វគ្គសិក្សាប្រើ ភាសាធរណីមាត្របង្កើតឡើងដោយសញ្ញាណ និងនិមិត្តសញ្ញាដែលបានអនុម័តក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា (ជាពិសេសនៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រថ្មីនៅវិទ្យាល័យ)។
ភាពខុសគ្នានៃការរចនា និងនិមិត្តសញ្ញា ក៏ដូចជាទំនាក់ទំនងរវាងពួកវា អាចត្រូវបានបែងចែកជាពីរក្រុម៖
ក្រុម I - ការរចនានៃតួលេខធរណីមាត្រនិងទំនាក់ទំនងរវាងពួកគេ;
ការរចនាក្រុមទី II នៃប្រតិបត្តិការឡូជីខលដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋានវាក្យសម្ព័ន្ធនៃភាសាធរណីមាត្រ។
ខាងក្រោមនេះគឺជាបញ្ជីពេញលេញនៃនិមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាដែលប្រើក្នុងវគ្គសិក្សានេះ។ ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសគឺត្រូវបានបង់ទៅនិមិត្តសញ្ញាដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ការព្យាករណ៍នៃរាងធរណីមាត្រ។
ក្រុម I
និមិត្តសញ្ញាដែលបានរចនារូបធរណីមាត្រ និងទំនាក់ទំនងរវាងពួកវា
ក.ការកំណត់រាងធរណីមាត្រ
1. តួលេខធរណីមាត្រត្រូវបានតាង - F ។
2. ពិន្ទុត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង ឬលេខអារ៉ាប់៖
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. បន្ទាត់ដែលមានទីតាំងនៅតាមអំពើចិត្តដែលទាក់ទងទៅនឹងប្លង់ព្យាករត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរតូចនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
បន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ: h - ផ្ដេក; f- ផ្នែកខាងមុខ។
សញ្ញាណខាងក្រោមត្រូវបានប្រើសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ៖
(AB) - បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A និង B;
[AB) - កាំរស្មីដែលមានការចាប់ផ្តើមនៅចំណុច A;
[AB] - ផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ដែលចងដោយចំណុច A និង B ។
4. ផ្ទៃត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចនៃអក្ខរក្រមក្រិក៖
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
ដើម្បីបញ្ជាក់ពីរបៀបដែលផ្ទៃត្រូវបានកំណត់ អ្នកគួរបញ្ជាក់ធាតុធរណីមាត្រដែលវាត្រូវបានកំណត់ ឧទាហរណ៍៖
α(a || b) - ប្លង់ α ត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល a និង b;
β(d 1 d 2 gα) - ផ្ទៃ β ត្រូវបានកំណត់ដោយការណែនាំ d 1 និង d 2, generatrix g និងយន្តហោះនៃភាពស្របគ្នាα។
5. មុំត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ:
∠ABC - មុំដែលមានកំពូលនៅចំណុច B ក៏ដូចជា ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Angular: តម្លៃ (រង្វាស់ដឺក្រេ) ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយសញ្ញាដែលត្រូវបានដាក់នៅខាងលើមុំ:
តម្លៃនៃមុំ ABC;
តម្លៃនៃមុំ φ ។
មុំខាងស្តាំត្រូវបានសម្គាល់ដោយការ៉េដែលមានចំណុចនៅខាងក្នុង
7. ចម្ងាយរវាងតួលេខធរណីមាត្រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយផ្នែកបញ្ឈរពីរ - || ។
ឧទាហរណ៍:
|AB| - ចម្ងាយរវាងចំណុច A និង B (ប្រវែងនៃផ្នែក AB);
|Aa| - ចម្ងាយពីចំណុច A ដល់បន្ទាត់ A;
|Aα| - ចម្ងាយពីចំណុច A ដល់ផ្ទៃ α;
|ab| - ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ a និង b;
|αβ| ចម្ងាយរវាងផ្ទៃ α និង β ។
8. សម្រាប់ប្លង់ព្យាករ ការរចនាខាងក្រោមត្រូវបានទទួលយក៖ π 1 និង π 2 ដែល π 1 គឺជាយន្តហោះព្យាករណ៍ផ្ដេក។
π 2 - យន្តហោះនៃការព្យាករ។
នៅពេលជំនួសយន្តហោះព្យាករ ឬណែនាំយន្តហោះថ្មី អក្សរចុងក្រោយតំណាង π 3, π 4 ។ល។
9. អ័ក្សព្យាករត្រូវបានបង្ហាញ: x, y, z ដែល x ជាអ័ក្ស x; y គឺជាអ័ក្ស y; z - អនុវត្តអ័ក្ស។
បន្ទាត់ថេរនៃដ្យាក្រាម Monge ត្រូវបានតាងដោយ k ។
10. ការព្យាករនៃចំណុច បន្ទាត់ ផ្ទៃ តួលេខធរណីមាត្រណាមួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរដូចគ្នា (ឬលេខ) ដូចនឹងអក្សរដើម ជាមួយនឹងការបន្ថែមអក្សរធំដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងយន្តហោះព្យាករដែលពួកគេទទួលបាន៖
A", B", C", D", ... , L", M", N", ការព្យាករផ្តេកនៃចំណុច; A", B", C", D", ... , L", M " , N ", ... ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃចំណុច; a" , b " , c " , d " , ... , l ", m " , n " , - ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃបន្ទាត់; a", b", c", d", ... , l", m " , n " , ... ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃបន្ទាត់; α", β", γ", δ", ..., ζ", η", ν", ... ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃផ្ទៃ; α", β", γ", δ", ..., ζ " ,η",ν",... ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃផ្ទៃ។
11. ដាននៃយន្តហោះ (ផ្ទៃ) ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងផ្ដេក ឬផ្នែកខាងមុខ ជាមួយនឹងការបន្ថែមអក្សរតូច 0α ដោយសង្កត់ធ្ងន់ថាបន្ទាត់ទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ព្យាករ និងជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ (ផ្ទៃ) α។
ដូច្នេះ: h 0α - ដានផ្ដេកនៃយន្តហោះ (ផ្ទៃ) α;
f 0α - ដានផ្នែកខាងមុខនៃយន្តហោះ (ផ្ទៃ) α។
12. ដាននៃបន្ទាត់ត្រង់ (បន្ទាត់) ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរធំដែលចាប់ផ្តើមពាក្យដែលកំណត់ឈ្មោះ (នៅក្នុងការបកប្រែជាភាសាឡាតាំង) នៃយន្តហោះព្យាករដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ដោយមានអក្សរតូចដែលបង្ហាញថាជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់។
ឧទាហរណ៍ៈ H a - ដានផ្ដេកនៃបន្ទាត់ត្រង់ (បន្ទាត់) a;
F a - ដានផ្នែកខាងមុខនៃបន្ទាត់ត្រង់ (បន្ទាត់) ក។
13. លំដាប់នៃចំនុច បន្ទាត់ (នៃរូបណាមួយ) ត្រូវបានសម្គាល់ដោយ subscripts 1,2,3,...,n:
A 1, A 2, A 3, ... , A n ;
a 1, a 2, a 3,...,a n ;
α 1 , α 2 , α 3 , ... , α n ;
F 1 , F 2 , F 3 , ... , F n ។ល។
ការព្យាករជំនួយនៃចំណុចដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងដើម្បីទទួលបានតម្លៃជាក់ស្តែងនៃតួលេខធរណីមាត្រត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដូចគ្នាជាមួយនឹងអក្សរតូច 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
ការព្យាករណ៍ Axonometric
14. ការព្យាករ Axonometric នៃចំណុច បន្ទាត់ ផ្ទៃត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងធម្មជាតិជាមួយនឹងការបន្ថែមអក្សរលើ 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. ការព្យាករបន្ទាប់បន្សំត្រូវបានបង្ហាញដោយបន្ថែមអក្សរធំ 1:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការអានគំនូរនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា ពណ៌ជាច្រើនត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការរចនាសម្ភារៈគំនូរ ដែលនីមួយៗមានអត្ថន័យអត្ថន័យជាក់លាក់៖ បន្ទាត់ខ្មៅ (ចំណុច) បង្ហាញពីទិន្នន័យដំបូង។ ពណ៌បៃតងត្រូវបានប្រើសម្រាប់បន្ទាត់នៃសំណង់ក្រាហ្វិកជំនួយ។ បន្ទាត់ក្រហម (ចំនុច) បង្ហាញពីលទ្ធផលនៃសំណង់ ឬធាតុធរណីមាត្រទាំងនោះ ដែលគួរយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស។
| ទេ | ការកំណត់ | មាតិកា | ឧទាហរណ៍នៃនិមិត្តសញ្ញា |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | ការប្រកួត | (AB) ≡ (CD) - បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A និង B, ស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច C និង D |
| 2 | ≅ | ស្រប | ∠ABC≅∠MNK - មុំ ABC ស្របនឹងមុំ MNK |
| 3 | ∼ | ស្រដៀងគ្នា | ΔABS∼ΔMNK - ត្រីកោណ ABC និង MNK គឺស្រដៀងគ្នា |
| 4 | || | ប៉ារ៉ាឡែល | α||β - យន្តហោះ α គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ β |
| 5 | ⊥ | កាត់កែង | a⊥b - បន្ទាត់ a និង b កាត់កែង |
| 6 | បង្កាត់ពូជ | ជាមួយ d - បន្ទាត់ c និង d ប្រសព្វគ្នា។ | |
| 7 | តង់សង់ | t l - បន្ទាត់ t គឺតង់សង់ទៅបន្ទាត់ l ។ βα - ប្លង់ β តង់សង់ទៅផ្ទៃ α |
|
| 8 | → | ត្រូវបានបង្ហាញ | F 1 → F 2 - តួលេខ F 1 ត្រូវបានគូសនៅលើរូប F 2 |
| 9 | ស | មជ្ឈមណ្ឌលបញ្ចាំង។ ប្រសិនបើមជ្ឈមណ្ឌលព្យាករណ៍មិនមែនជាចំណុចត្រឹមត្រូវទេ ទីតាំងរបស់វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយព្រួញ បង្ហាញពីទិសដៅនៃការព្យាករណ៍ | - |
| 10 | ស | ទិសដៅការព្យាករណ៍ | - |
| 11 | ទំ | ការព្យាករណ៍ប៉ារ៉ាឡែល | p s α ការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល - ការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល ទៅយន្តហោះ α ក្នុងទិសដៅ s |
| ទេ | ការកំណត់ | មាតិកា | ឧទាហរណ៍នៃនិមិត្តសញ្ញា | ឧទាហរណ៍នៃនិមិត្តសញ្ញានិមិត្តសញ្ញានៅក្នុងធរណីមាត្រ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | ឈុត | - | - |
| 2 | A,B,C,... | កំណត់ធាតុ | - | - |
| 3 | { ... } | រួមមាន... | F (A, B, C, ... ) | Ф (A, B, C, ... ) - តួលេខ Ф មានចំណុច A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | សំណុំទទេ | L - ∅ - សំណុំ L គឺទទេ (មិនមានធាតុ) | - |
| 5 | ∈ | ជាកម្មសិទ្ធិរបស់, គឺជាធាតុមួយ។ | 2∈N (ដែល N ជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ) - លេខ 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ N | A ∈ a - ចំនុច A ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ a (ចំណុច A ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ a) |
| 6 | ⊂ | រួមបញ្ចូល, មាន | N⊂M - សំណុំ N គឺជាផ្នែកមួយ (សំណុំរង) នៃសំណុំ M នៃចំនួនសមហេតុផលទាំងអស់។ | a⊂α - បន្ទាត់ a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ α (យល់ក្នុងន័យ៖ សំណុំនៃចំនុចនៃបន្ទាត់ a គឺជាសំណុំរងនៃចំនុចនៃយន្តហោះ α) |
| 7 | ∪ | សមាគមមួយ។ | C \u003d A U B - សំណុំ C គឺជាសហជីពនៃសំណុំ A និង B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - បន្ទាត់ខូច, ABCD គឺ សហជីពនៃផ្នែក [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | ចំនុចប្រសព្វជាច្រើន។ | М=К∩L - សំណុំ М គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំ К និង L (មានធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទាំងសំណុំ K និងសំណុំ L) ។ M ∩ N = ∅- ប្រសព្វនៃសំណុំ M និង N គឺជាសំណុំទទេ (សំណុំ M និង N មិនមានធាតុរួម) | a = α ∩ β - បន្ទាត់ a គឺជាចំនុចប្រសព្វ យន្តហោះ α និង β និង ∩ b = ∅ - បន្ទាត់ a និង b មិនប្រសព្វ (គ្មានចំណុចរួម) |
| ទេ | ការកំណត់ | មាតិកា | ឧទាហរណ៍នៃនិមិត្តសញ្ញា |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | ការភ្ជាប់ប្រយោគ; ទាក់ទងទៅនឹងសហជីព "និង" ។ ប្រយោគ (p∧q) គឺពិតប្រសិនបើ p និង q គឺពិតទាំងពីរ | α∩β = (K:K∈α∧K∈β) ចំនុចប្រសព្វនៃផ្ទៃ α និង β គឺជាសំណុំនៃចំនុច (បន្ទាត់) មានទាំងចំណុចទាំងនោះ ហើយមានតែចំណុច K ដែលជារបស់ផ្ទៃ α និងផ្ទៃ β |
| 2 | ∨ | ការបំបែកប្រយោគ; ទាក់ទងទៅនឹងសហជីព "ឬ" ។ ប្រយោគ (p∨q) true នៅពេលដែលយ៉ាងហោចណាស់ប្រយោគមួយ p ឬ q គឺពិត (ឧទាហរណ៍ p ឬ q ឬទាំងពីរ)។ | - |
| 3 | ⇒ | ការជាប់ពាក់ព័ន្ធគឺជាលទ្ធផលឡូជីខល។ ប្រយោគ p⇒q មានន័យថា "ប្រសិនបើ p នោះ q" | (a||c∧b||c)⇒a||b។ បើបន្ទាត់ពីរស្របទៅនឹងមួយភាគបី នោះវាស្របនឹងគ្នា។ |
| 4 | ⇔ | ប្រយោគ (p⇔q) ត្រូវបានយល់ក្នុងន័យថា "ប្រសិនបើ p បន្ទាប់មក q; ប្រសិនបើ q បន្ទាប់មក p" ។ | А∈α⇔А∈l⊂α។ ចំណុចមួយជារបស់យន្តហោះ បើវាជារបស់បន្ទាត់ខ្លះជារបស់យន្តហោះនោះ។ ការសន្ទនាក៏ជាការពិតផងដែរ៖ ប្រសិនបើចំណុចមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ខ្លះ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ បន្ទាប់មកវាក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះខ្លួនឯងផងដែរ។ |
| 5 | ∀ | អ្នកកំណត់បរិមាណទូទៅអាន៖ សម្រាប់អ្នករាល់គ្នា សម្រាប់អ្នករាល់គ្នា សម្រាប់នរណាម្នាក់។ កន្សោម ∀(x) P(x) មានន័យថា "សម្រាប់ x: ទ្រព្យសម្បត្តិ P(x)" | ∀(ΔABC)(= 180°) សម្រាប់ត្រីកោណណាមួយ (សម្រាប់ណាមួយ) ផលបូកនៃតម្លៃនៃមុំរបស់វា នៅចំណុចកំពូលគឺ 180 ° |
| 6 | ∃ | បរិមាណអត្ថិភាពអានថាៈ មាន។ កន្សោម ∃(x) P(x) មានន័យថា "មាន x ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិ P(x)" | (∀α)(∃a)។ សម្រាប់យន្តហោះαណាមួយមានបន្ទាត់មួយដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះα និងស្របទៅនឹងយន្តហោះ α |
| 7 | ∃1 | អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាពនៃបរិមាណអានថា ៖ មានតែមួយ (-th, -th)... កន្សោម ∃1(x)(Px) មានន័យថា "មានតែមួយគត់ (តែមួយគត់) x, មានទ្រព្យសម្បត្តិ Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) សម្រាប់ចំណុចពីរផ្សេងគ្នា A និង B មានបន្ទាត់តែមួយ a, ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។ |
| 8 | (px) | ការបដិសេធនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) ប្រសិនបើបន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នា នោះគ្មានប្លង់ a ដែលមានពួកវាទេ |
| 9 | \ | សញ្ញាអវិជ្ជមាន | ≠ - ចម្រៀក [AB] មិនស្មើនឹងចម្រៀក .a?b - បន្ទាត់ a មិនស្របនឹងបន្ទាត់ b |
ទំព័រ 1 នៃ 3
§១. ត្រួតពិនិត្យសំណួរ
សំណួរ 1.
ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃរាងធរណីមាត្រ។
ចម្លើយ។ឧទាហរណ៍នៃរាងធរណីមាត្រ៖ ត្រីកោណ ការ៉េ រង្វង់។
សំណួរទី 2 ។ដាក់ឈ្មោះរាងធរណីមាត្រមូលដ្ឋាននៅលើយន្តហោះ។
ចម្លើយ។តួលេខធរណីមាត្រសំខាន់ៗនៅលើយន្តហោះគឺចំណុចនិងបន្ទាត់។
សំណួរទី 3 ។តើចំណុច និងបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?
ចម្លើយ។ពិន្ទុត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរធំឡាតាំង៖ A, B, C, D, ... ។ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចឡាតាំង: a, b, c, d, ... ។
បន្ទាត់មួយអាចត្រូវបានសម្គាល់ដោយចំណុចពីរនៅលើវា។ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ a ក្នុងរូបភាពទី 4 អាចត្រូវបានដាក់ស្លាក AC ហើយបន្ទាត់ b អាចត្រូវបានដាក់ស្លាក BC ។
សំណួរទី 4 ។បង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមាជិកភាពនៃចំណុច និងបន្ទាត់។
ចម្លើយ។មិនថាបន្ទាត់ណាក៏ដោយ មានចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ ហើយចំនុចដែលមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា។
តាមរយៈចំណុចពីរណាមួយ អ្នកអាចគូសបន្ទាត់មួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
សំណួរទី 5 ។ពន្យល់ពីអ្វីដែលផ្នែកដែលបញ្ចប់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ចម្លើយ។ចម្រៀកគឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់នេះដែលស្ថិតនៅចន្លោះចំនុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យរបស់វា។ ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ផ្នែកមួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបង្ហាញពីការបញ្ចប់របស់វា។ នៅពេលពួកគេនិយាយ ឬសរសេរ៖ "ផ្នែក AB" ពួកគេមានន័យថាផ្នែកដែលមានចុងបញ្ចប់នៅចំនុច A និង B ។
សំណួរទី 6 ។បង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃទីតាំងនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។
ចម្លើយ។ក្នុងចំណោមចំណុចទាំងបីនៅលើបន្ទាត់មួយ មួយ និងតែមួយគត់ស្ថិតនៅចន្លោះពីរផ្សេងទៀត។
សំណួរទី 7 ។បង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃផ្នែកវាស់។
ចម្លើយ។ផ្នែកនីមួយៗមានប្រវែងជាក់លាក់ធំជាងសូន្យ។ ប្រវែងនៃផ្នែកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រវែងនៃផ្នែកដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចណាមួយរបស់វា។
សំណួរទី 8 ។តើចម្ងាយរវាងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺជាអ្វី?
ចម្លើយ។ប្រវែងនៃផ្នែក AB ត្រូវបានគេហៅថាចម្ងាយរវាងចំណុច A និង B ។
សំណួរទី 9 ។តើអ្វីទៅជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបំបែកយន្តហោះជាពីរពាក់កណ្តាលយន្តហោះ?
ចម្លើយ។ការបែងចែកយន្តហោះទៅជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកណាមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នា នោះផ្នែកនោះមិនប្រសព្វនឹងបន្ទាត់នោះទេ។ ប្រសិនបើចំនុចបញ្ចប់នៃផ្នែកមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះផ្សេងគ្នា នោះផ្នែកនោះកាត់បន្ទាត់។
ទោះបីជាការពិតថាធរណីមាត្រគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដមួយក៏ដោយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមិនអាចកំណត់និយមន័យពាក្យ "បន្ទាត់ត្រង់" បានទេ។ នៅក្នុងទម្រង់ទូទៅបំផុតរបស់វា មនុស្សម្នាក់អាចផ្តល់និយមន័យដូចខាងក្រោមៈ "បន្ទាត់ត្រង់គឺជាបន្ទាត់ដែលនៅតាមបណ្តោយផ្លូវគឺស្មើនឹងចំងាយរវាងចំនុចពីរ"។
តើអ្វីទៅជាបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា? និយមន័យនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងគណិតវិទ្យា៖ បន្ទាត់ត្រង់មួយគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយអាចបន្តក្នុងទិសដៅទាំងពីររហូតដល់គ្មានកំណត់។
គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្ររួមមាន ចំណុច បន្ទាត់ និងប្លង់ ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្មាននិយមន័យ ប៉ុន្តែនិយមន័យនៃរាងធរណីមាត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈគំនិតទាំងនេះ។ យន្តហោះដូចជាបន្ទាត់ត្រង់ គឺជាគោលគំនិតចម្បងដែលគ្មាននិយមន័យ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ axiom ខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះជាក់លាក់មួយ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់នេះស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខ្លួនវាផ្ទាល់ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទជាធម្មតាមានពីរផ្នែក។
កិច្ចការ៖ តើបន្ទាត់ កាំរស្មី ចម្រៀក ខ្សែកោងនៅឯណា? កំពូលនៃប៉ូលីលីន (ស្រដៀងនឹងកំពូលភ្នំ) គឺជាចំណុចដែលប៉ូលីលីនចាប់ផ្តើម ចំណុចដែលផ្នែកដែលបង្កើតជាប៉ូលីលីនត្រូវបានតភ្ជាប់ ចំណុចដែលប៉ូលីលីនបញ្ចប់។ កិច្ចការ៖ តើប៉ូលីលីនមួយណាវែងជាង ហើយមួយណាមានកំពូលច្រើនជាង? ផ្នែកជាប់គ្នានៃពហុកោណគឺជាតំណភ្ជាប់ជាប់គ្នានៃបន្ទាត់ដែលខូច។ ចំនុចកំពូលនៃពហុកោណ គឺជាចំនុចកំពូលនៃពហុកោណ។ ចំនុចកំពូលជិតខាងគឺជាចំណុចបញ្ចប់នៃផ្នែកម្ខាងនៃពហុកោណ។
នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា អ្នកអាចស្តាប់ការពន្យល់ដូចខាងក្រោមៈ ផ្នែកគណិតវិទ្យាមានប្រវែង និងចុង។ ផ្នែកមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់រវាងចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកមួយ។
នៅពេលអនាគតវានឹងមាននិយមន័យសម្រាប់តួលេខផ្សេងៗគ្នាលើកលែងតែពីរ - ចំណុចមួយនិងបន្ទាត់មួយ។ ដូច្នេះ ពេលខ្លះយើងអាចកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដោយអក្សរឡាតាំងធំពីរ ជាឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ \(AB\) ដោយសារគ្មានបន្ទាត់ត្រង់ផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានគូសតាមចំណុចទាំងពីរនេះទេ។ យើងសរសេរផ្នែក \(AB\) ជានិមិត្តសញ្ញា។
តើអ្វីជាចំណុចក្នុងគណិតវិទ្យា?
ទ្រឹស្តីបទ៖ បន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណគឺស្របទៅនឹងជ្រុងម្ខាងរបស់វា ហើយស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃជ្រុងនោះ។ គ- កម្ពស់នៃត្រីកោណកែងដែលដកចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំ បែងចែកត្រីកោណទៅជាត្រីកោណកែងពីរដែលស្រដៀងគ្នា ដែលនីមួយៗស្រដៀងនឹងត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គ- មុំចារឹកដែលផ្អែកលើរង្វង់ពាក់កណ្តាលជាមុំខាងស្តាំ។ នៅទីនេះត្រូវបានប្រមូលនិយមន័យសំខាន់ៗ ទ្រឹស្តីបទ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃតួលេខនៅលើយន្តហោះ។
វ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេនៃចំណុចត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រធម្មតាវាកាត់កែងទៅបន្ទាត់។
នៅក្នុងការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃធរណីមាត្រ បន្ទាត់ត្រង់ជាធម្មតាត្រូវបានយកជាគោលគំនិតដំបូង ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយប្រយោលដោយ axioms នៃធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះ។
4. បន្ទាត់ត្រង់មិនស្របគ្នាពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ ឬពួកវាស្របគ្នា។ កាំរស្មីគឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចងនៅម្ខាង។ ផ្នែកមួយ ដូចជាបន្ទាត់ត្រង់ ត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរមួយ ឬពីរ។ ក្នុងករណីចុងក្រោយ អក្សរទាំងនេះបង្ហាញពីចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។
នៅក្នុងធរណីមាត្រ តួលេខធរណីមាត្រសំខាន់គឺចំណុច និងបន្ទាត់។ ដើម្បីកំណត់ចំណុច វាជាទម្លាប់ក្នុងការប្រើអក្សរធំឡាតាំង៖ A, B, C, D, E, F…។ ដើម្បីកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ អក្សរឡាតាំងតូចត្រូវបានប្រើ៖ a, b, c, d, e, f ...។ រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់ a និងចំណុចជាច្រើន A, B, C, D ។
ដើម្បីពណ៌នាបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងរូប យើងប្រើបន្ទាត់ ប៉ុន្តែយើងមិនពណ៌នាបន្ទាត់ទាំងមូលទេ គឺមានតែផ្នែកមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដោយសារបន្ទាត់ក្នុងទិដ្ឋភាពរបស់យើងលាតសន្ធឹងដល់គ្មានកំណត់ក្នុងទិសទាំងពីរ នោះបន្ទាត់គឺគ្មានកំណត់។
នៅក្នុងរូបភាពខាងលើ យើងឃើញថាចំណុច A និង C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ ក. ក្នុងករណីបែបនេះយើងនិយាយថាចំណុច A និង C ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ a ។ ឬពួកគេនិយាយថាបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច A និង C. នៅពេលសរសេរ កម្មសិទ្ធិនៃចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយរូបតំណាងពិសេស។ ហើយការពិតដែលថាចំណុចមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រូវបានសម្គាល់ដោយរូបតំណាងដូចគ្នាមានតែកាត់ចេញប៉ុណ្ណោះ។
ក្នុងករណីរបស់យើងចំនុច B និង D មិនមែនជារបស់បន្ទាត់ a ។
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើនៅក្នុងរូបភាពចំណុច A និង C ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ a ។ ផ្នែកនៃបន្ទាត់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៅលើបន្ទាត់នោះដែលស្ថិតនៅចន្លោះចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរត្រូវបានគេហៅថា ចម្រៀក. ម្យ៉ាងវិញទៀត ផ្នែកមួយគឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានពីរចំណុច។
ក្នុងករណីរបស់យើងយើងមានផ្នែកមួយ។ AB. ចំណុច A និង B ត្រូវបានគេហៅថាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ដើម្បីកំណត់ផ្នែកមួយ ចុងបញ្ចប់របស់វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ ក្នុងករណីរបស់យើង AB ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃសមាជិកភាពនៃចំណុច និងបន្ទាត់គឺដូចខាងក្រោម ទ្រព្យសម្បត្តិ៖ តាមរយៈចំណុចពីរណាមួយ អ្នកអាចគូសបន្ទាត់មួយ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរមានចំណុចរួម នោះបន្ទាត់ទាំងពីរត្រូវបានគេនិយាយថាប្រសព្វគ្នា។ នៅក្នុងរូបភាព បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច A. បន្ទាត់ a និង c មិនប្រសព្វគ្នាទេ។
បន្ទាត់ទាំងពីរមានចំណុចរួមតែមួយ ឬគ្មានចំណុចរួម។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាផ្ទុយគ្នា បន្ទាត់ពីរមានចំណុចពីរដូចគ្នា នោះបន្ទាត់ពីរនឹងឆ្លងកាត់ពួកវា។ ប៉ុន្តែនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះមានតែមួយបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចគូសបានពីរចំណុច។
មេ រាងធរណីមាត្រនៅក្នុងយន្តហោះគឺជាចំណុចមួយ និងបន្ទាត់មួយ។ ពិន្ទុជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង៖
A, B, C, D, ... ។
បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចឡាតាំង៖
a, b, c, ឃ
នៅក្នុងរូបភាពទី 3 អ្នកឃើញចំណុច A និងបន្ទាត់ a ។
គ្មានទីបញ្ចប់។ នៅក្នុងរូបភាព យើងពណ៌នាតែផ្នែកនៃបន្ទាត់ត្រង់ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែយើងស្រមៃថាវាត្រូវបានពង្រីកដោយគ្មានកំណត់ក្នុងទិសដៅទាំងពីរ។
សូមមើលរូបភាពទី 4. អ្នកឃើញបន្ទាត់ a, b និងចំនុច A, B, C. ចំនុច A ដល់ C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ a ។ យើងក៏អាចនិយាយបានថា ចំណុច A និង C ជាកម្មសិទ្ធិ ត្រង់ a ឬបន្ទាត់នោះ ឆ្លងកាត់ចំណុច A និង C ។
ចំណុច B ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ ខ។ វាមិនកុហកនៅលើបន្ទាត់ a. ចំណុច C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ ក និង បន្ទាត់ ខ។ បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច C. ចំនុច C គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ a និង b ។
នៅក្នុងរូបភាពទី 5 អ្នកអាចឃើញពីរបៀបដែលបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានគូរដោយប្រើបន្ទាត់ដោយឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ A និង B ។
យើងនឹងហៅលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមថាជាលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃចំណុចនិងបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះ៖
I. មិនថាបន្ទាត់ណាក៏ដោយ មានចំនុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ ហើយចំនុចដែលមិនមែនជារបស់វា។
តាមរយៈចំណុចពីរណាមួយ អ្នកអាចគូសបន្ទាត់មួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
បន្ទាត់មួយអាចត្រូវបានសម្គាល់ដោយចំណុចពីរនៅលើវា។ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ o ក្នុងរូបភាពទី 4 អាចត្រូវបានដាក់ស្លាក AC ហើយបន្ទាត់ b អាចត្រូវបានដាក់ស្លាក BC ។
បញ្ហា (3).
ដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរមានចំនុចប្រសព្វពីរ នោះខ្សែពីរនឹងឆ្លងកាត់ចំនុចទាំងនេះ។ ប៉ុន្តែនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះមានតែមួយបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចគូសបានពីរចំណុច។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ពីរមិនអាចមានចំនុចប្រសព្វពីរបានទេ។
A.V. Pogorelov, ធរណីមាត្រសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7-11, សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ
