សម្រាប់ a=b=R សមីការ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2ពិពណ៌នាអំពីរង្វង់នៃកាំ R ដែលដាក់កណ្តាលនៅចំណុច O"(x_0,y_0) ។

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរាងពងក្រពើ

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរាងពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical មានទម្រង់

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

ជាការពិតណាស់ ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (3.49) យើងមកដល់អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន \cos^2t+\sin^2t=1.

ឧទាហរណ៍ 3.20 ។គូររាងពងក្រពើ \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical Oxy ។ ស្វែងរក semiaxes, focal length, eccentricity, aspect ratio, focal parameter, directrix equations។

ដំណោះស្រាយ។ការប្រៀបធៀបសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយ Canonical មួយ យើងកំណត់ semiaxes: a=2 - the major semiaxis, b=1 - the minor semiaxis of the ellipse ។ យើងបង្កើតចតុកោណកែងធំដែលមានជ្រុង 2a = 4, ~ 2b = 2 ផ្តោតលើប្រភពដើម (រូបភាព 3.39) ។ ដោយគិតពីស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើ យើងដាក់វាទៅក្នុងចតុកោណកែងសំខាន់។ បើចាំបាច់យើងកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចមួយចំនួននៃរាងពងក្រពើ។ ឧទាហរណ៍ ការជំនួស x=1 ទៅក្នុងសមីការពងក្រពើ យើងទទួលបាន

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2) ។

ដូច្នេះចំណុចជាមួយកូអរដោណេ \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ។

គណនាសមាមាត្របង្ហាប់ k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ប្រវែងប្រសព្វ 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ភាពចម្លែក e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). យើងបង្កើតសមីការ directrix៖ x=\pm\frac(a^2)(c)~\leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

១១.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ពិចារណាបន្ទាត់ដែលបានកំណត់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរទាក់ទងទៅនឹងកូអរដោនេបច្ចុប្បន្ន

មេគុណនៃសមីការគឺជាចំនួនពិត ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមលេខ A, B, ឬ C គឺមិនមែនសូន្យទេ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ (ខ្សែកោង) នៃលំដាប់ទីពីរ។ វានឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងខាងក្រោមសមីការ (11.1) កំណត់រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡានៅក្នុងយន្តហោះ។ មុននឹងបន្តការអះអាងនេះ ចូរយើងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃខ្សែកោងដែលបានរាប់បញ្ចូល។

១១.២. រង្វង់

ខ្សែកោងសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីពីរគឺរង្វង់។ សូមចាំថារង្វង់នៃកាំ R ដែលដាក់ចំកណ្តាលចំណុចគឺជាសំណុំនៃចំនុចទាំងអស់Μនៃយន្តហោះដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណមានកូអរដោនេ x 0, y 0 a - ចំណុចបំពាននៃរង្វង់ (សូមមើលរូបភាពទី 48) ។

បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌយើងទទួលបានសមីការ

(11.2)

សមីការ (11.2) ពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅលើរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើរង្វង់។

សមីការ (១១.២) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរង្វង់

ជាពិសេស ការសន្មត់ និង , យើងទទួលបានសមីការនៃរង្វង់ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម .

សមីការរង្វង់ (11.2) បន្ទាប់ពីការបំលែងសាមញ្ញនឹងយកទម្រង់។ នៅពេលប្រៀបធៀបសមីការនេះជាមួយនឹងសមីការទូទៅ (11.1) នៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាលក្ខខណ្ឌពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់សមីការនៃរង្វង់មួយ៖

1) មេគុណនៅ x 2 និង y 2 គឺស្មើគ្នា។

2) មិនមានសមាជិកដែលមានផលិតផល xy នៃកូអរដោនេបច្ចុប្បន្នទេ។

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ដាក់ក្នុងសមីការ (១១.១) តម្លៃ ហើយយើងទទួលបាន

ចូរយើងបំប្លែងសមីការនេះ៖

(11.4)

វាធ្វើតាមសមីការ (11.3) កំណត់រង្វង់ក្រោមលក្ខខណ្ឌ . ចំណុចកណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់ចំណុច , និងកាំ

.

ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកសមីការ (១១.៣) មានទម្រង់

.

វាត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចតែមួយ . ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថា "រង្វង់បានធ្លាក់ចុះទៅជាចំណុចមួយ" (មានកាំសូន្យ) ។

ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកសមីការ (11.4) ហើយដូច្នេះសមីការសមមូល (11.3) នឹងមិនកំណត់បន្ទាត់ណាមួយទេ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (11.4) គឺអវិជ្ជមាន ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងមិនអវិជ្ជមាន (និយាយថា "រង្វង់ស្រមើលស្រមៃ")។

១១.៣. ពងក្រពើ

សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ

ពងក្រពើ គឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីពួកវានីមួយៗទៅចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា ល្បិច , គឺជាតម្លៃថេរដែលធំជាងចម្ងាយរវាង foci ។

សម្គាល់ foci ដោយ F1និង F2, ចម្ងាយរវាងពួកវាក្នុង 2 គនិងផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃពងក្រពើទៅ foci - ដល់ 2 ក(សូមមើលរូប 49)។ តាមនិយមន័យ ២ ក > 2គ, i.e. ក > គ.

ដើម្បីទាញយកសមីការនៃរាងពងក្រពើ យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដូច្នេះ foci F1និង F2ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ហើយប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F ២. បន្ទាប់មក foci នឹងមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោម: និង .

សូមឱ្យជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ i.e.

តាមពិតនេះគឺជាសមីការនៃពងក្រពើ។

យើងបំប្លែងសមីការ (១១.៥) ទៅជាទម្រង់សាមញ្ញដូចខាងក្រោម៖

ដោយសារតែ ក>ជាមួយ, នោះ។ តោះដាក់

(11.6)

បន្ទាប់មកសមីការចុងក្រោយយកទម្រង់ ឬ

(11.7)

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសមីការ (11.7) គឺស្មើនឹងសមីការដើម។ វាត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ .

រាងពងក្រពើគឺជាខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។

សិក្សាពីរាងពងក្រពើតាមសមីការរបស់វា។

ចូរបង្កើតរូបរាងពងក្រពើដោយប្រើសមីការ Canonical របស់វា។

1. សមីការ (11.7) មាន x និង y តែនៅក្នុងអំណាចគូ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនុចមួយជារបស់ពងក្រពើ នោះចំនុច ,, ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាផងដែរ។ វាធ្វើតាមដែលពងក្រពើគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្ស និង ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងចំណុច ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃពងក្រពើ។

2. រកចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការដាក់ យើងរកឃើញចំណុចពីរ ហើយដែលអ័ក្សកាត់កែងពងក្រពើ (សូមមើលរូប 50)។ ដាក់ក្នុងសមីការ (១១.៧) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស៖ និង . ពិន្ទុ ក 1 , ក២ , ខ១, ខ២ហៅ ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ. ចម្រៀក ក 1 ក២និង B1 B2ក៏ដូចជាប្រវែងរបស់ពួកគេ ២ កនិង ២ ខត្រូវបានគេហៅថារៀងៗខ្លួន អ័ក្សធំនិងតូចពងក្រពើ។ លេខ កនិង ខត្រូវបានគេហៅថាធំនិងតូចរៀងគ្នា។ អ័ក្សអ័ក្សពងក្រពើ។

3. វាធ្វើតាមសមីការ (11.7) ដែលពាក្យនីមួយៗនៅខាងឆ្វេងដៃមិនលើសពីមួយ ពោលគឺឧ។ មានវិសមភាព និង ឬ និង។ ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់នៃពងក្រពើស្ថិតនៅខាងក្នុងចតុកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់។

4. នៅក្នុងសមីការ (11.7) ផលបូកនៃពាក្យមិនអវិជ្ជមាន និងស្មើនឹងមួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ នៅពេលដែលពាក្យមួយកើនឡើង មួយទៀតនឹងថយចុះ ពោលគឺប្រសិនបើវាកើនឡើង នោះវាថយចុះ ហើយផ្ទុយមកវិញ។

ពីអ្វីដែលបាននិយាយ វាដូចខាងក្រោមថាពងក្រពើមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 50 (ខ្សែកោងបិទរាងពងក្រពើ) ។

បន្ថែមទៀតអំពីពងក្រពើ

រូបរាងនៃពងក្រពើអាស្រ័យលើសមាមាត្រ។ នៅពេលដែលពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់ សមីការពងក្រពើ (11.7) ទទួលបានទម្រង់។ ជាលក្ខណៈនៃរាងពងក្រពើ សមាមាត្រត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង។ សមាមាត្រនៃចម្ងាយពាក់កណ្តាលរវាង foci ទៅអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ ហើយ o6o ត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរ ε ("epsilon"):

ជាមួយ 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

នេះបង្ហាញថា ភាពច្របូកច្របល់នៃរាងពងក្រពើកាន់តែតូច រាងពងក្រពើនឹងកាន់តែតូច។ ប្រសិនបើយើងដាក់ ε = 0 នោះពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់។

អនុញ្ញាតឱ្យ M(x; y) ជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើជាមួយ foci F 1 និង F 2 (សូមមើលរូបភាព 51) ។ ប្រវែងនៃផ្នែក F 1 M = r 1 និង F 2 M = r 2 ត្រូវបានគេហៅថាកាំប្រសព្វនៃចំនុច M ។ ជាក់ស្តែង

មានរូបមន្ត

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា

ទ្រឹស្តីបទ ១១.១.ប្រសិនបើចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃពងក្រពើទៅការផ្តោតអារម្មណ៍មួយចំនួន d គឺជាចម្ងាយពីចំណុចដូចគ្នាទៅ directrix ដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្តោតអារម្មណ៍នេះ នោះសមាមាត្រគឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង eccentricity នៃរាងពងក្រពើ៖

វាធ្វើតាមសមភាព (11.6) នោះ។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសមីការ (11.7) កំណត់ពងក្រពើ អ័ក្សធំដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Oy ហើយអ័ក្សតូចស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Ox (សូមមើលរូប 52)។ foci នៃរាងពងក្រពើបែបនេះគឺនៅចំណុចនិង , កន្លែងណា .

១១.៤. អ៊ីពែបូឡា

សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

អ៊ីពែបូល។ សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំនុចនីមួយៗទៅចំណុចពីរនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា ល្បិច ជាតម្លៃថេរ តូចជាងចម្ងាយរវាង foci ។

សម្គាល់ foci ដោយ F1និង F2ចម្ងាយរវាងពួកគេឆ្លងកាត់ 2 វិនិងម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡាទៅ foci តាមរយៈ 2 ក. A-priory 2 ក < 2 វិ, i.e. ក < គ.

ដើម្បីទាញយកសមីការអ៊ីពែបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដូច្នេះ foci F1និង F2ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ហើយប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F ២(សូមមើលរូប 53)។ បន្ទាប់មក foci នឹងមានកូអរដោនេនិង

ទុកជាចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា ឬ ឧ. បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ដូចដែលបានធ្វើនៅពេលដែលទទួលបានសមីការពងក្រពើ យើងទទួលបាន សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

(11.9)

(11.10)

អ៊ីពែបូឡាគឺជាជួរនៃលំដាប់ទីពីរ។

ការស៊ើបអង្កេតលើទម្រង់នៃអ៊ីពែបូឡា យោងទៅតាមសមីការរបស់វា។

ចូរយើងបង្កើតរូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡា ដោយប្រើសមីការ caconic របស់វា។

1. សមីការ (11.9) មាន x និង y ក្នុងអំណាចគូប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្ស និង ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងចំណុច ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា។

2. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការដាក់សមីការ (11.9) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាពីរជាមួយនឹងអ័ក្ស : និង . ការដាក់ (11.9) យើងទទួលបាន ដែលមិនអាចជា។ ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាមិនប្រសព្វអ័ក្ស y ទេ។

ចំណុចនិងត្រូវបានគេហៅថា កំពូល អ៊ីពែបូឡាស និងផ្នែក

អ័ក្សពិត , ផ្នែក​បន្ទាត់ - semiaxis ពិតប្រាកដ អ៊ីពែបូល

ផ្នែកបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សស្រមៃ , លេខ ខ - អ័ក្សស្រមៃ . ចតុកោណជាមួយភាគី 2 កនិង 2 ខហៅ ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា .

3. វាធ្វើតាមសមីការ (11.9) ដែល minuend មិនតិចជាងមួយ ពោលគឺ ថា ឬ . នេះមានន័យថាចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាស្ថិតនៅខាងស្តាំបន្ទាត់ (សាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា) និងនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ (សាខាខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា)។

4. ពីសមីការ (11.9) នៃអ៊ីពែបូឡា គេអាចមើលឃើញថានៅពេលដែលវាកើនឡើង នោះវាក៏កើនឡើងផងដែរ។ នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាភាពខុសគ្នារក្សាតម្លៃថេរស្មើនឹងមួយ។

វាធ្វើតាមអ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយថាអ៊ីពែបូឡាមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 54 (ខ្សែកោងដែលមានមែកធាងពីរដែលមិនមានព្រំដែន)។

រោគសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា

បន្ទាត់ L ត្រូវបានគេហៅថា asymptote នៃខ្សែកោងគ្មានដែនកំណត់ K ប្រសិនបើចម្ងាយ d ពីចំណុច M នៃខ្សែកោង K ទៅបន្ទាត់នេះមានទំនោរទៅសូន្យ ដោយសារចំនុច M ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង K ដោយមិនកំណត់ពីប្រភពដើម។ រូបភាពទី 55 បង្ហាញពីគំនិតនៃ asymptote មួយ៖ បន្ទាត់ L គឺជា asymptote សម្រាប់ខ្សែកោង K ។

ចូរយើងបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាមាន asymtotes ពីរ៖

(11.11)

ដោយសារបន្ទាត់ (11.11) និងអ៊ីពែបូឡា (11.9) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែចំណុចទាំងនោះនៃបន្ទាត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញដែលមានទីតាំងនៅក្នុង quadrant ដំបូង។

យកបន្ទាត់ត្រង់ចំនុច N ដែលមាន abscissa x ដូចគ្នាជាចំនុចនៅលើអ៊ីពែបូឡា (សូមមើលរូបទី 56) ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នា ΜN រវាងការចាត់តាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងសាខានៃអ៊ីពែបូឡា៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដែល x កើនឡើង ភាគបែងនៃប្រភាគកើនឡើង។ លេខភាគគឺជាតម្លៃថេរ។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែក ΜN ទំនោរទៅសូន្យ។ ដោយសារ ΜN ធំជាងចំងាយ d ពីចំនុចΜ ទៅបន្ទាត់ នោះ d កាន់តែមានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់​គឺ​ជា​រោគសញ្ញា​នៃ​អ៊ីពែបូឡា (១១.៩)។

នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា (11.9) ជាដំបូងគួរតែសាងសង់ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា (សូមមើលរូប 57) គូរបន្ទាត់កាត់តាមចំនុចកំពូលទល់មុខនៃចតុកោណកែងនេះ - អនាមិកនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយសម្គាល់ចំណុចកំពូល និង អ៊ីពែបូឡា .

សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល។

asymtotes ដែល​ជា​អ័ក្ស​កូអរដោណេ

Hyperbola (11.9) ត្រូវបានគេហៅថា equilateral ប្រសិនបើ semiaxes របស់វាស្មើគ្នា () ។ សមីការ Canonical របស់វា។

(11.12)

asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡាសមមូលមានសមីការ ហើយដូច្នេះគឺជាផ្នែកនៃមុំកូអរដោនេ។

ពិចារណាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡានេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី (សូមមើលរូប 58) ដែលទទួលបានពីចំណុចចាស់ដោយការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេដោយមុំមួយ។ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេ៖

យើងជំនួសតម្លៃនៃ x និង y ក្នុងសមីការ (11.12)៖

សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល ដែលអ័ក្ស Ox និង Oy ជា asymptotes នឹងមានទម្រង់។

បន្ថែមទៀតអំពី hyperbole

ភាពចម្លែក អ៊ីពែបូឡា (១១.៩) គឺជាសមាមាត្រនៃចម្ងាយរវាង foci ទៅនឹងតម្លៃនៃអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា ដែលតំណាងដោយε៖

ដោយសារអ៊ីពែបូឡា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺធំជាងមួយ៖ . Eccentricity កំណត់រូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡា។ ពិតប្រាកដណាស់ វាធ្វើតាមសមភាព (11.10) ពោលគឺឧ។ និង .

នេះបង្ហាញថា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាកាន់តែតូច សមាមាត្រនៃពាក់កណ្តាលអ័ក្សរបស់វាកាន់តែតូច ដែលមានន័យថា ចតុកោណកែងសំខាន់របស់វាកាន់តែពង្រីក។

ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូលគឺ . ពិតជា

កាំប្រសព្វ និង សម្រាប់ចំនុចនៃសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់ និង និងសម្រាប់ខាងឆ្វេង - និង .

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា។ ចាប់តាំងពីសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ε > 1 បន្ទាប់មក . នេះមានន័យថា directrix ខាងស្តាំស្ថិតនៅចន្លោះកណ្តាល និង vertex ខាងស្តាំនៃ hyperbola នោះ directrix ខាងឆ្វេងស្ថិតនៅចន្លោះកណ្តាល និង vertex ខាងឆ្វេង។

directrixes នៃ hyperbola មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹង directrixes នៃ ellipse មួយ។

ខ្សែកោងដែលកំណត់ដោយសមីការក៏ជាអ៊ីពែបូឡាដែរ អ័ក្សពិត 2b ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអូយ និងអ័ក្សស្រមើស្រមៃ 2 ក- នៅលើអ័ក្សអុក។ នៅក្នុងរូបភាពទី 59 វាត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុច។

ជាក់ស្តែង អ៊ីពែបូឡាស និងមាន asymtotes ទូទៅ។ អ៊ីពែបូឡាសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។

១១.៥. ប៉ារ៉ាបូឡា

សមីការប៉ារ៉ាបូឡា Canonical

ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ ដែលនីមួយៗស្ថិតនៅចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍ និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហៅថា directrix ។ ចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ F ទៅ directrix ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ parabola និងត្រូវបានតំណាងដោយ p (p> 0) ។

ដើម្បីទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Oxy ដើម្បីឱ្យអ័ក្ស Oxy ឆ្លងកាត់ការផ្តោត F កាត់កែងទៅ directrix ក្នុងទិសដៅពី directrix ទៅ F ហើយប្រភពដើម O ស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងចំនុចផ្តោត និង directrix (សូមមើលរូប 60)។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានជ្រើសរើស ការផ្តោត F មានកូអរដោនេ ហើយសមីការ directrix មានទម្រង់ ឬ .

1. នៅក្នុងសមីការ (11.13) អថេរ y ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងដឺក្រេគូ ដែលមានន័យថា ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអុក។ អ័ក្ស x គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

2. ចាប់តាំងពី ρ > 0 វាធ្វើតាមពី (11.13) នោះ។ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងស្តាំអ័ក្ស y ។

3. នៅពេលដែលយើងមាន y \u003d 0. ដូច្នេះ ប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

4. ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ក្នុង x ម៉ូឌុល y ក៏កើនឡើងដោយគ្មានកំណត់។ ប៉ារ៉ាបូឡាមានទម្រង់ (រាង) ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី ៦១។ ចំនុច O (0; 0) ត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola, ផ្នែក FM \u003d r ត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M.

សមីការ , , ( p>0) ក៏កំណត់ប៉ារ៉ាបូឡាផងដែរ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 62

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាក្រាហ្វនៃត្រីកោណការ៉េដែល , B និង C គឺជាចំនួនពិតណាមួយ គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាក្នុងន័យនៃនិយមន័យរបស់វាខាងលើ។

១១.៦. សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ

សមីការនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរដែលមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ

ទីមួយ ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃពងក្រពើដែលដាក់កណ្តាលនៅចំណុចដែលអ័ក្សស៊ីមេទ្រីគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ Ox និង Oy ហើយ semiaxes រៀងគ្នាស្មើនឹង កនិង ខ. ចូរយើងដាក់នៅចំកណ្តាលនៃពងក្រពើ O 1 ដែលជាប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេថ្មី ដែលអ័ក្ស និងពាក់កណ្តាលអ័ក្ស កនិង ខ(សូមមើលរូប ៦៤)៖

ហើយចុងក្រោយ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 65 មានសមីការដែលត្រូវគ្នា។

សមីការ

សមីការនៃរាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា និងសមីការនៃរង្វង់មួយបន្ទាប់ពីការបំប្លែង (តង្កៀបបើក ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការក្នុងទិសដៅមួយ នាំមកនូវពាក្យដូច ណែនាំសញ្ញាណថ្មីសម្រាប់មេគុណ) អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសមីការតែមួយនៃ ទំរង់

ដែលមេគុណ A និង C មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។

សំណួរកើតឡើង៖ តើសមីការនៃទម្រង់ (11.14) កំណត់ខ្សែកោងណាមួយ (រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា) នៃលំដាប់ទីពីរទេ? ចម្លើយត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១១.២. សមីការ (១១.១៤) តែងតែកំណត់៖ រង្វង់មួយ (សម្រាប់ A = C) ឬរាងពងក្រពើ (សម្រាប់ A C> 0) ឬអ៊ីពែបូឡា (សម្រាប់ A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ

ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាសមីការទូទៅនៃសញ្ញាប័ត្រទីពីរដែលមានពីរមិនស្គាល់៖

វាខុសគ្នាពីសមីការ (11.14) ដោយវត្តមាននៃពាក្យជាមួយនឹងផលគុណនៃកូអរដោណេ (B¹ 0)។ វាអាចទៅរួចដោយការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោណេដោយមុំ a ដើម្បីបំប្លែងសមីការនេះ ដូច្នេះពាក្យដែលមានផលិតផលនៃកូអរដោណេគឺអវត្តមាននៅក្នុងវា។

ការប្រើរូបមន្តសម្រាប់បង្វិលអ័ក្ស

ចូរបង្ហាញពីកូអរដោណេចាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃថ្មី:

យើងជ្រើសរើសមុំ a ដើម្បីឱ្យមេគុណនៅ x "y" បាត់ ពោលគឺ ដូច្នេះសមភាព

ដូច្នេះនៅពេលដែលអ័ក្សត្រូវបានបង្វិលតាមមុំមួយ ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (11.17) សមីការ (11.15) កាត់បន្ថយទៅជាសមីការ (11.14)។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ (11.15) កំណត់នៅលើយន្តហោះ (លើកលែងតែករណីនៃការ degeneration និង decay) ខ្សែកោងខាងក្រោម៖ រង្វង់ ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា។

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ A = C នោះសមីការ (11.17) បាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ cos2α = 0 (សូមមើល (11.16)) បន្ទាប់មក 2α = 90° ពោលគឺ α = 45°។ ដូច្នេះនៅ A = C ប្រព័ន្ធកូអរដោនេគួរតែត្រូវបានបង្វិលដោយ 45 °។

រាងពងក្រពើគឺជាទីតាំងនៃចំនុចនៅក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីពួកវានីមួយៗទៅពីរចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ F_1 ហើយ F_2 គឺជាតម្លៃថេរ (2a) ធំជាងចម្ងាយ (2c) រវាងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងនេះ (រូបភាពទី 2)។ ៣.៣៦, ក). និយមន័យធរណីមាត្រនេះបង្ហាញ លក្ខណៈសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ.

លក្ខណៈសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ

ចំនុច F_1 និង F_2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើ ចម្ងាយរវាងពួកវា 2c=F_1F_2 គឺជាប្រវែងប្រសព្វ ចំនុចកណ្តាល O នៃផ្នែក F_1F_2 គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ លេខ 2a គឺជាប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់នៃ ពងក្រពើ (រៀងគ្នាលេខ a គឺជាពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃពងក្រពើ) ។ ចម្រៀក F_1M និង F_2M ដែលភ្ជាប់ចំណុចបំពាន M នៃរាងពងក្រពើជាមួយ foci របស់វាត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M ។ ចម្រៀក​បន្ទាត់​ដែល​តភ្ជាប់​ចំណុច​ពីរ​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​អង្កត់ធ្នូ​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ។

សមាមាត្រ e=\frac(c)(a) ត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ។ តាមនិយមន័យ (2a>2c) វាធ្វើតាមថា 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

និយមន័យធរណីមាត្រនៃរាងពងក្រពើការបង្ហាញលក្ខណៈប្រសព្វរបស់វា ស្មើនឹងនិយមន័យវិភាគរបស់វា - បន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖

ពិតហើយ សូមណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ (រូបភាព 3.36, គ)។ ចំណុចកណ្តាល O នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេយកជាប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ; បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ foci (អ័ក្សប្រសព្វឬអ័ក្សទីមួយនៃពងក្រពើ) យើងនឹងយកជាអ័ក្ស abscissa (ទិសដៅវិជ្ជមាននៅលើវាពីចំណុច F_1 ដល់ចំណុច F_2); បន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅអ័ក្ស y និងឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ (អ័ក្សទីពីរនៃរាងពងក្រពើ) ត្រូវបានគេយកជាអ័ក្ស y (ទិសដៅនៅលើអ័ក្ស y ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកស៊ីតគឺត្រឹមត្រូវ )

ចូរយើងបង្កើតសមីការនៃរាងពងក្រពើដោយប្រើនិយមន័យធរណីមាត្ររបស់វា ដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិប្រសព្វ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើសយើងកំណត់កូអរដោនេនៃ foci F_1(-c,0),~F_2(c,0). សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x,y) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ យើងមាន៖

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a។

ការសរសេរសមភាពនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ យើងទទួលបាន៖

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a។

យើងផ្ទេររ៉ាឌីកាល់ទីពីរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ ហើយផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចជា៖

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx។

ចែកដោយ 4 យើងការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ៖

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2)។

ការបញ្ជាក់ b=\sqrt(a^2-c^2)>0, យើង​ទទួល​បាន b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ a^2b^2\ne0 យើងមកដល់សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1។

ដូច្នេះ​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ដែល​បាន​ជ្រើស​រើស​គឺ​ជា Canonical ។

ប្រសិនបើ foci នៃពងក្រពើស្របគ្នា នោះពងក្រពើគឺជារង្វង់មួយ (រូបភាព 3.36.6) ចាប់តាំងពី a=b ។ ក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណណាមួយដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច O\equiv F_1\equiv F_2ហើយសមីការ x^2+y^2=a^2 គឺជាសមីការនៃរង្វង់ដែលមានកណ្តាល O និងកាំ a ។

តាមរយៈការវែកញែកថយក្រោយ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាចំណុចទាំងអស់ដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ (3.49) ហើយមានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីតាំងនៃចំនុចដែលហៅថាពងក្រពើ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត និយមន័យវិភាគនៃរាងពងក្រពើគឺស្មើនឹងនិយមន័យធរណីមាត្ររបស់វា ដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើ។

បញ្ជី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ

directrixes នៃ ellipse គឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ពីរ​ឆ្លងកាត់​ស្រប​ទៅ​នឹង​អ័ក្ស​តម្រៀប​នៃ​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោនេ Canonical នៅ​ចម្ងាយ​ដូចគ្នា \frac(a^2)(c) ពី​វា។ សម្រាប់ c=0 នៅពេលដែលពងក្រពើជារង្វង់ នោះមិនមាន directrixes (យើងអាចសន្មត់ថា directrixes ត្រូវបានដកចេញដោយគ្មានកំណត់)។

រាងពងក្រពើ 0 ទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ដែលសមាមាត្រនៃចម្ងាយទៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ F (ផ្តោត) ទៅចម្ងាយទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ d (directrix) ដែលមិនឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺថេរនិងស្មើនឹង ភាពចម្លែក អ៊ី ( ទ្រព្យសម្បត្តិថតរាងពងក្រពើ). នៅទីនេះ F និង d គឺជា foci នៃរាងពងក្រពើ និងមួយនៃ directrixes របស់វា ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃអ័ក្ស y នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical i.e. F_1,d_1 ឬ F_2,d_2 ។

ជាឧទាហរណ៍ សម្រាប់ការផ្តោតអារម្មណ៍ F_2 និង directrix d_2 (រូបភាព 3.37.6) លក្ខខណ្ឌ \frac(r_2)(\rho_2)=eអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់កូអរដោនេ៖

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

កម្ចាត់ភាពមិនសមហេតុផល និងការជំនួស e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2យើងមកដល់សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ (3.49)។ ហេតុផលស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ការផ្តោត F_1 និង directrix d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

សមីការរាងពងក្រពើនៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។

សមីការពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡា F_1r\varphi (Fig.3.37,c និង 3.37(2)) មានទម្រង់

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

ដែល p=\frac(b^2)(a) គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃពងក្រពើ។

តាមការពិត ចូរយើងជ្រើសរើសការផ្តោតអារម្មណ៍ខាងឆ្វេង F_1 នៃរាងពងក្រពើជាបង្គោលនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡា ហើយកាំរស្មី F_1F_2 ជាអ័ក្សប៉ូល (រូបភាព 3.37, គ)។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(r,\varphi) យោងតាមនិយមន័យធរណីមាត្រ (ទ្រព្យសម្បត្តិប្រសព្វ) នៃពងក្រពើ យើងមាន r+MF_2=2a ។ យើងបង្ហាញចម្ងាយរវាងចំណុច M(r,\varphi) និង F_2(2c,0) (សូមមើលចំណុចទី 2 នៃការកត់សម្គាល់ 2.8)៖

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot cos\varphi +4\cdot c^2)។\end(តម្រឹម)

ដូច្នេះ ក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល សមីការនៃពងក្រពើ F_1M+F_2M=2a មានទម្រង់

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

យើងញែករ៉ាឌីកាល់ ការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ ចែកនឹង 4 ហើយផ្តល់ពាក្យដូចជា៖

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot cos\varphi +4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2 ។

យើងបង្ហាញកាំប៉ូល r ហើយធ្វើការជំនួស e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណនៅក្នុងសមីការពងក្រពើ

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើ (សូមមើលរូប 3.37, ក) ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ (ចំនុចកំពូលនៃ zllips) ។ ការជំនួស y=0 ទៅក្នុងសមីការ យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស abscissa (ជាមួយអ័ក្សប្រសព្វ): x=\pm a . ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែកនៃអ័ក្សប្រសព្វដែលរុំព័ទ្ធក្នុងរាងពងក្រពើគឺស្មើនឹង 2a ។ ផ្នែកនេះ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើ ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សសំខាន់នៃពងក្រពើ ហើយលេខ a គឺជាអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃពងក្រពើ។ ជំនួស x=0 យើងទទួលបាន y=\pm b ។ ដូច្នេះ​ប្រវែង​ផ្នែក​នៃ​អ័ក្ស​ទីពីរ​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ​ដែល​រុំ​ព័ទ្ធ​ក្នុង​រាង​ពង​ក្រពើ​គឺ​ស្មើ​នឹង 2b ។ ផ្នែកនេះត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សតូចនៃរាងពងក្រពើ ហើយលេខ b ត្រូវបានគេហៅថា semiaxis តូចនៃរាងពងក្រពើ។

ពិតជា b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=aហើយសមភាព b=a ត្រូវបានទទួលតែក្នុងករណី c=0 នៅពេលដែលពងក្រពើជារង្វង់។ អាកប្បកិរិយា k=\frac(b)(a)\leqslant1ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកន្ត្រាក់នៃរាងពងក្រពើ។

សុន្ទរកថា 3.9

1. បន្ទាត់ x=\pm a,~y=\pm b កំណត់​ចតុកោណ​កែង​សំខាន់​នៅលើ​យន្តហោះ​កូអរដោណេ ដែល​ខាងក្នុង​រាង​ពងក្រពើ​ស្ថិតនៅ (មើល​រូបភាព 3.37, a)។

2. ពងក្រពើអាចត្រូវបានកំណត់ថាជា ទីតាំងនៃចំណុចដែលទទួលបានដោយការចុះរង្វង់ទៅអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។

ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxy សមីការរង្វង់មានទម្រង់ x^2+y^2=a^2 ។ នៅពេលបង្ហាប់ទៅអ័ក្ស x ដែលមានកត្តា 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

ការជំនួស x=x" និង y=\frac(1)(k)y" ទៅក្នុងសមីការនៃរង្វង់ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់កូអរដោនេនៃរូបភាព M"(x",y") នៃចំនុច M(x y)៖

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ចាប់តាំងពី b=k\cdot a ។ នេះគឺជាសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។

3. អ័ក្សកូអរដោណេ (នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical) គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃរាងពងក្រពើ (ហៅថាអ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ) ហើយចំណុចកណ្តាលរបស់វាគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី។

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើចំនុច M(x,y) ជារបស់ពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកចំនុច M"(x,-y) និង M""(-x,y) ស៊ីមេទ្រីដល់ចំនុច M ដោយគោរពតាមអ័ក្សកូអរដោនេ ក៏ជារបស់ពងក្រពើដូចគ្នាដែរ។

4. ពីសមីការនៃពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។ r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)។ \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. The eccentricity e កំណត់លក្ខណៈនៃរាងពងក្រពើ ពោលគឺភាពខុសគ្នារវាងរាងពងក្រពើ និងរង្វង់។ អ៊ីកាន់តែធំ ពងក្រពើកាន់តែវែង ហើយអ៊ីកាន់តែជិតដល់សូន្យ ពងក្រពើកាន់តែខិតទៅជិតរង្វង់ (រូបភាព 3.38, ក)។ ពិតប្រាកដណាស់ ដែលបានផ្តល់ឱ្យ e=\frac(c)(a) និង c^2=a^2-b^2 យើងទទួលបាន

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

ដែល k គឺជាកត្តាកន្ត្រាក់នៃពងក្រពើ 0

6. សមីការ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1សម្រាប់ ក

7. សមីការ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bកំណត់​រាង​ពង​ក្រពើ​នៅ​កណ្តាល​ចំណុច O "(x_0, y_0) ដែល​អ័ក្ស​របស់​វា​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​កូអរដោណេ (រូប​ទី 3.38, គ)។ សមីការ​នេះ​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ទៅ​ជា Canonical ដោយ​ប្រើ​ការ​បកប្រែ​ប៉ារ៉ាឡែល (3.36)។