គោលគំនិតនៃធរណីមាត្រ fractal និង fractal ដែលបានលេចឡើងនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 បានក្លាយជាយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់អ្នកគណិតវិទូ និងអ្នកសរសេរកម្មវិធីចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ទី 80 ។ ពាក្យ fractal មកពីឡាតាំង fractus ហើយនៅក្នុងការបកប្រែមានន័យថាមានបំណែក។ វាត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ដើម្បីយោងទៅលើរចនាសម្ព័ន្ធមិនទៀងទាត់ ប៉ុន្តែស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ដែលគាត់បានសិក្សា។ កំណើតនៃធរណីមាត្រ fractal ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបោះពុម្ពសៀវភៅរបស់ Mandelbrot 'The Fractal Geometry of Nature' ក្នុងឆ្នាំ 1977 ។ ស្នាដៃរបស់គាត់បានប្រើលទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្ររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលបានធ្វើការនៅកំឡុងឆ្នាំ 1875-1925 ក្នុងវិស័យដូចគ្នា (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff ប៉ុន្តែមានតែនៅក្នុងពេលវេលារបស់យើងប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ចូលគ្នានូវស្នាដៃរបស់ពួកគេទៅជាប្រព័ន្ធតែមួយ។
តួនាទីរបស់ fractal នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រសព្វថ្ងៃនេះគឺធំណាស់។ ពួកវាមកជួយសង្គ្រោះ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារ ដោយមានជំនួយពីមេគុណជាច្រើន ដើម្បីកំណត់បន្ទាត់ និងផ្ទៃនៃរូបរាងដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។ តាមទស្សនៈនៃក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ ធរណីមាត្រ fractal គឺមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការបង្កើតពពកសិប្បនិម្មិត ភ្នំ និងផ្ទៃសមុទ្រ។ តាមការពិត វិធីមួយត្រូវបានគេរកឃើញដើម្បីងាយស្រួលតំណាងឱ្យវត្ថុដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ ដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងទៅនឹងវត្ថុធម្មជាតិ។
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃ fractal គឺភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត ផ្នែកតូចមួយនៃ fractal មានព័ត៌មានអំពី fractal ទាំងមូល។ និយមន័យនៃ fractal ដែលផ្តល់ឱ្យដោយ Mandelbrot មានដូចខាងក្រោម: "Fractal គឺជារចនាសម្ព័ន្ធដែលមានផ្នែកខ្លះដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងទាំងមូល" ។

មានវត្ថុគណិតវិទ្យាមួយចំនួនធំដែលហៅថា fractal (ត្រីកោណ Sierpinski, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set និង Lorentz attractors)។ Fractals ពិពណ៌នាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដ៏អស្ចារ្យនៃបាតុភូតរូបវន្ត និងទម្រង់នៃពិភពពិតជាច្រើន៖ ភ្នំ ពពក ចរន្តច្របូកច្របល់ (vortex) ឫស មែកឈើ និងស្លឹករបស់ដើមឈើ សរសៃឈាម ដែលនៅឆ្ងាយពីគ្នាទៅនឹងរាងធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ ជាលើកដំបូង Benoit Mandelbrot បាននិយាយអំពីធម្មជាតិប្រភាគនៃពិភពលោករបស់យើងនៅក្នុងការងាររបស់គាត់ "ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ" ។
ពាក្យ Fractal ត្រូវបានណែនាំដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1977 នៅក្នុងការងារជាមូលដ្ឋានរបស់គាត់ "Fractals, Form, Chaos and Dimension" ។ យោងតាមលោក Mandelbrot ពាក្យ fractal មកពីពាក្យឡាតាំង fractus - ប្រភាគនិង frangere - ដើម្បីបំបែកដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីខ្លឹមសារនៃ fractal ជា "ខូច" សំណុំមិនទៀងទាត់។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃ fractal ។

ដើម្បីតំណាងឱ្យភាពខុសគ្នាទាំងមូលនៃ fractal វាជាការងាយស្រួលក្នុងការងាកទៅរកចំណាត់ថ្នាក់ដែលទទួលយកជាទូទៅរបស់ពួកគេ។ មានបីថ្នាក់នៃ fractal ។

1. fractal ធរណីមាត្រ។

Fractals នៃថ្នាក់នេះគឺជាក់ស្តែងបំផុត។ នៅក្នុងករណីពីរវិមាត្រ ពួកគេត្រូវបានទទួលដោយប្រើប៉ូលីលីន (ឬផ្ទៃនៅក្នុងករណីបីវិមាត្រ) ហៅថាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ នៅក្នុងជំហានមួយនៃក្បួនដោះស្រាយ ផ្នែកនីមួយៗដែលបង្កើតជាបន្ទាត់ដែលខូចត្រូវបានជំនួសដោយម៉ាស៊ីនបង្កើតបន្ទាត់ដែលខូចក្នុងមាត្រដ្ឋានសមស្រប។ ជាលទ្ធផលនៃពាក្យដដែលៗគ្មានទីបញ្ចប់នៃនីតិវិធីនេះ fractal ធរណីមាត្រត្រូវបានទទួល។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាវត្ថុមួយក្នុងចំនោមវត្ថុ fractal បែបនេះ - ខ្សែកោង Koch triadic ។

ការសាងសង់ខ្សែកោង triadic Koch ។

យកផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់នៃប្រវែង 1. ចូរហៅវា។ គ្រាប់ពូជ. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកគ្រាប់ពូជជាបីផ្នែកស្មើគ្នានៃប្រវែង 1/3 បោះចោលផ្នែកកណ្តាលហើយជំនួសវាដោយខ្សែដែលខូចនៃតំណភ្ជាប់ពីរនៃប្រវែង 1/3 ។

យើងទទួលបានខ្សែដែលខូចដែលមាន 4 តំណភ្ជាប់ដែលមានប្រវែងសរុប 4/3 - អ្វីដែលគេហៅថា ជំនាន់ដំបូង.

ដើម្បីបន្តទៅជំនាន់ក្រោយនៃខ្សែកោង Koch វាចាំបាច់ត្រូវបោះបង់ និងជំនួសផ្នែកកណ្តាលនៃតំណភ្ជាប់នីមួយៗ។ ដូច្នោះហើយប្រវែងនៃជំនាន់ទីពីរនឹងមាន 16/9, ទីបី - 64/27 ។ ប្រសិនបើអ្នកបន្តដំណើរការនេះរហូតដល់គ្មានទីបញ្ចប់ នោះលទ្ធផលនឹងជាខ្សែកោង triadic Koch ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាខ្សែកោង triadic Koch ដ៏បរិសុទ្ធ ហើយរកមើលថាហេតុអ្វីបានជា fractals ត្រូវបានគេហៅថា "បិសាច" ។

ទីមួយ ខ្សែកោងនេះមិនមានប្រវែងទេ - ដូចដែលយើងបានឃើញជាមួយនឹងចំនួនជំនាន់ ប្រវែងរបស់វាមានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។

ទីពីរ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសាងសង់តង់សង់ទៅនឹងខ្សែកោងនេះ - ចំនុចនីមួយៗរបស់វាគឺជាចំនុចបញ្ឆេះដែលដេរីវេមិនមាន - ខ្សែកោងនេះមិនរលោងទេ។

ប្រវែង និងភាពរលោង គឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃខ្សែកោង ដែលត្រូវបានសិក្សាទាំងដោយធរណីមាត្រ Euclidean និងដោយធរណីមាត្រ Lobachevsky និង Riemann ។ វិធីសាស្រ្តប្រពៃណីនៃការវិភាគធរណីមាត្របានប្រែទៅជាមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្សែកោង triadic Koch ដូច្នេះខ្សែកោង Koch ប្រែទៅជាបិសាច - "បិសាច" ក្នុងចំណោមប្រជាជនរលោងនៃធរណីមាត្របុរាណ។

ការសាងសង់ "នាគ" Harter-Hateway ។

ដើម្បីទទួលបានវត្ថុប្រភាគមួយទៀត អ្នកត្រូវផ្លាស់ប្តូរច្បាប់សាងសង់។ អនុញ្ញាតឱ្យធាតុបង្កើតជាផ្នែកស្មើគ្នាពីរដែលតភ្ជាប់នៅមុំខាងស្តាំ។ នៅក្នុងជំនាន់សូន្យ យើងជំនួសផ្នែកឯកតាជាមួយនឹងធាតុបង្កើតនេះ ដើម្បីឱ្យមុំស្ថិតនៅពីលើ។ យើងអាចនិយាយបានថាជាមួយនឹងការជំនួសបែបនេះការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងពាក់កណ្តាលនៃតំណភ្ជាប់កើតឡើង។ នៅពេលសាងសង់មនុស្សជំនាន់ក្រោយ ច្បាប់ត្រូវបានអនុវត្ត៖ តំណភ្ជាប់ដំបូងបំផុតនៅខាងឆ្វេងត្រូវបានជំនួសដោយធាតុបង្កើត ដូច្នេះពាក់កណ្តាលនៃតំណភ្ជាប់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅខាងឆ្វេងនៃទិសដៅនៃចលនា ហើយនៅពេលជំនួសតំណភ្ជាប់បន្ទាប់។ ទិសដៅនៃការផ្លាស់ទីលំនៅនៃចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែកត្រូវតែឆ្លាស់គ្នា។ តួលេខនេះបង្ហាញពីជំនាន់ពីរបីដំបូង និងជំនាន់ទី 11 នៃខ្សែកោងដែលបានសាងសង់ឡើងតាមគោលការណ៍ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ខ្សែកោង​ដែល​មាន​ទំនោរ​ទៅ​រក​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​នាគ Harter-Hateway ។
នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ ការប្រើ fractal ធរណីមាត្រគឺចាំបាច់នៅពេលទទួលបានរូបភាពដើមឈើ និងគុម្ពោត។ ប្រភាគធរណីមាត្រពីរវិមាត្រត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើតវាយនភាពបីវិមាត្រ (លំនាំលើផ្ទៃវត្ថុ)។

2. ពិជគណិត fractal

នេះគឺជាក្រុមធំបំផុតនៃ fractal ។ ពួកវាត្រូវបានទទួលដោយប្រើដំណើរការមិនលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះ n-dimensional ។ ដំណើរការពីរវិមាត្រត្រូវបានសិក្សាច្រើនបំផុត។ ការបកស្រាយដំណើរការដដែលៗដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរជាប្រព័ន្ធឌីណាមិកដាច់ដោយឡែក មនុស្សម្នាក់អាចប្រើវាក្យស័ព្ទនៃទ្រឹស្ដីនៃប្រព័ន្ធទាំងនេះ៖ ដំណាក់កាលបញ្ឈរ ដំណើរការស្ថានភាពស្ថិរភាព អ្នកទាក់ទាញ។ល។
វាត្រូវបានគេដឹងថាប្រព័ន្ធថាមវន្តមិនលីនេអ៊ែរមានស្ថានភាពស្ថិរភាពជាច្រើន។ ស្ថានភាពដែលប្រព័ន្ធថាមវន្តរកឃើញដោយខ្លួនឯងបន្ទាប់ពីចំនួនជាក់លាក់នៃការធ្វើម្តងទៀតអាស្រ័យលើស្ថានភាពដំបូងរបស់វា។ ដូច្នេះរដ្ឋស្ថិរភាពនីមួយៗ (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថាអ្នកទាក់ទាញ) មានតំបន់ជាក់លាក់មួយនៃរដ្ឋដំបូងដែលប្រព័ន្ធនឹងចាំបាច់ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងរដ្ឋចុងក្រោយដែលត្រូវបានពិចារណា។ ដូច្នេះចន្លោះដំណាក់កាលនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកទៅជាតំបន់នៃការទាក់ទាញរបស់អ្នកទាក់ទាញ។ ប្រសិនបើលំហដំណាក់កាលមានពីរវិមាត្រ នោះដោយការលាបពណ៌តំបន់ទាក់ទាញដោយពណ៌ផ្សេងគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានរូបភាពដំណាក់កាលពណ៌នៃប្រព័ន្ធនេះ (ដំណើរការដដែលៗ)។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរក្បួនដោះស្រាយការជ្រើសរើសពណ៌ អ្នកអាចទទួលបានគំរូប្រភាគដ៏ស្មុគស្មាញជាមួយនឹងលំនាំចម្រុះពណ៌។ ការភ្ញាក់ផ្អើលមួយសម្រាប់គណិតវិទូគឺសមត្ថភាពក្នុងការបង្កើតរចនាសម្ព័ន្ធដែលមិនស្មុគស្មាញបំផុតដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយបុព្វកាល។

ឈុត Mandelbrot ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាឈុត Mandelbrot ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសាងសង់របស់វាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយផ្អែកលើកន្សោមដដែលៗសាមញ្ញ៖ Z = Z[i] * Z[i] + Cកន្លែងណា ហ្សីនិង គគឺជាអថេរស្មុគស្មាញ។ ការធ្វើម្តងទៀតត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ចំណុចចាប់ផ្តើមនីមួយៗពីតំបន់ចតុកោណកែងឬការ៉េ - សំណុំរងនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញ។ ដំណើរការដដែលៗបន្តរហូតដល់ Z[i]នឹងមិនហួសពីរង្វង់នៃកាំ 2 ដែលជាចំណុចកណ្តាលដែលស្ថិតនៅចំណុច (0,0) (នេះមានន័យថាអ្នកទាក់ទាញនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តគឺគ្មានដែនកំណត់) ឬបន្ទាប់ពីការធ្វើឡើងវិញមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ (ឧទាហរណ៍ , 200-500) Z[i]បង្រួបបង្រួមទៅចំណុចមួយចំនួននៅលើរង្វង់។ អាស្រ័យលើចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀតក្នុងអំឡុងពេលនោះ។ Z[i]នៅសល់ក្នុងរង្វង់ អ្នកអាចកំណត់ពណ៌នៃចំណុច គ(ប្រសិនបើ Z[i]នៅសល់ក្នុងរង្វង់សម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើម្តងទៀត ដំណើរការដដែលៗឈប់ ហើយចំណុចតម្រៀបនេះត្រូវបានលាបពណ៌ខ្មៅ)។

3. Stochastic fractal

ថ្នាក់ fractal ល្បីមួយទៀតគឺ stochastic fractal ដែលត្រូវបានទទួលប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយរបស់វាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចៃដន្យនៅក្នុងដំណើរការម្តងហើយម្តងទៀត។ លទ្ធផលនេះធ្វើឱ្យវត្ថុស្រដៀងនឹងវត្ថុធម្មជាតិ - ដើមឈើមិនស្មើគ្នា ឆ្នេរសមុទ្រចូលបន្ទាត់។ល។ Fractal stochastic ពីរវិមាត្រត្រូវបានប្រើក្នុងការធ្វើគំរូលើផ្ទៃដី និងផ្ទៃសមុទ្រ។
មានការចាត់ថ្នាក់ផ្សេងទៀតនៃ fractal ឧទាហរណ៍ ការបែងចែក fractal ទៅជាកត្តាកំណត់ (ពិជគណិត និងធរណីមាត្រ) និងមិនមែនកំណត់ (stochastic) ។

អំពីការប្រើប្រាស់ fractal

ជាដំបូង fractal គឺជាផ្នែកមួយនៃសិល្បៈគណិតវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យ នៅពេលដែលដោយមានជំនួយពីរូបមន្ត និងក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញបំផុត រូបភាពនៃភាពស្រស់ស្អាត និងភាពស្មុគស្មាញមិនធម្មតាត្រូវបានទទួល! នៅក្នុងវណ្ឌវង្កនៃរូបភាពដែលបានសាងសង់ ស្លឹក ដើមឈើ និងផ្កាត្រូវបានទាយជាញឹកញាប់។

មួយនៃកម្មវិធីដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតនៃ fractal គឺនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ទីមួយ វាគឺជាការបង្ហាប់ fractal នៃរូបភាព និងទីពីរ ការសាងសង់ទេសភាព ដើមឈើ រុក្ខជាតិ និងការបង្កើតវាយនភាព fractal ។ រូបវិទ្យា និងមេកានិចទំនើបទើបតែចាប់ផ្តើមសិក្សាពីឥរិយាបទនៃវត្ថុប្រភាគ។ ហើយជាការពិតណាស់ fractal ត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។
គុណសម្បត្តិនៃក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាព fractal គឺទំហំតូចបំផុតនៃឯកសារដែលបានខ្ចប់ និងពេលវេលាសង្គ្រោះរូបភាពខ្លី។ រូបភាពដែលខ្ចប់ដោយប្រភាគអាចត្រូវបានធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយគ្មានរូបរាងនៃភីកសែល។ ប៉ុន្តែដំណើរការបង្ហាប់ត្រូវចំណាយពេលយូរ ហើយជួនកាលមានរយៈពេលរាប់ម៉ោង។ ក្បួនដោះស្រាយការវេចខ្ចប់ fractal ដែលបាត់បង់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់កម្រិតនៃការបង្ហាប់ដែលស្រដៀងទៅនឹងទម្រង់ jpeg ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺផ្អែកលើការស្វែងរកបំណែកធំនៃរូបភាពស្រដៀងនឹងបំណែកតូចៗមួយចំនួន។ ហើយមានតែបំណែកណាដែលស្រដៀងនឹងដែលត្រូវបានសរសេរទៅឯកសារលទ្ធផល។ នៅពេលបង្ហាប់ ក្រឡាចត្រង្គការ៉េជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ (បំណែកគឺជាការ៉េ) ដែលនាំឱ្យមានភាពស្រឡះបន្តិច នៅពេលស្តាររូបភាពឡើងវិញ ក្រឡាចត្រង្គរាងប្រាំមួយមិនមានគុណវិបត្តិបែបនេះទេ។
Iterated បានបង្កើតទម្រង់រូបភាពថ្មី "Sting" ដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវ fractal និង "wave" (ដូចជា jpeg) ការបង្ហាប់ដែលគ្មានការបាត់បង់។ ទម្រង់ថ្មីអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតរូបភាពជាមួយនឹងលទ្ធភាពនៃការធ្វើមាត្រដ្ឋានគុណភាពខ្ពស់ជាបន្តបន្ទាប់ ហើយទំហំឯកសារក្រាហ្វិកគឺ 15-20% នៃទំហំរូបភាពដែលមិនបានបង្ហាប់។
ទំនោរនៃ fractal មើលទៅដូចជាភ្នំ ផ្កា និងដើមឈើត្រូវបានទាញយកដោយអ្នកកែសម្រួលក្រាហ្វិកមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ ពពក fractal ពី 3D studio MAX ភ្នំ fractal នៅក្នុង World Builder ។ ដើមឈើ Fractal ភ្នំ និងទេសភាពទាំងមូលត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តសាមញ្ញ ងាយស្រួលក្នុងការសរសេរកម្មវិធី និងមិនដួលរលំទៅជាត្រីកោណ និងគូបដាច់ដោយឡែកនៅពេលចូលទៅជិត។
អ្នកមិនអាចព្រងើយកន្តើយចំពោះការប្រើប្រាស់ fractal នៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងបានទេ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំ សំណុំ Cantor បង្ហាញឱ្យឃើញពីអត្ថិភាពនៃសំណុំក្រាស់ឥតខ្ចោះ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីរង្វាស់ មុខងារ "Cantor ladder" ដោយខ្លួនឯងគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏ល្អនៃមុខងារចែកចាយរង្វាស់ឯកវចនៈ។
នៅក្នុងមេកានិច និងរូបវិទ្យា Fractal ត្រូវបានប្រើដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសរបស់វា ដើម្បីធ្វើឡើងវិញនូវគ្រោងនៃវត្ថុធម្មជាតិជាច្រើន។ Fractals អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប៉ាន់ស្មានដើមឈើ ផ្ទៃភ្នំ និងការប្រេះស្រាំជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់ជាងការប៉ាន់ស្មានជាមួយផ្នែកបន្ទាត់ ឬពហុកោណ (ជាមួយនឹងបរិមាណដូចគ្នានៃទិន្នន័យដែលបានរក្សាទុក)។ គំរូ Fractal ដូចជាវត្ថុធម្មជាតិមាន "ភាពរដុប" ហើយទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានរក្សាទុកដោយការកើនឡើងដ៏ធំតាមអំពើចិត្តនៅក្នុងគំរូ។ វត្តមាននៃរង្វាស់ឯកសណ្ឋាននៅលើ fractal ធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តការរួមបញ្ចូល ទ្រឹស្តីសក្តានុពល ដើម្បីប្រើពួកវាជំនួសឱ្យវត្ថុស្តង់ដារនៅក្នុងសមីការដែលបានសិក្សារួចហើយ។
ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្ត fractal ភាពវឹកវរឈប់ទៅជាជំងឺពណ៌ខៀវហើយទទួលបានរចនាសម្ព័ន្ធដ៏ល្អ។ វិទ្យាសាស្ត្រ Fractal នៅក្មេងនៅឡើយ ហើយមានអនាគតដ៏អស្ចារ្យនៅខាងមុខ។ ភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals គឺនៅឆ្ងាយពីការហត់នឿយហើយនឹងនៅតែផ្តល់ឱ្យយើងនូវស្នាដៃជាច្រើន - អ្នកដែលរីករាយនឹងភ្នែកនិងអ្នកដែលនាំមកនូវសេចក្តីរីករាយពិតប្រាកដដល់ចិត្ត។

អំពីការកសាង fractal

វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់

ក្រឡេកមើលរូបភាពនេះ វាមិនពិបាកក្នុងការយល់ពីរបៀបដែល fractal ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង (ក្នុងករណីនេះ សាជីជ្រុង Sierpinski) អាចត្រូវបានសាងសង់។ យើងត្រូវយកពីរ៉ាមីតធម្មតា (tetrahedron) បន្ទាប់មកកាត់កណ្តាលរបស់វា (octahedron) ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពីរ៉ាមីតតូចៗចំនួនបួន។ ជាមួយនឹងពួកវានីមួយៗយើងធ្វើប្រតិបត្តិការដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នេះ​ជា​ការ​ពន្យល់​បែប​ឆោតល្ងង់ ប៉ុន្តែ​ជា​ការ​ពន្យល់។

ចូរយើងពិចារណាអំពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រនេះឱ្យកាន់តែតឹងរ៉ឹង។ សូមឱ្យមានប្រព័ន្ធ IFS មួយចំនួន, ឧ។ ប្រព័ន្ធផែនទីបង្រួម ស=(S 1 ,...,S m ) S i:R n -> R n (ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ពីរ៉ាមីតរបស់យើង ការគូសវាសមើលទៅដូច S i (x)=1/2*x+o i ដែលជាកន្លែងដែល o i នៅ ចំនុចកំពូលនៃ tetrahedron, i=1,..,4) ។ បន្ទាប់មកយើងជ្រើសរើសសំណុំតូច A 1 ក្នុង R n (ក្នុងករណីរបស់យើងយើងជ្រើសរើស tetrahedron) ។ ហើយ​យើង​កំណត់​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​លំដាប់​នៃ​សំណុំ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាសំណុំ A k ជាមួយនឹងការកើនឡើង k ប្រហាក់ប្រហែលនឹងការទាក់ទាញដែលត្រូវការនៃប្រព័ន្ធ ស.

ចំណាំថារាល់ការធ្វើឡើងវិញទាំងនេះគឺជាកត្តាទាក់ទាញ ប្រព័ន្ធនៃមុខងារដដែលៗ(ពាក្យជាភាសាអង់គ្លេស DigraphIFS, RIFSនិងផងដែរ។ IFS ដឹកនាំក្រាហ្វិក) ដូច្នេះហើយ ពួកវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតជាមួយកម្មវិធីរបស់យើង។

ការសាងសង់ដោយចំណុចឬវិធីសាស្រ្តប្រូបាប៊ីលីតេ

នេះ​ជា​វិធីសាស្ត្រ​ងាយស្រួល​បំផុត​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​លើ​កុំព្យូទ័រ។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ សូមពិចារណាអំពីករណីនៃសំណុំ affine ដោយខ្លួនឯងផ្ទះល្វែង។ ដូច្នេះសូមឱ្យ (ស

) គឺជាប្រព័ន្ធនៃការកន្ត្រាក់អារម្មណ៍មួយចំនួន។ ផែនទី S

តំណាងដូចជា៖ ស

ម៉ាទ្រីសថេរនៃទំហំ 2x2 និង o

ជួរឈរវ៉ិចទ័រពីរវិមាត្រ។

• ចូរយកចំណុចថេរនៃការគូសផែនទី S 1 ជាចំណុចចាប់ផ្តើម៖
  x:=o1;
  នៅទីនេះយើងប្រើការពិតដែលថាចំណុចកន្ត្រាក់ថេរទាំងអស់ S 1,..,S m ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ fractal ។ ចំណុចបំពានអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជាចំណុចចាប់ផ្តើម ហើយលំដាប់នៃចំណុចដែលបង្កើតដោយវានឹងបង្រួមទៅជាប្រភាគ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកចំណុចបន្ថែមមួយចំនួននឹងបង្ហាញនៅលើអេក្រង់។
• ចំណាំចំណុចបច្ចុប្បន្ន x=(x 1 ,x 2) នៅលើអេក្រង់៖
  putpixel(x 1,x 2,15);
• យើងជ្រើសរើសលេខ j ដោយចៃដន្យពី 1 ដល់ m ហើយគណនាឡើងវិញនូវកូអរដោនេនៃចំនុច x:
  j:=ចៃដន្យ(m)+1;
  x:=S j(x);
• យើង​ទៅ​ជំហាន​ទី 2 ឬ​ប្រសិន​បើ​យើង​បាន​ធ្វើ​ចំនួន​ច្រើន​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ​នោះ​យើង​ឈប់។

ចំណាំ។ប្រសិនបើមេគុណនៃការបង្ហាប់នៃផែនទី S i ខុសគ្នានោះ ប្រភាគនឹងត្រូវបានបំពេញដោយចំនុចមិនស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើការគូសវាស S i មានភាពស្រដៀងគ្នា នេះអាចជៀសវាងបានដោយការធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញបន្តិចនៃក្បួនដោះស្រាយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅជំហានទី 3 នៃក្បួនដោះស្រាយលេខ j ពី 1 ដល់ m ត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p 1 = r 1 s ,.., p m = r m s ដែល r i តំណាងឱ្យមេគុណនៃការកន្ត្រាក់នៃផែនទី S i ។ ហើយលេខ s (ហៅថាវិមាត្រភាពស្រដៀងគ្នា) ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការ r 1 s +...+r m s =1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។

អំពី fractal និងក្បួនដោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

Fractal មកពីគុណនាមឡាតាំង "fractus" ហើយនៅក្នុងការបកប្រែមានន័យថាមានបំណែក ហើយកិរិយាស័ព្ទឡាតាំងដែលត្រូវគ្នា "frangere" មានន័យថាបំបែក នោះគឺដើម្បីបង្កើតបំណែកមិនទៀងទាត់។ គោលគំនិតនៃធរណីមាត្រ fractal និង fractal ដែលបានលេចឡើងនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 បានក្លាយជាយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់អ្នកគណិតវិទូ និងអ្នកសរសេរកម្មវិធីចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ទី 80 ។ ពាក្យនេះត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ដើម្បីសំដៅទៅលើរចនាសម្ព័ន្ធមិនទៀងទាត់ ប៉ុន្តែស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ដែលគាត់បានសិក្សា។ កំណើតនៃធរណីមាត្រ fractal ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1977 នៃសៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" ។ ស្នាដៃរបស់គាត់បានប្រើលទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្ររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលធ្វើការនៅកំឡុងឆ្នាំ 1875-1925 ក្នុងវិស័យដូចគ្នា (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) ។

ការកែតម្រូវ

អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំធ្វើការកែតម្រូវមួយចំនួនចំពោះក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងនៅក្នុងសៀវភៅដោយ H.-O ។ Paytgen និង P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 សុទ្ធសាធដើម្បីលុបបំបាត់ការវាយអក្សរ និងធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលយល់អំពីដំណើរការនានា ចាប់តាំងពីបន្ទាប់ពីបានសិក្សាពួកវា អ្វីៗជាច្រើននៅតែជាអាថ៌កំបាំងសម្រាប់ខ្ញុំ។ ជាអកុសល ក្បួនដោះស្រាយ "អាចយល់បាន" និង "សាមញ្ញ" ទាំងនេះនាំឱ្យរបៀបរស់នៅដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល។

ការបង្កើត fractal គឺផ្អែកលើមុខងារមិនលីនេអ៊ែរជាក់លាក់នៃដំណើរការស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងមតិត្រឡប់ z \u003d z 2 + c ចាប់តាំងពី z និង c គឺជាចំនួនកុំផ្លិច បន្ទាប់មក z \u003d x + iy, c \u003d p + iq វាគឺចាំបាច់ ដើម្បីបំបែកវាទៅជា x និង y ដើម្បីឆ្ពោះទៅរកការពិតបន្ថែមទៀតសម្រាប់យន្តហោះមនុស្សធម្មតា៖

x(k+1)=x(k)2 -y(k)2+p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k)+q ។

យន្តហោះដែលមានគូទាំងអស់ (x, y) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាតម្លៃថេរ p និង qក៏ដូចជាសម្រាប់ឌីណាមិក។ ក្នុងករណីដំបូង តម្រៀបតាមចំនុចទាំងអស់ (x, y) នៃយន្តហោះដោយយោងទៅតាមច្បាប់ ហើយដាក់ពណ៌វាអាស្រ័យលើចំនួនពាក្យដដែលៗនៃមុខងារដែលចាំបាច់ដើម្បីចេញពីដំណើរការដដែលៗ ឬមិនដាក់ពណ៌ (ខ្មៅ) នៅពេលដែលអតិបរមាអនុញ្ញាត។ ពាក្យដដែលៗត្រូវបានកើនឡើង យើងទទួលបានផែនទីនៃឈុត Julia ។ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ យើងកំណត់តម្លៃគូដំបូង (x, y) ហើយតាមដានជោគវាសនាពណ៌របស់វាជាមួយនឹងតម្លៃផ្លាស់ប្តូរថាមវន្តនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p និង q នោះយើងទទួលបានរូបភាពដែលហៅថាឈុត Mandelbrot ។

នៅលើសំណួរនៃក្បួនដោះស្រាយពណ៌ fractal ។

ជាធម្មតាតួនៃឈុតត្រូវបានតំណាងថាជាវាលខ្មៅ ទោះបីជាវាច្បាស់ថាពណ៌ខ្មៅអាចត្រូវបានជំនួសដោយអ្វីផ្សេងទៀតក៏ដោយ ប៉ុន្តែនេះក៏ជាលទ្ធផលដែលមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ។ ដើម្បីទទួលបានរូបភាពនៃឈុតដែលលាបពណ៌ទាំងអស់គឺជាកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើប្រតិបត្តិការរង្វិល ចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀតដែលបង្កើតតួនៃសំណុំគឺស្មើនឹងអតិបរមាដែលអាចធ្វើបាន និងតែងតែដូចគ្នា។ វាអាចទៅរួចក្នុងការដាក់ពណ៌ឈុតក្នុងពណ៌ផ្សេងគ្នាដោយប្រើលទ្ធផលនៃការពិនិត្យលក្ខខណ្ឌចេញពីរង្វិលជុំ (z_magnitude) ជាលេខពណ៌ ឬស្រដៀងនឹងវា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត។

ការអនុវត្ត "មីក្រូទស្សន៍ fractal"

ដើម្បីបង្ហាញពីបាតុភូតព្រំដែន។

អ្នកទាក់ទាញគឺជាមជ្ឈមណ្ឌលដឹកនាំការតស៊ូដើម្បីភាពលេចធ្លោនៅលើយន្តហោះ។ រវាងអ្នកទាក់ទាញ មានព្រំដែនតំណាងឱ្យលំនាំវិល។ តាមរយៈការបង្កើនទំហំនៃការពិចារណានៅក្នុងព្រំដែននៃសំណុំ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានគំរូដែលមិនសំខាន់ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីស្ថានភាពនៃភាពវឹកវរកំណត់ - បាតុភូតទូទៅនៅក្នុងពិភពធម្មជាតិ។

វត្ថុដែលបានសិក្សាដោយអ្នកភូមិសាស្រ្តបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធមួយដែលមានព្រំដែនរៀបចំយ៉ាងស្មុគ្រស្មាញ ដែលទាក់ទងនឹងការអនុវត្តរបស់ពួកគេក្លាយជាកិច្ចការជាក់ស្តែងដ៏លំបាកមួយ។ ស្មុគ្រស្មាញធម្មជាតិមានស្នូលនៃលក្ខណៈធម្មតាដើរតួជាអ្នកទាក់ទាញដែលបាត់បង់អំណាចនៃឥទ្ធិពលរបស់ពួកគេនៅលើទឹកដីនៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ។

ដោយប្រើមីក្រូទស្សន៍ fractal សម្រាប់សំណុំ Mandelbrot និង Julia មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតជាគំនិតនៃដំណើរការព្រំដែន និងបាតុភូតដែលស្មុគ្រស្មាញស្មើៗគ្នាដោយមិនគិតពីទំហំនៃការពិចារណា ហើយដូច្នេះរៀបចំការយល់ឃើញរបស់អ្នកឯកទេសសម្រាប់ការប្រជុំប្រកបដោយភាពស្វាហាប់ និងហាក់ដូចជាមានភាពវឹកវរ។ នៅក្នុងលំហ និងពេលវេលា វត្ថុធម្មជាតិសម្រាប់ការយល់ដឹងពីធម្មជាតិធរណីមាត្រ fractal ។ ពហុពណ៌ និងតន្ត្រី fractal ពិតជានឹងបន្សល់ទុកនូវសញ្ញាណដ៏ជ្រៅនៅក្នុងចិត្តរបស់សិស្ស។

ការបោះពុម្ភផ្សាយរាប់ពាន់ និងធនធានអ៊ីនធឺណិតដ៏ធំត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ប្រភាគ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់អ្នកឯកទេសជាច្រើនដែលនៅឆ្ងាយពីវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ពាក្យនេះហាក់ដូចជាថ្មីទាំងស្រុង។ Fractals ដែលជាវត្ថុចាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកឯកទេសក្នុងវិស័យចំណេះដឹងផ្សេងៗគួរតែទទួលបានកន្លែងត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ។

ឧទាហរណ៍

ក្រឡាចត្រង្គ SIERPINSKI

នេះគឺជាផ្នែកមួយក្នុងចំនោម fractal ដែល Mandelbrot ពិសោធនៅពេលបង្កើតគោលគំនិតនៃទំហំ fractal និងការធ្វើម្តងទៀត។ ត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃត្រីកោណធំជាងត្រូវបានកាត់ចេញពីត្រីកោណមេដើម្បីបង្កើតជាត្រីកោណដែលមានរន្ធច្រើន។ ក្នុងករណីនេះអ្នកផ្តួចផ្តើមគឺជាត្រីកោណធំហើយគំរូគឺជាប្រតិបត្តិការដើម្បីកាត់ត្រីកោណដែលស្រដៀងនឹងទំហំធំជាងនេះ។ អ្នកក៏អាចទទួលបានកំណែ 3D នៃត្រីកោណដោយប្រើ tetrahedron ធម្មតា និងកាត់ចេញ tetrahedra តូចជាង។ វិមាត្រនៃ fractal បែបនេះគឺ ln3/ln2 = 1.584962501 ។ ទទួល កំរាលព្រំ Sierpinskiយកការ៉េមួយចែកជាប្រាំបួនការ៉េ ហើយកាត់កណ្តាលមួយ។ យើងនឹងធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងកន្លែងដែលនៅសល់ ការ៉េតូច នៅទីបញ្ចប់ក្រឡាចត្រង្គ fractal រាបស្មើត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលមិនមានតំបន់ប៉ុន្តែមានទំនាក់ទំនងគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងទម្រង់ជាលំហរបស់វា អេប៉ុង Sierpinski ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់ ដែលធាតុនីមួយៗត្រូវបានជំនួសដោយប្រភេទរបស់វាជានិច្ច។ រចនាសម្ព័ន្ធនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងផ្នែកមួយនៃជាលិកាឆ្អឹង។ នៅថ្ងៃណាមួយរចនាសម្ព័ន្ធដដែលៗបែបនេះនឹងក្លាយជាធាតុផ្សំនៃរចនាសម្ព័ន្ធសំណង់។ Mandelbrot ជឿជាក់ថាឋិតិវន្ត និងថាមវន្តរបស់ពួកគេសមនឹងទទួលបានការសិក្សាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។

ផ្លូវកោង KOCH

ខ្សែកោង Koch គឺជាផ្នែកមួយនៃ fractal កំណត់ធម្មតាបំផុត។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទីដប់ប្រាំបួនដោយគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ម្នាក់ឈ្មោះ Helge von Koch ដែលខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាការងាររបស់ Georg Kontor និង Karl Weierstraße បានឆ្លងកាត់ការពិពណ៌នាអំពីខ្សែកោងចម្លែកមួយចំនួនជាមួយនឹងអាកប្បកិរិយាមិនធម្មតា។ អ្នកផ្តួចផ្តើម - បន្ទាត់ផ្ទាល់។ ម៉ាស៊ីនភ្លើងគឺជាត្រីកោណសមភាពដែលជ្រុងដែលស្មើនឹងមួយភាគបីនៃប្រវែងនៃផ្នែកធំជាង។ ត្រីកោណទាំងនេះត្រូវបានបន្ថែមទៅពាក់កណ្តាលនៃផ្នែកនីមួយៗម្តងហើយម្តងទៀត។ នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់ Mandelbrot បានពិសោធជាច្រើនជាមួយនឹងខ្សែកោង Koch និងទទួលបានតួលេខដូចជា Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes និងសូម្បីតែតំណាងបីវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch ដោយប្រើ tetrahedron និងបន្ថែម tetrahedra តូចជាងទៅនឹងមុខនីមួយៗរបស់វា។ ខ្សែកោង Koch មានវិមាត្រ ln4/ln3 = 1.261859507 ។

Fractal Mandelbrot

នេះមិនមែនជាឈុត Mandelbrot ដែលអ្នកឃើញញឹកញាប់នោះទេ។ សំណុំ Mandelbrot គឺផ្អែកលើសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងជាប្រភាគស្មុគស្មាញ។ នេះក៏ជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃខ្សែកោង Koch ទោះបីជាវត្ថុនេះមើលទៅមិនដូចវាក៏ដោយ។ អ្នកផ្ដួចផ្ដើម និងម៉ាស៊ីនភ្លើងក៏ខុសគ្នាពីអ្នកដែលប្រើដើម្បីបង្កើត fractal ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃខ្សែកោង Koch ប៉ុន្តែគំនិតនៅតែដដែល។ ជំនួសឱ្យការភ្ជាប់ត្រីកោណស្មើទៅនឹងផ្នែកខ្សែកោង ការ៉េត្រូវបានភ្ជាប់ទៅការ៉េមួយ។ ដោយសារតែការពិតដែលថា fractal នេះកាន់កាប់ពាក់កណ្តាលនៃទំហំដែលបានបែងចែកនៅពេលធ្វើម្តងទៀតនីមួយៗ វាមានវិមាត្រ fractal សាមញ្ញនៃ 3/2 = 1.5 ។

PENTAGON របស់ DARER

Fractal មើលទៅដូចជាបណ្តុំនៃ pentagons ច្របាច់បញ្ចូលគ្នា។ តាមការពិត វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការប្រើ pentagon ជាអ្នកផ្តួចផ្តើម និងត្រីកោណ isosceles សមាមាត្រនៃផ្នែកធំបំផុតទៅតូចបំផុត ដែលពិតជាស្មើនឹងសមាមាត្រមាស (1.618033989 ឬ 1/(2cos72)) ជាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ . ត្រីកោណទាំងនេះត្រូវបានកាត់ចេញពីផ្នែកកណ្តាលនៃប៉ង់តាហ្គោននីមួយៗ ដែលបណ្តាលឱ្យមានរូបរាងដែលមើលទៅដូចជាប៉ង់តាហ្គោនតូចៗចំនួន 5 ជាប់នឹងមួយដ៏ធំ។ វ៉ារ្យ៉ង់នៃ fractal នេះអាចទទួលបានដោយប្រើ hexagon ជាអ្នកផ្តួចផ្តើម។ ប្រភាគ​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​តារា​នៃ​ដាវីឌ​ហើយ​គឺ​ពិត​ជា​ស្រដៀង​គ្នា​ទៅ​នឹង​កំណែ​ប្រាំមួយ​នៃ Koch's Snowflake ។ វិមាត្រប្រភាគនៃ Darer pentagon គឺ ln6/ln(1+g) ដែល g គឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជ្រុងធំនៃត្រីកោណទៅនឹងប្រវែងនៃផ្នែកតូចជាង។ ក្នុងករណីនេះ g គឺជាសមាមាត្រមាស ដូច្នេះវិមាត្រប្រភាគគឺប្រហែល 1.86171596 ។ វិមាត្រប្រភាគនៃផ្កាយ David គឺ ln6/ln3 ឬ 1.630929754 ។

Fractal ស្មុគស្មាញ

ជាការពិត ប្រសិនបើអ្នកពង្រីកទំហំតូចមួយនៃប្រភាគស្មុគស្មាញណាមួយ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើដូចគ្នានៅលើតំបន់តូចមួយនៃតំបន់នោះ ការពង្រីកទាំងពីរនឹងខុសគ្នាខ្លាំងពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ រូបភាពទាំងពីរនឹងមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាខ្លាំងណាស់នៅក្នុងលម្អិត ប៉ុន្តែពួកវានឹងមិនដូចគ្នាទាំងស្រុងនោះទេ។

រូបទី 1. ប្រហាក់ប្រហែលនៃសំណុំ Mandelbrot

ជាឧទាហរណ៍ ប្រៀបធៀបរូបភាពនៃឈុត Mandelbrot ដែលបានបង្ហាញនៅទីនេះ ដែលមួយត្រូវបានទទួលដោយការបង្កើនតំបន់មួយចំនួននៃផ្សេងទៀត។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ពួកវាមិនដូចគ្នាទេ ទោះបីនៅលើទាំងពីរយើងឃើញរង្វង់ខ្មៅ ដែលអណ្តាតភ្លើងឆេះក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ធាតុទាំងនេះធ្វើឡើងវិញដោយគ្មានកំណត់នៅក្នុង Mandelbrot ដែលបានកំណត់ក្នុងសមាមាត្រថយចុះ។

កំណត់ fractals គឺលីនេអ៊ែរ ខណៈពេលដែល fractal ស្មុគស្មាញមិនមាន។ ដោយមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ប្រភាគទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតដោយអ្វីដែល Mandelbrot ហៅថាសមីការពិជគណិតមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អមួយគឺដំណើរការ Zn + 1 = ZnІ + C ដែលជាសមីការដែលប្រើក្នុងការសាងសង់សំណុំ Mandelbrot និង Julia នៃដឺក្រេទីពីរ។ ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​គណិត​វិទ្យា​ទាំង​នេះ​ទាក់​ទង​នឹង​លេខ​ស្មុគ្រស្មាញ និង​ស្រមើស្រមៃ។ នៅពេលដែលសមីការត្រូវបានបកស្រាយជាក្រាហ្វិកនៅក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញ លទ្ធផលគឺជាតួរលេខចម្លែកដែលបន្ទាត់ត្រង់ប្រែទៅជាខ្សែកោង ឥទ្ធិពលនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងលេចឡើងនៅកម្រិតមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗ ទោះបីជាមិនមានការខូចទ្រង់ទ្រាយក៏ដោយ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ រូបភាពទាំងមូលគឺមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន និងមានភាពច្របូកច្របល់ខ្លាំង។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញដោយមើលរូបភាព ប្រភាគស្មុគស្មាញគឺពិតជាស្មុគស្មាញខ្លាំងណាស់ ហើយមិនអាចបង្កើតដោយគ្មានជំនួយពីកុំព្យូទ័រ។ ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលចម្រុះពណ៌ កុំព្យូទ័រនេះត្រូវតែមាន coprocessor គណិតវិទ្យាដ៏មានឥទ្ធិពល និងម៉ូនីទ័រដែលមានគុណភាពបង្ហាញខ្ពស់។ មិនដូច fractal កំណត់ទេ fractal ស្មុគស្មាញមិនត្រូវបានគណនាក្នុង 5-10 ដដែលៗទេ។ ស្ទើរតែគ្រប់ចំនុចទាំងអស់នៅលើអេក្រង់កុំព្យូទ័រគឺដូចជា fractal ដាច់ដោយឡែក។ កំឡុងពេលដំណើរការគណិតវិទ្យា ចំណុចនីមួយៗត្រូវបានចាត់ទុកជាគំរូដាច់ដោយឡែក។ ចំណុចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់មួយ។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​សម្រាប់​ចំណុច​នីមួយៗ ហើយ​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ឧទាហរណ៍ 1000 ដដែលៗ។ ដើម្បីទទួលបានរូបភាពដែលមិនមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយក្នុងរយៈពេលដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់កុំព្យូទ័រនៅផ្ទះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្ត 250 ម្តងទៀតសម្រាប់ចំណុចមួយ។

ភាគច្រើននៃ fractal ដែលយើងឃើញសព្វថ្ងៃនេះមានពណ៌ស្រស់ស្អាត។ ប្រហែលជារូបភាព fractal ទទួលបានតម្លៃសោភ័ណភាពដ៏អស្ចារ្យយ៉ាងជាក់លាក់ ដោយសារតែពណ៌ចម្រុះរបស់វា។ បន្ទាប់ពីសមីការត្រូវបានគណនាកុំព្យូទ័រវិភាគលទ្ធផល។ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៅតែស្ថិតស្ថេរ ឬប្រែប្រួលជុំវិញតម្លៃជាក់លាក់មួយ ចំណុចនឹងប្រែជាខ្មៅជាធម្មតា។ ប្រសិនបើតម្លៃក្នុងជំហានមួយ ឬជំហានផ្សេងទៀតមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ នោះចំណុចត្រូវបានលាបពណ៌ផ្សេង ប្រហែលជាពណ៌ខៀវ ឬក្រហម។ កំឡុងពេលដំណើរការនេះ កុំព្យូទ័រផ្តល់ពណ៌ដល់ល្បឿនចលនាទាំងអស់។

ជាធម្មតា ចំណុចផ្លាស់ទីលឿនត្រូវបានលាបពណ៌ក្រហម ចំណែកចំណុចដែលយឺតៗមានពណ៌លឿង។ល។ ចំណុចងងឹតប្រហែលជាមានស្ថេរភាពបំផុត។

ហ្វ្រេតូសស្មុគ្រស្មាញ ខុសពី fractal កំណត់ក្នុងន័យថា វាស្មុគ្រស្មាញគ្មានទីបញ្ចប់ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះ ពួកវាអាចបង្កើតបានដោយរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត។ កំណត់ fractals មិនត្រូវការរូបមន្ត ឬសមីការទេ។ គ្រាន់​តែ​យក​ក្រដាស​គំនូរ​មួយ​ចំនួន​ហើយ​អ្នក​អាច​បង្កើត​ Sierpinski Sieve បាន​រហូត​ដល់​ទៅ 3 ឬ 4 ដដែល​ដោយ​មិន​មាន​ការ​លំបាក​អ្វី​ឡើយ។ ព្យាយាមធ្វើវាជាមួយ Julia ជាច្រើន! វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការវាស់ប្រវែងឆ្នេរសមុទ្រនៃប្រទេសអង់គ្លេស!

MANDERBROT SET

រូបទី 2. សំណុំ Mandelbrot

សំណុំ Mandelbrot និង Julia ប្រហែលជាពីរទូទៅបំផុតក្នុងចំណោម fractal ស្មុគស្មាញ។ ពួកវាអាចរកបាននៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើន គម្របសៀវភៅ កាតប៉ូស្ដាល់ និងធាតុរក្សាអេក្រង់កុំព្យូទ័រ។ សំណុំ Mandelbrot ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Benoit Mandelbrot គឺប្រហែលជាសមាគមដំបូងដែលមនុស្សមាននៅពេលពួកគេឮពាក្យ fractal ។ ប្រភាគនេះ ស្រដៀងនឹងកាតដែលមានដើមឈើភ្លឺ និងតំបន់រង្វង់ដែលភ្ជាប់ជាមួយវាត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តសាមញ្ញ Zn+1=Zna+C ដែល Z និង C គឺជាចំនួនកុំផ្លិច ហើយ a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។

ឈុត Mandelbrot ដែលគេឃើញញឹកញាប់បំផុតគឺឈុត Mandelbrot ដឺក្រេទី 2 ពោលគឺ a=2 ។ ការពិតដែលថាសំណុំ Mandelbrot មិនត្រឹមតែ Zn + 1 = ZnІ + C ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែជា fractal ដែលជានិទស្សន្តនៅក្នុងរូបមន្តដែលអាចជាលេខវិជ្ជមានណាមួយបានបំភាន់មនុស្សជាច្រើន។ នៅលើទំព័រនេះ អ្នកឃើញឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ Mandelbrot សម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗនៃនិទស្សន្ត a ។
រូបភាពទី 3. រូបរាងនៃពពុះនៅ a=3.5

ដំណើរការ Z=Z*tg(Z+C) ក៏ពេញនិយមផងដែរ។ សូមអរគុណដល់ការរួមបញ្ចូលមុខងារតង់ហ្សង់ សំណុំ Mandelbrot ត្រូវបានទទួល ដែលហ៊ុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃដែលស្រដៀងនឹងផ្លែប៉ោម។ នៅពេលប្រើមុខងារកូស៊ីនុស ឥទ្ធិពលពពុះខ្យល់ត្រូវបានទទួល។ សរុបមក មានវិធីជាច្រើនមិនកំណត់ក្នុងការកែប្រែសំណុំ Mandelbrot ដើម្បីបង្កើតរូបភាពស្អាតៗផ្សេងៗ។

JULIA ច្រើន។

គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលដែលឈុត Julia ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរូបមន្តដូចគ្នានឹងឈុត Mandelbrot ។ ឈុត Julia ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​គណិតវិទូ​ជនជាតិ​បារាំង Gaston Julia ដែល​ឈុត​នោះ​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ឈ្មោះ​តាម​នោះ។ សំណួរដំបូងដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពីអ្នកស្គាល់គ្នាដែលមើលឃើញជាមួយនឹងសំណុំ Mandelbrot និង Julia គឺ "ប្រសិនបើ fractal ទាំងពីរត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តដូចគ្នាហេតុអ្វីបានជាពួកគេខុសគ្នាដូច្នេះ?" ដំបូងមើលរូបភាពនៃឈុត Julia ។ ចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ហើយ ឈុត Julia មានប្រភេទផ្សេងៗគ្នា។ នៅពេលគូរ fractal ដោយប្រើចំណុចចាប់ផ្តើមផ្សេងគ្នា (ដើម្បីចាប់ផ្តើមដំណើរការម្តងទៀត) រូបភាពផ្សេងគ្នាត្រូវបានបង្កើត។ នេះអនុវត្តតែចំពោះឈុត Julia ប៉ុណ្ណោះ។

រូបទី 4. ឈុត Julia

ទោះបីជាវាមិនអាចមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាពក៏ដោយក៏ Mandelbrot fractal ពិតជាបណ្តុំនៃ Julia fractal ដែលតភ្ជាប់ជាមួយគ្នា។ ចំណុចនីមួយៗ (ឬសំរបសំរួល) នៃសំណុំ Mandelbrot ត្រូវគ្នាទៅនឹង Julia fractal ។ សំណុំ Julia អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ដោយ​ប្រើ​ចំណុច​ទាំង​នេះ​ជា​តម្លៃ​ដំបូង​ក្នុង​សមីការ Z=ZI+C ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមានន័យថា ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសចំនុចមួយនៅលើ Mandelbrot fractal ហើយបង្កើនវា អ្នកអាចទទួលបាន Julia fractal ។ ចំណុចទាំងពីរនេះគឺដូចគ្នាបេះបិទ តែក្នុងន័យគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើយើងយកចំណុចនេះ ហើយគណនាវាតាមរូបមន្តនេះ យើងអាចទទួលបាន Julia fractal ដែលត្រូវនឹងចំណុចជាក់លាក់មួយនៃ Mandelbrot fractal ។

ប្រភាគ

Fractal (lat ។ ប្រភាគ- កំទេច, ខូច, ខូច) - រូបធរណីមាត្រដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ពោលគឺមានផ្នែកជាច្រើន ដែលផ្នែកនីមួយៗស្រដៀងនឹងរូបទាំងមូលទាំងមូល។នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រភាគត្រូវបានយល់ថាជាសំណុំនៃ ចំនុចនៅក្នុងលំហ Euclidean ដែលមានវិមាត្រម៉ែត្រប្រភាគ (ក្នុងន័យ Minkowski ឬ Hausdorff) ឬវិមាត្រម៉ែត្រផ្សេងក្រៅពី topological ។ Fractasm គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យនៃការសិក្សា និងការចងក្រង Fractals ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រភាគ គឺជាវត្ថុធរណីមាត្រដែលមានវិមាត្រប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ វិមាត្រនៃបន្ទាត់គឺ 1 តំបន់មួយគឺ 2 និងបរិមាណគឺ 3។ សម្រាប់ fractal តម្លៃវិមាត្រអាចស្ថិតនៅចន្លោះពី 1 និង 2 ឬរវាង 2 និង 3 ។ ឧទាហរណ៍ វិមាត្រប្រភាគនៃប្រភាគ បាល់ក្រដាសគឺប្រហែល 2.5 ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាមានរូបមន្តស្មុគ្រស្មាញពិសេសសម្រាប់គណនាវិមាត្រនៃប្រភាគ។ ផលវិបាកនៃបំពង់ tracheal, ស្លឹកនៅលើដើមឈើ, សរសៃនៅក្នុងដៃ, ទន្លេគឺ fractal ។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ fractal គឺជាតួលេខធរណីមាត្រដែលជាផ្នែកជាក់លាក់មួយដែលត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតម្តងហើយម្តងទៀតផ្លាស់ប្តូរទំហំ - នេះគឺជាគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ Fractals គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងខ្លួនពួកគេគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងខ្លួនគេនៅគ្រប់កម្រិតទាំងអស់ (ពោលគឺនៅកម្រិតណាមួយ) ។ មាន fractal ប្រភេទផ្សេងគ្នាជាច្រើន។ ជាគោលការណ៍ គេអាចប្រកែកបានថា អ្វីៗដែលមាននៅក្នុងពិភពពិត គឺជាប្រភាគ មិនថាវាជាពពក ឬម៉ូលេគុលអុកស៊ីហ្សែនទេ។

ពាក្យ "ចលាចល" បង្ហាញពីអ្វីដែលមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន ប៉ុន្តែតាមពិត ភាពវឹកវរត្រូវបានបញ្ជា និងគោរពច្បាប់ជាក់លាក់។ គោលបំណងនៃការសិក្សាពីភាពវឹកវរ និងប្រភាគគឺដើម្បីទស្សន៍ទាយគំរូដែលនៅ glance ដំបូងអាចហាក់ដូចជាមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន និងមានភាពវឹកវរទាំងស្រុង។

អ្នកត្រួសត្រាយផ្លូវក្នុងវិស័យចំណេះដឹងនេះគឺគណិតវិទូជនជាតិបារាំង-អាមេរិក សាស្រ្តាចារ្យ Benoit B. Mandelbrot។ នៅពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1960 គាត់បានបង្កើតធរណីមាត្រ fractal ដែលគោលបំណងគឺដើម្បីវិភាគរូបរាងដែលខូច ជ្រួញ និងស្រពិចស្រពិល។ សំណុំ Mandelbrot (បង្ហាញក្នុងរូបភាព) គឺជាសមាគមដំបូងដែលមនុស្សម្នាក់មាននៅពេលគាត់ឮពាក្យ "fractal" ។ ដោយវិធីនេះ Mandelbrot បានកំណត់ថាវិមាត្រប្រភាគនៃឆ្នេរសមុទ្រនៃប្រទេសអង់គ្លេសគឺ 1.25 ។

Fractals ត្រូវបានប្រើប្រាស់កាន់តែខ្លាំងឡើងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ពួកគេពិពណ៌នាអំពីពិភពលោកពិត ប្រសើរជាងរូបវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យាបែបបុរាណ។ ចលនា Brownian ជាឧទាហរណ៍ ចលនាចៃដន្យ និងច្របូកច្របល់នៃភាគល្អិតធូលីដែលផ្អាកក្នុងទឹក។ ប្រភេទនៃចលនានេះគឺប្រហែលជាទិដ្ឋភាពជាក់ស្តែងបំផុតនៃធរណីមាត្រ fractal ។ ចលនា Brownian ចៃដន្យមានការឆ្លើយតបប្រេកង់ដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទស្សន៍ទាយបាតុភូតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងទិន្នន័យនិងស្ថិតិមួយចំនួនធំ។ ឧទាហរណ៍ Mandelbrot បានព្យាករណ៍ពីការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរោមចៀមដោយប្រើចលនា Brownian ។

ពាក្យ "Fractal" អាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែជាពាក្យគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រភាគនៅក្នុងសារព័ត៌មាន និងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រដ៏ពេញនិយមអាចត្រូវបានគេហៅថាតួលេខដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

វាមានរចនាសម្ព័ន្ធមិនសំខាន់នៅគ្រប់មាត្រដ្ឋាន។ នេះគឺជាភាពខុសគ្នាពីតួលេខធម្មតា (ដូចជា រង្វង់ រាងពងក្រពើ ក្រាហ្វនៃមុខងាររលោង)៖ ប្រសិនបើយើងពិចារណាបំណែកតូចមួយនៃតួលេខធម្មតានៅលើមាត្រដ្ឋានដ៏ធំ វានឹងមើលទៅដូចជាបំណែកនៃបន្ទាត់ត្រង់។ . សម្រាប់ fractal ការពង្រីកមិននាំឱ្យមានភាពសាមញ្ញនៃរចនាសម្ព័ន្ធនោះទេ នៅលើមាត្រដ្ឋានទាំងអស់ យើងនឹងឃើញរូបភាពស្មុគស្មាញស្មើគ្នា។

វាគឺស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ឬប្រហាក់ប្រហែលនឹងខ្លួនឯង។

វា​មាន​វិមាត្រ​ម៉ែត្រ​ប្រភាគ ឬ​វិមាត្រ​ម៉ែត្រ​ដែល​ល្អ​ជាង​ផ្នែក​ខាង​ប៉ូឡូញ។

ការប្រើប្រាស់ fractal ដែលមានប្រយោជន៍បំផុតក្នុងការគណនាគឺការបង្ហាប់ទិន្នន័យ fractal ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ រូបភាពត្រូវបានបង្ហាប់ល្អជាងវាត្រូវបានធ្វើដោយវិធីសាស្រ្តធម្មតា - រហូតដល់ 600:1 ។ អត្ថប្រយោជន៍មួយទៀតនៃការបង្ហាប់ fractal គឺថានៅពេលអ្នកពង្រីក វាមិនមានឥទ្ធិពលភីកសែលដែលធ្វើឱ្យរូបភាពកាន់តែអាក្រក់ទៅៗនោះទេ។ ជាងនេះទៅទៀត រូបភាពដែលបានបង្ហាប់ក្រោយការពង្រីកជាញឹកញាប់មើលទៅប្រសើរជាងមុន។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រក៏ដឹងដែរថា ប្រភាគនៃភាពស្មុគស្មាញ និងភាពស្រស់ស្អាតគ្មានដែនកំណត់ អាចបង្កើតបានដោយប្រើរូបមន្តសាមញ្ញ។ ឧស្សាហកម្មភាពយន្តប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនូវបច្ចេកវិទ្យាក្រាហ្វិចហ្វ្រិចតាល់ ដើម្បីបង្កើតធាតុទេសភាពជាក់ស្តែង (ពពក ថ្ម និងស្រមោល)។

ការសិក្សាអំពីភាពច្របូកច្របល់នៅក្នុងលំហូរសម្របខ្លួនបានយ៉ាងល្អទៅនឹង fractal ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យមានការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរឡើងអំពីថាមវន្តនៃលំហូរស្មុគស្មាញ។ អណ្តាតភ្លើងក៏អាចត្រូវបានយកគំរូតាមដោយប្រើ fractal ។ សមា្ភារៈ porous ត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អនៅក្នុងទម្រង់ fractal ដោយសារតែការពិតដែលថាពួកគេមានធរណីមាត្រស្មុគស្មាញណាស់។ ដើម្បីបញ្ជូនទិន្នន័យពីចម្ងាយ អង់តែនរាង fractal ត្រូវបានប្រើ ដែលកាត់បន្ថយទំហំ និងទម្ងន់របស់វាយ៉ាងខ្លាំង។ Fractals ត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីភាពកោងនៃផ្ទៃ។ ផ្ទៃមិនស្មើគ្នាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ fractal ពីរផ្សេងគ្នា។

វត្ថុជាច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិមានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ដូចជាឆ្នេរសមុទ្រ ពពក មកុដដើមឈើ ផ្កាព្រិល ប្រព័ន្ធឈាមរត់ និងប្រព័ន្ធ alveolar របស់មនុស្សឬសត្វ។

Fractals ជាពិសេសនៅលើយន្តហោះគឺមានប្រជាប្រិយភាពសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃភាពស្រស់ស្អាតនិងភាពងាយស្រួលនៃការសាងសង់ជាមួយនឹងកុំព្យូទ័រ។

ឧទាហរណ៍ដំបូងនៃសំណុំស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតាបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងសតវត្សទី 19 (ឧទាហរណ៍មុខងារ Bolzano មុខងារ Weierstrass សំណុំ Cantor) ។ ពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានណែនាំដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ហើយទទួលបានប្រជាប្រិយភាពយ៉ាងទូលំទូលាយជាមួយនឹងការចេញផ្សាយសៀវភៅរបស់គាត់ "The Fractal Geometry of Nature" ក្នុងឆ្នាំ 1977 ។

តួរលេខនៅខាងឆ្វេងបង្ហាញពី Darer Pentagon fractal ជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញ ដែលមើលទៅដូចជាបណ្តុំនៃ pentagons ច្របាច់បញ្ចូលគ្នា។ តាមពិត វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើ pentagon ជាអ្នកផ្តួចផ្តើម និងត្រីកោណ isosceles ដែលជាសមាមាត្រនៃផ្នែកធំបំផុតទៅតូចបំផុត ដែលវាស្មើនឹងអ្វីដែលគេហៅថា សមាមាត្រមាស (1.618033989 ឬ 1/(2cos72°)) ជា ម៉ាស៊ីនភ្លើង។ ត្រីកោណទាំងនេះត្រូវបានកាត់ចេញពីផ្នែកកណ្តាលនៃប៉ង់តាហ្គោននីមួយៗ ដែលបណ្តាលឱ្យមានរូបរាងដែលមើលទៅដូចជាប៉ង់តាហ្គោនតូចៗចំនួន 5 ជាប់នឹងមួយដ៏ធំ។

ទ្រឹស្ដី Chaos និយាយថាប្រព័ន្ធ nonlinear ស្មុគ្រស្មាញគឺមិនអាចទាយទុកជាមុនបានពីតំណពូជ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះវាអះអាងថាវិធីនៃការបញ្ចេញប្រព័ន្ធដែលមិនអាចទាយទុកជាមុនបានប្រែទៅជាការពិត មិនមែននៅក្នុងសមភាពពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែនៅក្នុងតំណាងនៃឥរិយាបទនៃប្រព័ន្ធ - នៅក្នុងក្រាហ្វនៃអ្នកទាក់ទាញចម្លែកដែល មើលទៅដូចជា fractal ។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីភាពច្របូកច្របល់ ដែលមនុស្សជាច្រើនគិតថាមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន ប្រែទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃការព្យាករណ៍សូម្បីតែនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមិនស្ថិតស្ថេរបំផុតក៏ដោយ។ គោលលទ្ធិនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តបង្ហាញថាសមីការសាមញ្ញអាចបង្កើតអាកប្បកិរិយាច្របូកច្របល់បែបនេះដែលប្រព័ន្ធមិនវិលត្រលប់ទៅរកស្ថានភាពស្ថេរភាពវិញហើយគ្មានភាពទៀងទាត់លេចឡើងក្នុងពេលតែមួយ។ ជារឿយៗប្រព័ន្ធបែបនេះមានឥរិយាបទជាធម្មតារហូតដល់តម្លៃជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ បន្ទាប់មកជួបប្រទះការផ្លាស់ប្តូរដែលមានលទ្ធភាពពីរសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែម បន្ទាប់មក បួន និងចុងក្រោយជាសំណុំលទ្ធភាពដ៏វឹកវរ។

គ្រោងការណ៍នៃដំណើរការដែលកើតឡើងនៅក្នុងវត្ថុបច្ចេកទេសមានរចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគដែលបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។ រចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រព័ន្ធបច្ចេកទេសអប្បបរមា (TS) បង្កប់ន័យលំហូរនៅក្នុង TS នៃដំណើរការពីរប្រភេទ - មេ និងជំនួយ ហើយការបែងចែកនេះមានលក្ខខណ្ឌ និងទាក់ទង។ ដំណើរការណាមួយអាចជាដំណើរការសំខាន់ទាក់ទងនឹងការគាំទ្រ ហើយដំណើរការគាំទ្រណាមួយអាចចាត់ទុកថាជាដំណើរការសំខាន់ដែលទាក់ទងទៅនឹងដំណើរការគាំទ្រ "របស់ពួកគេ"។ រង្វង់នៅក្នុងដ្យាក្រាមបង្ហាញពីឥទ្ធិពលរាងកាយដែលធានានូវលំហូរនៃដំណើរការទាំងនោះ ដែលវាមិនចាំបាច់ក្នុងការបង្កើត TS "ផ្ទាល់ខ្លួន" ពិសេសនោះទេ។ ដំណើរការទាំងនេះគឺជាលទ្ធផលនៃអន្តរកម្មរវាងសារធាតុ វាល សារធាតុ និងវាល។ ដើម្បីឱ្យច្បាស់លាស់ ឥទ្ធិពលរាងកាយគឺជាយាន គោលការណ៍ដែលយើងមិនអាចមានឥទ្ធិពល ហើយយើងមិនចង់បាន ឬគ្មានឱកាសជ្រៀតជ្រែកក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា។

លំហូរនៃដំណើរការសំខាន់ដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមត្រូវបានធានាដោយអត្ថិភាពនៃដំណើរការគាំទ្រចំនួនបីដែលជាដំណើរការសំខាន់សម្រាប់ TS ដែលបង្កើតពួកគេ។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃយុត្តិធម៌ យើងកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់ដំណើរការសូម្បីតែ TS តិចតួចបំផុត ដំណើរការបីគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ពោលគឺឧ។ គ្រោងការណ៍នេះគឺខ្លាំងណាស់, បំផ្លើសខ្លាំងណាស់។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងដ្យាក្រាមនោះទេ។ ដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍ (ត្រូវការសម្រាប់មនុស្សម្នាក់) មិនអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងប្រសិទ្ធភាព 100% ទេ។ ថាមពលដែលរលាយត្រូវបានចំណាយលើការបង្កើតដំណើរការដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ - កំដៅ រំញ័រ។ល។ ជាលទ្ធផល ស្របជាមួយនឹងដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍ គ្រោះថ្នាក់កើតឡើង។ វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសដំណើរការ "អាក្រក់" ជាមួយ "ល្អ" នោះទេ ដូច្នេះដំណើរការថ្មីត្រូវតែត្រូវបានរៀបចំដើម្បីទូទាត់សងសម្រាប់ផលវិបាកដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ដល់ប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយគឺតម្រូវការដើម្បីប្រយុទ្ធប្រឆាំងនឹងការកកិត ដែលបង្ខំឱ្យមនុស្សម្នាក់រៀបចំគ្រោងការណ៍នៃការបញ្ចេញទឹករំអិលដ៏ប៉ិនប្រសប់ ប្រើប្រាស់សម្ភារៈប្រឆាំងនឹងការកកិតដែលមានតំលៃថ្លៃ ឬចំណាយពេលលើសមាសធាតុ និងផ្នែក ឬជំនួសវាតាមកាលកំណត់។

នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងអត្ថិភាពនៃឥទ្ធិពលដែលមិនអាចជៀសបាននៃបរិស្ថានដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន ដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍អាចនឹងត្រូវគ្រប់គ្រង។ ការគ្រប់គ្រងអាចត្រូវបានអនុវត្តទាំងដោយមានជំនួយពីឧបករណ៍ស្វ័យប្រវត្តិ និងដោយផ្ទាល់ដោយមនុស្សម្នាក់។ ដ្យាក្រាមដំណើរការគឺពិតជាសំណុំនៃពាក្យបញ្ជាពិសេស, i.e. ក្បួនដោះស្រាយ។ ខ្លឹមសារ (ការពិពណ៌នា) នៃពាក្យបញ្ជានីមួយៗ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍តែមួយ អមជាមួយដំណើរការដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ និងសំណុំនៃដំណើរការត្រួតពិនិត្យចាំបាច់។ នៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយបែបនេះ សំណុំនៃដំណើរការគាំទ្រគឺជាទម្រង់ការរងធម្មតា ហើយនៅទីនេះយើងក៏រកឃើញ fractal ផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ R. Koller ដែលបានបង្កើតឡើងកាលពីមួយភាគបួននៃសតវត្សមុន ធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតប្រព័ន្ធជាមួយនឹងសំណុំមុខងារដែលមានកំណត់ត្រឹម 12 គូ (ដំណើរការ)។

សំណុំស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតានៅក្នុងគណិតវិទ្យា

ចាប់ផ្តើមពីចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ឧទាហរណ៍នៃវត្ថុស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិរោគសាស្ត្រពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃការវិភាគបុរាណបានលេចឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលដូចខាងក្រោម:

សំណុំ Cantor គឺជាសំណុំដ៏ល្អឥតខ្ចោះដែលមិនអាចរាប់បាន។ តាមរយៈការកែប្រែនីតិវិធី មនុស្សម្នាក់ក៏អាចទទួលបានសំណុំក្រាស់នៃប្រវែងវិជ្ជមានផងដែរ។

ត្រីកោណ Sierpinski ("តុក្រណាត់") និងកំរាលព្រំ Sierpinski គឺជា analogues នៃ Cantor ដែលដាក់នៅលើយន្តហោះ។

អេប៉ុងរបស់ Menger - analogue នៃ Cantor ដែលបានកំណត់ក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ;

ឧទាហរណ៍ដោយ Weierstrass និង van der Waerden នៃមុខងារបន្តដែលមិនអាចបែងចែកបាន។

ខ្សែកោង Koch - ខ្សែកោងបន្តដែលមិនប្រសព្វគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃប្រវែងគ្មានកំណត់ដែលមិនមានតង់សង់នៅចំណុចណាមួយ;

ខ្សែកោង Peano គឺជាខ្សែកោងបន្តឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងអស់នៃការ៉េមួយ។

គន្លងនៃភាគល្អិត Brownian ក៏មិនមានភាពខុសប្លែកគ្នាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 1 ដែរ។ វិមាត្រ Hausdorff របស់វាគឺពីរ

នីតិវិធីបន្តសម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal

ការសាងសង់ផ្លូវកោង Koch

មាននីតិវិធី recursive សាមញ្ញសម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal នៅក្នុងយន្តហោះមួយ។ យើងកំណត់បន្ទាត់ខូចតាមអំពើចិត្តជាមួយនឹងចំនួនតំណភ្ជាប់កំណត់ ហៅថាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្ទាប់យើងជំនួសផ្នែកនីមួយៗនៅក្នុងវាដោយម៉ាស៊ីនភ្លើង (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតគឺខ្សែដែលខូចស្រដៀងនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើង) ។ នៅក្នុងបន្ទាត់ដែលខូចលទ្ធផលយើងម្តងទៀតជំនួសផ្នែកនីមួយៗដោយម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្តទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ក្នុងដែនកំណត់យើងទទួលបានខ្សែកោង fractal ។ តួលេខនៅខាងស្តាំបង្ហាញពីជំហានបួនដំបូងនៃនីតិវិធីនេះសម្រាប់ខ្សែកោង Koch ។

ឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោងបែបនេះគឺ៖

ខ្សែកោងនាគ,

ខ្សែកោង Koch (Koch snowflake),

Levy Curve,

ខ្សែកោង minkowski,

Hilbert Curve,

ខូច (កោង) នាគ (Fractal Harter-Hateway),

ខ្សែកោងសណ្តែកដី។

ដោយប្រើនីតិវិធីស្រដៀងគ្នា ដើមឈើ Pythagorean ត្រូវបានទទួល។

Fractals ជាចំណុចថេរនៃការគូសផែនទីកិច្ចសន្យា

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោម។ ទុកជាផែនទីបង្រួមនៃយន្តហោះ។ ពិចារណាលើការគូសផែនទីខាងក្រោមលើសំណុំរងនៃយន្តហោះបង្រួម (បិទ និងកំណត់) ទាំងអស់៖

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាការគូសវាសគឺជាការគូសផែនទីបង្រួមនៅលើសំណុំនៃសំណុំបង្រួមជាមួយនឹងម៉ែត្រ Hausdorff ។ ដូច្នេះ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Banach ការគូសផែនទីនេះមានចំណុចថេរតែមួយគត់។ ចំណុចថេរនេះនឹងក្លាយជាប្រភាគរបស់យើង។

នីតិវិធី recursive សម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើគឺជាករណីពិសេសនៃការសាងសង់នេះ។ នៅក្នុងវា ផែនទីទាំងអស់គឺជាផែនទីភាពស្រដៀងគ្នា និងជាចំនួននៃតំណភ្ជាប់ម៉ាស៊ីនភ្លើង។

សម្រាប់ត្រីកោណ Sierpinski និងការគូសវាស , គឺដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណធម្មតា និងមេគុណ 1/2 ។ វាងាយមើលឃើញថា ត្រីកោណ Sierpinski ប្រែទៅជាខ្លួនវាផ្ទាល់នៅក្រោមផែនទី

ក្នុងករណីនៅពេលដែលការគូសវាសគឺជាការបំប្លែងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយមេគុណ វិមាត្រនៃ fractal (ក្រោមលក្ខខណ្ឌបច្ចេកទេសបន្ថែមមួយចំនួន) អាចត្រូវបានគណនាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ ដូច្នេះសម្រាប់ត្រីកោណ Sierpinski យើងទទួលបាន .

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Banach ដូចគ្នា ដោយចាប់ផ្តើមពីសំណុំបង្រួមណាមួយ ហើយអនុវត្តទៅវាដដែលៗនៃការគូសវាស យើងទទួលបានលំដាប់នៃសំណុំបង្រួមដែលបញ្ចូលគ្នា (ក្នុងន័យនៃម៉ែត្រ Hausdorff) ទៅ fractal របស់យើង។

Fractals នៅក្នុងឌីណាមិកស្មុគស្មាញ

Julia កំណត់

ឈុតមួយទៀតរបស់ Julia

Fractals កើតឡើងដោយធម្មជាតិនៅក្នុងការសិក្សានៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ។ ករណីដែលបានសិក្សាច្រើនបំផុតគឺនៅពេលដែលប្រព័ន្ធថាមវន្តត្រូវបានកំណត់ដោយការធ្វើឡើងវិញនៃពហុធា ឬមុខងារ holomorphic នៃអថេរស្មុគស្មាញនៅលើយន្តហោះ។ ការសិក្សាដំបូងនៅក្នុងតំបន់នេះមានតាំងពីដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់ Fatou និង Julia ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ច(z) - ពហុនាម, z 0 គឺជាចំនួនកុំផ្លិច។ ពិចារណាលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ z 0 , z 1 =ច(z 0), z 2 =ច(ច(z 0)) = ច(z 1),z 3 =ច(ច(ច(z 0)))=ច(z 2), …

យើងចាប់អារម្មណ៍លើឥរិយាបថនៃលំដាប់នេះ ដូចដែលយើងមានទំនោរទៅ នទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ លំដាប់នេះអាច៖

ព្យាយាមសម្រាប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់

ខិតខំ​ឱ្យ​អស់​ពី​សមត្ថភាព

បង្ហាញអាកប្បកិរិយារង្វិលនៅក្នុងដែនកំណត់ ឧទាហរណ៍៖ z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

ប្រព្រឹត្ត​វឹកវរ ពោល​គឺ​មិន​បង្ហាញ​នូវ​ឥរិយាបទ​ណា​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ឥរិយាបទ​ទាំង​បី​ដែល​បាន​លើក​ឡើង។

សំណុំនៃតម្លៃ z 0 ដែលលំដាប់បង្ហាញប្រភេទជាក់លាក់មួយនៃឥរិយាបទ ក៏ដូចជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation រវាងប្រភេទផ្សេងគ្នា ជាញឹកញាប់មានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ។

ដូច្នេះសំណុំ Julia គឺជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation សម្រាប់ពហុនាម ច(z)=z 2 +គ(ឬមុខងារស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀត) នោះគឺតម្លៃទាំងនោះ z 0 ដែល​ឥរិយាបថ​នៃ​លំដាប់ ( z ន) អាចផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំងជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចតាមអំពើចិត្ត z 0 .

ជម្រើសមួយទៀតសម្រាប់ការទទួលបានសំណុំ fractal គឺដើម្បីណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រចូលទៅក្នុងពហុនាម ច(z) ហើយ​ពិចារណា​លើ​សំណុំ​នៃ​តម្លៃ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ទាំងនោះ​ដែល​លំដាប់ ( z ន) បង្ហាញពីអាកប្បកិរិយាជាក់លាក់មួយសម្រាប់ថេរ z 0. ដូច្នេះ សំណុំ Mandelbrot គឺជាសំណុំទាំងអស់សម្រាប់ ( z ន) សម្រាប់ ច(z)=z 2 +គនិង z 0 មិន​ទៅ​ដល់​ភាព​គ្មាន​កំណត់។

ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីមួយទៀតនៃប្រភេទនេះគឺអាងទឹករបស់ញូតុន។

វាគឺជាការពេញនិយមក្នុងការបង្កើតរូបភាពក្រាហ្វិកដ៏ស្រស់ស្អាតដោយផ្អែកលើឌីណាមិកស្មុគ្រស្មាញដោយការលាបពណ៌ចំណុចយន្តហោះអាស្រ័យលើឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បី​បំពេញ​សំណុំ Mandelbrot អ្នក​អាច​ពណ៌​ចំណុច​អាស្រ័យ​លើ​ល្បឿន​នៃ​ការ​ព្យាយាម ( z ន) ទៅ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (កំណត់និយាយថាជាចំនួនតូចបំផុត។ ន, កន្លែងណា | z ន| លើសពីតម្លៃធំថេរ ក.

Biomorphs គឺជា fractal ដែលបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃថាមវន្តស្មុគស្មាញ និងស្រដៀងទៅនឹងសារពាង្គកាយមានជីវិត។

Stochastic fractal

ប្រភាគចៃដន្យដោយផ្អែកទៅលើសំណុំ Julia

វត្ថុធម្មជាតិច្រើនតែមានរាងប្រភាគ។ សម្រាប់​ការ​ធ្វើ​គំរូ​របស់​ពួក​គេ ការ​ប្រើ​ fractal stochastic (ចៃដន្យ) អាច​ត្រូវ​បាន​ប្រើ។ ឧទាហរណ៍នៃ fractal stochastic៖

គន្លងនៃចលនា Brownian នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ;

ព្រំដែននៃគន្លងនៃចលនា Brownian នៅលើយន្តហោះ។ ក្នុងឆ្នាំ 2001 លោក Lawler, Schramm និង Werner បានបង្ហាញការសន្និដ្ឋានរបស់ Mandelbrot ថាវិមាត្ររបស់វាគឺ 4/3 ។

ការវិវត្តន៍របស់ Schramm-Löwner គឺជាខ្សែកោង fractal ដែលមិនប្រែប្រួលដែលកើតឡើងនៅក្នុងគំរូពីរវិមាត្រសំខាន់នៃមេកានិចស្ថិតិ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងគំរូ Ising និង percolation ។

ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃ fractals ចៃដន្យ នោះគឺ fractals ដែលទទួលបានដោយប្រើនីតិវិធី recursive ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រចៃដន្យត្រូវបានណែនាំនៅជំហាននីមួយៗ។ ប្លាស្មាគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ fractal បែបនេះនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។

នៅក្នុង​ធម្មជាតិ

ទិដ្ឋភាពខាងមុខនៃ trachea និង bronchi

ដើមឈើ bronchial

បណ្តាញសរសៃឈាម

ការដាក់ពាក្យ

វិទ្យា​សា​ស្រ្ត​ធម្មជាតិ

នៅក្នុងរូបវិទ្យា Fractals កើតឡើងដោយធម្មជាតិនៅពេលដែលធ្វើគំរូនូវដំណើរការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដូចជាលំហូរនៃសារធាតុរាវដែលមានភាពច្របូកច្របល់ ដំណើរការស្មុគ្រស្មាញនៃការសាយភាយ-ស្រូបយក អណ្តាតភ្លើង ពពក។ល។ នៅក្នុងជីវវិទ្យា ពួកវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីធ្វើគំរូចំនួនប្រជាជន និងដើម្បីពិពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធនៃសរីរាង្គខាងក្នុង (ប្រព័ន្ធសរសៃឈាម)។

វិស្វកម្មវិទ្យុ

អង់តែន fractal

ការប្រើប្រាស់ធរណីមាត្រ fractal ក្នុងការរចនាឧបករណ៍អង់តែនត្រូវបានអនុវត្តដំបូងដោយវិស្វករជនជាតិអាមេរិក Nathan Cohen ដែលបន្ទាប់មករស់នៅក្នុងទីក្រុង Boston ជាកន្លែងដែលវាត្រូវបានហាមឃាត់មិនឱ្យដំឡើងអង់តែនខាងក្រៅនៅលើអគារ។ ណាថានកាត់ចេញជាទម្រង់នៃខ្សែកោង Koch ពីបន្ទះអាលុយមីញ៉ូម ហើយបិទភ្ជាប់វានៅលើសន្លឹកក្រដាស បន្ទាប់មកភ្ជាប់វាទៅអ្នកទទួល។ លោក Cohen បានបង្កើតក្រុមហ៊ុនផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ ហើយចាប់ផ្តើមការផលិតសៀរៀលរបស់ពួកគេ។

ពត៌មានវិទ្យា

ការបង្ហាប់រូបភាព

អត្ថបទដើមចម្បង៖ ក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់ប្រភាគ

ដើមឈើប្រភាគ

មានក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាពដោយប្រើ fractal ។ ពួកគេផ្អែកលើគំនិតដែលថាជំនួសឱ្យរូបភាពខ្លួនវា អ្នកអាចរក្សាទុកផែនទីបង្រួម ដែលរូបភាពនេះ (ឬខ្លះនៅជិតវា) គឺជាចំណុចថេរ។ វ៉ារ្យ៉ង់មួយនៃក្បួនដោះស្រាយនេះត្រូវបានប្រើ [ ប្រភពមិនបានបញ្ជាក់ 895 ថ្ងៃ។] ដោយ Microsoft នៅពេលបោះពុម្ពសព្វវចនាធិប្បាយរបស់ខ្លួន ប៉ុន្តែក្បួនដោះស្រាយទាំងនេះមិនត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយទេ។

ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ

ដើមឈើប្រភាគមួយទៀត

Fractals ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ក្រាហ្វិក​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​បង្កើត​រូបភាព​នៃ​វត្ថុ​ធម្មជាតិ​ដូចជា​ដើមឈើ គុម្ពោត ទេសភាព​ភ្នំ ផ្ទៃ​សមុទ្រ​ជាដើម។ មានកម្មវិធីជាច្រើនដែលប្រើដើម្បីបង្កើតរូបភាព fractal សូមមើល Fractal Generator (កម្មវិធី)។

បណ្តាញវិមជ្ឈការ

ប្រព័ន្ធកំណត់អាសយដ្ឋាន IP របស់ Netsukuku ប្រើគោលការណ៍នៃការបង្ហាប់ព័ត៌មានប្រភាគ ដើម្បីរក្សាទុកព័ត៌មានអំពីថ្នាំងបណ្តាញឱ្យបង្រួមតូច។ ថ្នាំងនីមួយៗនៅលើបណ្តាញ Netsukuku រក្សាទុកតែ 4 KB នៃព័ត៌មានអំពីស្ថានភាពនៃថ្នាំងជិតខាង ខណៈដែលថ្នាំងថ្មីណាមួយភ្ជាប់ទៅបណ្តាញទូទៅដោយមិនចាំបាច់មានបទប្បញ្ញត្តិកណ្តាលនៃការចែកចាយអាសយដ្ឋាន IP ដែលជាតួយ៉ាងសម្រាប់ អ៊ីនធឺណិត។ ដូច្នេះគោលការណ៍នៃការបង្ហាប់ព័ត៌មាន fractal ធានានូវវិមជ្ឈការទាំងស្រុង ហើយដូច្នេះ ប្រតិបត្តិការមានស្ថេរភាពបំផុតនៃបណ្តាញទាំងមូល។

លក្ខណៈសម្បត្តិប្រភាគមិនមែនជាការរំភើប និងមិនមែនជាផ្លែផ្កានៃការស្រមើស្រមៃទំនេររបស់អ្នកគណិតវិទូនោះទេ។ តាមរយៈការសិក្សាពួកវា យើងរៀនបែងចែក និងទស្សន៍ទាយពីលក្ខណៈសំខាន់ៗនៃវត្ថុ និងបាតុភូតជុំវិញខ្លួន ដែលពីមុនបើមិនអើពើទាំងស្រុងនោះ ត្រូវបានគេប៉ាន់ប្រមាណត្រឹមតែជាលក្ខណៈគុណភាពដោយភ្នែកប៉ុណ្ណោះ។ ជាឧទាហរណ៍ តាមរយៈការប្រៀបធៀបទំហំប្រភាគនៃសញ្ញាស្មុគ្រស្មាញ ខួរក្បាល ឬការរអ៊ូរទាំបេះដូង គ្រូពេទ្យអាចធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យជំងឺធ្ងន់ធ្ងរមួយចំនួននៅដំណាក់កាលដំបូង នៅពេលដែលអ្នកជំងឺនៅតែអាចជួយបាន។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, អ្នកវិភាគ, ការប្រៀបធៀបឥរិយាបថមុននៃតម្លៃ, នៅដើមដំបូងនៃការបង្កើតគំរូ, អាចព្យាករណ៍ពីការអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតរបស់ខ្លួន, ដោយហេតុនេះជៀសវាងកំហុសសរុបនៅក្នុងការព្យាករ។

ភាពមិនទៀងទាត់នៃ fractal

ទ្រព្យសម្បត្តិដំបូងនៃ fractal គឺភាពមិនទៀងទាត់របស់ពួកគេ។ ប្រសិនបើ fractal ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ នោះទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពមិនទៀងទាត់នៅក្នុងពាក្យគណិតវិទ្យានឹងមានន័យថាមុខងារបែបនេះមិនអាចបែងចែកបាន ពោលគឺមិនរលូននៅចំណុចណាមួយ។ តាមពិតទៅ វាមានទំនាក់ទំនងផ្ទាល់បំផុតទៅនឹងទីផ្សារ។ ការប្រែប្រួលតម្លៃជួនកាលប្រែប្រួលខ្លាំង និងអាចផ្លាស់ប្តូរបាន ដែលវាធ្វើឱ្យឈ្មួញជាច្រើនមានការភ័ន្តច្រឡំ។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺដើម្បីដោះស្រាយភាពវឹកវរទាំងអស់នេះហើយនាំវាទៅតាមលំដាប់។

តើអ្នកដឹងទេថា:ទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់លេខ 1 ដល់លេខ 10 ក្នុងការប្រកួតគណនីសាកល្បង "ការពិតនិម្មិត"ពី Alpari អ្នកអាចឈ្នះពី 70 ដុល្លារទៅ 500 ដុល្លារ។ ចំនួនរង្វាន់គឺអាចរកបានសម្រាប់ការដកប្រាក់ដោយគ្មានដែនកំណត់។ អ្នកឈ្នះដែលបានចាប់រង្វាន់ចាប់ពីថ្ងៃទី 11 ដល់ថ្ងៃទី 30 នឹងទទួលបានពី 1000 ទៅ 10000 ពិន្ទុបន្ថែម .

ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractal

ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនិយាយថា fractal គឺជាវត្ថុដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នា។ នេះគឺជាគំរូដែលកើតឡើងដដែលៗ ដែលផ្នែកនីមួយៗដែលកើតឡើងម្តងទៀតនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា ការអភិវឌ្ឍន៍នៃគំរូទាំងមូលទាំងមូល ហើយត្រូវបានផលិតឡើងវិញតាមមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចមើលឃើញ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការផ្លាស់ប្តូរនៅតែកើតមានឡើង ដែលអាចប៉ះពាល់ដល់ការយល់ឃើញរបស់យើងចំពោះវត្ថុយ៉ាងខ្លាំង។

ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងមានន័យថាវត្ថុមិនមានមាត្រដ្ឋានលក្ខណៈទេ៖ ប្រសិនបើវាមានមាត្រដ្ឋានបែបនេះ អ្នកនឹងបែងចែកការចម្លងធំនៃបំណែកពីរូបភាពដើមភ្លាមៗ។ វត្ថុ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​ដោយ​ខ្លួន​ឯង​មាន​ចំនួន​មាត្រដ្ឋាន​គ្មាន​កំណត់​សម្រាប់​គ្រប់​រសជាតិ។ ខ្លឹមសារនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។ ស្រមៃថាអ្នកមានរូបភាពនៃបន្ទាត់ធរណីមាត្រ "ពិតប្រាកដ" "ប្រវែងគ្មានទទឹង" ដូចដែល Euclid បានកំណត់បន្ទាត់ ហើយអ្នកកំពុងលេងជាមួយមិត្តម្នាក់ ដោយព្យាយាមទាយថាតើគាត់កំពុងបង្ហាញអ្នកនូវរូបភាពដើម (ដើម) ឬមួយ រូបភាពនៃបំណែកនៃបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយ។ មិនថាអ្នកខំប្រឹងយ៉ាងណា អ្នកនឹងមិនអាចបែងចែកដើមពីការពង្រីកនៃបំណែកបានទេ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបដូចគ្នានៅគ្រប់ផ្នែករបស់វា វាស្រដៀងនឹងខ្លួនវា ប៉ុន្តែទ្រព្យសម្បត្តិដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់របស់វា វាត្រូវបានលាក់ដោយរចនាសម្ព័ន្ធមិនស្មុគ្រស្មាញនៃបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនវា "ភាពត្រង់" របស់វា (រូបភាព 7) ។

ប្រសិនបើអ្នកក៏មិនអាចបែងចែករូបថតនៃវត្ថុមួយចំនួនពីរូបថតដែលពង្រីកបានត្រឹមត្រូវនៃបំណែកណាមួយរបស់វានោះ អ្នកមានវត្ថុស្រដៀងនឹងខ្លួនឯង។ ប្រភាគទាំងអស់ដែលមានយ៉ាងហោចណាស់ស៊ីមេទ្រីខ្លះគឺស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ហើយនេះមានន័យថាបំណែកខ្លះនៃរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ពួកគេត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់។ ជាក់ស្តែង វត្ថុទាំងនេះអាចមានលក្ខណៈធម្មជាតិណាមួយ ហើយរូបរាង និងរូបរាងរបស់វានៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរដោយមិនគិតពីមាត្រដ្ឋាន។ ឧទាហរណ៍នៃ fractal ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង៖

នៅក្នុងផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុ គំនិតនេះមិនមែនជាការអរូបីដែលគ្មានមូលដ្ឋាននោះទេ ប៉ុន្តែជាការបញ្ជាក់ឡើងវិញតាមទ្រឹស្តីនៃទីផ្សារជាក់ស្តែងដែលនិយាយថា ចលនានៃភាគហ៊ុន ឬរូបិយប័ណ្ណគឺស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង ដោយមិនគិតពីពេលវេលា និងតម្លៃ។ អ្នកសង្កេតការណ៍មិនអាចប្រាប់ពីរូបរាងនៃក្រាហ្វថាតើទិន្នន័យគឺសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរប្រចាំសប្តាហ៍ ប្រចាំថ្ងៃ ឬម៉ោងនោះទេ។

ជាការពិតណាស់ មិនមែន fractal ទាំងអស់មានរចនាសម្ព័ន្ធដដែលៗឥតឈប់ឈរបែបនេះទេ ដូចជាការតាំងពិពណ៌ដ៏អស្ចារ្យនៃសារមន្ទីរសិល្បៈ fractal នាពេលអនាគត ដែលកើតចេញពីការស្រមើលស្រមៃរបស់គណិតវិទូ និងវិចិត្រករ។ ប្រភាគជាច្រើនដែលរកឃើញនៅក្នុងធម្មជាតិ (ផ្ទៃថ្ម និងលោហធាតុ ពពក សម្រង់រូបិយប័ណ្ណ លំហូរច្របូកច្របល់ ពពុះ ជែល វណ្ឌវង្កនៃភាគល្អិតផេះ។ Fractals ដែលមានទម្រង់មិនលីនេអ៊ែរនៃការអភិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយ Mandelbrot ថាជាពហុហ្វ្រេទិក។ ពហុហ្វាក់តាល់ គឺជាវត្ថុពាក់កណ្តាលប្រភាគដែលមានវិមាត្រប្រភាគអថេរ។ តាមធម្មជាតិ វត្ថុ និងដំណើរការពិតត្រូវបានពិពណ៌នាបានប្រសើរជាងដោយពហុហ្វ្រេទិក។

ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងតាមស្ថិតិ ឬភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងជាមធ្យម បែងចែក fractal ក្នុងចំណោមវត្ថុធម្មជាតិជាច្រើន។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេស៖

នៅក្នុងតួលេខទាំងនេះ យើងឃើញថាពួកវាស្រដៀងគ្នា ខណៈពេលដែលមានមាត្រដ្ឋានពេលវេលាខុសគ្នានៅក្នុងរូបភព។ និងមាត្រដ្ឋាន 15 នាទីនៅក្នុងរូបភព។ b មាត្រដ្ឋានតម្លៃប្រចាំសប្តាហ៍។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ សម្រង់ទាំងនេះមិនមានសមត្ថភាពក្នុងការនិយាយឡើងវិញបានល្អឥតខ្ចោះនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងអាចចាត់ទុកវាស្រដៀងគ្នា។

សូម្បីតែ fractal សាមញ្ញបំផុត - ធរណីមាត្រដែលស្រដៀងនឹង fractal ដោយខ្លួនឯង - មានលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតា។ ជាឧទាហរណ៍ ផ្កាព្រិលវ៉ុន កុច មានបរិមាត្រនៃប្រវែងគ្មានកំណត់ ទោះបីជាវាកំណត់តំបន់កំណត់ក៏ដោយ (រូបភាពទី 9) ។ លើសពីនេះ វាមានភាពច្របូកច្របល់ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់ទៅវានៅចំណុចណាមួយនៃវណ្ឌវង្ក (អ្នកគណិតវិទូនឹងនិយាយថា ផ្កាព្រិលវ៉ន កូច មិនអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយបានទេ ពោលគឺមិនរលោងត្រង់ចំណុចណាមួយឡើយ)។

Mandelbrot បានរកឃើញថាលទ្ធផលនៃការវាស់វែងប្រភាគនៅតែថេរសម្រាប់កម្រិតផ្សេងៗនៃការពង្រឹងភាពមិនទៀងទាត់របស់វត្ថុ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មានភាពទៀងទាត់ (ភាពត្រឹមត្រូវ សណ្តាប់ធ្នាប់) សម្រាប់ភាពមិនប្រក្រតីណាមួយ។ នៅពេលដែលយើងចាត់ទុកអ្វីមួយជាការចៃដន្យ វាបង្ហាញថាយើងមិនយល់ពីធម្មជាតិនៃចៃដន្យនេះទេ។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទីផ្សារ នេះមានន័យថា ការបង្កើតទម្រង់ធម្មតាដូចគ្នាត្រូវតែកើតឡើងក្នុងពេលវេលាផ្សេងគ្នា។ គំនូសតាងមួយនាទីនឹងពណ៌នាអំពីការបង្កើតប្រភាគក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងប្រចាំខែ។ "ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង" នេះដែលរកឃើញនៅលើតារាងទំនិញ និងទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុបង្ហាញសញ្ញាទាំងអស់ដែលថាសកម្មភាពរបស់ទីផ្សារគឺខិតទៅជិតគំរូអាកប្បកិរិយានៃ "ធម្មជាតិ" ជាងអាកប្បកិរិយានៃការវិភាគជាមូលដ្ឋាននៃសេដ្ឋកិច្ច។

នៅក្នុងតួលេខទាំងនេះអ្នកអាចរកឃើញការបញ្ជាក់ខាងលើ។ នៅខាងឆ្វេងគឺជាក្រាហ្វដែលមានមាត្រដ្ឋាននាទី នៅខាងស្តាំគឺជាតារាងប្រចាំសប្តាហ៍។ គូរូបិយប័ណ្ណ USD/Yen (រូបភាព 9 (a)) និង Euro/Dollar (Fig ។ 9 (b)) ត្រូវបានបង្ហាញនៅទីនេះជាមួយនឹងមាត្រដ្ឋានតម្លៃផ្សេងៗគ្នា។ ទោះបីជាគូរូបិយប័ណ្ណ JPY/USD មានភាពប្រែប្រួលខុសគ្នាទាក់ទងនឹង EUR/USD ក៏ដោយ យើងអាចសង្កេតមើលរចនាសម្ព័ន្ធចលនាតម្លៃដូចគ្នា។

វិមាត្រប្រភាគ

ទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃ fractal គឺថាវត្ថុ fractal មានវិមាត្រក្រៅពី Euclidean (និយាយម្យ៉ាងទៀតវិមាត្រ topological) ។ វិមាត្រប្រភាគគឺជារង្វាស់នៃភាពស្មុគស្មាញនៃខ្សែកោង។ តាមរយៈការវិភាគការឆ្លាស់គ្នានៃផ្នែកដែលមានវិមាត្រប្រភាគផ្សេងគ្នា និងរបៀបដែលប្រព័ន្ធត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកត្តាខាងក្រៅ និងខាងក្នុង មនុស្សម្នាក់អាចរៀនទស្សន៍ទាយឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធ។ ហើយសំខាន់បំផុតគឺដើម្បីធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យនិងព្យាករណ៍ស្ថានភាពមិនស្ថិតស្ថេរ។

នៅក្នុងឃ្លាំងនៃគណិតវិទ្យាទំនើប Mandelbrot បានរកឃើញរង្វាស់បរិមាណដ៏ងាយស្រួលនៃភាពមិនល្អឥតខ្ចោះនៃវត្ថុ - sinuosity នៃវណ្ឌវង្ក ការជ្រួញនៃផ្ទៃ ការប្រេះស្រាំ និង porosity នៃបរិមាណ។ វាត្រូវបានស្នើឡើងដោយគណិតវិទូពីរនាក់គឺ Felix Hausdorff (1868-1942) និង Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970) ។ ឥឡូវនេះវាសមនឹងទទួលបានឈ្មោះដ៏រុងរឿងរបស់អ្នកបង្កើតរបស់វា (វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich) - វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich ។ តើវិមាត្រគឺជាអ្វី ហើយហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការវាទាក់ទងនឹងការវិភាគទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុ? មុននោះ យើងបានស្គាល់តែប្រភេទវិមាត្រមួយប៉ុណ្ណោះ - topological (រូបភាពទី 11)។ វិមាត្រ​របស់​វា​បង្ហាញ​ពី​ចំនួន​វិមាត្រ​ដែល​វត្ថុ​មាន។ សម្រាប់ផ្នែកមួយ បន្ទាត់ត្រង់ វាស្មើនឹង 1, i.e. យើងមានវិមាត្រតែមួយ គឺប្រវែងនៃផ្នែក ឬបន្ទាត់ត្រង់។ សម្រាប់យន្តហោះមួយ វិមាត្រនឹងមាន 2 ព្រោះយើងមានវិមាត្រពីរ ប្រវែង និងទទឹង។ សម្រាប់លំហ ឬវត្ថុរឹង វិមាត្រគឺ ៣៖ ប្រវែង ទទឹង និងកម្ពស់។

សូមលើកឧទាហរណ៍នៃហ្គេមកុំព្យូទ័រ។ ប្រសិនបើហ្គេមនេះត្រូវបានផលិតជាក្រាហ្វិក 3D នោះវាមានលំហរ និងមានពន្លឺ ប្រសិនបើនៅក្នុងក្រាហ្វិក 2D ក្រាហ្វិកត្រូវបានបង្ហាញនៅលើយន្តហោះ (រូបភាព 10)។

មិនធម្មតាបំផុត (វានឹងជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការនិយាយ - មិនធម្មតា) នៅក្នុងវិមាត្រ Hausdorff-Besikovich គឺថាវាអាចយកមិនត្រឹមតែចំនួនគត់ដែលជាវិមាត្រ topological ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងតម្លៃប្រភាគផងដែរ។ ស្មើនឹងមួយសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ (គ្មានកំណត់ ពាក់កណ្តាលគ្មានកំណត់ ឬសម្រាប់ផ្នែកកំណត់) វិមាត្រ Hausdorff-Besicovitch កើនឡើងនៅពេលដែល tortuosity កើនឡើង ខណៈដែលវិមាត្រ topological មិនអើពើនឹងការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ដែលកើតឡើងជាមួយបន្ទាត់។

វិមាត្រកំណត់លក្ខណៈនៃភាពស្មុគស្មាញនៃសំណុំ (ឧទាហរណ៍បន្ទាត់ត្រង់) ។ ប្រសិនបើវាជាខ្សែកោងដែលមានវិមាត្រធេប៉ូឡូញស្មើនឹង 1 (បន្ទាត់ត្រង់) នោះខ្សែកោងអាចស្មុគស្មាញដោយចំនួនពត់ និងមែកដែលមិនកំណត់រហូតដល់ទំហំដែលវិមាត្រប្រភាគរបស់វាខិតជិតពីរ ពោលគឺឧ។ នឹងបំពេញស្ទើរតែយន្តហោះទាំងមូល (រូបភាព 12)

ដោយការបង្កើនតម្លៃរបស់វា វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich មិនផ្លាស់ប្តូរវាភ្លាមៗទេ ដោយសារវិមាត្រ topological នឹងធ្វើ "នៅកន្លែងរបស់វា" ការផ្លាស់ប្តូរពី 1 ភ្លាមៗទៅ 2 ។ វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich - ហើយនេះនៅ glance ដំបូងអាចហាក់ដូចជាមិនធម្មតា។ ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល យកតម្លៃប្រភាគ៖ ស្មើនឹងមួយសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់មួយ វាក្លាយជា 1.15 សម្រាប់បន្ទាត់ sinuous បន្តិច 1.2 សម្រាប់បន្ទាត់ sinuous ច្រើន 1.5 សម្រាប់បន្ទាត់ sinuous ហើយដូច្នេះនៅលើ។

វាគឺដើម្បីបញ្ជាក់ពីសមត្ថភាពនៃវិមាត្រ Hausdorff-Besikovich ដើម្បីយកតម្លៃប្រភាគ និងមិនមែនជាចំនួនគត់ ដែល Mandelbrot បានបង្កើតនូវ neologism ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ ដោយហៅវាថា វិមាត្រប្រភាគ។ ដូច្នេះ វិមាត្រប្រភាគ (មិនត្រឹមតែ Hausdorff-Besikovich ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែផ្សេងទៀត) គឺជាវិមាត្រដែលអាចយកតម្លៃមិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែក៏មានប្រភាគផងដែរ។

សម្រាប់ fractal ធរណីមាត្រលីនេអ៊ែរ វិមាត្រកំណត់លក្ខណៈស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ពិចារណារូបភព។ 17(A) បន្ទាត់មាន N=4 ចម្រៀកដែលនីមួយៗមានប្រវែង r = 1/3 ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមាមាត្រ៖

D = logN/log(1/r)

ស្ថានភាព​គឺ​ខុស​គ្នា​ខ្លាំង​នៅ​ពេល​ដែល​យើង​និយាយ​អំពី​ពហុហ្វ្រេទិក (មិន​មែន​លីនេអ៊ែរ)។ នៅទីនេះវិមាត្របាត់បង់អត្ថន័យរបស់វាជានិយមន័យនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃវត្ថុមួយ ហើយត្រូវបានកំណត់តាមរយៈការទូទៅផ្សេងៗ ដែលមានលក្ខណៈធម្មជាតិតិចជាងវិមាត្រតែមួយគត់នៃវត្ថុស្រដៀងគ្នា។

នៅក្នុងទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេស វិមាត្រអាចកំណត់លក្ខណៈប្រែប្រួលនៃសម្រង់តម្លៃ។ គូរូបិយប័ណ្ណនីមួយៗមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វាទាក់ទងនឹងតម្លៃ។ សម្រាប់គូផោន/ដុល្លារ (រូបភាព 13(a)) វាស្ងប់ស្ងាត់ជាងសម្រាប់ប្រាក់អឺរ៉ូ/ដុល្លារ (រូបភាព 13(ខ))។ អ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនោះគឺថារូបិយប័ណ្ណទាំងនេះផ្លាស់ទីជាមួយនឹងរចនាសម្ព័ន្ធដូចគ្នាទៅកម្រិតតម្លៃទោះជាយ៉ាងណាពួកគេមានវិមាត្រខុសៗគ្នាដែលអាចប៉ះពាល់ដល់ការជួញដូរក្នុងពេលថ្ងៃ និងការផ្លាស់ប្តូរគំរូដែលគេចផុតពីរូបរាងដែលគ្មានបទពិសោធន៍។

នៅលើរូបភព។ រូបភាពទី 14 បង្ហាញពីវិមាត្រដែលទាក់ទងទៅនឹងគំរូគណិតវិទ្យា ដើម្បីឱ្យអ្នកជ្រាបចូលកាន់តែស៊ីជម្រៅនូវអត្ថន័យនៃពាក្យនេះ។ ចំណាំថាតួលេខទាំងបីបង្ហាញពីវដ្តដូចគ្នា។ នៅលើរូបភព។ ហើយវិមាត្រគឺ 1.2 នៅក្នុងរូបភព។ b, វិមាត្រគឺ 1.5 ហើយនៅក្នុងរូបភព។ ក្នុង 1.9 ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាមួយនឹងការកើនឡើងនៅក្នុងវិមាត្រការយល់ឃើញនៃវត្ថុកាន់តែស្មុគស្មាញទំហំនៃការយោលកើនឡើង។

នៅក្នុងទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុ វិមាត្រត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងមិនត្រឹមតែជាការប្រែប្រួលតម្លៃប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាព័ត៌មានលម្អិតនៃវដ្ត (រលក) ផងដែរ។ អរគុណចំពោះវា យើងនឹងអាចបែងចែកថាតើរលកជាកម្មសិទ្ធិរបស់មាត្រដ្ឋានពេលវេលាជាក់លាក់ឬអត់។ នៅលើរូបភព។ 15 បង្ហាញគូអឺរ៉ូ/ដុល្លារនៅលើមាត្រដ្ឋានតម្លៃប្រចាំថ្ងៃ។ យកចិត្តទុកដាក់ អ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នូវវដ្ដដែលបានបង្កើតឡើង និងការចាប់ផ្តើមនៃវដ្តថ្មីដែលធំជាងនេះ។ ប្តូរទៅមាត្រដ្ឋានរៀងរាល់ម៉ោង និងពង្រីកនៅលើរង្វង់មួយ យើងអាចមើលឃើញរង្វង់តូចជាង ហើយផ្នែកនៃរង្វង់ធំមួយមានទីតាំងនៅ D1 (រូបភាព 16)។ រង្វិលជុំលម្អិត, i.e. វិមាត្ររបស់ពួកគេអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូងអំពីរបៀបដែលស្ថានភាពអាចអភិវឌ្ឍនាពេលអនាគត។ យើងអាចនិយាយបានថា: វិមាត្រ fractal ឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិវិវាទខ្នាតនៃសំណុំដែលកំពុងពិចារណា។

គោលគំនិតនៃភាពមិនប្រែប្រួលត្រូវបានណែនាំដោយ Mandelbrot ពីពាក្យ "sealant" - scalable, i.e. នៅ​ពេល​វត្ថុ​មាន​លក្ខណៈ​មិន​ប្រែប្រួល វា​មាន​មាត្រដ្ឋាន​បង្ហាញ​ខុស​គ្នា។

នៅលើរូបភព។ 16 រង្វង់ A រំលេចរង្វង់តូច (រលកលម្អិត) រង្វង់ B - រលកនៃវដ្ដធំជាង។ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែវិមាត្រដែលយើងមិនអាចកំណត់គ្រប់វដ្តនៅលើមាត្រដ្ឋានតម្លៃដូចគ្នា។

យើងនឹងនិយាយអំពីបញ្ហានៃការកំណត់ និងការអភិវឌ្ឍន៍អចលនទ្រព្យនៃវដ្តមិនទៀងទាត់នៅក្នុងផ្នែក "វដ្តនៅក្នុងទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេស" ឥឡូវនេះរឿងសំខាន់សម្រាប់ពួកយើងគឺត្រូវយល់ពីរបៀប និងកន្លែងដែលវិមាត្របង្ហាញខ្លួនឯងនៅក្នុងទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុ។

ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានថា fractal ជាគំរូត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅពេលដែលវត្ថុពិតមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់នៃគំរូបុរាណ។ ហើយនេះមានន័យថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងលក្ខណៈមិនកំណត់ (ចៃដន្យ) នៃទិន្នន័យ។ ភាពមិនលីនេអ៊ែរក្នុងន័យមនោគមវិជ្ជាមានន័យថា ភាពចម្រុះនៃផ្លូវអភិវឌ្ឍន៍ លទ្ធភាពនៃជម្រើសពីផ្លូវជំនួស និងល្បឿនជាក់លាក់នៃការវិវត្តន៍ ក៏ដូចជាភាពមិនអាចត្រឡប់វិញនៃដំណើរការវិវត្តន៍។ ភាពមិនលីនេអ៊ែរក្នុងន័យគណិតវិទ្យាមានន័យថាប្រភេទសមីការគណិតវិទ្យាមួយប្រភេទ (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ) ដែលមានបរិមាណដែលចង់បាននៅក្នុងអំណាចធំជាងមួយ ឬមេគុណដែលអាស្រ័យលើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តមិនលីនេអ៊ែរ៖

Johnny លូតលាស់ 2 អ៊ីញក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រព័ន្ធនេះពន្យល់ពីរបៀបដែលកម្ពស់របស់ Johnny ផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា។ សូមឱ្យ x(n) ជាកម្ពស់របស់ចននីនៅឆ្នាំនេះ។ សូមឱ្យការលូតលាស់របស់គាត់នៅឆ្នាំក្រោយត្រូវបានសរសេរជា x (n + 1) ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរប្រព័ន្ធថាមវន្តក្នុងទម្រង់សមីការ៖

x(n+1) = x(n) + 2 ។

ឃើញទេ? តើនេះមិនមែនជាគណិតវិទ្យាសាមញ្ញទេ? ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលកម្ពស់របស់ចននី x(n) = 38 អ៊ីងថ្ងៃនេះ នោះនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបានកម្ពស់របស់ចននីនៅឆ្នាំក្រោយ x(n+1) = 40 អ៊ីង៖

x(n+1)=x(n)+2=38+2=40។

ការផ្លាស់ទីពីស្តាំទៅឆ្វេងក្នុងសមីការត្រូវបានគេហៅថា ការធ្វើឡើងវិញ (ពាក្យដដែលៗ) ។ យើងអាចធ្វើសមីការម្តងទៀតដោយបញ្ចូលកម្ពស់ 40 អ៊ីងថ្មីរបស់ Johnny នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (ឧទាហរណ៍ x(n) = 40) ហើយយើងទទួលបាន x(n+1) = 42។ ប្រសិនបើយើងធ្វើម្តងទៀត (ធ្វើម្តងទៀត) សមីការ 3 ដងយើងទទួលបានកម្ពស់របស់ Johnny ក្នុងរយៈពេល 3 ឆ្នាំពោលគឺ 44 អ៊ីញចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកម្ពស់ 38 អ៊ីញ។

នេះគឺជាប្រព័ន្ធឌីណាមិកកំណត់។ ប្រសិនបើយើងចង់ធ្វើឱ្យវាមិនកំណត់ (stochastic) យើងអាចបង្កើតគំរូដូចនេះ៖ Johnny លូតលាស់ 2 អ៊ីញក្នុងមួយឆ្នាំ តិចឬច្រើន ហើយសរសេរសមីការដូចជា៖

x(n+1) = x(n) + 2 + e

ដែល e គឺជាកំហុសតូចមួយ (តូចទាក់ទងទៅនឹង 2) តំណាងឱ្យការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការកំណត់ដើមវិញ។ សមីការដើម x(n+1) = x(n) + 2 គឺជាលីនេអ៊ែរ។ លីនេអ៊ែរ មានន័យថា អ្នកកំពុងបន្ថែមអថេរ ឬថេរ ឬគុណអថេរដោយថេរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

គឺលីនេអ៊ែរ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកគុណអថេរ ឬលើកពួកវាទៅជាថាមពលធំជាងមួយ សមីការ (ប្រព័ន្ធ) នឹងក្លាយទៅជាមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ

x(n+1) = x(n) ២

មិន​មែន​លីនេអ៊ែរ​ទេ ព្រោះ x(n) ជា​ការេ។ សមីការ

មិន​មែន​លីនេអ៊ែរ​ទេ ព្រោះ​អថេរ​ពីរ x និង y ត្រូវ​បាន​គុណ។

នៅពេលដែលយើងអនុវត្តគំរូបុរាណ (ឧទាហរណ៍ និន្នាការ តំរែតំរង់។ អាស្រ័យទាំងស្រុងលើលក្ខខណ្ឌដំបូង និងអាចទទួលយកបានចំពោះការព្យាករណ៍ច្បាស់លាស់។ អ្នកអាចអនុវត្តគំរូមួយក្នុងចំណោមគំរូទាំងនេះនៅក្នុង Excel ដោយឯករាជ្យ។ ឧទាហរណ៍នៃគំរូបុរាណអាចត្រូវបានតំណាងថាជានិន្នាការធ្លាក់ចុះឬកើនឡើងឥតឈប់ឈរ។ ហើយយើងអាចទស្សន៍ទាយអាកប្បកិរិយារបស់វាដោយដឹងពីអតីតកាលនៃវត្ថុ (ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ការធ្វើគំរូ) ។ ហើយ fractal ត្រូវបានប្រើក្នុងករណីដែលវត្ថុមានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ ហើយស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងដែលវាស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ នោះគឺយើងកំពុងព្យាយាមក្លែងធ្វើការអភិវឌ្ឍន៍ដ៏ច្របូកច្របល់។ ប្រព័ន្ធនេះគឺជាទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេសអន្តរធនាគារ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងហៅថា fractal ជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាផ្ទាល់។

នៅលើរូបភព។ 17(A) បង្ហាញខ្សែកោង Koch ។ យកផ្នែកបន្ទាត់មួយ ប្រវែងរបស់វា = 1, i.e. នៅតែជាវិមាត្រ topological ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងបែងចែកវាជាបីផ្នែក (នីមួយៗ 1/3 នៃប្រវែង) ហើយយកផ្នែកកណ្តាលទីបីចេញ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងជំនួសផ្នែកកណ្តាលដោយផ្នែកពីរ (នីមួយៗ 1/3 នៃប្រវែង) ដែលអាចត្រូវបានតំណាងជាពីរជ្រុងនៃត្រីកោណសមភាព។ នេះគឺជាដំណាក់កាលទី 2 (ខ) នៃការរចនាដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងរូបភព។ ១៧(ក)។ នៅចំណុចនេះយើងមាន 4 ផ្នែកតូចជាង 1/3 នៃប្រវែងនីមួយៗ ដូច្នេះប្រវែងទាំងមូលគឺ 4(1/3) = 4/3 ។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើម្តងទៀតនូវដំណើរការនេះសម្រាប់ផ្នែកនីមួយៗនៃ 4 lobes តូចៗនៃបន្ទាត់។ នេះគឺជាដំណាក់កាលទីបី (គ) ។ នេះនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវ 16 ផ្នែកបន្ទាត់តូចជាងនេះ ដែលនីមួយៗមានប្រវែង 1/9 ។ ដូច្នេះប្រវែងទាំងមូលគឺ 16/9 ឬ (4/3) 2 ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានវិមាត្រប្រភាគ។ ប៉ុន្តែមិនត្រឹមតែនេះទេដែលបែងចែករចនាសម្ព័ន្ធលទ្ធផលពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ វាបានក្លាយទៅជាស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់នៅចំណុចណាមួយរបស់វា (រូបភាព 17 (B)) ។

មាតិកា

តើដើមឈើ ឆ្នេរសមុទ្រ ពពក ឬសរសៃឈាមនៅក្នុងដៃរបស់យើងមានអ្វីខ្លះ? នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាថាវត្ថុទាំងអស់នេះមិនមានអ្វីដូចគ្នាទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមការពិតមានទ្រព្យសម្បត្តិមួយនៃរចនាសម្ព័ន្ធដែលមាននៅក្នុងវត្ថុដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់: ពួកវាមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា។ ពីមែកឈើក៏ដូចជាពីដើមរបស់មែកធាងដំណើរការតូចៗបានចាកចេញពីពួកគេ - សូម្បីតែតូចជាងជាដើម នោះគឺសាខាមួយស្រដៀងនឹងដើមឈើទាំងមូល។ ប្រព័ន្ធឈាមរត់ត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា: សរសៃឈាមអាកទែរចេញពីសរសៃឈាមហើយពីពួកគេ - សរសៃឈាមតូចបំផុតដែលអុកស៊ីសែនចូលទៅក្នុងសរីរាង្គនិងជាលិកា។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពផ្កាយរណបនៃឆ្នេរសមុទ្រ: យើងនឹងឃើញឆ្នេរសមុទ្រនិងឧបទ្វីប; ចូរយើងក្រឡេកមើលវា ប៉ុន្តែពីទិដ្ឋភាពភ្នែករបស់បក្សី៖ យើងនឹងឃើញឆ្នេរសមុទ្រ និងកំពូល។ ឥឡូវនេះស្រមៃថាយើងកំពុងឈរនៅលើឆ្នេរហើយសម្លឹងមើលជើងរបស់យើង: វាតែងតែមានគ្រួសដែលលាតសន្ធឹងចូលទៅក្នុងទឹកជាងនៅសល់។ នោះគឺឆ្នេរសមុទ្រនៅតែស្រដៀងនឹងខ្លួនវានៅពេលពង្រីក។ គណិតវិទូជនជាតិអាមេរិក Benoit Mandelbrot (ទោះបីជាបានលើកឡើងនៅក្នុងប្រទេសបារាំង) បានហៅទ្រព្យសម្បត្តិនេះថា fractality របស់វត្ថុ ហើយវត្ថុបែបនេះខ្លួនឯង - fractal (មកពីឡាតាំង fractus - ខូច) ។

គំនិតនេះមិនមាននិយមន័យតឹងរ៉ឹងទេ។ ដូច្នេះ ពាក្យ «ប្រភាគ» មិនមែនជាពាក្យគណិតវិទ្យាទេ។ ជាធម្មតា fractal គឺជាតួលេខធរណីមាត្រដែលបំពេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយ ឬច្រើនខាងក្រោម៖ វាមានរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញនៅកម្រិតពង្រីកណាមួយ (មិនដូចឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ ផ្នែកណាមួយគឺជាតួលេខធរណីមាត្រសាមញ្ញបំផុត - ផ្នែកបន្ទាត់ ) វាគឺ (ប្រហែល) ស្រដៀងគ្នា។ វាមានវិមាត្រប្រភាគ Hausdorff (fractal) ដែលធំជាងផ្នែក topological ។ អាចត្រូវបានសាងសង់ជាមួយនឹងនីតិវិធីកើតឡើងដដែលៗ។

ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត

ការសិក្សាអំពីប្រភាគនៅវេននៃសតវត្សទី 19 និងទី 20 គឺមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធជាង ពីព្រោះគណិតវិទូសម័យមុនភាគច្រើនសិក្សាវត្ថុ "ល្អ" ដែលអាចសិក្សាបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ និងទ្រឹស្តីទូទៅ។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Karl Weierstrass បង្កើតឧទាហរណ៍នៃមុខងារបន្តដែលមិនមានកន្លែងណាខុសគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសាងសង់របស់វាមានលក្ខណៈអរូបី និងពិបាកយល់។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងឆ្នាំ 1904 ស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតជាខ្សែកោងជាប់គ្នា ដែលមិនមានតង់សង់នៅកន្លែងណាមួយ ហើយវាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការគូរវា។ វាបានប្រែក្លាយថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ fractal មួយ។ បំរែបំរួលមួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថា Koch snowflake ។

គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខត្រូវបានជ្រើសរើសដោយជនជាតិបារាំង Paul Pierre Levy ដែលជាអ្នកណែនាំអនាគតរបស់ Benoit Mandelbrot ។ នៅឆ្នាំ 1938 អត្ថបទរបស់គាត់ដែលមានចំណងជើងថា "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកស្រដៀងនឹងទាំងមូល" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះមានប្រភាគមួយទៀតត្រូវបានពិពណ៌នា - ខ្សែកោង Lévy C-curve ។ fractal ទាំងអស់ដែលបានរាយបញ្ជីខាងលើអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈតាមលក្ខខណ្ឌទៅនឹងថ្នាក់មួយនៃ constructive (geometric) fractal ។

ថ្នាក់មួយទៀតគឺថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal ដែលរួមបញ្ចូលសំណុំ Mandelbrot ។ ការស្រាវជ្រាវដំបូងក្នុងទិសដៅនេះបានចាប់ផ្តើមនៅដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Gaston Julia និង Pierre Fatou ។ នៅឆ្នាំ 1918 ស្ទើរតែពីររយទំព័រនៃការចងចាំរបស់ Julia ដែលឧទ្ទិសដល់ការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារសនិទានភាពស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានបោះពុម្ពដែលក្នុងនោះសំណុំ Julia ត្រូវបានពិពណ៌នា - ក្រុមគ្រួសារទាំងមូលនៃ fractal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ស្នាដៃនេះត្រូវបានប្រគល់រង្វាន់ពីបណ្ឌិតសភាបារាំង ប៉ុន្តែវាមិនមានរូបគំនូរតែមួយទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកោតសរសើរចំពោះភាពស្រស់ស្អាតនៃវត្ថុដែលបានរកឃើញ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាការងារនេះបានធ្វើឱ្យ Julia ល្បីល្បាញក្នុងចំណោមគណិតវិទូនៃសម័យនោះវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ជាថ្មីម្តងទៀតការយកចិត្តទុកដាក់បានងាកទៅរកវាត្រឹមតែពាក់កណ្តាលសតវត្សក្រោយមកជាមួយនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រ: វាគឺជាពួកគេដែលបានធ្វើឱ្យមើលឃើញភាពសម្បូរបែបនិងភាពស្រស់ស្អាតនៃពិភពនៃ fractals ។

វិមាត្រប្រភាគ

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាវិមាត្រ (ចំនួនរង្វាស់) នៃតួលេខធរណីមាត្រគឺជាចំនួនកូអរដោនេដែលចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចដែលស្ថិតនៅលើតួលេខនេះ។
ឧទាហរណ៍ ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេមួយ នៅលើផ្ទៃមួយ (មិនចាំបាច់ជាយន្តហោះទេ) ដោយកូអរដោណេពីរ ក្នុងលំហបីវិមាត្រ ដោយកូអរដោនេបី។
តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យាទូទៅ វិមាត្រអាចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ ការកើនឡើងនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរ និយាយថា ពីរដង សម្រាប់វិមាត្រមួយ (តាមទស្សនៈកំពូល) វត្ថុ (ផ្នែក) នាំទៅរកការកើនឡើងនៃទំហំ (ប្រវែង។ ) ដោយកត្តានៃពីរ សម្រាប់វិមាត្រពីរ (ការេ) ការកើនឡើងដូចគ្នានៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរនាំទៅរកការកើនឡើងនៃទំហំ (ផ្ទៃ) 4 ដង សម្រាប់បីវិមាត្រ (គូប) - ដោយ 8 ដង។ នោះគឺវិមាត្រ "ពិត" (ដែលគេហៅថា Hausdorff) អាចត្រូវបានគណនាជាសមាមាត្រនៃលោការីតនៃការកើនឡើងនៃ "ទំហំ" នៃវត្ថុទៅនឹងលោការីតនៃការកើនឡើងនៃទំហំលីនេអ៊ែររបស់វា។ នោះគឺសម្រាប់ផ្នែក D=log (2)/log (2)=1 សម្រាប់យន្តហោះ D=log (4)/log (2)=2 សម្រាប់ volume D=log (8)/log (2 )=៣.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch សម្រាប់ការសាងសង់ដែលផ្នែកឯកតាត្រូវបានបែងចែកជា 3 ផ្នែកស្មើគ្នា ហើយចន្លោះពេលកណ្តាលត្រូវបានជំនួសដោយត្រីកោណសមភាពដោយគ្មានផ្នែកនេះ។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរនៃផ្នែកអប្បបរមាបីដងប្រវែងនៃខ្សែកោង Koch កើនឡើងនៅក្នុងកំណត់ហេតុ (4) / log (3) ~ 1.26 ។ នោះគឺវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch គឺប្រភាគ!

វិទ្យាសាស្ត្រ និងសិល្បៈ

នៅឆ្នាំ 1982 សៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះអ្នកនិពន្ធបានប្រមូល និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវព័ត៌មានស្ទើរតែទាំងអស់អំពី fractal ដែលមាននៅពេលនោះ ហើយបង្ហាញវាក្នុងលក្ខណៈងាយស្រួល និងអាចចូលដំណើរការបាន។ Mandelbrot បានសង្កត់ធ្ងន់ជាចម្បងនៅក្នុងបទបង្ហាញរបស់គាត់ មិនមែនលើរូបមន្តសញ្ជឹងគិត និងការស្ថាបនាគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើវិចារណញាណធរណីមាត្ររបស់អ្នកអាន។ សូមអរគុណដល់កុំព្យូទ័រដែលបានបង្កើតរូបភាព និងរឿងប្រវត្តិសាស្ត្រ ដែលអ្នកនិពន្ធបានបំប្លែងសមាសធាតុវិទ្យាសាស្រ្តនៃអក្សរកាត់យ៉ាងប៉ិនប្រសប់ សៀវភៅនេះបានក្លាយជាអ្នកលក់ដាច់បំផុត ហើយ Fractal ត្រូវបានគេស្គាល់ដល់សាធារណជនទូទៅ។ ភាពជោគជ័យរបស់ពួកគេក្នុងចំណោមអ្នកមិនមែនជាគណិតវិទូគឺភាគច្រើនដោយសារតែការពិតដែលថា ដោយមានជំនួយពីសំណង់ និងរូបមន្តសាមញ្ញបំផុតដែលសូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យក៏អាចយល់បាន រូបភាពនៃភាពស្មុគស្មាញ និងភាពស្រស់ស្អាតដ៏អស្ចារ្យត្រូវបានទទួល។ នៅពេលដែលកុំព្យូទ័រផ្ទាល់ខ្លួនមានថាមពលគ្រប់គ្រាន់ សូម្បីតែទំនោរសិល្បៈទាំងមូលក៏លេចចេញមកដែរ - ការគូររូបប្រភាគ ហើយស្ទើរតែគ្រប់ម្ចាស់កុំព្យូទ័រអាចធ្វើវាបាន។ ឥឡូវនេះនៅលើអ៊ីនធឺណិតអ្នកអាចស្វែងរកគេហទំព័រជាច្រើនយ៉ាងងាយស្រួលដែលឧទ្ទិសដល់ប្រធានបទនេះ។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង Koch

ស​ង្រ្គា​ម​និង​សន្តិភាព

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើវត្ថុធម្មជាតិមួយក្នុងចំណោមវត្ថុធម្មជាតិដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal គឺឆ្នេរសមុទ្រ។ រឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយវា ឬផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការប៉ុនប៉ងវាស់ប្រវែងរបស់វា ដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃអត្ថបទវិទ្យាសាស្ត្ររបស់ Mandelbrot ហើយត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរនៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "The Fractal Geometry of Nature" ។ យើងកំពុងនិយាយអំពីការពិសោធន៍មួយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោក Lewis Richardson ដែលជាគណិតវិទូដ៏ប៉ិនប្រសប់ រូបវិទ្យា និងឧតុនិយម។ ទិសដៅមួយនៃការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់គឺការប៉ុនប៉ងដើម្បីស្វែងរកការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យាអំពីមូលហេតុ និងលទ្ធភាពនៃជម្លោះប្រដាប់អាវុធរវាងប្រទេសទាំងពីរ។ ក្នុង​ចំណោម​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ដែល​លោក​បាន​គិត​នោះ​គឺ​ប្រវែង​នៃ​ព្រំដែន​រួម​រវាង​ប្រទេស​ដែល​មាន​សង្គ្រាម​ទាំង​ពីរ។ នៅពេលគាត់ប្រមូលទិន្នន័យសម្រាប់ការពិសោធន៍ជាលេខ គាត់បានរកឃើញថានៅក្នុងប្រភពផ្សេងៗគ្នា ទិន្នន័យនៅលើព្រំដែនរួមនៃប្រទេសអេស្ប៉ាញ និងព័រទុយហ្គាល់មានភាពខុសគ្នាខ្លាំង។ នេះបាននាំឱ្យគាត់មានការរកឃើញដូចខាងក្រោម: ប្រវែងនៃព្រំដែនរបស់ប្រទេសអាស្រ័យលើអ្នកគ្រប់គ្រងដែលយើងវាស់ពួកគេ។ មាត្រដ្ឋានកាន់តែតូច ព្រំដែននឹងកាន់តែវែង។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅការពង្រីកកាន់តែខ្ពស់វាអាចយកទៅក្នុងគណនីពត់កាន់តែច្រើននៃឆ្នេរសមុទ្រដែលពីមុនត្រូវបានគេមិនអើពើដោយសារតែភាពរដុបនៃការវាស់វែង។ ហើយប្រសិនបើជាមួយនឹងការពង្រីកនីមួយៗ ខ្សែកោងដែលមិនបានគណនាពីមុនត្រូវបានបើក នោះវាប្រែថាប្រវែងនៃស៊ុមគឺគ្មានកំណត់! ជាការពិត វាមិនកើតឡើងទេ - ភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងរបស់យើងមានកម្រិតកំណត់។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថាឥទ្ធិពល Richardson ។

ស្ថាបនា (ធរណីមាត្រ) fractal

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើត fractal ស្ថាបនានៅក្នុងករណីទូទៅមានដូចខាងក្រោម។ ដំបូងបង្អស់យើងត្រូវការរាងធរណីមាត្រដែលសមស្របពីរសូមហៅវាថាមូលដ្ឋាននិងបំណែក។ នៅដំណាក់កាលដំបូង មូលដ្ឋាននៃ fractal នាពេលអនាគតត្រូវបានបង្ហាញ។ បន្ទាប់មកផ្នែកខ្លះរបស់វាត្រូវបានជំនួសដោយបំណែកដែលបានយកក្នុងមាត្រដ្ឋានសមស្រប - នេះគឺជាការស្ថាបនាឡើងវិញជាលើកដំបូង។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងតួលេខលទ្ធផល ផ្នែកខ្លះម្តងទៀតផ្លាស់ប្តូរទៅជាតួរលេខស្រដៀងនឹងបំណែក ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត។ ប្រសិនបើយើងបន្តដំណើរការនេះដោយគ្មានកំណត់ នោះនៅក្នុងដែនកំណត់យើងទទួលបាន fractal ។

ពិចារណាដំណើរការនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោង Koch (សូមមើលរបារចំហៀងនៅលើទំព័រមុន) ។ ខ្សែកោងណាមួយអាចត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាននៃខ្សែកោង Koch (សម្រាប់ Koch snowflake នេះគឺជាត្រីកោណ) ។ ប៉ុន្តែយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងករណីសាមញ្ញបំផុត - ផ្នែកមួយ។ បំណែកគឺជាបន្ទាត់ដែលខូចដែលបង្ហាញនៅលើកំពូលនៃរូបភាព។ បន្ទាប់ពីការធ្វើឡើងវិញដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយ ក្នុងករណីនេះ ផ្នែកដើមនឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងបំណែក បន្ទាប់មកផ្នែកនីមួយៗនៃធាតុផ្សំរបស់វានឹងត្រូវបានជំនួសដោយបន្ទាត់ដែលខូចស្រដៀងនឹងបំណែក ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តួលេខបង្ហាញពីបួនដំបូង។ ជំហាននៃដំណើរការនេះ។

ភាសានៃគណិតវិទ្យា៖ ថាមវន្ត (ពិជគណិត) ប្រភាគ

Fractals នៃប្រភេទនេះកើតឡើងនៅក្នុងការសិក្សានៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ (ដូច្នេះឈ្មោះ) ។ ឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមុខងារ nonlinear ស្មុគស្មាញ (ពហុធា) f (z) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចំណុចដំបូងមួយចំនួន z0 នៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ (សូមមើលរបារចំហៀង) ។ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណានូវលំដាប់លំដោយគ្មានកំណត់នៃលេខនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ ដែលនីមួយៗទទួលបានពីលេខមុន៖ z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)។ អាស្រ័យលើចំណុចដំបូង z0 លំដាប់បែបនេះអាចមានឥរិយាបទខុសគ្នា៖ ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដូចជា n -> ∞; បង្រួបបង្រួមទៅចំណុចបញ្ចប់មួយចំនួន; វដ្តយកចំនួននៃតម្លៃថេរមួយ; ជម្រើសស្មុគស្មាញជាងគឺអាចធ្វើទៅបាន។

លេខស្មុគស្មាញ

ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួនដែលមានពីរផ្នែក - ពិត និងស្រមើស្រមៃ នោះគឺជាផលបូកផ្លូវការ x + iy (x និង y នេះគឺជាចំនួនពិត) ។ ខ្ញុំគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា។ ឯកតាស្រមើលស្រមៃ នោះគឺជាលេខដែលបំពេញសមីការ ខ្ញុំ ^២=-១. លើចំនួនកុំផ្លិច ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ - បូក គុណ ចែក ដក (មានតែប្រតិបត្តិការប្រៀបធៀបមិនត្រូវបានកំណត់)។ ដើម្បីបង្ហាញលេខកុំផ្លិច តំណាងធរណីមាត្រត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ - នៅលើយន្តហោះ (វាត្រូវបានគេហៅថាស្មុគស្មាញ) ផ្នែកពិតត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស abscissa និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃតាមអ័ក្សតម្រៀប ខណៈពេលដែលចំនួនកុំផ្លិចនឹងត្រូវគ្នានឹងចំណុចមួយ។ ជាមួយនឹងកូអរដោនេ Cartesian x និង y ។

ដូច្នេះ ចំណុច z ណាមួយនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញមានចរិតលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វាក្នុងអំឡុងពេលនៃការធ្វើម្តងទៀតនៃមុខងារ f (z) ហើយយន្តហោះទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក។ លើសពីនេះទៅទៀត ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើព្រំប្រទល់នៃផ្នែកទាំងនេះមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ សម្រាប់ការផ្លាស់ទីលំនៅតូចមួយតាមអំពើចិត្ត ធម្មជាតិនៃអាកប្បកិរិយារបស់ពួកគេបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង (ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា bifurcation point) ។ ដូច្នេះវាប្រែថាសំណុំនៃចំណុចដែលមានប្រភេទជាក់លាក់មួយនៃឥរិយាបទ ក៏ដូចជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation ជាញឹកញាប់មានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ។ ទាំងនេះគឺជាសំណុំ Julia សម្រាប់មុខងារ f(z)។

គ្រួសារនាគ

ដោយការផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាន និងបំណែក អ្នកអាចទទួលបានភាពខុសគ្នាដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនៃ fractals ស្ថាបនា។
លើសពីនេះទៅទៀត ប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នានេះអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ ឧទាហរណ៏នៃ fractals volumetric គឺ "អេប៉ុងរបស់ Menger", "ពីរ៉ាមីតរបស់ Sierpinski" និងផ្សេងទៀត។
ក្រុមគ្រួសាររបស់នាគក៏ត្រូវបានគេសំដៅទៅលើ fractal ស្ថាបនាផងដែរ។ ជួនកាលពួកវាត្រូវបានសំដៅលើឈ្មោះរបស់អ្នករកឃើញថាជា "នាគនៃ Heiwei-Harter" (ពួកវាស្រដៀងនឹងនាគចិននៅក្នុងរូបរាងរបស់ពួកគេ) ។ មានវិធីជាច្រើនក្នុងការសាងសង់ខ្សែកោងនេះ។ ភាពសាមញ្ញ និងច្បាស់បំផុតនៃពួកគេគឺ៖ អ្នកត្រូវយកក្រដាសវែងល្មម (ក្រដាសស្តើងជាងនេះ កាន់តែល្អ) ហើយបត់វាពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់មកម្តងទៀតពត់វានៅពាក់កណ្តាលក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងលើកដំបូង។ បន្ទាប់ពីពាក្យដដែលៗជាច្រើនដង (ជាធម្មតាបន្ទាប់ពីបត់ប្រាំទៅប្រាំមួយដង បន្ទះនឹងក្រាស់ពេកដើម្បីបត់បន្ថែមទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន) អ្នកត្រូវតម្រង់បន្ទះត្រឡប់មកវិញ ហើយព្យាយាមបង្កើតមុំ90˚នៅផ្នត់។ បន្ទាប់មកខ្សែកោងនៃនាគនឹងប្រែជាទម្រង់។ ជាការពិតណាស់ នេះនឹងគ្រាន់តែជាការប៉ាន់ស្មានប៉ុណ្ណោះ ដូចជាការព្យាយាមរបស់យើងទាំងអស់ដើម្បីពណ៌នាវត្ថុ fractal ជាដើម។ កុំព្យូទ័រអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពណ៌នាជំហានជាច្រើនទៀតនៅក្នុងដំណើរការនេះហើយលទ្ធផលគឺជាតួលេខដ៏ស្រស់ស្អាតខ្លាំងណាស់។

ឈុត Mandelbrot ត្រូវបានសាងសង់ខុសគ្នាខ្លះ។ ពិចារណាអនុគមន៍ fc(z) = z 2 +c ដែល c ជាចំនួនកុំផ្លិច។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលំដាប់នៃអនុគមន៍នេះជាមួយ z0=0 អាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ c វាអាចបង្វែរទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ឬនៅជាប់ព្រំដែន។ លើសពីនេះទៅទៀត តម្លៃទាំងអស់នៃ c ដែលលំដាប់នេះត្រូវបានចងភ្ជាប់ជាសំណុំ Mandelbrot ។ វាត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងលម្អិតដោយ Mandelbrot ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់ និងគណិតវិទូដទៃទៀត ដែលបានរកឃើញលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើននៃសំណុំនេះ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានិយមន័យនៃសំណុំ Julia និង Mandelbrot គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ តាមពិត ឈុតទាំងពីរនេះមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ពោលគឺសំណុំ Mandelbrot គឺជាតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រស្មុគ្រស្មាញ c ដែល Julia set fc (z) ត្រូវបានតភ្ជាប់ (សំណុំត្រូវបានគេហៅថាតភ្ជាប់ប្រសិនបើវាមិនអាចបែងចែកជាពីរផ្នែកដែលមិនប្រសព្វគ្នាដោយមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែមមួយចំនួន)។

fractal និងជីវិត

សព្វថ្ងៃនេះទ្រឹស្តីនៃ fractals ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ បន្ថែមពីលើវត្ថុវិទ្យាសាស្រ្តសុទ្ធសាធសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ និងការគូរគំនូរ fractal ដែលបានរៀបរាប់រួចមកហើយនោះ fractals ត្រូវបានប្រើក្នុងទ្រឹស្តីព័ត៌មានដើម្បីបង្រួមទិន្នន័យក្រាហ្វិក (នៅទីនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractals ត្រូវបានប្រើជាចម្បង - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ដើម្បីចងចាំបំណែកតូចមួយ នៃគំនូរ និងការបំប្លែង ដែលអ្នកអាចទទួលបានផ្នែកដែលនៅសល់ វាត្រូវការការចងចាំតិចជាងការរក្សាទុកឯកសារទាំងមូល)។ ដោយការបន្ថែមការរំខានដោយចៃដន្យទៅនឹងរូបមន្តដែលកំណត់ fractal មួយអាចទទួលបាន fractal stochastic ដែលបង្ហាញពីវត្ថុពិតមួយចំនួន - ធាតុសង្គ្រោះ ផ្ទៃទឹក រុក្ខជាតិមួយចំនួនដែលត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យក្នុងរូបវិទ្យា ភូមិសាស្ត្រ និងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រដើម្បីសម្រេចបាន។ ភាពស្រដៀងគ្នាកាន់តែច្រើននៃវត្ថុក្លែងធ្វើជាមួយពិត។ នៅក្នុងវិទ្យុអេឡិចត្រូនិក ក្នុងទសវត្សរ៍ចុងក្រោយនេះ ពួកគេបានចាប់ផ្តើមផលិតអង់តែនដែលមានរាងជាប្រភាគ។ ដោយប្រើប្រាស់កន្លែងទំនេរតិចតួច ពួកគេផ្តល់នូវការទទួលសញ្ញាគុណភាពខ្ពស់។ សេដ្ឋវិទូប្រើ fractals ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីខ្សែកោងនៃការប្រែប្រួលរូបិយប័ណ្ណ (ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានរកឃើញដោយ Mandelbrot ជាង 30 ឆ្នាំមុន)។ នេះបញ្ចប់ដំណើរកំសាន្តដ៏ខ្លីនេះចូលទៅក្នុងពិភពនៃ fractals ដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសម្បូរបែបរបស់វា។

Fractals ត្រូវបានគេស្គាល់អស់រយៈពេលជិតមួយសតវត្សមកហើយ ត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងល្អ និងមានកម្មវិធីជាច្រើនក្នុងជីវិត។ បាតុភូតនេះគឺផ្អែកលើគំនិតដ៏សាមញ្ញមួយ៖ ចំនួនដ៏គ្មានកំណត់នៃរូបសម្រស់ និងភាពខុសគ្នាអាចទទួលបានពីរចនាសម្ព័ន្ធសាមញ្ញដោយគ្រាន់តែប្រើប្រតិបត្តិការពីរប៉ុណ្ណោះគឺការចម្លង និងការធ្វើមាត្រដ្ឋាន។

គំនិតនេះមិនមាននិយមន័យតឹងរ៉ឹងទេ។ ដូច្នេះ ពាក្យ «ប្រភាគ» មិនមែនជាពាក្យគណិតវិទ្យាទេ។ នេះជាធម្មតាឈ្មោះនៃតួលេខធរណីមាត្រដែលបំពេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយ ឬច្រើនខាងក្រោម៖

• មានរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញនៅការពង្រីកណាមួយ;
• គឺ (ប្រហែល) ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង;
• មានវិមាត្រប្រភាគ Hausdorff (fractal) ដែលធំជាងផ្នែក topological ។
• អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​នីតិវិធី​ដដែលៗ។

នៅវេននៃសតវត្សទី 19 និងទី 20 ការសិក្សាអំពី fractals គឺមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធ ពីព្រោះគណិតវិទូសម័យមុនភាគច្រើនសិក្សាវត្ថុ "ល្អ" ដែលអាចសិក្សាបានដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត និងទ្រឹស្តីទូទៅ។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Karl Weierstrass បានបង្កើតឧទាហរណ៍នៃមុខងារបន្តដែលមិនមានកន្លែងណាខុសគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសាងសង់របស់វាមានលក្ខណៈអរូបី និងពិបាកយល់។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងឆ្នាំ 1904 ស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតជាខ្សែកោងជាប់គ្នា ដែលមិនមានតង់សង់នៅកន្លែងណាមួយ ហើយវាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការគូរវា។ វាបានប្រែក្លាយថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ fractal មួយ។ បំរែបំរួលមួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថា Koch snowflake ។

គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខត្រូវបានជ្រើសរើសដោយជនជាតិបារាំង Paul Pierre Levy ដែលជាអ្នកណែនាំអនាគតរបស់ Benoit Mandelbrot ។ នៅឆ្នាំ 1938 អត្ថបទរបស់គាត់ដែលមានចំណងជើងថា "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកស្រដៀងនឹងទាំងមូល" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះមានប្រភាគមួយទៀតត្រូវបានពិពណ៌នា - ខ្សែកោង Lévy C-curve ។ ទាំងអស់នៃ fractal ខាងលើអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈតាមលក្ខខណ្ឌនៃថ្នាក់មួយនៃ constructive (geometric) fractal ។

ថ្នាក់មួយទៀតគឺថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal ដែលរួមបញ្ចូលសំណុំ Mandelbrot ។ ការសិក្សាដំបូងក្នុងទិសដៅនេះមានតាំងពីដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Gaston Julia និង Pierre Fatou ។ នៅឆ្នាំ 1918 ស្ទើរតែពីររយទំព័រនៃការងាររបស់ Julia ត្រូវបានបោះពុម្ពដោយឧទ្ទិសដល់ការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារសនិទានភាពស្មុគ្រស្មាញដែលក្នុងនោះសំណុំ Julia ត្រូវបានពិពណ៌នា - ក្រុមគ្រួសារទាំងមូលនៃ fractal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ស្នាដៃនេះត្រូវបានប្រគល់រង្វាន់ពីបណ្ឌិតសភាបារាំង ប៉ុន្តែវាមិនមានរូបគំនូរតែមួយទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកោតសរសើរចំពោះភាពស្រស់ស្អាតនៃវត្ថុដែលបានរកឃើញ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាការងារនេះបានធ្វើឱ្យ Julia ល្បីល្បាញក្នុងចំណោមគណិតវិទូនៃសម័យនោះវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

ត្រឹមតែកន្លះសតវត្សក្រោយមក ជាមួយនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រ ការយកចិត្តទុកដាក់បានងាកទៅរកការងាររបស់ Julia និង Fatou៖ វាគឺជាអ្នកដែលបានធ្វើឱ្យភាពសម្បូរបែប និងភាពស្រស់ស្អាតនៃពិភពនៃ fractals មើលឃើញ។ យ៉ាងណាមិញ Fatou មិនអាចមើលរូបភាពដែលឥឡូវនេះយើងស្គាល់ថាជារូបភាពនៃឈុត Mandelbrot ទេ ពីព្រោះចំនួនចាំបាច់នៃការគណនាមិនអាចធ្វើដោយដៃបានទេ។ មនុស្សដំបូងគេដែលប្រើកុំព្យូទ័រសម្រាប់នេះគឺ Benoit Mandelbrot ។

នៅឆ្នាំ 1982 សៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះអ្នកនិពន្ធបានប្រមូល និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវព័ត៌មានស្ទើរតែទាំងអស់អំពី fractal ដែលមាននៅពេលនោះ ហើយបង្ហាញវាក្នុងលក្ខណៈងាយស្រួល និងអាចចូលដំណើរការបាន។ Mandelbrot បានសង្កត់ធ្ងន់ជាចម្បងនៅក្នុងបទបង្ហាញរបស់គាត់ មិនមែនលើរូបមន្តសញ្ជឹងគិត និងការស្ថាបនាគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើវិចារណញាណធរណីមាត្ររបស់អ្នកអាន។ សូមអរគុណដល់កុំព្យូទ័រដែលបានបង្កើតរូបភាព និងរឿងប្រវត្តិសាស្ត្រ ដែលអ្នកនិពន្ធបានបំប្លែងសមាសធាតុវិទ្យាសាស្រ្តនៃអក្សរកាត់យ៉ាងប៉ិនប្រសប់ សៀវភៅនេះបានក្លាយជាអ្នកលក់ដាច់បំផុត ហើយ Fractal ត្រូវបានគេស្គាល់ដល់សាធារណជនទូទៅ។ ភាពជោគជ័យរបស់ពួកគេក្នុងចំណោមអ្នកមិនមែនជាគណិតវិទូគឺភាគច្រើនដោយសារតែការពិតដែលថា ដោយមានជំនួយពីសំណង់ និងរូបមន្តសាមញ្ញបំផុតដែលសូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យក៏អាចយល់បាន រូបភាពនៃភាពស្មុគស្មាញ និងភាពស្រស់ស្អាតដ៏អស្ចារ្យត្រូវបានទទួល។ នៅពេលដែលកុំព្យូទ័រផ្ទាល់ខ្លួនមានថាមពលគ្រប់គ្រាន់ សូម្បីតែទំនោរសិល្បៈទាំងមូលក៏លេចចេញមកដែរ - ការគូររូបប្រភាគ ហើយស្ទើរតែគ្រប់ម្ចាស់កុំព្យូទ័រអាចធ្វើវាបាន។ ឥឡូវនេះនៅលើអ៊ីនធឺណិតអ្នកអាចស្វែងរកគេហទំព័រជាច្រើនយ៉ាងងាយស្រួលដែលឧទ្ទិសដល់ប្រធានបទនេះ។