ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលជាអ្វី ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋានអ្នកអាចមើលវីដេអូបង្រៀនសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដូចគ្នាដោយចុច។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការពិពណ៌នានៃការងារចាំបាច់ទាំងអស់។ នេះនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហានេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ?
យកឧទាហរណ៍ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរខាងក្រោម៖
ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរនេះ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយយើង សរសេរម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធ។
ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីសនេះទៅជារាងត្រីកោណ។យើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ។ ហើយធាតុទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅក្រោម $a_(11)$ ត្រូវតែធ្វើឱ្យសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(21)$ អ្នកត្រូវដកលេខទីមួយចេញពីជួរទីពីរ ហើយសរសេរភាពខុសគ្នាក្នុងជួរទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(31)$ អ្នកត្រូវដកលេខទីមួយចេញពីជួរទីបី ហើយសរសេរភាពខុសគ្នានៅជួរទីបី។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(41)$ អ្នកត្រូវដកលេខទីមួយគុណនឹង 2 ចេញពីជួរទីបួន ហើយសរសេរភាពខុសគ្នាក្នុងជួរទីបួន។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(31)$ ដកលេខទីមួយគុណនឹង 2 ចេញពីជួរទីប្រាំ ហើយសរសេរភាពខុសគ្នាក្នុងជួរទីប្រាំ។ 
យើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយ និងទីពីរដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ។ ហើយធាតុទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅក្រោម $a_(22)$ ត្រូវតែធ្វើឱ្យសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(32)$ អ្នកត្រូវដកលេខទីពីរគុណនឹង 2 ពីជួរទីបី ហើយសរសេរភាពខុសគ្នានៅជួរទីបី។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(42)$ ចាំបាច់ត្រូវដកលេខទីពីរគុណនឹង 2 ចេញពីជួរទីបួន ហើយសរសេរភាពខុសគ្នាក្នុងជួរទីបួន។ ដើម្បីធ្វើលេខសូន្យជំនួសធាតុ $a_(52)$ ដកលេខទីពីរគុណនឹង 3 ចេញពីបន្ទាត់ទីប្រាំ ហើយសរសេរភាពខុសគ្នាក្នុងជួរទីប្រាំ។ 
យើងឃើញនោះ។ បីជួរចុងក្រោយគឺដូចគ្នា។ដូច្នេះ ប្រសិនបើអ្នកដកលេខទីបីចេញពីលេខទីបួន និងទីប្រាំ នោះពួកវានឹងក្លាយទៅជាសូន្យ។ 
សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនេះ។ សរសេរប្រព័ន្ធសមីការថ្មី។.
យើងឃើញថាយើងមានសមីការឯករាជ្យលីនេអ៊ែរតែបី និងមិនស្គាល់ចំនួនប្រាំ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនឹងមានវ៉ិចទ័រពីរ។ ដូច្នេះយើង ផ្លាស់ទីមិនស្គាល់ពីរចុងក្រោយទៅខាងស្តាំ.
ឥឡូវនេះ យើងចាប់ផ្តើមបង្ហាញពីការមិនស្គាល់ទាំងនោះដែលនៅផ្នែកខាងឆ្វេង តាមរយៈអ្នកដែលនៅខាងស្តាំ។ យើងចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការចុងក្រោយ ដំបូងយើងបង្ហាញ $x_3$ បន្ទាប់មកយើងជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការទីពីរ ហើយបង្ហាញ $x_2$ ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយនៅទីនេះយើងបង្ហាញ $x_1$ ។ ដូេចនះ េយើងបញញញញញញញញញញញញញញញញញញមមម មនុសសមិនេ្រកយ េƽយអងគមិន្រគប់្រគន់ែដរ។ 
បន្ទាប់ពីនោះ ជំនួសឱ្យ $x_4$ និង $x_5$ អ្នកអាចជំនួសលេខណាមួយ ហើយស្វែងរក $x_1$, $x_2$ និង $x_3$ ។ លេខទាំងប្រាំបែបនេះនឹងជាឫសគល់នៃប្រព័ន្ធសមីការដើមរបស់យើង។ ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុង FSRយើងត្រូវជំនួស 1 ជំនួសឱ្យ $x_4$ ហើយជំនួស 0 ជំនួសឱ្យ $x_5$ ស្វែងរក $x_1$, $x_2$ និង $x_3$ ហើយបន្ទាប់មកច្រាសមកវិញ $x_4=0$ និង $x_5=1$ ។
យើងនឹងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេស ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៅលើ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ.
យោងតាមកថាខណ្ឌទីមួយ សម្ភារៈអាចមើលទៅគួរឱ្យធុញ និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែចំណាប់អារម្មណ៍នេះគឺបោកបញ្ឆោត។ បន្ថែមពីលើបច្ចេកទេសអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀត នឹងមានព័ត៌មានថ្មីៗជាច្រើន ដូច្នេះសូមព្យាយាមកុំធ្វេសប្រហែសឧទាហរណ៍ក្នុងអត្ថបទនេះ។
តើអ្វីជាប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ?
ចម្លើយណែនាំខ្លួនឯង។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺដូចគ្នា ប្រសិនបើពាក្យសេរី គ្រប់គ្នាសមីការប្រព័ន្ធគឺសូន្យ។ ឧទាហរណ៍:
វាច្បាស់ណាស់ថា ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្របនោះគឺវាតែងតែមានដំណោះស្រាយ។ ហើយជាដំបូងនៃការទាំងអស់ដែលគេហៅថា តូចតាចដំណោះស្រាយ 
. Trivial សម្រាប់អ្នកដែលមិនយល់ពីអត្ថន័យនៃ adjective ទាល់តែសោះ មានន័យថា bespontovoe ។ មិនមែនជាការសិក្សាទេ ប៉ុន្តែដោយប្រាជ្ញា =)... ហេតុអ្វីបានជាវាយនៅជុំវិញគុម្ពោត ចូរយើងរកមើលថាតើប្រព័ន្ធនេះមានដំណោះស្រាយអ្វីផ្សេងទៀត៖
ឧទាហរណ៍ ១
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នាវាចាំបាច់ត្រូវសរសេរ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធហើយដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ ចំណាំថាមិនចាំបាច់សរសេររបារបញ្ឈរ និងជួរឈរសូន្យនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៅទីនេះទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ អ្វីដែលអ្នកធ្វើជាមួយសូន្យ ពួកគេនឹងនៅតែសូន្យ៖ 
(1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -3 ។
(2) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។
ការបែងចែកជួរទីបីដោយ 3 មិនមានន័យច្រើនទេ។
ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធដូចគ្នាត្រូវបានទទួល 
ហើយដោយអនុវត្តការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាដំណោះស្រាយគឺមានតែមួយគត់។
ចម្លើយ: 
ចូរយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យជាក់ស្តែងមួយ។៖ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមាន ដំណោះស្រាយតូចតាចតែប៉ុណ្ណោះ, ប្រសិនបើ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ(ក្នុងករណីនេះ 3) គឺស្មើនឹងចំនួនអថេរ (ក្នុងករណីនេះ 3 pcs ។ )
យើងកម្តៅខ្លួន និងសម្រួលវិទ្យុរបស់យើងទៅនឹងរលកនៃការបំប្លែងបឋម៖
ឧទាហរណ៍ ២
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ 
ដើម្បីជួសជុល algorithm ជាចុងក្រោយ ចូរយើងវិភាគកិច្ចការចុងក្រោយ៖
ឧទាហរណ៍ ៧
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នា សរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។ 
ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម យើងនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖ 
(1) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្ញុំទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះបច្ចេកទេសដែលបានជួបម្តងហើយម្តងទៀត ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើឱ្យសកម្មភាពខាងក្រោមកាន់តែងាយស្រួល។
(1) ខ្សែទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 2 និងទី 3 ។ ជួរទីមួយគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទី 4 ។
(3) បន្ទាត់បីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ពីរក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានដកចេញ។
ជាលទ្ធផល ម៉ាទ្រីសជំហានស្ដង់ដារមួយត្រូវបានទទួល ហើយដំណោះស្រាយបន្តនៅតាមបណ្តោយផ្លូវ knurled៖
- អថេរមូលដ្ឋាន;
គឺជាអថេរឥតគិតថ្លៃ។
យើងបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ។ ពីសមីការទី ២៖
- ជំនួសក្នុងសមីការទី១៖
ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖
ដោយសារមានអថេរឥតគិតថ្លៃចំនួនបីនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានមានវ៉ិចទ័របី។
ចូរយើងជំនួសតម្លៃបីដង 
ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ និងទទួលបានវ៉ិចទ័រដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នា។ ហើយម្តងទៀត ខ្ញុំសូមនិយាយម្តងទៀតថា វាជាការចង់ពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រនីមួយៗដែលបានទទួល - វានឹងមិនចំណាយពេលច្រើននោះទេ ប៉ុន្តែវានឹងជួយសន្សំសំចៃមួយរយភាគរយពីកំហុស។
សម្រាប់តម្លៃបីដង 
ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ
ហើយចុងក្រោយសម្រាប់បីដង 
យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រទីបី៖
ចម្លើយ: , កន្លែងណា
អ្នកដែលចង់ជៀសវាងតម្លៃប្រភាគអាចពិចារណាបី 
ហើយទទួលបានចម្លើយក្នុងទម្រង់សមមូល៖
និយាយអំពីប្រភាគ។ សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានក្នុងបញ្ហា 
ហើយសួរសំណួរ - តើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតទេ? បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់ នៅទីនេះដំបូងយើងបានបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគ បន្ទាប់មកអថេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគ ហើយខ្ញុំត្រូវតែនិយាយថាដំណើរការនេះមិនមែនជាការងាយស្រួលបំផុត និងមិនមែនជាការរីករាយបំផុតនោះទេ។
ដំណោះស្រាយទីពីរ:
គំនិតគឺដើម្បីព្យាយាម ជ្រើសរើសអថេរមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត។. សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីស ហើយកត់សំគាល់ពីរនៅក្នុងជួរទីបី។ ដូច្នេះហេតុអ្វីបានជាមិនទទួលបានសូន្យនៅកំពូល? ចូរធ្វើការបំប្លែងបឋមមួយទៀត៖
ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្រប និងមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ 
. ដើម្បីឱ្យមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ វាចាំបាច់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស 
តិចជាងចំនួនមិនស្គាល់៖
.
ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋាន
ប្រព័ន្ធដូចគ្នា។ 
ហៅប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ជាវ៉ិចទ័រជួរឈរ 
ដែលត្រូវនឹងមូលដ្ឋាន Canonical i.e. មូលដ្ឋានដែលអថេរបំពាន 
ត្រូវបានកំណត់ឆ្លាស់គ្នាស្មើនឹងមួយ ខណៈពេលដែលសល់ត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ។
បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នាមានទម្រង់៖
កន្លែងណា 
គឺជាអថេរបំពាន។ ម៉្យាងទៀត ដំណោះស្រាយទូទៅ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នា លីនេអ៊ែរ នៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានអាចទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅ ប្រសិនបើការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃត្រូវបានផ្តល់ជាតម្លៃនៃការរួបរួម ដោយសន្មតថាអ្នកផ្សេងទៀតទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។
ឧទាហរណ៍. ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ
យើងទទួលយក បន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់៖
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ៖
.
ដំណោះស្រាយទូទៅអាចសរសេរជា៖
ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
ម៉្យាងទៀតការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយទៅនឹងប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺជាដំណោះស្រាយម្តងទៀត។
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss
ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរបានចាប់អារម្មណ៍ចំពោះគណិតវិទូជាច្រើនសតវត្សមកហើយ។ លទ្ធផលដំបូងត្រូវបានទទួលនៅសតវត្សទី XVIII ។ នៅឆ្នាំ 1750 G. Kramer (1704–1752) បានបោះពុម្ពស្នាដៃរបស់គាត់លើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ ហើយបានស្នើរក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ នៅឆ្នាំ 1809 លោក Gauss បានគូសបញ្ជាក់អំពីវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយថ្មីមួយដែលគេស្គាល់ថាជាវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់។
វិធីសាស្រ្ត Gauss ឬវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់មាននៅក្នុងការពិតដែលថាដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលនៃទម្រង់ជំហាន (ឬត្រីកោណ) ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកភាពមិនស្គាល់ទាំងអស់ជាប់លាប់ក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។
ឧបមាថានៅក្នុងប្រព័ន្ធ (1) 
(ដែលតែងតែអាចធ្វើទៅបាន) ។
(1)
គុណសមីការទីមួយនៅក្នុងវេនដោយអ្វីដែលគេហៅថា លេខសមរម្យ
ហើយការបន្ថែមលទ្ធផលនៃការគុណជាមួយនឹងសមីការដែលត្រូវគ្នានៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូល ដែលសមីការទាំងអស់ លើកលែងតែលេខទីមួយនឹងមិនស្គាល់។ X 1
(2)
ឥឡូវនេះយើងគុណសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (2) ដោយលេខសមរម្យដោយសន្មតថា 
,
ហើយបន្ថែមវាទៅកម្រិតទាប យើងលុបបំបាត់អថេរ 
នៃសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីបី។
បន្តដំណើរការនេះបន្ទាប់ពី 
ជំហានដែលយើងទទួលបាន៖
(3)
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយ។ 
មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះសមភាពដែលត្រូវគ្នាគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ហើយប្រព័ន្ធ (1) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ផ្ទុយទៅវិញ សម្រាប់ប្រព័ន្ធលេខរួមណាមួយ។ 
គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ចំនួន 
គ្មានអ្វីក្រៅពីចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ (1) ។
ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធ (1) ទៅ (3) ត្រូវបានគេហៅថា នៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ វិធីសាស្រ្ត Gaussian និងការស្វែងរកមិនស្គាល់ពី (3) - ថយក្រោយ .
មតិយោបល់ ៖ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែង មិនមែនជាមួយនឹងសមីការខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ (1)។
ឧទាហរណ៍. ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ
.
ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
.
ចូរបន្ថែមទៅបន្ទាត់ 2,3,4 ទីមួយគុណនឹង (-2), (-3), (-2) រៀងគ្នា៖
.
ចូរប្តូរជួរទី 2 និងទី 3 បន្ទាប់មកក្នុងម៉ាទ្រីសលទ្ធផល បន្ថែមជួរទី 2 ទៅជួរទី 4 ដោយគុណនឹង 
:
.
បន្ថែមទៅជួរទី 4 ជួរទី 3 គុណនឹង 
:
.
វាច្បាស់ណាស់។ 
ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺស្រប។ ពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ
យើងរកឃើញដំណោះស្រាយដោយការជំនួសបញ្ច្រាស៖
,
,
,
.
ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖
.
វាច្បាស់ណាស់ថាប្រព័ន្ធនេះគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា, ដោយសារតែ 
, ក 
.
គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss :
ចំណាយពេលតិចជាងវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។
បង្កើតភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធដោយមិនច្បាស់លាស់ និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយ។
ផ្តល់លទ្ធភាពក្នុងការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសណាមួយ។
សមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាប្រសិនបើស្ទាក់ចាប់របស់វាគឺសូន្យ ហើយមិនដូចគ្នាទេ។ ប្រព័ន្ធដែលមានសមីការដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា homogeneous និងមានទម្រង់ទូទៅ៖
ជាក់ស្តែង ប្រព័ន្ធដូចគ្នាណាមួយគឺស្រប និងមានដំណោះស្រាយសូន្យ (មិនសំខាន់)។ ដូច្នេះ ទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ ជារឿយៗគេត្រូវស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីអត្ថិភាពនៃដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។ ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះអាចត្រូវបានបង្កើតជាទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ . ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់របស់វាតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ .
ភស្តុតាង: ឧបមាថាប្រព័ន្ធដែលចំណាត់ថ្នាក់ស្មើគ្នាមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។ ជាក់ស្តែង មិនលើសពី។ ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ដោយសារប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នាតែងតែមានដំណោះស្រាយសូន្យ វាគឺជាដំណោះស្រាយសូន្យដែលនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់នេះ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយ nonzero គឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់តែ .
កូរ៉ូឡារី ១ : ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ ដែលចំនួនសមីការមានតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ តែងតែមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។
ភស្តុតាង: ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមាន នោះចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធមិនលើសពីចំនួនសមីការ ពោលគឺឧ។ . ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្តហើយ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។
លទ្ធផល ២ : ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការដែលមិនស្គាល់មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។
ភស្តុតាង: ឧបមាថាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលម៉ាទ្រីសជាមួយកត្តាកំណត់មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញ មានន័យថាម៉ាទ្រីសគឺ degenerate, i.e. .
ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli៖ SLE គឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធនេះ។ ប្រព័ន្ធ ur-th ត្រូវបានគេហៅថាត្រូវគ្នា ប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ.
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយអថេរ n ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា ប្រសិនបើពាក្យសេរីទាំងអស់ស្មើនឹង 0។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នាគឺតែងតែត្រូវគ្នា ពីព្រោះ វាតែងតែមានយ៉ាងហោចណាស់ដំណោះស្រាយសូន្យ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃមេទ្រីសនៃមេគុណរបស់វានៅអថេរគឺតិចជាងចំនួនអថេរ ពោលគឺឧ។ សម្រាប់ចំណាត់ថ្នាក់ A (n. បន្សំលីនេអ៊ែរណាមួយ។
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបន្ទាត់។ ដូចគ្នា ur-ii ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះផងដែរ។
ប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ e1, e2,…,ek ត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃដំណោះស្រាយលីនេអ៊ែរ។ ទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់ r នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណនៅអថេរនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរគឺតិចជាងចំនួនអថេរ n នោះប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយ n-r ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធបន្ទាត់។ នៅលីវ ur-th មានទម្រង់៖ c1e1+c2e2+…+ckek ដែល e1, e2,…, ek គឺជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយណាមួយ c1, c2,…,ck គឺជាលេខបំពាន និង k=n-r ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយអថេរ n គឺស្មើនឹងផលបូក
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានឹងវាគឺដូចគ្នា។ សមីការលីនេអ៊ែរ និងដំណោះស្រាយពិសេសតាមអំពើចិត្តនៃប្រព័ន្ធនេះ។
7. ចន្លោះលីនេអ៊ែរ។ ចន្លោះរង។ មូលដ្ឋាន, វិមាត្រ។ សែលលីនេអ៊ែរ។ ចន្លោះលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា n-វិមាត្រប្រសិនបើវាមានប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយប្រព័ន្ធណាមួយនៃវ៉ិចទ័រច្រើនគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ លេខត្រូវបានហៅ វិមាត្រ (ចំនួនវិមាត្រ)លំហលីនេអ៊ែរ និងត្រូវបានតំណាងដោយ . ម្យ៉ាងវិញទៀត វិមាត្រនៃលំហគឺជាចំនួនអតិបរមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៅក្នុងលំហនោះ។ ប្រសិនបើចំនួនបែបនេះមាន នោះលំហត្រូវបាននិយាយថាជាវិមាត្រកំណត់។ ប្រសិនបើសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ក្នុងលំហ មានប្រព័ន្ធមួយដែលមានវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះចន្លោះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាគ្មានកំណត់ (សរសេរ៖ )។ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់មក ចន្លោះដែលមានវិមាត្រកំណត់នឹងត្រូវបានពិចារណាលុះត្រាតែមានការបញ្ជាក់ផ្សេងទៀត។
មូលដ្ឋាននៃលំហលីនេអ៊ែរ n-dimensional គឺជាសំណុំលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ( វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន).
ទ្រឹស្តីបទ ៨.១ ស្តីពីការពង្រីកវ៉ិចទ័រក្នុងន័យមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើជាមូលដ្ឋាននៃលំហលីនេអ៊ែរ n-dimensional នោះវ៉ិចទ័រណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន៖
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ហើយលើសពីនេះទៅទៀត នៅក្នុងវិធីពិសេសមួយ គឺ i.e. មេគុណត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេស។ម្យ៉ាងវិញទៀត វ៉ិចទ័រអវកាសណាមួយអាចពង្រីកបានក្នុងមូលដ្ឋានមួយ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត តាមរបៀបតែមួយគត់។
ជាការពិតវិមាត្រនៃលំហគឺ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (នេះគឺជាមូលដ្ឋាន) ។ បន្ទាប់ពីភ្ជាប់វ៉ិចទ័រណាមួយទៅនឹងមូលដ្ឋាន យើងទទួលបានប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ (ចាប់តាំងពីប្រព័ន្ធនេះមានវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហ n-dimensional)។ ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យចំនួន 7 លីនេអ៊ែរ និងលីនេអ៊ែរ យើងទទួលបានសេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទ។
សូម្បីតែនៅសាលា យើងម្នាក់ៗបានសិក្សាសមីការ ហើយប្រាកដណាស់ ប្រព័ន្ធសមីការ។ ប៉ុន្តែមានមនុស្សមិនច្រើនទេដែលដឹងថាមានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយវា។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីវិធីសាស្រ្តទាំងអស់សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលមានសមភាពច្រើនជាងពីរ។
រឿង
សព្វថ្ងៃនេះគេដឹងថាសិល្បៈនៃការដោះស្រាយសមីការ និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេមានដើមកំណើតនៅបាប៊ីឡូន និងអេហ្ស៊ីបបុរាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពស្មើគ្នានៅក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់ពួកគេបានលេចឡើងបន្ទាប់ពីការលេចឡើងនៃសញ្ញាស្មើគ្នា "=" ដែលត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ 1556 ដោយកំណត់ត្រាគណិតវិទូអង់គ្លេស។ ដោយវិធីនេះសញ្ញានេះត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ហេតុផលមួយ: វាមានន័យថាពីរផ្នែកស្មើគ្នាប៉ារ៉ាឡែល។ ពិតហើយ គ្មានឧទាហរណ៍ល្អជាងនៃសមភាពទេ។
ស្ថាបនិកនៃការរចនាអក្សរទំនើបនៃការមិនស្គាល់ និងសញ្ញាសញ្ញាប័ត្រគឺជាគណិតវិទូជនជាតិបារាំង។ ទោះជាយ៉ាងណាការរចនារបស់គាត់មានភាពខុសគ្នាខ្លាំងពីសម័យបច្ចុប្បន្ន។ ជាឧទាហរណ៍ គាត់បានបង្ហាញពីការេនៃលេខដែលមិនស្គាល់ដោយអក្សរ Q (lat. "quadratus") និងគូបដែលមានអក្សរ C (lat. "cubus")។ ការកត់សម្គាល់ទាំងនេះហាក់ដូចជាឆ្គងឥឡូវនេះ ប៉ុន្តែនៅពេលនោះ វាគឺជាវិធីដែលអាចយល់បានបំផុតក្នុងការសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គុណវិបត្តិមួយនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយនៅពេលនោះ គឺអ្នកគណិតវិទូចាត់ទុកថាគ្រាន់តែជាឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ប្រហែលជានេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាតម្លៃអវិជ្ជមានមិនមានការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង។ មធ្យោបាយមួយ ឬវិធីមួយផ្សេងទៀត វាគឺជាគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano និង Rafael Bombelli ដែលជាអ្នកដំបូងគេដែលពិចារណាឫសអវិជ្ជមានក្នុងសតវត្សទី 16 ។ ហើយទិដ្ឋភាពសម័យទំនើប វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយចម្បង (តាមរយៈអ្នករើសអើង) ត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយសារស្នាដៃរបស់ Descartes និង Newton ។
នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 18 គណិតវិទូជនជាតិស្វីស Gabriel Cramer បានរកឃើញវិធីថ្មីមួយដើម្បីធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរកាន់តែងាយស្រួល។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះជាបន្តបន្ទាប់តាមគាត់ ហើយរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះយើងប្រើវា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer បន្តិចក្រោយមក ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីសមីការលីនេអ៊ែរ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដាច់ដោយឡែកពីប្រព័ន្ធ។
សមីការលីនេអ៊ែរ
សមីការលីនេអ៊ែរគឺជាសមភាពសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងអថេរ។ ពួកវាត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាពិជគណិត។ សរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... និង n * x n \u003d ខ។ យើងនឹងត្រូវការតំណាងរបស់ពួកគេនៅក្នុងទម្រង់នេះ នៅពេលចងក្រងប្រព័ន្ធ និងម៉ាទ្រីសបន្ថែមទៀត។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ
និយមន័យនៃពាក្យនេះមានដូចខាងក្រោម៖ វាគឺជាសំណុំនៃសមីការដែលមានការមិនស្គាល់ទូទៅ និងដំណោះស្រាយរួម។ តាមក្បួនមួយនៅសាលារៀន អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រព័ន្ធដែលមានសមីការពីរ ឬបី។ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធដែលមានធាតុផ្សំបួន ឬច្រើន។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបសរសេរពួកវាជាមុនសិន ដើម្បីងាយស្រួលដោះស្រាយនៅពេលក្រោយ។ ទីមួយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនឹងមើលទៅប្រសើរជាងប្រសិនបើអថេរទាំងអស់ត្រូវបានសរសេរជា x ជាមួយនឹងលិបិក្រមសមស្រប៖ 1,2,3 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ទីពីរសមីការទាំងអស់គួរតែត្រូវបាននាំយកទៅទម្រង់ Canonical: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b ។
បន្ទាប់ពីសកម្មភាពទាំងអស់នេះ យើងអាចចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ម៉ាទ្រីសមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់រឿងនេះ។
ម៉ាទ្រីស
ម៉ាទ្រីសគឺជាតារាងដែលមានជួរដេក និងជួរឈរ ហើយនៅចំណុចប្រសព្វរបស់វាគឺជាធាតុរបស់វា។ ទាំងនេះអាចជាតម្លៃជាក់លាក់ ឬអថេរ។ ជាញឹកញាប់បំផុត ដើម្បីកំណត់ធាតុ អក្សររងត្រូវបានដាក់នៅក្រោមពួកវា (ឧទាហរណ៍ 11 ឬ 23)។ លិបិក្រមទីមួយមានន័យថាលេខជួរ ហើយទីពីរគឺលេខជួរ។ នៅលើម៉ាទ្រីស ក៏ដូចជានៅលើធាតុគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត អ្នកអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការផ្សេងៗ។ ដូច្នេះអ្នកអាច៖
2) គុណម៉ាទ្រីសដោយចំនួនឬវ៉ិចទ័រ។
3) Transpose: បង្វែរជួរដេកម៉ាទ្រីសទៅជាជួរឈរ និងជួរឈរទៅជាជួរដេក។
4) គុណម៉ាទ្រីសប្រសិនបើចំនួនជួរដេកនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺស្មើនឹងចំនួនជួរឈរនៃផ្សេងទៀត។
យើងនឹងពិភាក្សាអំពីបច្ចេកទេសទាំងអស់នេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀតព្រោះវានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងនាពេលអនាគត។ ការដកនិងបន្ថែមម៉ាទ្រីសគឺងាយស្រួលណាស់។ ដោយសារយើងយកម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នា ធាតុនីមួយៗនៃតារាងមួយត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុនីមួយៗនៃតារាងមួយទៀត។ ដូច្នេះយើងបន្ថែម (ដក) ធាតុទាំងពីរនេះ (វាសំខាន់ណាស់ដែលពួកវាស្ថិតនៅកន្លែងដូចគ្នានៅក្នុងម៉ាទ្រីសរបស់ពួកគេ)។ នៅពេលគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខ ឬវ៉ិចទ័រ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគុណធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយលេខនោះ (ឬវ៉ិចទ័រ)។ ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាដំណើរការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ ពេលខ្លះវាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការឃើញវានៅក្នុងជីវិតពិត ឧទាហរណ៍នៅពេលផ្លាស់ប្តូរទិសនៃថេប្លេត ឬទូរស័ព្ទ។ រូបតំណាងនៅលើផ្ទៃតុគឺជាម៉ាទ្រីស ហើយនៅពេលអ្នកផ្លាស់ប្តូរទីតាំង វាប្រែចេញ និងកាន់តែធំទូលាយ ប៉ុន្តែកម្ពស់ថយចុះ។
ចូរយើងវិភាគដំណើរការបែបនេះ ទោះបីជាវាមិនមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងក៏ដោយ វានឹងនៅតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងវា។ អ្នកអាចគុណម៉ាទ្រីសពីរបានលុះត្រាតែចំនួនជួរឈរក្នុងតារាងមួយស្មើនឹងចំនួនជួរដេកក្នុងតារាងផ្សេងទៀត។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកធាតុនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសមួយ និងធាតុនៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នានៃមួយទៀត។ យើងគុណពួកវាដោយគ្នាទៅវិញទៅមកហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមពួកវា (ឧទាហរណ៍ផលិតផលនៃធាតុ a 11 និង a 12 ដោយ b 12 និង b 22 នឹងស្មើនឹង: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . ដូច្នេះធាតុមួយនៃតារាងត្រូវបានទទួល ហើយវាត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយវិធីសាស្ត្រស្រដៀងគ្នា។
ឥឡូវនេះយើងអាចចាប់ផ្តើមពិចារណាពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ។
វិធីសាស្រ្ត Gauss
ប្រធានបទនេះចាប់ផ្តើមនៅសាលា។ យើងដឹងយ៉ាងច្បាស់អំពីគំនិតនៃ "ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ" ហើយដឹងពីរបៀបដោះស្រាយវា។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើចំនួនសមីការមានច្រើនជាងពីរ? នេះនឹងជួយយើង
ជាការពិតណាស់វិធីសាស្រ្តនេះគឺងាយស្រួលប្រើប្រសិនបើអ្នកបង្កើតម៉ាទ្រីសចេញពីប្រព័ន្ធ។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនអាចបំប្លែងវានិងដោះស្រាយវាក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់វាបានទេ។
ដូច្នេះតើប្រព័ន្ធនៃសមីការ Gaussian លីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីនេះដោយរបៀបណា? ដោយវិធីនេះទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគាត់ក៏ដោយក៏វាត្រូវបានគេរកឃើញនៅសម័យបុរាណ។ Gauss ស្នើរដូចខាងក្រោម៖ ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយសមីការ ដើម្បីកាត់បន្ថយសំណុំទាំងមូលទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ នោះគឺវាចាំបាច់ដែលថាពីកំពូលទៅបាត (ប្រសិនបើដាក់ត្រឹមត្រូវ) ពីសមីការទីមួយដល់ចុងក្រោយគេមិនស្គាល់មួយថយចុះ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតយើងត្រូវធ្វើឱ្យប្រាកដថាយើងទទួលបាន, និយាយ, សមីការបី: នៅក្នុងទីមួយ - បីមិនស្គាល់, នៅក្នុងទីពីរ - ពីរ, នៅក្នុងទីបី - មួយ។ បន្ទាប់មកពីសមីការចុងក្រោយ យើងរកឃើញដំបូងដែលមិនស្គាល់ ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងសមីការទីពីរ ឬទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកអថេរពីរដែលនៅសល់។
វិធីសាស្រ្ត Cramer
ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្តនេះ វាជារឿងសំខាន់ក្នុងការគ្រប់គ្រងជំនាញនៃការបូក ដកនៃម៉ាទ្រីស ហើយអ្នកក៏ត្រូវស្វែងរកកត្តាកំណត់ផងដែរ។ ដូច្នេះហើយបើអ្នកធ្វើទាំងអស់នេះមិនបានល្អ ឬមិនចេះយ៉ាងណានោះទេ អ្នកនឹងត្រូវរៀននិងអនុវត្ត។
តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះ និងរបៀបបង្កើតវាដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ Cramer លីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ យើងត្រូវតែបង្កើតម៉ាទ្រីសពីមេគុណលេខ (ស្ទើរតែជានិច្ច) នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគ្រាន់តែយកលេខនៅពីមុខអ្នកដែលមិនស្គាល់ហើយដាក់វានៅក្នុងតារាងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ ប្រសិនបើលេខត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញា "-" បន្ទាប់មកយើងសរសេរមេគុណអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ យើងបានចងក្រងម៉ាទ្រីសទីមួយនៃមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ ដោយមិនរាប់បញ្ចូលលេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា (តាមធម្មជាតិ សមីការគួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical នៅពេលដែលមានតែលេខនៅខាងស្តាំ និងមិនស្គាល់ទាំងអស់ជាមួយ មេគុណនៅខាងឆ្វេង) ។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបង្កើតម៉ាទ្រីសជាច្រើនបន្ថែមទៀត - មួយសម្រាប់អថេរនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដំបូងយើងជំនួសជួរឈរនីមួយៗដោយមេគុណជាមួយនឹងជួរឈរនៃលេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសជាច្រើន ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកកត្តាកំណត់របស់វា។
បន្ទាប់ពីយើងបានរកឃើញកត្តាកំណត់ នោះបញ្ហាគឺតូច។ យើងមានម៉ាទ្រីសដំបូង ហើយមានម៉ាទ្រីសលទ្ធផលជាច្រើនដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងអថេរផ្សេងៗ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ យើងបែងចែកកត្តាកំណត់នៃតារាងលទ្ធផលដោយកត្តាកំណត់នៃតារាងដំបូង។ លេខលទ្ធផលគឺជាតម្លៃនៃអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់។
វិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត។
មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនទៀតសម្រាប់ការទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្រដែលហៅថា Gauss-Jordan method ដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការការ៉េ និងត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់ម៉ាទ្រីសផងដែរ។ វាក៏មានវិធីសាស្រ្ត Jacobi សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរផងដែរ។ វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការសម្របខ្លួនទៅនឹងកុំព្យូទ័រ ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។
ករណីពិបាក
ភាពស្មុគស្មាញជាធម្មតាកើតឡើងនៅពេលដែលចំនួនសមីការមានតិចជាងចំនួនអថេរ។ បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានច្បាស់ថាប្រព័ន្ធទាំងពីរមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (នោះគឺវាមិនមានឫសគល់) ឬចំនួននៃដំណោះស្រាយរបស់វាមានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។ ប្រសិនបើយើងមានករណីទីពីរ នោះយើងត្រូវសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ វានឹងមានអថេរយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
នៅទីនេះយើងមកដល់ទីបញ្ចប់។ ដើម្បីសង្ខេប៖ យើងបានវិភាគថាតើប្រព័ន្ធមួយ និងម៉ាទ្រីសជាអ្វី យើងបានរៀនពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ លើសពីនេះទៀតជម្រើសផ្សេងទៀតត្រូវបានគេពិចារណា។ យើងបានរកឃើញពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ៖ វិធីសាស្ត្រ Gauss ហើយយើងបាននិយាយអំពីករណីពិបាក និងវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយ។
តាមពិតទៅ ប្រធានបទនេះគឺទូលំទូលាយជាង ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់យល់កាន់តែច្បាស់នោះ យើងណែនាំអ្នកឱ្យអានអក្សរសិល្ប៍ឯកទេសបន្ថែមទៀត។
