នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា "ចាស់" វាក៏ត្រូវបានគេហៅថាក្បួន "ច្រវ៉ាក់" ផងដែរ។ អញ្ចឹង​បើ y \u003d f (u) និង u \u003d φ (x), i.e

y \u003d f (φ (x))

ស្មុគស្មាញ - មុខងារផ្សំ (សមាសភាពមុខងារ) បន្ទាប់មក

កន្លែងណា , បន្ទាប់ពីការគណនាត្រូវបានពិចារណានៅ u = φ (x) ។

ចំណាំថានៅទីនេះយើងបានយកសមាសភាព "ផ្សេងគ្នា" ពីមុខងារដូចគ្នាហើយលទ្ធផលនៃការខុសគ្នាពីធម្មជាតិបានប្រែទៅជាអាស្រ័យលើលំដាប់នៃ "លាយ" ។

ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ធម្មជាតិពង្រីកដល់សមាសភាពនៃមុខងារបី ឬច្រើន។ ក្នុងករណីនេះវានឹងមាន "តំណភ្ជាប់" បីឬច្រើននៅក្នុង "ខ្សែសង្វាក់" ដែលបង្កើតបានជាដេរីវេរៀងគ្នា។ នេះគឺជាភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងការគុណ: "យើងមាន" - តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ; "នៅទីនោះ" - តារាងគុណ; "ជាមួយយើង" គឺជាក្បួនខ្សែសង្វាក់ ហើយ "នៅទីនោះ" គឺជាក្បួនគុណជាមួយ "ជួរឈរ" ។ នៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ "ស្មុគស្មាញ" បែបនេះ ពិតណាស់ គ្មានអាគុយម៉ង់ជំនួយ (u¸v ។ លំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

. នៅទីនេះ ប្រតិបត្តិការប្រាំត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ "x" ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃ "y" នោះគឺជាសមាសភាពនៃមុខងារចំនួនប្រាំកើតឡើង: "ខាងក្រៅ" (ចុងក្រោយនៃពួកគេ) - អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល - អ៊ី ; បន្ទាប់មកនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសគឺជាច្បាប់អំណាច។ (♦) ២ ; បាបកម្មត្រីកោណមាត្រ (); អំណាច។ () 3 និងចុងក្រោយលោការីត ln.()។ ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនឹង "សម្លាប់សត្វស្លាបមួយគូដោយថ្មតែមួយ"៖ យើងនឹងអនុវត្តការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ និងបន្ថែមតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម។ ដូច្នេះ៖

4. សម្រាប់មុខងារថាមពល - y \u003d x α - សរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើ "អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន" ដ៏ល្បីល្បាញ - b \u003d e ln b - ក្នុងទម្រង់ x α \u003d x α ln x យើងទទួលបាន

5. សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបំពាន ដោយប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នា យើងនឹងមាន

6. សម្រាប់អនុគមន៍លោការីតតាមអំពើចិត្ត ដោយប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី យើងទទួលបានជាបន្តបន្ទាប់

.

7. ដើម្បីបែងចែកតង់សង់ (កូតង់សង់) យើងប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតង់សង់៖

ដើម្បីទទួលបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស យើងប្រើទំនាក់ទំនងដែលពេញចិត្តដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាសមកវិញពីរ នោះគឺជាអនុគមន៍φ (x) និង f (x) ដែលតភ្ជាប់ដោយទំនាក់ទំនង៖

នេះគឺជាសមាមាត្រ

វាមកពីរូបមន្តនេះសម្រាប់មុខងារច្រាសទៅវិញទៅមក

និង
,

នៅទីបញ្ចប់ យើងសង្ខេបទាំងនេះ និងមួយចំនួនផ្សេងទៀត គ្រាន់តែជាដេរីវេទីវ័រដែលទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួល ក្នុងតារាងខាងក្រោម។

ប្រសិនបើ ក g(x) និង f(យូ) គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេរៀងៗខ្លួននៅចំណុច xនិង យូ= g(x), បន្ទាប់មកមុខងារស្មុគ្រស្មាញក៏ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចដែរ។ xហើយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

កំហុសធម្មតាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើនិស្សន្ទវត្ថុគឺការផ្ទេរច្បាប់ដោយស្វ័យប្រវត្តិសម្រាប់ការបែងចែកមុខងារសាមញ្ញទៅជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ យើងនឹងរៀនជៀសវាងកំហុសនេះ។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំណោះស្រាយខុស៖គណនាលោការីតធម្មជាតិនៃពាក្យនីមួយៗក្នុងតង្កៀប និងស្វែងរកផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ៖ជាថ្មីម្តងទៀតយើងកំណត់ថាតើ "ផ្លែប៉ោម" នៅឯណាហើយ "សាច់ minced" នៅឯណា។ នៅទីនេះ លោការីតធម្មជាតិនៃកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបគឺ "ផ្លែប៉ោម" នោះគឺជាមុខងារនៅលើអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម។ យូហើយកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបគឺ "សាច់ minced" នោះគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម យូដោយអថេរឯករាជ្យ x.

បន្ទាប់មក (ដោយប្រើរូបមន្ត 14 ពីតារាងដេរីវេ)

នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើន កន្សោមជាមួយលោការីតមានភាពស្មុគស្មាញជាងនេះបន្តិច ដែលជាមូលហេតុមានមេរៀន

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំណោះស្រាយខុស៖

ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ។ជាថ្មីម្តងទៀតយើងកំណត់កន្លែងដែល "ផ្លែប៉ោម" និងកន្លែងដែល "សាច់ minced" ។ នៅទីនេះ កូស៊ីនុសនៃកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀប (រូបមន្តទី 7 ក្នុងតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ) គឺ "ផ្លែប៉ោម" វាត្រូវបានចម្អិនក្នុងរបៀបទី 1 ប៉ះពាល់តែវា និងកន្សោមក្នុងតង្កៀប (ដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រ - លេខ 3 នៅក្នុង តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ) គឺ "សាច់ minced" វាត្រូវបានចម្អិនក្នុងរបៀបទី 2 ប៉ះពាល់តែវាប៉ុណ្ណោះ។ ហើយដូចរាល់ដង យើងភ្ជាប់និស្សន្ទវត្ថុពីរជាមួយនឹងសញ្ញាផលិតផល។ លទ្ធផល៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតស្មុគ្រស្មាញគឺជាកិច្ចការញឹកញាប់ក្នុងការធ្វើតេស្ត ដូច្នេះយើងសូមណែនាំយ៉ាងមុតមាំឱ្យអ្នកចូលមើលមេរៀន "ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត"។

ឧទាហរណ៍ដំបូងគឺសម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ដែលអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមលើអថេរឯករាជ្យគឺជាមុខងារសាមញ្ញ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង វាច្រើនតែតម្រូវឱ្យស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ដែលអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមានមុខងារបែបនេះ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីបែបនេះ? ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារបែបនេះដោយប្រើតារាង និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ នៅពេលដែលដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមត្រូវបានរកឃើញ វាត្រូវបានជំនួសដោយសាមញ្ញនៅកន្លែងត្រឹមត្រូវក្នុងរូបមន្ត។ ខាងក្រោម​នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ពីរ​នៃ​របៀប​ដែល​វា​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ។

លើសពីនេះទៀតវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើមុខងារស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានតំណាងថាជាខ្សែសង្វាក់នៃមុខងារបី

បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុរបស់វាគួរតែត្រូវបានរកឃើញថាជាផលិតផលនៃដេរីវេនៃមុខងារនីមួយៗទាំងនេះ៖

កិច្ចការផ្ទះជាច្រើនរបស់អ្នកអាចតម្រូវឱ្យអ្នកបើកការបង្រៀននៅក្នុងបង្អួចថ្មី។ សកម្មភាពដោយអំណាច និងឫសគល់និង សកម្មភាពជាមួយប្រភាគ .

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ដោយមិនភ្លេចថានៅក្នុងលទ្ធផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុ អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ xមិនផ្លាស់ប្តូរ៖

យើងរៀបចំកត្តាទីពីរនៃផលិតផល ហើយអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖

ពាក្យទីពីរគឺឫស ដូច្នេះ

ដូច្នេះ វាត្រូវបានទទួលថា អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ដែលជាផលបូក មានមុខងារស្មុគ្រស្មាញជាពាក្យមួយ៖ និទស្សន្តគឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ហើយអ្វីដែលត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពល គឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយអថេរឯករាជ្យ។ x.

ដូច្នេះ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញម្តងទៀត៖

យើងបំប្លែងកម្រិតនៃកត្តាទីមួយទៅជាឫស ហើយការបែងចែកកត្តាទីពីរ យើងកុំភ្លេចថាដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ៖

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដែលត្រូវការដើម្បីគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលត្រូវការក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ y:

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំបូងយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលបូក៖

ទទួលបានផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញពីរ។ ស្វែងរកទីមួយ៖

នៅទីនេះ ការបង្កើនស៊ីនុសទៅជាថាមពលគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយស៊ីនុសខ្លួនឯងគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមនៅក្នុងអថេរឯករាជ្យ។ x. ដូច្នេះ យើង​ប្រើ​ក្បួន​នៃ​ការ​បែងចែក​មុខងារ​ស្មុគស្មាញ​តាម​ផ្លូវ ដកមេគុណចេញពីតង្កៀប :

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញពាក្យទីពីរពីពាក្យដែលបង្កើតបានជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ y:

នៅទីនេះ ការបង្កើនកូស៊ីនុសទៅជាថាមពលគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ fហើយកូស៊ីនុសខ្លួនវាគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ x. ជាថ្មីម្តងទៀត យើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ៖

លទ្ធផលគឺដេរីវេដែលត្រូវការ៖

តារាងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយចំនួន

សម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍សាមញ្ញមានទម្រង់ផ្សេងគ្នា។

1. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលស្មុគ្រស្មាញ, ដែលជាកន្លែងដែល យូ x
2. ដេរីវេនៃឫសនៃកន្សោម
3. ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
4. ករណីពិសេសនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
5. ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតដែលមានមូលដ្ឋានវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត ក
6. ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតស្មុគស្មាញ ដែលជាកន្លែងដែល យូគឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់ x
7. ដេរីវេនៃស៊ីនុស
8. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស
9. ដេរីវេនៃតង់សង់
10. ដេរីវេនៃកូតង់សង់
11. ដេរីវេនៃ arcsine
12. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសធ្នូ
13. ដេរីវេនៃតង់សង់ធ្នូ
14. ដេរីវេនៃតង់សង់បញ្ច្រាស

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយមិនមានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាវា។ និស្សន្ទវត្ថុគឺជាគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ តើអ្វីជាអត្ថន័យរូបវន្ត និងធរណីមាត្ររបស់វា របៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?

ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) ផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន (a, ខ) . ចំនុច x និង x0 ជារបស់ចន្លោះនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចពីរ។ និយមន័យដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។

បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:

តើអ្វីជាចំណុចក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់បែបនេះ? ប៉ុន្តែមួយណា៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃផ្លូវគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។

ពិតហើយ តាំងពីនៅរៀនមក គ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវឯកជន។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖

ដើម្បីដឹងពីល្បឿននៃចលនាក្នុងពេលតែមួយ t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖

ច្បាប់ទីមួយ៖ ដកចំនួនថេរចេញ

ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវតែធ្វើ។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកជាក្បួន ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញមតិ ត្រូវប្រាកដថាធ្វើឱ្យសាមញ្ញ .

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖

វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ការសម្រេចចិត្ត៖

នៅទីនេះវាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនានៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​ខាង​លើ យើង​ជួប​នឹង​កន្សោម៖

ក្នុងករណីនេះ អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ដល់ថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ជាដំបូងយើងពិចារណាពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាទាក់ទងទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។

វិធានទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖

យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រយ័ត្នពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយការគ្រប់គ្រងដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយកិច្ចការនានា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុពីមុនមកក៏ដោយ។

និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេលោការីត។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

យើងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេសនៃភាពខុសគ្នារបស់យើង។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលគ្របដណ្ដប់ ពិចារណាអំពីនិស្សន្ទវត្ថុដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ហើយក៏ទទួលបានស្គាល់នូវល្បិច និងល្បិចថ្មីៗសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេវ ជាពិសេសជាមួយនឹងដេរីវេលោការីត។

អ្នកអានទាំងនោះដែលមានកម្រិតនៃការរៀបចំទាបគួរតែសំដៅទៅលើអត្ថបទ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ? ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនជំនាញរបស់អ្នកស្ទើរតែពីដំបូង។ បន្ទាប់អ្នកត្រូវសិក្សាទំព័រដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញយល់និងដោះស្រាយ ទាំងអស់។ឧទាហរណ៍ដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យ។ មេរៀននេះគឺជាតក្កវិជ្ជាទីបីជាប់ៗគ្នា ហើយបន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកនឹងបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញដោយភាពជឿជាក់ខុសគ្នា។ វាមិនគួរឱ្យចង់នៅជាប់នឹងទីតាំង "កន្លែងណាទៀត? បាទ ហើយវាគ្រប់គ្រាន់ហើយ!” ចាប់តាំងពីឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានយកចេញពីការធ្វើតេស្តពិតប្រាកដ ហើយជាញឹកញាប់ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយពាក្យដដែលៗ។ នៅលើមេរៀន ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញយើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សាការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា អ្នកនឹងត្រូវបែងចែកភាពខុសគ្នាជាញឹកញាប់ ហើយវាមិនតែងតែងាយស្រួល (និងមិនតែងតែចាំបាច់) ដើម្បីគូរឧទាហរណ៍ឱ្យបានលម្អិតនោះទេ។ ដូច្នេះ យើងនឹងអនុវត្តក្នុងការស្វែងរកផ្ទាល់មាត់នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ "បេក្ខជន" ដែលសមរម្យបំផុតសម្រាប់ការនេះគឺជាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញបំផុត ឧទាហរណ៍៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ :

នៅពេលសិក្សាប្រធានបទផ្សេងទៀតនៃម៉ាតាននាពេលអនាគត កំណត់ត្រាលម្អិតបែបនេះច្រើនតែមិនត្រូវបានទាមទារទេ វាត្រូវបានគេសន្មត់ថាសិស្សអាចស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុស្រដៀងគ្នានៅលើ autopilot ។ សូមស្រមៃថានៅម៉ោង 3 ទៀបភ្លឺ ទូរស័ព្ទបានបន្លឺឡើង ហើយសំឡេងដ៏រីករាយមួយបានសួរថា "តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃតង់សង់នៃ x ពីរ?" ។ នេះគួរតែត្រូវបានធ្វើតាមដោយការឆ្លើយតបស្ទើរតែភ្លាមៗ និងគួរសម៖ .

ឧទាហរណ៍ទីមួយនឹងត្រូវបានបម្រុងទុកភ្លាមៗសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុខាងក្រោមដោយផ្ទាល់មាត់ ក្នុងជំហានមួយ ឧទាហរណ៍៖ . ដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើ តារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម(ប្រសិនបើនាងមិនទាន់ចងចាំ) ។ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានមេរៀនឡើងវិញ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ

បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ជាមួយឯកសារភ្ជាប់ 3-4-5 នៃមុខងារនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនឹងហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានគេយល់ (មាននរណាម្នាក់ទទួលរង) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រឹមត្រូវ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគ។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំរំលឹកអ្នកអំពីល្បិចដ៏មានប្រយោជន៍មួយ៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍ "x" ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួសតម្លៃនេះទៅជា "កន្សោមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។

1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោម ដូច្នេះផលបូកគឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត។

២) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖

4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:

5) នៅជំហានទី 5 ភាពខុសគ្នា:

៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖

រូបមន្តភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖

ហាក់ដូចជាគ្មានកំហុស...

(1) យើងយកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។

(2) យើងយកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន

(3) ដេរីវេនៃបីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រ (គូប) ។

(4) យើងយកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។

(5) យើងយកដេរីវេនៃលោការីត។

(6) ជាចុងក្រោយ យើងយកដេរីវេនៃសំបុកជ្រៅបំផុត។

វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍សូមយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តក្នុងការស្តាប់នូវភាពទាក់ទាញនិងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់រឿងស្រដៀងគ្នានៅពេលប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ព័ត៌មានជំនួយ: ដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់នៃលីនេអ៊ែរនិងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដល់ពេលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលតូច និងស្អាតជាងមុន។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ស្ថានភាពដែលផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែមុខងារបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍មួយ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃផលនៃកត្តាបី?

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដំបូងយើងមើលទៅ ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល នោះយើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។

ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល ពីរដង

ល្បិចគឺថាសម្រាប់ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងសម្រាប់ "ve" - ​​លោការីត: ។ ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើមែនទេ? - នេះមិនមែនជាផលនៃកត្តាពីរ ហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ តង្កៀប៖

អ្នកនៅតែអាចបង្ខូច និងយកអ្វីមួយចេញពីតង្កៀប ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។

ឧទាហរណ៍ខាងលើអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីដំបូង។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចទៅតាមវិធីជាច្រើន៖

ឬដូចនេះ៖

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួមប្រសិនបើដំបូងយើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតា យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖

ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលក្នុងទម្រង់នេះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេល គួរតែពិនិត្យមើលសេចក្តីព្រាងជានិច្ច ប៉ុន្តែតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រួលចម្លើយ? យើងនាំយកកន្សោមនៃភាគយកទៅជាភាគបែងរួម និង កម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់:

គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃបច្ចេកទេសក្នុងការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយដោយប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ៖

ប៉ុន្តែជំហានដំបូងបំផុតធ្វើឱ្យអ្នកធ្លាក់ចូលទៅក្នុងភាពអស់សង្ឃឹមភ្លាមៗ - អ្នកត្រូវតែទទួលយកដេរីវេមិនរីករាយនៃសញ្ញាបត្រប្រភាគ ហើយបន្ទាប់មកក៏មកពីប្រភាគផងដែរ។

ដូច្នេះ ពីមុនតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកដេរីវេនៃលោការីត "ពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់" វាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញពីមុនដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសាលាល្បី:

! ប្រសិនបើអ្នកមានសៀវភៅកត់ត្រាលំហាត់ដែលងាយស្រួល សូមចម្លងរូបមន្តទាំងនេះនៅទីនោះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមានសៀវភៅកត់ត្រាទេ សូមគូរវានៅលើក្រដាសមួយ ព្រោះឧទាហរណ៍ដែលនៅសល់នៃមេរៀននឹងវិលជុំវិញរូបមន្តទាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានបង្កើតដូចនេះ៖

តោះផ្លាស់ប្តូរមុខងារ៖

យើងរកឃើញដេរីវេ៖

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃមុខងារដោយខ្លួនវាផ្ទាល់បានធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ ដូច្នេះ នៅពេលដែលលោការីតស្រដៀងគ្នាត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យ "បំបែកវាចុះ" ជានិច្ច។

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួនសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការបំប្លែង និងចម្លើយទាំងអស់នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដេរីវេលោការីត

ប្រសិនបើដេរីវេនៃលោការីតគឺជាតន្ត្រីដ៏ផ្អែមល្ហែម នោះសំណួរកើតឡើង តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងករណីខ្លះដើម្បីរៀបចំលោការីតសិប្បនិម្មិត? អាច! និងសូម្បីតែចាំបាច់។

ឧទាហរណ៍ 11

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាដែលយើងបានពិចារណានាពេលថ្មីៗនេះ។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? គេអាចអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នូវច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតានិក ហើយបន្ទាប់មកក្បួននៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល។ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាអ្នកទទួលបានប្រភាគបីជាន់ដ៏ធំ ដែលអ្នកមិនចង់ដោះស្រាយទាល់តែសោះ។

ប៉ុន្តែ​តាម​ទ្រឹស្តី និង​ការអនុវត្ត​មាន​រឿង​អស្ចារ្យ​ដូច​ជា​ដេរីវេ​លោការីត។ លោការីតអាចត្រូវបានរៀបចំដោយសិប្បនិម្មិតដោយ "ព្យួរ" វានៅលើភាគីទាំងពីរ:

ចំណាំ ៖ ដោយសារតែ មុខងារអាចយកតម្លៃអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនិយាយជាទូទៅ អ្នកត្រូវប្រើម៉ូឌុល៖ ដែលបាត់ជាលទ្ធផលនៃភាពខុសគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការរចនាបច្ចុប្បន្នក៏អាចទទួលយកបានដែរ ដែលតាមលំនាំដើម ស្មុគស្មាញតម្លៃ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានភាពម៉ត់ចត់ទាំងអស់នោះ ក្នុងករណីទាំងពីរ ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការកក់ទុកជាមុនសិន.

ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវ "បំបែក" លោការីតនៃផ្នែកខាងស្តាំឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន (រូបមន្តនៅពីមុខភ្នែករបស់អ្នក?) ខ្ញុំនឹងពណ៌នាអំពីដំណើរការនេះយ៉ាងលម្អិត៖

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា។
យើងបញ្ចប់ផ្នែកទាំងពីរដោយជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖

ដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំគឺសាមញ្ញណាស់ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើវាទេព្រោះប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះអ្នកគួរតែអាចដោះស្រាយវាដោយទំនុកចិត្ត។

ចុះផ្នែកខាងឆ្វេងវិញ?

នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងមាន មុខងារស្មុគស្មាញ. ខ្ញុំបានទាយសំណួរថា "ហេតុអ្វីបានជាមានអក្សរ "y" នៅក្រោមលោការីត?"

ការពិតគឺថា "អក្សរមួយ y" - គឺជាមុខងារមួយនៅក្នុងខ្លួន(ប្រសិនបើវាមិនច្បាស់ទេ សូមមើលអត្ថបទដេរីវេនៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល)។ ដូច្នេះលោការីតគឺជាមុខងារខាងក្រៅ ហើយ "y" គឺជាមុខងារខាងក្នុង។ ហើយ​យើង​ប្រើ​ច្បាប់​បែងចែក​មុខងារ​ផ្សំ :

នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង ដូច​ជា​ដោយ​វេទមន្ត យើង​មាន​ដេរីវេ។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមក្បួនសមាមាត្រយើងបោះ "y" ពីភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងទៅផ្នែកខាងលើនៃផ្នែកខាងស្តាំ:

ហើយឥឡូវនេះយើងចាំថាប្រភេទនៃ "ហ្គេម" - មុខងារដែលយើងបាននិយាយនៅពេលខុសគ្នា? តោះមើលលក្ខខណ្ឌ៖

ចម្លើយចុងក្រោយ៖

ឧទាហរណ៍ 12

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ការរចនាគំរូនៃឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដោយមានជំនួយពីដេរីវេលោការីត វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ 4-7 រឿងមួយទៀតគឺថាមុខងារនៅទីនោះគឺសាមញ្ញជាង ហើយប្រហែលជាការប្រើប្រាស់ដេរីវេលោការីតគឺមិនសមហេតុផលខ្លាំងណាស់។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

យើងមិនទាន់បានពិចារណាមុខងារនេះនៅឡើយទេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាអនុគមន៍ដែលមាន ហើយកម្រិតនិងមូលដ្ឋានអាស្រ័យលើ "x". ឧទាហរណ៍បុរាណដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយឬការបង្រៀនណាមួយ:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល?

វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើបច្ចេកទេសដែលបានពិចារណា - ដេរីវេលោការីត។ យើងព្យួរលោការីតទាំងសងខាង៖

តាមក្បួនមួយដឺក្រេត្រូវបានយកចេញពីក្រោមលោការីតនៅខាងស្តាំ៖

ជាលទ្ធផល នៅផ្នែកខាងស្តាំយើងមានផលិតផលនៃមុខងារពីរ ដែលនឹងត្រូវបែងចែកទៅតាមរូបមន្តស្តង់ដារ។ .

យើងរកឃើញដេរីវេ សម្រាប់ការនេះ យើងភ្ជាប់ផ្នែកទាំងពីរនៅក្រោមជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល៖

ជំហានបន្ទាប់គឺងាយស្រួល៖

ទីបំផុត៖

ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួនមិនច្បាស់ទាំងស្រុង សូមអានឡើងវិញនូវការពន្យល់នៃឧទាហរណ៍ទី 11 ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។

នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនឹងតែងតែមានភាពស្មុគស្មាញជាងឧទាហរណ៍ការបង្រៀនដែលបានពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ 13

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងប្រើដេរីវេលោការីត។

នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងមានថេរនិងផលគុណនៃកត្តាពីរ - "x" និង "លោការីតលោការីត x" (លោការីតមួយទៀតត្រូវបានដាក់នៅក្រោមលោការីត) ។ នៅពេលដែលបែងចែកថេរមួយ ដូចដែលយើងចងចាំ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការយកវាចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗ ដើម្បីកុំឱ្យវាចូលទៅក្នុងផ្លូវ។ ហើយជាការពិតណាស់ អនុវត្តច្បាប់ដែលធ្លាប់ស្គាល់ :

មុខងារស្មុគស្មាញមិនតែងតែសមនឹងនិយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញនោះទេ។ ប្រសិនបើមានមុខងារនៃទម្រង់ y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 នោះវាមិនអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេមិនដូច y \u003d sin 2 x ។

អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញពីគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងការកំណត់អត្តសញ្ញាណរបស់វា។ ចូរយើងធ្វើការជាមួយរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន។ ការប្រើប្រាស់តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាយ៉ាងសំខាន់កាត់បន្ថយពេលវេលាក្នុងការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

និយមន័យមូលដ្ឋាន

និយមន័យ ១

អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ក៏ជាមុខងារផងដែរ។

វាត្រូវបានតាងតាមវិធីនេះ៖ f (g (x)) ។ យើងមានថាអនុគមន៍ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអាគុយម៉ង់ f (g (x)) ។

និយមន័យ ២

ប្រសិនបើមានអនុគមន៍ f និងជាអនុគមន៍កូតង់សង់ នោះ g(x) = ln x គឺជាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិ។ យើងទទួលបានថាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ f (g (x)) នឹងត្រូវបានសរសេរជា arctg (lnx) ។ ឬអនុគមន៍ f ដែលជាអនុគមន៍ដែលលើកទៅថាមពលទី 4 ដែល g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍សនិទានទាំងមូល យើងទទួលបាន f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x − 3) ៤.

ជាក់ស្តែង g(x) អាចជាល្បិច។ ពីឧទាហរណ៍ y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាតម្លៃនៃ g មានឫសគូបជាមួយប្រភាគ។ កន្សោមនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា y = f (f 1 (f 2 (x))) ។ តើនៅពេលណាដែលយើងមាន f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ f 1 គឺជាអនុគមន៍ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមឫសការ៉េ f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 គឺជាអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។

និយមន័យ ៣

កម្រិតនៃការដាក់សំបុកត្រូវបានកំណត់ដោយលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយត្រូវបានសរសេរជា y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) ។

និយមន័យ ៤

គោលគំនិតនៃសមាសភាពមុខងារ សំដៅលើចំនួននៃអនុគមន៍ដែលបានដាក់ដោយយោងទៅលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = (2 x + 1) 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត

តាមអនុសញ្ញា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) = 2 x + 1 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។

យើងអនុវត្តរូបមន្តដេរីវេសម្រាប់មុខងារស្មុគស្មាញ ហើយសរសេរ៖

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2(g (x)) 2 − 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេដែលមានទម្រង់សាមញ្ញនៃមុខងារដំបូង។ យើង​ទទួល​បាន:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​មាន​នោះ។

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 − 1 = 8 x + 4

លទ្ធផលត្រូវគ្នា។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលមុខងារនៃទម្រង់ f និង g (x) នឹងស្ថិតនៅ។

ឧទាហរណ៍ ២

អ្នកគួរតែស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y \u003d sin 2 x និង y \u003d sin x 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ធាតុទីមួយនៃអនុគមន៍និយាយថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 − 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

ធាតុទីពីរបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ g (x) = x 2 បង្ហាញពីអនុគមន៍ថាមពល។ វាដូចខាងក្រោមដែលផលិតផលនៃមុខងារស្មុគស្មាញអាចត្រូវបានសរសេរជា

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) នឹងត្រូវបានសរសេរជា y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) ។ (... ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) f 2 "(f 3 (... ))))។ . . f n "(x)

ឧទាហរណ៍ ៣

រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ។

ការសម្រេចចិត្ត

ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីភាពស្មុគស្មាញនៃការសរសេរ និងកំណត់ទីតាំងនៃមុខងារ។ បន្ទាប់មក y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) បញ្ជាក់ ដែល f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស មុខងារ នៃការកើនឡើងដល់ 3 ដឺក្រេ អនុគមន៍ដែលមានលោការីត និងអ៊ីមូលដ្ឋាន មុខងារនៃតង់ហ្សង់ធ្នូ និងលីនេអ៊ែរមួយ។

ពីរូបមន្តសម្រាប់និយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញ យើងមាននោះ។

y "= f"(f 1(f 2(f 3(f 4(x))))))f 1"(f 2(f 3(f 4(x)))))f 2"(f 3(f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

ទទួលបានអ្វីដែលត្រូវស្វែងរក

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ជាដេរីវេនៃស៊ីនុសនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ បន្ទាប់មក f"(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ។ )))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x))) ។
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល បន្ទាប់មក f 1"(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) ។
3. f 2"(f 3(f 4(x)))) ជាដេរីវេលោការីត បន្ទាប់មក f 2"(f 3(f 4(x)))) = 1 a r c t g (2 x) ។
4. f 3”(f 4 (x)) ជាដេរីវេនៃតង់សង់ធ្នូ បន្ទាប់មក f 3”(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 ។
5. នៅពេលរកឃើញដេរីវេ f 4 (x) \u003d 2 x យក 2 ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តគឺ 1 បន្ទាប់មក f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ។

យើងបញ្ចូលគ្នានូវលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម ហើយទទួលបាននោះ។

y "= f"(f 1(f 2(f 3(f 4(x))))))f 1"(f 2(f 3(f 4(x)))))f 2"(f 3(f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ការវិភាគនៃមុខងារបែបនេះប្រហាក់ប្រហែលនឹងតុក្កតាសំបុក។ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាមិនអាចតែងតែត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងច្បាស់លាស់ដោយប្រើតារាងដេរីវេទេ។ ជាញឹកញាប់អ្នកត្រូវអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

មានភាពខុសគ្នាខ្លះរវាងទិដ្ឋភាពស្មុគស្មាញ និងមុខងារស្មុគស្មាញ។ ជាមួយនឹងសមត្ថភាពច្បាស់លាស់ក្នុងការបែងចែកនេះ ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនឹងមានភាពងាយស្រួលជាពិសេស។

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើការនាំយកឧទាហរណ៍បែបនេះ។ ប្រសិនបើមានមុខងារនៃទម្រង់ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 នោះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 ។ . ជាក់ស្តែង ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ៖

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + ៣; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

អនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ ព្រោះវាមានផលបូក t g x 2 3 t g x និង 1 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ t g x 2 ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលនៃទម្រង់ g (x) \u003d x 2 និង f ដែលជាមុខងារនៃតង់សង់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះអ្នកត្រូវបែងចែកដោយបរិមាណ។ យើងទទួលបាននោះ។

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2)" + 3 cos 2 x

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

យើងទទួលបាន y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2)" + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

មុខងារស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយមុខងារស្មុគ្រស្មាញខ្លួនឯងអាចជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ស្មុគស្មាញ។

ឧទាហរណ៍ ៥

ឧទាហរណ៍ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

អនុគមន៍នេះអាចត្រូវបានតំណាងជា y = f (g (x)) ដែលតម្លៃនៃ f គឺជាមុខងារនៃលោការីតគោល 3 ហើយ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរនៃទម្រង់ h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 និង k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) ។ ជាក់ស្តែង y = f (h (x) + k (x)) ។

ពិចារណាមុខងារ h(x) ។ នេះគឺជាសមាមាត្រនៃ l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ទៅ m (x) = e x 2 + 3 3

យើងមានថា l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ n (x) = x 2 + 7 និង p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) ដែល p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)))) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលមានមេគុណលេខ 3 ហើយ p 1 គឺ a cube function, p 2 cosine function, p 3 (x) = 2 x + 1 - អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។

យើងបានរកឃើញថា m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ q (x) = e x 2 និង r (x) = 3 3 ដែល q (x) = q 1 ( q 2 (x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ q 1 ជាអនុគមន៍ដែលមាននិទស្សន្តមួយ q 2 (x) = x 2 ជាអនុគមន៍ថាមពល។

នេះបង្ហាញថា h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) ។ (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

នៅពេលឆ្លងទៅកន្សោមនៃទម្រង់ k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារត្រូវបានតំណាងជាស្មុគស្មាញ s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) ជាមួយចំនួនគត់ t (x) = x 2 + 1 ដែល s 1 ជាអនុគមន៍ការេ ហើយ s 2 (x) = ln x គឺជាលោការីតជាមួយនឹងគោល e .

វាដូចខាងក្រោមថាកន្សោមនឹងយកទម្រង់ k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) ។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

យោងតាមរចនាសម្ព័ន្ធនៃមុខងារ វាបានក្លាយទៅជាច្បាស់អំពីរបៀប និងរូបមន្តអ្វីខ្លះដែលត្រូវអនុវត្ត ដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិនៅពេលដែលវាខុសគ្នា។ ដើម្បីស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងបញ្ហាបែបនេះ និងដើម្បីយល់ពីដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ វាចាំបាច់ក្នុងការសំដៅទៅលើចំណុចនៃការបែងចែកមុខងារមួយ ពោលគឺការស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter