កម្រិតដំបូង

សមីការ​ការ៉េ។ មគ្គុទ្ទេសក៍ទូលំទូលាយ (2019)

នៅក្នុងពាក្យ "សមីការការ៉េ" ពាក្យគន្លឹះគឺ "ចតុកោណ" ។ នេះមានន័យថាសមីការត្រូវតែមានអថេរ (X ដូចគ្នា) ក្នុងការ៉េ ហើយក្នុងពេលតែមួយមិនគួរមាន Xs ក្នុងដឺក្រេទីបី (ឬធំជាង) នោះទេ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។

ចូរយើងរៀនដើម្បីកំណត់ថាយើងមានសមីការបួនជ្រុង ហើយមិនមែនមួយចំនួនផ្សេងទៀតទេ។

ឧទាហរណ៍ ១

កម្ចាត់ភាគបែង ហើយគុណពាក្យនីមួយៗនៃសមីការដោយ

ចូរផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយរៀបចំលក្ខខណ្ឌតាមលំដាប់ចុះនៃអំណាចនៃ x

ឥឡូវនេះយើងអាចនិយាយដោយទំនុកចិត្តថាសមីការនេះគឺបួនជ្រុង!

ឧទាហរណ៍ ២

គុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំដោយ៖

សមីការនេះ ថ្វីត្បិតតែវាមានដើមនៅក្នុងវាក៏ដោយ មិនមែនជាការ៉េទេ!

ឧទាហរណ៍ ៣

ចូរគុណអ្វីៗទាំងអស់ដោយ៖

គួរឱ្យខ្លាច? ដឺក្រេទីបួន និងទីពីរ ... ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងធ្វើការជំនួស យើងនឹងឃើញថាយើងមានសមីការការ៉េសាមញ្ញមួយ៖

ឧទាហរណ៍ 4

វា​ហាក់​ដូច​ជា ប៉ុន្តែ​សូម​មើល​ឲ្យ​កាន់​តែ​ច្បាស់។ តោះផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេង:

អ្នកឃើញទេ វាបានបង្រួញហើយ ឥឡូវនេះវាជាសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញ!

ឥឡូវ​នេះ​ព្យាយាម​កំណត់​ដោយ​ខ្លួន​ឯង​ថា​សមីការ​ខាង​ក្រោម​មួយ​ណា​ជា​សមីការ​ចតុកោណ​ ហើយ​មួយ​ណា​មិន​មែន៖

ឧទាហរណ៍:

ចម្លើយ៖

1. ការ៉េ;
2. ការ៉េ;
3. មិនការ៉េ;
4. មិនការ៉េ;
5. មិនការ៉េ;
6. ការ៉េ;
7. មិនការ៉េ;
8. ការ៉េ។

គណិតវិទូបែងចែកសមីការការ៉េទាំងអស់តាមលក្ខខណ្ឌជាប្រភេទដូចខាងក្រោមៈ

• បញ្ចប់សមីការការ៉េ- សមីការ​ដែល​មេគុណ​និង​ជា​ពាក្យ​ទំនេរ c មិន​ស្មើ​នឹង​សូន្យ (ដូច​ក្នុង​ឧទាហរណ៍)។ លើសពីនេះទៀតក្នុងចំណោមសមីការការ៉េពេញលេញមាន បានផ្តល់ឱ្យគឺជាសមីការដែលមេគុណ (សមីការពីឧទាហរណ៍មួយមិនត្រឹមតែពេញលេញប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងកាត់បន្ថយផងដែរ!)

• សមីការការ៉េមិនពេញលេញ- សមីការ​ដែល​មេគុណ​និង​ឬ​ពាក្យ​ទំនេរ c គឺ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ៖

  ពួកវាមិនពេញលេញទេ ដោយសារធាតុមួយចំនួនបាត់ពីពួកគេ។ ប៉ុន្តែសមីការត្រូវតែមាន x ការ៉េជានិច្ច!!! បើមិនដូច្នោះទេ វានឹងលែងជា quadratic ទៀតហើយ ប៉ុន្តែសមីការមួយចំនួនផ្សេងទៀត។

ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​ពួក​គេ​មាន​ការ​បែក​បាក់​បែប​នេះ? វាហាក់ដូចជាមានការ៉េ X ហើយមិនអីទេ។ ការបែងចែកបែបនេះគឺដោយសារតែវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងពិចារណាពួកវានីមួយៗឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

ជាដំបូង ចូរយើងផ្តោតលើការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ - ពួកគេគឺសាមញ្ញជាង!

សមីការការ៉េមិនពេញលេញមានប្រភេទ៖

1. នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណគឺស្មើគ្នា។
2. នៅក្នុងសមីការនេះ ពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹង។
3. នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណ និងពាក្យទំនេរគឺស្មើគ្នា។

1. i. ដោយសារយើងដឹងពីរបៀបយកឫសការ៉េ សូមបង្ហាញពីសមីការនេះ។

កន្សោមអាចជាអវិជ្ជមានឬវិជ្ជមាន។ លេខការ៉េមិនអាចជាលេខអវិជ្ជមានទេ ព្រោះនៅពេលគុណលេខអវិជ្ជមានពីរ ឬពីរ លទ្ធផលនឹងតែងតែជាលេខវិជ្ជមាន ដូច្នេះ៖ ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ហើយប្រសិនបើយើងទទួលបានឫសពីរ។ រូបមន្តទាំងនេះមិនចាំបាច់ទន្ទេញចាំទេ។ រឿងចំបងគឺថា អ្នកគួរដឹង និងចងចាំជានិច្ចថា វាមិនអាចតិចបានទេ។

តោះព្យាយាមដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ 5៖

ដោះស្រាយសមីការ

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីទាញយកឫសពីផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំ។ យ៉ាងណាមិញ តើអ្នកចាំពីរបៀបដកឬសទេ?

ចម្លើយ៖

កុំភ្លេចអំពីឫសគល់ដែលមានសញ្ញាអវិជ្ជមាន !!!

ឧទាហរណ៍ ៦៖

ដោះស្រាយសមីការ

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៧៖

ដោះស្រាយសមីការ

អូ! ការ៉េនៃចំនួនមិនអាចជាអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការ

គ្មានឫស!

ចំពោះសមីការបែបនេះដែលមិនមានឫសគល់ គណិតវិទូបានបង្កើតរូបតំណាងពិសេសមួយ - (សំណុំទទេ)។ ហើយចម្លើយអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ចម្លើយ៖

ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​នេះ​មាន​ឫស​ពីរ។ មិនមានការរឹតបន្តឹងនៅទីនេះទេ ដោយសារយើងមិនបានស្រង់ឫស។
ឧទាហរណ៍ ៨៖

ដោះស្រាយសមីការ

ចូរយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប៖

ដូច្នេះ

សមីការនេះមានឫសពីរ។

ចម្លើយ៖

ប្រភេទ​សមីការ​ការ៉េ​មិន​ពេញលេញ​សាមញ្ញ​បំផុត (ទោះបីជា​វា​សាមញ្ញ​ទាំងអស់​មែន​ទេ?)។ ជាក់ស្តែង សមីការនេះតែងតែមានឫសគល់តែមួយ៖

នៅទីនេះយើងនឹងធ្វើដោយគ្មានឧទាហរណ៍។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ

យើងរំលឹកអ្នកថាសមីការការ៉េពេញលេញគឺជាសមីការនៃសមីការទម្រង់ដែល

ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ​គឺ​មាន​ភាពស្មុគស្មាញ​បន្តិច (​បន្តិច​) ជាង​សមីការ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។

ចងចាំ, សមីការ​ការ៉េ​ណា​មួយ​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​ដោយ​ប្រើ​ការ​រើសអើង! សូម្បីតែមិនពេញលេញ។

វិធីសាស្ត្រដែលនៅសេសសល់នឹងជួយអ្នកឱ្យធ្វើវាបានលឿន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាជាមួយសមីការ quadratic ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើជាម្ចាស់នៃដំណោះស្រាយដោយប្រើការរើសអើងជាមុនសិន។

1. ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើអ្នករើសអើង។

ការដោះស្រាយសមីការ quadratic តាមរបៀបនេះគឺសាមញ្ញណាស់ រឿងសំខាន់គឺត្រូវចងចាំលំដាប់នៃសកម្មភាព និងរូបមន្តពីរបី។

ប្រសិនបើសមីការមានឫស។ ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសគួរតែត្រូវបានបង់ទៅជំហាន។ អ្នករើសអើង () ប្រាប់យើងពីចំនួនឫសនៃសមីការ។

• ប្រសិនបើ នោះរូបមន្តនៅជំហាននឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅ។ ដូច្នេះសមីការនឹងមានតែឫសប៉ុណ្ណោះ។
• ប្រសិនបើនោះ យើងនឹងមិនអាចទាញយកឫសគល់នៃអ្នករើសអើងតាមជំហាននោះទេ។ នេះបង្ហាញថាសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការរបស់យើង ហើយមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ៩៖

ដោះស្រាយសមីការ

ជំហានទី 1រំលង។

ជំហានទី 2

ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរ។

ជំហានទី 3

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 10៖

ដោះស្រាយសមីការ

សមីការ​គឺ​ជា​ទម្រង់​ស្ដង់ដារ​ដូច្នេះ ជំហានទី 1រំលង។

ជំហានទី 2

ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

ដូច្នេះសមីការមានឫសតែមួយ។

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ១១៖

ដោះស្រាយសមីការ

សមីការ​គឺ​ជា​ទម្រង់​ស្ដង់ដារ​ដូច្នេះ ជំហានទី 1រំលង។

ជំហានទី 2

ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

មាន​ន័យ​ថា យើង​នឹង​មិន​អាច​ទាញ​ឫស​ពី​អ្នក​រើស​អើង​នោះ​ទេ។ មិនមានឫសគល់នៃសមីការទេ។

ឥឡូវនេះយើងដឹងពីរបៀបសរសេរចម្លើយបែបនេះឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖គ្មានឫស

2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ប្រសិនបើអ្នកចាំ នោះមានសមីការមួយប្រភេទដែលត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ (នៅពេលដែលមេគុណ a ស្មើនឹង):

សមីការបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ផលបូកនៃឫស បានផ្តល់ឱ្យសមីការ quadratic គឺស្មើគ្នា ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 12៖

ដោះស្រាយសមីការ

សមីការនេះគឺសមរម្យសម្រាប់ដំណោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ពីព្រោះ .

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺ i.e. យើងទទួលបានសមីការទីមួយ៖

ហើយផលិតផលគឺ៖

តោះបង្កើត និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

• និង។ ផលបូកគឺ;
• និង។ ផលបូកគឺ;
• និង។ ចំនួនទឹកប្រាក់គឺស្មើគ្នា។

និងជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ៖

ចម្លើយ៖ ; .

ឧទាហរណ៍ ១៣៖

ដោះស្រាយសមីការ

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ១៤៖

ដោះស្រាយសមីការ

សមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលមានន័យថា៖

ចម្លើយ៖

សមីការ quadratic ។ កម្រិតមធ្យម

តើសមីការការ៉េជាអ្វី?

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត សមីការបួនជ្រុង គឺជាសមីការនៃទម្រង់ ដែលមិនស្គាល់ - លេខមួយចំនួន លើសពីនេះទៅទៀត។

លេខត្រូវបានគេហៅថាខ្ពស់បំផុតឬ មេគុណទីមួយសមីការ​ការ៉េ​, - មេគុណទីពីរ, ក - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ.

ហេតុអ្វី? ដោយសារតែប្រសិនបើ សមីការនឹងក្លាយទៅជាលីនេអ៊ែរភ្លាមៗ ដោយសារតែ នឹងបាត់។

ក្នុងករណីនេះ និងអាចស្មើនឹងសូន្យ។ នៅក្នុងសមីការលាមកនេះត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៅនឹងកន្លែង នោះមានន័យថាសមីការបានបញ្ចប់។

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រភេទផ្សេងៗនៃសមីការការ៉េ

វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ៖

ដើម្បីចាប់ផ្តើមយើងនឹងវិភាគវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ - ពួកគេគឺសាមញ្ញជាង។

ប្រភេទនៃសមីការខាងក្រោមអាចត្រូវបានសម្គាល់:

I. , នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណ និងពាក្យទំនេរគឺស្មើគ្នា។

II. នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណគឺស្មើគ្នា។

III. នៅក្នុងសមីការនេះ ពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹង។

ឥឡូវពិចារណាដំណោះស្រាយនៃប្រភេទរងទាំងនេះនីមួយៗ។

ជាក់ស្តែង សមីការនេះតែងតែមានឫសគល់តែមួយ៖

លេខការេមិនអាចជាអវិជ្ជមានទេ ព្រោះនៅពេលគុណលេខអវិជ្ជមានពីរ ឬពីរ លទ្ធផលនឹងជាលេខវិជ្ជមានជានិច្ច។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល:

ប្រសិនបើ សមីការមិនមានដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើយើងមានឫសពីរ

រូបមន្តទាំងនេះមិនចាំបាច់ទន្ទេញចាំទេ។ រឿងសំខាន់ដែលត្រូវចងចាំគឺថាវាមិនអាចតិចជាងនេះទេ។

ឧទាហរណ៍:

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖

កុំភ្លេចអំពីឫសដែលមានសញ្ញាអវិជ្ជមាន!

ការ៉េនៃចំនួនមិនអាចជាអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការ

គ្មានឫស។

ដើម្បីសរសេរដោយសង្ខេបថាបញ្ហាមិនមានដំណោះស្រាយ យើងប្រើរូបតំណាងសំណុំទទេ។

ចម្លើយ៖

ដូច្នេះសមីការនេះមានឫសពីរ៖ និង។

ចម្លើយ៖

ចូរយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប៖

ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយស្មើនឹងសូន្យ។ នេះមានន័យថាសមីការមានដំណោះស្រាយនៅពេល៖

ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​នេះ​មាន​ឫស​ពីរ៖ និង។

ឧទាហរណ៍៖

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ៖

យើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយស្វែងរកឫស៖

ចម្លើយ៖

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ៖

1. រើសអើង

ការដោះស្រាយសមីការ quadratic តាមរបៀបនេះគឺងាយស្រួល រឿងសំខាន់គឺត្រូវចងចាំលំដាប់នៃសកម្មភាព និងរូបមន្តពីរបី។ សូមចាំថា សមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើការរើសអើង! សូម្បីតែមិនពេញលេញ។

តើ​អ្នក​បាន​សម្គាល់​ឃើញ​ឫសគល់​នៃ​ការ​រើសអើង​ក្នុង​រូបមន្ត​ឬស? ប៉ុន្តែការរើសអើងអាចមានលក្ខណៈអវិជ្ជមាន។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? យើងត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះជំហានទី 2 ។ អ្នករើសអើងប្រាប់យើងពីចំនួនឫសនៃសមីការ។

• ប្រសិនបើសមីការមានឫសគល់៖
• ប្រសិនបើសមីការមានឫសដូចគ្នា ប៉ុន្តែតាមពិត ឫសតែមួយ៖

  ឫសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាឫសទ្វេ។

• ប្រសិនបើនោះឫសនៃអ្នករើសអើងមិនត្រូវបានស្រង់ចេញទេ។ នេះបង្ហាញថាសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។

ហេតុអ្វីបានជាមានចំនួនឫសខុសគ្នា? ចូរយើងងាកទៅរកអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃសមីការការ៉េ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺប៉ារ៉ាបូឡា៖

ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ ដែលជាសមីការបួនជ្រុង។ ហើយនេះមានន័យថាឫសនៃសមីការការ៉េគឺជាចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស x (អ័ក្ស)។ ប៉ារ៉ាបូឡាអាចមិនឆ្លងកាត់អ័ក្សទាល់តែសោះ ឬវាអាចប្រសព្វវានៅមួយ (នៅពេលកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅលើអ័ក្ស) ឬពីរចំណុច។

លើសពីនេះទៀតមេគុណទទួលខុសត្រូវចំពោះទិសដៅនៃសាខានៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើបន្ទាប់មកសាខារបស់ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានដឹកនាំឡើងលើហើយប្រសិនបើ - បន្ទាប់មកចុះក្រោម។

ឧទាហរណ៍:

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖

ចម្លើយ៖ ។

ចម្លើយ៖

នេះមានន័យថាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ចម្លើយ៖ ។

2. ទ្រឹស្តីបទ Vieta

ការប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta គឺងាយស្រួលណាស់៖ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវជ្រើសរើសលេខគូដែលផលិតផលរបស់វាស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរនៃសមីការ ហើយផលបូកគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ ដែលយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការចងចាំថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អាចត្រូវបានអនុវត្តតែប៉ុណ្ណោះ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ () ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

ឧទាហរណ៍ #1៖

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ៖

សមីការនេះគឺសមរម្យសម្រាប់ដំណោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ពីព្រោះ . មេគុណផ្សេងទៀត៖ ; .

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺ៖

ហើយផលិតផលគឺ៖

ចូរ​ជ្រើសរើស​គូ​នៃ​លេខ​នេះ​ដែល​ផល​នៃ​ចំនួន​ស្មើ ហើយ​ពិនិត្យ​មើល​ថា​តើ​ផលបូក​របស់​វា​ស្មើ​ឬ​អត់៖

• និង។ ផលបូកគឺ;
• និង។ ផលបូកគឺ;
• និង។ ចំនួនទឹកប្រាក់គឺស្មើគ្នា។

និងជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ៖

ដូច្នេះហើយ គឺជាឫសគល់នៃសមីការរបស់យើង។

ចម្លើយ៖ ; .

ឧទាហរណ៍ #2៖

ដំណោះស្រាយ៖

យើងជ្រើសរើសគូនៃលេខដែលផ្តល់ឱ្យក្នុងផលិតផល ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលថាតើផលបូករបស់ពួកគេស្មើគ្នាឬអត់៖

និង៖ ផ្តល់ឱ្យសរុប។

និង៖ ផ្តល់ឱ្យសរុប។ ដើម្បីទទួលបានវា អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃឫសគល់ដែលបានចោទប្រកាន់: ហើយបន្ទាប់ពីទាំងអស់ ការងារ។

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ #3៖

ដំណោះស្រាយ៖

រយៈពេលឥតគិតថ្លៃនៃសមីការគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះហើយផលនៃឫសគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ នេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែឫសមួយគឺអវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះផលបូកនៃឫសគឺ ភាពខុសគ្នានៃម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ។.

យើងជ្រើសរើសគូនៃលេខដែលផ្តល់ឱ្យក្នុងផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាដែលស្មើនឹង៖

និង: ភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេគឺ - មិនសមរម្យ;

និង: - មិនសមរម្យ;

និង: - មិនសមរម្យ;

និង៖ - សមរម្យ។ វានៅសល់តែចងចាំថាឫសមួយក្នុងចំណោមឫសគឺអវិជ្ជមាន។ ដោយសារផលបូករបស់ពួកគេត្រូវតែស្មើគ្នា នោះឫសដែលតូចជាងនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតត្រូវតែជាអវិជ្ជមាន៖ . យើងពិនិត្យ៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ #4៖

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ៖

សមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលមានន័យថា៖

ពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺអវិជ្ជមាន ហេតុដូច្នេះហើយផលនៃឫសគឺអវិជ្ជមាន។ ហើយនេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែឫសមួយនៃសមីការគឺអវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺវិជ្ជមាន។

យើងជ្រើសរើសគូនៃលេខដែលផលិតផលរបស់វាស្មើគ្នា ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ថាតើឫសណាមួយគួរតែមានសញ្ញាអវិជ្ជមាន៖

ជាក់ស្តែង មានតែឫសទេ ហើយសមរម្យសម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូង៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ #5៖

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ៖

សមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលមានន័យថា៖

ផលបូកនៃឫសគឺអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាយ៉ាងហោចណាស់ឫសមួយគឺអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែដោយសារផលិតផលរបស់ពួកគេមានភាពវិជ្ជមាន វាមានន័យថាឫសទាំងពីរគឺដក។

យើង​ជ្រើសរើស​គូ​នៃ​លេខ​នេះ​ដែល​ផល​គុណ​នឹង​ស្មើ​នឹង៖

ជាក់ស្តែង ឫសគឺជាលេខ និង។

ចម្លើយ៖

យល់ស្រប វាជាការងាយស្រួលណាស់ - ដើម្បីបង្កើតឫសដោយផ្ទាល់មាត់ ជំនួសឱ្យការរាប់ការរើសអើងដ៏អាក្រក់នេះ។ ព្យាយាមប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ឱ្យបានញឹកញាប់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ប៉ុន្តែទ្រឹស្តីបទ Vieta គឺត្រូវការជាចាំបាច់ ដើម្បីជួយសម្រួល និងពន្លឿនការស្វែងរកឫសគល់។ ដើម្បីធ្វើឱ្យវាទទួលបានផលចំណេញសម្រាប់អ្នកប្រើវា អ្នកត្រូវតែនាំយកសកម្មភាពទៅជាស្វ័យប្រវត្តិ។ ហើយសម្រាប់បញ្ហានេះ សូមដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រាំបន្ថែមទៀត។ ប៉ុន្តែកុំបោកប្រាស់៖ អ្នកមិនអាចប្រើអ្នករើសអើងបានទេ! មានតែទ្រឹស្តីបទ Vieta ប៉ុណ្ណោះ៖

ដំណោះស្រាយសម្រាប់ការងារសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ៖

កិច្ចការ 1. ((x)^(2))-8x+12=0

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ជាធម្មតាយើងចាប់ផ្តើមជ្រើសរើសជាមួយផលិតផល៖

មិនសមរម្យដោយសារតែបរិមាណ;

៖ ចំនួន​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ការ។

ចម្លើយ៖ ; .

កិច្ចការទី 2 ។

ហើយម្តងទៀត ទ្រឹស្តីបទ Vieta សំណព្វរបស់យើង៖ ផលបូកគួរតែដំណើរការ ប៉ុន្តែផលិតផលគឺស្មើគ្នា។

ប៉ុន្តែដោយសារវាមិនគួរ ប៉ុន្តែយើងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃឫស៖ និង (សរុប)។

ចម្លើយ៖ ; .

កិច្ចការទី 3 ។

ហ៊ឺ... នៅឯណា?

វាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅជាផ្នែកមួយ៖

ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងផលិតផល។

បាទ ឈប់! សមីការមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ ប៉ុន្តែទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺអាចអនុវត្តបានតែនៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវនាំយកសមីការ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចបង្កើតវាបានទេ សូមទម្លាក់គំនិតនេះ ហើយដោះស្រាយវាតាមវិធីផ្សេង (ឧទាហរណ៍ តាមរយៈអ្នករើសអើង)។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ដើម្បីនាំយកសមីការ quadratic មានន័យថា ធ្វើឱ្យមេគុណនាំមុខស្មើនឹង៖

អស្ចារ្យ។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើគ្នាហើយផលិតផល។

វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការជ្រើសរើសនៅទីនេះ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ - លេខសំខាន់ (សូមអភ័យទោសចំពោះការតក់ស្លុត) ។

ចម្លើយ៖ ; .

កិច្ចការទី 4 ។

ពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺអវិជ្ជមាន។ តើមានអ្វីពិសេសអំពីវា? ហើយការពិតដែលថាឫសនឹងមានសញ្ញាខុសៗគ្នា។ ហើយឥឡូវនេះក្នុងអំឡុងពេលជ្រើសរើសយើងពិនិត្យមើលមិនមែនផលបូកនៃឫសទេប៉ុន្តែភាពខុសគ្នារវាងម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ: ភាពខុសគ្នានេះគឺស្មើគ្នាប៉ុន្តែផលិតផល។

ដូច្នេះឫសគឺស្មើគ្នាហើយ ប៉ុន្តែមួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺជាមួយដក។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ប្រាប់យើងថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ នោះគឺ។ នេះមានន័យថាឫសតូចជាងនឹងមានដក៖ និងចាប់តាំងពី។

ចម្លើយ៖ ; .

កិច្ចការទី 5 ។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើមុនគេ? ត្រឹមត្រូវហើយ សូមផ្តល់សមីការ៖

ជាថ្មីម្តងទៀត៖ យើងជ្រើសរើសកត្តានៃចំនួន ហើយភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេគួរតែស្មើនឹង៖

ឫសគឺស្មើគ្នាហើយប៉ុន្តែមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺដក។ មួយណា? ផលបូករបស់ពួកគេត្រូវតែស្មើគ្នា ដែលមានន័យថាជាមួយនឹងដកនឹងមានឫសធំជាង។

ចម្លើយ៖ ; .

ខ្ញុំសូមសង្ខេប៖

1. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានប្រើតែនៅក្នុងសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យប៉ុណ្ណោះ។
2. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta អ្នកអាចរកឃើញឫសដោយការជ្រើសរើសដោយផ្ទាល់មាត់។
3. ប្រសិនបើសមីការមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឬគ្មានគូដែលសមស្របនៃកត្តានៃពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានរកឃើញនោះ មិនមានឫសចំនួនគត់ទេ ហើយអ្នកត្រូវដោះស្រាយវាតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត (ឧទាហរណ៍ តាមរយៈអ្នករើសអើង)។

3. វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញ

ប្រសិនបើពាក្យទាំងអស់ដែលមានមិនស្គាល់ត្រូវបានតំណាងជាពាក្យពីរូបមន្តនៃគុណដោយអក្សរកាត់ - ការេនៃផលបូកឬភាពខុសគ្នា - បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ សមីការអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទ។

ឧទាហរណ៍:

ឧទាហរណ៍ 1៖

ដោះស្រាយសមីការ៖ .

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖

ដោះស្រាយសមីការ៖ .

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖

ជាទូទៅការផ្លាស់ប្តូរនឹងមើលទៅដូចនេះ:

នេះ​បញ្ជាក់​ថា​: .

វាមិនរំលឹកអ្នកពីអ្វីទេ? ជាអ្នករើសអើង! នោះហើយជារបៀបដែលរូបមន្តរើសអើងត្រូវបានទទួល។

សមីការ quadratic ។ សង្ខេបអំពីមេ

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ ដែលមិនស្គាល់ មេគុណនៃសមីការការ៉េ គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េ- សមីការដែលមេគុណមិនស្មើនឹងសូន្យ។

កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ- សមីការដែលមេគុណគឺ៖ .

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ- សមីការ​ដែល​មេគុណ​និង​ឬ​ពាក្យ​ទំនេរ c គឺ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ៖

• ប្រសិនបើមេគុណ សមីការមានទម្រង់៖ ,
• ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ សមីការមានទម្រង់៖ ,
• ប្រសិនបើ និង សមីការមានទម្រង់៖ .

1. ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

១.១. សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង​មិន​ពេញលេញ​នៃ​សំណុំ​បែបបទ, ដែល, :

1) បង្ហាញការមិនស្គាល់:

2) ពិនិត្យមើលសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិ:

• ប្រសិនបើសមីការមិនមានដំណោះស្រាយ
• ប្រសិនបើ នោះសមីការមានឫសពីរ។

១.២. សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង​មិន​ពេញលេញ​នៃ​សំណុំ​បែបបទ, ដែល, :

១) ចូរយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប៖ ,

2) ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរ៖

១.៣. សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ដែល៖

សមីការនេះតែងតែមានឫសតែមួយ៖ .

2. ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញនៃទម្រង់ជាកន្លែង

២.១. ដំណោះស្រាយដោយប្រើអ្នករើសអើង

1) ចូរយើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ ,

2) គណនាការរើសអើងដោយប្រើរូបមន្ត៖ ដែលបង្ហាញពីចំនួនឫសនៃសមីការ៖

៣) ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ៖

• ប្រសិនបើ នោះសមីការមានឫសគល់ ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
• ប្រសិនបើ នោះសមីការមានឫសគល់ ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
• ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសគល់។

២.២. ដំណោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ (សមីការនៃទម្រង់ជាកន្លែង) គឺស្មើគ្នា ហើយផលនៃឫសគឺស្មើគ្នា ឧ. , ក.

២.៣. ដំណោះស្រាយការ៉េពេញ

ជាមួយនឹងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែលទេ។
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ជំនួសឱ្យវា៖ \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើនក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលប្អូនប្រុស ឬប្អូនស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមការ៉េទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់បញ្ចូលពហុនាមការ៉េ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។
ជាងនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែក្នុងទម្រង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគពីចំនួនគត់អាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2 \)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើតង្កៀប. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

អ្នកបានបិទ JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហាសំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូមរង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញពីភារកិច្ចអ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1,4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មានទម្រង់
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ត្រូវបានហៅ ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c ជាស្ទាក់ចាប់។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a \neq 0 \\) ថាមពលធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៅ x 2 គឺ 1 ត្រូវបានហៅ កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ b ឬ c ស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b = 0 នៅក្នុងទីពីរ c = 0 នៅក្នុងទីបី b = 0 និង c = 0 ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញមានបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ax2=0 ។

ពិចារណាពីដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ពាក្យទំនេររបស់វាត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \\)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0 \) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) ធ្វើកត្តាខាងឆ្វេងរបស់វា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \\right.\)

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 \u003d 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 \u003d 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលសមីការ quadratic ត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណទាំងពីរនៃមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនសូន្យ។

យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើ
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

យើងបំប្លែងសមីការនេះដោយគូសលើការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow\) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមឫសត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 (“រើសអើង” ជាភាសាឡាតាំង - distinguisher)។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាណនៃអ្នករើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការ quadratic មានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើតាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
២) បើអ្នករើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ប្រើរូបមន្តឫស បើអ្នករើសអើងអវិជ្ជមាន សរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ax 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

ដោយបានទទួលគំនិតទូទៅនៃសមភាព ហើយបានស្គាល់ប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទរបស់ពួកគេ - សមភាពជាលេខ អ្នកអាចចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីទម្រង់សមភាពមួយផ្សេងទៀតដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង - អំពីសមីការ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងវិភាគ តើអ្វីជាសមីការនិងអ្វីដែលហៅថាឫសគល់នៃសមីការ។ នៅទីនេះយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា ហើយក៏ផ្តល់ឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃសមីការ និងឫសគល់របស់វា។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមីការគឺជាអ្វី?

គោលបំណងនៃការស្គាល់សមីការជាធម្មតាចាប់ផ្តើមនៅក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យានៅថ្នាក់ទី 2 ។ នៅពេលនេះដូចខាងក្រោម និយមន័យសមីការ:

និយមន័យ។

សមីការគឺជាសមភាពដែលមានលេខមិនស្គាល់ដែលត្រូវរក។

លេខដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយប្រើអក្សរឡាតាំងតូចៗ ឧទាហរណ៍ p, t, u ជាដើម ប៉ុន្តែអក្សរ x, y និង z ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។

ដូច្នេះសមីការត្រូវបានកំណត់ពីទស្សនៈនៃទម្រង់នៃសញ្ញាណ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត សមភាពគឺជាសមីការមួយនៅពេលដែលវាគោរពតាមច្បាប់កំណត់ចំណាំដែលបានបញ្ជាក់ - វាមានអក្សរដែលតម្លៃត្រូវស្វែងរក។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការដំបូង និងសាមញ្ញបំផុត។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការដូចជា x=8, y=3 ជាដើម។ សមីការដែលមានសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ រួមជាមួយនឹងលេខ និងអក្សរមើលទៅស្មុគស្មាញបន្តិច ឧទាហរណ៍ x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 ។

ភាពខុសគ្នានៃសមីការរីកចម្រើនបន្ទាប់ពីស្គាល់ - សមីការជាមួយតង្កៀបចាប់ផ្តើមលេចឡើង ឧទាហរណ៍ 2 (x−1)=18 និង x+3 (x+2 (x−2))=3 ។ អក្សរដែលមិនស្គាល់អាចលេចឡើងច្រើនដងក្នុងសមីការ ឧទាហរណ៍ x+3+3 x−2−x=9 ហើយអក្សរអាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ នៅខាងស្តាំរបស់វា ឬនៅលើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 ឬ 3 x−4=2 (x+12) ។

លើសពីនេះ បន្ទាប់ពីសិក្សាលេខធម្មជាតិ មនុស្សម្នាក់បានស្គាល់ចំនួនគត់ សនិទានភាព ចំនួនពិត វត្ថុគណិតវិទ្យាថ្មីត្រូវបានសិក្សា៖ ដឺក្រេ ឫស លោការីត ។ល។ ខណៈពេលដែលសមីការប្រភេទថ្មីកាន់តែច្រើនឡើងដែលមានផ្ទុកវត្ថុទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍អាចរកបាននៅក្នុងអត្ថបទ។ ប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការបានសិក្សានៅសាលា។

នៅក្នុងថ្នាក់ទី 7 រួមជាមួយនឹងអក្សរដែលមានន័យថាលេខជាក់លាក់មួយចំនួនពួកគេចាប់ផ្តើមពិចារណាអក្សរដែលអាចទទួលយកតម្លៃផ្សេងគ្នាពួកគេត្រូវបានគេហៅថាអថេរ (សូមមើលអត្ថបទ) ។ ក្នុងករណីនេះ ពាក្យ "អថេរ" ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងនិយមន័យនៃសមីការ ហើយវាក្លាយជាដូចនេះ៖

និយមន័យ។

សមីការដាក់ឈ្មោះសមភាពដែលមានអថេរដែលតម្លៃត្រូវរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ x+3=6 x+7 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ x ហើយ 3 z−1+z=0 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ z ។

នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិតក្នុងថ្នាក់ទី 7 ដូចគ្នា មានការប្រជុំជាមួយសមីការដែលមាននៅក្នុងកំណត់ត្រារបស់ពួកគេមិនមែនមួយទេ ប៉ុន្តែអថេរមិនស្គាល់ពីរផ្សេងគ្នា។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានអថេរពីរ។ នៅពេលអនាគត វត្តមានរបស់អថេរបី ឬច្រើននៅក្នុងកំណត់ត្រាសមីការត្រូវបានអនុញ្ញាត។

និយមន័យ។

សមីការជាមួយមួយ ពីរ បី ។ល។ អថេរ- ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលមានអថេរមួយ, ពីរ, បី, ... ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងកំណត់ត្រារបស់ពួកគេរៀងៗខ្លួន។

ឧទាហរណ៍ សមីការ 3.2 x+0.5=1 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ x មួយ ហើយសមីការនៃទម្រង់ x−y=3 គឺជាសមីការដែលមានអថេរពីរ x និង y។ ហើយឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 = 27 ។ វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការបែបនេះគឺជាសមីការដែលមានអថេរមិនស្គាល់ចំនួនបី x, y និង z ។

តើអ្វីជាឫសគល់នៃសមីការ?

និយមន័យនៃឫសសមីការគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងនិយមន័យនៃសមីការ។ យើងនឹងអនុវត្តការវែកញែកមួយចំនួនដែលនឹងជួយយើងឱ្យយល់ពីអ្វីដែលឫសគល់នៃសមីការ។

ឧបមាថាយើងមានសមីការដែលមានអក្សរមួយ (អថេរ) ។ ប្រសិនបើជំនួសឱ្យអក្សរដែលបានបញ្ចូលក្នុងកំណត់ត្រានៃសមីការនេះ ចំនួនជាក់លាក់មួយត្រូវបានជំនួស នោះសមីការនឹងប្រែទៅជាសមភាពលេខ។ ជាងនេះទៅទៀត សមភាពលទ្ធផលអាចមានទាំងពិត និងមិនពិត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើជំនួសឱ្យអក្សរ a ក្នុងសមីការ a+1=5 យើងជំនួសលេខ 2 នោះយើងទទួលបានសមភាពលេខមិនត្រឹមត្រូវ 2+1=5 ។ ប្រសិនបើយើងជំនួសលេខ 4 ជំនួសឱ្យ a ក្នុងសមីការនេះ នោះយើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ 4+1=5។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ក្នុងករណីភាគច្រើន ចំណាប់អារម្មណ៍គឺជាតម្លៃនៃអថេរ ការជំនួសដែលចូលទៅក្នុងសមីការផ្តល់នូវសមភាពត្រឹមត្រូវ តម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាឫស ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។

និយមន័យ។

ឫសគល់នៃសមីការ- នេះគឺជាតម្លៃនៃអក្សរ (អថេរ) នៅពេលជំនួសសមីការប្រែទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

ចំណាំថាឫសនៃសមីការដែលមានអថេរមួយត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយនៃសមីការផងដែរ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ និងឫសគល់នៃសមីការ គឺជារឿងដូចគ្នា។

ចូរយើងពន្យល់និយមន័យនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រលប់ទៅសមីការដែលបានសរសេរខាងលើ a+1=5 ។ យោងទៅតាមនិយមន័យនៃឫសនៃសមីការ លេខ 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ ចាប់តាំងពីពេលដែលជំនួសលេខនេះជំនួសឱ្យអក្សរ a យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ 4+1=5 ហើយលេខ 2 មិនមែនទេ។ ឫសរបស់វា ព្រោះវាទាក់ទងទៅនឹងសមភាពមិនត្រឹមត្រូវនៃទម្រង់ 2+1=5 ។

ត្រង់ចំណុចនេះ សំណួរធម្មជាតិមួយចំនួនកើតឡើង៖ "តើសមីការណាមួយមានឫសគល់ ហើយសមីការដែលមានឫសគល់ប៉ុន្មាន"? យើងនឹងឆ្លើយពួកគេ។

មានសមីការទាំងឫស និងសមីការដោយគ្មានឫស។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x + 1 = 5 មានឫស 4 ហើយសមីការ 0 x = 5 មិនមានឫសទេ ព្រោះមិនថាលេខណាដែលយើងជំនួសក្នុងសមីការនេះជំនួសឱ្យអថេរ x យើងនឹងទទួលបានសមភាពខុស 0= ៥.

ចំពោះចំនួនឫសនៃសមីការមួយ មានសមីការទាំងពីរដែលមានចំនួនឫសកំណត់មួយចំនួន (មួយ ពីរ បី។ល។) និងសមីការដែលមានឫសច្រើនគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x−2=4 មានឫសតែមួយ 6 ឫសនៃសមីការ x 2 =9 មានពីរលេខ −3 និង 3 សមីការ x (x−1) (x−2)=0 មានបី។ ឫស 0 , 1 និង 2 ហើយដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x=x គឺជាចំនួនណាមួយ ពោលគឺវាមានចំនួនឫសគ្មានកំណត់។

ពាក្យពីរបីគួរតែត្រូវបាននិយាយអំពីសញ្ញាណដែលបានទទួលយកនៃឫសនៃសមីការ។ ប្រសិនបើសមីការមិនមានឫសគល់ នោះជាធម្មតាពួកគេសរសេរថា "សមីការមិនមានឫសគល់" ឬប្រើសញ្ញានៃសំណុំទទេ ∅ ។ ប្រសិនបើសមីការមានឫស នោះពួកវាត្រូវបានសរសេរបំបែកដោយក្បៀស ឬសរសេរជា កំណត់ធាតុនៅក្នុងតង្កៀបអង្កាញ់។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើឫសនៃសមីការគឺជាលេខ −1, 2 និង 4 បន្ទាប់មកសរសេរ −1, 2, 4 ឬ (−1, 2, 4) ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានផងដែរដើម្បីសរសេរឫសនៃសមីការក្នុងទម្រង់នៃសមភាពសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអក្សរ x ចូលក្នុងសមីការ ហើយឫសនៃសមីការនេះគឺជាលេខ 3 និង 5 នោះអ្នកអាចសរសេរ x=3, x=5, ហើយអក្សររង x 1=3, x 2=5 ត្រូវបានបន្ថែមជាញឹកញាប់។ ទៅអថេរ ដូចជាបង្ហាញលេខឫសនៃសមីការ។ សំណុំនៃឫសគល់នៃសមីការគ្មានដែនកំណត់ជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ហើយប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន សញ្ញាណនៃសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N, ចំនួនគត់ Z, ចំនួនពិត R ត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើឫសនៃសមីការដែលមានអថេរ x ជាចំនួនគត់ នោះត្រូវសរសេរ ហើយប្រសិនបើឫសនៃសមីការដែលមានអថេរ y គឺជាចំនួនពិតណាមួយពី 1 ដល់ 9 រួមបញ្ចូល បន្ទាប់មកសរសេរ។

សម្រាប់សមីការដែលមានអថេរពីរ បី និងច្រើន ជាក្បួន ពាក្យ "សមីការឫសគល់" មិនត្រូវបានប្រើទេ ក្នុងករណីទាំងនេះពួកគេនិយាយថា "ដំណោះស្រាយនៃសមីការ" ។ ដូចម្តេចដែលហៅថា ដំណោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរជាច្រើន? ចូរយើងផ្តល់និយមន័យសមស្របមួយ។

និយមន័យ។

ការដោះស្រាយសមីការជាមួយ ពីរ បី ។ល។ អថេរហៅគូ, បី, ល។ តម្លៃនៃអថេរដែលប្រែសមីការនេះទៅជាសមភាពលេខពិត។

យើងនឹងបង្ហាញឧទាហរណ៍ពន្យល់។ ពិចារណាសមីការដែលមានអថេរពីរ x+y=7 ។ យើងជំនួសលេខ 1 ជំនួសឱ្យ x និងលេខ 2 ជំនួសឱ្យ y ខណៈដែលយើងមានសមភាព 1 + 2 = 7 ។ ជាក់ស្តែង វាមិនត្រឹមត្រូវទេ ដូច្នេះគូនៃតម្លៃ x=1, y=2 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការសរសេរនោះទេ។ ប្រសិនបើយើងយកតម្លៃគូមួយ x=4 , y=3 នោះបន្ទាប់ពីការជំនួសទៅក្នុងសមីការ យើងនឹងមកដល់សមភាពត្រឹមត្រូវ 4+3=7 ដូច្នេះតម្លៃអថេរគូនេះតាមនិយមន័យគឺជាដំណោះស្រាយ។ ទៅសមីការ x + y = 7 ។

សមីការដែលមានអថេរច្រើន ដូចជាសមីការដែលមានអថេរតែមួយ អាចគ្មានឫស អាចមានឫសចំនួនកំណត់ ឬអាចមានឫសច្រើនគ្មានកំណត់។

គូ, បី, បួន ។ល។ តម្លៃ​អថេរ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​យ៉ាង​ខ្លី ដោយ​រាយ​តម្លៃ​របស់​វា​បំបែក​ដោយ​ក្បៀស​ក្នុង​វង់ក្រចក។ ក្នុងករណីនេះលេខដែលសរសេរក្នុងតង្កៀបត្រូវគ្នាទៅនឹងអថេរតាមលំដាប់អក្ខរក្រម។ ចូរ​បញ្ជាក់​ចំណុច​នេះ​ដោយ​ត្រឡប់​ទៅ​សមីការ​មុន x+y=7 ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ x=4, y=3 អាចសរសេរដោយសង្ខេបជា (4, 3)។

ការយកចិត្តទុកដាក់បំផុតនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃគណិតវិទ្យា ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគឺត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការជាមួយនឹងអថេរមួយ។ យើងនឹងវិភាគច្បាប់នៃដំណើរការនេះយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ.

គន្ថនិទ្ទេស។

• គណិតវិទ្យា. 2 កោសិកា ប្រូក សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័នជាមួយ adj ។ ទៅអេឡិចត្រុង។ ក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូន។ ម៉ោង២រសៀល វគ្គ១/ [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova និងអ្នកដទៃ] - លើកទី 3 ។ - M. : Education, 2012. - 96 p.: ill. - (សាលារុស្ស៊ី) ។ - ISBN 978-5-09-028297-0 ។
• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 7 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 17 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 240 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019315-3 ។
• ពិជគណិត៖ថ្នាក់ទី ៩៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2009. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-021134-5 ។

ប្រភេទសមីការ

កន្សោម ឃ= ខ 2 - ៤ អេហៅ រើសអើងសមីការ​ការ៉េ។ ប្រសិនបើឃ = 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតមួយ; ប្រសិនបើ D> 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតពីរ។
ក្នុងករណីនៅពេលណា ឃ = 0 ជួនកាលគេនិយាយថាសមីការបួនជ្រុងមានឫសដូចគ្នាពីរ។
ការប្រើប្រាស់សញ្ញាណ ឃ= ខ 2 - ៤ អេ, រូបមន្ត (2) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

ប្រសិនបើ ខ= 2 គបន្ទាប់មករូបមន្ត (២) យកទម្រង់៖

កន្លែងណា k= ខ / 2 .
រូបមន្តចុងក្រោយគឺងាយស្រួលជាពិសេសនៅពេល ខ / 2 គឺជាចំនួនគត់, i.e. មេគុណ ខ- ចំនួន​គូ។
ឧទាហរណ៍ 1៖ដោះស្រាយសមីការ 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . នៅទីនេះ a=2, b=-5, c=2. យើង​មាន ឃ= ខ 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . ដោយសារតែ ឃ > 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយរូបមន្ត (2)

ដូច្នេះ x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
នោះគឺ x 1 = 2 និង x 2 = 1 / 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍ 2៖ដោះស្រាយសមីការ 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . នៅទីនេះ a=2, b=-3, c=5. ស្វែងរកអ្នករើសអើង ឃ= ខ 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . ដោយសារតែ ឃ 0 បន្ទាប់មកសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ពូថៅ 2 +bx+ គ =0 មេគុណទីពីរ ខឬសមាជិកឥតគិតថ្លៃ គស្មើសូន្យ បន្ទាប់មកសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា មិនពេញលេញ. សមីការមិនពេញលេញត្រូវបានសម្គាល់ព្រោះដើម្បីស្វែងរកឫសរបស់វា អ្នកមិនអាចប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េបានទេ - វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយយកផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាទៅជាកត្តា។
ឧទាហរណ៍ 1៖ដោះស្រាយសមីការ 2 x 2 - 5 x = 0 .
យើង​មាន x(2 x - 5) = 0 . ដូច្នេះ x = 0 , ឬ 2 x - 5 = 0 នោះគឺ x = 2.5 . ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរ៖ 0 និង 2.5
ឧទាហរណ៍ 2៖ដោះស្រាយសមីការ 3 x 2 - 27 = 0 .
យើង​មាន 3 x 2 = 27 . ដូច្នេះឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ 3 និង -3 .

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ប្រសិនបើសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 2 +px+ q =0 មានឫសពិតប្រាកដ បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង - ទំហើយផលិតផលគឺ qនោះគឺ

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ)។

សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 8 ដូច្នេះមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅទីនេះទេ។ សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយពួកគេគឺចាំបាច់។

សមីការ quadratic គឺជាសមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 ដែលមេគុណ a , b និង c គឺជាលេខបំពាន និង a ≠ 0 ។

មុនពេលសិក្សាវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយជាក់លាក់ យើងកត់សំគាល់ថាសមីការការ៉េទាំងអស់អាចបែងចែកជាបីថ្នាក់៖

1. មិនមានឫស;
2. ពួកវាមានឫសតែមួយ។
3. ពួកគេមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

នេះគឺជាភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់រវាងសមីការការ៉េ និងលីនេអ៊ែរ ដែលឫសតែងតែមាន និងមានតែមួយគត់។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ថាតើសមីការមួយមានឫសប៉ុន្មាន? មានរឿងអស្ចារ្យសម្រាប់រឿងនេះ - រើសអើង.

រើសអើង

សូម​ឱ្យ​សមីការ​ការ៉េ​អ័ក្ស 2 + bx + c = 0 ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។ បន្ទាប់​មក​អ្នក​បែងចែក​គឺ​ជា​លេខ D = b 2 − 4ac ។

រូបមន្តនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ វាមកពីណាមិនសំខាន់ទេឥឡូវនេះ។ រឿងមួយទៀតគឺសំខាន់៖ តាមសញ្ញានៃអ្នករើសអើង អ្នកអាចកំណត់ថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសប៉ុន្មាន។ ពោលគឺ៖

1. ប្រសិនបើ D< 0, корней нет;
2. ប្រសិនបើ D = 0 មានឫសមួយពិតប្រាកដ។
3. ប្រសិនបើ D > 0 វានឹងមានឫសពីរ។

សូមចំណាំ៖ ការរើសអើងបង្ហាញពីចំនួនឫស ហើយមិនមែនសញ្ញាទាំងអស់របស់វានោះទេ ដូចជាហេតុផលមួយចំនួនដែលមនុស្សជាច្រើនគិត។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ អ្នកនឹងយល់គ្រប់យ៉ាងដោយខ្លួនឯង៖

កិច្ចការ។ តើសមីការការ៉េមានឫសប៉ុន្មាន៖

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0 ។

យើងសរសេរមេគុណសម្រាប់សមីការទីមួយ ហើយស្វែងរកការរើសអើង៖
a = 1, b = −8, c = 12;
ឃ = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ដូច្នេះ ការរើសអើងគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ យើងវិភាគសមីការទីពីរតាមរបៀបដូចគ្នា៖
a = 5; b = 3; c = 7;
ឃ \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131 ។

អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន គ្មានឫសគល់ទេ។ សមីការចុងក្រោយនៅសល់៖
a = 1; b = -6; c = 9;
ឃ = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0 ។

ការរើសអើងគឺស្មើនឹងសូន្យ - ឫសនឹងតែមួយ។

ចំណាំថាមេគុណត្រូវបានសរសេរចេញសម្រាប់សមីការនីមួយៗ។ បាទ វាវែង បាទ វាធុញទ្រាន់ - ប៉ុន្តែអ្នកនឹងមិនលាយឡំនឹងហាងឆេង ហើយកុំធ្វើកំហុសឆោតល្ងង់។ ជ្រើសរើសសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ ល្បឿនឬគុណភាព។

ដោយវិធីនេះប្រសិនបើអ្នក "បំពេញដៃរបស់អ្នក" បន្ទាប់ពីមួយរយៈអ្នកនឹងមិនចាំបាច់សរសេរមេគុណទាំងអស់ទៀតទេ។ អ្នកនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការបែបនេះនៅក្នុងក្បាលរបស់អ្នក។ មនុស្សភាគច្រើនចាប់ផ្តើមធ្វើវានៅកន្លែងណាមួយបន្ទាប់ពីសមីការដោះស្រាយ 50-70 - ជាទូទៅមិនមានច្រើនទេ។

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើការរើសអើង D > 0 ឫសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

នៅពេល D = 0 អ្នកអាចប្រើរូបមន្តទាំងនេះណាមួយ - អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាដែលនឹងជាចម្លើយ។ ជាចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0 ។

សមីការទីមួយ៖
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
ឃ = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16 ។

D > 0 ⇒ សមីការមានឫសពីរ។ តោះស្វែងរកពួកគេ៖

សមីការទីពីរ៖
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
ឃ = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64 ។

D > 0 ⇒ សមីការម្តងទៀតមានឫសពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកគេ។

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1\right))=-5; \\ & ((x)_(២))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1\right))=3. \\ \end(តម្រឹម)\]

ទីបំផុតសមីការទីបី៖
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
ឃ = 12 2 − 4 1 36 = 0 ។

D = 0 ⇒ សមីការមានឫសតែមួយ។ រូបមន្តណាមួយអាចត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍ទីមួយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពីឧទាហរណ៍អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីរូបមន្ត និងអាចរាប់បាន នោះនឹងមិនមានបញ្ហាអ្វីឡើយ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ កំហុសកើតឡើងនៅពេលដែលមេគុណអវិជ្ជមានត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងរូបមន្ត។ នៅទីនេះម្តងទៀត បច្ចេកទេសដែលបានពិពណ៌នាខាងលើនឹងជួយ: មើលរូបមន្តតាមព្យញ្ជនៈ គូរជំហាននីមួយៗ - និងកម្ចាត់កំហុសក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

វាកើតឡើងថាសមីការ quadratic គឺខុសគ្នាខ្លះពីអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងនិយមន័យ។ ឧទាហរណ៍:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0 ។

វាងាយស្រួលមើលថាពាក្យមួយត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការទាំងនេះ។ សមីការ quadratic បែបនេះគឺកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយជាងសមីការស្តង់ដារ៖ ពួកគេមិនចាំបាច់គណនាអ្នករើសអើងនោះទេ។ ដូច្នេះសូមណែនាំគំនិតថ្មី៖

សមីការ ax 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ប្រសិនបើ b = 0 ឬ c = 0, i.e. មេគុណនៃអថេរ x ឬធាតុទំនេរគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ជាការពិតណាស់ ករណីដ៏លំបាកមួយគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលមេគុណទាំងពីរនេះស្មើនឹងសូន្យ៖ b \u003d c \u003d 0 ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការយកទម្រង់ ax 2 \u003d 0 ។ ជាក់ស្តែង សមីការបែបនេះមានតែមួយ ឫស៖ x \u003d 0 ។

ចូរយើងពិចារណាករណីផ្សេងទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យ b \u003d 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 + c \u003d 0 ។ សូមបំប្លែងវាបន្តិច៖

ដោយសារ​ឫស​ការេ​នព្វន្ធ​មាន​តែ​មក​ពី​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​នោះ សមភាព​ចុង​ក្រោយ​មាន​ន័យ​តែ​នៅ​ពេល (−c/a) ≥ 0។ សេចក្តី​សន្និដ្ឋាន៖

1. ប្រសិនបើសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 + c = 0 បំពេញវិសមភាព (−c/a) ≥ 0 វានឹងមានឫសពីរ។ រូបមន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ;
2. ប្រសិនបើ (−c/a)< 0, корней нет.

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការរើសអើងមិនត្រូវបានទាមទារ - មិនមានការគណនាស្មុគស្មាញទាល់តែសោះនៅក្នុងសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ តាមការពិត វាមិនចាំបាច់សូម្បីតែចងចាំវិសមភាព (−c/a) ≥ 0។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញតម្លៃនៃ x 2 ហើយមើលអ្វីដែលនៅម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើមានលេខវិជ្ជមាននោះនឹងមានឫសពីរ។ ប្រសិនបើអវិជ្ជមានវានឹងមិនមានឫសអ្វីទាំងអស់។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx = 0 ដែលនៅក្នុងនោះ ធាតុទំនេរស្មើនឹងសូន្យ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ: វាតែងតែមានឫសពីរ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាពហុនាម៖

យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប

ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលឫសមកពី។ សរុបសេចក្តី យើងនឹងវិភាគសមីការទាំងនេះមួយចំនួន៖

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0 ។

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7 ។

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6 ។ មិនមានឫសទេពីព្រោះ ការ៉េមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានទេ។

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5 ។