នៅពេលបន្ថែមដកដោយដកអ្វីដែលផ្តល់ឱ្យ។ ចុះហត្ថលេខាលើច្បាប់សម្រាប់គុណ និងបូក

"សត្រូវរបស់សត្រូវគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ"

ហេតុអ្វីបានជាដកមួយដង ដកមួយស្មើនឹងបូកមួយ? ហេតុអ្វីដកមួយដងបូកមួយស្មើដកមួយ? ចម្លើយដែលស្រួលបំផុតគឺ៖ "ពីព្រោះទាំងនេះគឺជាច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយលេខអវិជ្ជមាន"។ ច្បាប់ដែលយើងរៀននៅសាលា និងអនុវត្តពេញមួយជីវិតរបស់យើង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាច្បាប់មានលក្ខណៈដូចគេនោះទេ។ ដំបូងយើងនឹងព្យាយាមយល់ពីរឿងនេះពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃការអភិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងឆ្លើយសំណួរនេះតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ មានតែលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះដែលមនុស្សស្គាល់៖ ពួកគេត្រូវបានគេប្រើដើម្បីរាប់ប្រដាប់ប្រដា សត្វព្រៃ សត្រូវ។ ការបន្ថែមគឺច្បាស់លាស់ និងអាចយល់បាន ក្រៅពីនេះផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពីរក៏ជាលេខធម្មជាតិផងដែរ (គណិតវិទូនឹងនិយាយថា សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបិទនៅក្រោមប្រតិបត្តិការនៃការបូក)។ តាមពិត គុណគឺជាការបូកដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងជីវិត យើងតែងតែធ្វើសកម្មភាពដែលទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការទាំងពីរនេះ (ឧទាហរណ៍ ពេលទិញទំនិញ យើងបន្ថែម និងគុណ) ហើយវាចម្លែកណាស់ក្នុងការគិតថាបុព្វបុរសរបស់យើងបានជួបប្រទះវាតិចជាញឹកញាប់ - ការបូក និងគុណត្រូវបានគ្រប់គ្រងដោយមនុស្សជាតិជាយូរមកហើយ។ កន្លងទៅ។ ជារឿយៗវាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកបរិមាណមួយដោយមួយទៀត ប៉ុន្តែនៅទីនេះលទ្ធផលមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញជាលេខធម្មជាតិទេ - នេះជារបៀបដែលលេខប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួន។

ជាការពិត ការដកក៏មិនអាចខ្វះបានដែរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត យើងមានទំនោរដកលេខតូចពីលេខធំ ហើយមិនចាំបាច់ប្រើលេខអវិជ្ជមានទេ។ (ប្រសិនបើខ្ញុំមានស្ករគ្រាប់ ហើយខ្ញុំឱ្យវាទៅប្អូនស្រីរបស់ខ្ញុំ នោះខ្ញុំនឹងមានស្ករគ្រាប់ ប៉ុន្តែខ្ញុំមិនអាចផ្តល់ស្ករគ្រាប់ឱ្យនាងតាមបំណងប្រាថ្នារបស់ខ្ញុំបានទេ។) នេះអាចពន្យល់ពីមូលហេតុដែលមនុស្សមិនប្រើលេខអវិជ្ជមានក្នុងរយៈពេលយូរ។

លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងនៅក្នុងឯកសារឥណ្ឌាពីសតវត្សទី 7 នៃគ។ ជាក់ស្តែង ជនជាតិចិនបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ពួកវាមុននេះបន្តិច។ ពួកគេត្រូវបានគេប្រើដើម្បីគណនាបំណុល ឬក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការ - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍មួយដើម្បីទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ការពិតដែលថាលេខអវិជ្ជមាន មិនដូចលេខវិជ្ជមាន មិនបង្ហាញពីវត្តមានរបស់អង្គភាពណាមួយ ធ្វើឱ្យមានការមិនទុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង។ មនុស្សក្នុងន័យព្យញ្ជនៈនៃពាក្យបានជៀសវាងលេខអវិជ្ជមាន: ប្រសិនបើបញ្ហាទទួលបានចម្លើយអវិជ្ជមានពួកគេជឿថាគ្មានចម្លើយទាល់តែសោះ។ ការមិនទុកចិត្តនេះបានបន្តកើតមានជាយូរមកហើយ ហើយសូម្បីតែ Descartes ដែលជា "ស្ថាបនិក" នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប បានហៅពួកគេថា "មិនពិត" (ក្នុងសតវត្សទី 17!)។

ចូរយើងយកសមីការជាឧទាហរណ៍។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចនេះ៖ ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយនៅសល់ទៅខាងស្តាំ វានឹងប្រែជាចេញ , , . ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនេះ យើងមិនបានជួបលេខអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបផ្សេងដោយចៃដន្យ៖ ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយទទួលបាន ដើម្បីស្វែងរកលេខដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវចែកលេខអវិជ្ជមានមួយដោយលេខមួយទៀត៖ . ប៉ុន្តែចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេដឹងហើយវានៅតែត្រូវបានសន្និដ្ឋានថា។

តើឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញនេះបង្ហាញអ្វីខ្លះ? ទីមួយ វាក្លាយជាច្បាស់នូវតក្កវិជ្ជាដែលកំណត់ច្បាប់សម្រាប់សកម្មភាពលើលេខអវិជ្ជមាន៖ លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងនេះត្រូវតែផ្គូផ្គងចម្លើយដែលទទួលបានក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា ដោយគ្មានលេខអវិជ្ជមាន។ ទីពីរ ដោយអនុញ្ញាតឱ្យប្រើលេខអវិជ្ជមាន យើងកម្ចាត់ភាពធុញទ្រាន់ (ប្រសិនបើសមីការប្រែទៅជាស្មុគស្មាញ ដោយមានពាក្យមួយចំនួនធំ) ស្វែងរកផ្លូវដំណោះស្រាយដែលសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតែលើលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ជាងនេះទៅទៀត យើងមិនអាចគិតគ្រប់ពេលអំពីអត្ថន័យនៃបរិមាណដែលកំពុងបំប្លែងបានទេ ហើយនេះគឺជាជំហានឆ្ពោះទៅរកការប្រែក្លាយគណិតវិទ្យាទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រអរូបី។

ច្បាប់សម្រាប់សកម្មភាពលើចំនួនអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងភ្លាមៗនោះទេ ប៉ុន្តែបានក្លាយជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនដែលកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត។ ជាទូទៅ ការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាអាចបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាដំណាក់កាល៖ ដំណាក់កាលបន្ទាប់នីមួយៗខុសគ្នាពីដំណាក់កាលមុន ដោយកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបីក្នុងការសិក្សាវត្ថុ។ ដូច្នេះ នៅក្នុងសតវត្សទី 19 អ្នកគណិតវិទូបានដឹងថាចំនួនគត់ និងពហុនាម សម្រាប់ភាពមិនដូចគ្នាបេះបិទខាងក្រៅរបស់វា មានច្រើនដូចគ្នា៖ ទាំងពីរអាចត្រូវបានបូក ដក និងគុណ។ ប្រតិបត្តិការទាំងនេះគោរពតាមច្បាប់ដូចគ្នា - ទាំងក្នុងករណីលេខ និងក្នុងករណីពហុនាម។ ប៉ុន្តែការបែងចែកចំនួនគត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក ដូច្នេះលទ្ធផលគឺចំនួនគត់ម្តងទៀតគឺមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានទេ។ ដូចគ្នាដែរចំពោះពហុនាម។

បន្ទាប់មកការប្រមូលវត្ថុគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀតត្រូវបានគេរកឃើញដែលប្រតិបត្តិការបែបនេះអាចអនុវត្តបាន៖ ស៊េរីថាមពលផ្លូវការ មុខងារបន្ត ... ទីបំផុតការយល់ដឹងបានមកថា ប្រសិនបើអ្នកសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការដោយខ្លួនឯង នោះលទ្ធផលអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះអ្វីៗទាំងអស់នេះ។ ការប្រមូលវត្ថុ (វិធីសាស្រ្តនេះគឺធម្មតាសម្រាប់គណិតវិទ្យាសម័យទំនើបទាំងអស់) ។

ជាលទ្ធផលគំនិតថ្មីមួយបានលេចឡើង: ចិញ្ចៀន។ វាគ្រាន់តែជាធាតុមួយចំនួនបូកនឹងសកម្មភាពដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើពួកវា។ ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៅទីនេះគ្រាន់តែជាច្បាប់ប៉ុណ្ណោះ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថា axioms) ដែលជាកម្មវត្ថុនៃសកម្មភាព និងមិនមែនជាលក្ខណៈនៃធាតុនៃសំណុំ (នេះគឺជាកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបី!) ដោយប្រាថ្នាចង់បញ្ជាក់ថាវាគឺជារចនាសម្ព័ន្ធដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពីការបញ្ចូល axioms ដែលមានសារៈសំខាន់ គណិតវិទូនិយាយថា៖ ring of integers, ring of polynomials, ល។

យើងនឹងបង្កើត axioms នៃ ring (ដែលជាការពិតណាស់ ស្រដៀងទៅនឹងច្បាប់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនគត់) ហើយបន្ទាប់មក យើងនឹងបង្ហាញថា នៅក្នុង ring ណាមួយ គុណនឹងដកមួយនឹង minus នាំអោយមានផលបូក។

ចិញ្ចៀនគឺជាសំណុំមួយដែលមានប្រតិបត្តិការគោលពីរ (នោះគឺធាតុពីរនៃចិញ្ចៀនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងប្រតិបត្តិការនីមួយៗ) ដែលត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី បូក និងគុណ និង axioms ខាងក្រោម៖

ចំណាំថាចិញ្ចៀននៅក្នុងការសាងសង់ទូទៅបំផុតមិនតម្រូវឱ្យមានការគុណដែលអាចអនុញ្ញាតបាន ហើយក៏មិនបញ្ច្រាស់ដែរ (មានន័យថាវាមិនតែងតែអាចបែងចែកបានទេ) ហើយក៏មិនតម្រូវឱ្យមានអត្ថិភាពនៃឯកតាដែរ - ធាតុអព្យាក្រឹតដោយគោរព។ គុណ។ ប្រសិនបើ axioms ទាំងនេះត្រូវបានណែនាំ នោះរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិតផ្សេងទៀតត្រូវបានទទួល ប៉ុន្តែទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ដែលបានបង្ហាញសម្រាប់ចិញ្ចៀននឹងជាការពិតនៅក្នុងពួកគេ។

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុណាមួយនិងចិញ្ចៀនបំពានមួយ, ទីមួយ, និងទីពីរ, . ពីនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឯកតាងាយស្រួលធ្វើតាម៖ និង .

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្កើតការពិតមួយចំនួន។ ដំបូងយើងបញ្ជាក់ថាធាតុនីមួយៗអាចមានតែមួយផ្ទុយគ្នា។ ជាការពិត ចូរឱ្យធាតុមួយមានពីរផ្ទុយគ្នា៖ និង . I.e. ចូរយើងពិចារណាបូកសរុប។ ដោយប្រើច្បាប់សមាគម និងទំនាក់ទំនង និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃសូន្យ យើងទទួលបានថានៅលើដៃម្ខាង ផលបូកស្មើនឹង ហើយម្យ៉ាងវិញទៀតវាស្មើនឹង។ មានន័យថា, ។

សូមចំណាំឥឡូវនេះថា និង និងផ្ទុយពីធាតុដូចគ្នា ដូច្នេះពួកវាត្រូវតែស្មើគ្នា។

ការពិតទីមួយត្រូវបានទទួលដូចខាងក្រោម: , នោះគឺផ្ទុយទៅនឹង , ដែលមានន័យថាវាស្មើនឹង .

ដើម្បីឱ្យម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យា ចូរយើងពន្យល់ផងដែរថាហេតុអ្វីបានជាធាតុណាមួយ។ ជាការពិត, ។ នោះគឺការបន្ថែមមិនផ្លាស់ប្តូរផលបូកទេ។ ដូច្នេះផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ហើយការពិតដែលថាមានសូន្យពិតប្រាកដនៅក្នុងសង្វៀន (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ axioms និយាយថាធាតុបែបនេះមានប៉ុន្តែគ្មានអ្វីត្រូវបាននិយាយអំពីភាពពិសេសរបស់វាទេ!) យើងនឹងទុកឱ្យអ្នកអានជាលំហាត់សាមញ្ញ។

Evgeny Epifanov
"ធាតុ"

យោបល់៖ ០

លោក Jacques Cesiano

មានការពង្រីកសំខាន់ៗចំនួនបីនៃដែនលេខក្នុងរយៈពេលពីរសហស្សវត្សរ៍។ ទីមួយប្រហែល 450 មុនគ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃសាលា Pythagoras បានបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនមិនសមហេតុផល។ គោលដៅដំបូងរបស់ពួកគេគឺដើម្បីបង្ហាញលេខអង្កត់ទ្រូងនៃការការ៉េឯកតា។ ទីពីរ នៅក្នុងសតវត្សទី XIII-XV អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអ៊ឺរ៉ុប អ្នកដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ បានទទួលស្គាល់លទ្ធភាពនៃដំណោះស្រាយអវិជ្ជមានមួយ។ ហើយទីបី នៅឆ្នាំ 1572 ពិជគណិតជនជាតិអ៊ីតាលី Raphael Bombelli បានប្រើចំនួនកុំផ្លិច ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដចំពោះសមីការគូបជាក់លាក់មួយ។

Proskuryakov I.V.

គោលបំណងនៃសៀវភៅនេះគឺដើម្បីកំណត់យ៉ាងតឹងរឹងនូវចំនួន ពហុនាម និងប្រភាគពិជគណិត និងដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេដែលបានស្គាល់រួចមកហើយពីសាលា និងមិនណែនាំអ្នកអានឱ្យស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មី។ ដូច្នេះហើយ អ្នកអាននឹងមិនស្វែងរកការពិតនៅទីនេះដែលថ្មីសម្រាប់គាត់ទេ (ជាមួយករណីលើកលែងដែលអាចធ្វើទៅបាននៃលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន លេខពិត និងស្មុគស្មាញ) ប៉ុន្តែនឹងរៀនពីរបៀបដែលវត្ថុត្រូវបានបញ្ជាក់ឱ្យគាត់ស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ ដោយចាប់ផ្តើមជាមួយ "ពីរដង ពីរ - បួន" ។ » និងបញ្ចប់ដោយច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគពហុនាម និងពិជគណិត។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្នកអាននឹងស្គាល់នូវគោលគំនិតទូទៅមួយចំនួនដែលដើរតួនាទីសំខាន់ក្នុងពិជគណិត។

Ilya Shchurov

គណិតវិទូ Ilya Shchurov អំពីប្រភាគទសភាគ វិសាលភាព និងភាពមិនសមហេតុផលរបស់ Pi ។

លោក Leon Takhtajyan

ទាំងនេះនឹងជារឿងខ្លីៗចំនួនបួន។ យើងនឹងចាប់ផ្តើមដោយលេខ បន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពីចលនា អំពីការផ្លាស់ប្តូរ បន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពីរាង និងទំហំ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពីការចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់។ នៅក្នុងរចនាប័ទ្មដែលបានអ៊ិនគ្រីបបែបនេះ យើងនឹងព្យាយាមមើលគណិតវិទ្យាពីខាងក្នុង និងខាងក្រៅ ហើយច្បាស់ជាវត្ថុមួយ។ អ្វីដែលគណិតវិទូគិតអំពី និងអ្វីដែលពួកគេរស់នៅ - យើងអាចនិយាយអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយ។

Vladlen Timorin

គណិតវិទូ Vladlen Timorin លើគុណសម្បត្តិនៃចំនួនកុំផ្លិច, Hamilton quaternions, លេខ Cayley ប្រាំបីវិមាត្រ និងភាពខុសគ្នានៃលេខនៅក្នុងធរណីមាត្រ។

លោក Jacques Cesiano

យើងដឹងតិចតួចអំពី Diophantus ។ គាត់ហាក់ដូចជាបានរស់នៅក្នុងអាឡិចសាន់ឌ្រី។ គ្មានគណិតវិទូក្រិចណាម្នាក់និយាយអំពីគាត់មុនសតវត្សទី 4 ដូច្នេះគាត់ប្រហែលជារស់នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 3 ។ ការងារសំខាន់បំផុតរបស់ Diophantus "Arithmetic" (Ἀριθμητικά) បានកើតឡើងនៅដើមសៀវភៅចំនួន 13 (βιβλία) ពោលគឺជំពូក។ សព្វថ្ងៃនេះយើងមាន 10 ក្នុងចំណោមពួកគេគឺ: 6 នៅក្នុងអត្ថបទក្រិកនិង 4 ផ្សេងទៀតនៅក្នុងការបកប្រែភាសាអារ៉ាប់នៅមជ្ឈិមសម័យដែលកន្លែងរបស់ពួកគេគឺនៅកណ្តាលនៃសៀវភៅក្រិក: សៀវភៅ I-III ជាភាសាក្រិច, IV-VII ជាភាសាអារ៉ាប់, VIII-X ជាភាសាក្រិច។ "នព្វន្ធ" នៃ Diophantus គឺជាបណ្តុំនៃបញ្ហាជាចម្បង ប្រហែល 260 សរុប។ តាមពិតមិនមានទ្រឹស្តីទេ។ មានតែការណែនាំទូទៅនៅក្នុងការណែនាំសៀវភៅ និងការកត់សម្គាល់ជាក់លាក់នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៅពេលចាំបាច់។ "នព្វន្ធ" មានលក្ខណៈពិសេសនៃក្បួនពិជគណិតរួចទៅហើយ។ ទីមួយ Diophantus ប្រើសញ្ញាផ្សេងគ្នាដើម្បីបង្ហាញពីមិនស្គាល់ និងដឺក្រេរបស់វា ការគណនាមួយចំនួនផងដែរ។ ដូចជានិមិត្តសញ្ញាពិជគណិតទាំងអស់នៃយុគសម័យកណ្តាល និមិត្តសញ្ញារបស់វាមកពីពាក្យគណិតវិទ្យា។ បន្ទាប់មក Diophantus ពន្យល់ពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងវិធីពិជគណិត។ ប៉ុន្តែបញ្ហារបស់ Diophantine មិនមែនជាពិជគណិតក្នុងន័យធម្មតាទេ ព្រោះស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនកំណត់ ឬប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះ។

ពិភពលោកនៃគណិតវិទ្យាគឺមិនអាចយល់បានដោយគ្មានពួកគេ - ដោយគ្មានលេខបឋម។ តើលេខបឋមជាអ្វី អ្វីពិសេសអំពីពួកវា និងសារៈសំខាន់អ្វីខ្លះក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ? នៅក្នុងខ្សែភាពយន្តនេះ សាស្ត្រាចារ្យគណិតវិទ្យាជនជាតិអង់គ្លេស Marcus du Sotoy នឹងបង្ហាញអាថ៌កំបាំងនៃចំនួនបឋម។

លោក George Shabat

នៅសាលា យើងទាំងអស់គ្នាត្រូវបានបញ្ចូលជាមួយនឹងគំនិតខុសដែលថានៅលើសំណុំនៃលេខសនិទាន Q មានចម្ងាយធម្មជាតិតែមួយគត់ (ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នា) ទាក់ទងទៅនឹងប្រតិបត្តិការនព្វន្ធទាំងអស់គឺបន្ត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក៏មានចំនួនចម្ងាយមិនកំណត់ផងដែរដែលហៅថា p-adic មួយសម្រាប់លេខនីមួយៗ p ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Ostrovskii ចម្ងាយ "ធម្មតា" រួមជាមួយនឹងចម្ងាយ p-adic ទាំងអស់ ពិតជាអស់ចម្ងាយសមហេតុផល Q. ពាក្យ adele ប្រជាធិបតេយ្យត្រូវបានណែនាំដោយ Yu. I. Manin ។ យោងទៅតាមគោលការណ៍នៃលទ្ធិប្រជាធិបតេយ្យ adele ចម្ងាយសមហេតុផលទាំងអស់នៅលើ Q គឺស្មើគ្នានៅចំពោះមុខច្បាប់គណិតវិទ្យា (ប្រហែលជាមានតែប្រពៃណី "បន្តិច = បន្តិចទៀតស្មើគ្នា ... "។ វគ្គសិក្សានឹងណែនាំចិញ្ចៀន adele ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការជាមួយទាំងអស់។ ចម្ងាយទាំងនេះក្នុងពេលតែមួយ។

វ្ល៉ាឌីមៀ អាណុល

JL Lagrange បានបង្ហាញថាលំដាប់នៃកូតាមិនពេញលេញ (ចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាមួយ) គឺតាមកាលកំណត់ ប្រសិនបើលេខ x គឺជាភាពមិនសមហេតុផលបួនជ្រុង។ R. O. Kuzmin បានបង្ហាញថានៅក្នុងលំដាប់នៃ quotient មិនពេញលេញនៃចំនួនពិតណាមួយ សមាមាត្រ d_m ស្មើនឹង m មិនពេញលេញគឺដូចគ្នា (សម្រាប់ចំនួនពិតធម្មតា)។ ប្រភាគ d_m ថយចុះជា m→∞ ជា 1/m^2 ហើយតម្លៃរបស់វាត្រូវបានព្យាករណ៍ដោយ Gauss (ដែលមិនបានបញ្ជាក់អ្វីទាំងអស់)។ V. I. Arnolda (20 ឆ្នាំមុន) បានសន្និដ្ឋានថា ស្ថិតិ Gauss–Kuzmin d_m ក៏រក្សាទុកសម្រាប់រយៈពេលនៃប្រភាគបន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ x^2+px+q=0 (ជាមួយចំនួនគត់ p និង q): ប្រសិនបើយើងសរសេរជាមួយគ្នា ប្រភាគមិនពេញលេញ បង្កើតជាកំឡុងពេលនៃប្រភាគបន្តទាំងអស់នៃឫសនៃសមីការបែបនេះជាមួយ p^2+q^2≤R^2 បន្ទាប់មកប្រភាគនៃកូតាមិនពេញលេញ m ក្នុងចំណោមពួកវានឹងមានទំនោរទៅលេខ d_m ជា R → ∞ V. A. Bykovsky និងសិស្សរបស់គាត់មកពី Khabarovsk ថ្មីៗនេះបានបង្ហាញពីសម្មតិកម្មដ៏យូរអង្វែងនេះ។ ទោះបីជាយ៉ាងនេះក៏ដោយ សំណួរនៃស្ថិតិមិនមែនជាអក្សរ ប៉ុន្តែពាក្យដែលផ្សំឡើងពីពួកវា ដែលជារយៈពេលនៃប្រភាគបន្តនៃឫស x នៃសមីការ x^2+px+q=0 គឺនៅឆ្ងាយពីការដោះស្រាយ។

Reid Miles

ខ្ញុំទុកចំណងជើង និងអរូបីឱ្យមានភាពមិនច្បាស់លាស់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ដូច្នេះខ្ញុំអាចនិយាយអំពីអ្វីដែលខ្ញុំមានអារម្មណ៍នៅថ្ងៃនោះ។ ពូជជាច្រើននៃការចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការចាត់ថ្នាក់នៃពូជត្រូវបានទទួលជា Spec ឬ Proj of a Gorenstein ring ។ នៅក្នុង codimension ⩽3 ទ្រឹស្ដីរចនាសម្ព័ន្ធដែលគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តច្បាស់លាស់នៃការគណនាជាមួយនឹងចិញ្ចៀន Gorenstein ។ ផ្ទុយទៅវិញ មិនមានទ្រឹស្ដីរចនាសម្ព័ន្ធដែលអាចប្រើប្រាស់បានសម្រាប់ rings of codimension ⩾4 ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីជាច្រើន ការព្យាករ Gorenstein (និងការដាក់បញ្ច្រាសរបស់វា Kustin-Miller unprojection) ផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តនៃការវាយប្រហារចិញ្ចៀនទាំងនេះ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះអនុវត្តចំពោះថ្នាក់នៃរង្វង់រាងពងក្រពើនៃផ្ទៃពិជគណិតធម្មតា និងចំពោះការសាងសង់ប្រព័ន្ធបន្ថែមទៀតនៃ Q-Fano 3-folds Sarkisov ភ្ជាប់រវាងទាំងនេះ និង 3 ដងនៃប្រភេទ A នៃទ្រឹស្តី Mori ។

ហេតុអ្វីបានជាដកគុណនឹងដកស្មើនឹងបូក?

- (១ ដំបង) - (២ ដំបង) = ((១ ដំបង) + (២ ដំបង))= ២ ដំបង (ហើយ ២ បន្ទះគឺ + ព្រោះមាន ២ ឈើនៅបង្គោល)))

ដងដកមួយដកនឹងបូក ព្រោះវាជាច្បាប់របស់សាលា។ នៅពេលនេះមិនមានចម្លើយច្បាស់លាស់ថាហេតុអ្វីទេ តាមគំនិតខ្ញុំ។ នេះជាច្បាប់ ហើយវាមានច្រើនឆ្នាំមកហើយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចងចាំ sliver សម្រាប់ sliver ផ្តល់ឱ្យ clothespin មួយ។

ពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា យើងដឹងថា ដកដង ដកមួយ ផ្តល់ផលបូក។ វាក៏មានការពន្យល់ដ៏សាមញ្ញ និងលេងសើចនៃច្បាប់នេះផងដែរ៖ ដកគឺមួយបន្ទាត់ ដកពីរគឺពីរបន្ទាត់ បូកមានតែ 2 បន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ដកដងដក ផ្តល់សញ្ញាបូក។

ខ្ញុំគិតថា៖ ដកគឺជាដំបង - បន្ថែមដំបងដកមួយបន្ថែមទៀត - បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានដំបងពីរ ហើយប្រសិនបើអ្នកភ្ជាប់ពួកវាឆ្លងកាត់ នោះសញ្ញា + នឹងរៀន នេះជារបៀបដែលខ្ញុំនិយាយគំនិតរបស់ខ្ញុំចំពោះសំណួរ៖ ដកដកកាលបរិច្ឆេទបូក។

ដងដកមួយដកមិនតែងតែផ្តល់បូកទេ សូម្បីតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែជាមូលដ្ឋាន ខ្ញុំប្រៀបធៀបសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាមួយគណិតវិទ្យា ដែលវាត្រូវបានរកឃើញញឹកញាប់បំផុត។ ពួកគេក៏និយាយដែរថាពួកគេគោះសំណល់អេតចាយដោយប្រើក្រវ៉ាត់ក - នេះក៏ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង minuses ផងដែរ។

ស្រមៃថាអ្នកខ្ចី 100 រូប្លិ៍។ ឥឡូវនេះគណនីរបស់អ្នក: -100 rubles ។ បន្ទាប់មកអ្នកសងបំណុលនេះ។ ដូច្នេះវាប្រែថាអ្នកបានកាត់បន្ថយ (-) បំណុលរបស់អ្នក (-100) ដោយចំនួនទឹកប្រាក់ដូចគ្នា។ យើងទទួលបាន៖ -100-(-100)=0

ដកបង្ហាញផ្ទុយ៖ ទល់មុខ ៥ គឺ -៥។ ប៉ុន្តែ -(-5) គឺជាលេខទល់មុខទល់មុខ i.e. ៥.

ដូចក្នុងរឿងកំប្លែង៖

ទី១- តើត្រើយម្ខាងផ្លូវនៅឯណា?

ទី 2 - នៅម្ខាងទៀត។

ទី 1 - ហើយពួកគេបាននិយាយថានៅលើនេះ ...

ស្រមៃមើលមាត្រដ្ឋានមួយដែលមានចានពីរ។ ការពិតដែលថានៅលើចានខាងស្តាំតែងតែមានសញ្ញាបូកនៅលើចានខាងឆ្វេង - ដក។ ឥឡូវនេះ ការគុណនឹងលេខដែលមានសញ្ញាបូកនឹងមានន័យថាវាកើតឡើងនៅលើចានតែមួយ ហើយការគុណនឹងលេខដែលមានសញ្ញាដកនឹងមានន័យថាលទ្ធផលត្រូវបានបញ្ជូនទៅចានមួយផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍។ យើងគុណផ្លែប៉ោម 5 គុណនឹង 2 ។ យើងទទួលបានផ្លែប៉ោម 10 នៅចានខាងស្តាំ។ យើងគុណ - ផ្លែប៉ោម ៥ គុណនឹង ២ យើងទទួលបានផ្លែប៉ោម ១០ នៅចានខាងឆ្វេងនោះគឺ -១០ ។ ឥឡូវគុណ -៥ គុណនឹង -២ ។ នេះមានន័យថា ផ្លែប៉ោម 5 នៅលើចានខាងឆ្វេងគុណនឹង 2 ហើយផ្ទេរទៅចានខាងស្តាំ នោះគឺចម្លើយគឺ 10។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ គុណនឹងដក នោះគឺផ្លែប៉ោមនៅចានខាងស្តាំមានលទ្ធផលអវិជ្ជមាន ពោលគឺ ផ្លែប៉ោមទៅខាងឆ្វេង។ ហើយការគុណដកផ្លែប៉ោមដែលនៅសល់ដោយបូកទុកវានៅក្នុងដកនៅលើចានខាងឆ្វេង។

ខ្ញុំគិតថានេះអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមវិធីខាងក្រោម។ បើអ្នកដាក់ផ្លែប៉ោមប្រាំផ្លែទៅក្នុងកន្ត្រកប្រាំ នោះវានឹងមានផ្លែប៉ោម 25 ផ្លែ។ នៅក្នុងកន្ត្រក។ ហើយដកផ្លែប៉ោមប្រាំ មានន័យថាខ្ញុំមិនបានរាយការណ៍ពួកគេទេ ប៉ុន្តែបានយកវាចេញពីកន្ត្រកទាំងប្រាំ។ ហើយវាបានចេញផ្លែប៉ោមចំនួន ២៥ ផ្លែដូចគ្នា ប៉ុន្តែមិនមែនក្នុងកន្ត្រកទេ។ ដូច្នេះកន្ត្រកទៅជាដក។

អ្នកក៏អាចបង្ហាញរឿងនេះបានយ៉ាងល្អជាមួយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។ ប្រសិនបើផ្ទះរបស់អ្នកកំពុងឆេះ នោះជាការដក។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកភ្លេចបិទ faucet នៅក្នុងអាងងូតទឹក ហើយអ្នកចាប់ផ្តើមជន់លិច នោះក៏ជាដកមួយផងដែរ។ ប៉ុន្តែនេះគឺដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើវាកើតឡើងក្នុងពេលតែមួយ នោះដកដោយដកផ្តល់ផលបូក ហើយផ្ទះល្វែងរបស់អ្នកមានឱកាសរស់រានមានជីវិត។

១) ហេតុអ្វីដកមួយដង ដកមួយស្មើ បូកមួយ?
2) ហេតុអ្វីបានជាដកមួយដងបូកមួយស្មើដកមួយ?

"សត្រូវរបស់សត្រូវគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ" ។

ចម្លើយដែលស្រួលបំផុតគឺ៖ "ពីព្រោះទាំងនេះគឺជាច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយលេខអវិជ្ជមាន"។ ច្បាប់ដែលយើងរៀននៅសាលា និងអនុវត្តពេញមួយជីវិតរបស់យើង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាច្បាប់មានលក្ខណៈដូចគេនោះទេ។ ដំបូងយើងនឹងព្យាយាមយល់ពីរឿងនេះពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃការអភិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងឆ្លើយសំណួរនេះតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ មានតែលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះដែលមនុស្សស្គាល់៖ ១, ២, ៣, ... ពួកវាត្រូវបានគេប្រើសម្រាប់រាប់ប្រដាប់ប្រដា សត្វព្រៃ សត្រូវ។ល។ ពួកគេ។ ការបន្ថែមគឺច្បាស់លាស់ និងអាចយល់បាន ហើយក្រៅពីនេះ ផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពីរក៏ជាលេខធម្មជាតិ (គណិតវិទូនឹងនិយាយថា សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបិទនៅក្រោមប្រតិបត្តិការនៃការបូក)។ តាមពិត គុណគឺជាការបូកដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងជីវិត យើងតែងតែធ្វើសកម្មភាពដែលទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការទាំងពីរនេះ (ឧទាហរណ៍ ពេលទិញទំនិញ យើងបន្ថែម និងគុណ) ហើយវាចម្លែកណាស់ក្នុងការគិតថាបុព្វបុរសរបស់យើងបានជួបប្រទះវាតិចជាញឹកញាប់ - ការបូក និងគុណត្រូវបានគ្រប់គ្រងដោយមនុស្សជាតិជាយូរមកហើយ។ កន្លងទៅ។ ជារឿយៗវាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកបរិមាណមួយដោយមួយផ្សេងទៀតប៉ុន្តែនៅទីនេះលទ្ធផលមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខធម្មជាតិទេ - នេះជារបៀបដែលលេខប្រភាគលេចឡើង។

លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងនៅក្នុងឯកសារឥណ្ឌាពីសតវត្សទី 7 នៃគ។ ជាក់ស្តែង ជនជាតិចិនបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ពួកវាមុននេះបន្តិច។ ពួកគេត្រូវបានគេប្រើដើម្បីគណនាបំណុល ឬក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការ - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍មួយដើម្បីទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ការពិតដែលថាលេខអវិជ្ជមាន មិនដូចលេខវិជ្ជមាន មិនបង្ហាញពីវត្តមានរបស់អង្គភាពណាមួយ ធ្វើឱ្យមានការមិនទុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង។ មនុស្សក្នុងន័យព្យញ្ជនៈនៃពាក្យបានជៀសវាងលេខអវិជ្ជមាន: ប្រសិនបើបញ្ហាទទួលបានចម្លើយអវិជ្ជមានពួកគេជឿថាគ្មានចម្លើយទាល់តែសោះ។ ការមិនទុកចិត្តនេះបានបន្តកើតមានជាយូរមកហើយ ហើយសូម្បីតែ Descartes ដែលជា "ស្ថាបនិក" នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើបបានហៅពួកគេថា "មិនពិត" (នៅក្នុងសតវត្សទី 17!) ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ 7x − 17 = 2x − 2. វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចនេះ៖ ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយនៅសល់ទៅខាងស្តាំ វានឹងប្រែជាចេញ។ 7x − 2x = 17 − 2 , 5x = 15 , x=3. ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនេះ យើងមិនបានជួបលេខអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើវាខុសគ្នាដោយចៃដន្យ: ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំហើយទទួលបាន 2 − 17 = 2x − 7x , (−15) = (−5)x. ដើម្បីស្វែងរកលេខដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវចែកលេខអវិជ្ជមានមួយដោយលេខមួយទៀត៖ x = (−15)/(−5). ប៉ុន្តែចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេដឹងហើយវានៅតែត្រូវបានសន្និដ្ឋានថា (-15)/(-5) = 3 .

តើឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញនេះបង្ហាញអ្វីខ្លះ? ទីមួយ វាច្បាស់ជាតក្កវិជ្ជាដែលកំណត់ក្បួនសម្រាប់សកម្មភាពលើលេខអវិជ្ជមាន៖ លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងនេះត្រូវតែផ្គូផ្គងចម្លើយដែលទទួលបានក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា ដោយគ្មានលេខអវិជ្ជមាន. ទីពីរ ដោយអនុញ្ញាតឱ្យប្រើលេខអវិជ្ជមាន យើងកម្ចាត់ភាពធុញទ្រាន់ (ប្រសិនបើសមីការប្រែទៅជាស្មុគស្មាញ ដោយមានពាក្យមួយចំនួនធំ) ស្វែងរកផ្លូវដំណោះស្រាយដែលសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតែលើលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ជាងនេះទៅទៀត យើងមិនអាចគិតគ្រប់ពេលអំពីអត្ថន័យនៃបរិមាណដែលកំពុងបំប្លែងបានទេ ហើយនេះគឺជាជំហានឆ្ពោះទៅរកការប្រែក្លាយគណិតវិទ្យាទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រអរូបី។

ជាលទ្ធផល គំនិតថ្មីមួយបានលេចឡើង៖ ចិញ្ចៀន. វាគ្រាន់តែជាធាតុមួយចំនួនបូកនឹងសកម្មភាពដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើពួកវា។ ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៅទីនេះគ្រាន់តែជាច្បាប់ប៉ុណ្ណោះ (គេហៅថា axioms) ចំពោះសកម្មភាពណាមួយជាកម្មវត្ថុ មិនមែនជាលក្ខណៈនៃធាតុនៃសំណុំ (នេះគឺជាកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបី!) ដោយប្រាថ្នាចង់បញ្ជាក់ថាវាគឺជារចនាសម្ព័ន្ធដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពីការបញ្ចូល axioms ដែលមានសារៈសំខាន់ គណិតវិទូនិយាយថា៖ ring of integers, ring of polynomials, ល។

ចិញ្ចៀនគឺជាសំណុំដែលមានប្រតិបត្តិការគោលពីរ (នោះគឺធាតុពីរនៃសង្វៀនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងប្រតិបត្តិការនីមួយៗ) ដែលត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី បូក និងគុណ និង axioms ខាងក្រោម៖

ការបន្ថែមនៃធាតុចិញ្ចៀនគោរពតាមការផ្លាស់ប្តូរ ( A + B = B + Aសម្រាប់ធាតុណាមួយ។ កនិង ខ) និងសមាគម ( A + (B + C) = (A + B) + C) ច្បាប់; ចិញ្ចៀនមានធាតុពិសេស 0 (ធាតុអព្យាក្រឹតដោយការបន្ថែម) បែបនេះ A + 0 = Aនិងសម្រាប់ធាតុណាមួយ។ កមានធាតុផ្ទុយ (បញ្ជាក់ (-ក)), អ្វី A + (-A) = 0 ;
គុណត្រូវគោរពច្បាប់ផ្សំ៖ A (B C) = (A B) C ;
ការបូក និងគុណត្រូវបានទាក់ទងដោយច្បាប់ពង្រីកវង់ក្រចកខាងក្រោម៖ (A + B) C = A C + B Cនិង A (B + C) = A B + A C .

យើងកត់សម្គាល់ថាចិញ្ចៀននៅក្នុងសំណង់ទូទៅបំផុតមិនតម្រូវឱ្យមានការគុណដើម្បីអាចផ្លាស់ប្តូរបានទេ ហើយក៏មិនបញ្ច្រាស់ដែរ (មានន័យថាវាមិនតែងតែអាចបែងចែកបានទេ) ហើយក៏មិនតម្រូវឱ្យមានអត្ថិភាពនៃឯកតាដែលជាធាតុអព្យាក្រឹតដែលមាន គោរពគុណ។ ប្រសិនបើ axioms ទាំងនេះត្រូវបានណែនាំ នោះរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិតផ្សេងទៀតត្រូវបានទទួល ប៉ុន្តែទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ដែលបានបង្ហាញសម្រាប់ចិញ្ចៀននឹងជាការពិតនៅក្នុងពួកគេ។

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុណាមួយ។ កនិង ខចិញ្ចៀនបំពានគឺជាការពិតដំបូង, (-A) B = -(A B)និងទីពីរ (-(--)) = ក. ពីនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឯកតាងាយស្រួលធ្វើតាម៖ (−1) 1 = -(1 1) = −1និង (−1) (−1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្កើតការពិតមួយចំនួន។ ដំបូងយើងបញ្ជាក់ថាធាតុនីមួយៗអាចមានតែមួយផ្ទុយគ្នា។ ជាការពិតអនុញ្ញាតឱ្យធាតុ កមានពីរផ្ទុយគ្នា៖ ខនិង ជាមួយ. I.e A + B = 0 = A + C. ពិចារណាលើផលបូក A+B+C. ដោយប្រើច្បាប់សមាគម និងការផ្លាស់ប្តូរ និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃសូន្យ យើងទទួលបានថា នៅលើដៃម្ខាង ផលបូកគឺស្មើនឹង ខ: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + Cហើយម្យ៉ាងវិញទៀត វាស្មើនឹង គ: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. មានន័យថា B=C .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកត់សម្គាល់ ក, និង (-(-ក))ផ្ទុយទៅនឹងធាតុដូចគ្នា។ (-ក)ដូច្នេះពួកគេត្រូវតែស្មើគ្នា។

ការពិតដំបូងគឺដូចនេះ៖ 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, i.e (-ក) បទល់មុខ ក ខដូច្នេះវាស្មើនឹង -(A B) .

ដើម្បីឱ្យម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យា ចូរយើងពន្យល់ពីមូលហេតុ 0 B = 0សម្រាប់ធាតុណាមួយ។ ខ. ជាការពិត, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. នោះគឺការបន្ថែម 0 ខមិនផ្លាស់ប្តូរបរិមាណ។ ដូច្នេះផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

Evgeny Epifanov, ផែនដី (Sol III) ។

ពិតហើយហេតុអ្វី? ចម្លើយដែលស្រួលបំផុតគឺ៖ "ពីព្រោះទាំងនេះគឺជាច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយលេខអវិជ្ជមាន"។ ច្បាប់ដែលយើងរៀននៅសាលា និងអនុវត្តពេញមួយជីវិតរបស់យើង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាច្បាប់មានលក្ខណៈដូចគេនោះទេ។ យើងនឹកឃើញ - នោះហើយជាវា ហើយលែងសួរសំណួរទៀតហើយ។

ហើយតោះសួរ...

ជាការពិត ការដកក៏មិនអាចខ្វះបានដែរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត យើងមានទំនោរដកលេខតូចពីលេខធំ ហើយមិនចាំបាច់ប្រើលេខអវិជ្ជមានទេ។ (ប្រសិនបើខ្ញុំមានស្ករគ្រាប់ចំនួន 5 ហើយខ្ញុំឱ្យ 3 ទៅបងស្រីរបស់ខ្ញុំ នោះខ្ញុំនឹងមាន 5 - 3 = 2 ស្ករគ្រាប់ ប៉ុន្តែខ្ញុំមិនអាចផ្តល់ឱ្យនាងនូវស្ករគ្រាប់ 7 តាមបំណងប្រាថ្នារបស់ខ្ញុំបានទេ។) នេះអាចពន្យល់ពីមូលហេតុដែលមនុស្សមិនប្រើលេខអវិជ្ជមាន។ សម្រាប់រយៈពេលដ៏យូរមួយ។

លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងនៅក្នុងឯកសារឥណ្ឌាពីសតវត្សទី 7 នៃគ។ ជាក់ស្តែង ជនជាតិចិនបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ពួកវាមុននេះបន្តិច។ ពួកគេត្រូវបានគេប្រើដើម្បីគណនាបំណុល ឬក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការ - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍មួយដើម្បីទទួលបានចម្លើយវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ការពិតដែលថាលេខអវិជ្ជមាន មិនដូចលេខវិជ្ជមាន មិនបង្ហាញពីវត្តមានរបស់អង្គភាពណាមួយ ធ្វើឱ្យមានការមិនទុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង។ មនុស្សក្នុងន័យព្យញ្ជនៈនៃពាក្យបានជៀសវាងលេខអវិជ្ជមាន: ប្រសិនបើបញ្ហាទទួលបានចម្លើយអវិជ្ជមានពួកគេជឿថាគ្មានចម្លើយទាល់តែសោះ។ ការមិនទុកចិត្តនេះបានបន្តកើតមានជាយូរមកហើយ ហើយសូម្បីតែ Descartes ដែលជា "ស្ថាបនិក" នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើបបានហៅពួកគេថា "មិនពិត" (នៅក្នុងសតវត្សទី 17!) ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍សមីការ 7x - 17 \u003d 2x - 2. វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម: ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងហើយនៅសល់ទៅខាងស្តាំអ្នកទទួលបាន 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. ជាមួយនេះ យើងមិនបានជួបលេខអវិជ្ជមាននៅក្នុងដំណោះស្រាយទេ។

ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីផ្សេង៖ ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ទៅខាងស្ដាំ ហើយទទួលបាន 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x ។ ដើម្បីស្វែងរកមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវចែកលេខអវិជ្ជមានមួយដោយមួយទៀត៖ x = (-15)/(-5) ។ ប៉ុន្តែចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេដឹង ហើយវានៅតែត្រូវសន្និដ្ឋានថា (-15)/(-5) = 3 ។

ការបន្ថែមនៃធាតុចិញ្ចៀនគោរពតាម commutative (A + B = B + A សម្រាប់ធាតុណាមួយ A និង B) និងបន្សំ (A + (B + C) = (A + B) + C) ច្បាប់; ចិញ្ចៀនមានធាតុពិសេស 0 (ធាតុអព្យាក្រឹតដោយការបន្ថែម) ដូចជា A + 0 = A ហើយសម្រាប់ធាតុណាមួយនៃ A មានធាតុផ្ទុយ (តំណាង (-A)) ដូចជា A + (-A) = 0 ។ ;
- គុណត្រូវគោរពច្បាប់ផ្សំ៖ A (B C) = (A B) C;
ការបូកនិងគុណត្រូវបានទាក់ទងដោយច្បាប់ពង្រីកតង្កៀបខាងក្រោម៖ (A + B) C = A C + B C និង A (B + C) = A B + A C ។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុណាមួយ A និង B នៃ ring arbitrary ទីមួយ (-A) B = -(A B) និងទីពីរ (-(-A)) = A. នេះមានន័យថាយ៉ាងងាយស្រួលសេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឯកតា: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 និង (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្កើតការពិតមួយចំនួន។ ដំបូងយើងបញ្ជាក់ថាធាតុនីមួយៗអាចមានតែមួយផ្ទុយគ្នា។ ពិតហើយ សូមអោយធាតុ A មានពីរផ្ទុយគ្នាគឺ B និង C ។ នោះគឺ A + B = 0 = A + C ។ ពិចារណាផលបូក A + B + C ។ ដោយប្រើច្បាប់រួម និង commutative និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃសូន្យ យើង ទទួលបាននោះ ដោយមួយដៃ ផលបូកស្មើនឹង B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត វាស្មើនឹង C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. ដូចនេះ B = C ។

សូមចំណាំថា ទាំង A និង (-(-A)) គឺផ្ទុយពីធាតុដូចគ្នា (-A) ដូច្នេះពួកវាត្រូវតែស្មើគ្នា។

ការពិតទីមួយត្រូវបានទទួលដូចខាងក្រោម: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B នោះគឺ (-A) B ទល់មុខ A B ដូច្នេះវាស្មើនឹង - (A B) ។

ដើម្បីឱ្យម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យា ចូរយើងពន្យល់ផងដែរថាហេតុអ្វីបានជា 0·B = 0 សម្រាប់ធាតុណាមួយនៃ B. ប្រាកដណាស់ 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B ។ នោះគឺការបន្ថែម 0 B មិនផ្លាស់ប្តូរផលបូកទេ។ ដូច្នេះផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

Evgeny Epifanov

នៅពេលស្តាប់គ្រូគណិតវិទ្យា សិស្សភាគច្រើនយល់ឃើញថាសម្ភារៈជា axiom ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ មានមនុស្សតិចណាស់ដែលព្យាយាមចុះដល់បាត ហើយស្វែងយល់ថាហេតុអ្វីបានជា "ដក" ទៅ "បូក" ផ្តល់សញ្ញា "ដក" ហើយនៅពេលគុណលេខអវិជ្ជមានពីរ លេខវិជ្ជមានចេញមក។

ច្បាប់គណិតវិទ្យា

មនុស្សពេញវ័យភាគច្រើនមិនអាចពន្យល់ខ្លួនឯង ឬកូនរបស់ពួកគេថាហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង។ ពួកគេបានរៀនសម្ភារៈនេះយ៉ាងហ្មត់ចត់នៅសាលា ប៉ុន្តែពួកគេមិនបានព្យាយាមរកថាតើច្បាប់បែបនេះមកពីណាទេ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឥតប្រយោជន៍។ ជាញឹកញយ ក្មេងៗសម័យថ្មី មិនសូវមានគំនិតថោកទាបទេ ពួកគេត្រូវឈានដល់ចំណុចខាងក្រោមនៃបញ្ហា ហើយយល់និយាយថា ហេតុអ្វីបានជា "បូក" នៅលើ "ដក" ផ្តល់ "ដក" ។ ហើយពេលខ្លះ ក្មេងជំទង់ៗសួរសំណួរដោយចេតនា ដើម្បីរីករាយនឹងពេលដែលមនុស្សពេញវ័យមិនអាចផ្តល់ចម្លើយដ៏ឆ្លាតវៃបាន។ ហើយវាពិតជាគ្រោះមហន្តរាយ ប្រសិនបើគ្រូបង្រៀនវ័យក្មេងជួបបញ្ហា…

ដោយវិធីនេះវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាច្បាប់ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងគុណនិងចែក។ ផលគុណនៃលេខអវិជ្ជមាន និងលេខវិជ្ជមាននឹងផ្តល់តែ "ដក" ប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីលេខពីរដែលមានសញ្ញា "-" នោះលទ្ធផលនឹងជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូចគ្នានេះអនុវត្តចំពោះការបែងចែក។ លេខគឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកកូតាក៏នឹងនៅជាមួយសញ្ញា "-" ផងដែរ។

ដើម្បីពន្យល់ពីភាពត្រឹមត្រូវនៃច្បាប់គណិតវិទ្យានេះ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើត axioms នៃ ring ។ ប៉ុន្តែដំបូងអ្នកត្រូវយល់ថាវាជាអ្វី។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅចិញ្ចៀនមួយជាសំណុំដែលប្រតិបត្តិការពីរដែលមានធាតុពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ។ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរជាងក្នុងការយល់ដឹងអំពីរឿងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

Ring axiom

មានច្បាប់គណិតវិទ្យាជាច្រើន។

ទីមួយនៃពួកគេគឺអាចផ្លាស់ប្តូរបានយោងទៅតាមគាត់ C + V = V + C ។
ទីពីរត្រូវបានគេហៅថា associative (V + C) + D = V + (C + D) ។

គុណ (V x C) x D \u003d V x (C x D) ក៏គោរពតាមពួកគេ។

គ្មាននរណាម្នាក់លុបចោលច្បាប់ដែលតង្កៀបត្រូវបានបើក (V + C) x D = V x D + C x D ទេ វាក៏ជាការពិតដែរ C x (V + D) = C x V + C x D ។

លើសពីនេះ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងថា ធាតុបន្ថែមអព្យាក្រឹតពិសេស អាចត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងសង្វៀន ដោយប្រើអ្វីដែលនឹងជាការពិត៖ C + 0 = C. លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ C នីមួយៗមានធាតុផ្ទុយគ្នា ដែលអាច ត្រូវបានតំណាងថាជា (-C) ។ ក្នុងករណីនេះ C + (-C) \u003d 0 ។

ដេរីវេនៃ axioms សម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន

ដោយបានទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ យើងអាចឆ្លើយសំណួរថា ""បូក" នៅលើ "ដក" ផ្តល់សញ្ញាអ្វី? ដោយដឹងពី axiom អំពីការគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមាន វាចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ថាពិតជា (-C) x V = -(C x V) ។ ហើយក៏ថា សមភាពខាងក្រោមនេះគឺពិត៖ (-(-C)) = C ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ជាមុនថាធាតុនីមួយៗមានតែមួយទល់មុខ "បង"។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ភស្តុតាងខាងក្រោម។ តោះសាកស្រមៃមើលថា លេខពីរគឺផ្ទុយគ្នាសម្រាប់ C - V និង D. ពីនេះវាធ្វើតាម C + V = 0 និង C + D = 0 នោះគឺ C + V = 0 = C + D. ចាំច្បាប់ផ្លាស់ទីលំនៅ ហើយអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខ 0 យើងអាចពិចារណាផលបូកនៃលេខទាំងបីគឺ C, V និង D. ចូរយើងព្យាយាមរកតម្លៃរបស់ V. វាសមហេតុផលថា V = V + 0 = V + (C + ឃ) = V + C + D ព្រោះតម្លៃនៃ C + D ដូចដែលបានទទួលយកខាងលើគឺស្មើនឹង 0 ដូច្នេះហើយ V = V + C + D ។

តម្លៃសម្រាប់ D គឺបានមកពីវិធីដូចគ្នា: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. ដោយផ្អែកលើនេះវាក្លាយជាច្បាស់ថា V = D ។

ដើម្បីយល់ពីមូលហេតុ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ "បូក" នៅលើ "ដក" ផ្តល់ "ដក" អ្នកត្រូវយល់ដូចខាងក្រោម។ ដូច្នេះសម្រាប់ធាតុ (-C) ផ្ទុយគឺ C និង (-(-C)) ពោលគឺស្មើគ្នា។

បន្ទាប់មកវាច្បាស់ថា 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. វាកើតឡើងពីនេះដែល C x V ទល់មុខនឹង (-) C x V ដែលមានន័យថា (-C) x V = -(C x V) ។

សម្រាប់ភាពរឹងម៉ាំផ្នែកគណិតវិទ្យា វាក៏ចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា 0 x V = 0 សម្រាប់ធាតុណាមួយ។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមតក្កវិជ្ជា នោះ 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. នេះមានន័យថាការបន្ថែមផលិតផល 0 x V មិនផ្លាស់ប្តូរចំនួនកំណត់តាមវិធីណាមួយឡើយ។ យ៉ាងណាមិញផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដោយដឹងពី axioms ទាំងអស់នេះ មនុស្សម្នាក់អាចគណនាមិនត្រឹមតែចំនួន "បូក" ដោយ "ដក" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏នឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលដែលចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានគុណ។

គុណនិងចែកលេខពីរដែលមានសញ្ញា "-"

ប្រសិនបើអ្នកមិនស្វែងយល់ពីគុណលក្ខណៈគណិតវិទ្យាទេនោះ អ្នកអាចព្យាយាមពន្យល់ពីច្បាប់នៃសកម្មភាពជាមួយនឹងលេខអវិជ្ជមានក្នុងវិធីសាមញ្ញជាងនេះ។

ឧបមាថា C - (-V) = D ផ្អែកលើនេះ C = D + (-V) នោះគឺ C = D - V. យើងផ្ទេរ V ហើយយើងទទួលបាន C + V = D ។ នោះគឺ C ។ +V = C − (-V) ។ ឧទាហរណ៍នេះពន្យល់ពីមូលហេតុដែលនៅក្នុងកន្សោមដែលមាន "ដក" ពីរក្នុងមួយជួរ សញ្ញាដែលបានរៀបរាប់គួរតែត្រូវបានប្តូរទៅជា "បូក" ។ ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយជាមួយគុណ។

(-C) x (-V) \u003d D ផលិតផលដូចគ្នាបេះបិទពីរអាចត្រូវបានបន្ថែម និងដកទៅកន្សោម ដែលនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វា៖ (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d ឃ។

ដោយចងចាំពីច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយតង្កៀប យើងទទួលបាន៖

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

វាធ្វើតាមពីនេះថា C x V \u003d (-C) x (-V) ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចបញ្ជាក់បានថា លទ្ធផលនៃការបែងចែកលេខអវិជ្ជមានពីរនឹងជាវិជ្ជមាន។

ក្បួនគណិតវិទ្យាទូទៅ

ជាការពិតណាស់ ការពន្យល់បែបនេះមិនសមរម្យសម្រាប់សិស្សសាលាបឋមសិក្សា ដែលទើបតែចាប់ផ្តើមរៀនលេខអវិជ្ជមានអរូបីនោះទេ។ វាជាការប្រសើរសម្រាប់ពួកគេក្នុងការពន្យល់លើវត្ថុដែលមើលឃើញ ដោយរៀបចំពាក្យដែលធ្លាប់ស្គាល់តាមរយៈកញ្ចក់ដែលមើលទៅ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រដាប់ប្រដាក្មេងលេងដែលបង្កើត ប៉ុន្តែមិនមែនប្រដាប់ក្មេងលេងដែលមានស្រាប់នៅទីនោះទេ។ ពួកគេអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយសញ្ញា "-" ។ គុណនៃវត្ថុកញ្ចក់ពីរ ផ្ទេរពួកវាទៅពិភពលោកមួយទៀត ដែលស្មើនឹងបច្ចុប្បន្ន នោះជាលទ្ធផល យើងមានលេខវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែការគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានអរូបីដោយលេខវិជ្ជមានផ្តល់តែលទ្ធផលដែលគ្រប់គ្នាធ្លាប់ស្គាល់។ យ៉ាងណាមិញ "បូក" គុណនឹង "ដក" ផ្តល់ឱ្យ "ដក" ។ ពិតហើយ កុមារមិនព្យាយាមខ្លាំងពេកក្នុងការស្វែងយល់ពីចំណុចសំខាន់ៗនៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់នោះទេ។

បើទោះជាអ្នកប្រឈមមុខនឹងការពិតក៏ដោយ សម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ទោះបីជាមានការអប់រំខ្ពស់ក៏ដោយ ក៏ច្បាប់ជាច្រើននៅតែជាអាថ៌កំបាំង។ មនុស្សគ្រប់គ្នាទទួលយកនូវអ្វីដែលគ្រូរបស់ពួកគេបង្រៀនពួកគេ ដោយមិនបាត់បង់ដើម្បីស្វែងយល់ពីភាពស្មុគស្មាញទាំងអស់ដែលគណិតវិទ្យាមានភាពច្របូកច្របល់។ "ដក" នៅលើ "ដក" ផ្តល់ឱ្យ "បូក" - មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងអំពីរឿងនេះដោយគ្មានករណីលើកលែង។ នេះជាការពិតសម្រាប់ទាំងចំនួនគត់ និងលេខប្រភាគ។

យកចិត្តទុកដាក់ មានតែថ្ងៃនេះប៉ុណ្ណោះ!

វិធីសាស្ត្រតម្រៀបក្នុងការសរសេរកម្មវិធី៖ តម្រៀបពពុះ

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

ច្បាប់គណិតវិទ្យា

Ring axiom

ដេរីវេនៃ axioms សម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន

គុណនិងចែកលេខពីរដែលមានសញ្ញា "-"

ក្បួនគណិតវិទ្យាទូទៅ

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង