តំបន់ធរណីមាត្រ- លក្ខណៈលេខនៃតួលេខធរណីមាត្រដែលបង្ហាញពីទំហំនៃតួលេខនេះ (ផ្នែកនៃផ្ទៃដែលចងដោយវណ្ឌវង្កបិទនៃតួលេខនេះ)។ ទំហំនៃផ្ទៃដីត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនឯកតាការ៉េដែលមាននៅក្នុងវា។
រូបមន្តតំបន់ត្រីកោណ
- រូបមន្តតំបន់ត្រីកោណសម្រាប់ចំហៀង និងកម្ពស់
តំបន់នៃត្រីកោណមួយ។ស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណមួយ និងប្រវែងនៃរយៈកម្ពស់ដែលគូរទៅខាងនេះ - រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យបីជ្រុងនិងកាំនៃរង្វង់កាត់រង្វង់
- រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យភាគីទាំងបីនិងកាំនៃរង្វង់ចារឹកមួយ។
តំបន់នៃត្រីកោណមួយ។គឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់នៃត្រីកោណ និងកាំនៃរង្វង់ចារឹក។ ដែល S ជាតំបន់នៃត្រីកោណ
- ប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ,
- កម្ពស់នៃត្រីកោណ,
- មុំរវាងភាគីនិង,
- កាំនៃរង្វង់ចារឹក,
R - កាំនៃរង្វង់មូល,
រូបមន្តតំបន់ការ៉េ
- រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យប្រវែងនៃផ្នែកមួយ
តំបន់ការ៉េគឺស្មើនឹងការេនៃប្រវែងចំហៀងរបស់វា។ - រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃដីនៃការេដែលបានផ្តល់ឱ្យប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូង
តំបន់ការ៉េស្មើនឹងពាក់កណ្តាលការ៉េនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ស = 1 2 2 ដែល S ជាតំបន់នៃការ៉េ
គឺជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃការ៉េ
គឺជាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ។
រូបមន្តផ្ទៃចតុកោណ
- តំបន់ចតុកោណគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរដែលនៅជាប់គ្នា។
ដែល S ជាតំបន់នៃចតុកោណកែង
គឺជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃចតុកោណ។
រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមមួយ។
- រូបមន្តតំបន់ប៉ារ៉ាឡែលសម្រាប់ប្រវែងចំហៀង និងកម្ពស់
តំបន់ប៉ារ៉ាឡែល - រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យភាគីពីរនិងមុំរវាងពួកគេ
តំបន់ប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃជ្រុងរបស់វាគុណនឹងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។a b sinα
ដែល S ជាផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម
គឺជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម,
គឺជាកម្ពស់នៃប្រលេឡូក្រាម
គឺជាមុំរវាងជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម។
រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃ rhombus មួយ។
- រូបមន្តតំបន់ Rhombus ដែលផ្តល់ប្រវែង និងកម្ពស់ចំហៀង
តំបន់ Rhombusគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃចំហៀងរបស់វា និងប្រវែងនៃកម្ពស់ដែលបន្ទាបមកខាងនេះ។ - រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃ rhombus ដែលបានផ្តល់ប្រវែងនៃចំហៀងនិងមុំ
តំបន់ Rhombusគឺស្មើនឹងផលគុណនៃការ៉េនៃប្រវែងចំហៀងរបស់វា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងជ្រុងនៃ rhombus ។ - រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃ rhombus ពីប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។
តំបន់ Rhombusគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ ដែល S គឺជាតំបន់នៃ rhombus,
- ប្រវែងចំហៀងនៃ rhombus,
- ប្រវែងនៃកម្ពស់នៃ rhombus,
- មុំរវាងជ្រុងនៃ rhombus,
1, 2 - ប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូង។
រូបមន្តតំបន់ Trapezium
- រូបមន្តរបស់ Heron សម្រាប់រាងចតុកោណ
កន្លែងដែល S ជាតំបន់នៃ trapezoid,
- ប្រវែងនៃមូលដ្ឋាននៃ trapezoid,
- ប្រវែងនៃជ្រុងនៃ trapezoid,
I. បុព្វបទ
នោះជាសំណាងអាក្រក់៖ បន្ទាប់ពីធ្លាក់ខ្លួនឈឺអស់រយៈពេលពីរសប្តាហ៍ អ្នកបានមកសាលារៀន ហើយបានដឹងថាអ្នកខកខានប្រធានបទសំខាន់មួយ គឺភារកិច្ចដែលត្រូវប្រឡងនៅថ្នាក់ទី ៩ - "ត្រីកោណ ចតុកោណ និងតំបន់របស់ពួកគេ"។ នៅទីនេះវានឹងត្រូវប្រញាប់ប្រញាល់ទៅគ្រូបង្រៀនធរណីមាត្រជាមួយនឹងសំណួរ: "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកតំបន់នៃការ៉េមួយ?" ប៉ុន្តែពាក់កណ្តាលនៃសិស្សភ័យខ្លាចក្នុងការចូលទៅជិតគ្រូដើម្បីកុំឱ្យពួកគេចាត់ទុកថាយឺតយ៉ាវហើយពាក់កណ្តាលទីពីរជួប "ជំនួយ" ពីគ្រូដែលស្រដៀងនឹង "មើលក្នុងសៀវភៅសិក្សាអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសរសេរនៅទីនោះ!" ឬ "អ្នកមិនគួររំលងថ្នាក់ទេ!" ប៉ុន្តែនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាមិនមានព័ត៌មានអ្វីទាំងអស់អំពីច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណ និងចតុកោណ។ ហើយមេរៀនត្រូវបានខកខានដោយហេតុផលល្អ មានវិញ្ញាបនបត្រពីវេជ្ជបណ្ឌិត។ ប៉ុន្តែគ្រូបង្រៀនជាច្រើននឹងគ្រាន់តែបោះបង់ចោលនូវអំណះអំណាងទាំងនេះ។ ជាការពិតណាស់ ពួកគេអាចយល់បាន៖ ពួកគេមិនត្រូវបានបង់ថ្លៃបន្ថែមទៅលើសម្ភារៈមេរៀនបន្ថែមទៅលើក្បាលសិស្សដែលមិនយល់អ្វីទាំងអស់។ សិស្សជាច្រើនបានបោះបង់កិច្ចការដែលគ្មានប្រយោជន៍នេះ ហើយបរាជ័យក្នុងការប្រឡងមួយឆ្នាំក្រោយមក ដោយមិនទទួលបានដប់ពិន្ទុសម្រាប់កិច្ចការស្វែងរកតំបន់ត្រីកោណ និងចតុកោណ។ ហើយមានតែពីរបីនាក់ប៉ុណ្ណោះដែលទៅបណ្ណាល័យនិងអ្នកស្គាល់គ្នាជាមួយនឹងសំណួរ: "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃ quadrangle មួយ?" ហើយមនុស្ស និងសៀវភៅផ្សេងៗគ្នាផ្តល់ចម្លើយខុសៗគ្នា ហើយមានការភាន់ច្រលំយ៉ាងខ្លាំងនៃច្បាប់។ ខាងក្រោមនេះខ្ញុំនឹងដាក់ឈ្មោះវិធីសំខាន់ៗដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណ និងចតុកោណ។
II. បួនជ្រុង
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ quadrilaterals ។ នៅក្នុងសាលារៀន និងការប្រឡង មានតែរាងបួនជ្រុងប៉ោងប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពិចារណា ដូច្នេះសូមនិយាយអំពីពួកវា។ នៅកម្រិតមធ្យមនៃការអប់រំផ្នែកនៃប្រលេឡូក្រាមនិង trapezoids ត្រូវបានសិក្សា។ មានប្រលេឡូក្រាមជាច្រើនប្រភេទ៖ ចតុកោណកែង ការ៉េ រាងមូល និងប៉ារ៉ាឡែលតាមអំពើចិត្ត ដែលក្នុងនោះមានតែលក្ខណៈសំខាន់ៗរបស់វាប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ ជ្រុងស្របគ្នា និងស្មើគ្នាជាគូ ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180 o ។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខទាំងនេះគឺខុសគ្នា។ ចូរយើងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។
1. ចតុកោណកែង
S នៃចតុកោណកែងត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ S = a * b, កន្លែងណាក- ផ្នែកផ្ដេក ខ- ផ្នែកបញ្ឈរ។*
2. តំបន់នៃការ៉េ
S នៃការ៉េត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ S = a * a, កន្លែងណាក- ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ។
3. តំបន់នៃ rhombuses
S នៃ rhombus ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ S \u003d 0.5 * (d 1 * d 2), កន្លែងណាឃ១- អង្កត់ទ្រូងធំ, ** ឃ២- អង្កត់ទ្រូងតូចជាង។
4. ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមបំពាន
S នៃប្រលេឡូក្រាមបំពានត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ S = a * h a, ក- ផ្នែកម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាម h ក
មិនទាំងអស់ទេ?
យើងត្រូវបានធ្វើរួចជាមួយនឹងប៉ារ៉ាឡែល។ "តើខ្ញុំគួររៀនរឿងនេះទេ?" អ្នកសួរតិចៗ។ ខ្ញុំឆ្លើយ៖ ពីប្រលេឡូក្រាម - បាទ គ្រាន់តែអញ្ចឹង។ ប៉ុន្តែនៅតែមានចតុកោណនិងត្រីកោណ។ ដូច្នេះសូមបន្ត។
III. អន្ទាក់ គហើយខ្ញុំ
តំបន់ Trapezium
S នៃ trapezoid អាចត្រូវបានរកឃើញជាមួយនឹងរូបមន្តមួយ មិនថាវាធម្មតា ឬ isosceles៖ S = ((a + b): 2) * h, កន្លែងណាក, ខ- មូលដ្ឋានរបស់វា ម៉ោង- កម្ពស់របស់វា។ នោះហើយជាទាំងអស់សម្រាប់ trapezoid ។ ឥឡូវនេះទៅនឹងសំណួរ: "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃបួនជ្រុង?" - អ្នកមិនត្រឹមតែអាចឆ្លើយខ្លួនឯងប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងបំភ្លឺអ្នកដទៃទៀតផង។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅត្រីកោណ។
IV. ត្រីកោណ
នៅក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តបីត្រូវបានគេកំណត់អត្តសញ្ញាណដើម្បីស្វែងរកតំបន់របស់ពួកគេ៖ សម្រាប់ត្រីកោណកែង ចតុកោណកែង និងត្រីកោណបំពាន។
1. តំបន់នៃត្រីកោណមួយ។
S នៃត្រីកោណបំពានត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ S \u003d 0.5a * ម៉ោង។ ក, ក- ផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណ h ក- កម្ពស់ដែលបានគូរទៅខាងនេះ។
2. តំបន់នៃត្រីកោណសមមូល
S នៃត្រីកោណសមមូលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ S = 0.5a * h, ដែលជាកន្លែងដែលក- មូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ ម៉ោងគឺជាកម្ពស់នៃត្រីកោណនេះ។
3. តំបន់នៃត្រីកោណកែង
ផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ S = (a * b): 2, កន្លែងណាក-ជើងទី១, ខ- ជើងទី ២ ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
នោះហើយជាទាំងអស់នៅក្នុងគំនិតរបស់ខ្ញុំ។ អ្នកក៏ត្រូវរៀនបន្តិចអំពីត្រីកោណដែរមែនទេ? ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលអ្វីដែលខ្ញុំបានសរសេរនៅទីនេះ។ "ដំបងឈើ វានឹងចំណាយពេលមួយខែដើម្បីរៀនរឿងនេះ!" - អ្នកប្រហែលជាឧទាន។ ហើយអ្នកណាថាអ្វីៗទាំងអស់រៀនបានលឿន? ប៉ុន្តែម៉្យាងវិញទៀត នៅពេលអ្នករៀនទាំងអស់នេះ អ្នកនឹងមិនខ្លាចសំណួរលើប្រធានបទ "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណ" ឬ "តំបន់នៃត្រីកោណបំពាន" នៅឯការបញ្ជាក់នៅក្នុង ថ្នាក់ទី 9 ។ ដូច្នេះបើចង់ទៅណាមកណាទាំងអស់ត្រូវសិក្សា សិក្សានិងធ្វើជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ!
___________________________________
ចំណាំ
* - កនិង ខមិនចាំបាច់នៅកន្លែងដែលខ្ញុំបានកំណត់ទេ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាអ្នកអាចហៅផ្នែកបញ្ឈរ កនិងផ្ដេក ខ;
** - អង្កត់ទ្រូងអាចប្តូរបាន ហើយឈ្មោះរបស់ពួកវាអាចផ្លាស់ប្តូរបានតាមវិធីដូចក្នុងកំណត់ចំណាំ។ *
នៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការ planimetric នៃវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រ តួលេខដែលមាន 4 ជ្រុងត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។ បាទ វាជាបួនជ្រុង។ ពហុកោណតាមអំពើចិត្តដែលមានជ្រុងបួនគឺជារឿងធម្មតាតិចជាងករណីពិសេសរបស់វា - trapezoids, deltoids, parallelograms ។ "ក្រុម" ចុងក្រោយក៏រួមបញ្ចូលទាំង rhombuses, ចតុកោណកែង, ការ៉េ។
ចូរយើងពិចារណាថាតើទិន្នន័យអ្វីខ្លះនៃតួលេខដែលអ្នកត្រូវដឹងដើម្បីគណនាផ្ទៃដីរបស់វា។
របៀបស្វែងរកតំបន់នៃការ៉េ
ពហុកោណតាមអំពើចិត្ត
ដើម្បីស្វែងរកតំបន់របស់វាអ្នកត្រូវការអង្កត់ទ្រូងនៃតួលេខក៏ដូចជាមុំដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វា។
- S = (d1*d2*sinα)/2,
- d1, d2 - អង្កត់ទ្រូង,
- α គឺជាមុំដែលទទួលបានដោយការប្រសព្វរបស់ពួកគេ។
ពហុកោណក្នុងរង្វង់មួយ។
ប្រសិនបើ quadrilateral ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានដាក់ក្នុងរង្វង់មួយ ប្រវែងនៃជ្រុងនៃតួលេខត្រូវបានគេដឹង នោះសមាមាត្រនឹងជួយក្នុងការកំណត់តំបន់នៃពហុកោណ:
S = √(p–m)(p–k)(p–l)(p–e), p=(m+k+l+e)/2.
m, k, l, e គឺជាភាគីរបស់វា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកតំបន់នៃរាងបួនជ្រុង - រាងចតុកោណ
តួលេខនេះត្រូវបានសម្គាល់ដោយវត្តមាននៃភាគី 2 ស្របគ្នា។ ដើម្បីកំណត់ផ្ទៃនៃពហុកោណបែបនេះ សូមប្រើប៉ារ៉ាម៉ែត្រខាងក្រោម៖
- ប្រសិនបើទំហំនៃជ្រុងប៉ារ៉ាឡែលនិងកម្ពស់កាត់កែងដែលទាញទៅពួកវាត្រូវបានគេដឹងនោះផ្ទៃត្រូវបានគណនាដោយប្រើកន្សោម S = ((a + b) * h) / 2,
a និង b គឺជាមូលដ្ឋាន,
h - កម្ពស់កាត់កែង។ - ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃបន្ទាត់កណ្តាល (k = (a + b)/2)) រូបមន្តមុននឹងយកទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ S = k * h,
k គឺជាបន្ទាត់កណ្តាល។
អង្កត់ទ្រូងដែលគេស្គាល់នៃ trapezoid និងរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំដែលបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វាក៏នឹងជួយកំណត់តំបន់នៃតួលេខផងដែរ: S = (d1*d2*sinβ)/2,
d1, d2 - អង្កត់ទ្រូង,
β គឺជាមុំដែលទទួលបានដោយការប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ - 4 ជ្រុងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: S \u003d ((m + l) √ k 2 - ((m - l) 2 + k 2 - d 2) 2 / (4 (m - l) 2)) / 2,
m, l - ភាគីប៉ារ៉ាឡែល,
k, d - ចំហៀង។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកតំបន់នៃរាងបួនជ្រុង - deltoid មួយ។
ពហុកោណ deltoid ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយវត្តមាននៃ 2 គូនៃភាគីស្មើគ្នា។ គណនាផ្ទៃដីនៃការ៉េបែបនេះត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោមៈ
- ជ្រុងនៃតួរលេខ និងមុំដែលបង្កើតឡើងដោយជ្រុងនៃប្រវែងខុសៗគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់៖
S = m*l*sinϕ,
m, l គឺជាផ្នែកនៃ deltoid,
ϕ គឺជាមុំរវាងពួកវា។ - ជ្រុងនៃតួរលេខ និងមុំដែលបង្កើតឡើងដោយជ្រុងនៃប្រវែងស្មើគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់ថា:
S \u003d m 2 *sinα / 2 + l 2 * sinβ / 2,
m, l គឺជាផ្នែកនៃ deltoid,
α, β គឺជាមុំរវាងភាគីស្មើគ្នា។ - វត្តមាននៃអង្កត់ទ្រូងដែលគេស្គាល់ក៏អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់តំបន់នៃតួរលេខ:
S = d1*d2/2,
d1, d2 គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃ deltoid ។ - ប្រសិនបើរង្វង់មួយត្រូវបានចារឹកក្នុងរូបនោះ ការដឹងពីកាំរបស់វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផ្ទៃនៃ deltoid នេះ៖ S \u003d (m + l) * r,
m, l គឺជាផ្នែកនៃ deltoid,
r គឺជាកាំនៅក្នុងករណីនៃរង្វង់ចារឹក។
របៀបស្វែងរកផ្ទៃក្រឡាចតុកោណ - ប្រលេឡូក្រាម
ប្រសិនបើពហុកោណប៉ោងមាន 2 គូនៃភាគីដែលមិនប្រសព្វគ្នានោះ អ្នកមានប្រលេឡូក្រាមនៅពីមុខអ្នក។
កន្សោមទូទៅ
ដើម្បីកំណត់តំបន់នៃប្រភេទនៃតួលេខនេះអ្នកនឹងត្រូវការ:
- ផ្នែកម្ខាងនៃចតុកោណកែង និងកម្ពស់ទាបលើវា៖ S = k * h (k),
k - ផ្នែកម្ខាងនៃរូបភាព
h (k) គឺជាកំពស់របស់វា។ - ប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរដែលមានចំនុចកំពូលមួយ និងរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំនៅចំនុចកំពូលដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
S = l*k*sinϕ,
k, l គឺជាជ្រុងនៃពហុកោណ,
ϕ គឺជាមុំរវាងពួកវា។ - អង្កត់ទ្រូងនៃតួលេខ និងមុំដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វា៖ S = d1*d2*sinβ/2,
d1, d2 - អង្កត់ទ្រូង,
β - មុំ - លទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។
ផ្ការំដួល
បួនជ្រុងនេះគឺជាករណីពិសេសនៃប្រលេឡូក្រាមដែលមាន 4 ជ្រុងស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ កន្សោមដែលត្រឹមត្រូវសម្រាប់ប្រលេឡូក្រាមក៏ពិតសម្រាប់វាដែរ។ បន្ទាប់មក
- S = k*h(k),
k គឺជាផ្នែកម្ខាងនៃរូប ហើយ h(k) គឺជាកំពស់របស់វា។ - S = k 2 * sinϕ,
k គឺជាជ្រុងនៃចតុកោណកែង ϕ ជាមុំរវាងភាគី។ - S = d1*d2/2
d1, d2 គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃពហុកោណ។
ចតុកោណ
ពហុកោណបែបនេះមាន 2 គូនៃជ្រុងស្មើគ្នា ហើយរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំរបស់វាគឺ 90° ។ ដើម្បីស្វែងរកតំបន់របស់វា កន្សោមខាងក្រោមមានសុពលភាព៖
- S = k*l,
k, l គឺជាជ្រុងនៃរូប។ - S = d 2 * sinβ/2,
ឃ - អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែង β - មុំ - លទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ - S = 2R 2 * sinβ,
R គឺជាកាំក្នុងករណីរង្វង់មូល។
ការ៉េ
ក្នុងករណីនេះ សមាមាត្រដែលទទួលបាននៅដំណាក់កាលមុននឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម (ដោយសារតែជ្រុងនៃចតុកោណប្រភេទនេះស្មើគ្នា)៖
- S \u003d k 2, k គឺជាផ្នែកម្ខាងនៃរូប។
- S = d 2/2, d គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ។
- S = 2R 2 , R គឺជាកាំនៅក្នុងករណីនៃរង្វង់មូល។
- S = 4r 4, r គឺជាកាំក្នុងករណីរង្វង់ចារឹក។
ចំណាំសំខាន់!
1. ប្រសិនបើជំនួសឱ្យរូបមន្តដែលអ្នកឃើញ abracadabra សូមសម្អាតឃ្លាំងសម្ងាត់។ របៀបធ្វើវានៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នកត្រូវបានសរសេរនៅទីនេះ៖
2. មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមអានអត្ថបទ សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះកម្មវិធីរុករករបស់យើងសម្រាប់ធនធានដែលមានប្រយោជន៍បំផុតសម្រាប់
និយមន័យតំបន់
តើតំបន់មួយគឺជាអ្វី? សំណួរចម្លែក មែនទេ? ក្នុងជីវិតធម្មតា យើងធ្លាប់ស្គាល់ថា តួលេខផ្ទះល្វែង (ដូចជាផ្ទៃតុ កៅអី ជាន់នៃអាផាតមិន ជាដើម) មិនត្រឹមតែមានប្រវែង និងទទឹងប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានចរិតលក្ខណៈផ្សេងទៀតដែលយើងមិនមាន។ ការស្ទាក់ស្ទើរ យើងហៅថាតំបន់។ ហើយឥឡូវនេះសូមគិត៖ តើតំបន់នោះជាអ្វី?
ចូរចាប់ផ្តើមដោយសាមញ្ញបំផុត។ វាផ្អែកលើការពិតដែលថា៖
ម្យ៉ាងទៀត យើងចាត់ទុកផ្ទៃការ៉េដែលមានជ្រុងម្ខាងនៃម៉ែត្រថាជា "ផ្ទៃដីមួយម៉ែត្រ"។
មើលរូបភាពដោយប្រុងប្រយ័ត្នហើយត្រូវប្រាកដថាវាត្រូវបានគូរនៅទីនោះ - "ម៉ែត្រការ៉េ"! ហើយចងចាំសញ្ញាណ។
ហើយឥឡូវនេះសំណួរពិបាក៖ តើវាជាអ្វី? ផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលមានចំហៀង? តែអត់ទេ!
រកមើល: ការ៉េជាមួយចំហៀង។
ហើយដើម្បីទទួលបានម៉ែត្រការ៉េ (នោះគឺ) យើងត្រូវគូរឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖
និងរបៀបដើម្បីទទួលបាន, និយាយ,? ជាការប្រសើរណាស់, ឧទាហរណ៍ដូចនេះ:
ហើយជាទូទៅ ប្រសិនបើយើងយកចតុកោណកែងដែលជ្រុងរបស់វាស្មើនឹងម៉ែត្រ និងម៉ែត្រ នោះក្នុងចតុកោណកែងនេះ៖
នឹងសមនឹងម៉ែត្រការ៉េយ៉ាងពិតប្រាកដ។ មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន: យើងមាន "ស្រទាប់" ដែលនីមួយៗមានម៉ែត្រការ៉េ។
ដូច្នេះសរុបមក ម៉ែត្រការ៉េសមជាចតុកោណនៃទំហំ x ។ នេះជាលេខ តើប៉ុន្មានម៉ែត្រការ៉េសមក្នុងចតុកោណហើយវាមាន ការ៉េ.
ហើយប្រសិនបើតួរលេខមិនមែនជាចតុកោណកែងទេ ប៉ុន្តែជាប្រភេទ abracadabra ខ្លះ?
ខ្ញុំនឹងធ្វើឱ្យអ្នកភ្ញាក់ផ្អើល - មាន gibberish ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ថាតើមានប៉ុន្មានម៉ែត្រការ៉េ។ ប្រហែល! ជាអកុសលការគូរតួលេខបែបនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ។
តែគេ! ឧទាហរណ៍ពួកគេមើលទៅដូចជា "សិតសក់" ដែលមានធ្មេញល្អណាស់។
ដូច្នេះហើយ សម្រាប់តួលេខធម្មតា អ្នកអាចពិចារណាដោយវិចារណញាណ (នោះគឺសម្រាប់ខ្លួនអ្នក) ពិចារណាថាផ្ទៃដីនៃតួលេខគឺជាចំនួនបែបនេះ តើប៉ុន្មានឯកតាការ៉េ (ម៉ែត្រសង់ទីម៉ែត្រ។ល។) "សម" នៅក្នុង តួរលេខនេះ។ ផ្នែកនិយមន័យ "ពិតប្រាកដ" កាន់តែម៉ត់ចត់ សូមមើលកម្រិតខាងក្រោមនៃទ្រឹស្តី។
ហើយសូមស្រមៃថា សម្រាប់តួលេខជាច្រើន ដែលគណិតវិទូបានរៀនបង្ហាញផ្នែកតាមរយៈលីនេអ៊ែរមួយចំនួន (ដែលអាចត្រូវបានវាស់ដោយបន្ទាត់) ធាតុនៃតួលេខ។ កន្សោមទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា "រូបមន្តតំបន់" ។ មានរូបមន្តទាំងនេះច្រើនណាស់ - គណិតវិទូបានព្យាយាមអស់រយៈពេលជាយូរ។ អ្នកព្យាយាមចងចាំរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត និងជាមូលដ្ឋានបំផុតជាមុនសិន ហើយបន្ទាប់មករូបមន្តដែលពិបាកជាង។
រូបមន្តតំបន់
ការ៉េ
ចតុកោណ
ត្រីកោណកែង
ត្រីកោណ (បំពាន)
សម្រាប់ត្រីកោណមួយ មានរូបមន្តផ្ទៃជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។
រូបមន្តមូលដ្ឋាន
រូបមន្តមូលដ្ឋានទីពីរ
រូបមន្តទីបី
តើរូបមន្តមួយណាដែលត្រូវជ្រើសរើសសម្រាប់បញ្ហារបស់អ្នក? រូបមន្តសំខាន់គឺរូបមន្តទី 1 និងទី 2 ។ រូបមន្តទីបីត្រូវតែអនុវត្តប្រសិនបើអ្វីៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នក: ភាគីទាំងបីនិងកាំនៃរង្វង់ចារឹក។ ប៉ុន្តែវាមិនកើតឡើងទេមែនទេ? ដូច្នេះ រូបមន្ត 3 យើងប្រើផ្ទុយទៅវិញ ដើម្បីស្វែងរកកាំនៃរង្វង់ចារឹក. បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវស្វែងរកផ្ទៃដោយប្រើរូបមន្ត 1, 2 ឬ 4 ហើយបន្ទាប់មកកាំ៖ ។
ជាការប្រសើរណាស់ រូបមន្តទី 4 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតំបន់នៅជ្រុងទី ដោយប្រើនព្វន្ធវែង។ ហើយកុំច្រឡំលេខនព្វន្ធពេលអ្នកអនុវត្តរូបមន្តរបស់ Heron!
បួនជ្រុងដោយបំពាន
មិនមានអ្វីទៀតទេសម្រាប់ quadrangle បំពាន ប៉ុន្តែសម្រាប់ quadrangles "ល្អ" មានរូបមន្តផ្សេងទៀត។
ប៉ារ៉ាឡែល
រូបមន្តមូលដ្ឋាន
រូបមន្តទីពីរ
ផ្ការំដួល
អង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus គឺកាត់កែង មូលដ្ឋានក្លាយជាសម្រាប់គាត់ រូបមន្ត៖
រូបមន្តទីពីរ
ហើយរូបមន្តបន្ថែមក្លាយជា
អន្ទាក់
រូបមន្តមូលដ្ឋាន
រូបមន្តទីពីរ
"សំណួរដ៏លំបាកអំពីការ៉េ"
បន្ថែមពីលើបញ្ហាដែលពួកគេគ្រាន់តែសួរដើម្បីស្វែងរកតំបន់នោះ ក៏មានសំណួរគ្រប់ប្រភេទផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍៖
ចូរយើងឆ្លើយសំណួរនេះតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយគឺផ្លូវការ៖ យើងប្រើរូបមន្តផ្ទៃការ៉េ។ ដូច្នេះ វាគឺដូច្នេះ - តំបន់បានកើនឡើងនៅក្នុងដង!
ក្នុងករណីការ៉េមានវិធីទីពីរដើម្បី "មានអារម្មណ៍" ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់នូវលេខនេះ។
គូរ៖
ប្រសិនបើអ្នកមិនមានការ៉េទេ នោះអ្វីៗដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវជំនួសតម្លៃថ្មីក្នុងរូបមន្ត - ហើយកុំភ្ញាក់ផ្អើលប្រសិនបើលេខភ្លាមៗប្រែទៅជាធំណាស់។
តំបន់នៃត្រីកោណ និងរាងបួនជ្រុង។ សង្ខេបអំពីមេ
ត្រីកោណកែង
មែនហើយ ប្រធានបទគឺចប់ហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានបន្ទាត់ទាំងនេះ នោះអ្នកពិតជាឡូយណាស់។
ពីព្រោះមនុស្សតែ 5% ប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើជាម្ចាស់អ្វីមួយដោយខ្លួនឯងបាន។ ហើយប្រសិនបើអ្នកបានអានដល់ទីបញ្ចប់នោះអ្នកស្ថិតនៅក្នុង 5%!
ឥឡូវនេះអ្វីដែលសំខាន់បំផុត។
អ្នកបានរកឃើញទ្រឹស្ដីលើប្រធានបទនេះ។ ហើយខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត វាគឺជា... វាគ្រាន់តែអស្ចារ្យ! អ្នកគឺល្អជាងមិត្តភក្តិរបស់អ្នកភាគច្រើនរួចទៅហើយ។
បញ្ហាគឺថានេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ...
ដើម្បីអ្វី?
សម្រាប់ការប្រឡងជាប់ដោយជោគជ័យ សម្រាប់ការចូលរៀននៅវិទ្យាស្ថាន ថវិកា និងសំខាន់បំផុតសម្រាប់ជីវិត។
ខ្ញុំនឹងមិនបញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកពីអ្វីទេខ្ញុំនឹងនិយាយតែមួយ ...
អ្នកដែលទទួលបានការអប់រំល្អរកបានច្រើនជាងអ្នកដែលមិនបានទទួល។ នេះគឺជាស្ថិតិ។
ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជារឿងសំខាន់ទេ។
រឿងចំបងគឺថាពួកគេកាន់តែសប្បាយរីករាយ (មានការសិក្សាបែបនេះ) ។ ប្រហែលជាដោយសារឱកាសកាន់តែច្រើនបើកមុនពួកគេ ហើយជីវិតកាន់តែភ្លឺ? មិនដឹង...
តែគិតខ្លួនឯង...
តើត្រូវធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យប្រាកដថាល្អជាងអ្នកដទៃពេលប្រឡងហើយនៅទីបំផុត… សប្បាយជាង?
បំពេញដៃរបស់អ្នក ដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះ។
នៅពេលប្រឡង អ្នកនឹងមិនត្រូវបានគេសួរទ្រឹស្តីទេ។
អ្នកនឹងត្រូវការ ដោះស្រាយបញ្ហាទាន់ពេលវេលា.
ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនបានដោះស្រាយវាទេ (ច្រើន!) អ្នកច្បាស់ជាមានកំហុសឆ្គងនៅកន្លែងណាមួយ ឬគ្រាន់តែមិនធ្វើវាទាន់ពេល។
វាដូចជានៅក្នុងកីឡា - អ្នកត្រូវធ្វើម្តងទៀតច្រើនដងដើម្បីឈ្នះប្រាកដ។
ស្វែងរកបណ្តុំនៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលអ្នកចង់បាន ចាំបាច់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ ការវិភាគលម្អិតហើយសម្រេចចិត្ត សម្រេចចិត្ត!
អ្នកអាចប្រើភារកិច្ចរបស់យើង (មិនចាំបាច់) ហើយយើងពិតជាណែនាំពួកគេ។
ដើម្បីទទួលបានដៃជំនួយពីកិច្ចការរបស់យើង អ្នកត្រូវជួយពន្យារអាយុជីវិតនៃសៀវភៅសិក្សា YouClever ដែលអ្នកកំពុងអានបច្ចុប្បន្ន។
យ៉ាងម៉េច? មានជម្រើសពីរ៖
- ដោះសោការចូលប្រើកិច្ចការដែលបានលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងអត្ថបទនេះ -
- ដោះសោការចូលប្រើកិច្ចការដែលលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងអត្ថបទទាំង 99 នៃការបង្រៀន - ទិញសៀវភៅសិក្សា - 499 រូប្លិ៍
បាទ/ចាស យើងមានអត្ថបទបែបនេះចំនួន 99 នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា ហើយការចូលប្រើកិច្ចការទាំងអស់ ហើយអត្ថបទដែលលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងពួកវាអាចបើកបានភ្លាមៗ។
ការចូលប្រើកិច្ចការដែលបានលាក់ទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ជូនសម្រាប់ពេញមួយជីវិតនៃគេហទំព័រ។
សរុបសេចក្តី...
ប្រសិនបើអ្នកមិនចូលចិត្តកិច្ចការរបស់យើង ស្វែងរកអ្នកដទៃ។ កុំឈប់ជាមួយទ្រឹស្តី។
"យល់" និង "ខ្ញុំដឹងពីរបៀបដោះស្រាយ" គឺជាជំនាញខុសគ្នាទាំងស្រុង។ អ្នកត្រូវការទាំងពីរ។
ស្វែងរកបញ្ហា និងដោះស្រាយ!
ប្រសិនបើផ្នែកជាច្រើនត្រូវបានគូរជាបន្តបន្ទាប់នៅលើយន្តហោះ ដូច្នេះផ្នែកបន្ទាប់នីមួយៗចាប់ផ្តើមនៅកន្លែងដែលផ្នែកមុនបានបញ្ចប់ នោះបន្ទាត់ដែលខូចនឹងត្រូវបានទទួល។ ផ្នែកទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាតំណភ្ជាប់ ហើយកន្លែងដែលពួកគេប្រសព្វគ្នាត្រូវបានគេហៅថា បញ្ឈរ។ នៅពេលដែលចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកចុងក្រោយប្រសព្វគ្នាជាមួយនឹងចំណុចចាប់ផ្តើមនៃទីមួយ អ្នកទទួលបានបន្ទាត់ខូចបិទជិតដែលបែងចែកយន្តហោះជាពីរផ្នែក។ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺគ្មានកំណត់ ហើយទីពីរគឺគ្មានកំណត់។
បន្ទាត់បិទធម្មតារួមជាមួយនឹងផ្នែកនៃយន្តហោះដែលរុំព័ទ្ធនៅក្នុងវា (ខ្សែដែលមានកំណត់) ត្រូវបានគេហៅថាពហុកោណ។ ចម្រៀកគឺជាជ្រុង ហើយមុំដែលបង្កើតឡើងដោយពួកវាគឺបញ្ឈរ។ ចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណគឺស្មើនឹងចំនួននៃកំពូលរបស់វា។ រូបដែលមានជ្រុងទាំងបីត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ ហើយបួនត្រូវបានគេហៅថា បួនជ្រុង។ ពហុកោណត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈជាលេខដោយតម្លៃដូចជាតំបន់ ដែលបង្ហាញទំហំនៃតួលេខ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃការ៉េមួយ? នេះត្រូវបានបង្រៀនដោយសាខានៃគណិតវិទ្យា - ធរណីមាត្រ។
ដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃរាងបួនជ្រុងអ្នកត្រូវដឹងថាវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រភេទណា - ប៉ោងឬមិនប៉ោង? ទាំងមូលស្ថិតនៅត្រង់ (ហើយវាចាំបាច់មានផ្នែកមួយរបស់វា) នៅម្ខាង។ លើសពីនេះ មានប្រភេទរាងបួនជ្រុងដូចជា ប៉ារ៉ាឡែលដែលមានជ្រុងស្មើគ្នា និងប៉ារ៉ាឡែលទល់មុខគ្នា (ពូជរបស់វា៖ ចតុកោណកែងមានមុំខាងស្តាំ រាងចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងស្មើគ្នា ការ៉េដែលមានមុំខាងស្តាំទាំងអស់ និងបួនជ្រុងស្មើគ្នា) រាងចតុកោណជាមួយ ភាគីទល់មុខប៉ារ៉ាឡែលពីរ និង deltoid ដែលមានពីរគូនៃភាគីជាប់គ្នាដែលស្មើគ្នា។
តំបន់នៃពហុកោណណាមួយត្រូវបានរកឃើញដោយអនុវត្តវិធីសាស្ត្រទូទៅ ពោលគឺបែងចែកវាទៅជាត្រីកោណ គណនាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណតាមអំពើចិត្តសម្រាប់នីមួយៗ និងបន្ថែមលទ្ធផល។ រាងបួនជ្រុងប៉ោងណាមួយត្រូវបានបែងចែកទៅជាត្រីកោណពីរ មិនប៉ោង - ទៅជាពីរ ឬបី ក្នុងករណីនេះ វាអាចត្រូវបានបន្ថែមពីផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃលទ្ធផល។ ផ្ទៃនៃត្រីកោណណាមួយត្រូវបានគណនាជាពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃមូលដ្ឋាន (a) និងកម្ពស់ (ħ) ដែលត្រូវបានគូរទៅមូលដ្ឋាន។ រូបមន្តដែលប្រើក្នុងករណីនេះសម្រាប់ការគណនាត្រូវបានសរសេរជា៖ S \u003d ½។ ក. ħ
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកផ្ទៃនៃ quadrilateral មួយ ឧទាហរណ៍ parallelogram មួយ? អ្នកត្រូវដឹងពីប្រវែងនៃមូលដ្ឋាន (a) ប្រវែងនៃចំហៀង (ƀ) ហើយស្វែងរកស៊ីនុសនៃមុំ α ដែលបង្កើតឡើងដោយមូលដ្ឋាន និងចំហៀង (sinα) រូបមន្តគណនានឹងមើលទៅដូច៖ S = a . ។ sinα ដោយសារស៊ីនុសនៃមុំ α គឺជាផលនៃមូលដ្ឋាននៃប្រលេឡូក្រាម និងកម្ពស់របស់វា (ħ = ƀ) - បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន ផ្ទៃរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយគុណគោលរបស់វាដោយកម្ពស់៖ S = a ។ ħ រូបមន្តនេះក៏សមរម្យសម្រាប់ការគណនាតំបន់នៃ rhombus និងចតុកោណ។ ដោយសារផ្នែកម្ខាងនៃចតុកោណ ƀ ស្របគ្នានឹងកំពស់ ħ តំបន់របស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត S = a ។ ។ ព្រោះ a = ƀ នឹងស្មើនឹងការេនៃចំហៀងរបស់វា៖ S = a ។ a = a² ។ គណនាជាពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃជ្រុងរបស់វាគុណនឹងកម្ពស់ (វាត្រូវបានកាត់កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃ trapezoid): S = ½។ (a + ƀ) ។ ħ
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃរាងបួនជ្រុង ប្រសិនបើប្រវែងនៃជ្រុងរបស់វាមិនស្គាល់ ប៉ុន្តែអង្កត់ទ្រូងរបស់វា (e) និង (f) ត្រូវបានគេស្គាល់ ក៏ដូចជាស៊ីនុសនៃមុំ α? ក្នុងករណីនេះ តំបន់ត្រូវបានគណនាជាផលិតផលពាក់កណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា (បន្ទាត់ដែលតភ្ជាប់កំពូលនៃពហុកោណ) គុណនឹងស៊ីនុសនៃមុំα។ រូបមន្តអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នេះ៖ S = ½។ (e. f) ។ sinα ជាពិសេសក្នុងករណីនេះវានឹងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូង (បន្ទាត់តភ្ជាប់ជ្រុងទល់មុខនៃ rhombus): S = ½។ (ឧ. f)
របៀបស្វែងរកផ្ទៃនៃចតុកោណដែលមិនមែនជាប្រលេឡូក្រាម ឬរាងចតុកោណ ជាធម្មតាគេហៅថាចតុកោណដែលបំពាន។ ផ្ទៃនៃតួរលេខបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃពាក់កណ្តាលបរិវេណរបស់វា (Ρ គឺជាផលបូកនៃភាគីទាំងពីរដែលមានកំពូលរួម) ភាគី a, ƀ, c, d និងផលបូកនៃមុំទល់មុខពីរ (α + β) : S = √ [( Ρ - a ) ។ (Ρ - ƀ) ។ (Ρ - គ) ។ (Ρ - ឃ) - ក។ ។ គ. ឃ. cos² ½ (α + β)] ។
ប្រសិនបើ φ \u003d 180 °បន្ទាប់មកដើម្បីគណនាផ្ទៃដីរបស់វាសូមប្រើរូបមន្តរបស់ Brahmagupta (តារាវិទូនិងគណិតវិទូឥណ្ឌាដែលរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 6-7 នៃសម័យរបស់យើង): S \u003d √ [(Ρ - a) ។ (Ρ - ƀ) ។ (Ρ - គ) ។ (Ρ - ឃ)] ។ ប្រសិនបើ quadrilateral ត្រូវបានគូសរង្វង់ដោយរង្វង់មួយ បន្ទាប់មក (a + c = ƀ + d) ហើយផ្ទៃរបស់វាត្រូវបានគណនា៖ S = √[ a . ។ គ. ឃ] ។ sin ½ (α + β) ។ ប្រសិនបើចតុកោណកែងត្រូវបានគូសរង្វង់មួយ ហើយចារឹកក្នុងរង្វង់មួយទៀត នោះរូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាផ្ទៃ៖ S = √ ។