Pythagoras គឺជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិក្រិចដែលរស់នៅប្រហែល 2500 ឆ្នាំមុន (564-473 មុនគ។

ចូរឱ្យត្រីកោណកែងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យភាគីណា ក, ខនិង ជាមួយ(រូបភាព 267) ។

តោះសង់ការ៉េនៅសងខាង។ តំបន់នៃការ៉េទាំងនេះគឺរៀងៗខ្លួន ក 2 , ខ 2 និង ជាមួយ២. ចូរយើងបញ្ជាក់ ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2 .

ចូរយើងសង់ការ៉េពីរ MKOR និង M'K'O'R' (រូបភាព 268, 269) ដោយយកផ្នែកម្ខាងនៃផ្នែកនីមួយៗដែលស្មើនឹងផលបូកនៃជើងនៃត្រីកោណខាងស្តាំ ABC ។

ដោយបានបញ្ចប់ការសាងសង់ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាព 268 និង 269 នៅក្នុងការ៉េទាំងនេះ យើងនឹងឃើញថាការ៉េ MKOR ត្រូវបានបែងចែកជាពីរការ៉េដែលមានតំបន់។ ក 2 និង ខ 2 និង 4 ត្រីកោណកែងស្មើគ្នា ដែលនីមួយៗស្មើនឹង ត្រីកោណខាងស្តាំ ABC ។ ការ៉េ M'K'O'R' ត្រូវបានបែងចែកទៅជាបួនជ្រុង (វាត្រូវបានដាក់ស្រមោលក្នុងរូបភាព 269) និងត្រីកោណមុំខាងស្តាំចំនួនបួន ដែលនីមួយៗក៏ស្មើនឹងត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ រាងចតុកោណកែងជារាងការ៉េ ដោយសារជ្រុងរបស់វាស្មើគ្នា (នីមួយៗស្មើនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណ ABC ពោលគឺឧ។ ជាមួយ) ហើយមុំគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ ∠1 + ∠2 = 90°, wherece ∠3 = 90°)។

ដូច្នេះផលបូកនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលសាងសង់នៅលើជើង (ក្នុងរូបភាព 268 ការេទាំងនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោល) គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េ MKOR ដោយគ្មានផលបូកនៃតំបន់នៃត្រីកោណស្មើគ្នាចំនួនបួន និងផ្ទៃដីនៃ ​ការ៉េ​ដែល​សង់​លើ​អ៊ីប៉ូតេនុស (ក្នុង​រូបភាព ២៦៩ ការ៉េ​នេះ​ក៏​មាន​ស្រមោល​ដែរ) គឺ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​ការ៉េ M'K'O'R' ស្មើ​នឹង​ការ៉េ​នៃ MKOR ដោយ​មិន​មាន​ផលបូក​នៃ​ផ្ទៃ​នៃ ត្រីកោណស្រដៀងគ្នាចំនួនបួន។ ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើង។

យើងទទួលបានរូបមន្ត ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2, កន្លែងណា ជាមួយ- អ៊ីប៉ូតេនុស កនិង ខ- ជើងនៃត្រីកោណកែង។

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean អាចត្រូវបានសង្ខេបដូចខាងក្រោម:

ការេនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង។

ពីរូបមន្ត ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2 អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តដូចខាងក្រោម:

ក 2 = ជាមួយ 2 - ខ 2 ;

b 2 = ជាមួយ 2 - ក 2 .

រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកផ្នែកដែលមិនស្គាល់នៃត្រីកោណកែងដែលផ្តល់ឱ្យភាគីទាំងពីររបស់វា។

ឧទាហរណ៍:

ក) ប្រសិនបើជើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក= 4 សង់ទីម៉ែត្រ, ខ\u003d 3 សង់ទីម៉ែត្រ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញអ៊ីប៉ូតេនុស ( ជាមួយ):

ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2, i.e. ជាមួយ 2 = 4 2 + 3 2 ; ជាមួយ 2 = 25, មកពីណា ជាមួយ= √25 = 5(cm);

ខ) ប្រសិនបើអ៊ីប៉ូតេនុសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ជាមួយ= 17 សង់ទីម៉ែត្រនិងជើង ក= 8 សង់ទីម៉ែត្របន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញជើងមួយទៀត ( ខ):

ខ 2 = ជាមួយ 2 - ក 2, i.e. ខ 2 = 17 2 - 8 2 ; ខ 2 = 225, មកពីណា ខ= √225 = 15 (សង់ទីម៉ែត្រ) ។

កូរ៉ូឡារី៖ ប្រសិនបើនៅក្នុងត្រីកោណកែងពីរ ABC និង A 1 B 1 C 1 អ៊ីប៉ូតេនុស ជាមួយនិង ជាមួយ 1 គឺស្មើនិងជើង ខត្រីកោណ ABC ធំជាងជើង ខ 1 ត្រីកោណ A 1 B 1 C 1,

បន្ទាប់មកជើង កត្រីកោណ ABC តិចជាងជើង ក 1 ត្រីកោណ A 1 B 1 C 1 ។

ជាការពិតណាស់ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងទទួលបាន៖

ក 2 = ជាមួយ 2 - ខ 2 ,

ក 1 2 = ជាមួយ 1 2 - ខ 1 2

នៅក្នុងរូបមន្តដែលបានសរសេរ លេខ minuends គឺស្មើគ្នា ហើយ subtrahend ក្នុងរូបមន្តទីមួយគឺធំជាង subtrahend ក្នុងរូបមន្តទីពីរ ដូច្នេះភាពខុសគ្នាទីមួយគឺតិចជាងទីពីរ។

i.e. ក 2 ក 1 2 ។ កន្លែងណា កក ១.

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឈ្មោះនេះត្រូវបានទទួលដោយកិត្តិយសរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រតែប៉ុណ្ណោះ ដោយហេតុផលថាគាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេ និងសូម្បីតែមនុស្សតែមួយគត់ដែលអាចបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទបាន។

ប្រវត្តិវិទូអាឡឺម៉ង់នៃគណិតវិទ្យា Kantor បានអះអាងថាទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេស្គាល់រួចទៅហើយសម្រាប់ប្រជាជនអេហ្ស៊ីបប្រហែល 2300 មុនគ។ អ៊ី គាត់ជឿថាមុំខាងស្តាំធ្លាប់ត្រូវបានសាងសង់ដោយសារត្រីកោណកែងដែលមានជ្រុង 3, 4 និង 5 ។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ល្បីល្បាញ Kepler បាននិយាយថាធរណីមាត្រមានកំណប់ដែលមិនអាចជំនួសបាន - នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ដោយសារវាអាចទៅរួចក្នុងការទាញយកទ្រឹស្តីបទភាគច្រើននៅក្នុងធរណីមាត្រ។

កាលពីមុន ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រឹស្តីបទកូនក្រមុំ" ឬ "ទ្រឹស្តីបទ nymph" ។ ហើយរឿងនេះគឺថាគំនូររបស់នាងគឺស្រដៀងទៅនឹងមេអំបៅឬ nymph ។ ជនជាតិអារ៉ាប់នៅពេលដែលពួកគេបានបកប្រែអត្ថបទនៃទ្រឹស្តីបទបានសម្រេចចិត្តថា nymph មានន័យថាកូនក្រមុំ។ នេះជារបៀបដែលឈ្មោះគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃទ្រឹស្តីបទបានបង្ហាញខ្លួន។

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean, រូបមន្ត

ទ្រឹស្តីបទ

- នៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយ ផលបូកនៃការ៉េនៃជើង () គឺស្មើនឹងការេនៃអ៊ីប៉ូតេនុស () ។ នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានមួយនៃធរណីមាត្រ Euclidean ។

រូបមន្ត៖

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ មានភ័ស្តុតាងផ្សេងៗគ្នាជាច្រើននៃទ្រឹស្តីបទ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាដែលមានលក្ខណៈចម្រុះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ទ្រឹស្តីបទតំបន់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាទូទៅ។

សង់ការ៉េនៅលើត្រីកោណ ( ខៀវ, បៃតង, ក្រហម)

នោះគឺផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើងគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។ ដូច្នោះហើយតំបន់នៃការ៉េទាំងនេះគឺស្មើគ្នា - ។ នេះគឺជាការពន្យល់ធរណីមាត្ររបស់ Pythagoras ។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទដោយវិធីសាស្រ្តតំបន់៖ ១ វិធី

ចូរយើងបញ្ជាក់។

ពិចារណាត្រីកោណដូចគ្នាដែលមានជើង a, b និងអ៊ីប៉ូតេនុស c ។

1. យើងបញ្ចប់ត្រីកោណខាងស្តាំទៅជាការ៉េ។ ពីជើង "a" យើងបន្តបន្ទាត់រហូតដល់ចម្ងាយជើង "b" (បន្ទាត់ក្រហម) ។
2. បន្ទាប់មកយើងគូរបន្ទាត់នៃជើងថ្មី "a" ទៅខាងស្តាំ (បន្ទាត់ពណ៌បៃតង) ។
3. យើងភ្ជាប់ជើងពីរជាមួយអ៊ីប៉ូតេនុស "គ" ។

វាប្រែចេញជាត្រីកោណដូចគ្នា តែដាក់បញ្ច្រាស។

ដូចគ្នានេះដែរ យើងសង់នៅម្ខាងទៀត៖ ពីជើង “a” យើងគូសបន្ទាត់នៃជើង “b” ហើយចុះក្រោម “a” និង “b” ហើយពីបាតជើង “b” យើងគូសបន្ទាត់នៃ ជើង "ក" ។ នៅចំកណ្តាលជើងនីមួយៗ អ៊ីប៉ូតេនុស "គ" ត្រូវបានគូរ។ ដូច្នេះអ៊ីប៉ូតេនុសបានបង្កើតជាការ៉េនៅកណ្តាល។

ការ៉េនេះមាន 4 ត្រីកោណដូចគ្នា។ និងតំបន់នៃត្រីកោណខាងស្តាំនីមួយៗ = ពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃជើងរបស់វា។ រៀងគ្នា, ។ ហើយផ្ទៃដីនៃការ៉េនៅកណ្តាល = ចាប់តាំងពីអ៊ីប៉ូតេនុសទាំង 4 មានជ្រុង។ ជ្រុងនៃចតុកោណកែងគឺស្មើគ្នា ហើយមុំត្រូវ។ តើ​យើង​អាច​បញ្ជាក់​ថា​មុំ​ត្រូវ​ដោយ​របៀប​ណា? សាមញ្ញ​ណាស់។ តោះយកការ៉េដូចគ្នា៖

យើងដឹងថាមុំទាំងពីរដែលបង្ហាញក្នុងរូបគឺ 90 ដឺក្រេ។ ដោយសារត្រីកោណស្មើគ្នា នោះមុំជើងបន្ទាប់ "b" គឺស្មើនឹងជើងមុន "b"៖

ផលបូកនៃមុំទាំងពីរនេះ = 90 ដឺក្រេ។ ដូច្នោះហើយមុំមុនក៏មាន 90 ដឺក្រេ។ ជាការពិតណាស់ ភាគីម្ខាងទៀតក៏ដូចគ្នាដែរ។ ដូច្នោះហើយ យើងពិតជាមានការ៉េដែលមានមុំខាងស្តាំ។

ដោយសារមុំស្រួចនៃត្រីកោណកែងគឺសរុប 90 ដឺក្រេ មុំនៃចតុកោណក៏នឹងមាន 90 ដឺក្រេដែរ ព្រោះមុំ 3 សរុប = 180 ដឺក្រេ។

ដូច្នោះហើយ តំបន់នៃការ៉េមួយមានតំបន់បួននៃត្រីកោណមុំខាងស្តាំដូចគ្នាបេះបិទ និងតំបន់នៃការ៉េដែលបង្កើតឡើងដោយអ៊ីប៉ូតេនុស។

ដូច្នេះយើងទទួលបានការ៉េជាមួយចំហៀង។ យើងដឹងថាផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលមានចំហៀងគឺជាការ៉េនៃចំហៀងរបស់វា។ I.e. ការ៉េនេះមានបួនជ្រុងដូចគ្នាបេះបិទ។

ហើយនេះមានន័យថាយើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

សំខាន់!!!ប្រសិនបើយើងរកឃើញអ៊ីប៉ូតេនុស នោះយើងបន្ថែមជើងពីរ ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានចម្លើយពីឫស។ នៅពេលរកឃើញជើងមួយ៖ ពីការ៉េនៃប្រវែងនៃជើងទីពីរ ដកការ៉េនៃប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយរកឫសការ៉េ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា

ឧទាហរណ៍ ១

កិច្ចការ

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ត្រីកោណកែងដែលមានជើង 4 និង 5 ។

ស្វែងរកអ៊ីប៉ូតេនុស។ ដរាបណាយើងសម្គាល់វាជាមួយ

ការសម្រេចចិត្ត

ផលបូកនៃការ៉េនៃជើងគឺស្មើនឹងការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស។ ក្នុងករណីរបស់យើង - ។

ចូរយើងប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖

ដូច្នេះ ក. ជើងបន្ថែមរហូតដល់ 41 ។

បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺ 41 ។

ការេនៃលេខ 41 = 6.4 ។

យើងបានរកឃើញអ៊ីប៉ូតេនុស។

ចម្លើយ

អ៊ីប៉ូតេនុស = ៦.៤

សក្ដានុពលសម្រាប់ការច្នៃប្រឌិតជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈមនុស្សជាតិ ដោយបន្សល់ទុកនូវការវិភាគតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ វិធីសាស្រ្តជាក់ស្តែង និងភាសាស្ងួតនៃរូបមន្ត និងលេខ។ គណិតវិទ្យាមិនអាចចាត់ថ្នាក់ជាមុខវិជ្ជាមនុស្សសាស្ត្របានទេ។ ប៉ុន្តែដោយគ្មានភាពច្នៃប្រឌិតនៅក្នុង "មហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់" អ្នកនឹងមិនទៅឆ្ងាយទេ - មនុស្សបានដឹងអំពីរឿងនេះជាយូរមកហើយ។ ឧទាហរណ៍ចាប់តាំងពីសម័យ Pythagoras ។

ជាអកុសល សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាជាធម្មតាមិនពន្យល់ថានៅក្នុងគណិតវិទ្យាវាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែទ្រឹស្តីបទ អ័ក្ស និងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះទេ។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការយល់ដឹង និងមានអារម្មណ៍ថាគោលការណ៍គ្រឹះរបស់វា។ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានេះ ព្យាយាមដោះលែងចិត្តរបស់អ្នកពី clichés និងការពិតបឋម - មានតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌបែបនេះទេដែលការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យទាំងអស់បានកើតមក។

របកគំហើញបែបនេះរួមមាន ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ដែលសព្វថ្ងៃនេះយើងស្គាល់។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងព្យាយាមបង្ហាញថា គណិតវិទ្យាមិនត្រឹមតែអាចទេ ប៉ុន្តែគួរតែរីករាយ។ ហើយថាការផ្សងព្រេងនេះគឺសមរម្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់ nerds នៅក្នុងវ៉ែនតាក្រាស់, ប៉ុន្តែសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នាដែលមានចិត្តរឹងមាំនិងរឹងមាំនៅក្នុងស្មារតី។

ពីប្រវត្តិនៃបញ្ហា

និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ទោះបីជាទ្រឹស្តីបទត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៉ា" ក៏ដោយ ក៏ Pythagoras ខ្លួនឯងក៏មិនបានរកឃើញវាដែរ។ ត្រីកោណកែង និងលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសរបស់វាត្រូវបានសិក្សាជាយូរមកហើយ។ មានទស្សនៈពីរចំណុចលើបញ្ហានេះ។ យោងតាមកំណែមួយ Pythagoras គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលស្វែងរកភស្តុតាងពេញលេញនៃទ្រឹស្តីបទ។ យោងទៅតាមមួយផ្សេងទៀត ភស្តុតាងមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្នកនិពន្ធ Pythagoras ទេ។

ថ្ងៃ​នេះ​អ្នក​មិន​អាច​ពិនិត្យ​មើល​អ្នក​ណា​ត្រូវ និង​អ្នក​ណា​ខុស​ទៀត​ទេ។ គេគ្រាន់តែដឹងថា ភស្តុតាងនៃ Pythagoras ប្រសិនបើវាធ្លាប់មាន គឺមិននៅមានជីវិត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានការផ្ដល់យោបល់ថា ភស្តុតាងដ៏ល្បីល្បាញពី Euclid's Elements អាចជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Pythagoras ហើយ Euclid បានកត់ត្រាវាតែប៉ុណ្ណោះ។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះថាបញ្ហាអំពីត្រីកោណមុំខាងស្តាំត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងប្រភពអេហ្ស៊ីបពីសម័យរបស់ស្តេចផារ៉ោនអាមេនហេតទី 1 នៅលើបន្ទះដីឥដ្ឋបាប៊ីឡូនពីរជ្ជកាលរបស់ស្តេចហាំមូរ៉ាប៊ីនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាឥណ្ឌាបុរាណ Sulva Sutra និងការងារចិនបុរាណ Zhou ។ -ប៊ី សួនជីន។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបានកាន់កាប់គំនិតរបស់គណិតវិទូតាំងពីបុរាណកាល។ ប្រហែល ៣៦៧ បំណែកនៃភ័ស្តុតាងផ្សេងៗដែលមានសព្វថ្ងៃនេះបម្រើជាការបញ្ជាក់។ គ្មានទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតអាចប្រកួតប្រជែងជាមួយវាក្នុងន័យនេះទេ។ អ្នកនិពន្ធភស្តុតាងសំខាន់ៗរួមមាន Leonardo da Vinci និងប្រធានាធិបតីទី 20 នៃសហរដ្ឋអាមេរិក James Garfield ។ ទាំងអស់នេះនិយាយអំពីសារៈសំខាន់ខ្លាំងនៃទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់គណិតវិទ្យា៖ ទ្រឹស្តីបទនៃធរណីមាត្រភាគច្រើនបានមកពីវា ឬតាមមធ្យោបាយមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀតដែលភ្ជាប់ជាមួយវា។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ

សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាភាគច្រើនផ្តល់ភស្តុតាងពិជគណិត។ ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទគឺស្ថិតនៅក្នុងធរណីមាត្រ ដូច្នេះដំបូង ចូរយើងពិចារណាអំពីភស្តុតាងទាំងនោះនៃទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញដែលផ្អែកលើវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។

ភស្តុតាង ១

សម្រាប់ភ័ស្តុតាងដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រសម្រាប់ត្រីកោណកែង អ្នកត្រូវកំណត់លក្ខខណ្ឌដ៏ល្អ៖ អនុញ្ញាតឱ្យត្រីកោណមិនត្រឹមតែជាមុំខាងស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានអ៊ីសូសែលផងដែរ។ មានហេតុផលដើម្បីជឿថាវាជាត្រីកោណដែលត្រូវបានពិចារណាដោយគណិតវិទូបុរាណ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ការេដែលសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េដែលសង់នៅលើជើងរបស់វា"អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយគំនូរខាងក្រោម៖

ក្រឡេកមើលត្រីកោណកែង ABC៖ នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស AC អ្នកអាចសង់ការ៉េដែលមានត្រីកោណបួនស្មើនឹង ABC ដើម។ ហើយនៅលើជើង AB និង BC បានសាងសង់នៅលើការ៉េដែលនីមួយៗមានត្រីកោណស្រដៀងគ្នាពីរ។

ដោយវិធីនេះ គំនូរនេះបានបង្កើតមូលដ្ឋាននៃរឿងរ៉ាវ និងគំនូរជីវចលជាច្រើនដែលឧទ្ទិសដល់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ប្រហែលជាល្បីល្បាញបំផុត។ "ខោ Pythagorean គឺស្មើគ្នានៅគ្រប់ទិសទី":

ភស្តុតាង ២

វិធីសាស្រ្តនេះរួមបញ្ចូលគ្នានូវពិជគណិត និងធរណីមាត្រ ហើយអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃភស្តុតាងឥណ្ឌាបុរាណរបស់គណិតវិទូ Bhaskari ។

បង្កើតត្រីកោណកែងជាមួយជ្រុង a, b និង c(រូបទី 1) ។ បនា្ទាប់មកសង់ការ៉េពីរដែលមានជ្រុងស្មើនឹងផលបូកនៃប្រវែងនៃជើងទាំងពីរ - (a+b). នៅក្នុងការ៉េនីមួយៗ ធ្វើសំណង់ដូចក្នុងរូបភាពទី 2 និងទី 3 ។

ក្នុង​ការេ​ទី​មួយ បង្កើត​ត្រីកោណ​បួន​ដូច​គ្នា​ក្នុង​រូបភាព​ទី 1។ ជា​លទ្ធផល ការ​ការ៉េ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ទទួល៖ មួយ​មាន​ចំហៀង a ទីពីរ​ជាមួយ​ចំហៀង ខ.

ក្នុង​ការេ​ទី​ពីរ ត្រីកោណ​ស្រដៀង​គ្នា​ចំនួន​បួន​បាន​បង្កើត​ជា​ការ៉េ​ដែល​មាន​ជ្រុង​ស្មើ​នឹង​អ៊ីប៉ូតេនុស គ.

ផលបូកនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបានសាងសង់ក្នុងរូបភាពទី 2 គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលយើងសាងសង់ដោយចំហៀង c ក្នុងរូបទី 3 ។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលដោយការគណនាតំបន់នៃការ៉េនៅក្នុងរូបភព។ 2 យោងតាមរូបមន្ត។ និងផ្ទៃនៃការ៉េចារឹកក្នុងរូបភាពទី 3. ដោយដកតំបន់នៃត្រីកោណកែងស្តាំចំនួនបួនដែលចារឹកក្នុងការ៉េពីផ្ទៃដីនៃការ៉េធំដែលមានជ្រុងម្ខាង។ (a+b).

ទម្លាក់ទាំងអស់នេះ យើងមាន៖ a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. ពង្រីកតង្កៀប ធ្វើការគណនាពិជគណិតចាំបាច់ទាំងអស់ ហើយទទួលបានវា។ a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះតំបន់នៃសិលាចារឹកនៅក្នុង Fig.3 ។ ការ៉េក៏អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តប្រពៃណី S=c2. ទាំងនោះ។ a2+b2=c2អ្នក​បាន​បង្ហាញ​ពី​ទ្រឹស្ដី​ពីតាហ្គោរ។

ភស្តុតាង ៣

ភស្តុតាងឥណ្ឌាបុរាណដូចគ្នាត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងសតវត្សទី 12 នៅក្នុងសៀវភៅ "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani") ហើយជាអាគុយម៉ង់ចម្បងដែលអ្នកនិពន្ធប្រើបណ្តឹងឧទ្ធរណ៍ដែលនិយាយអំពីទេពកោសល្យគណិតវិទ្យានិងអំណាចនៃការសង្កេតរបស់សិស្សនិង អ្នកដើរតាម៖ "មើល!"

ប៉ុន្តែយើងនឹងវិភាគភស្តុតាងនេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត៖

នៅខាងក្នុងការ៉េ បង្កើតត្រីកោណមុំខាងស្តាំចំនួនបួន ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងគំនូរ។ ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េធំដែលជាអ៊ីប៉ូតេនុសក៏ត្រូវបានសម្គាល់ ជាមួយ. ចូរហៅជើងនៃត្រីកោណ កនិង ខ. យោងតាមគំនូរផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េខាងក្នុងគឺ (a-b).

ប្រើរូបមន្តផ្ទៃការ៉េ S=c2ដើម្បីគណនាផ្ទៃដីនៃការ៉េខាងក្រៅ។ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នាគណនាតម្លៃដូចគ្នាដោយបន្ថែមផ្ទៃដីនៃការ៉េខាងក្នុង និងផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងបួន៖ (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

អ្នក​អាច​ប្រើ​ជម្រើស​ទាំងពីរ​ដើម្បី​គណនា​ផ្ទៃដី​នៃ​ការ៉េ​ដើម្បី​ប្រាកដថា​ពួកគេ​ផ្តល់​លទ្ធផល​ដូចគ្នា។ ហើយវាផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវសិទ្ធិក្នុងការសរសេរវា។ c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ជាលទ្ធផលនៃដំណោះស្រាយអ្នកនឹងទទួលបានរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ c2=a2+b2. ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាង ៤

ភស្តុតាងចិនបុរាណដែលចង់ដឹងចង់ឃើញនេះត្រូវបានគេហៅថា "កៅអីកូនក្រមុំ" - ​​ដោយសារតែតួលេខដូចកៅអីដែលកើតឡើងពីសំណង់ទាំងអស់:

វាប្រើគំនូរដែលយើងបានឃើញរួចហើយនៅក្នុងរូបភាពទី 3 នៅក្នុងភស្តុតាងទីពីរ។ ហើយ​ជ្រុង​ខាង​ក្នុង​ដែល​មាន​ចំហៀង c ត្រូវ​បាន​គេ​សាងសង់​ដូច​គ្នា​នឹង​ភស្តុតាង​ឥណ្ឌា​បុរាណ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ខាង​លើ។

ប្រសិនបើអ្នកកាត់ចេញត្រីកោណមុំខាងស្តាំពណ៌បៃតងចំនួនពីរចេញពីគំនូរក្នុងរូបភាពទី 1 ផ្ទេរពួកវាទៅជ្រុងម្ខាងនៃការ៉េដោយផ្នែក C ហើយភ្ជាប់អ៊ីប៉ូតេនុសទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណលីឡាក់ អ្នកនឹងទទួលបានតួរលេខហៅថា "កូនក្រមុំ"។ កៅអី” (រូបភាពទី 2) ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់អ្នកអាចធ្វើដូចគ្នាជាមួយការ៉េក្រដាសនិងត្រីកោណ។ អ្នកនឹងឃើញថា "កៅអីកូនក្រមុំ" ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការ៉េពីរ: តូចមួយដែលមានចំហៀង ខនិងធំជាមួយចំហៀង ក.

សំណង់ទាំងនេះបានអនុញ្ញាតឱ្យគណិតវិទូចិនបុរាណ និងពួកយើងធ្វើតាមពួកគេ ឈានដល់ការសន្និដ្ឋាននោះ។ c2=a2+b2.

ភស្តុតាង ៥

នេះ​ជា​វិធី​មួយ​ទៀត​ដើម្បី​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​ទ្រឹស្ដី​ពីតាហ្គោរ ដែល​ផ្អែក​លើ​ធរណីមាត្រ។ វាត្រូវបានគេហៅថា Garfield Method ។

បង្កើតត្រីកោណកែង ABC. យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្តជើង ACនិងបង្កើតផ្នែកមួយ។ ស៊ីឌីដែលស្មើនឹងជើង AB. កាត់កែងទាប ADផ្នែកបន្ទាត់ ED. ចម្រៀក EDនិង ACគឺស្មើគ្នា។ ភ្ជាប់ចំណុច អ៊ីនិង អេក៏ដូចជា អ៊ីនិង ជាមួយនិងទទួលបានគំនូរដូចរូបភាពខាងក្រោម៖

ដើម្បីបញ្ជាក់ប៉ម យើងងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តដែលយើងបានសាកល្បងរួចហើយ៖ យើងរកឃើញផ្ទៃនៃតួលេខលទ្ធផលតាមពីរវិធី ហើយយកកន្សោមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

ស្វែងរកតំបន់នៃពហុកោណ គ្រែអាចត្រូវបានធ្វើដោយបន្ថែមតំបន់នៃត្រីកោណទាំងបីដែលបង្កើតវា។ និងមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ERUមិនត្រឹមតែរាងចតុកោណប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងជា isosceles ទៀតផង។ យើង​ក៏​មិន​ភ្លេច​ដែរ។ AB=CD, AC=EDនិង BC=CE- វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យើង​សម្រួល​ដល់​ការ​ថត​និង​មិន​ផ្ទុក​លើស​ទម្ងន់​វា​។ ដូច្នេះ S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ទន្ទឹមនឹងនេះដែរវាច្បាស់ណាស់។ គ្រែគឺជា trapezoid ។ ដូច្នេះយើងគណនាផ្ទៃដីរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត៖ SABED=(DE+AB)*1/2AD. សម្រាប់ការគណនារបស់យើង វាកាន់តែងាយស្រួល និងច្បាស់ជាងក្នុងការតំណាងឱ្យផ្នែក ADជាផលបូកនៃផ្នែក ACនិង ស៊ីឌី.

ចូរយើងសរសេរវិធីទាំងពីរដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដោយដាក់សញ្ញាស្មើគ្នារវាងពួកវា៖ AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). យើងប្រើសមភាពនៃផ្នែកដែលគេស្គាល់រួចមកហើយ ហើយបានពិពណ៌នាខាងលើ ដើម្បីសម្រួលផ្នែកខាងស្តាំនៃសញ្ញាណៈ AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) ២. ហើយឥឡូវនេះ យើងបើកតង្កៀប និងបំប្លែងសមភាព៖ AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ដោយបានបញ្ចប់ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ យើងទទួលបានអ្វីដែលយើងត្រូវការ៖ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។

ជាការពិតណាស់ បញ្ជីភស្តុតាងនេះគឺនៅឆ្ងាយពីពេញលេញ។ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ក៏អាចបញ្ជាក់បានដោយប្រើវ៉ិចទ័រ ចំនួនកុំផ្លិច សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ល។ ហើយសូម្បីតែអ្នករូបវិទ្យា៖ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ អង្គធាតុរាវត្រូវបានចាក់ចូលទៅក្នុងបរិមាណការ៉េ និងរាងត្រីកោណស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានបង្ហាញក្នុងគំនូរ។ តាមរយៈការចាក់រាវ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ពីសមភាពនៃតំបន់ និងទ្រឹស្តីបទខ្លួនវាជាលទ្ធផល។

ពាក្យពីរបីអំពី Pythagorean triplets

បញ្ហានេះមានតិចតួច ឬមិនបានសិក្សានៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរវាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ហើយមានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងនៅក្នុងធរណីមាត្រ។ Pythagorean triples ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាច្រើន។ គំនិតរបស់ពួកវាអាចមានប្រយោជន៍ចំពោះអ្នកក្នុងការអប់រំបន្ថែម។

ដូច្នេះតើអ្វីទៅជាបីដង Pythagorean? ដូច្នេះគេហៅថាលេខធម្មជាតិ ប្រមូលជាបី ផលបូកនៃការេនៃពីរដែលស្មើនឹងលេខទីបីការ៉េ។

Pythagorean បីដងអាចជាៈ

• primitive (លេខទាំងបីគឺសំខាន់ទាក់ទងគ្នា);
• non-primitive (ប្រសិនបើលេខនីមួយៗនៃ triple ត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា នោះអ្នកទទួលបាន triple ថ្មីដែលមិនមែនជា primitive)។

សូម្បីតែមុនសម័យរបស់យើងក៏ដោយ ប្រជាជនអេស៊ីបបុរាណបានចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះចំនួនបីដង Pythagorean៖ នៅក្នុងកិច្ចការដែលពួកគេបានចាត់ទុកថាជាត្រីកោណមុំខាងស្តាំដែលមានជ្រុងនៃ 3.4 និង 5 ឯកតា។ ដោយវិធីនេះ ត្រីកោណណាមួយដែលជ្រុងរបស់វាស្មើនឹងលេខពី Pythagorean បីគឺតាមលំនាំដើមចតុកោណ។

ឧទាហរណ៍នៃព្យញ្ជនៈបីដង៖ (៣, ៤, ៥), (៦, ៨, ១០), (៥, ១២, ១៣), (៩, ១២, ១៥), (៨, ១៥, ១៧), (១២, ១៦, ២០) ), (១៥, ២០, ២៥), (៧, ២៤, ២៥), (១០, ២៤, ២៦), (២០, ២១, ២៩), (១៨, ២៤, ៣០), (១០, ៣០, ៣៤ ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ជាដើម។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean រកឃើញការអនុវត្តមិនត្រឹមតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងស្ថាបត្យកម្ម និងសំណង់ តារាសាស្ត្រ និងសូម្បីតែអក្សរសិល្ប៍ផងដែរ។

ទីមួយ អំពីការសាងសង់៖ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ រកឃើញការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវានៅក្នុងបញ្ហានៃកម្រិតផ្សេងគ្នានៃភាពស្មុគស្មាញ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមក្រឡេកមើលបង្អួចរ៉ូម៉ាំង៖

ចូរសម្គាល់ទទឹងនៃបង្អួចជា ខបន្ទាប់មកកាំនៃរង្វង់ធំអាចត្រូវបានតំណាងថាជា រនិងបញ្ចេញមតិតាមរយៈ b: R = b/2. កាំនៃរង្វង់តូចជាងនេះក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជា b: r=b/4. នៅក្នុងបញ្ហានេះយើងចាប់អារម្មណ៍លើកាំនៃរង្វង់ខាងក្នុងនៃបង្អួច (សូមហៅវា។ ទំ).

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean ងាយស្រួលគណនា រ. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើត្រីកោណមុំខាងស្តាំដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុចនៅក្នុងរូបភាព។ អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណមានកាំពីរ៖ b/4+ ទំ. ជើងមួយគឺជាកាំ ខ/៤, មួយផ្សេងទៀត b/2-p. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងសរសេរ៖ (b/4+p)2 =(b/4)2 +(b/2-p)2. បន្ទាប់យើងបើកតង្កៀបនិងទទួលបាន b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. ចូរយើងបំប្លែងកន្សោមនេះទៅជា bp/2=b 2/4-bp. ហើយបន្ទាប់មកយើងបែងចែកពាក្យទាំងអស់ទៅជា ខយើងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នាដើម្បីទទួលបាន 3/2*p=b/4. ហើយនៅទីបញ្ចប់យើងរកឃើញវា។ p=b/6- ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវការ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ អ្នកអាចគណនាប្រវែងនៃក្បូនសម្រាប់ដំបូល។ កំណត់ថាតើប៉មចល័តខ្ពស់ប៉ុណ្ណាដែលត្រូវការសម្រាប់សញ្ញាដើម្បីឈានដល់ការតាំងទីលំនៅជាក់លាក់មួយ។ ហើយថែមទាំងដំឡើងដើមឈើណូអែលជាលំដាប់នៅក្នុងការ៉េទីក្រុង។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញទ្រឹស្តីបទនេះមិនត្រឹមតែនៅលើទំព័រនៃសៀវភៅសិក្សាប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែវាច្រើនតែមានប្រយោជន៍ក្នុងជីវិតពិត។

បើនិយាយពីអក្សរសិល្ប៍វិញ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបានបំផុសគំនិតអ្នកនិពន្ធតាំងពីបុរាណកាលមក ហើយបន្តធ្វើរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិពន្ធជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Adelbert von Chamisso សតវត្សទីដប់ប្រាំបួនត្រូវបានបំផុសគំនិតដោយនាងឱ្យសរសេរ sonnet មួយ:

ពន្លឺនៃសេចក្តីពិតនឹងមិនរលាយបាត់ក្នុងពេលឆាប់ៗនេះទេ
ប៉ុន្តែ​ដោយ​មាន​ពន្លឺ​ចែងចាំង វា​ទំនង​ជា​មិន​រលាយ​ឡើយ។
ហើយដូចជារាប់ពាន់ឆ្នាំមុន
នឹងមិនបង្កឱ្យមានការសង្ស័យនិងជម្លោះ។

ឆ្លាតបំផុតនៅពេលវាប៉ះភ្នែក
ពន្លឺនៃសេចក្តីពិត សូមអរគុណព្រះ;
និងគោមួយរយក្បាល ចាក់ កុហក -
អំណោយត្រឡប់មកវិញនៃសំណាង Pythagoras ។

តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក ហ្វូង​គោ​ក៏​គ្រហឹម​យ៉ាង​ខ្លាំង៖
ដាស់តឿនកុលសម្ព័ន្ធគោជារៀងរហូត
ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានលើកឡើងនៅទីនេះ។

ពួកគេគិតថាវាដល់ពេលហើយ។
ហើយម្តងទៀតពួកគេនឹងត្រូវបូជា
ទ្រឹស្តីបទដ៏អស្ចារ្យមួយចំនួន។

(បកប្រែដោយ Viktor Toporov)

ហើយនៅក្នុងសតវត្សទី 20 អ្នកនិពន្ធសូវៀត Yevgeny Veltisov នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "ដំណើរផ្សងព្រេងនៃអេឡិចត្រូនិច" បានលះបង់ជំពូកទាំងមូលចំពោះភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ហើយពាក់កណ្តាលជំពូកនៃរឿងអំពីពិភពលោកពីរវិមាត្រដែលអាចមានប្រសិនបើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបានក្លាយជាច្បាប់មូលដ្ឋាន និងសូម្បីតែសាសនាសម្រាប់ពិភពលោកតែមួយ។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរស់នៅក្នុងវា ប៉ុន្តែក៏គួរឱ្យធុញជាងនេះផងដែរ៖ ឧទាហរណ៍ គ្មាននរណាម្នាក់នៅទីនោះយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ "ជុំ" និង " fluffy" នោះទេ។

ហើយនៅក្នុងសៀវភៅ "ដំណើរផ្សងព្រេងនៃអេឡិចត្រូនិច" អ្នកនិពន្ធតាមរយៈមាត់របស់គ្រូគណិតវិទ្យា តា រតនា និយាយថា "រឿងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺចលនានៃការគិត គំនិតថ្មីៗ"។ វាគឺជាការហោះហើរប្រកបដោយការច្នៃប្រឌិតដែលបង្កើតទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ - វាមិនមែនសម្រាប់គ្មានអ្វីដែលវាមានភស្តុតាងចម្រុះជាច្រើន។ វាជួយឱ្យលើសពីធម្មតា ហើយមើលអ្វីដែលធ្លាប់ស្គាល់នៅក្នុងវិធីថ្មីមួយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អត្ថបទនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីឱ្យអ្នកអាចមើលហួសពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយរៀនមិនត្រឹមតែភស្តុតាងទាំងនោះនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា "ធរណីមាត្រ 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) និង "ធរណីមាត្រ 7-11 ” (A.V. Pogorelov) ប៉ុន្តែក៏មានវិធីចង់ដឹងចង់ឃើញផ្សេងទៀតដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញផងដែរ។ ហើយ​ក៏​មើល​ឧទាហរណ៍​អំពី​របៀប​ដែល​ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean អាច​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ក្នុង​ជីវិត​ប្រចាំថ្ងៃ។

ទីមួយ ព័ត៌មាននេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទាមទារពិន្ទុខ្ពស់ជាងនៅក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យា - ព័ត៌មានអំពីប្រធានបទពីប្រភពបន្ថែមគឺតែងតែត្រូវបានគេវាយតម្លៃខ្ពស់។

ទីពីរ យើង​ចង់​ជួយ​អ្នក​ឱ្យ​មាន​អារម្មណ៍​ថា​តើ​គណិតវិទ្យា​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ប៉ុណ្ណា។ ដើម្បីបញ្ចុះបញ្ចូលដោយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ថាតែងតែមានកន្លែងសម្រាប់ការច្នៃប្រឌិតនៅក្នុងវា។ យើងសង្ឃឹមថាទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និងអត្ថបទនេះនឹងជម្រុញអ្នកឱ្យធ្វើការស្រាវជ្រាវផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក និងការរកឃើញដ៏គួរឱ្យរំភើបនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។

ប្រាប់យើងនៅក្នុងមតិយោបល់ ប្រសិនបើអ្នករកឃើញភស្តុតាងដែលបង្ហាញក្នុងអត្ថបទគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ តើអ្នកយល់ថាព័ត៌មាននេះមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សារបស់អ្នកទេ? អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីអ្វីដែលអ្នកគិតអំពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និងអត្ថបទនេះ - យើងនឹងរីករាយក្នុងការពិភាក្សារឿងទាំងអស់នេះជាមួយអ្នក។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖ ផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េដែលគាំទ្រដោយជើង ( កនិង ខ), គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស ( គ).

រូបមន្តធរណីមាត្រ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងដូចខាងក្រោមៈ

រូបមន្តពិជគណិត៖

នោះគឺការបង្ហាញពីប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណឆ្លងកាត់ គនិងប្រវែងនៃជើងឆ្លងកាត់ កនិង ខ :

ក 2 + ខ 2 = គ 2

រូបមន្តទាំងពីរនៃទ្រឹស្តីបទគឺសមមូល ប៉ុន្តែរូបមន្តទីពីរគឺមានលក្ខណៈបឋមជាង វាមិនតម្រូវឱ្យមានគោលគំនិតនៃផ្ទៃទេ។ នោះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយមិនចាំបាច់ដឹងអ្វីទាំងអស់អំពីតំបន់ និងដោយវាស់តែប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបញ្ច្រាស៖

ភស្តុតាង​មួយ​នៃ

នៅពេលនេះ ភស្តុតាងចំនួន ៣៦៧ នៃទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានកត់ត្រានៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រ។ ប្រហែលជាទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ គឺជាទ្រឹស្តីបទតែមួយគត់ដែលមានភស្តុតាងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ ភាពខុសគ្នាបែបនេះអាចត្រូវបានពន្យល់បានតែដោយសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ធរណីមាត្រ។

ជាការពិតណាស់ តាមគំនិត ពួកវាទាំងអស់អាចបែងចែកទៅជាថ្នាក់មួយចំនួនតូច។ ភាពល្បីល្បាញបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ៖ ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្ត្រតំបន់ ភស្តុតាង axiomatic និង exotic (ឧទាហរណ៍ ការប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល)។

តាមរយៈត្រីកោណស្រដៀងគ្នា

ភស្តុតាងខាងក្រោមនៃការបង្កើតពិជគណិតគឺសាមញ្ញបំផុតនៃភស្តុតាងដែលបានសាងសង់ដោយផ្ទាល់ពី axioms ។ ជាពិសេស វាមិនប្រើគោលគំនិតនៃផ្ទៃរូបទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ABCមានត្រីកោណមុំខាងស្តាំ គ. តោះគូរកម្ពស់ពី គនិងកំណត់មូលដ្ឋានរបស់វាដោយ ហ. ត្រីកោណ អេចស្រដៀងនឹងត្រីកោណ ABCនៅជ្រុងពីរ។ ដូចគ្នានេះដែរត្រីកោណ CBHស្រដៀងគ្នា ABC. ការណែនាំអំពីសញ្ញាណ

យើង​ទទួល​បាន

អ្វីដែលស្មើ

បន្ថែម យើងទទួលបាន

ភស្តុតាងនៃតំបន់

ភ័ស្តុតាងខាងក្រោមទោះបីជាមានភាពសាមញ្ញជាក់ស្តែងក៏ដោយ គឺមិនសាមញ្ញទាល់តែសោះ។ ពួកគេទាំងអស់ប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃតំបន់ដែលជាភស្តុតាងដែលមានភាពស្មុគស្មាញជាងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរខ្លួនឯង។

ភស្តុតាងតាមរយៈសមមូល

1. រៀបចំត្រីកោណកែងបួនស្មើដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។
2. បួនជ្រុងជាមួយភាគី គគឺ​ជា​ការ៉េ ព្រោះ​ផលបូក​នៃ​មុំ​ស្រួច​ពីរ​គឺ 90° ហើយ​មុំ​ត្រង់​គឺ 180°។
3. ផ្ទៃនៃតួរលេខទាំងមូលគឺស្មើគ្នា នៅលើដៃម្ខាងទៅតំបន់នៃការ៉េដែលមានជ្រុងម្ខាង (a + b) ហើយម្យ៉ាងវិញទៀតផលបូកនៃតំបន់នៃត្រីកោណទាំងបួន និងផ្នែកខាងក្នុងពីរ។ ការ៉េ។

Q.E.D.

ភស្តុតាងតាមរយៈសមមូល

ភស្តុតាងនៃការផ្លាស់ប្តូរឆើតឆាយ

ឧទាហរណ៍មួយនៃភស្តុតាងទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងគំនូរនៅខាងស្តាំដែលការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសត្រូវបានបំប្លែងដោយការបំប្លែងទៅជាការ៉េពីរដែលសាងសង់នៅលើជើង។

ភស្តុតាង Euclid

គូរសម្រាប់ភស្តុតាងរបស់ Euclid

រូបភាពសម្រាប់ភស្តុតាងរបស់ Euclid

គំនិតនៃភស្តុតាងរបស់ Euclid មានដូចតទៅ៖ ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញថា ពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃដីពាក់កណ្តាលនៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើង ហើយបន្ទាប់មកតំបន់នៃ ការ៉េធំ និងតូចពីរគឺស្មើគ្នា។

ពិចារណាគំនូរនៅខាងឆ្វេង។ យើងបង្កើតការ៉េនៅសងខាងនៃត្រីកោណមុំខាងស្តាំលើវា ហើយគូរកាំរស្មី s ពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំ C កាត់កែងទៅអ៊ីប៉ូតេនុស AB វាកាត់ការ៉េ ABIK ដែលសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសទៅជាចតុកោណកែងពីរ - BHJI និង HAKJ រៀងគ្នា។ វាប្រែថាតំបន់នៃចតុកោណទាំងនេះគឺពិតជាស្មើនឹងតំបន់នៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើងដែលត្រូវគ្នា។

ចូរយើងព្យាយាមបញ្ជាក់ថាផ្ទៃដីនៃការ៉េ DECA គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែង AHJK ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើការសង្កេតជំនួយ៖ តំបន់នៃត្រីកោណដែលមានកម្ពស់ និងមូលដ្ឋានដូចគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ចតុកោណកែងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នេះគឺជាផលវិបាកនៃការកំណត់តំបន់នៃត្រីកោណដែលជាផលិតផលពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់។ ពីការសង្កេតនេះវាដូចខាងក្រោមថាតំបន់នៃត្រីកោណ ACK គឺស្មើនឹងតំបន់នៃត្រីកោណ AHK (មិនបានបង្ហាញ) ដែលនៅក្នុងវេនគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃនៃចតុកោណ AHJK ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ថា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ACK ក៏​ស្មើ​នឹង​ពាក់កណ្តាល​នៃ​ផ្ទៃដី​ការ៉េ DECA ដែរ។ រឿងតែមួយគត់ដែលត្រូវធ្វើសម្រាប់ការនេះគឺដើម្បីបញ្ជាក់ពីសមភាពនៃត្រីកោណ ACK និង BDA (ចាប់តាំងពីតំបន់នៃត្រីកោណ BDA គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដោយទ្រព្យសម្បត្តិខាងលើ) ។ សមភាពនេះគឺជាក់ស្តែង ត្រីកោណស្មើគ្នានៅសងខាង និងមុំរវាងពួកវា។ ពោលគឺ - AB = AK, AD = AC - សមភាពនៃមុំ CAK និង BAD ងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ដោយវិធីនៃចលនា៖ ចូរបង្វិលត្រីកោណ CAK 90° ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា បន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់ថាជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណទាំងពីរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាត្រីកោណ នឹងស្របគ្នា (ដោយសារតែការពិតដែលថាមុំនៅចំនុចកំពូលនៃការ៉េគឺ 90 °) ។

អាគុយម៉ង់អំពីសមភាពនៃផ្ទៃនៃការ៉េ BCFG និងចតុកោណ BHJI គឺស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង។

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​ផ្ទៃ​ការ៉េ​ដែល​សង់​លើ​អ៊ីប៉ូតេនុស​គឺ​ជា​ផលបូក​នៃ​តំបន់​នៃ​ការ៉េ​ដែល​សង់​លើ​ជើង។ គំនិតនៅពីក្រោយភស្តុតាងនេះត្រូវបានបង្ហាញបន្ថែមទៀតជាមួយនឹងចលនាខាងលើ។

ភស្តុតាងរបស់ Leonardo da Vinci

ភស្តុតាងរបស់ Leonardo da Vinci

ធាតុសំខាន់នៃភស្តុតាងគឺស៊ីមេទ្រី និងចលនា។

ពិចារណាគំនូរដូចដែលអាចមើលឃើញពីស៊ីមេទ្រីផ្នែក គខ្ញុំបំបែកការ៉េ កខហជ ជាពីរផ្នែកដូចគ្នា (ចាប់តាំងពីត្រីកោណ កខគនិង ជហខ្ញុំស្មើគ្នាក្នុងការសាងសង់) ។ ដោយប្រើការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកា 90 ដឺក្រេ យើងឃើញសមភាពនៃតួលេខដែលមានស្រមោល គកជខ្ញុំ និង ជីឃកខ . ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាតំបន់នៃតួរលេខដែលដាក់ស្រមោលដោយពួកយើងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃតំបន់នៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើងនិងតំបន់នៃត្រីកោណដើម។ ម៉្យាងទៀតវាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសបូកនឹងផ្ទៃដីនៃត្រីកោណដើម។ ជំហានចុងក្រោយនៃភស្តុតាងគឺទុកអោយអ្នកអាន។

ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្ត្រគ្មានកំណត់

ភ័ស្តុតាងខាងក្រោមដោយប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជារឿយៗត្រូវបានសន្មតថាជាគណិតវិទូអង់គ្លេសដ៏ល្បីល្បាញ Hardy ដែលរស់នៅក្នុងពាក់កណ្តាលទីមួយនៃសតវត្សទី 20 ។

ពិចារណាលើគំនូរដែលបង្ហាញក្នុងរូបហើយសង្កេតមើលការផ្លាស់ប្តូរចំហៀង កយើងអាចសរសេរទំនាក់ទំនងខាងក្រោមសម្រាប់ការបង្កើនចំហៀងគ្មានកំណត់ ជាមួយនិង ក(ដោយប្រើត្រីកោណស្រដៀងគ្នា)៖

ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្ត្រគ្មានកំណត់

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបំបែកនៃអថេរយើងរកឃើញ

កន្សោមទូទៅបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរអ៊ីប៉ូតេនុសនៅក្នុងករណីនៃការកើនឡើងនៃជើងទាំងពីរ

ការរួមបញ្ចូលសមីការនេះ និងការប្រើប្រាស់លក្ខខណ្ឌដំបូង យើងទទួលបាន

គ 2 = ក 2 + ខ 2 + ថេរ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ទៅ​ដល់​ចម្លើយ​ដែល​ចង់​បាន។

គ 2 = ក 2 + ខ 2 .

វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាការពឹងផ្អែកបួនជ្រុងនៅក្នុងរូបមន្តចុងក្រោយលេចឡើងដោយសារតែសមាមាត្រលីនេអ៊ែររវាងជ្រុងនៃត្រីកោណនិងការកើនឡើងខណៈពេលដែលផលបូកគឺដោយសារតែការរួមចំណែកឯករាជ្យពីការកើនឡើងនៃជើងខុសៗគ្នា។

ភ័ស្តុតាងដ៏សាមញ្ញអាចទទួលបាន ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាជើងណាមួយមិនជួបប្រទះនឹងការកើនឡើង (ក្នុងករណីនេះ ជើង ខ) បន្ទាប់មកសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលថេរយើងទទួលបាន

បំរែបំរួលនិងទូទៅ

• ប្រសិនបើជំនួសឱ្យការេ តួរលេខស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀតត្រូវបានសាងសង់នៅលើជើង នោះការធ្វើឱ្យទូទៅខាងក្រោមនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រគឺជាការពិត៖ នៅក្នុងត្រីកោណកែង ផលបូកនៃតំបន់នៃតួរលេខស្រដៀងគ្នាដែលបានសាងសង់នៅលើជើងគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។ជាពិសេស:
  • ផលបូកនៃតំបន់នៃត្រីកោណធម្មតាដែលបានសាងសង់នៅលើជើងគឺស្មើនឹងតំបន់នៃត្រីកោណធម្មតាដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។
  • ផលបូកនៃតំបន់នៃរង្វង់ពាក់កណ្តាលដែលបានសាងសង់នៅលើជើង (ដូចនៅលើអង្កត់ផ្ចិត) គឺស្មើនឹងតំបន់នៃរង្វង់ពាក់កណ្តាលដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។ ឧទាហរណ៍​នេះ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​តួលេខ​ដែល​ចង​ដោយ​ធ្នូ​នៃ​រង្វង់​ពីរ និង​មាន​ឈ្មោះ​ថា hippocratic lunula ។

រឿង

Chu-pei 500-200 មុនគ។ នៅខាងឆ្វេងគឺជាសិលាចារឹក៖ ផលបូកនៃការ៉េនៃប្រវែងនៃកម្ពស់ និងមូលដ្ឋានគឺជាការ៉េនៃប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុស។

សៀវភៅបុរាណចិន Chu-pei និយាយអំពីត្រីកោណ Pythagorean ដែលមានជ្រុង 3, 4 និង 5: នៅក្នុងសៀវភៅដូចគ្នា គំនូរមួយត្រូវបានស្នើឡើងដែលស្របគ្នានឹងគំនូរមួយក្នុងចំណោមគំនូរនៃធរណីមាត្រហិណ្ឌូ Baskhara ។

Kantor (អ្នកប្រវត្តិសាស្រ្តអាឡឺម៉ង់ដ៏ធំបំផុតនៃគណិតវិទ្យា) ជឿថាសមភាព 3 ² + 4 ² = 5² ត្រូវបានគេស្គាល់រួចទៅហើយដល់ប្រជាជនអេហ្ស៊ីបប្រហែល 2300 មុនគ។ e. ក្នុងអំឡុងពេលនៃស្តេច Amenemhet I (យោងទៅតាម papyrus 6619 នៃសារមន្ទីរ Berlin) ។ យោងទៅតាម Cantor, the harpedonapts ឬ "stringers" បានបង្កើតមុំខាងស្តាំដោយប្រើត្រីកោណកែងដែលមានជ្រុង 3, 4 និង 5 ។

វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការផលិតឡើងវិញនូវវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់របស់ពួកគេ។ យកខ្សែពួរប្រវែង 12 ម៉ែត្រ ចងជាប់នឹងបន្ទះពណ៌ចំងាយ 3 ម៉ែត្រ។ ពីចុងម្ខាង និង 4 ម៉ែត្រពីម្ខាងទៀត។ មុំខាងស្តាំនឹងត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងភាគីប្រវែង 3 និង 4 ម៉ែត្រ។ វាអាចនឹងត្រូវបានជំទាស់ទៅនឹង Harpedonapts ដែលថាវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់របស់ពួកគេនឹងលែងមាន ប្រសិនបើគេប្រើឧទាហរណ៍ ការ៉េឈើដែលប្រើដោយជាងឈើទាំងអស់។ ជាការពិតណាស់ គំនូររបស់អេហ្ស៊ីបត្រូវបានគេស្គាល់ថា ដែលក្នុងនោះឧបករណ៍បែបនេះត្រូវបានរកឃើញ ឧទាហរណ៍ គំនូរដែលពិពណ៌នាអំពីសិក្ខាសាលាជាងឈើ។

អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ស្គាល់​ច្រើន​ទៀត​អំពី​ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean ក្នុង​ចំណោម​បាប៊ីឡូន។ នៅក្នុងអត្ថបទមួយមានអាយុកាលតាំងពីសម័យ Hammurabi ពោលគឺដល់ឆ្នាំ 2000 មុនគ។ e. ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថានៅ Mesopotamia ពួកគេអាចធ្វើការគណនាជាមួយត្រីកោណមុំខាងស្តាំយ៉ាងហោចណាស់ក្នុងករណីខ្លះ។ មួយវិញទៀត ផ្អែកលើកម្រិតចំណេះដឹងបច្ចុប្បន្នអំពីគណិតវិទ្យាអេហ្ស៊ីប និងបាប៊ីឡូន និងម្យ៉ាងវិញទៀត លើការសិក្សាដ៏សំខាន់នៃប្រភពក្រិក Van der Waerden (គណិតវិទូហូឡង់) បានសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមៈ

អក្សរសិល្ប៍

នៅ​ក្នុង​ប្រទេស​រុស្ស៊ី

• Skopets Z.A.ខ្នាតតូចធរណីមាត្រ។ M. , ឆ្នាំ 1990
• Yelensky Sh.ដើរតាមគន្លងរបស់ Pythagoras ។ M. , ឆ្នាំ 1961
• Van der Waerden B.L.វិទ្យាសាស្ត្រភ្ញាក់។ គណិតវិទ្យានៃប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ បាប៊ីឡូន និងក្រិក។ អិម, ១៩៥៩
• Glazer G.I.ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា។ M. , 1982
• W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960 ។
  • គេហទំព័រអំពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្ក័រ ដែលមានភស្តុតាងមួយចំនួនធំ សម្ភារៈត្រូវបានយកចេញពីសៀវភៅដោយ W. Litzman គំនូរមួយចំនួនធំត្រូវបានបង្ហាញជាឯកសារក្រាហ្វិកដាច់ដោយឡែក។
• ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរៀន និងជំពូកបីដងពីថាហ្គោរ ចេញពីសៀវភៅដោយ D.V. Anosov "មើលគណិតវិទ្យា និងអ្វីមួយពីវា"
• នៅលើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរនិងវិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងរបស់វា G. Glaser អ្នកសិក្សានៃបណ្ឌិត្យសភាអប់រំរុស្ស៊ីទីក្រុងម៉ូស្គូ

ជា​ភាសាអង់គ្លេស

• ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean នៅ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot ផ្នែកនៅលើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ភស្តុតាងប្រហែល 70 និងព័ត៌មានបន្ថែមយ៉ាងទូលំទូលាយ (eng ។ )

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

យោងតាមលោក van der Waerden វាទំនងជាថាសមាមាត្រនៅក្នុងទម្រង់ទូទៅត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយនៅក្នុងបាប៊ីឡូនប្រហែលសតវត្សទី 18 មុនគ។ អ៊ី

ប្រហែល ៤០០ មុនគ។ e. យោងទៅតាម Proclus ផ្លាតូបានផ្តល់វិធីសាស្រ្តមួយសម្រាប់ការស្វែងរក Pythagorean triples រួមបញ្ចូលគ្នារវាងពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ ប្រហែល ៣០០ មុនគ. អ៊ី នៅក្នុង "ធាតុ" នៃ Euclid បានលេចចេញជាភស្តុតាង axiomatic ចំណាស់ជាងគេបំផុតនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ពាក្យ

រូបមន្តចម្បងមានប្រតិបត្តិការពិជគណិត - ក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំប្រវែងជើងដែលស្មើគ្នា a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)និង b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)និងប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺ c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ), ទំនាក់ទំនងត្រូវបានបំពេញ:

.

ការបង្កើតធរណីមាត្រសមមូលក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ដោយយោងទៅលើគោលគំនិតនៃផ្ទៃរូបភាព៖ ក្នុងត្រីកោណកែង តំបន់នៃការ៉េដែលសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើង។ ក្នុងទម្រង់នេះ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្កើតនៅក្នុង ព្រីនស៊ីបៀ របស់ អឺគ្លីដ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបញ្ច្រាស- សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីចតុកោណកែងនៃត្រីកោណណាមួយ ប្រវែងនៃជ្រុងដែលទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). ជាលទ្ធផល សម្រាប់ចំនួនបីនៃចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ។ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)និង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)បែបនោះ។ a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))មានត្រីកោណកែងជាមួយជើង a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)និង b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)និងអ៊ីប៉ូតេនុស c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ).

ភស្តុតាង​មួយ​នៃ

យ៉ាងហោចណាស់ភ័ស្តុតាងចំនួន 400 នៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រត្រូវបានកត់ត្រានៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រ ដែលត្រូវបានពន្យល់ទាំងតម្លៃមូលដ្ឋានសម្រាប់ធរណីមាត្រ និងដោយធាតុផ្សំនៃលទ្ធផល។ ទិសដៅសំខាន់នៃភ័ស្តុតាងគឺ៖ ការប្រើពិជគណិតនៃសមាមាត្រនៃធាតុត្រីកោណ (ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នាដ៏ពេញនិយម) វិធីសាស្ត្រតំបន់ ក៏មានភស្តុតាងកម្រនិងអសកម្មផ្សេងៗ (ឧទាហរណ៍ ការប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល)។

តាមរយៈត្រីកោណស្រដៀងគ្នា

ភស្តុតាងបុរាណរបស់ Euclid មានគោលបំណងបង្កើតសមភាពនៃផ្ទៃរវាងចតុកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយការបំបែកការ៉េខាងលើអ៊ីប៉ូតេនុសជាមួយនឹងកម្ពស់ពីមុំខាងស្តាំជាមួយនឹងការ៉េខាងលើជើង។

សំណង់​ដែល​ប្រើ​សម្រាប់​ការ​បញ្ជាក់​មាន​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ សម្រាប់​ត្រីកោណ​កែង​ដែល​មាន​មុំ​ខាងស្តាំ C (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C), ការ៉េលើជើង និង និងការ៉េលើអ៊ីប៉ូតេនុស A B I K (\displaystyle ABIK)កម្ពស់កំពុងត្រូវបានសាងសង់ C H (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម CH)និងធ្នឹមដែលបន្តវា។ s (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ s)ដោយបែងចែកការ៉េខាងលើអ៊ីប៉ូតេនុសទៅជាចតុកោណកែងពីរ និង . ភ័ស្តុតាងគឺសំដៅលើការបង្កើតសមភាពនៃផ្ទៃនៃចតុកោណ A H J K (\ ទម្រង់បង្ហាញ AHJK)ជាមួយនឹងការ៉េនៅលើជើង A C (\displaystyle AC); សមភាពនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងទីពីរ ដែលជាការ៉េនៅពីលើអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយចតុកោណកែងខាងលើជើងផ្សេងទៀតត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

សមភាពនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែង A H J K (\ ទម្រង់បង្ហាញ AHJK)និង A C E D (\ ទម្រង់បង្ហាញ ACED)បង្កើតឡើងដោយការរួបរួមគ្នានៃត្រីកោណ △ A C K ​​​(\displaystyle \ triangle ACK)និង △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), ផ្ទៃដីនៃតំបន់នីមួយៗស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃដីការ៉េ A H J K (\ ទម្រង់បង្ហាញ AHJK)និង A C E D (\ ទម្រង់បង្ហាញ ACED)រៀងគ្នា ទាក់ទងនឹងទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោម៖ ផ្ទៃនៃត្រីកោណស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃចតុកោណ ប្រសិនបើតួលេខមានជ្រុងរួម ហើយកម្ពស់នៃត្រីកោណទៅជ្រុងរួមគឺជាផ្នែកម្ខាងទៀតនៃ ចតុកោណ។ ភាពស្របគ្នានៃត្រីកោណកើតឡើងពីសមភាពនៃភាគីទាំងពីរ (ជ្រុងនៃការ៉េ) និងមុំរវាងពួកវា (ផ្សំពីមុំខាងស្តាំ និងមុំនៅ A (\ រចនាប័ទ្ម A).

ដូច្នេះ ភ័ស្តុតាង​បញ្ជាក់​ថា​ផ្ទៃ​ការ៉េ​ខាង​លើ​អ៊ីប៉ូតេនុស​ដែល​មាន​ចតុកោណកែង A H J K (\ ទម្រង់បង្ហាញ AHJK)និង B H J I (\ displaystyle BHJI), គឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េខាងលើជើង។

ភស្តុតាងរបស់ Leonardo da Vinci

វិធីសាស្រ្តតំបន់ក៏រួមបញ្ចូលផងដែរនូវភស្តុតាងដែលបានរកឃើញដោយ Leonardo da Vinci ។ សូមឱ្យមានត្រីកោណកែង △ A B C (\ displaystyle \ ត្រីកោណ ABC)មុំខាងស្តាំ C (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C)និងការ៉េ A C E D (\ ទម្រង់បង្ហាញ ACED), B C F G (\ displaystyle BCFG)និង A B H J (\ ទម្រង់បង្ហាញ ABHJ)(មើលរូបភាព)។ នៅក្នុងភស្តុតាងនេះនៅលើចំហៀង H J (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ HJ)ក្រោយមកទៀត ត្រីកោណមួយត្រូវបានសាងសង់ទៅខាងក្រៅ ស្របគ្នា។ △ A B C (\ displaystyle \ ត្រីកោណ ABC)លើសពីនេះទៅទៀត ឆ្លុះបញ្ចាំងទាំងពីរទាក់ទងទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស និងទាក់ទងទៅនឹងកម្ពស់របស់វា (នោះគឺ J I = B C (\ displaystyle JI = BC)និង H I = A C (\ displaystyle HI = AC)) ត្រង់ C I (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម CI)បំបែកការ៉េដែលសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា ចាប់តាំងពីត្រីកោណ △ A B C (\ displaystyle \ ត្រីកោណ ABC)និង △ J H I (\ displaystyle \ ត្រីកោណ JHI)មានភាពស្មើគ្នាក្នុងការសាងសង់។ ភ័ស្តុតាងបង្កើតភាពស្របគ្នានៃចតុកោណកែង C A J I (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ CAJI)និង D A B G (\displaystyle DABG)ផ្ទៃនៃផ្នែកនីមួយៗដែលនៅលើដៃម្ខាងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃតំបន់នៃការេនៅលើជើងនិងតំបន់នៃត្រីកោណដើម, ម្យ៉ាងវិញទៀតទៅពាក់កណ្តាលនៃតំបន់នៃ ​​ការេ​លើ​អ៊ីប៉ូតេនុស បូក​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដើម។ សរុបមក ពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េនៅលើជើងគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃការ៉េលើអ៊ីប៉ូតេនុស ដែលស្មើនឹងរូបមន្តធរណីមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ។

ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្ត្រគ្មានកំណត់

មានភស្តុតាងជាច្រើនដោយប្រើបច្ចេកទេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ជាពិសេស Hardy ត្រូវបានបញ្ចូលជាមួយនឹងភស្តុតាងដោយប្រើការបង្កើនជើងគ្មានកំណត់ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)និង b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)និងអ៊ីប៉ូតេនុស c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)និងរក្សាភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយចតុកោណកែងដើម ពោលគឺធានាការបំពេញទំនាក់ទំនងឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចខាងក្រោមៈ

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc)))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបំបែកអថេរ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយត្រូវបានចេញមកពីពួកវា c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db)សមាហរណកម្មដែលផ្តល់ទំនាក់ទំនង c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const)). ការអនុវត្តលក្ខខណ្ឌដំបូង a=b=c=0 (\displaystyle a=b=c=0)កំណត់ថេរជា 0 ដែលនាំឱ្យមានការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទ។

ការពឹងផ្អែកបួនជ្រុងនៅក្នុងរូបមន្តចុងក្រោយលេចឡើងដោយសារតែសមាមាត្រលីនេអ៊ែររវាងជ្រុងនៃត្រីកោណនិងការកើនឡើងខណៈពេលដែលផលបូកគឺដោយសារតែការរួមចំណែកឯករាជ្យពីការកើនឡើងនៃជើងខុសៗគ្នា។

បំរែបំរួលនិងទូទៅ

រាងធរណីមាត្រស្រដៀងគ្នានៅលើបីជ្រុង

ការធ្វើទូទៅធរណីមាត្រដ៏សំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៉ាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Euclid នៅក្នុង "ការចាប់ផ្តើម" ការផ្លាស់ប្តូរពីតំបន់នៃការ៉េនៅសងខាងទៅតំបន់នៃតួលេខធរណីមាត្រស្រដៀងគ្នាតាមអំពើចិត្ត: ផលបូកនៃតំបន់នៃតួលេខដែលបានសាងសង់នៅលើជើងនឹងត្រូវបាន ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​ស្រដៀង​នឹង​ពួក​គេ​បាន​សាង​សង់​នៅ​លើ​អ៊ីប៉ូតេនុស។

គំនិតសំខាន់នៃការធ្វើទូទៅនេះគឺថាផ្ទៃដីនៃតួលេខធរណីមាត្របែបនេះគឺសមាមាត្រទៅនឹងការេនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែររបស់វា ហើយជាពិសេសទៅការ៉េនៃប្រវែងនៃផ្នែកណាមួយ។ ដូច្នេះសម្រាប់តួលេខស្រដៀងគ្នាជាមួយតំបន់ A (\ រចនាប័ទ្ម A), B (\ រចនាប័ទ្ម B)និង C (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C)បានសាងសង់នៅលើជើងដែលមានប្រវែង a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)និង b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)និងអ៊ីប៉ូតេនុស c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)អាស្រ័យហេតុនេះ មានទំនាក់ទំនង៖

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2))))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac(a^(2))(c^(2)) ))C+(\frac(b^(2))(c^(2)))C).

ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))បន្ទាប់មកវាត្រូវបានធ្វើ។

លើសពីនេះ ប្រសិនបើអាចបញ្ជាក់ដោយមិនប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរថា សម្រាប់ផ្នែកនៃតួលេខធរណីមាត្រស្រដៀងគ្នាចំនួនបីនៅជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ ទំនាក់ទំនង A + B = C (\displaystyle A+B=C)បន្ទាប់មកដោយប្រើការបញ្ច្រាសនៃភស្តុតាងនៃការធ្វើទូទៅរបស់ Euclid យើងអាចទាញយកភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស យើងសង់ត្រីកោណខាងស្តាំស្របនឹងចំនុចដំបូងដែលមានផ្ទៃ C (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C)និងនៅលើជើង - ត្រីកោណមុំខាងស្តាំស្រដៀងគ្នាពីរជាមួយតំបន់ A (\ រចនាប័ទ្ម A)និង B (\ រចនាប័ទ្ម B)បន្ទាប់មកវាប្រែថាត្រីកោណនៅលើជើងត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការបែងចែកត្រីកោណដំបូងដោយកម្ពស់របស់វា ពោលគឺផលបូកនៃតំបន់តូចជាងពីរនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃទីបី ដូច្នេះ A + B = C (\displaystyle A+B=C)ហើយ​ការ​អនុវត្ត​ទំនាក់ទំនង​សម្រាប់​តួលេខ​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ ទ្រឹស្តីបទ​ពីថា​ហ្គោ​រី​ត្រូវ​បាន​ចេញ​មក ។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean គឺជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសទូទៅ ដែលទាក់ទងនឹងប្រវែងនៃជ្រុងនៅក្នុងត្រីកោណបំពាន៖

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

តើមុំរវាងភាគីនៅឯណា a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)និង b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ). ប្រសិនបើមុំគឺ 90 °បន្ទាប់មក cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta = 0)ហើយរូបមន្តនេះសម្រួលដល់ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរធម្មតា។

ត្រីកោណបំពាន

មានការធ្វើឱ្យទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រទៅជាត្រីកោណបំពាន ដែលដំណើរការតែលើសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជ្រុង វាត្រូវបានគេជឿថាវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងដោយតារាវិទូ Sabian លោក Sabit ibn kurra ។ នៅក្នុងនោះ សម្រាប់ត្រីកោណបំពានជាមួយភាគី ត្រីកោណ isosceles ដែលមានមូលដ្ឋាននៅចំហៀង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)ចំនុចកំពូលដែលស្របគ្នានឹងចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដើម ទល់មុខ c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)និងមុំនៅមូលដ្ឋានស្មើនឹងមុំ θ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម \theta)ម្ខាង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ). ជាលទ្ធផលត្រីកោណពីរត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលស្រដៀងនឹងដើម: ទីមួយមានជ្រុង a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)ផ្នែកចំហៀងនៃត្រីកោណ isosceles ចារឹកនៅឆ្ងាយពីវា និង r (\ រចនាប័ទ្ម r)- ផ្នែកចំហៀង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ); ទីពីរគឺស៊ីមេទ្រីទៅវាពីចំហៀង b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)ជាមួយនឹងពិធីជប់លៀងមួយ។ s (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ s)- ផ្នែកពាក់ព័ន្ធនៃចំហៀង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ). ជាលទ្ធផលទំនាក់ទំនងត្រូវបានបំពេញ៖

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

ដែល degenerate ចូលទៅក្នុងទ្រឹស្តីបទ Pythagorean នៅ θ = π / 2 (\ ការបង្ហាញរចនាប័ទ្ម \ ថេតា \ pi / 2). សមាមាត្រគឺជាផលវិបាកនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណដែលបានបង្កើតឡើង៖

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a)))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

ទ្រឹស្តីបទតំបន់ Pappus

ធរណីមាត្រដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean កើតចេញពី axioms នៃធរណីមាត្រ Euclidean និងមិនត្រឹមត្រូវសម្រាប់ធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean - ការបំពេញទ្រឹស្តីបទ Pythagorean គឺស្មើនឹង postulate នៃ Euclidean parallelism ។

នៅក្នុងធរណីមាត្រដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនៃត្រីកោណកែងនឹងចាំបាច់ត្រូវមានទម្រង់ខុសពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងធរណីមាត្រស្វ៊ែរ ជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណកែងដែលចងអុកតង់នៃស្វ៊ែរឯកតាមានប្រវែង π / 2 (\ ទម្រង់បង្ហាញ \ pi / 2)ដែលផ្ទុយនឹងទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ជាងនេះទៅទៀត ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ មានសុពលភាពក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូល និងអេលីបទិក ប្រសិនបើតម្រូវការដែលត្រីកោណមានរាងចតុកោណកែងត្រូវបានជំនួសដោយលក្ខខណ្ឌដែលផលបូកនៃមុំពីរនៃត្រីកោណត្រូវតែស្មើនឹងទីបី។

ធរណីមាត្រស្វ៊ែរ

សម្រាប់ត្រីកោណកែងណាមួយនៅលើស្វ៊ែរដែលមានកាំ R (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម R)(ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើមុំក្នុងត្រីកោណត្រូវ) ជាមួយជ្រុង a, b, c (\ displaystyle a, b, c)ទំនាក់ទំនងរវាងភាគីគឺ៖

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos\left((\frac (b)(R))\right)).

សមភាពនេះអាចទទួលបានជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសស្វ៊ែរ ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ត្រីកោណស្វ៊ែរទាំងអស់៖

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos\left((\frac(a)(R))\right)\cdot\cos\left((\frac(b)(R))\right)+\ sin \left((\frac(a)(R))\right)\cdot \sin\left((\frac(b)(R))\right)\cdot \cos\gamma). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

កន្លែងណា ch (\displaystyle \operatorname (ch))- អ៊ីពែរបូលកូស៊ីនុស។ រូបមន្តនេះគឺជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសអ៊ីពែរបូល ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ត្រីកោណទាំងអស់៖

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma),

កន្លែងណា γ (\ រចនាប័ទ្ម \ ហ្គាម៉ា )- មុំដែលចំនុចកំពូលទល់មុខនឹងម្ខាង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ).

ការ​ប្រើ​ស៊េរី Taylor សម្រាប់​កូស៊ីនុស​អ៊ីពែរបូល ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើត្រីកោណអ៊ីពែរបូលថយចុះ (នោះគឺនៅពេលណា a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ ខ)និង c (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ គ)ទំនោរទៅសូន្យ) បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងអ៊ីពែរបូលនៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយខិតជិតទំនាក់ទំនងនៃទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរបុរាណ។

ការដាក់ពាក្យ

ចម្ងាយនៅក្នុងប្រព័ន្ធចតុកោណកែងពីរវិមាត្រ

ការអនុវត្តដ៏សំខាន់បំផុតនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រគឺការកំណត់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធចតុកោណ មួយ អេស អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេ អេស អេស s (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ s)រវាងចំណុចជាមួយកូអរដោណេ (a, b) (\displaystyle (a,b))និង (c, d) (\displaystyle (c,d))ស្មើ៖

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ផ្តល់រូបមន្តធម្មជាតិសម្រាប់ការស្វែងរកចំនួនកុំផ្លិច អុិនធឺណិត - សម្រាប់ z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)វាស្មើនឹងប្រវែង