ជំរាបសួរនិស្សិតជាទីគោរពនៃសាកលវិទ្យាល័យ Argemony!
ថ្ងៃនេះ យើងនឹងបន្តសិក្សាអំពីការបង្កើតវត្ថុធាតុ។ លើកមុន យើងបានបង្វិលតួរលេខសំប៉ែត និងទទួលបានរូបធាតុបីវិមាត្រ។ ពួកគេខ្លះទាក់ទាញ និងមានប្រយោជន៍ណាស់។ ខ្ញុំគិតថាច្រើនដែលគ្រូមន្តអាគមប្រឌិតអាចប្រើបាននៅពេលអនាគត។
ថ្ងៃនេះយើងនឹងបង្វិលខ្សែកោង។ វាច្បាស់ណាស់ថាតាមវិធីនេះ យើងអាចទទួលបានវត្ថុមួយចំនួនដែលមានគែមស្តើងខ្លាំង (កោណ ឬដបសម្រាប់ដាក់ចាន ថូសម្រាប់ផ្កា កែវសម្រាប់ភេសជ្ជៈ។ល។) ព្រោះខ្សែកោងបង្វិលអាចបង្កើតវត្ថុបែបនេះបាន . នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតដោយការបង្វិលខ្សែកោងយើងអាចទទួលបានប្រភេទនៃផ្ទៃ - បិទនៅគ្រប់ជ្រុងទាំងអស់ឬអត់។ ហេតុអ្វីពេលនេះខ្ញុំនឹកឃើញពែង holey ដែលលោក Sir Shurf Lonley-Lockley ផឹកគ្រប់ពេល។
ដូច្នេះយើងនឹងបង្កើតចានដែលលេចធ្លាយនិងមិនជ្រាបចូលហើយគណនាផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបានបង្កើត។ ខ្ញុំគិតថាសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនវា (ជាទូទៅផ្ទៃខាងលើ) នឹងត្រូវការ - ផងដែរយ៉ាងហោចណាស់សម្រាប់ការលាបថ្នាំលាបវេទមន្តពិសេស។ ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត តំបន់នៃវត្ថុបុរាណវេទមន្តអាចត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាកម្លាំងវេទមន្តដែលបានអនុវត្តចំពោះពួកគេ ឬអ្វីផ្សេងទៀត។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកវា ហើយយើងនឹងរកកន្លែងដែលត្រូវអនុវត្តវា។
ដូច្នេះ បំណែកនៃប៉ារ៉ាបូឡាអាចផ្តល់ឱ្យយើងនូវរូបរាងរបស់ចាន។ ចូរយក y = x 2 សាមញ្ញបំផុតនៅលើចន្លោះពេល។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែលវាបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស OY នោះគ្រាន់តែចានមួយត្រូវបានទទួល។ គ្មានបាត។
អក្ខរាវិរុទ្ធដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃការបង្វិលមានដូចខាងក្រោម:
ទីនេះ |y| គឺជាចម្ងាយពីអ័ក្សនៃការបង្វិលទៅចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោងដែលកំពុងបង្វិល។ ដូចដែលអ្នកដឹង ចម្ងាយគឺកាត់កែង។
ពិបាកបន្តិចជាមួយធាតុទីពីរនៃអក្ខរាវិរុទ្ធ៖ ds គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្នូ។ ពាក្យទាំងនេះមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីនោះទេ ដូច្នេះសូមកុំរំខាន ប៉ុន្តែប្តូរទៅភាសានៃរូបមន្ត ដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់សម្រាប់ករណីទាំងអស់ដែលយើងស្គាល់៖
- ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian;
- កំណត់ត្រានៃខ្សែកោងក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ;
- ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។
សម្រាប់ករណីរបស់យើងចម្ងាយពីអ័ក្សនៃការបង្វិលទៅចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោងគឺ x ។ យើងពិចារណាលើផ្ទៃនៃចានប្រហោងលទ្ធផល៖
ដើម្បីធ្វើចានជាមួយបាត អ្នកត្រូវយកដុំមួយទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងខ្សែកោងផ្សេង៖ នៅចន្លោះពេលនេះគឺជាបន្ទាត់ y=1។
វាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលដែលវាបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស OY បាតនៃចាននឹងត្រូវបានទទួលក្នុងទម្រង់ជារង្វង់នៃកាំឯកតា។ ហើយយើងដឹងពីរបៀបដែលផ្ទៃដីនៃរង្វង់ត្រូវបានគណនា (យោងតាមរូបមន្ត pi * r ^ 2 ។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង តំបន់នៃរង្វង់នឹងស្មើនឹង pi) ប៉ុន្តែយើងនឹងគណនាវា ដោយប្រើរូបមន្តថ្មី - សម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់។
ចម្ងាយពីអ័ក្សរង្វិលទៅចំណុចណាមួយនៃខ្សែកោងនេះក៏ជា x ដែរ។
ជាការប្រសើរណាស់, ការគណនារបស់យើងគឺត្រឹមត្រូវ, ដែលពេញចិត្ត។
ហើយឥឡូវនេះ កិច្ចការផ្ទះ.
1. រកផ្ទៃផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលប៉ូលីលីន ABC ដែល A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2) ជុំវិញអ័ក្ស OX ។
ដំបូន្មាន។ កត់ត្រាផ្នែកទាំងអស់ក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC៖ x=t, y=2, 1≤t≤6
និយាយអីញ្ចឹងតើធាតុលទ្ធផលមើលទៅដូចអ្វី?
2. ឥឡូវមកជាមួយអ្វីមួយដោយខ្លួនឯង។ ខ្ញុំគិតថាបីមុខគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។
ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍- ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងកំឡុងពេលបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ (អ័ក្សផ្ទៃ) នៃបន្ទាត់បំពាន (ខ្សែកោងត្រង់ រាបស្មើ ឬលំហ)។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់កាត់អ័ក្សរង្វិលនោះ ក្នុងអំឡុងពេលបង្វិលរបស់វា ផ្ទៃរាងសាជីនឹងត្រូវបានទទួល ប្រសិនបើវាស្របទៅនឹងអ័ក្ស - រាងស៊ីឡាំង ប្រសិនបើវាប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស - អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតនៃបដិវត្តមួយសន្លឹក។ ផ្ទៃដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយការបង្វិលខ្សែកោងជាច្រើនប្រភេទ។ ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោងយន្តហោះនៃប្រវែងកំណត់អំពីអ័ក្សដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនៃខ្សែកោងប៉ុន្តែមិនប្រសព្វខ្សែកោងគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃខ្សែកោង និង ប្រវែងនៃរង្វង់ដែលមានកាំស្មើនឹងចម្ងាយពីអ័ក្សទៅកណ្តាលម៉ាស់នៃខ្សែកោង។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទទីពីររបស់ Hulden ឬទ្រឹស្តីបទកណ្តាលរបស់ Pappus ។
ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោងអំពីអ័ក្សអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល រូបមន្តមានសុពលភាព
កម្មវិធីមេកានិកនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ (ការងារនៃកម្លាំង, គ្រាឋិតិវន្ត, ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ) ។
ការគណនានៃការងាររបស់កងកម្លាំង
ចំណុចសម្ភារៈផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោងដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់ ខណៈពេលដែលកម្លាំងមួយធ្វើសកម្មភាពលើវា ដឹកនាំតង់សង់ទៅគន្លងក្នុងទិសដៅនៃចលនា។ ការងារសរុបដែលធ្វើដោយកម្លាំង F(s)៖
ប្រសិនបើទីតាំងនៃចំណុចមួយនៅលើគន្លងចលនាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀត នោះរូបមន្តមានទម្រង់៖
ការគណនានៃគ្រាឋិតិវន្ត និងចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ
អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាស់ M មួយចំនួនត្រូវបានចែកចាយនៅលើយន្តហោះសំរបសំរួល Oxy ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេ p = p(y) នៅលើសំណុំមួយចំនួននៃចំណុច S (នេះអាចជាធ្នូនៃខ្សែកោង ឬជាតួលេខរាបស្មើ)។ សម្គាល់ s (y) - រង្វាស់នៃសំណុំដែលបានបញ្ជាក់ (ប្រវែងធ្នូឬតំបន់) ។
និយមន័យ 2. លេខ ត្រូវបានគេហៅថាពេល k-th នៃម៉ាស់ M អំពីអ័ក្សអុក។
នៅ k \u003d 0 M 0 \u003d M គឺជាម៉ាស់
k \u003d 1 M 1 - ពេលឋិតិវន្ត,
k \u003d 2 M 2 - ពេលនៃនិចលភាព។
ពេលវេលាអំពីអ័ក្ស Oy ត្រូវបានណែនាំស្រដៀងគ្នា។ នៅក្នុងលំហ គោលគំនិតនៃគ្រានៃម៉ាស់ ទាក់ទងនឹងយន្តហោះសំរបសំរួលត្រូវបានណែនាំតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។
ប្រសិនបើ p = 1 នោះគ្រាដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាធរណីមាត្រ។ កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃតួលេខផ្ទះល្វែងដូចគ្នា (p - const) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
ដែល M 1 y , M 1 x - គ្រាឋិតិវន្តធរណីមាត្រនៃតួលេខអំពីអ័ក្ស Oy និង Ox; S គឺជាតំបន់នៃរូប។
ដូច្នេះ ខ្ញុំនឹងបន្តទៅគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។
សូមក្រឡេកមើលរូបភាពសាមញ្ញ
ហើយចងចាំ: អ្វីដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់?
ជាដំបូងនៃការទាំងអស់, ជាការពិតណាស់, តំបន់នៃ trapezoid កោងមួយ។. ស្គាល់តាំងពីរៀន។
ប្រសិនបើតួលេខនេះបង្វិលជុំវិញអ័ក្សកូអរដោនេ នោះយើងកំពុងនិយាយអំពីការស្វែងរករួចហើយ រាងកាយនៃបដិវត្តន៍. វាក៏សាមញ្ញផងដែរ។
តើមានអ្វីផ្សេងទៀត? បានពិនិត្យថ្មីៗ បញ្ហាប្រវែងធ្នូ .
ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបគណនាលក្ខណៈមួយបន្ថែមទៀត - តំបន់មួយបន្ថែមទៀត។ ស្រមៃមើលបន្ទាត់នោះ។ បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស។ ជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនេះ, តួលេខធរណីមាត្រមួយត្រូវបានទទួល, ហៅថា ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍. ក្នុងករណីនេះវាប្រហាក់ប្រហែលនឹងសក្តានុពលបែបនេះដោយគ្មានបាត។ ហើយគ្មានគម្រប។ ដូចដែលសត្វលា Eeyore នឹងនិយាយ ការមើលឃើញដ៏ក្រៀមក្រំ =)
ដើម្បីលុបបំបាត់ការបកស្រាយមិនច្បាស់លាស់ ខ្ញុំនឹងធ្វើការបកស្រាយដែលគួរឱ្យធុញ ប៉ុន្តែសំខាន់៖
តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ "សក្តានុពល" របស់យើងមាន ស្តើងគ្មានកំណត់ជញ្ជាំង និង ពីរផ្ទៃដែលមានផ្ទៃដូចគ្នា - ខាងក្រៅនិងខាងក្នុង។ ដូច្នេះការគណនាបន្ថែមទៀតទាំងអស់បញ្ជាក់ពីតំបន់ ផ្ទៃខាងក្រៅតែប៉ុណ្ណោះ.
នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ ផ្ទៃនៃការបង្វិលត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ឬបង្រួម៖ .
តម្រូវការដូចគ្នាត្រូវបានដាក់លើមុខងារនិងដេរីវេរបស់វាដូចជានៅពេលស្វែងរក ប្រវែងអ័ក្សកោងប៉ុន្តែលើសពីនេះ ខ្សែកោងត្រូវតែមានទីតាំង ខ្ពស់ជាងអ័ក្ស។ នេះជាការចាំបាច់! វាងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាប្រសិនបើបន្ទាត់ស្ថិតនៅ ក្រោមអ័ក្ស បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលនឹងអវិជ្ជមាន៖ ដូច្នេះហើយ សញ្ញាដកនឹងត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងរូបមន្ត ដើម្បីរក្សាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃបញ្ហា។
ពិចារណាលើតួលេខដែលមើលរំលងមិនសមគួរ៖
ផ្ទៃនៃ torus មួយ។
នៅក្នុងការសង្ខេប, tor គឺជានំដូណាត់. ឧទាហរណ៍នៃសៀវភៅសិក្សាដែលត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាស្ទើរតែទាំងអស់គឺត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរក កម្រិតសំឡេង torus ហើយដូច្នេះសម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពខុសគ្នាខ្ញុំនឹងវិភាគបញ្ហាដ៏កម្រនៃ ផ្ទៃរបស់វា។. ទីមួយជាមួយនឹងតម្លៃលេខជាក់លាក់៖
ឧទាហរណ៍ ១
គណនាផ្ទៃនៃ torus ដែលទទួលបានដោយការបង្វិលរង្វង់មួយ។ ជុំវិញអ័ក្ស។
ដំណោះស្រាយ៖ តើអ្នកដឹងសមីការដោយរបៀបណា សំណុំ រង្វង់កាំឯកតានៅចំកណ្តាល។ វាធ្វើឱ្យមានភាពងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានមុខងារពីរ៖
- កំណត់ពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ;
- កំណត់ពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងក្រោម៖
ខ្លឹមសារគឺច្បាស់៖ រង្វង់បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស x និងទម្រង់ ផ្ទៃ bagel ។ រឿងតែមួយគត់នៅទីនេះ ដើម្បីជៀសវាងការកក់សរុបគឺត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នក្នុងវាក្យស័ព្ទ៖ ប្រសិនបើអ្នកបង្វិល រង្វង់, រុំព័ទ្ធដោយរង្វង់មួយ។ បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានធរណីមាត្រ រាងកាយនោះគឺ bagel ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ហើយឥឡូវនេះនិយាយអំពីការ៉េ ផ្ទៃដែលជាក់ស្តែងចាំបាច់ត្រូវគណនាជាផលបូកនៃតំបន់៖
1) ស្វែងរកផ្ទៃដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលធ្នូ "ពណ៌ខៀវ" ជុំវិញអ័ក្ស x ។ យើងប្រើរូបមន្ត . ដូចដែលខ្ញុំបានណែនាំម្តងហើយម្តងទៀត វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពជាដំណាក់កាល៖
យើងយកមុខងារមួយ។ ហើយស្វែងរកវា។ ដេរីវេ:
ហើយចុងក្រោយ យើងផ្ទុកលទ្ធផលទៅក្នុងរូបមន្ត៖
ចំណាំថាក្នុងករណីនេះវាប្រែទៅជាសមហេតុផលជាង ទ្វេដងនៃអាំងតេក្រាលនៃមុខងារគូនៅក្នុងដំណើរនៃដំណោះស្រាយ ជាជាងការពិភាក្សាជាមុនអំពីស៊ីមេទ្រីនៃតួលេខដោយគោរពតាមអ័ក្ស y ។
2) ស្វែងរកផ្ទៃដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលធ្នូ "ក្រហម" ជុំវិញអ័ក្ស x ។ សកម្មភាពទាំងអស់នឹងខុសគ្នាតាមការពិតដោយសញ្ញាតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ខ្ញុំនឹងរចនាដំណោះស្រាយក្នុងរចនាប័ទ្មខុសគ្នា ដែលជាការពិតក៏មានសិទ្ធិរស់រានមានជីវិតផងដែរ៖
3) ដូច្នេះផ្ទៃនៃ torus:
ចម្លើយ:
បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទូទៅមួយ - ដើម្បីគណនាផ្ទៃក្រឡាដែលបានទទួលដោយការបង្វិលរង្វង់ជុំវិញអ័ក្ស abscissa និងទទួលបានចម្លើយ។ . ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់និងភាពសាមញ្ញជាងនេះខ្ញុំបានអនុវត្តដំណោះស្រាយលើលេខជាក់លាក់។
ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគណនាបរិមាណនៃនំដូណាត់ដោយខ្លួនឯង សូមយោងទៅការបង្រៀនជាឯកសារយោងរហ័ស៖
យោងទៅតាមទ្រឹស្តីយើងពិចារណាលើពាក់កណ្តាលរង្វង់។ វាត្រូវបាន "គូរ" នៅពេលផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រខាងក្នុង (វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញ នៅចន្លោះពេលនេះ) ដូច្នេះ៖
ចម្លើយ:
ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងន័យទូទៅ យើងទទួលបានយ៉ាងពិតប្រាកដនូវរូបមន្តរបស់សាលាសម្រាប់តំបន់នៃស្វ៊ែរ ដែលកាំរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់ណា។
បញ្ហាសាមញ្ញៗឈឺចាប់ សូម្បីតែមានអារម្មណ៍ខ្មាស…. ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកជួសជុលកំហុសនេះ =)
ឧទាហរណ៍ 4
គណនាផ្ទៃដីដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូដំបូងនៃស៊ីក្លូនៅជុំវិញអ័ក្ស។
ភារកិច្ចគឺច្នៃប្រឌិត។ ព្យាយាមកាត់ឬបញ្ចូលរូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលខ្សែកោងជុំវិញអ័ក្ស y ។ ហើយជាការពិតណាស់អត្ថប្រយោជន៍នៃសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ម្តងទៀត - ពួកគេមិនចាំបាច់ត្រូវបានកែប្រែដូចម្ដេចទេ។ មិនចាំបាច់រំខានជាមួយនឹងការស្វែងរកដែនកំណត់ផ្សេងទៀតនៃការរួមបញ្ចូលទេ។
ក្រាហ្វស៊ីក្លូអាចត្រូវបានមើលនៅលើទំព័រ តំបន់ និងកម្រិតសំឡេង ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ. ផ្ទៃនៃការបង្វិលនឹងស្រដៀងនឹង ... ខ្ញុំមិនដឹងថាត្រូវប្រៀបធៀបវាជាមួយអ្វី ... អ្វីមួយដែលមិនគួរឱ្យជឿ - មានរាងមូលជាមួយនឹងការធ្លាក់ទឹកចិត្តចង្អុលនៅកណ្តាល។ នៅទីនេះសម្រាប់ករណីនៃការបង្វិលស៊ីក្លូនៅជុំវិញអ័ក្ស សមាគមបាននឹកឃើញភ្លាមៗ - បាល់បាល់អោបរាងពងក្រពើ។
ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍របស់យើងជាមួយនឹងករណីមួយ។ កូអរដោណេប៉ូល។. បាទ វាជាការពិនិត្យឡើងវិញ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលសៀវភៅសិក្សាអំពីការវិភាគគណិតវិទ្យា (ដោយ Fikhtengolts Bokhan Piskunov និងអ្នកនិពន្ធផ្សេងទៀត) អ្នកអាចទទួលបានគំរូស្ដង់ដារល្អជាច្រើន (ឬគួរឱ្យកត់សម្គាល់ជាងនេះ) ក្នុងចំណោមនោះវាពិតជាអាចទៅរួចដែលអ្នក នឹងស្វែងរកបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវការ។
របៀបគណនាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍,
ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល?
ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ កូអរដោណេប៉ូល។សមីការ ហើយអនុគមន៍មានដេរីវេបន្តនៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ បន្ទាប់មកផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលខ្សែកោងនេះជុំវិញអ័ក្សប៉ូលត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត តើតម្លៃមុំដែលត្រូវគ្នានឹងចុងខ្សែកោងត្រង់ណា។
អនុលោមតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃបញ្ហាគឺអាំងតេក្រាល។ ហើយនេះត្រូវបានសម្រេចបានលុះត្រាតែ (និងត្រូវបានគេស្គាល់ថាមិនអវិជ្ជមាន)។ ដូច្នេះ ចាំបាច់ត្រូវគិតគូរពីតម្លៃមុំពីជួរ បើនិយាយម្យ៉ាងទៀត ខ្សែកោងគួរតែស្ថិតនៅ ខ្ពស់ជាងអ័ក្សប៉ូល និងផ្នែកបន្ថែមរបស់វា។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញរឿងដូចគ្នានឹងកថាខណ្ឌពីរមុនដែរ។
ឧទាហរណ៍ 5
គណនាផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃ cardioid ជុំវិញអ័ក្សប៉ូល។
ដំណោះស្រាយ៖ ក្រាហ្វនៃខ្សែកោងនេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 6 នៃមេរៀនអំពី ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។. cardioid គឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សប៉ូល ដូច្នេះយើងពិចារណាពាក់កណ្តាលខាងលើរបស់វានៅលើគម្លាត (ដែលតាមពិតទៅក៏ដោយសារតែការកត់សម្គាល់ខាងលើដែរ)។
ផ្ទៃនៃការបង្វិលនឹងស្រដៀងនឹង bullseye ។
បច្ចេកទេសនៃដំណោះស្រាយគឺស្តង់ដារ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទាក់ទងនឹង "ភី"៖
តែង និងសម្រួលឫស៖
ខ្ញុំសង្ឃឹមជាមួយនឹងលេខលើស
5. ការស្វែងរកផ្ទៃនៃសាកសពនៃបដិវត្តន៍
សូមឲ្យខ្សែកោង AB ជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) ≥ 0 ដែល x [a; b] ហើយមុខងារ y \u003d f (x) និងដេរីវេរបស់វា y "\u003d f" (x) គឺបន្តនៅលើផ្នែកនេះ។
ចូរយើងស្វែងរកតំបន់ S នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោង AB ជុំវិញអ័ក្សអុក (រូបភាពទី 8)។
យើងអនុវត្តគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។
តាមរយៈចំណុចបំពាន x [a; b] ចូរយើងគូរប្លង់ P កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Ox ។ យន្តហោះ P កាត់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍តាមរង្វង់ដែលមានកាំ y - f(x) ។ តម្លៃ S នៃផ្ទៃនៃផ្នែកនៃរូបបដិវត្តន៍ដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃយន្តហោះគឺជាមុខងារនៃ x, i.e. s = s(x) (s(a) = 0 និង s(b) = S) ។
ចូរផ្តល់អាគុយម៉ង់ x បង្កើន Δх = dх ។ តាមរយៈចំនុច x + dx [a; b] ក៏គូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ។ អនុគមន៍ s = s(x) នឹងទទួលបានការកើនឡើង Δs ដែលបង្ហាញក្នុងរូបជា "ខ្សែក្រវ៉ាត់"។
ចូរយើងស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃតំបន់ ds ដោយជំនួសតួរលេខដែលបង្កើតរវាងផ្នែកដោយកោណដែលកាត់ឱ្យខ្លី generatrix ដែលស្មើនឹង dl ហើយរ៉ាឌីនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹង y និង y + dy ។ ផ្ទៃក្រោយរបស់វាគឺ៖ = 2ydl + dydl ។
ការបោះបង់ផលិតផល dу d1 ជាលំដាប់ខ្ពស់ជាង ds ដែលមិនអាចកំណត់បាន យើងទទួលបាន ds = 2уdl ឬចាប់តាំងពី d1 = dx ។
ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x = a ដល់ x = b យើងទទួលបាន
ប្រសិនបើខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t នោះរូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍នឹងក្លាយជា
S=2 dt
ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកផ្ទៃនៃលំហនៃកាំ R ។
S=2 =
6. ការស្វែងរកការងាររបស់កម្លាំងអថេរ
ការងារកម្លាំងអថេរ
អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចសម្ភារៈ M ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សអុក ក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងអថេរ F = F(x) ដែលដឹកនាំស្របទៅនឹងអ័ក្សនេះ។ ការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងនៅពេលផ្លាស់ទីចំណុច M ពីទីតាំង x = a ទៅទីតាំង x = b (a
តើការងារអ្វីដែលត្រូវធ្វើដើម្បីលាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ 0.05 ម៉ែត្រប្រសិនបើកម្លាំង 100 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ 0.01 ម៉ែត្រ?
យោងតាមច្បាប់របស់ Hooke កម្លាំងយឺតដែលលាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវគឺសមាមាត្រទៅនឹងការលាតសន្ធឹងនេះ x, i.e. F = kx ដែល k ជាមេគុណសមាមាត្រ។ យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាកម្លាំង F = 100 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ x = 0.01 m; ដូច្នេះ 100 = k 0.01, wherece k = 10000; ដូច្នេះ F = 10000x ។
ការងារដែលចង់បានដោយផ្អែកលើរូបមន្ត
ក =
ស្វែងរកការងារដែលត្រូវតែចំណាយដើម្បីបូមរាវពីលើគែមពីធុងស៊ីឡាំងបញ្ឈរដែលមានកម្ពស់ H m និងកាំមូលដ្ឋាន R m (រូបភាព 13) ។
ការងារដែលចំណាយលើការលើកទម្ងន់ p ដល់កម្ពស់ h គឺស្មើនឹង p H ។ ប៉ុន្តែស្រទាប់ផ្សេងគ្នានៃអង្គធាតុរាវនៅក្នុងអាងស្តុកទឹកគឺនៅជម្រៅខុសៗគ្នា និងកម្ពស់នៃការកើនឡើង (ដល់គែមនៃអាងស្តុកទឹក) នៃ ស្រទាប់ផ្សេងគ្នាគឺមិនដូចគ្នាទេ។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាយើងអនុវត្តគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។ យើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។
1) ការងារចំណាយលើការបូមចេញស្រទាប់នៃរាវនៃកម្រាស់ x (0 ≤ x ≤ H) ពីធុងគឺជាមុខងារនៃ x, i.e. A \u003d A (x), ដែល (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0) ។
2) យើងរកឃើញផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើង ΔA នៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរដោយ Δx = dx, i.e. យើងរកឃើញឌីផេរ៉ង់ស្យែល dA នៃអនុគមន៍ A(x)។
នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃភាពតូចនៃ dx យើងសន្មត់ថាស្រទាប់រាវ "បឋម" គឺនៅជម្រៅដូចគ្នា x (ពីគែមនៃអាងស្តុកទឹក) ។ បន្ទាប់មក dА = dрх ដែល dр គឺជាទម្ងន់នៃស្រទាប់នេះ; វាស្មើនឹង g AV ដែល g គឺជាការបង្កើនល្បឿននៃទំនាញ គឺជាដង់ស៊ីតេនៃអង្គធាតុរាវ dv គឺជាបរិមាណនៃស្រទាប់រាវ "បឋម" (វាត្រូវបានគូសបញ្ជាក់ក្នុងរូប) ឧ។ dr = g ។ បរិមាណនៃស្រទាប់រាវនេះគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹង ដែល dx គឺជាកម្ពស់នៃស៊ីឡាំង (ស្រទាប់) គឺជាផ្ទៃនៃមូលដ្ឋានរបស់វា ឧ។ dv = ។
ដូច្នេះ dр = ។ និង
3) ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x \u003d 0 ដល់ x \u003d H យើងរកឃើញ
ក
8. ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើកញ្ចប់ MathCAD
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្តមួយចំនួនវាត្រូវបានទាមទារឱ្យប្រើប្រតិបត្តិការនៃការរួមបញ្ចូលនិមិត្តសញ្ញា។ ក្នុងករណីនេះ កម្មវិធី MathCad អាចមានប្រយោជន៍ទាំងនៅដំណាក់កាលដំបូង (វាជាការល្អក្នុងការដឹងចម្លើយជាមុន ឬដឹងថាវាមាន) និងនៅដំណាក់កាលចុងក្រោយ (វាជាការល្អក្នុងការពិនិត្យមើលលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយប្រើចម្លើយពីមួយផ្សេងទៀត។ ប្រភព ឬដំណោះស្រាយរបស់អ្នកដទៃ)។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនធំ អ្នកអាចកត់សម្គាល់លក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើកម្មវិធី MathCad ។ ចូរយើងព្យាយាមយល់ពីរបៀបដែលកម្មវិធីនេះដំណើរការជាមួយឧទាហរណ៍មួយចំនួនវិភាគដំណោះស្រាយដែលទទួលបានដោយមានជំនួយរបស់វាហើយប្រៀបធៀបដំណោះស្រាយទាំងនេះជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត។
បញ្ហាចម្បងនៅពេលប្រើកម្មវិធី MathCad មានដូចខាងក្រោម៖
ក) កម្មវិធីនេះផ្តល់ចម្លើយមិនមែនក្នុងទម្រង់នៃមុខងារបឋមដែលធ្លាប់ស្គាល់នោះទេ ប៉ុន្តែជាទម្រង់មុខងារពិសេសដែលនៅឆ្ងាយពីមនុស្សគ្រប់គ្នាស្គាល់។
ខ) ក្នុងករណីខ្លះ "បដិសេធ" មិនផ្តល់ចម្លើយ ទោះបីជាបញ្ហាមានដំណោះស្រាយក៏ដោយ។
គ) ពេលខ្លះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយសារតែភាពធំរបស់វា។
ឃ) ដោះស្រាយបញ្ហាមិនពេញលេញ និងមិនវិភាគដំណោះស្រាយ។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ ចាំបាច់ត្រូវប្រើចំណុចខ្លាំង និងចំណុចខ្សោយរបស់កម្មវិធី។
ជាមួយនឹងជំនួយរបស់វា វាងាយស្រួល និងសាមញ្ញក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។ ដូច្នេះ វាត្រូវបានណែនាំអោយប្រើវិធីជំនួសអថេរ i.e. រៀបចំអាំងតេក្រាលសម្រាប់ដំណោះស្រាយជាមុន។ សម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ ការជំនួសដែលបានពិភាក្សាខាងលើអាចត្រូវបានប្រើ។ វាក៏គួរត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវតែពិនិត្យរកមើលភាពចៃដន្យនៃដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារដើម និងលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ លើសពីនេះ ដំណោះស្រាយដែលទទួលបានមួយចំនួនត្រូវការការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។
កម្មវិធី MathCad ដោះលែងសិស្ស ឬអ្នកស្រាវជ្រាវពីការងារធម្មតា ប៉ុន្តែមិនអាចដោះលែងគាត់ពីការវិភាគបន្ថែមទាំងនៅពេលកំណត់បញ្ហា និងនៅពេលទទួលបានលទ្ធផលណាមួយ។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ បទប្បញ្ញត្តិសំខាន់ៗដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីការប្រើប្រាស់អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាត្រូវបានពិចារណា។
- ការវិភាគលើមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលត្រូវបានអនុវត្ត។
- សម្ភារៈត្រូវបានទទួលរងនូវការរៀបចំជាប្រព័ន្ធ និងទូទៅ។
ក្នុងអំឡុងពេលនៃការងារនេះឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាក់ស្តែងនៅក្នុងវិស័យរូបវិទ្យាធរណីមាត្រមេកានិចត្រូវបានពិចារណា។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាក់ស្តែងដែលបានពិចារណាខាងលើផ្តល់ឱ្យយើងនូវគំនិតច្បាស់លាស់អំពីសារៈសំខាន់នៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយសម្រាប់ការដោះស្រាយរបស់ពួកគេ។
វាពិបាកក្នុងការដាក់ឈ្មោះតំបន់វិទ្យាសាស្ត្រដែលវិធីសាស្ត្រនៃការគណនាអាំងតេក្រាល ជាទូទៅ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ជាពិសេសនឹងមិនត្រូវបានអនុវត្តទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើការងារវគ្គសិក្សា យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាក់ស្តែងក្នុងវិស័យរូបវិទ្យា ធរណីមាត្រ មេកានិច ជីវវិទ្យា និងសេដ្ឋកិច្ច។ ជាការពិតណាស់ នេះមិនមែនជាបញ្ជីវិទ្យាសាស្ត្រពេញលេញទេ ដែលប្រើវិធីសាស្ត្រអាំងតេក្រាល ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃកំណត់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយ និងដើម្បីបង្កើតការពិតខាងទ្រឹស្តី។
ផងដែរ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលនៅក្នុងវេនធ្វើឱ្យមានការរួមចំណែកមិនអាចខ្វះបានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ យើងអាចនិយាយបានថា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ គឺជាប្រភេទនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះ សារៈសំខាន់នៃការដឹងពីរបៀបដោះស្រាយពួកគេ។
ពីអ្វីទាំងអស់ខាងលើនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាហេតុអ្វីបានជាការស្គាល់អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់កើតឡើងសូម្បីតែនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃអនុវិទ្យាល័យ ដែលសិស្សសិក្សាមិនត្រឹមតែគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្មវិធីមួយចំនួនផងដែរ។
អក្សរសាស្ត្រ
1. Volkov E.A. វិធីសាស្រ្តលេខ។ M., Nauka, 1988 ។
2. Piskunov N.S. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងអាំងតេក្រាល។ M., Integral-Press, 2004. T. 1.
3. Shipachev V.S. គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ M. , វិទ្យាល័យ ឆ្នាំ 1990 ។
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តសម្រាប់បរិមាណនៃរាងកាយមួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែល។
ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកបរិមាណរាងអេលីប x 2 + y 2 + z 2 = 1 ។ a 2b 2c ២
ការកាត់រាងពងក្រពើជាមួយយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ Oyz ហើយនៅចម្ងាយពីវា (-a ≤ x ≤ a) យើងទទួលបានរាងពងក្រពើ (សូមមើលរូបភាពទី 15)៖
តំបន់នៃរាងពងក្រពើនេះគឺ
S(x) = π bc1 | ||||
ដូច្នេះយោងតាមរូបមន្ត (១៦) យើងមាន
ការគណនាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍
អនុញ្ញាតឱ្យខ្សែកោង AB ជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ≥ 0 ដែល x [a, b] អនុគមន៍ y \u003d f (x) និងដេរីវេរបស់វា y "\u003d f" (x) គឺ បន្តលើផ្នែកនេះ។
បន្ទាប់មកផ្ទៃ S នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោង AB ជុំវិញអ័ក្ស Ox ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
2 π | 1 +(y ′) 2 dx ។ |
||||
ប្រសិនបើខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤t ≤t 2 នោះរូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃការបង្វិលមានទម្រង់
S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt ។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកផ្ទៃនៃលំហនៃកាំ R. ដំណោះស្រាយ៖
យើងអាចសន្មត់ថាផ្ទៃនៃបាល់ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់ y \u003d R 2 - x 2, - R ≤x ≤R ជុំវិញអ័ក្សОх។ តាមរូបមន្ត (19) យើងរកឃើញ
− x | ||||||||
ស = ២ | R2−x21 + | dx= |
||||||
− x | ||||||||
- រ |
2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx = 2 π Rx− R R = 4 π R2 ។
- រ
ឧទាហរណ៍។ ផ្តល់ស៊ីក្លូ x = a (t − sin t) , 0 ≤ t ≤ 2 π ។ y = a (1− cost) ,
ស្វែងរកតំបន់នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលរបស់វាអំពីអ័ក្ស x ។ ដំណោះស្រាយ៖
នៅពេលដែលពាក់កណ្តាលនៃធ្នូនៃស៊ីក្លូវិលជុំវិញអ័ក្សអុក ផ្ទៃនៃការបង្វិលគឺស្មើនឹង
1S x | 2π π ∫ a (1− ចំណាយ) | (a(1 − cos t)) 2 + (asin t) 2 dt = | ||||||||||||||||||||||||||||||
2π ∫ π a ២ | 2 sin2 t | 2 តម្លៃ + cos2 | t + sin 2 tdt = | |||||||||||||||||||||||||||||
4 π a 2 | π ∫ sin2 | 2 2sin2 t dt = 8π a 2 | π ∫ sin2 t | បាប t | dt = | |||||||||||||||||||||||||||
= −8 π a 2 ∫ | - ខូស | ឌីកូស | = − 16 π ក | |||||||||||||||||||||||||||||
32π ក | ||||||||||||||||||||||||||||||||
= −16 π ក | 0 − | 1− 0+ | = −16 π ក | |||||||||||||||||||||||||||||
1 S x = 32 π a 2 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ | 64 π a 2 . | |||||||||||||||||||||||||||||||
ការគណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោង Planar
កូអរដោណេចតុកោណ
អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងធ្នូមួយ នៅពេលដែលចំនួននៃតំណភ្ជាប់នៃប៉ូលីលីនកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់ ហើយប្រវែងនៃកូអរដោនេចតុកោណកែងធំបំផុតគឺជាខ្សែកោងយន្តហោះ AB សមីការគឺ y \u003d f (x) ដែលជាកន្លែងដែល a ≤ x ≤ b .
ប្រវែងនៃធ្នូ AB ត្រូវបានគេយល់ថាជាដែនកំណត់ដែលប្រវែងនៃបន្ទាត់ដែលខូចដែលបានចារឹកនៅក្នុងតំណភ្ជាប់នេះមានទំនោរទៅសូន្យ។ ចូរយើងបង្ហាញថាប្រសិនបើអនុគមន៍ y \u003d f (x) និងដេរីវេរបស់វា y′ = f′ (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a, b] នោះខ្សែកោង AB មានប្រវែងស្មើនឹង
ប្រសិនបើសមីការនៃខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
x = x(t), α ≤ t ≤ β, y = y(t),
ដែល x (t) និង y (t) គឺជាអនុគមន៍បន្តជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុបន្ត និង x (α) \u003d a, x (β) \u003d b បន្ទាប់មកប្រវែង l នៃខ្សែកោង AB ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt ។ = R arcsin | π . |
|||||||||||
− x | ||||||||||||
ដូច្នេះ l = 2π R. ប្រសិនបើសមីការរង្វង់ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ = R តម្លៃ y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ) បន្ទាប់មក
(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt = Rt0 2 π = 2 π R ។ |
|
l = ∫ |
|
កូអរដោណេប៉ូឡា
សូមអោយខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការក្នុងប៉ូលកូអរដោណេ r = r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β ។ សន្មត់ថា r (ϕ ) និង r " (ϕ ) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [α ,β] ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាព x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, ការតភ្ជាប់ប៉ូល និងកូអរដោណេ Cartesian,
ពិចារណាមុំ ϕ ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាប់មកខ្សែកោង AB អាចត្រូវបានកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = r (ϕ ) cos ϕ ,
y = r (ϕ) sinϕ ។
អនុវត្តរូបមន្ត (15) យើងទទួលបាន l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ ។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកប្រវែងនៃ cardioid r =a (1 + cosϕ ) ។ ដំណោះស្រាយ៖
cardioid r \u003d a (1 + cosϕ) មានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 14 ។ វាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សប៉ូល។ ស្វែងរកពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃ cardioid:
1 លីត្រ = | π∫ | (a (1 + cos ϕ ))2 + (a (− sin ϕ ))2 d ϕ = |
||||
A π ∫ | 2 + 2cosϕ d ϕ =a π ∫ | 2 2cos2 ϕ d ϕ = |
||||
2a π / cosϕ d ϕ = 4a sinϕ | ||||||
ដូច្នេះ 1 2 លីត្រ = 4 ក។ ដូច្នេះ l = 8a ។