ជាមួយនឹងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែល
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ជំនួសឱ្យវា៖ \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមការ៉េទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់បញ្ចូលពហុនាមការ៉េ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។
ជាងនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែក្នុងទម្រង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគពីចំនួនគត់អាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2 \)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើតង្កៀប. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនដំណើរការទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

អ្នកបានបិទ JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូម​មេត្តា​រង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1,4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មានទម្រង់
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ត្រូវបានហៅ ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c ជាស្ទាក់ចាប់។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a \neq 0 \\) ថាមពលធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៅ x 2 គឺ 1 ត្រូវបានហៅ កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ b ឬ c គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b=0 នៅក្នុងទីពីរ c=0 នៅក្នុងទីបី b=0 និង c=0 ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញមានបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ax2=0 ។

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ពាក្យទំនេររបស់វាត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0 \) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) ធ្វើកត្តាខាងឆ្វេងរបស់វា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.\)

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 \u003d 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 \u003d 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលសមីការ quadratic ត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនមែនសូន្យ។

យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើ
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

យើងបំប្លែងសមីការនេះដោយគូសលើការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមឫសត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 (“រើសអើង” ជាភាសាឡាតាំង - distinguisher)។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាណនៃអ្នករើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការការ៉េមានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើតាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
២) បើអ្នករើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ប្រើរូបមន្តឫស បើអ្នករើសអើងអវិជ្ជមាន សរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ax 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាបន្ទាប់ពីសិក្សាអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េពេញលេញ។

ដោយមានជំនួយពីការរើសអើង មានតែសមីការការ៉េពេញលេញប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ ដែលអ្នកនឹងឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ "ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ"។

តើ​សមីការ​ការ៉េ​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​ហៅ​ថា​ពេញលេញ? នេះ​គឺជា សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + b x + c = 0ដែលមេគុណ a, b និង c មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ អ្នក​ត្រូវ​គណនា​ការ​រើសអើង D ។

ឃ \u003d b 2 - 4ac ។

អាស្រ័យលើតម្លៃដែលអ្នករើសអើងមាន យើងនឹងសរសេរចម្លើយ។

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺជាលេខអវិជ្ជមាន (D< 0),то корней нет.

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះ x \u003d (-b) / 2a ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន (D> 0)

បន្ទាប់មក x 1 = (-b − √D)/2a និង x 2 = (-b + √D)/2a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ x ២ 4x + 4 = 0 ។

ឃ \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (− (−4))/2 = 2

ចម្លើយ៖ ២.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + x + 3 = 0 ។

ឃ \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + 5x − 7 = 0.

ឃ \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

ចម្លើយ៖ - ៣.៥; មួយ។.

ដូច្នេះ ចូរយើងស្រមៃមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ពេញលេញដោយគ្រោងការណ៍ក្នុងរូបភាពទី 1 ។

រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន សមីការត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ

ក x ២ + bx + គ,បើមិនដូច្នោះទេអ្នកអាចធ្វើខុស។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសរសេរសមីការ x + 3 + 2x 2 = 0 អ្នកអាចសម្រេចចិត្តខុសថា

a = 1, b = 3 និង c = 2. បន្ទាប់មក

ឃ \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ហើយបន្ទាប់មកសមីការមានឫសពីរ។ ហើយនេះមិនមែនជាការពិតទេ។ (សូមមើលឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ 2 ខាងលើ) ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការមិនត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារទេ ដំបូងសមីការការ៉េពេញលេញត្រូវតែសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ( monomial ដែលមាននិទស្សន្តធំបំផុតគួរតែស្ថិតនៅកន្លែងដំបូង នោះគឺ ក x ២ បន្ទាប់មកជាមួយតិច – bxហើយបន្ទាប់មករយៈពេលឥតគិតថ្លៃ ជាមួយ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េខាងលើ និងសមីការការ៉េដែលមានមេគុណគូសម្រាប់ពាក្យទីពីរ រូបមន្តផ្សេងទៀតក៏អាចត្រូវបានប្រើផងដែរ។ ចូរយើងស្គាល់រូបមន្តទាំងនេះ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ quadratic ពេញលេញជាមួយនឹងពាក្យទីពីរ មេគុណគឺសូម្បីតែ (b = 2k) នោះសមីការអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមនៃរូបភាពទី 2 ។

សមីការការ៉េពេញលេញត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយប្រសិនបើមេគុណនៅ x ២ ស្មើភាពឯកភាព ហើយសមីការយកទម្រង់ x 2 + px + q = 0. សមីការ​បែប​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ ឬ​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​បែងចែក​មេគុណ​ទាំងអស់​នៃ​សមីការ​ដោយ​មេគុណ កឈរនៅ x ២ .

រូបភាពទី 3 បង្ហាញដ្យាក្រាមនៃដំណោះស្រាយនៃការ៉េកាត់បន្ថយ
សមីការ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

3x ២ + 6x − 6 = 0 ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ឃ \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

ចម្លើយ៖ -1 - √3; −1 + √3

អ្នកអាចមើលឃើញថាមេគុណនៅ x ក្នុងសមីការនេះគឺជាលេខគូ នោះគឺ b \u003d 6 ឬ b \u003d 2k មកពីណា k \u003d 3 ។ បន្ទាប់មក តោះព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមរូប ឃ 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

ចម្លើយ៖ -1 - √3; −1 + √3. ដោយកត់សំគាល់ថាមេគុណទាំងអស់នៅក្នុងសមីការការ៉េនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 និងបែងចែកយើងទទួលបានសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 + 2x - 2 = 0 យើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការកាត់បន្ថយការ៉េ។
រូបភាពទី ៣ ។

ឃ 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

ចម្លើយ៖ -1 - √3; −1 + √3.

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងគ្នាយើងទទួលបានចម្លើយដូចគ្នា។ ដូច្នេះ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមនៃរូបភាពទី 1 បានល្អ អ្នកតែងតែអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ។ ករណីនៃឫសពិត ច្រើន និងស្មុគស្មាញត្រូវបានពិចារណា។ ការបំបែកឯកតានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ។ ការបកស្រាយធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ឫស និងកត្តា។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

ពិចារណាសមីការការ៉េ៖
(1) .
ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ(១) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
; .
រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានផ្សំដូចនេះ៖
.
នៅពេលដែលឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគេស្គាល់ នោះពហុធានៃដឺក្រេទីពីរអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃកត្តា (កត្តា):
.

លើសពីនេះ យើងសន្មតថាជាចំនួនពិត។
ពិចារណា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ:
.
ប្រសិនបើការរើសអើងមានភាពវិជ្ជមាន នោះសមីការការ៉េ (1) មានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា៖
; .
បន្ទាប់មកកត្តានៃត្រីកោណការ៉េមានទម្រង់៖
.
ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះសមីការការ៉េ (1) មានឫសពិតពីរ (ស្មើគ្នា)៖
.
ការបំបែកជាកត្តា៖
.
ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការបួនជ្រុង (1) មានឫសផ្សំស្មុគស្មាញពីរ៖
;
.
នេះគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ, ;
ហើយជាផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃឫស៖
; .
បន្ទាប់មក

.

ការបកស្រាយក្រាហ្វិក

ប្រសិនបើយើងធ្វើក្រាហ្វិកមុខងារ
,
ដែលជាប៉ារ៉ាបូឡា បន្ទាប់មកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សនឹងជាឫសគល់នៃសមីការ
.
នៅពេល ក្រាហ្វកាត់អ័ក្ស abscissa (អ័ក្ស) នៅពីរចំណុច។
នៅពេល ក្រាហ្វប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ។
នៅពេល ក្រាហ្វមិនឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ទេ។

ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍នៃក្រាហ្វបែបនេះ។

រូបមន្តដែលមានប្រយោជន៍ទាក់ទងនឹងសមីការបួនជ្រុង

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

យើងអនុវត្តការបំប្លែង និងអនុវត្តរូបមន្ត (f.1) និង (f.3)៖




,
កន្លែងណា
; .

ដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរក្នុងទម្រង់៖
.
ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាសមីការ

បានសម្តែងនៅ
និង .
នោះហើយជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
.

ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឧទាហរណ៍ ១

(1.1) .

ការសម្រេចចិត្ត

.
ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការរបស់យើង (1.1) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
.
ដោយសារការរើសអើងមានភាពវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ៖
;
;
.

ពីទីនេះយើងទទួលបាន decomposition នៃ trinomial ការ៉េទៅជាកត្តា៖

.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2 x 2 + 7 x + 3ឆ្លងកាត់អ័ក្ស x នៅពីរចំណុច។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាឆ្លងកាត់អ័ក្ស x (អ័ក្ស) នៅពីរចំណុច៖
និង .
ចំណុចទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម (១.១)។

ចម្លើយ

;
;
.

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
(2.1) .

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការដើម (២.១) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
.
ដោយសារការរើសអើងគឺសូន្យ សមីការមានឫសច្រើន (ស្មើគ្នា) ពីរ៖
;
.

បន្ទាប់មកកត្តាកត្តានៃត្រីភាគីមានទម្រង់៖
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 − 4 x + 4ប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាប៉ះអ័ក្ស x (អ័ក្ស) នៅចំណុចមួយ៖
.
ចំណុចនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម (២.១)។ ដោយសារឫសនេះត្រូវបានរាប់ពីរដង៖
,
បន្ទាប់មកឫសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណ។ ពោល​គឺ​គេ​ចាត់​ទុក​ថា មាន​ឫស​ពីរ​ស្មើ​គ្នា៖
.

ចម្លើយ

;
.

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
(3.1) .

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖
(1) .
ចូរយើងសរសេរសមីការដើមឡើងវិញ (៣.១)៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (1) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
.
អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

អ្នកអាចរកឃើញឫសស្មុគស្មាញ៖
;
;
.

បន្ទាប់មក


.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ទេ។ មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាមិនឆ្លងកាត់ abscissa (អ័ក្ស) ទេ។ ដូច្នេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ចម្លើយ

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។ ឫសស្មុគស្មាញ៖
;
;
.

អនុវិទ្យាល័យជនបទ Kopyevskaya

10 វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង

ក្បាល៖ Patrikeeva Galina Anatolyevna,

គ្រូគណិតវិទ្យា

s.Kopyevo, 2007

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

1.2 របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការ quadratic

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al-Khwarizmi

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អក្សរសិល្ប៍

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដី និងផែនដីនៃលក្ខណៈយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និង គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ សមីការបួនជ្រុងអាចដោះស្រាយបានប្រហែលឆ្នាំ 2000 មុនគ។ អ៊ី ជនជាតិបាប៊ីឡូន។

ការអនុវត្តការសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេមាន បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ ដូចជាឧទាហរណ៍ សមីការបួនជ្រុងពេញលេញ៖

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន គឺស្របគ្នាជាមួយនឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនចូលមកក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនមានការបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។

ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគោលគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។

1.2 របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការ quadratic ។

Diophantus' Arithmetic មិនមានការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែវាផ្ទុកនូវបញ្ហាជាប្រព័ន្ធ អមដោយការពន្យល់ និងដោះស្រាយដោយការបង្កើតសមីការនៃដឺក្រេផ្សេងៗ។

នៅពេលចងក្រងសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

កិច្ចការ ១១."ស្វែងរកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96"

Diophantus ប្រកែកដូចខាងក្រោម: វាកើតឡើងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលលេខដែលចង់បានមិនស្មើគ្នាព្រោះប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នានោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងស្មើមិនមែន 96 ប៉ុន្តែដល់ 100 ។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងច្រើនជាង។ ពាក់កណ្តាលនៃផលបូករបស់ពួកគេ ឧ. 10+xមួយទៀតគឺតូចជាង, i.e. ១០ ស. ភាពខុសគ្នារវាងពួកគេ។ 2x .

ដូច្នេះសមីការ៖

(10 + x)(10 − x) = 96

100 − x 2 = 96

x 2 − 4 = 0 (1)

ពី​ទីនេះ x = ២. មួយក្នុងចំណោមលេខដែលចង់បានគឺ 12 , ផ្សេងទៀត 8 . ការសម្រេចចិត្ត x = −2សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកដឹងតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយជ្រើសរើសលេខណាមួយដែលចង់បានជាលេខដែលមិនស្គាល់ នោះយើងនឹងមករកដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

y(20 - y) = 96,

y 2 − 20y + 96 = 0. (2)

វាច្បាស់ណាស់ថា Diophantus សម្រួលដំណោះស្រាយដោយជ្រើសរើសភាពខុសគ្នាពាក់កណ្តាលនៃលេខដែលចង់បានដូចជាមិនស្គាល់។ គាត់គ្រប់គ្រងដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញ (1) ។

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅប្រទេសឥណ្ឌា

បញ្ហាសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងខិត្ដប័ណ្ណតារាសាស្ត្រ "Aryabhattam" ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់អំពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

អា 2+ ខ x = c, a > 0. (1)

នៅក្នុងសមីការ (1) មេគុណ លើកលែងតែ កក៏អាចជាអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។

នៅប្រទេសឥណ្ឌាបុរាណ ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណរបស់ឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញនូវសិរីរុងរឿងរបស់អ្នកដទៃនៅក្នុងការប្រជុំសាធារណៈ ស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។

នេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហារបស់គណិតវិទូឥណ្ឌាដ៏ល្បីល្បាញនៃសតវត្សទី XII ។ បាស្ការ៉ា។

កិច្ចការ ១៣.

“ហ្វូងស្វាដ៏ព្រឺព្រួច និងដប់ពីរនៅក្នុងវល្លិ…

ដោយបានស៊ីថាមពល, មានភាពសប្បាយរីករាយ។ ពួកគេចាប់ផ្តើមលោតព្យួរ ...

ផ្នែកទីប្រាំបី ក្នុងមួយការ៉េ តើមានស្វាប៉ុន្មានក្បាល?

មានភាពសប្បាយរីករាយនៅក្នុងវាលស្មៅ។ អ្នកប្រាប់ខ្ញុំនៅក្នុងហ្វូងនេះ?

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាគាត់បានដឹងពីតម្លៃពីរនៃឫសនៃសមីការការ៉េ (រូបភាពទី 3) ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាទី១៣គឺ៖

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖

x 2 − 64x = −768

ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅជាការ៉េ គាត់បន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរ 32 2 ទទួលបានបន្ទាប់មក៖

x 2 − 64x + 32 2 = −768 + 1024,

(x − 32) 2 = 256,

x − 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48 ។

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al-Khorezmi

ក្បួនដោះស្រាយពិជគណិតរបស់ Al-Khorezmi ផ្តល់នូវចំណាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ អ្នកនិពន្ធរាយសមីការ ៦ ប្រភេទ ដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម៖

1) "ការេស្មើនឹងឫស", i.e. ax 2 + c = ខ X.

2) "ការេស្មើនឹងចំនួន", i.e. ax 2 = s ។

3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន", i.e. ah = s ។

4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស", i.e. ax 2 + c = ខ X.

5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន", i.e. អា 2+ bx = ស.

6) "ឫសនិងលេខស្មើនឹងការេ", i.e. bx + គ \u003d ពូថៅ ២.

សម្រាប់ al-Khwarizmi ដែលចៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗទាំងនេះគឺបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណានោះទេ។ អ្នកនិពន្ធរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយពីការពិតដែលថាវាក្យសព្ទសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ជាឧទាហរណ៍ថានៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ

al-Khorezmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីដំណោះស្រាយសូន្យទេ ប្រហែលជាដោយសារតែវាមិនមានបញ្ហានៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាក់លាក់នោះទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ al-Khorezmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្រ ដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់។

កិច្ចការ 14 ។"ការេនិងលេខ 21 គឺស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស" (សន្មត់ថាឫសនៃសមីការ x 2 + 21 = 10x) ។

ដំណោះ​ស្រាយ​របស់​អ្នក​និពន្ធ​ធ្វើ​បែប​នេះ៖ ចែក​ចំនួន​ឬស​ជា​ពាក់​កណ្តាល អ្នក​ទទួល​បាន ៥ គុណ ៥ ដោយ​ខ្លួន​វា ដក ២១ ពី​ផលិតផល នៅសល់ ៤ យក​ឫស ៤ អ្នក​ទទួល​បាន ២ ដក ២ ពី ៥ អ្នក ទទួលបាន 3 នេះនឹងក្លាយជាឫសដែលចង់បាន។ ឬបន្ថែម 2 ទៅ 5 ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យ 7 នេះក៏ជាឫសផងដែរ។

Treatise al - Khorezmi គឺជាសៀវភៅដំបូងដែលបានចុះមករកយើង ដែលការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានបញ្ជាក់ជាប្រព័ន្ធ ហើយរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងលើគំរូនៃ al - Khorezmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានកំណត់ជាលើកដំបូងនៅក្នុង "សៀវភៅ Abacus" ដែលសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci ។ ការងារដ៏អស្ចារ្យនេះ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីឥទ្ធិពលនៃគណិតវិទ្យា ទាំងប្រទេសនៃសាសនាឥស្លាម និងក្រិកបុរាណ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពពេញលេញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញ។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។ សៀវភៅរបស់គាត់បានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពី "សៀវភៅ Abacus" បានចូលទៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 16 - ទី 17 ។ និងមួយផ្នែក XVIII ។

ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

x 2+ bx = ជាមួយ,

សម្រាប់បន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញានៃមេគុណ ខ , ជាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្វីបអឺរ៉ុបតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ សូមអរគុណចំពោះការងាររបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើរូបរាងទំនើប។

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

ទ្រឹស្តីបទបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនៃសមីការការ៉េ និងឫសរបស់វា ដែលមានឈ្មោះថា វីតា ត្រូវបានបង្កើតដោយគាត់ជាលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ ១៥៩១ ដូចតទៅ៖ “ប្រសិនបើ ខ + ឃគុណ​នឹង ក - ក 2 , ស្មើ BDបន្ទាប់មក កស្មើ អេនិងស្មើ ឃ ».

ដើម្បីយល់ពី Vieta មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែចងចាំវា។ ប៉ុន្តែដូចជាស្រៈណាមួយ មានន័យថាសម្រាប់គាត់មិនស្គាល់ (របស់យើង។ X) ស្រៈ AT, ឃ- មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ នៅក្នុងភាសានៃពិជគណិតសម័យទំនើប រូបមន្តរបស់ Vieta ខាងលើមានន័យថា៖ ប្រសិនបើ

(ក + ខ ) x − x 2 = ab ,

x 2 − (a + ខ ) x + ក ខ = 0,

x 1 = a, x 2 = ខ .

ដោយបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការដោយរូបមន្តទូទៅដែលសរសេរដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា វៀតបានបង្កើតឯកសណ្ឋានក្នុងវិធីដោះស្រាយសមីការ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនិមិត្តសញ្ញារបស់ Vieta នៅតែឆ្ងាយពីទម្រង់ទំនើបរបស់វា។ គាត់មិនបានទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះហើយនៅពេលដោះស្រាយសមីការ គាត់បានពិចារណាតែករណីដែលឫសទាំងអស់វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សមីការ quadratic គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដែលអគារដ៏អស្ចារ្យនៃពិជគណិតសម្រាក។ សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ត្រីកោណមាត្រ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត អសម​ហេតុ​ផល និង​វិសមភាព​វិសាលភាព។ យើងទាំងអស់គ្នាដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ quadratic ពីសាលា (ថ្នាក់ទី 8) រហូតដល់បញ្ចប់ការសិក្សា។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាបន្ទាប់ពីសិក្សាអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េពេញលេញ។

ដោយមានជំនួយពីការរើសអើង មានតែសមីការការ៉េពេញលេញប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ ដែលអ្នកនឹងឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ "ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ"។

តើ​សមីការ​ការ៉េ​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​ហៅ​ថា​ពេញលេញ? នេះ​គឺជា សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + b x + c = 0ដែលមេគុណ a, b និង c មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ អ្នក​ត្រូវ​គណនា​ការ​រើសអើង D ។

ឃ \u003d b 2 - 4ac ។

អាស្រ័យលើតម្លៃដែលអ្នករើសអើងមាន យើងនឹងសរសេរចម្លើយ។

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺជាលេខអវិជ្ជមាន (D< 0),то корней нет.

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះ x \u003d (-b) / 2a ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន (D> 0)

បន្ទាប់មក x 1 = (-b − √D)/2a និង x 2 = (-b + √D)/2a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ x ២ 4x + 4 = 0 ។

ឃ \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (− (−4))/2 = 2

ចម្លើយ៖ ២.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + x + 3 = 0 ។

ឃ \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + 5x − 7 = 0.

ឃ \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

ចម្លើយ៖ - ៣.៥; មួយ។.

ដូច្នេះ ចូរយើងស្រមៃមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ពេញលេញដោយគ្រោងការណ៍ក្នុងរូបភាពទី 1 ។

រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន សមីការត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ

ក x ២ + bx + គ,បើមិនដូច្នោះទេអ្នកអាចធ្វើខុស។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសរសេរសមីការ x + 3 + 2x 2 = 0 អ្នកអាចសម្រេចចិត្តខុសថា

a = 1, b = 3 និង c = 2. បន្ទាប់មក

ឃ \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ហើយបន្ទាប់មកសមីការមានឫសពីរ។ ហើយនេះមិនមែនជាការពិតទេ។ (សូមមើលឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ 2 ខាងលើ) ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការមិនត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារទេ ដំបូងសមីការការ៉េពេញលេញត្រូវតែសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ( monomial ដែលមាននិទស្សន្តធំបំផុតគួរតែស្ថិតនៅកន្លែងដំបូង នោះគឺ ក x ២ បន្ទាប់មកជាមួយតិច – bxហើយបន្ទាប់មករយៈពេលឥតគិតថ្លៃ ជាមួយ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េខាងលើ និងសមីការការ៉េដែលមានមេគុណគូសម្រាប់ពាក្យទីពីរ រូបមន្តផ្សេងទៀតក៏អាចត្រូវបានប្រើផងដែរ។ ចូរយើងស្គាល់រូបមន្តទាំងនេះ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ quadratic ពេញលេញជាមួយនឹងពាក្យទីពីរ មេគុណគឺសូម្បីតែ (b = 2k) នោះសមីការអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមនៃរូបភាពទី 2 ។

សមីការការ៉េពេញលេញត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយប្រសិនបើមេគុណនៅ x ២ ស្មើភាពឯកភាព ហើយសមីការយកទម្រង់ x 2 + px + q = 0. សមីការ​បែប​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ ឬ​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​បែងចែក​មេគុណ​ទាំងអស់​នៃ​សមីការ​ដោយ​មេគុណ កឈរនៅ x ២ .

រូបភាពទី 3 បង្ហាញដ្យាក្រាមនៃដំណោះស្រាយនៃការ៉េកាត់បន្ថយ
សមីការ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

3x ២ + 6x − 6 = 0 ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ឃ \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

ចម្លើយ៖ -1 - √3; −1 + √3

អ្នកអាចមើលឃើញថាមេគុណនៅ x ក្នុងសមីការនេះគឺជាលេខគូ នោះគឺ b \u003d 6 ឬ b \u003d 2k មកពីណា k \u003d 3 ។ បន្ទាប់មក តោះព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមរូប ឃ 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

ចម្លើយ៖ -1 - √3; −1 + √3. ដោយកត់សំគាល់ថាមេគុណទាំងអស់នៅក្នុងសមីការការ៉េនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 និងបែងចែកយើងទទួលបានសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 + 2x - 2 = 0 យើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការកាត់បន្ថយការ៉េ។
រូបភាពទី ៣ ។

ឃ 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

ចម្លើយ៖ -1 - √3; −1 + √3.

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងគ្នាយើងទទួលបានចម្លើយដូចគ្នា។ ដូច្នេះ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមនៃរូបភាពទី 1 បានល្អ អ្នកតែងតែអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។