើសមីការលក្ខណៈមានឫសច្រើន អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល អ្នកអាចចាំថា ដើម្បីទទួលបានឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណពាក្យទីពីរដោយសាមញ្ញ x (\ រចនាប័ទ្ម x). សំណុំនៃដំណោះស្រាយនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយដូច្នេះយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទាំងអស់ចំពោះសមីការនេះ។
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)y)((\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+q(x)y=0.)ការកាត់បន្ថយការបញ្ជាទិញគឺអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើដំណោះស្រាយត្រូវបានគេដឹង y 1 (x) (\ displaystyle y_(1)(x))ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញ ឬផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។
- យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))ហើយដោតវាទៅក្នុងសមីការនេះ៖
  - v″ y 1 + 2 v′ y 1′ + p (x) v′ y 1 + v (y 1″ + p (x) y 1′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- ដោយសារតែ y 1 (\ រចនាប័ទ្ម y_(1))គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គ្រប់ពាក្យជាមួយ v (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម v)កំពុងរួមតូច។ ជាលទ្ធផលវានៅសល់ សមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ. ដើម្បីមើលឃើញវាកាន់តែច្បាស់ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v”(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \\left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d))x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d))x)
- ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានគណនាយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអនុគមន៍បឋម។ បើមិនដូច្នោះទេដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានទុកចោលក្នុងទម្រង់អាំងតេក្រាល។
សមីការ Cauchy-Euler ។សមីការ Cauchy-Euler គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរជាមួយ អថេរមេគុណដែលមានដំណោះស្រាយជាក់លាក់។ សមីការនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត ឧទាហរណ៍ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ Laplace ក្នុងកូអរដោនេស្វ៊ែរ។
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+by=0)
សមីការលក្ខណៈ។ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ ពាក្យនីមួយៗមានកត្តាថាមពល កម្រិតដែលស្មើនឹងលំដាប់នៃដេរីវេដែលទាក់ទងគ្នា។
- ដូចនេះ គេអាចព្យាយាមស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)កន្លែងដែលត្រូវកំណត់ n (\displaystyle n)ដូចដែលយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ បន្ទាប់ពីភាពខុសគ្នានិងការជំនួសយើងទទួលបាន
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- ដើម្បីប្រើសមីការលក្ខណៈ យើងត្រូវសន្មតថា x ≠ 0 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម x\neq 0). ចំណុច x = 0 (\ រចនាប័ទ្ម x = 0)ហៅ ចំណុចឯកវចនៈធម្មតា។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចំណុចបែបនេះមានសារៈសំខាន់នៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើស៊េរីថាមពល។ សមីការនេះមានឫសពីរ ដែលអាចខុសគ្នា និងពិត ពហុកោណ ឬស្មុគស្មាញ។
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm)=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))
ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា។ប្រសិនបើឫស n ± (\displaystyle n_(\pm))គឺពិត និងខុសគ្នា នោះដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-))))
ឫសស្មុគស្មាញពីរ។ប្រសិនបើសមីការលក្ខណៈមានឫសគល់ n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm)=\alpha \pm \beta i)ដំណោះស្រាយគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។
- ដើម្បីបំប្លែងដំណោះស្រាយទៅជាមុខងារពិត យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ x = e t , (\ displaystyle x = e^(t),)នោះគឺ t = ln ⁡ x, (\ displaystyle t = ln x,)ហើយប្រើរូបមន្តអយល័រ។ សកម្មភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានអនុវត្តមុននេះ នៅពេលកំណត់អថេរតាមអំពើចិត្ត។
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរជា
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ ( β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha)(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
ឫសច្រើន។ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរទីពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការកាត់បន្ថយការបញ្ជាទិញម្តងទៀត។
- វាត្រូវការការគណនាបន្តិច ប៉ុន្តែគោលការណ៍គឺដូចគ្នា៖ យើងជំនួស y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))ទៅក្នុងសមីការដែលដំណោះស្រាយទីមួយគឺ y 1 (\ រចនាប័ទ្ម y_(1)). បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយ សមីការខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយទាក់ទងនឹង v′ (x) ។ (\displaystyle v"(x))ដំណោះស្រាយរបស់គាត់គឺ v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x ។ (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)ដូច្នេះដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការចងចាំ - ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរទីពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការពាក្យបន្ថែមជាមួយ ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរ។សមីការ Nonhomogeneous មានទម្រង់ L [ y (x) ] = f (x), (\ displaystyle L = f (x),)កន្លែងណា f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x))- ហៅថា សមាជិកឥតគិតថ្លៃ. យោងតាមទ្រឹស្ដីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះគឺជា superposition ការសម្រេចចិត្តឯកជន y p (x) (\ displaystyle y_(p)(x))និង ដំណោះស្រាយបន្ថែម y c (x) ។ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម y_(c)(x))ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយមិនមានន័យថាដំណោះស្រាយដែលផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌដំបូងនោះទេប៉ុន្តែជាដំណោះស្រាយដែលកើតឡើងដោយសារតែវត្តមាននៃភាពមិនដូចគ្នា (សមាជិកឥតគិតថ្លៃ) ។ ដំណោះស្រាយបំពេញបន្ថែមគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងនោះ។ f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)ដំណោះស្រាយទូទៅគឺជា superposition នៃដំណោះស្រាយទាំងពីរនេះ ពីព្រោះ L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ហើយចាប់តាំងពី L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) superposition បែបនេះគឺពិតជាដំណោះស្រាយទូទៅ។
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+by=f(x))
វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់។វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ត្រូវបានប្រើក្នុងករណីដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ត្រីកោណមាត្រ អ៊ីពែរបូល ឬអនុគមន៍ថាមពល។ មានតែមុខងារទាំងនេះប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានធានាថាមានចំនួនកំណត់នៃនិស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ។
- ប្រៀបធៀបលក្ខខណ្ឌនៅក្នុង f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x))ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌក្នុងការមិនអើពើកត្តាថេរ។ ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន។
  - មិនមានសមាជិកដូចគ្នាទេ។ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))នឹងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃពាក្យពី y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))
  - f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x)) មានសមាជិក x n (\displaystyle x^(n)) និងសមាជិកមកពី y c , (\displaystyle y_(c),) កន្លែងណា n (\displaystyle n) គឺសូន្យ ឬជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយពាក្យនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងឫសតែមួយនៃសមីការលក្ខណៈ។ក្នុងករណីនេះ y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))នឹងមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃមុខងារ x n + 1 h (x), (\displaystyle x^(n+1)h(x),)និស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ក៏ដូចជាពាក្យផ្សេងទៀត។ f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x))និងនិស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ។
  - f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x)) មានសមាជិក h (x), (\ រចនាប័ទ្ម h(x),) ដែលជាការងារ x n (\displaystyle x^(n)) និងសមាជិកមកពី y c , (\displaystyle y_(c),) កន្លែងណា n (\displaystyle n) គឺស្មើនឹង 0 ឬចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយពាក្យនេះត្រូវនឹង ច្រើនឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ។ក្នុងករណីនេះ y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))គឺជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃមុខងារ x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(កន្លែងណា s (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ s)- ពហុគុណនៃឫស) និងនិស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែររបស់វា ក៏ដូចជាសមាជិកផ្សេងទៀតនៃមុខងារ f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x))និងនិស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែររបស់វា។
- ចូរយើងសរសេរចុះ y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃពាក្យខាងលើ។ ដោយសារមេគុណទាំងនេះនៅក្នុងបន្សំលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា "វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់" ។ តាមការលេចឡើងនៃវត្ថុដែលមាននៅក្នុង y c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(c))សមាជិករបស់ពួកគេអាចត្រូវបានបោះបង់ចោលដោយសារតែវត្តមានរបស់អថេរដែលបំពាននៅក្នុង y គ. (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម y_(c))បន្ទាប់ពីនោះយើងជំនួស y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))ចូលទៅក្នុងសមីការ និងសមីការដូចពាក្យ។
- យើងកំណត់មេគុណ។ នៅដំណាក់កាលនេះ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតត្រូវបានទទួល ដែលជាធម្មតាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានបញ្ហាពិសេសណាមួយឡើយ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបាន y p (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y_(p))ហើយដោយហេតុនេះ ដោះស្រាយសមីការ។
- ឧទាហរណ៍ 2.3 ។ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា ដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃមានកំណត់ចំនួនកំណត់នៃនិស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់។
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(តម្រឹម)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \\ បញ្ចប់ (ករណី)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
វិធីសាស្រ្ត Lagrange ។វិធីសាស្ត្រ Lagrange ឬវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត គឺជាវិធីសាស្រ្តទូទៅបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា ជាពិសេសក្នុងករណីដែលពាក្យសេរីមិនមានចំនួនកំណត់នៃនិស្សន្ទវត្ថុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយសមាជិកឥតគិតថ្លៃ tan ⁡ x (\ រចនាប័ទ្ម \\ tan x)ឬ x − n (\ រចនាប័ទ្ម x^(-n))ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។ វិធីសាស្ត្រ Lagrange អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងមេគុណអថេរ ទោះបីជាក្នុងករណីនេះ លើកលែងតែសមីការ Cauchy-Euler វាត្រូវបានគេប្រើតិចជាងមុន ដោយសារដំណោះស្រាយបន្ថែមជាធម្មតាមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋម។
- ចូរសន្មតថាដំណោះស្រាយមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។ ដេរីវេរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជួរទីពីរ។
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- ចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងមាន ពីរបរិមាណដែលមិនស្គាល់, វាចាំបាច់ក្នុងការដាក់ បន្ថែមលក្ខខណ្ឌ។ យើងជ្រើសរើសលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនេះក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y″ = v 1′ y 1′ + v 1 y 1″ + v 2′ y 2′ + v 2 y 2″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- ឥឡូវនេះយើងអាចទទួលបានសមីការទីពីរ។ បន្ទាប់ពីការជំនួស និងការចែកចាយសមាជិកឡើងវិញ អ្នកអាចដាក់សមាជិកជាក្រុមជាមួយគ្នា។ v 1 (\displaystyle v_(1))និងសមាជិកមកពី v 2 (\displaystyle v_(2)). លក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានលុបចោលដោយសារតែ y 1 (\ រចនាប័ទ្ម y_(1))និង y 2 (\ ទម្រង់បង្ហាញ y_(2))គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការដូចខាងក្រោម
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
- ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានបំលែងទៅជាសមីការម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ A x = b , (\displaystyle A(\mathbf(x))=(\mathbf(b) ),)តើដំណោះស្រាយរបស់អ្នកណា x = A − 1 ខ។ (\displaystyle (\mathbf (x))=A^(-1)(\mathbf (b)))សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2 × 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2 \ គុណ 2)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែកដោយកត្តាកំណត់, អនុញ្ញាតធាតុអង្កត់ទ្រូង, និងបញ្ច្រាសសញ្ញានៃធាតុបិទអង្កត់ទ្រូង។ តាមពិតកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺ Wronskian ។
  - (v 1′ v 2′) = 1 W (y 2′ − y 2 − y 1′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ ចុង(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- កន្សោមសម្រាប់ v 1 (\displaystyle v_(1))និង v 2 (\displaystyle v_(2))ត្រូវបានរាយខាងក្រោម។ ដូចនៅក្នុងវិធីកាត់បន្ថយលំដាប់ ក្នុងករណីនេះ ថេរតាមអំពើចិត្តមួយលេចឡើងកំឡុងពេលរួមបញ្ចូល ដែលរួមបញ្ចូលដំណោះស្រាយបន្ថែមនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d))x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d))x)
ការបង្រៀនរបស់ National Open University Intuit មានចំណងជើងថា "សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ n-th ជាមួយនឹងមេគុណថេរ" ។

ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ និងនិស្សន្ទវត្ថុមួយ ឬច្រើនរបស់វា។ ដោយសារទំនាក់ទំនងបែបនេះគឺជារឿងធម្មតា ដូច្នេះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានរកឃើញកម្មវិធីទូលំទូលាយនៅក្នុងផ្នែកជាច្រើន ហើយចាប់តាំងពីយើងរស់នៅក្នុងវិមាត្របួន សមីការទាំងនេះច្រើនតែជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុង ឯកជននិស្សន្ទវត្ថុ។ ផ្នែកនេះពិភាក្សាអំពីសមីការសំខាន់ៗមួយចំនួននៃប្រភេទនេះ។

កំណើននិទស្សន្តនិងការពុកផុយ។ការបំផ្លាញវិទ្យុសកម្ម។ ការប្រាក់រួម។ អត្រានៃប្រតិកម្មគីមី។ ការប្រមូលផ្តុំថ្នាំក្នុងឈាម។ កំណើនប្រជាជនគ្មានដែនកំណត់។ ច្បាប់ Newton-Richmann ។ នៅក្នុងពិភពពិត មានប្រព័ន្ធជាច្រើនដែលអត្រានៃការលូតលាស់ ឬការថយចុះនៅពេលណាមួយគឺសមាមាត្រទៅនឹងចំនួននៅពេលនោះ ឬអាចត្រូវបានគេប៉ាន់ស្មានបានយ៉ាងល្អដោយគំរូមួយ។ នេះគឺដោយសារតែដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាមុខងារដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ ជាទូទៅ នៅក្រោមកំណើនប្រជាជនដែលត្រូវបានគ្រប់គ្រង ប្រព័ន្ធអាចរួមបញ្ចូលលក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលកំណត់កំណើន។ នៅក្នុងសមីការខាងក្រោម ថេរ k (\ រចនាប័ទ្ម k)អាចធំជាង ឬតិចជាងសូន្យ។
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=kx)
រំញ័រអាម៉ូនិក។ទាំងនៅក្នុងមេកានិចបុរាណ និងកង់ទិច លំយោលអាម៉ូនិក គឺជាប្រព័ន្ធរូបវន្តដ៏សំខាន់បំផុតមួយ ដោយសារភាពសាមញ្ញ និងកម្មវិធីធំទូលាយរបស់វាសម្រាប់ប្រហាក់ប្រហែលនឹងប្រព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញ ដូចជាប៉ោលសាមញ្ញ។ នៅក្នុងមេកានិចបុរាណ លំយោលអាម៉ូនិកត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការដែលទាក់ទងនឹងទីតាំងនៃសម្ភារៈចង្អុលទៅការបង្កើនល្បឿនរបស់វាតាមរយៈច្បាប់របស់ Hooke ។ ក្នុងករណីនេះការធ្វើឱ្យសើមនិងកម្លាំងជំរុញក៏អាចត្រូវបានគេយកមកពិចារណាផងដែរ។ នៅក្នុងកន្សោមខាងក្រោម x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- ដេរីវេនៃពេលវេលា x , (\ រចនាប័ទ្ម x,) β (\ រចនាប័ទ្ម \\ បេតា )គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលពិពណ៌នាអំពីកម្លាំងសើម ω 0 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម \ អូមេហ្គា _(0))- ប្រេកង់មុំនៃប្រព័ន្ធ, F (t) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ F (t))គឺជាកម្លាំងជំរុញដែលពឹងផ្អែកលើពេលវេលា។ លំយោលអាម៉ូនិកក៏មានវត្តមាននៅក្នុងសៀគ្វីលំយោលអេឡិចត្រូម៉ាញេទិក ដែលវាអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវជាងនៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិច។
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
សមីការ Bessel ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល Bessel ត្រូវបានប្រើក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃរូបវិទ្យា រួមទាំងដំណោះស្រាយនៃសមីការរលក សមីការ Laplace និងសមីការSchrödinger ជាពិសេសនៅក្នុងវត្តមាននៃស៊ីមេទ្រីរាងស៊ីឡាំង ឬស្វ៊ែរ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរនេះដែលមានមេគុណអថេរមិនមែនជាសមីការ Cauchy-Euler ទេ ដូច្នេះដំណោះស្រាយរបស់វាមិនអាចសរសេរជាអនុគមន៍បឋមបានទេ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Bessel គឺជាមុខងារ Bessel ដែលត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងល្អដោយសារតែការពិតដែលថាពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងវិស័យជាច្រើន។ នៅក្នុងកន្សោមខាងក្រោម α (\\ ទម្រង់បង្ហាញ \\ អាល់ហ្វា)គឺជាថេរដែលត្រូវគ្នា។ លំដាប់មុខងារ Bessel ។
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
សមីការរបស់ Maxwell ។រួមជាមួយនឹងកម្លាំង Lorentz សមីការរបស់ Maxwell បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃអេឡិចត្រូឌីណាមិកបុរាណ។ ទាំងនេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកចំនួនបួនសម្រាប់អគ្គិសនី E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E))((\mathbf (r) ),t))និងម៉ាញេទិក B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B))((\mathbf (r) ),t))វាល។ នៅក្នុងកន្សោមខាងក្រោម ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ដង់ស៊ីតេសាក, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J))=(\mathbf (J))((\mathbf (r) ),t))គឺជាដង់ស៊ីតេបច្ចុប្បន្ន និង ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))និង μ 0 (\ រចនាប័ទ្ម\mu _(0))គឺជាអថេរអគ្គិសនី និងម៉ាញេទិចរៀងៗខ្លួន។
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(lacdot))\na (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \\cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B)))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B))&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E)))(\partial t))\end(aligned)))
សមីការ Schrödinger ។នៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច សមីការ Schrödinger គឺជាសមីការមូលដ្ឋាននៃចលនាដែលពិពណ៌នាអំពីចលនានៃភាគល្អិតដោយអនុលោមតាមការផ្លាស់ប្តូរមុខងាររលក។ Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r)),t))ជាមួយនឹងពេលវេលា។ សមីការនៃចលនាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយឥរិយាបថ ហាមីលតុនៀន H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - ប្រតិបត្តិករដែលពិពណ៌នាអំពីថាមពលនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍មួយក្នុងចំណោមឧទាហរណ៍ល្បី ៗ នៃសមីការ Schrödinger ក្នុងរូបវិទ្យាគឺសមីការសម្រាប់ភាគល្អិតមិនទាក់ទងគ្នា ដែលត្រូវបានទទួលរងនូវសក្តានុពល។ V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). ប្រព័ន្ធជាច្រើនត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ Schrödinger អាស្រ័យលើពេលវេលា ជាមួយនឹងសមីការនៅខាងឆ្វេង E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)កន្លែងណា អ៊ី (\ រចនាប័ទ្ម អ៊ី)គឺជាថាមពលនៃភាគល្អិត។ នៅក្នុងកន្សោមខាងក្រោម ℏ (\displaystyle \hbar)គឺជាចំនួនថេរ Planck ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=(\hat (H))\Psi)
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r)),t)\right)\Psi)
សមីការរលក។វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រមៃមើលរូបវិទ្យានិងបច្ចេកវិទ្យាដោយគ្មានរលកពួកគេមានវត្តមាននៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃប្រព័ន្ធ។ ជាទូទៅ រលកត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការខាងក្រោម ដែលក្នុងនោះ u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t))គឺជាមុខងារដែលចង់បាន និង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)- ពិសោធន៍កំណត់ថេរ។ d'Alembert គឺជាអ្នកដំបូងដែលរកឃើញថាសម្រាប់ករណីមួយវិមាត្រ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការរលកគឺ ណាមួយ។មុខងារជាមួយអាគុយម៉ង់ x − c t (\ displaystyle x-ct)ដែលពិពណ៌នាអំពីរលកបំពានដែលរីករាលដាលទៅខាងស្តាំ។ ដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ករណីមួយវិមាត្រគឺការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃអនុគមន៍នេះជាមួយនឹងអនុគមន៍ទីពីរជាមួយអាគុយម៉ង់ x + c t (\ រចនាប័ទ្ម x + ct)ដែលពិពណ៌នាអំពីរលកដែលរីករាលដាលទៅខាងឆ្វេង។ ដំណោះស្រាយនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងជួរទីពីរ។
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
សមីការ Navier-Stokes ។សមីការ Navier-Stokes ពិពណ៌នាអំពីចលនានៃសារធាតុរាវ។ ដោយសារវត្ថុរាវមានវត្តមាននៅក្នុងស្ទើរតែគ្រប់វិស័យនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា សមីការទាំងនេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការព្យាករណ៍អាកាសធាតុ ការរចនាយន្តហោះ ចរន្តទឹកសមុទ្រ និងកម្មវិធីជាច្រើនទៀត។ សមីការ Navier-Stokes គឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ហើយក្នុងករណីភាគច្រើនវាពិបាកណាស់ក្នុងការដោះស្រាយវា ដោយសារភាពមិនលីនេអ៊ែរនាំទៅរកភាពច្របូកច្របល់ ហើយដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយស្ថិរភាពដោយវិធីសាស្ត្រជាលេខ បែងចែកទៅជាតូចបំផុត។ កោសិកាគឺចាំបាច់ ដែលទាមទារថាមពលកុំព្យូទ័រយ៉ាងសំខាន់។ សម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែងនៅក្នុងធារាសាស្ត្រ វិធីសាស្ត្រដូចជារយៈពេលមធ្យម ត្រូវបានប្រើដើម្បីយកគំរូតាមលំហូរដ៏ច្របូកច្របល់។ សូម្បីតែសំណួរជាមូលដ្ឋានជាច្រើនទៀត ដូចជាអត្ថិភាព និងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ គឺជាបញ្ហាស្មុគស្មាញ ហើយការបង្ហាញពីអត្ថិភាព និងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការ Navier-Stokes ក្នុងបីវិមាត្រគឺស្ថិតក្នុងចំណោមបញ្ហាគណិតវិទ្យានៃសហសវត្ស។ . ខាងក្រោមនេះគឺជាសមីការលំហូរសារធាតុរាវដែលមិនអាចបង្រួមបាន និងសមីការបន្ត។
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\partial t))+((\mathbf (u))\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u)))=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho)(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u)))=0)

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាច្រើនមិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រខាងលើទេ ជាពិសេសអ្វីដែលបានរៀបរាប់នៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ។ នេះអនុវត្តនៅពេលដែលសមីការមានមេគុណអថេរ ហើយមិនមែនជាសមីការ Cauchy-Euler ឬនៅពេលដែលសមីការមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ លើកលែងតែករណីដ៏កម្រមួយចំនួន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្រ្តខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំខាន់ៗជាច្រើនដែលតែងតែជួបប្រទះនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។
មិនដូចភាពខុសគ្នា ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារណាមួយ អាំងតេក្រាលនៃកន្សោមជាច្រើនមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងអនុគមន៍បឋមបានទេ។ ដូច្នេះកុំខ្ជះខ្ជាយពេលវេលាព្យាយាមគណនាអាំងតេក្រាលដែលជាកន្លែងដែលវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ មើលតារាងអាំងតេក្រាល។ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋម ពេលខ្លះវាអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់អាំងតេក្រាល ហើយក្នុងករណីនេះវាមិនមានបញ្ហាថាតើអាំងតេក្រាលនេះអាចគណនាដោយវិភាគបានទេ។

ការព្រមាន

រូបរាងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចមានការយល់ច្រឡំ។ ឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយពីរ។ សមីការទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ នៅ glance ដំបូង, ការផ្លាស់ប្តូរតិចតួច y (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y)នៅលើ y 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y ^ (2))នៅក្នុងសមីការទីពីរធ្វើឱ្យវាមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ហើយក្លាយជាការលំបាកខ្លាំងណាស់ក្នុងការដោះស្រាយ។
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=x^(2)+y^(2))

ទាំងបានដោះស្រាយរួចហើយដោយគោរពទៅនឹងនិស្សន្ទវត្ថុ ឬពួកវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅនឹងនិស្សន្ទវត្ថុ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនៅលើចន្លោះពេល Xដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អាចត្រូវបានរកឃើញដោយយកអាំងតេក្រាលនៃភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ។

ទទួលបាន .

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅដែលចង់បាន៖

y = F(x) + C,

កន្លែងណា F(x)- មួយនៃ antiderivatives នៃមុខងារ f(x)នៅក្នុងចន្លោះ X, ក ជាមួយគឺជាថេរដែលបំពាន។

សូមចំណាំថានៅក្នុងកិច្ចការភាគច្រើនមានចន្លោះពេល Xមិនចង្អុលបង្ហាញ។ នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ xសម្រាប់ការដែលនិងមុខងារដែលចង់បាន yហើយសមីការដើមមានអត្ថន័យ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x0) = y0បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីគណនាអាំងតេក្រាលទូទៅ y = F(x) + Cវានៅតែចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃថេរ C=C0ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នោះគឺថេរ C=C0កំណត់ពីសមីការ F(x 0) + C = y 0ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលចង់បាននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងមានទម្រង់៖

y = F(x) + C0.

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការនេះដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។

ដំណោះស្រាយ៖

បន្ទាប់ពីយើងរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបាន:

យើងយកអាំងតេក្រាលនេះតាមវិធីរួមបញ្ចូលតាមផ្នែក៖

នោះ., គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

តោះពិនិត្យមើលដើម្បីឱ្យប្រាកដថាលទ្ធផលគឺត្រឹមត្រូវ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

នោះគឺនៅ សមីការដើមប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់តម្លៃពិតនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ x.

វានៅសល់ដើម្បីគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃ ODE ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃថេរ ជាមួយដែលសមភាពនឹងជាការពិត៖

បន្ទាប់មកជំនួស គ = ២នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ អាចត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកនៃសមីការដោយ f(x). ការផ្លាស់ប្តូរនេះនឹងស្មើនឹងប្រសិនបើ f(x)មិនទៅសូន្យសម្រាប់អ្វីទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល X.

ស្ថានភាពទំនងជានៅពេលដែលសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xមុខងារ f(x)និង g(x)បង្វែរទៅសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សម្រាប់តម្លៃស្រដៀងគ្នា xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារណាមួយ។ yដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងពួកគេដោយសារតែ .

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត ដែលមានន័យថាក្នុងករណីនេះ ODE មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

សម្រាប់អ្នកដទៃទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេល Xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ពីសមីការបំប្លែង។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ ១

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE៖ .

ដំណោះស្រាយ។

ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋមសិក្សា វាច្បាស់ណាស់ថាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះដែននៃកន្សោម កំណត់ហេតុ(x+3)មានចន្លោះពេល x > -3 . ដូច្នេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្ដល់ឱ្យមានន័យ x > -3 . ជាមួយនឹងតម្លៃទាំងនេះនៃអាគុយម៉ង់កន្សោម x + ៣មិនរលាយបាត់ទេ ដូច្នេះគេអាចដោះស្រាយ ODE ទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកដោយ x + ៣.

យើងទទួលបាន .

បន្ទាប់ យើងបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាលទ្ធផល ដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ៖ . ដើម្បីយកអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ការដាក់ពាក្យ

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតនៅលើគេហទំព័រសម្រាប់សិស្សដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលពួកគេសិក្សា។ ហើយអនុវត្តជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ Difuras តាមអ៊ីនធឺណិត ដំណោះស្រាយគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិត។ លំដាប់ ឬដឺក្រេនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាសមាហរណកម្ម។ បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានដោះស្រាយ ប្រសិនបើមុខងារមិនស្គាល់អាចត្រូវបានកាត់ជាបួន ដោយមិនគិតពីថាតើអាំងតេក្រាលលទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារដែលគេស្គាល់ឬអត់។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទាំងអស់អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា (ODE) ដែលរួមបញ្ចូលតែមុខងារ (និងដេរីវេនៃពួកវា) នៃអាគុយម៉ង់មួយ និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក (PDE) ដែលមុខងារបញ្ចូលអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ វាក៏មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល stochastic (SDEs) ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងដំណើរការចៃដន្យ។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ អាស្រ័យលើបន្សំនៃនិស្សន្ទវត្ថុ អនុគមន៍ អថេរឯករាជ្យ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបែងចែកទៅជាលីនេអ៊ែរ និងមិនលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ ឬអថេរ ដូចគ្នា ឬមិនដូចគ្នា ។ ដោយសារសារៈសំខាន់នៃកម្មវិធី សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែក quasilinear (លីនេអ៊ែរទាក់ទងទៅនឹងដេរីវេទីករខ្ពស់ជាង) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកត្រូវបានជ្រើសរើសនៅក្នុងថ្នាក់ដាច់ដោយឡែកមួយ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបែងចែកទៅជាដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ ដំណោះស្រាយទូទៅរួមមានថេរមិនច្បាស់លាស់ និងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក - មុខងារបំពាននៃអថេរឯករាជ្យ ដែលអាចចម្រាញ់ចេញពីលក្ខខណ្ឌនៃការរួមបញ្ចូលបន្ថែម (លក្ខខណ្ឌដំបូងសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា លក្ខខណ្ឌដំបូង និងព្រំដែនសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក)។ ដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ បន្ទាប់ពីកំណត់ទម្រង់នៃមុខងារថេរ និងមិនកំណត់ទាំងនេះ ដំណោះស្រាយក្លាយជាពិសេស។ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាបាននាំឱ្យមានការបង្កើតថ្នាក់នៃមុខងារពិសេស - មុខងារដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងកម្មវិធីដែលមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃអនុគមន៍បឋមដែលគេស្គាល់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងលម្អិត តារាងតម្លៃត្រូវបានចងក្រង ការទំនាក់ទំនងគ្នាត្រូវបានកំណត់។ល។ . សំណុំនៃលេខដែលបានរាប់បញ្ចូលអាចត្រូវបានរុករក។ ចម្លើយដ៏ល្អបំផុតចំពោះបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរកនៅក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណទីមួយនៃវ៉ិចទ័រដែលចេញទៅកាន់តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នាអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយមិនបញ្ជាក់ពីដែនកំណត់ខាងលើដែលបានរកឃើញ។ ជម្រើសគឺជាក់ស្តែងសម្រាប់ការបង្កើនមុខងារគណិតវិទ្យា។ មានវិធីសាស្រ្តរីកចម្រើន លើសពីកម្រិតនៃការស្រាវជ្រាវ។ ដើម្បីតម្រឹមតាមលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃបញ្ហា ដំណោះស្រាយនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងជួយស្វែងរកតម្លៃដែលបានជ្រើសរើសតម្លៃតែមួយ។ វាអាចថាគាត់អាចកំណត់មិនស្គាល់ភ្លាមៗ។ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុននៃការបង្ហាញពីដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរគឺជាចម្លើយចំពោះបញ្ហាជាក់លាក់មួយនៅក្នុងពេលវេលាជាក់លាក់មួយ។ ការថែរក្សានីតិវិធីសិក្សាមិនត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងមូលដ្ឋានទេ។ វានឹងក្លាយជាដូច្នេះថាមានឧទាហរណ៍សម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗហើយដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយបុគ្គលដែលត្រូវបានចាត់តាំងឱ្យប្រតិបត្តិករទទួលខុសត្រូវពីតម្លៃយ៉ាងហោចណាស់ពីរ។ យកមុខងារនៃតម្លៃទូទៅនៅលើផ្នែកជាក់លាក់មួយ ហើយព្រមានតាមអ័ក្សណាមួយដែលនឹងមានគម្លាត។ ដោយបានសិក្សាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេត វាអាចបង្ហាញដោយមិនច្បាស់លាស់ថាតើលទ្ធផលមានសារៈសំខាន់ប៉ុណ្ណា ប្រសិនបើគេផ្តល់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ការកាត់តំបន់មួយចេញពីនិយមន័យមុខងារគឺមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះមិនមានការកំណត់ភារកិច្ចនៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ត្រូវបានរកឃើញពីប្រព័ន្ធសមីការ ចម្លើយមានអថេរដែលអាចគណនាបានក្នុងន័យទូទៅ ប៉ុន្តែតាមធម្មជាតិវានឹងអាចដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដោយគ្មានសកម្មភាពនេះដើម្បីកំណត់លក្ខខណ្ឌដូចនោះ។ នៅជិតចន្លោះពេលនៃផ្នែក វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតអាចជំរុញលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាននៅពេលកាត់ផ្តាច់ចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។ ល្អបំផុតមិនតែងតែទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តទទួលយកជាទូទៅចំពោះអាជីវកម្មនោះទេ។ នៅកម្រិត 2x មនុស្សម្នាក់អាចមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរធម្មជាតិចាំបាច់ទាំងអស់បានយ៉ាងមានប្រយោជន៍ ប៉ុន្តែសមត្ថភាពក្នុងការគណនាតម្លៃជាលេខនឹងនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃចំណេះដឹង។ យោងទៅតាមបច្ចេកទេសណាមួយក្នុងគណិតវិទ្យា មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងកន្សោមផ្សេងៗគ្នាសំខាន់ៗដូចជា ភាពដូចគ្នា ឬស្មុគស្មាញ។ ដោយបានអនុវត្តការវិភាគទូទៅនៃការសិក្សាមុខងារ វានឹងកាន់តែច្បាស់ថាដំណោះស្រាយនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាសំណុំនៃលទ្ធភាពតំណាងឱ្យកំហុសច្បាស់លាស់នៅក្នុងតម្លៃ។ ការពិតនៅក្នុងវាស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះខាងលើបន្ទាត់ abscissa ។ នៅកន្លែងណាមួយនៅក្នុងដែននៃមុខងារស្មុគស្មាញ នៅចំណុចខ្លះក្នុងនិយមន័យរបស់វា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនឹងអាចតំណាងឱ្យចម្លើយក្នុងទម្រង់វិភាគមួយ។ នោះគឺជាពាក្យទូទៅជាខ្លឹមសារ។ គ្មានអ្វីនឹងផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលចម្លើយដោយចំណាប់អារម្មណ៍ពិសេស។ តាមការពិត ការគណនាផ្លាស់ប្តូរសមាមាត្រនៅទីបញ្ចប់ នោះគឺជារបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសមាមាត្រទៅនឹងតម្លៃសកលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។ ក្នុងករណីខ្លះ ការព្រមានអំពីកំហុសដ៏ធំគឺមិនអាចជៀសវាងបានទេ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ិនធរណេតអនុវត្តគំនិតទូទៅនៃបញ្ហា ប៉ុន្តែនៅទីបញ្ចប់ អ្នកត្រូវផ្តល់នូវទិដ្ឋភាពវិជ្ជមាននៃផលិតផលឈើឆ្កាងឱ្យបានឆាប់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ក្នុងគណិតវិទ្យា ករណីកំហុសក្នុងទ្រឹស្ដីលេខមិនមែនជារឿងចម្លែកទេ។ ត្រូវតែពិនិត្យឱ្យបានច្បាស់។ តាមធម្មជាតិ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការផ្តល់សិទ្ធិនេះដល់អ្នកជំនាញក្នុងវិស័យរបស់ពួកគេ ហើយវាគឺជាពួកគេដែលនឹងជួយដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត ចាប់តាំងពីបទពិសោធន៍របស់ពួកគេមានច្រើន និងវិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នាលើផ្ទៃនៃតួលេខ និងផ្ទៃគឺដូចជាថាវាមិនមែនជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលឃើញ ប៉ុន្តែសំណុំនៃវត្ថុដែលមិនប្រសព្វគ្នាគឺដូចជាបន្ទាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ជាលទ្ធផលអ្នកអាចទទួលបានតម្លៃទ្វេដង។ ដោយមានអត្ថន័យបង្កប់ន័យ គំនិតរបស់យើងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃសញ្ញាណផ្លូវការផ្តល់នូវសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ ទាំងនៅក្នុងផ្នែកមើល និងទាក់ទងនឹងការវាយតម្លៃខ្ពស់ដោយចេតនានៃគុណភាពនៃលទ្ធផល។ ការពិភាក្សាលើប្រធានបទដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់សិស្សទាំងអស់ត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយជាច្រើនដងនៅក្នុងការពិនិត្យឡើងវិញ។ ពេញមួយការសិក្សានៃវគ្គសិក្សាពេញលេញនៃការបង្រៀន យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកដែលពាក់ព័ន្ធនៃការសិក្សាវិទ្យាសាស្ត្រ ប្រសិនបើមិនផ្ទុយពីការពិត។ ដំណាក់កាលជាច្រើនអាចត្រូវបានជៀសវាងនៅដើមដំបូងនៃការធ្វើដំណើរ។ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅតែជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃអ្វីដែលថ្មីសម្រាប់សិស្ស នោះរឿងចាស់មិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោលទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែវារីកចម្រើនទៅអនាគតក្នុងអត្រាខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍។ ដំបូង លក្ខខណ្ឌសម្រាប់បញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាខុសគ្នា ប៉ុន្តែនេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងកថាខណ្ឌនៅខាងស្តាំ។ បន្ទាប់ពីការផុតកំណត់នៃពេលវេលាដែលបានបញ្ជាក់ដោយនិយមន័យ លទ្ធភាពនៃលទ្ធផលអាស្រ័យសមាមាត្រនៅលើយន្តហោះផ្សេងគ្នានៃចលនារបស់វ៉ិចទ័រមិនត្រូវបានច្រានចោលទេ។ ករណីសាមញ្ញបែបនេះត្រូវបានកែដំរូវតាមវិធីដូចគ្នាដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរត្រូវបានពិពណ៌នានៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខក្នុងទម្រង់ទូទៅ ដូច្នេះវានឹងកាន់តែលឿន ហើយអុហ្វសិតនៃការគណនានឹងមិននាំឱ្យមានការយល់ឃើញខុសនោះទេ។ មានតែករណីចំនួន 5 ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមទ្រឹស្ដីដែលអាចរុញច្រានព្រំដែននៃអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់យើងនឹងជួយគណនាតម្លៃដោយដៃជាលេខរួចហើយនៅដំណាក់កាលដំបូងនៃការបំបែកលំហមុខងារ។ នៅកន្លែងត្រឹមត្រូវវាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញចំណុចនៃទំនាក់ទំនងនៃបន្ទាត់ទាំងបួនក្នុងន័យទូទៅ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកត្រូវបង្ខំចេញកិច្ចការនោះ វានឹងងាយស្រួលក្នុងការគណនាភាពស្មុគស្មាញ។ ទិន្នន័យដំបូងគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរចនាជើងដែលនៅជាប់គ្នា ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតមើលទៅតម្រឹមឆ្វេង ហើយផ្ទៃម្ខាងត្រូវបានតម្រង់ឆ្ពោះទៅរកវ៉ិចទ័រ rotor ។ លើសពីដែនកំណត់ខាងលើ តម្លៃជាលេខអាចធ្វើទៅបានលើសពីលក្ខខណ្ឌដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីរូបមន្តគណិតវិទ្យានិងដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតដោយសារតែការមិនស្គាល់ចំនួនបីនៅក្នុងតម្លៃទូទៅនៃសមាមាត្រ។ វិធីសាស្ត្រគណនាក្នុងស្រុកត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាត្រឹមត្រូវ។ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេមានរាងចតុកោណកែងក្នុងចលនាដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះ។ ដំណោះស្រាយតាមអ៊ិនធរណេតទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើការសន្និដ្ឋានដោយមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងការពេញចិត្តនៃការគណនាតាមនិយមន័យម៉ាទ្រីសនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ទាំងមូលដែលមានទីតាំងនៅខាងលើក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់។ ដំណោះស្រាយត្រូវបានគេមើលឃើញតាមរយៈប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តវ៉ិចទ័រចលនាទៅចំណុចនៃទំនាក់ទំនងនៃអឌ្ឍគោលទាំងបី។ ស៊ីឡាំងត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលចតុកោណជុំវិញចំហៀង ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអាចបង្ហាញទិសដៅនៃចលនានៃចំណុចនេះបើយោងតាមកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃច្បាប់នៃចលនារបស់វា។ ទិន្នន័យដំបូងគឺត្រឹមត្រូវ ហើយបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបានក្រោមលក្ខខណ្ឌសាមញ្ញមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារកាលៈទេសៈ ដោយមើលឃើញពីភាពស្មុគស្មាញនៃបញ្ហារងនៃការកំណត់ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យដំណើរការនៃចន្លោះលេខដែលបានគណនានៅកម្រិតនៃលំហបីវិមាត្រ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់បើមិនដូច្នេះទេ ប៉ុន្តែវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជៀសវាងវាដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ចំណុចខាងក្រោមត្រូវបានផ្តល់ជូន៖ នៅពេលដែលបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ កិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាននៅលើផ្នែកនៃសិស្សគួរតែត្រូវបានពង្រីកទៅវា។ បន្ទាត់ត្រួតលើគ្នាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងអុហ្វសិត។ ដំណោះស្រាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល Pro នៅតែបន្តអត្ថប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្ត្រដែលបាននិយាយនៅលើបន្ទាត់កោង។ ប្រសិនបើអ្នកទទួលស្គាល់ដំបូងមិនមែនជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវការទេ នោះរូបមន្តគណិតវិទ្យានឹងបង្កើតតម្លៃថ្មីនៃកន្សោម។ គោលដៅគឺជាវិធីសាស្រ្តដ៏ល្អប្រសើរក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលកំណត់ដោយសាស្រ្តាចារ្យ។ អ្នកមិនគួរសន្មត់ថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញនឹងលើសពីលទ្ធផលដែលរំពឹងទុកនោះទេ។ យើងដាក់វ៉ិចទ័របីលើផ្ទៃដែលមានសមាសភាពជាក់លាក់។ orthogonal ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ តោះគណនាផលិតផល។ ចូរយើងអនុវត្តការបន្ថែមនិមិត្តសញ្ញាមួយចំនួនធំ ហើយសរសេរអថេរទាំងអស់នៃអនុគមន៍ពីកន្សោមលទ្ធផល។ មានសមាមាត្រ។ សកម្មភាពជាច្រើននៅមុនចុងបញ្ចប់នៃការគណនានឹងមិនផ្តល់ចម្លើយមិនច្បាស់លាស់ចំពោះដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលភ្លាមៗនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីពេលវេលាដែលបានបែងចែកបានកន្លងផុតទៅតាមបណ្តោយអ័ក្ស y ។ នៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចមិនជាប់និយតកម្ម ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោលពីមុខងារ យើងគូរអ័ក្សអ័រតូហ្គោនទៅវ៉ិចទ័រដែលកំពុងកើនឡើងល្អបំផុត ហើយដាក់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតតាមតម្លៃព្រំដែនតិចបំផុតនៃព្រំដែនទាបនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា។ ចូរយើងបន្ថែមអាគុយម៉ង់បន្ថែមនៅក្នុងតំបន់បំបែកនៃអនុគមន៍។ នៅខាងស្ដាំនៃចំនុចនៃបន្ទាត់កោង រូបមន្តដែលសរសេរដោយពួកយើងសម្រាប់កាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតានឹងជួយដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិត។ វិធីសាស្រ្តត្រឹមត្រូវតែមួយគត់ គឺជាវិធីមួយដែលនឹងបំភ្លឺលើបញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបានពីទ្រឹស្តីទៅការអនុវត្ត ក្នុងករណីទូទៅដោយមិនច្បាស់លាស់។ បន្ទាត់ក្នុងទិសដៅនៃកូអរដោណេនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនដែលបិទទីតាំងខ្លាំងនៃការ៉េនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាមអ៊ីនធឺណិតនឹងជួយទាំងសិស្ស និងពួកយើង ហើយគ្រាន់តែជាអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងក្នុងវិស័យនេះក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ យើងកំពុងនិយាយអំពីលទ្ធភាពនៃការជំនួសអាគុយម៉ង់តម្លៃទៅក្នុងបន្ទាត់រងសំខាន់ៗទាំងអស់នៃវាលមួយ។ ជាគោលការណ៍ ដូចដែលគេរំពឹងទុក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែររបស់យើងគឺជាអ្វីដែលដាច់ពីគេក្នុងគោលគំនិតតែមួយនៃអត្ថន័យកាត់បន្ថយ។ ដើម្បីជួយសិស្ស សេវាដ៏ល្អបំផុតមួយក្នុងចំណោមសេវាកម្មស្រដៀងគ្នាគឺម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ឆ្លងកាត់វគ្គសិក្សាទាំងអស់ ហើយជ្រើសរើសជម្រើសដ៏ល្អបំផុតសម្រាប់អ្នក។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ហៅថាសមីការដែលភ្ជាប់អថេរឯករាជ្យ មុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរនេះ និងនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃលំដាប់ផ្សេងៗ។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាលំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់បំផុតដែលមាននៅក្នុងវា។

បន្ថែមពីលើធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកក៏ត្រូវបានសិក្សាផងដែរ។ ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ ដែលជាមុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរទាំងនេះ និងដេរីវេដោយផ្នែករបស់វាទាក់ទងនឹងអថេរដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងលុបចោលពាក្យ "ធម្មតា" សម្រាប់ភាពខ្លី។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

(1) ;

(3) ;

(4) ;

សមីការ (១) ជាលំដាប់ទី៤ សមីការ (២) ជាលំដាប់ទី៣ សមីការ (៣) និង (៤) ជាលំដាប់ទីពីរ សមីការ (៥) ជាលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នការបញ្ជាទិញមិនចាំបាច់មានមុខងារច្បាស់លាស់ទេ ដេរីវេរបស់វាទាំងអស់ពីដំបូងទៅ នលំដាប់ទី និងអថេរឯករាជ្យ។ វាអាចមិនមានយ៉ាងច្បាស់នូវដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញមួយចំនួន មុខងារមួយ អថេរឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការ (1) ច្បាស់ណាស់មិនមានដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី និងទីពីរ ក៏ដូចជាមុខងារ។ នៅក្នុងសមីការ (2) - ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ និងមុខងារ; នៅក្នុងសមីការ (4) - អថេរឯករាជ្យ; នៅក្នុងសមីការ (5) - មុខងារ។ មានតែសមីការ (3) ជាក់លាក់ដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់ មុខងារ និងអថេរឯករាជ្យ។

ដោយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មុខងារណាមួយត្រូវបានគេហៅថា y = f(x)ជំនួសដែលចូលទៅក្នុងសមីការ វាប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ការរួមបញ្ចូល.

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរសមីការនេះក្នុងទម្រង់។ ដំណោះស្រាយគឺស្វែងរកមុខងារដោយដេរីវេរបស់វា។ មុខងារដើម ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីការគណនាអាំងតេក្រាល គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ i.e.

នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ . ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងវា។ គយើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នា។ យើងបានរកឃើញថាមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នលំដាប់ទី គឺជាដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ទាក់ទងនឹងមុខងារដែលមិនស្គាល់ និងមានផ្ទុក នថេរបំពានឯករាជ្យ, i.e.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 គឺទូទៅ។

ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានហៅ ដែលតម្លៃលេខជាក់លាក់ត្រូវបានកំណត់ទៅអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ .

ដំណោះស្រាយ។ យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដូចជាចំនួនដងដែលលំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលស្មើគ្នា។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ -

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសតម្លៃរបស់ពួកគេជំនួសឱ្យមេគុណបំពាន និងទទួលបាន

ប្រសិនបើបន្ថែមលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល លក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ នោះបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហាក្រហាយ . តម្លៃ និងត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ ហើយតម្លៃនៃថេរដែលបំពានត្រូវបានរកឃើញ គហើយបន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការសម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ គ. នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីឧទាហរណ៍ទី 1 ក្រោមលក្ខខណ្ឌ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងជំនួសនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅតម្លៃពីលក្ខខណ្ឌដំបូង y = 3, x= 1. យើងទទួលបាន

យើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់ទីមួយ:

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល សូម្បីតែរឿងសាមញ្ញបំផុត ទាមទារជំនាញល្អក្នុងការរួមបញ្ចូល និងទទួលយកនិស្សន្ទវត្ថុ រួមទាំងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ។ សមីការត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់បែបនេះដែលភាគីទាំងសងខាងអាចបញ្ចូលគ្នាភ្លាមៗ។

យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ (ជំនួស) ។ អញ្ចឹង។

ទាមទារដើម្បីយក dxហើយឥឡូវនេះ - ការយកចិត្តទុកដាក់ - យើងធ្វើវាយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញចាប់តាំងពី xហើយមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ("ផ្លែប៉ោម" - ទាញយកឫសការ៉េឬដែលដូចគ្នា - បង្កើនថាមពល "មួយវិនាទី" និង "សាច់ minced" - ការបញ្ចេញមតិដោយខ្លួនឯងនៅក្រោមឫស):

យើងរកឃើញអាំងតេក្រាល៖

ត្រឡប់ទៅអថេរ x, យើងទទួលបាន:

នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃដឺក្រេទីមួយ។

មិនត្រឹមតែជំនាញពីផ្នែកមុននៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះទេ នឹងត្រូវបានទាមទារក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប៉ុន្តែក៏មានជំនាញពីបឋមសិក្សាផងដែរ ពោលគឺគណិតវិទ្យាសាលា។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ នៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ណាមួយ ប្រហែលជាមិនមានអថេរឯករាជ្យទេ នោះគឺជាអថេរ x. ចំនេះដឹងអំពីសមាមាត្រដែលមិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល (ទោះជាយ៉ាងណានរណាម្នាក់មានវាចូលចិត្ត) ពីកៅអីសាលានឹងជួយដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

រំលឹកពីបញ្ហាដែលយើងជួបប្រទះនៅពេលស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

ឬ dy = f(x)dx ។ ដំណោះស្រាយរបស់នាង៖

ហើយវាកាត់បន្ថយទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការដែលពិបាកជាងគឺជារឿងធម្មតាជាង៖ ដើម្បីស្វែងរកមុខងារមួយ។ yប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាវាបំពេញទំនាក់ទំនងនៃទម្រង់

ទំនាក់ទំនងនេះទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ xមុខងារមិនស្គាល់ yនិងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាទៅតាមលំដាប់ នរួមបញ្ចូល, ត្រូវបានគេហៅថា .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរួមបញ្ចូលមុខងារមួយនៅក្រោមសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃលំដាប់មួយឬមួយផ្សេងទៀត។ លំដាប់ខ្ពស់បំផុតត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់ (9.1) .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

- លំដាប់ដំបូង

លំដាប់ទីពីរ,

- លំដាប់ទី ៥ ។ល។

មុខងារដែលបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយរបស់វា។ , ឬអាំងតេក្រាល។ . ដើម្បីដោះស្រាយវាមានន័យថាស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វា។ ប្រសិនបើសម្រាប់មុខងារដែលចង់បាន yបានជោគជ័យក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលផ្តល់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា។ , ឬអាំងតេក្រាលទូទៅ .

ការសម្រេចចិត្តទូទៅ មាន នអថេរបំពាន ហើយមើលទៅ

ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងត្រូវបានទទួល នោះទាក់ទង x, yនិង នថេរតាមអំពើចិត្ត ជាទម្រង់ដែលមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទាក់ទងនឹង y -

បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (9.1) ។

បញ្ហាក្រហាយ

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នីមួយៗ ពោលគឺ មុខងារជាក់លាក់នីមួយៗដែលបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមិនអាស្រ័យលើចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ , ឬអាំងតេក្រាលឯកជន។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ (អាំងតេក្រាល) ពីទូទៅ វាចាំបាច់ក្នុងការភ្ជាប់តម្លៃលេខជាក់លាក់ទៅនឹងចំនួនថេរ។

ក្រាហ្វនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ដំណោះស្រាយទូទៅដែលមានដំណោះស្រាយពិសេសទាំងអស់គឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ គ្រួសារនេះអាស្រ័យលើចំនួនថេរតាមអំពើចិត្តមួយ សម្រាប់សមីការ នលំដាប់ទី - ពី នអថេរបំពាន។

បញ្ហា Cauchy គឺត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ នលំដាប់ទី, ពេញចិត្ត នលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

ដែលកំណត់ n ថេរ с 1 , с 2 , ... , c n ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1

សម្រាប់ការមិនបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងនិស្សន្ទវត្ថុ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី 1 មានទម្រង់

ឬសម្រាប់ការអនុញ្ញាតដែលទាក់ទង

ឧទាហរណ៍ 3.46. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន

ដែល C គឺជាថេរដែលបំពាន។ ប្រសិនបើយើងផ្តល់តម្លៃលេខជាក់លាក់ C នោះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ ឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ 3.47. ពិចារណាលើការកើនឡើងនៃប្រាក់ដែលដាក់ក្នុងធនាគារ ដែលត្រូវនឹងប្រាក់បញ្ញើចំនួន 100 r ការប្រាក់រួមក្នុងមួយឆ្នាំ។ សូមអោយ Yo ជាចំនួនលុយដំបូង ហើយ Yx បន្ទាប់ពីផុតកំណត់ xឆ្នាំ នៅពេលដែលការប្រាក់ត្រូវបានគណនាម្តងក្នុងមួយឆ្នាំយើងទទួលបាន

ដែល x = 0, 1, 2, 3, .... នៅពេលការប្រាក់ត្រូវបានគណនាពីរដងក្នុងមួយឆ្នាំ យើងទទួលបាន

ដែល x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... នៅពេលគណនាការប្រាក់ នម្តងក្នុងមួយឆ្នាំនិង ប្រសិនបើ xយកតម្លៃ 0, 1/n, 2/n, 3/n, ... បន្ទាប់មក

សម្គាល់ 1/n = h បន្ទាប់មកសមភាពមុននឹងមើលទៅដូច៖

ជាមួយនឹងការពង្រីកគ្មានដែនកំណត់ ន(នៅ ) នៅក្នុងដែនកំណត់ យើងមកដំណើរការបង្កើនចំនួនប្រាក់ជាមួយនឹងការបង្គរការប្រាក់ជាបន្តបន្ទាប់៖

ដូច្នេះវាអាចមើលឃើញថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ xច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរការផ្គត់ផ្គង់ប្រាក់ត្រូវបានបង្ហាញដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី 1 ។ កន្លែងដែល Y x ជាមុខងារមិនស្គាល់ x- អថេរឯករាជ្យ r- ថេរ។ យើងដោះស្រាយសមីការនេះ សម្រាប់ការនេះ យើងសរសេរវាឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

កន្លែងណា , ឬ ដែលជាកន្លែងដែល P តំណាងឱ្យ e C ។

ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង Y(0) = Yo យើងរកឃើញ P: Yo = Pe o, មកពីណា, Yo = P. ដូច្នេះដំណោះស្រាយមើលទៅដូច៖

ពិចារណាបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចទីពីរ។ គំរូម៉ាក្រូសេដ្ឋកិច្ចក៏ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ដោយពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរប្រាក់ចំណូល ឬទិន្នផល Y ជាមុខងារនៃពេលវេលា។

ឧទាហរណ៍ 3.48. អនុញ្ញាតឱ្យប្រាក់ចំណូលជាតិ Y កើនឡើងក្នុងអត្រាសមាមាត្រទៅនឹងទំហំរបស់វា៖

ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ឱនភាពនៃការចំណាយរបស់រដ្ឋាភិបាលគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងប្រាក់ចំណូល Y ជាមួយនឹងមេគុណសមាមាត្រ q. ឱនភាពនៃការចំណាយនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃបំណុលជាតិ D:

លក្ខខណ្ឌដំបូង Y = Yo និង D = ធ្វើនៅ t = 0 ។ ពីសមីការទីមួយ Y = Yoe kt ។ ការជំនួស Y យើងទទួលបាន dD/dt = qYoe kt ។ ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់
D = (q/ k) Yoe kt +С ដែល С = const ដែលត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ការជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូង យើងទទួលបាន Do = (q/k)Yo + C. ដូច្នេះ ទីបំផុត

D = ធ្វើ +(q/k)Yo (e kt -1),

នេះបង្ហាញថាបំណុលជាតិកំពុងកើនឡើងក្នុងអត្រាដែលទាក់ទងដូចគ្នា។ kដែលជាចំណូលជាតិ។

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត។ នលំដាប់, ទាំងនេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាអាចត្រូវបានទទួលបានដោយប្រើ នពេលវេលានៃការរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ 3.49 ។ពិចារណាឧទាហរណ៍ y "" = cos x ។

ដំណោះស្រាយ។ការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ

ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ចពួកគេមានការប្រើប្រាស់ដ៏អស្ចារ្យពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះ។ ប្រសិនបើ (9.1) មានទម្រង់៖

បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ដែល po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) ត្រូវបានផ្តល់អនុគមន៍។ ប្រសិនបើ f(x) = 0 នោះ (9.2) ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា បើមិនដូច្នេះទេ វាត្រូវបានគេហៅថា non-homogeneous ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (9.2) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយរបស់វា។ y(x)និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នានឹងវា៖

ប្រសិនបើមេគុណ p o (x), p 1 (x), ..., p n (x) គឺថេរ នោះ (9.2)

(9.4) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់ ន .

សម្រាប់ (9.4) វាមានទម្រង់៖

យើងអាចកំណត់ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ p o = 1 ហើយសរសេរ (9.5) ក្នុងទម្រង់

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយ (9.6) ក្នុងទម្រង់ y = e kx ដែល k ជាថេរ។ យើងមាន: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ... , y (n) = kne kx ។ ជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅជា (9.6) យើងនឹងមាន៖

(9.7) គឺជាសមីការពិជគណិត មិនស្គាល់របស់វាគឺ kវាត្រូវបានគេហៅថាលក្ខណៈ។ សមីការលក្ខណៈមានកម្រិត ននិង នឫស, ក្នុងចំណោមនោះអាចមានទាំងពហុនិងស្មុគស្មាញ។ អនុញ្ញាតឱ្យ k 1 , k 2 , ... , k n ពិតប្រាកដ និងច្បាស់លាស់ បន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេស (9.7) ខណៈពេលដែលទូទៅ

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ៖

សមីការលក្ខណៈរបស់វាមានទម្រង់

(9.9)

ការរើសអើងរបស់វា D = p 2 - 4q អាស្រ័យលើសញ្ញា D ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន។

1. ប្រសិនបើ D>0 នោះឫស k 1 និង k 2 (9.9) គឺពិត និងខុសគ្នា ហើយដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយ។សមីការលក្ខណៈ៖ k 2 + 9 = 0, whence k = ± 3i, a = 0, b = 3, ដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាគំរូសេដ្ឋកិច្ចដូចគេហទំព័រដែលមានស្តុកទំនិញ ដែលអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃ P អាស្រ័យលើទំហំនៃភាគហ៊ុន (សូមមើលកថាខណ្ឌទី 10)។ ប្រសិនបើការផ្គត់ផ្គង់ និងតម្រូវការគឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃតម្លៃ នោះគឺជា

a - គឺជាថេរដែលកំណត់អត្រាប្រតិកម្ម បន្ទាប់មកដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖