206. យើងដឹង (n. 175) ថាប្រសិនបើ ∠A (រូបភាព 203 ឬ 204) ត្រូវបានប្រសព្វដោយ KL និង BC ប៉ារ៉ាឡែលពីរ នោះសមាមាត្រនៃចម្រៀកពីរនៅផ្នែកម្ខាងនៃមុំនេះគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃពីរដែលត្រូវគ្នា។ ផ្នែកម្ខាងទៀត (ឧ. AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL ។ល។)។ ប៉ុន្តែ​យើង​ឃើញ​ថា​យើង​មាន​ផ្នែក​បន្ថែម​ទៀត​នៅ​លើ​ផ្នែក​ស្រប​គ្នា​នោះ​គឺ KL និង BC។ សំណួរកើតឡើងថាតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសផ្នែកពីរ AL, LC និង AC ដែលស្ថិតនៅលើជ្រុងដូចគ្នានៃមុំ A របស់យើងដើម្បីឱ្យសមាមាត្ររបស់ពួកគេស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផ្នែក KL និង BC ។

សម្រាប់គោលបំណងនេះ យើងផ្ទេរផ្នែក KL ទៅកាន់បន្ទាត់ BC ដែលយើងត្រូវសាងសង់ LD || AB; បន្ទាប់មក BD = KL ។ បន្ទាប់មក ជំនួសឱ្យផ្នែក KL និង BC យើងអាចពិចារណាផ្នែក BD និង BC ដែលមានទីតាំងនៅចំហៀង CB នៃមុំ C។ ចាប់តាំងពី ∠C ប្រែទៅជាប្រសព្វដោយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរគឺបន្ទាត់ AB និង LD បន្ទាប់មកអនុវត្ត § 175 ទៅមុំ C យើងរកឃើញ

BD/BC = AL/AC ឬ KL/BC = AL/AC ។

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ៖ យើងបានស្វែងរកផ្នែកពីរ AL និង AC នៅលើចំហៀង AC ដូច្នេះសមាមាត្ររបស់ពួកគេ = KL/BC ។ ដោយដឹងថា AK/AB = AL/AC ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរសមភាពបាន៖

AK/AB = AL/AC = KL/BC។

ដោយពិចារណាលើសមភាពទាំងនេះ យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាពួកវាភ្ជាប់ជ្រុងនៃត្រីកោណដែលទទួលបានពីរគឺ ∆AKL និង ∆ABC ។ សំណួរថ្មីមួយកើតឡើង៖ តើមុំនៃត្រីកោណទាំងនេះមានទំនាក់ទំនងគ្នាតាមមធ្យោបាយណាមួយទេ?

ចម្លើយចំពោះសំណួរចុងក្រោយគឺងាយស្រួលរក៖ ∠A ត្រីកោណរបស់យើងមានដូចគ្នា ∠K = ∠B ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ប៉ារ៉ាឡែល KL និង BC និង secant AB និង ∠L = ∠C ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ប៉ារ៉ាឡែលដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយ secant AC ។

យើងអាចផ្លាស់ទី ∆AKL (Ch. 203) ទៅកន្លែងផ្សេងទៀត ឬដែលដូចគ្នា សាងសង់ ∆A "K"L" ថ្មីស្មើនឹង ∆AKL ជ្រុង និងមុំរបស់វានឹងស្មើនឹងជ្រុង និងមុំនៃ ∆AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L" ។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន ∆A"K"L" ដែលស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងដូចគ្នាជាមួយ ∆ABC ដូចជា ∆AKL៖
1) ត្រីកោណទាំងនេះមានមុំស្មើគ្នា៖ ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) សម្រាប់ភាគីយើងមានសមាមាត្រ:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាភាគីទាំងពីរនៃទំនាក់ទំនងនីមួយៗមិនត្រូវបានភ្ជាប់ដោយចៃដន្យទៅក្នុងទំនាក់ទំនងតែមួយទេ - ឧទាហរណ៍អ្នកមិនអាចសរសេរ A "L" / AB = A "K" / BC = K "L" / AC ។ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែអាចស្វែងរកភាគីទាំងនោះដែលគួរតែជាសមាជិកនៃទំនាក់ទំនងមួយ។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើវាគឺដោយមុំត្រីកោណ៖ អ្នកអាចសម្គាល់ឃើញថាជ្រុងនៃទំនាក់ទំនងនីមួយៗក្នុងសមភាព (1) ស្ថិតនៅត្រីកោណទល់នឹងមុំស្មើគ្នា (A"K" ទល់នឹង ∠L និង AB ទល់នឹងមុំស្មើគ្នា C ។ល។ .) វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅភាគីទាំងនោះដែលបម្រើជាសមាជិកនៃទំនាក់ទំនងដូចគ្នាស្រដៀងគ្នា (ផ្នែក A "K" គឺស្រដៀងទៅនឹងចំហៀង AB, A "L" - ទៅ AC និង K "L" - ទៅ BC) ហើយភាគីស្រដៀងគ្នាមានទីតាំងនៅ នៅក្នុងត្រីកោណរបស់យើងទល់នឹងមុំស្មើគ្នា។

សមភាព (១) អាចត្រូវបានអានជាអក្សរកាត់៖

ជ្រុងនៃត្រីកោណ ∆A "K"L" គឺសមាមាត្រទៅនឹងជ្រុងស្រដៀងគ្នា ∆ABC ។

ពាក្យ "សមាមាត្រ" មានន័យថា: សមាមាត្រនៃមួយគូនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ A"K"L" និង ABC គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃគូផ្សេងទៀតនិងស្មើនឹងសមាមាត្រនៃគូទីបី។

ត្រីកោណដែលមានលក្ខណៈពិសេសពីរដែលបានរកឃើញខាងលើត្រូវបានគេហៅថាស្រដៀងគ្នា។ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ សញ្ញា ~ ត្រូវបានប្រើ។ យើងទទួលបាន៖ ∆AKL ~ ∆ABC និង ∆A"K"L" ~ ∆ABC។

ឥឡូវអ្នកអាចដំឡើង៖

ត្រីកោណ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ស្រដៀង​គ្នា​ប្រសិន​បើ​មុំ​នៃ​មួយ​ស្មើ​គ្នា​ជា​គូ​ទៅ​មុំ​នៃ​ម្ខាង​ទៀត​ហើយ​ជ្រុង​ស្រដៀង​គ្នា​របស់​វា​គឺ​សមាមាត្រ​។

មតិយោបល់. អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកពីសមភាព (1) តែមួយគត់ឧទាហរណ៍ A"K"/AB = A"L"/AC ។ ការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិនៃធាតុ 178 នៅទីនេះយើងទទួលបាន: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, i.e. សមាមាត្រនៃភាគីទាំងពីរនៃត្រីកោណមួយគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នាពីរនៃត្រីកោណមួយទៀតដែលស្រដៀងនឹងទីមួយ.

207. សញ្ញាសំខាន់នៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ. យោងទៅតាមកថាខណ្ឌមុន យើងអាចបង្កើតសំណុំត្រីកោណជាច្រើនដែលស្រដៀងនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ សម្រាប់ចំនុចនេះ យើងត្រូវប្រសព្វត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងបន្ទាត់ផ្សេងៗស្របគ្នាទៅនឹងជ្រុងម្ខាងរបស់វា ហើយបន្ទាប់មក ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្ត ផ្ទេរត្រីកោណលទ្ធផលនីមួយៗ។ ទៅកន្លែងផ្សេងទៀតនៅក្នុងយន្តហោះ។ នៅក្នុងត្រីកោណលទ្ធផលទាំងអស់ មុំនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយសមាមាត្រនៃផ្នែកណាមួយនៃផ្នែកមួយទៅផ្នែកស្រដៀងគ្នានៃមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ (មាត្រដ្ឋានភាពស្រដៀងគ្នា) ផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះការគិតកើតឡើងថាតើវាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេសម្រាប់ភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណពីរ ត្រឹមតែសមភាពនៃមុំរបស់វាប៉ុណ្ណោះ។

ចូរយើងបង្កើតត្រីកោណចំនួន 2៖ ∆ABC និង ∆DEF (គំនូសតាង 205) ដូច្នេះ ∠A = ∠E និង ∠B = ∠D ។ បន្ទាប់មកជាដំបូងយើងឃើញថា ∠C = ∠F (ព្រោះផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណនីមួយៗ = 2d)។

យើងដាក់ ∆DEF លើ ∆ABC ដូច្នេះឧទាហរណ៍ ចំណុច E ទៅដល់ចំណុច A. បន្ទាប់មក ដោយបង្វិលជុំវិញចំណុចនេះ ដោយសារសមភាព ∠E = ∠A, ED និង EF ទៅតាម AB និង AC រៀងគ្នា; ភាគី DF ត្រូវតែកាន់កាប់ទីតាំងបែបនេះ KL ដែល ∠AKL = ∠D = ∠B និង ∠ALK = ∠F = ∠C, i.e. ដូច្នេះ KL || BC ចាប់តាំងពីមុំដែលត្រូវគ្នាស្មើគ្នាត្រូវបានទទួល។

ដូច្នេះហើយ យើងសន្និដ្ឋានថា ∆DEF អាចទទួលបានដោយការសាងសង់ផ្នែកមុន ហើយជាលទ្ធផល ∆DEF ~ ∆ABC ។ អញ្ចឹង​បើ មុំពីរនៃត្រីកោណមួយគឺស្មើគ្នា រៀងគ្នាទៅមុំពីរនៃមួយទៀត បន្ទាប់មកត្រីកោណទាំងនេះគឺស្រដៀងគ្នា.

208. កិច្ចការ. បង្កើតសមាមាត្រទីបួនទៅនឹងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យបី។

អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែក a, b និង c ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (គំនូសតាង 206); វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតផ្នែកទី 4 x ដូច្នេះសមាមាត្រ a/b = c/x កើតឡើង។

យើងបង្កើតបន្ទាត់បំពានពីរ AB និង CD ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O ហើយកំណត់ឡែកពីចំនុច O នៅលើផ្នែកមួយនៃទំនាក់ទំនងទីមួយ៖ OA = a, OB = b (វាអាចទៅរួចក្នុងទិសដៅមួយ ឬក្នុងទិសដៅផ្សេងគ្នាពី ចំណុច O) និងនៅលើបន្ទាត់ផ្សេងទៀតដែលស្គាល់ផ្នែកនៃទំនាក់ទំនងទីពីរ OC = គ។ បន្ទាប់មកយើងភ្ជាប់ជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកទាំងនោះដែលបម្រើជាសមាជិកមុននៃសមាមាត្ររបស់យើង (ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនត្រូវបានគេដឹងនោះយើងត្រូវតែភ្ជាប់ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលបម្រើជាសមាជិកបន្តបន្ទាប់នៃសមាមាត្រនេះ); យើងទទួលបានខ្សែ AC ដែលភ្ជាប់ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក a និង c ។ បន្ទាប់មកតាមរយៈចំណុច B យើងបង្កើតបន្ទាត់ BD || AC បន្ទាប់មកយើងរៀន ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O ជាបញ្ឈរ និង ∠C = ∠D ជាការនិយាយឆ្លងខាងក្នុង ដែលវាគ្រប់គ្រាន់តាមកថាខណ្ឌមុនសម្រាប់ភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណរបស់យើង)។ ដូច្នេះយើងមាន (n. 206) សមាមាត្រនៃភាគីស្រដៀងគ្នា៖

OA/OB = OC/OD ឬ a/b = c/OD,

ដូច្នេះវាធ្វើតាមផ្នែកដែលចង់បាន x = OD ។

ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបំពេញសមាមាត្រ x/c = a/b នោះវាចាំបាច់ដើម្បីភ្ជាប់ចំណុច B និង C និងបង្កើត AL || BD; បន្ទាប់មកផ្នែក OL នឹងក្លាយជាអ្វីដែលចង់បាន។

ចំណាំ។ ប្រសិនបើយើងបង្កើតផ្នែក x តាមរបៀបដែលឧទាហរណ៍ សមាមាត្រ x/c = a/b ត្រូវបានពេញចិត្ត នោះផ្នែកផ្សេងទៀត x" នឹងមិនបំពេញសមាមាត្រនេះទេ ប្រសិនបើ x"> x បន្ទាប់មក x"/c > x>c ហើយដូច្នេះ x"/c>a/b if x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. សញ្ញាផ្សេងទៀតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ. 1) ប្រសិនបើជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណមួយមានសមាមាត្រទៅនឹងភាគីទាំងពីរនៃមួយទៀត ហើយមុំរវាងពួកវាស្មើគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរនេះគឺស្រដៀងគ្នា។

សូមឱ្យយើងមាន ∆ABC (Ch. 207); អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកផ្នែកដែលបំពាន ED ហើយសាងសង់យោងទៅតាមធាតុ 208 ផ្នែក x ដូច្នេះសមាមាត្រ x / AC = ED / AB កើតឡើង។ ជាចុងក្រោយ យើងសាងសង់ ∆EDF ដើម្បីឱ្យផ្នែកម្ខាងនៃវាជាផ្នែក ED ម្ខាងទៀតជាចម្រៀក EF = x ហើយចុងក្រោយ ∠E = ∠A ។ បន្ទាប់មក ∆EDF និង∆ABC មានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

1) ∠E = ∠A និង 2) EF/AC = ED/AB ។

តើត្រីកោណទាំងនេះស្រដៀងគ្នាទេ?

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ យើងគ្រាន់តែត្រូវចំណាំថា យើងអាចសង់ត្រីកោណស្មើនឹង ∆EDF តាមរបៀបផ្សេងគ្នា និងសាមញ្ញជាង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដាក់ផ្នែក AK = ED នៅចំហៀង AB ហើយសង់ KL || BC; បន្ទាប់មក ∆AKL ~ ∆ABC (វគ្គ 197) ហើយជាលទ្ធផល AL/AC = AK/AB ។

ដោយសារ AK = ED ហើយដោយសារមានវិធីតែមួយគត់ (ចំណាំ 208) ដើម្បីបំពេញសមាមាត្រ x/AC = ED/AB យើងសន្និដ្ឋានពីនេះថា EF = AL ហើយថា ∆AKL = ∆EDF ។ ដូច្នេះ ∆EDF អាចត្រូវបានដាក់ជំនួសដោយ ∆AKL ដូច្នេះហើយ ∆EDF ~ ∆ABC ។ នេះបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃសញ្ញានៃសមាមាត្រ ដែលកំណត់នៅដើមកថាខណ្ឌនេះ។

2) ប្រសិនបើបីជ្រុងនៃត្រីកោណមួយគឺសមាមាត្រទៅនឹងបីជ្រុងនៃត្រីកោណមួយទៀតនោះ ត្រីកោណទាំងនេះគឺស្រដៀងគ្នា.

សូមឱ្យយើងមាន ∆ABC (Ch. 207); អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកផ្នែក ED ហើយយោងទៅតាមធាតុ 208 បង្កើតផ្នែកពីរផ្សេងទៀត x និង y ដូច្នេះសមាមាត្រកើតឡើង: x/AC = ED/AB និង y/BC = ED/AB ។ បន្ទាប់មក ចូរយើងសង់ត្រីកោណ EDF (EF = x, DF = y) ដែលផ្តល់អោយភាគីទាំងបី ED, x និង y ។

បន្ទាប់មក ∆EDF និង∆ABC មានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

1) EF/AC = ED/AB និង 2) DF/BC = ED/AB

ឬនិយាយឱ្យខ្លី៖

EF/AC = DF/BC = ED/AB ។

តើត្រីកោណទាំងនេះស្រដៀងគ្នាទេ?

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងកត់សំគាល់ថា វាអាចសង់ត្រីកោណស្មើនឹង ∆EDF តាមរបៀបផ្សេង និងសាមញ្ញជាង។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដាក់ផ្នែក AK = ED នៅចំហៀង AB ហើយសង់ KL || BC; បន្ទាប់មក (វគ្គ 206) យើងទទួលបាន ∆AKL ~ ∆ABC ហើយជាលទ្ធផល។

AL/AC = KL/BC = AK/AB ។

ចាប់តាំងពីផ្នែក AK = ED ហើយចាប់តាំងពីយោងទៅតាមការកត់សម្គាល់នៃធាតុ 208 មានតែផ្នែកមួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចសាងសង់បានដែលបំពេញសមាមាត្រ x/AC = ED/AB យើងសន្និដ្ឋានថា AL = EF; យើងក៏រកឃើញថា KL = DF មកពីណាដែលវាធ្វើតាមថា ∆EDF = ∆AKL ហើយដោយ superposition យើងអាចផ្សំ ∆EDF ជាមួយ ∆AKL (ពេលខ្លះវាអាចចាំបាច់ក្នុងការបង្វែរ ∆EDF ទៅម្ខាងទៀត)។ ដូច្នេះ ∆EDF ~ ∆ABC ។

នេះបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃសញ្ញាដែលបានចែង។

តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញសញ្ញាស្រដៀងគ្នាជាច្រើនទៀត ទាំងសម្រាប់ត្រីកោណទូទៅ និងសម្រាប់ត្រីកោណពិសេសណាមួយ។ ឧទាហរណ៍, ប្រសិនបើអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងនៃត្រីកោណស្តាំមួយគឺសមាមាត្រទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងមួយទៀត នោះត្រីកោណទាំងនេះគឺស្រដៀងគ្នា។. ការបញ្ជាក់អំពីសុពលភាពរបស់វាគឺផ្អែកលើ៖ 1) លើការកត់សម្គាល់ចំណុច 208 និង 2) លើសញ្ញានៃសមភាពនៃត្រីកោណមុំខាងស្តាំ (ធាតុ 74 សញ្ញា 4) ។

ចំណាំ។ នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួនខាងក្រោម អ្នកនឹងត្រូវស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្នែកដែលវាស់វែងដោយឯកតាមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើផ្នែក x = 7½ lin ។ នៅលីវ និងផ្នែក y = 3/10 លីន។ នៅលីវ (ឯកតាលីនេអ៊ែរគឺដូចគ្នា) បន្ទាប់មកដើម្បីស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្នែក x ទៅផ្នែក y វាចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញផ្នែក x ជាលេខ ដោយយកផ្នែក y ជាឯកតា។ ប្រសិនបើ y = 3/10 លីន។ ឯកតាបន្ទាប់មកលីន។ នៅលីវ = 10/3 * y ហើយដូច្នេះ

x = (7½ * 10/3)y, ពេលណា x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

i.e. ដើម្បីកំណត់សមាមាត្រនៃផ្នែកដែលវាស់វែងដោយឯកតាណាមួយ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកសមាមាត្រនៃលេខដែលបង្ហាញពីផ្នែករបស់យើង ហើយសមាមាត្រនៃលេខ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីនព្វន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែក។

210. លំហាត់.

1. បានផ្តល់ឱ្យ 2 ត្រីកោណកែង; មុំស្រួចនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេ = 41 °, និងមុំស្រួចនៃផ្សេងទៀត = 49 °។ រកមើលថាតើត្រីកោណទាំងនេះស្រដៀងគ្នា។

2. ផ្តល់ ∆ABC និង ∆KLM (Ch ។ 208) ដូច្នេះ ∠B = ∠M និង AB = 15 dm, BC = 18 dm, ML = 12 dm ។ និង MK = 10 dm ។ តើត្រីកោណទាំងនេះស្រដៀងគ្នាទេ? ប្រសិនបើពួកវាស្រដៀងគ្នា បន្ទាប់មកគណនាចំហៀង AC ដោយដឹងថាចំហៀង KL = 5½ dm ។

3. ∆ABC និង∆KLM ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (គំនូរ 208) ដូច្នេះ AB = 18 dm., BC = 20 dm., AC = 8 dm., KL = 6 dm., KM = 13½ dm., ML = 15 dm. . តើត្រីកោណទាំងនេះស្រដៀងគ្នាទេ? តើអ្នកអាចរកឃើញភាពស្រដៀងគ្នានៅទីនេះដោយរបៀបណា?

4. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC និង KLM ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: AB = 16 dm ។ , AC = 8 dm ។ , BC = 20 dm ។ , KL = 5 dm ។ , MK = 10 dm ។ និង ML = 12 dm ។ តើត្រីកោណទាំងនេះស្រដៀងគ្នាទេ? បើ​មិន​ដូច​គ្នា តើ​គួរ​ប្តូរ​ផ្នែក ML យ៉ាង​ដូច​ម្តេច?

5. ផ្តល់ត្រីកោណស្រដៀងគ្នាចំនួន 2 ជ្រុងនៃមួយស្មើគ្នារៀងគ្នា។ 10, 14 និង 16 dm ។ និងផ្នែកធំនៃម្ខាងទៀត = 20 dm ។ ស្វែងរកជ្រុង 2 ផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណទីពីរ។

6. ផ្តល់ឱ្យត្រីកោណមួយ។ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃធាតុ 206 សាងសង់ត្រីកោណមួយផ្សេងទៀតដែលស្រដៀងនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យដូច្នេះសមាមាត្រនីមួយៗនៃជ្រុងនៃត្រីកោណថ្មីទៅផ្នែកស្រដៀងគ្នានៃទីពីរគឺ = ¾។
ធ្វើសំណង់ដូចគ្នាប្រសិនបើសមាមាត្រខាងលើគួរតែ 2½ ។

211. សមាមាត្រនៃកម្ពស់ និងតំបន់នៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា. សូមឱ្យយើងមាន ∆ABC ~ ∆DEF (គំនូសតាង 209) ។ ដូច្នេះហើយ យើងមាន៖ ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) និង ∠C = ∠F (1) និង

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

ចូរយើងសង់កម្ពស់ BM និង EN នៅក្នុងត្រីកោណរបស់យើង ដោយទម្លាក់កាត់កែងទៅជ្រុងស្រដៀងគ្នា។ យើងនឹងហៅកម្ពស់ទាំងនេះស្រដៀងគ្នា។ បន្ទាប់មក ∆ABM ~ ∆DEN ចាប់តាំងពីពួកគេមាន ∠A = ∠D ផ្អែកលើសមភាព (1) និង ∠AMB = ∠DNE ជាមុំខាងស្តាំ (BM ⊥ AC និង EN ⊥ DF) ហើយនេះគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ត្រីកោណរបស់យើងដើម្បីស្រដៀងគ្នា។ (២០៧) ហើយពីភាពស្រដៀងគ្នារបស់ពួកគេ យើងទទួលបាន៖

ផ្អែកលើសមភាព (២) យើងអាចបន្តសមភាពចុងក្រោយ៖

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

i.e. សមាមាត្រនៃកម្ពស់ស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នា។

ពីស៊េរីនៃសមាមាត្រស្មើគ្នាចុងក្រោយ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះសមាមាត្រ។

(សមាមាត្រនៃកម្ពស់ស្រដៀងគ្នា = សមាមាត្រនៃមូលដ្ឋាន) ។

212. នៅក្នុងកថាខណ្ឌ 209 វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកសមាមាត្រនៃចម្រៀកពីរដែលវាស់ដោយឯកតាដូចគ្នា។ អនុវត្តដូចគ្នាចំពោះការស្វែងរកសមាមាត្រនៃតំបន់ពីរដែលវាស់វែងដោយឯកតាការ៉េដូចគ្នា៖ សមាមាត្រនេះត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែកលេខដែលបង្ហាញពីតំបន់របស់យើង។

យើងនឹងនៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ ហើយក្នុងករណីជាច្រើនបន្ថែមទៀត នៅក្រោមសញ្ញាណឧទាហរណ៍ AB យល់ពីលេខដែលបង្ហាញពីផ្នែក AB នៅក្នុងឯកតាលីនេអ៊ែរណាមួយ ហើយនៅក្រោមការរចនា "តំបន់ ∆ABC" យើងនឹងយល់ពីលេខដែលបង្ហាញពី តំបន់ ∆ABC គិតជាឯកតាការ៉េ។ នៅពេលវិភាគសំណួរមួយ ចម្រៀកទាំងអស់នឹងត្រូវបានវាស់វែងដោយឯកតាលីនេអ៊ែរដូចគ្នា និងគ្រប់ផ្នែកទាំងអស់ - ដោយឯកតាការ៉េដែលត្រូវគ្នា។

យើងដឹង (n. 201) ថាដើម្បីវាស់ផ្ទៃដីនៃត្រីកោណជាឯកតាការ៉េ វាចាំបាច់ក្នុងការវាស់វែងមូលដ្ឋាន និងកម្ពស់របស់វាជាមួយនឹងឯកតាលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា ហើយយកពាក់កណ្តាលនៃលទ្ធផលនៃលេខ។
ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាណយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌខាងលើ យើងមានសម្រាប់ ∆ABC និង ∆DEF (រូបភាព 209)
តំបន់ ∆ABC = (AC * BM) / 2 និងតំបន់ ∆DEF = (DF * EN) / ២.

ស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណរបស់យើងដោយបែងចែក

i.e. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃសមាមាត្រនៃមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេនិងសមាមាត្រនៃកម្ពស់របស់ពួកគេ.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយត្រីកោណស្រដៀងគ្នា - យើងពិចារណាថា ∆ABC ~ ∆DEF ។

បន្ទាប់មកពីកថាខណ្ឌមុនយើងមាន៖

ការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្តបង្ហាញពីសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ សមាមាត្រកម្ពស់ជាមួយនឹងសមាមាត្រនៃមូលដ្ឋានស្មើនឹងវា យើងទទួលបាន៖

យើងក៏អាចនិយាយបានថា សមាមាត្រនេះ = (AB/DE) 2 . ដូច្នេះ

សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងការេនៃសមាមាត្រនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នារបស់ពួកគេ។.

លទ្ធផលនេះយល់ស្របនឹងអ្វីដែលមាននៅក្នុង§ 160 (លំហាត់ទី 5, 6 និង 7)។

លំហាត់មួយ។. ស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌ 210 (លំហាត់ទី 2, 3, 5 និង 6) ។

213. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានមុំស្មើគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុង ∆ABC និង ∆DEF (Ch. 210) យើងមាន ∠A = ∠D ហើយមុំផ្សេងទៀតមិនស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកត្រីកោណរបស់យើងមិនស្រដៀងគ្នាទេ។ ដូចនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនដែរ យើងសាងសង់កម្ពស់ BM និង EN នៃត្រីកោណទាំងនេះ ហើយស្វែងរកដោយបែងចែកសមាមាត្រនៃតំបន់របស់ពួកគេ

BM/EN = AB/DE (2)

ប៉ុន្តែឥឡូវនេះវាមិនអាចជំនួសសមាមាត្រនៃកម្ពស់ (BM / EN) ជាមួយនឹងសមាមាត្រនៃមូលដ្ឋាន (AC / DF) ទេព្រោះត្រីកោណទាំងនេះមិនស្រដៀងគ្នា។ ដោយប្រើ (2) ពី (1) យើងមាន:

នោះគឺសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណពីរដែលមានមុំស្មើគ្នាគឺស្មើនឹងផលគុណនៃសមាមាត្រនៃជ្រុងដែលបង្កើតជាមុំទាំងនេះ។

លំហាត់មួយ។. បានផ្តល់ឱ្យត្រីកោណមួយ; សង់​ត្រីកោណ​មួយ​ទៀត ដើម្បី​ឱ្យ​មុំ​មួយ​នៅ​ដដែល ហើយ​ជ្រុង​ដែល​បង្កើត​ជា​មុំ​នេះ​បង្កើន​មួយ​គុណ​នឹង 2 ដង និង​ម្ខាង​ទៀត 3 ដង។ តើតំបន់របស់វានឹងកើនឡើងយ៉ាងដូចម្តេច? ចម្លើយដែលត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលដោយការគណនាគឺចង់គណនាតាមធរណីមាត្រ។

252. គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណក៏លាតសន្ធឹងដល់ពហុកោណ។ អនុញ្ញាតឱ្យពហុកោណ ABCDE (Ch. 245) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ; អនុវត្តការស្ថាបនាស្រដៀងនឹងធាតុ 206 ។ សង់អង្កត់ទ្រូង AC និង AD ហើយជ្រើសរើសចំណុច K ខ្លះនៅចំហៀង AB រវាងចំណុច A និង B ឬនៅខាងក្រៅផ្នែក AB ស្ថាបនា KL || BC រហូតដល់វាកាត់អង្កត់ទ្រូង AC បន្ទាប់មក LM || CD ទៅប្រសព្វជាមួយ AD និងចុងក្រោយ MN || DE ទៅប្រសព្វជាមួយ AE ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានពហុកោណ AKLMN ដែលទាក់ទងនឹង ABCD ដោយភាពអាស្រ័យដូចខាងក្រោមៈ

1) មុំនៃពហុកោណមួយគឺស្មើគ្នាជាគូទៅនឹងមុំមួយទៀត៖ ពួកវាចែកមុំ A, ∠K = ∠B (ដូចដែលត្រូវគ្នា), ∠KLM = ∠BCD ព្រោះ ∠KLA = ∠BCA និង ∠ALM = ∠ ACD ជាដើម។

2) ជ្រុងស្រដៀងគ្នានៃពហុកោណទាំងនេះគឺសមាមាត្រ ពោលគឺសមាមាត្រនៃមួយគូនៃភាគីស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃគូផ្សេងទៀតស្មើនឹងសមាមាត្រនៃគូទីបី។ល។

ជ្រុង "ស្រដៀងគ្នា" នៅទីនេះគួរតែត្រូវបានយល់ខុសគ្នាខ្លះពីត្រីកោណ៖ នៅទីនេះយើងចាត់ទុកថាជាជ្រុងស្រដៀងគ្នាដែលរុំព័ទ្ធរវាងមុំស្មើគ្នា ឧទាហរណ៍ BC និង KL ។

សុពលភាពនៃសមាមាត្រនេះត្រូវបានគេមើលឃើញដូចខាងក្រោមៈ

∆AKL ~ ∆ABC ដូច្នេះ AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD ដូច្នេះ AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE ដូច្នេះ AM/AD = MN/DE = AN/AE

យើងឃើញថាក្នុងចំណោមសមាមាត្រស្មើគ្នាបីដំបូង និងក្នុងចំណោមសមាមាត្រស្មើគ្នាទាំងបីទីពីរមាន AL/AC ដូចគ្នាបេះបិទមួយ។ ទំនាក់ទំនងបីចុងក្រោយត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយទំនាក់ទំនងពីមុន AM/AD។ ដូច្នេះ ការរំលងសមាមាត្រនៃអង្កត់ទ្រូង យើងទទួលបាន៖

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

ទាំងអស់នេះនៅតែជាការងាយស្រួលមើល ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ពហុកោណដែលមានចំនួនជ្រុងធំជាងរបស់យើង។

ប្រសិនបើយើងផ្ទេរពហុកោណ AKLMN ទៅកន្លែងផ្សេងទៀតក្នុងយន្តហោះ នោះទំនាក់ទំនង 2 ខាងលើនៃពហុកោណនេះជាមួយ ABCDE នឹងនៅតែជាធរមាន។ ពហុកោណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះ ពហុកោណ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​ស្រដៀង​គ្នា ប្រសិន​បើ​មុំ​នៃ​មួយ​ស្មើ​គ្នា​ជា​គូ​ទៅ​មុំ​ម្ខាង​ទៀត ហើយ​ប្រសិនបើ​ជ្រុង​ស្រដៀង​គ្នា​របស់​វា​សមាមាត្រ។.

ដូច្នេះ​ហើយ យើង​ដឹង​ពី​របៀប​បង្កើត​ពហុកោណ​ដូច​នេះ​។ យើងបានសាងសង់ AKLMN ~ ABCDE ។

យើងក៏ឃើញដែរថានៅក្នុងពហុកោណ ABCDE និង AKLMN អង្កត់ទ្រូងត្រូវបានសាងសង់ពីចំនុចបញ្ឈររៀងៗខ្លួន ហើយត្រីកោណស្រដៀងគ្នាពីរជួរត្រូវបានទទួល៖ ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD និង ∆AMN ~ ∆ADE - ត្រីកោណទាំងនេះស្ថិតនៅស្មើគ្នា។ នៅក្នុងពហុកោណទាំងពីរ។

សំណួរកើតឡើងថាតើទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនឹងនៅមានសុពលភាពដែរឬទេ ប្រសិនបើយើងសាងសង់ពហុកោណដូចវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងវិធីផ្សេងក្រៅពីវត្ថុដែលយើងបានប្រើនៅទីនេះ។

253. សូមអោយពហុកោណ A"B"C"D"E" ត្រូវបានសាងសង់ស្រដៀងនឹងពហុកោណ ABCDE (Ch. 246) ពោលគឺ ដូច្នេះ

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

សំណួរនៃចុងបញ្ចប់នៃកថាខណ្ឌមុនគឺស្មើនឹងមួយទៀត៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការនាំយកពហុកោណទាំងពីរនេះទៅជាទីតាំងមួយ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ ចំណុច A "ស្របគ្នានឹង A ហើយចំនុចកំពូលដែលនៅសល់មានទីតាំងនៅជាគូនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ ចេញ​ពី​ចំណុច​រួម​នេះ ហើយ​ដូច្នេះ​ថា​ភាគី​ស្រដៀង​គ្នា ឬ​ស្រប​គ្នា ឬ​ផ្នែក​នៃ​ពហុកោណ​មួយ​នឹង​មាន​ទីតាំង​នៅ​ម្ខាង​ទៀត។

ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកំណត់ផ្នែក AK = A "B" នៅម្ខាង AB ពីចំណុច A ហើយដោយប្រើកថាខណ្ឌមុនបង្កើតពហុកោណ AKLMN ~ ABCDE ។

វានៅតែត្រូវមើលថាតើពហុកោណ A"B"C"D"E" អាចស្របគ្នាជាមួយ AKLMN នៅពេលដាក់ពីលើ។

យើងមាន៖ AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA។

ការប្រៀបធៀបសមភាពទាំងនេះជាមួយនឹងសមភាព (2) ហើយពិចារណាថា AK = A "B" យើងងាយស្រួលទទួលបាន KL = B"C", LM = C"D" ជាដើម ពោលគឺគ្រប់ជ្រុងនៃពហុកោណ A "B" C"D"E" និង AKLMN គឺស្មើគ្នាជាគូ។ យើងដាក់ពហុកោណ A"B"C"D"E" នៅលើ AKLMN ដូច្នេះ A" ចូលទៅក្នុង A ហើយចំហៀង A"B" ស្របគ្នាជាមួយ AK (យើងបង្កើត AK = A "B"); បន្ទាប់មកដោយសារតែសមភាពនៃមុំ B" និង K នោះចំហៀង B "C" នឹងទៅតាមបណ្តោយ KL ដោយសារតែសមភាពនៃភាគី KL និង B "C" ចំនុច C" នឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុង L, ល។

ដូច្នេះ A"B"C"D"E" ស្របគ្នាជាមួយ AKLMN ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើយើងសង់អង្កត់ទ្រូង A"C" និង A"D" យើងទទួលបានត្រីកោណស៊េរីស្រដៀងគ្នា និងទីតាំងស្មើគ្នាជាមួយ ∆ABC, ∆ACD ល។

ដូច្នេះយើងសន្និដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើយើងបង្កើតអង្កត់ទ្រូងពីកំពូលដែលត្រូវគ្នាក្នុងពហុកោណស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន 2 ជួរនៃត្រីកោណដែលស្រដៀងគ្នា និងគម្លាតស្មើគ្នា។

វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញសុពលភាពនៃការសន្និដ្ឋានបញ្ច្រាស៖ ប្រសិនបើ ∆A "B" C" ~ ABC, ∆A "C" D" ~ ∆ACD និង ∆A "D" E" ~ ∆ADE បន្ទាប់មកពហុកោណ A "B"C"D "E" ~ ពហុកោណ ABCDE ។ បន្ទាប់មក ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM និង ∆A"D"E" = ∆AMN ដែលបង្កប់ន័យសមភាពនៃពហុកោណ A"B"C"D"E" និង AKLMN ដូច្នេះភាពស្រដៀងគ្នានៃ A"B"C"D"E" និង ABCDE ។

254. ទីតាំង (បញ្ឈរពីរដែលត្រូវគ្នាបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចមួយ ចំនុចកំពូលដែលនៅសល់ស្ថិតនៅជាគូនៅលើបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ ហើយជ្រុងស្រដៀងគ្នាគឺស្របគ្នា) ដែលយើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បីនាំយកពហុកោណស្រដៀងគ្នាពីរគឺជាករណីពិសេសនៃទូទៅមួយទៀត ទីតាំងនៃពហុកោណស្រដៀងគ្នាពីរ។

សូមឱ្យយើងមាន KLMN ~ ABCD (Ch ។ 247) ។ យកចំណុច S ណាមួយ ហើយភ្ជាប់វាទៅនឹងចំនុចកំពូលទាំងអស់ A, B, C និង D នៃពហុកោណទីមួយ។ យើង​នឹង​ព្យាយាម​បង្កើត​ពហុកោណ​ស្មើ​នឹង​ពហុកោណ KLMN ដូច្នេះ​ចំណុច​កំពូល​របស់​វា​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់ SA, SB, SC និង SD ហើយ​ជ្រុង​គឺ​ស្រប​ទៅ​នឹង​ជ្រុង​នៃ​ពហុកោណ ABCD ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដាក់ផ្នែក AP = KL នៅផ្នែកខាង AB (យើងសន្មត់ថា KL និង AB គឺជាផ្នែកស្រដៀងគ្នា) ហើយបង្កើត PB" || AS (ចំណុច P និងបន្ទាត់ PB" មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងគំនូរ) ។ តាមរយៈចំណុច B ដែល SB ប្រសព្វ PB យើងសាងសង់ B "A" || AB បន្ទាប់មក A"B" = AP = KL បន្ទាប់មកយើងបង្កើត B"C" || BC តាមរយៈចំណុច C" ដែល B"C" ប្រសព្វជាមួយ SC គូរ C"D" || CD និងចំនុច D" ដែល C"D" ប្រសព្វជាមួយ SD ភ្ជាប់ជាមួយ A"។ ទទួលបានពហុកោណ A"B"C "D" ដែលដូចដែលយើងនឹងឃើញក្នុងពេលបន្តិចទៀតនេះ គឺស្រដៀងទៅនឹងពហុកោណ ABCD ។

តាំងពី A"B" || AB បន្ទាប់មក ∆SA"B" ~ ∆SAB មកពីណា

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

ចាប់តាំងពី B"C" || BC បន្ទាប់មក ∆SB"C" ~ ∆SBC មកពីណា

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

តាំងពី C"D" || ស៊ីឌី បន្ទាប់មក ∆SC"D" ~ ∆SCD មកពីណា

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថា SA "/SA \u003d SD" / SD ហើយដូច្នេះ ∆SA "D" ~ ∆SAD ចាប់តាំងពីភាគីទាំងពីរនៃមួយគឺសមាមាត្រទៅនឹងភាគីទាំងពីរនៃម្ខាងទៀត ហើយមុំរវាងពួកវាគឺស្មើគ្នា។ (∠S common), - A "D" || AD និង

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

ពីសមភាពនៃទំនាក់ទំនង (1), (2), (3) និង (4) យើងទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួល:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

លើសពីនេះ ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B ។ល។ ជាមុំដែលមានជ្រុងស្របគ្នា។ ដូច្នេះ A"B"C"D" ~ ABCD ។

លើសពីនេះ វាងាយមើលឃើញថា KLMN = A"B"C"D"។ ពិតហើយ ∠K = ∠A ប៉ុន្តែ ∠A = ∠A” ដូច្នេះ ∠K = ∠A”; ផងដែរ ∠L = ∠B” ។ល។ - មុំនៃពហុកោណរបស់យើងគឺស្មើគ្នា លើសពីនេះទៀតពីភាពស្រដៀងគ្នានៃ KLMN ~ ABCD យើងទទួលបាន៖

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA ។

ការប្រៀបធៀបសមាមាត្រស្មើគ្នាទាំងនេះជាមួយនឹងសមភាព (5) ហើយចងចាំថា A"B" = KL យើងរកឃើញ: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK ។ ឥឡូវនេះ វាងាយស្រួល ដូចដែលយើងបានធ្វើខាងលើ ដើម្បីឃើញថា KLMN នៅពេលដាក់បញ្ចូល នឹងតម្រឹមជាមួយ A"B"C"D"។ ដូច្នេះហើយ យើងបានគ្រប់គ្រងដាក់ពហុកោណស្រដៀងគ្នានេះនៅក្នុងទីតាំងមួយដែលចំនុចកំពូលរបស់ពួកគេស្ថិតនៅជាគូនៅលើបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច S ហើយជ្រុងស្រដៀងគ្នារបស់ពួកគេគឺស្របគ្នា ដែលជាអ្វីដែលយើងកំពុងព្យាយាម។

យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា ចំនុចកំពូលដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងពហុកោណរបស់យើងដើរតាមគ្នាក្នុងទិសដៅដូចគ្នា (មើលព្រួញនៅជិតពហុកោណ ABCD, KLMN និង A "B" C "D") - តាមទ្រនិចនាឡិកា។

ប្រសិនបើចំនុចកំពូលនៃពហុកោណមួយ ដែលត្រូវគ្នានឹងចំនុចកំពូលបន្តបន្ទាប់គ្នានៃមួយទៀត ដើរតាមគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងទិសដៅផ្ទុយទៅនឹងរបៀបដែលពួកវាមានទីតាំងនៅក្នុងមួយទៀត នោះយើងនឹងអាចដាក់ពហុកោណរបស់យើង ដូច្នេះ ចំនុចកំពូលដែលត្រូវគ្នាស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃ ចំនុច S (សូមមើលរូប 248)។

ចំនុច S ដែលបន្ទាត់តភ្ជាប់គូនៃចំនុចកំពូលដែលត្រូវគ្នានៃពហុកោណមកបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានគេហៅថា មជ្ឈមណ្ឌលភាពស្រដៀងគ្នា; ក្នុងករណីទីមួយ (គំនូរ 247) នៅពេលដែលបញ្ឈរទាំងពីរដែលត្រូវគ្នា (ឧទាហរណ៍ A និង A ") មានទីតាំងនៅផ្នែកដូចគ្នានៃ S មជ្ឈមណ្ឌលស្រដៀងគ្នាត្រូវបានគេហៅថាខាងក្រៅហើយនៅក្នុងទីពីរ (គំនូរ 248) នៅពេលដែលត្រូវគ្នា។ ចំនុចកំពូលស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃចំណុច S ចំណុចកណ្តាលស្រដៀងគ្នាត្រូវបានគេហៅថាខាងក្នុង... ប្រសិនបើពហុកោណស្រដៀងគ្នាត្រូវបានរៀបចំដើម្បីឱ្យពួកគេមានចំណុចកណ្តាលស្រដៀងគ្នា នោះគេនិយាយថាជា ដែលមានទីតាំងនៅស្រដៀងគ្នា.

255. ប្រសិនបើយើងត្រូវបានគេផ្តល់ពហុកោណ ABCD (Ch. 247 ឬ 248) - យើងនឹងហៅពហុកោណនេះថាដើម - យើងអាចធ្វើបានដោយជ្រើសរើសចំនុច S បំពាន យករូបភាពរបស់វាស្រដៀងនឹងវានៅមាត្រដ្ឋានណាមួយ - ឈ្មោះនេះគឺ ហៅថាសមាមាត្រនៃផ្នែកណាមួយនៃរូបភាពទៅនឹងផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងដើម (ក្នុងពហុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ)។ ទំនាក់ទំនងនេះត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ មេគុណភាពស្រដៀងគ្នា- ចូរ​កំណត់​វា​ដោយ k ។ រហូតមកដល់ពេលនេះសម្រាប់យើងមេគុណភាពស្រដៀងគ្នាគឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកម្ខាងនៃរូបភាពទៅផ្នែកម្ខាងនៃដើម, i.e.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k ។

នៅពេលអនាគត យើងនឹងពង្រីកគំនិតនេះទៅសមាមាត្រនៃផ្នែកទាំងពីរនៃរូបភាព និងផ្នែកដើមដែលស្រដៀងនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ពីសមភាព (1), (2), (3) និង (4) នៃកថាខណ្ឌមុន យើងមាន៖

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

i.e. សមាមាត្រនៃចម្ងាយពីចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃបន្ទាត់បញ្ឈរដែលត្រូវគ្នានៃរូបភាព និងដើម = មេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។

នៅក្រោមឈ្មោះតួរលេខ (ផ្ទះល្វែង) យើងមានន័យថាសំណុំនៃចំនុច និងបន្ទាត់នៃយន្តហោះ។ ពហុកោណ ABCD - មានតួរលេខ។ យើងបន្ថែមចំណុចមួយបន្ថែមទៀត (ជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ) អ៊ី - យើងទទួលបានតួលេខថ្មីដែលមានពហុកោណ ABCD និងចំណុច E - យើងរកឃើញរូបភាពនៃចំណុច E. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ SE និងគូសបន្ទាត់។ ផ្នែក SE នៅលើវាដើម្បីឱ្យ SE "/SE \u003d k (ផ្នែកបែបនេះងាយស្រួលក្នុងការសាងសង់ដោយប្រើធាតុ 214); យើងអាចពន្យារពេលផ្នែកនេះក្នុងទិសដៅនៃ SE (រូបភាព 247) ឬក្នុងទិសដៅផ្ទុយ (រូបភាពទី 24) ។ 248) ចំនុច E “គឺជារូបភាពនៃចំនុច E – ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុច E” និង E គឺជាចំនុចដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងតួរលេខដូចគ្នា និងដាក់ស្រដៀងគ្នាទាំងពីររបស់យើង។

ការភ្ជាប់ចំណុច E ជាឧទាហរណ៍ជាមួយ B និងចំនុច E" ជាមួយ B" (B និង B" ក៏ជាចំនុចដែលត្រូវគ្នាដែរ) យើងទទួលបានពីរផ្នែកដែលត្រូវគ្នា BE និង B "E" ។

វាងាយស្រួលមើលថា ∆SBE ~ ∆SB"E" (ចាប់តាំងពី ∠BSE = ∠B"SE និងជ្រុងដែលបង្កើតជាមុំទាំងនេះគឺសមាមាត្រ៖ SB"/SB = k និង SE"/SE = k ដូច្នេះ SB " / SB = SE "/ SE) វាធ្វើតាមពីនេះ៖

១) B"E" || BE និង 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

i.e. ផ្នែកដែលត្រូវគ្នានឹងគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងរូបភាព និងដើម 1) គឺស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក និង 2) សមាមាត្ររបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។ .

នេះបង្ហាញពីលទ្ធភាពនៃការសាងសង់ខាងក្រោមសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងដើម ប្រសិនបើយើងមានចំណុចដែលត្រូវគ្នាមួយគូរួចហើយ ហើយចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាត្រូវបានគេដឹង៖ អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានចំណុចដែលត្រូវគ្នា B និង B " ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកចំណុចដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុច E - យើងបង្កើតបន្ទាត់ SE និង BE ហើយតាមរយៈ B "យើងបង្កើតបន្ទាត់ស្របទៅនឹង BE ចំនុចប្រសព្វរបស់វា E" ជាមួយ SE និងផ្តល់ចំនុចដែលចង់បាន។

256. ចូរយើងសាងសង់សម្រាប់តួរលេខណាមួយ ចំនុចមួយគឺ A (រូបទី 249) រូបភាពរបស់វា ដោយយកចំនុចបំពានពីរ S 1 និង S 2 ជាចំនុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រៅ ហើយលេខ k 1 និង k 2 ជាមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។ សូមអោយចំនុច A ត្រូវនឹងចំនុច A" នៅក្នុងរូបភាពទីមួយ ហើយចំនុច A"" ត្រូវនឹងចំនុចដូចគ្នាក្នុងរូបភាពទីពីរ។

យើងក៏បន្ថែមលើតួលេខនេះផងដែរ ចំណុច B ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ S 1 S 2 ; បន្ទាប់មកចំណុច B នេះត្រូវគ្នានឹងរូបភាពទី 1 ដល់ចំណុច B" ហើយក្នុងរូបភាពទីពីរដល់ចំណុច B"" លើសពីនេះទៅទៀត ចំនុច B" និង B"" ត្រូវតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា S 1 S 2 និងបន្ទាត់ AB, A"B " និង A" "B "" ត្រូវតែស្របគ្នា និងដឹកនាំស្មើៗគ្នា។

បន្ទាប់មកយើងមាន៖

A"B"/AB = k 1 និង A""B""/AB = k 2 ។

ពីទីនេះយើងរកឃើញ៖

A"B"/A""B"" = k 1 / k 2 ។

ភ្ជាប់ចំនុច A" និង A"" រកចំនុចប្រសព្វ S 3 បន្ទាត់ A""A" និង S 2 S 1 ។ បន្ទាប់មកពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ S 3 A "B" និង S 2 A "B" យើងរកឃើញ:

ដោយភ្ជាប់ចំណុច A" និង A" យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វ S 3 នៃបន្ទាត់ A" "A" និង S 2 S 1 ។ បន្ទាប់មកពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ S 3 A "B" និង S 2 A "B" យើងរកឃើញ:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,

នោះគឺចំណុច S 2 ត្រូវតែបែងចែកផ្នែក B "B" ពីខាងក្រៅក្នុងសមាមាត្រស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ k 1 / k 2 ។ យើងដឹង (n. 217) ថាមានចំណុចតែមួយគត់ដែលបែងចែកផ្នែក B ។ "B "" នៅក្នុងការគោរពនេះខាងក្រៅ។ ប្រសិនបើយើងយកចំណុច C ផ្សេងទៀតនៃតួលេខនេះ ហើយបង្កើតរូបភាពរបស់វា C" និង C" "បន្ទាប់មកភ្ជាប់ចំណុច C" និង C"" ហើយយកចំនុចប្រសព្វ យើងហៅវាម្តងទៀតថា S 3 បន្ទាត់ C" C"" ជាមួយបន្ទាត់ S 1 S 2 យើងទទួលបានថា ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B" "C"" (B""C"" || BC និង B"C" || BC ដូច្នេះ B""C"" || B"C") ម្តងទៀត យើងរកឃើញថា S 3 B"/S 3 B"" = k 1/k 2 ពោលគឺ ចំណុចថ្មី S 3 ស្របគ្នានឹងចំណុចចាស់។ ដូច្នេះ S 3 គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខ (A"B"C"...) និង (A""B"C""...) ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ខាងក្រៅ ដោយសារតែទិសដៅដែលត្រូវគ្នា។ ចំណុច​តាម​គ្នា​ក្នុង​រូប​ទាំង​ពីរ​គឺ​ដូច​គ្នា ពី​នេះ​យើង​សន្និដ្ឋាន​ថា​តួលេខ (A"B"C"...) និង (A""B"C""...) ក៏​មាន​ចំណុច​កណ្តាល​ខាង​ក្រៅ​នៃ ភាពស្រដៀងគ្នា ហើយវាមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាជាមួយនឹងមជ្ឈមណ្ឌល S 1 និង S 2 ។

ប្រសិនបើចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នា S1 ត្រូវបានគេយកខាងក្រៅ ហើយ S2 ផ្សេងទៀតគឺខាងក្នុង (រូបភាព 250) នោះទិសដៅនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នាមានដូចខាងក្រោម: A "B" គឺដូចគ្នានឹងទិសដៅ AB ប៉ុន្តែ A" "B" គឺផ្ទុយពីទិសដៅ AB ដូច្នេះទិសដៅ A "B" ត្រឡប់ទៅ A "B" និង S3 គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្នុងនៃតួលេខ (A"B"...) និង (A ""ខ""...) ។

ប្រសិនបើយើងយកចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាទាំងពីរជាផ្នែកខាងក្នុង (ឧទាហរណ៍ S 2 និង S 3 ក្នុងរូបភាព 250) នោះវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាមជ្ឈមណ្ឌលទីបីនៃភាពស្រដៀងគ្នានឹងប្រែទៅជាខាងក្រៅ។ ដូច្នេះជាទូទៅ៖

ប្រសិនបើតួរលេខចំនួនបីមានទីតាំងនៅស្រដៀងគ្នាជាគូ នោះចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាចំនួនបីមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយទាំងបីនៃពួកវាគឺខាងក្រៅ ឬពីរនៃពួកវាគឺខាងក្នុង ហើយមួយទៀតគឺខាងក្រៅ។

257. .
ចូរមានពហុកោណស្រដៀងគ្នាពីរ ABCDEF និង A"B"C"D"E"F" (Ch. 251)។ ចូរហៅមេគុណភាពស្រដៀងគ្នាតាមរយៈ k ។

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k ។ល។

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, …

ការបន្ថែមសមភាពទាំងនេះជាផ្នែក ហើយយកកត្តា k នៅក្នុងផ្នែកទីពីរចេញពីតង្កៀប យើងទទួលបាន៖

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ... ),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

នោះគឺសមាមាត្រនៃបរិវេណនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នា (ឬស្មើនឹងមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា) ។

យើងជ្រើសរើសបន្ទាត់បញ្ឈរពីរដែលត្រូវគ្នា ឧទាហរណ៍ A និង A" ហើយសង់អង្កត់ទ្រូងដែលឆ្លងកាត់ពួកវា។ បន្ទាប់មកយើងដឹងថា៖ 1) (ពីធាតុ 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A" C "D" ។ល។ 2) (ពីធាតុ 212) សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងការេនៃសមាមាត្រនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នារបស់ពួកគេ ដូច្នេះ។

sq ។ ∆A"B"C" / square ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; ការ៉េ ∆A"C"D" / ការ៉េ ∆ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2 ។ល។

sq ។ ∆A"B"C" = k 2 pl. ∆ABC; pl. ∆A"C"D" = k 2 pl ។ ∆ACD;
sq ។ ∆A"D"E" = k 2 ការ៉េ ∆ADE ...

ការបន្ថែមសមភាពទាំងនេះនៅក្នុងផ្នែក ហើយដាក់កត្តារួម k 2 នៅក្នុងផ្នែកទីពីរចេញពីតង្កៀប យើងទទួលបាន៖

sq ។ ∆A"B"C"+pl.∆A"C"D"+∆A"D"E"+... = k 2 (pl. ∆ABC + pl. ∆ACD + pl. ∆ADE + .. .),

sq ។ A"B"C"D"E"F" / pl ។ ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

ឧ. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃពហុកោណស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងការេនៃសមាមាត្រនៃជ្រុងស្រដៀងគ្នារបស់ពួកគេ (ឬស្មើនឹងការេនៃមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា)។

258. ពហុកោណធម្មតាពីរដែលមានឈ្មោះដូចគ្នាគឺតែងតែស្រដៀងគ្នា. តាមពិតមុំនៃពហុកោណនៃឈ្មោះដូចគ្នាគឺដូចគ្នា (n. 248) ហើយដោយសារជ្រុងទាំងអស់នៃគ្នាគឺស្មើគ្នានោះវាច្បាស់ណាស់ថាសមាមាត្រនៃផ្នែកណាមួយនៃផ្នែកមួយទៅផ្នែកណាមួយនៃ ផ្សេងទៀតគឺជាចំនួនថេរ។

ប្រសិនបើយើងសរសេរពហុកោណធម្មតានៅក្នុងរង្វង់មួយ (រូបភាព 252) ហើយបង្កើតតង់សង់ទៅរង្វង់តាមរយៈចំណុចកណ្តាលនៃធ្នូដែលចុះកិច្ចសន្យាដោយភាគីរបស់វា នោះយើងទទួលបានពហុកោណធម្មតានៃឈ្មោះដូចគ្នាដែលបានពិពណ៌នាជុំវិញរង្វង់នេះ។ វាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកទេ (យើងទុកវាទៅអ្នកដែលប្រាថ្នា) ដែលលទ្ធផលពហុកោណធម្មតាពីរមានទីតាំងនៅស្រដៀងគ្នា ហើយកណ្តាលនៃរង្វង់ដើរតួជាចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រៅរបស់ពួកគេ - ខាងក្រៅដោយសារតែគូនីមួយៗនៃចំណុចដែលត្រូវគ្នា (សម្រាប់ ឧទាហរណ៍ A និង A ") មានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅដូចគ្នាពីកណ្តាល (ប្រសិនបើពហុកោណមានចំនួនគូនៃជ្រុងបន្ទាប់មកកណ្តាលនៃរង្វង់ក៏អាចចាត់ទុកថាជាមជ្ឈមណ្ឌលខាងក្នុងនៃភាពស្រដៀងគ្នាដែរវាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីសន្មតថា ឧទាហរណ៍ ចំណុច A ត្រូវគ្នានឹងចំណុច A "") ។

259. លំហាត់.

1. ជ្រុងនៃ pentagon មួយគឺ 12, 14, 10, 8 និង 16 dm រៀងគ្នា។ ស្វែងរកជ្រុងនៃ pentagon មួយផ្សេងទៀតដែលស្រដៀងនឹងទីមួយប្រសិនបើបរិវេណរបស់វា = 80 dm ។

2. ផលបូកនៃតំបន់នៃពហុកោណស្រដៀងគ្នាពីរគឺ 250 ម៉ែត្រការ៉េ។ dm និងសមាមាត្រនៃភាគីស្រដៀងគ្នាពីរ = ¾។ គណនាផ្ទៃដីនៃពួកវានីមួយៗ។

3. បង្ហាញថាប្រសិនបើពហុកោណធម្មតាដែលមានជ្រុងចំនួនសេសត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់មួយ ហើយតង់សង់ទៅរង្វង់ត្រូវបានសាងសង់នៅចំនុចកំពូលរបស់វា នោះពហុកោណដែលបានគូសរង្វង់នឹងត្រូវបានទទួល ដែលមានទីតាំងនៅស្រដៀងគ្នាជាមួយសិលាចារឹក - កណ្តាលរង្វង់ បម្រើជាមជ្ឈមណ្ឌលផ្ទៃក្នុងនៃភាពស្រដៀងគ្នា។

4. បានផ្តល់ឱ្យត្រីកោណមួយ; បង្កើតត្រីកោណមួយទៀត ដែលមានទីតាំងនៅស្រដៀងគ្នាជាមួយទីមួយ ដូច្នេះចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញទីមួយដើរតួជាមជ្ឈមណ្ឌលនៃភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្នុង ហើយមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា = ½។ ប្រើវាដើម្បីស្វែងយល់ពីរបៀបដែលចំណុចកម្ពស់ ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ និងចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់មូលនៃត្រីកោណនេះស្ថិតនៅ។

5. ការ៉េមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងត្រីកោណនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ ABC ជាត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ (Ch. 253) និង DEFK ការ៉េដែលចង់បាន។ ចូរយើងសាងសង់ MNPQ ការ៉េមួយទៀតដើម្បីឱ្យម្ខាងនៃ MQ ស្ថិតនៅខាង AC នៃត្រីកោណ ហើយចំនុច N ស្ថិតនៅខាង AB ។ វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាការ៉េ MNPQ មានទីតាំងនៅស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងការ៉េដែលចង់បាន DEFK ហើយចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រៅរបស់ពួកគេគឺជាចំណុច A; ដូច្នេះចំនុច F ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ AP ។ បន្ទាប់ពីរកឃើញចំណុច F ការ៉េដែលចង់បានគឺងាយស្រួលក្នុងការសាងសង់។

6. បានផ្តល់ឱ្យមុំមួយនិងចំណុចមួយនៅខាងក្នុងវា។ រកចំណុចមួយនៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំដែលសមមូលពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងពីម្ខាងទៀត។

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា។

7. សង់ត្រីកោណតាមកំពស់របស់វា។

វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបាន ដោយហៅជ្រុងនៃត្រីកោណតាមរយៈ a, b និង c និងកម្ពស់ដែលត្រូវគ្នាតាមរយៈ h a, h b និង h c ទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

ah a = bh b = ch c , ពេលណា a: b = h b: h a និង b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

វាងាយស្រួលក្នុងការសាងសង់ផ្នែក x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - សំណង់នៃសមាមាត្រទី 4) បន្ទាប់ពីនោះយើងសាងសង់ត្រីកោណដែលមានជ្រុង h b , h a និង x ។ ត្រីកោណ​នេះ​ស្រដៀង​នឹង​រូប​ដែល​ចង់​បាន​គឺ​ចាប់​តាំង​ពី a: h:c=h b:h a:x; វានៅសល់ដើម្បីសង់ត្រីកោណដែលស្រដៀងនឹងអ្វីដែលទើបតែសាងសង់ ដូច្នេះកម្ពស់មួយរបស់វាស្មើនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ជំពូកទី VIII ។

សមាមាត្រនៃបន្ទាត់។ ភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខ។

§ 93. ការសាងសង់រូបភាពស្រដៀងគ្នា។

1. ការសាងសង់ត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។

យើងដឹងរួចហើយថា ដើម្បីសង់ត្រីកោណស្រដៀងនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគូសបន្ទាត់ស្របទៅនឹងជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណពីចំណុចមួយចំនួនដែលយកនៅផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណ។ យើងទទួលបានត្រីកោណមួយដែលស្រដៀងនឹងមួយ (រូបភាព 382)៖

/\ ឌីអេ /\ A"C"B"

2. ការសាងសង់ពហុកោណស្រដៀងគ្នា។

ដើម្បីបង្កើតពហុកោណស្រដៀងនឹងពហុកោណ យើងអាចបន្តដូចខាងក្រោម៖ យើងបែងចែកពហុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាត្រីកោណដោយអង្កត់ទ្រូងដែលដកចេញពីចំនុចកំពូលណាមួយរបស់វា (រូបភាព 383)។ នៅផ្នែកខ្លះនៃពហុកោណ ABCDE ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ នៅផ្នែកខាង AE យើងយកចំនុច E" ហើយគូរបន្ទាត់ស្របទៅចំហៀង ED រហូតដល់វាកាត់តាមអង្កត់ទ្រូង AD ឧទាហរណ៍ នៅចំណុច D"។

ចាប់ពីចំនុច D" គូសបន្ទាត់ស្របទៅខាង DC រហូតដល់វាកាត់អង្កត់ទ្រូង AC នៅចំណុច C"។ ចាប់ពីចំណុច C" គូរបន្ទាត់ស្របទៅម្ខាង CB រហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយចំហៀង AB នៅចំណុច B"។ ពហុកោណលទ្ធផល AB"C"D"E" គឺស្រដៀងទៅនឹងពហុកោណ ABCDE ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានបង្ហាញដោយឯករាជ្យ។

ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតពហុកោណដែលស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណភាពស្រដៀងគ្នាដែលបានបញ្ជាក់នោះចំណុចចាប់ផ្តើម E" ត្រូវបានគេយកនៅចំហៀង AE ​​ឬបន្តរបស់វារៀងគ្នាយោងទៅតាមមេគុណភាពស្រដៀងគ្នាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

3. ថតប្លង់ដី។

ក) ការបាញ់ប្រហារនៃផែនការត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើឧបករណ៍ពិសេសមួយហៅថា ចំពុះ(dev. 384) ។

Menzula គឺជាក្តាររាងការ៉េដែលដាក់នៅលើជើងកាមេរ៉ា។ នៅពេលគូរផែនការ ក្តារត្រូវបាននាំទៅទីតាំងផ្ដេក ដែលត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយប្រើកម្រិតមួយ។ ដើម្បីគូរបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទិសដៅដែលចង់បាន alidade បំពាក់ដោយ diopters ត្រូវបានប្រើ។ diopter នីមួយៗមានរន្ធដោតដែលសក់ត្រូវបានលាតសន្ធឹងដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដឹកនាំ alidade ឱ្យបានត្រឹមត្រូវក្នុងទិសដៅត្រឹមត្រូវ។ ក្រដាសសមួយសន្លឹកត្រូវបានតោងជាប់នឹងមាត្រដ្ឋានដោយប្រើប៊ូតុង ដែលផែនការត្រូវបានគូរ។

ដើម្បីដកប្លង់ចេញពីដី ABCDE ចំនុច O ខ្លះត្រូវបានជ្រើសរើសនៅខាងក្នុងដី ដើម្បីអោយផ្នែកខាងលើនៃដីអាចមើលឃើញពីវា (រូបភាព 385)។

ដោយមានជំនួយពីសមជាមួយនឹងបន្ទាត់បំពង់មួយ (រូបភាព 386) មាត្រដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ដូច្នេះចំណុច O ដែលសម្គាល់នៅលើសន្លឹកក្រដាស ធ្លាក់ទល់នឹងចំណុច O ដែលបានជ្រើសរើសនៅលើគេហទំព័រ។

បន្ទាប់មកពីចំណុច O នៅលើសន្លឹកក្រដាសដែលភ្ជាប់ទៅនឹង beaker កាំរស្មីត្រូវបានគូរជាមួយ alidade ក្នុងទិសដៅទៅចំណុច A, B, C, D និង E; វាស់ចម្ងាយ
OA, OB, OS, OD និង OE ហើយដាក់នៅលើកាំរស្មីទាំងនេះនៅក្នុងផ្នែកខ្នាតដែលទទួលយក
OA, OB, OS, OD” និង OE”។

ចំណុច A, B, C, D, និង E ត្រូវបានតភ្ជាប់។ វាប្រែចេញពហុកោណ A "B" C "D" E ដែលជាផែនការនៃដីដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងមាត្រដ្ឋានដែលទទួលយក។

វិធីសាស្រ្តនៃការបាញ់តាមមាត្រដ្ឋានដែលបានពិពណ៌នាដោយពួកយើងត្រូវបានគេហៅថាប៉ូល។

មានវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីបាញ់យន្តហោះជាមួយមាត្រដ្ឋាន ដែលអ្នកអាចអានអំពីការណែនាំពិសេសសម្រាប់ការបាញ់តាមមាត្រដ្ឋាន។

នៅលើផែនការនីមួយៗ មាត្រដ្ឋានមួយត្រូវបានផ្តល់ជាធម្មតា ដែលវិមាត្រពិតនៃផ្ទៃដែលបានដកចេញអាចត្រូវបានបង្កើតឡើង ក៏ដូចជាតំបន់របស់វា។

ផែនការនេះក៏បង្ហាញពីទិសដៅនៃចំណុចសំខាន់ៗផងដែរ។

ការងារជាក់ស្តែង។

ក) បង្កើតគំរូខ្នាតសាមញ្ញបំផុតនៅក្នុងសិក្ខាសាលារបស់សាលា ហើយប្រើវាដើម្បីធ្វើផែនការនៃដីតូចមួយ។

ខ) ការស្ទាបស្ទង់ផែនការដីអាចធ្វើឡើងដោយជំនួយពី astrolabe ។

ឧបមា​ថា​ត្រូវ​ដក​ប្លង់​ដី​ ABCDE ចេញ។ ចូរយកចំនុចកំពូលមួយនៃផ្នែក ឧទាហរណ៍ A ជាចំនុចដំបូង ហើយប្រើ astrolabe ដើម្បីវាស់មុំនៅចំនុចកំពូល A, i.e.
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387) ។

បន្ទាប់មកដោយប្រើខ្សែសង្វាក់វាស់ យើងវាស់ចម្ងាយ AE, AD, AC និង AB ។ អាស្រ័យលើទំហំនៃគ្រោង និងទំហំនៃសន្លឹកក្រដាសដែលផែនការត្រូវបានអនុវត្ត មាត្រដ្ឋានសម្រាប់គូរផែនការត្រូវបានជ្រើសរើស។

នៅចំណុច A ដែលត្រូវបានយកជាចំនុចកំពូលនៃពហុកោណ យើងបង្កើតមុំបី រៀងគ្នាស្មើនឹង / 1, / 2 និង / ៣; បន្ទាប់មកនៅលើមាត្រដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើសនៅជ្រុងនៃជ្រុងទាំងនេះពីចំណុច A "បិទផ្នែក A "E", A "D", A "C" និង A "B" ។ ការតភ្ជាប់ចំណុច A "និង E" ។ E "និង D", D "និង C, C" និង B", B" និង A" យើងទទួលបានពហុកោណ A"B"C"D"E" ស្រដៀងនឹងពហុកោណ ABCDE ។ នេះនឹងជាផែនការនៃ ដីនេះគូរតាមមាត្រដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាសំណង់ជាច្រើន វិធីសាស្ត្រស្រដៀងគ្នាត្រូវបានប្រើ ដែលខ្លឹមសារមានដូចខាងក្រោម៖ ដំបូង តួរលេខស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានសាងសង់ បន្ទាប់មកតួលេខនេះកើនឡើង (ថយចុះ) ក្នុងសមាមាត្រដែលត្រូវការ (ឧទាហរណ៍ តួលេខស្រដៀងគ្នាគឺ បានសាងសង់) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ដំណើរការនៃការរៀនពីរបៀបអនុវត្តភាពស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការដោះស្រាយបញ្ហាសំណង់ គួរតែចែកចេញជាបួនដំណាក់កាល៖ ការរៀបចំ ការណែនាំ ការបង្កើតជំនាញ ការកែលម្អជំនាញ។ ដំណាក់កាលនីមួយៗមានគោលដៅ Didactic ផ្ទាល់ខ្លួន ដែលត្រូវបានសម្រេចនៅពេលដែលសិស្សបញ្ចប់កិច្ចការដែលបានរចនាជាពិសេស។

គោលបំណង didactic នៃដំណាក់កាលត្រៀមគឺដើម្បីបង្កើតជំនាញរបស់សិស្ស: ដើម្បីបន្លិចទិន្នន័យដែលកំណត់រូបរាងនៃតួលេខ, គូជាច្រើននៃតួលេខស្រដៀងគ្នាទៅគ្នាទៅវិញទៅមក; បង្កើតតួលេខយោងទៅតាមទិន្នន័យដែលកំណត់រូបរាង; ផ្លាស់ទី​ពី​រូប​ដែល​បាន​បង្កើត​ទៅ​មួយ​ដែល​ចង់​បាន។

បន្ទាប់ពីសិក្សាសញ្ញាដំបូងនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណយើងអាចស្នើសំណុំដូចខាងក្រោម កិច្ចការ:

សង់ត្រីកោណដែលមានជ្រុងពីរ។ តើបញ្ហាមានដំណោះស្រាយប៉ុន្មាន? តើធាតុអ្វីខ្លះកំណត់រូបរាងត្រីកោណដែលបានសាងសង់?

ដាក់ឈ្មោះត្រីកោណស្រដៀងគ្នាក្នុងរូបភាពទី 35 ។

ធាតុខាងក្រោមនៃត្រីកោណត្រូវបានគេស្គាល់៖ ក) មុំ ៧៥ និង ២៥; ខ) កម្ពស់ 1.5 សង់ទីម៉ែត្រ; គ) មុំ 75 និង 25 កម្ពស់ 1.5 សង់ទីម៉ែត្រ តើទិន្នន័យទាំងនេះមួយណាកំណត់តួលេខតែមួយគត់ក្នុងរូបទី 35?

តើមុំអ្វីខ្លះកំណត់រូបរាងនៃត្រីកោណក្នុងរូបភាពទី 35?

តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់វិមាត្រនៃត្រីកោណមួយក្នុងរូបភាព 35 ប្រសិនបើទិន្នន័យខាងក្រោមត្រូវបានដឹង៖ ក) មុំនៅមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ។ ខ) កម្ពស់នៃត្រីកោណ; គ) ជ្រុងនិងជ្រុងនៅមូលដ្ឋាន?

តើត្រីកោណ ABC និង ABC ស្រដៀងគ្នាក្នុងរូបភាពទី 36 ប្រសិនបើ ACAC? ប្រសិនបើពួកវាស្រដៀងគ្នា តើមេគុណនៃភាពស្រដៀងគ្នារបស់វាជាអ្វី?

សំណុំនៃភារកិច្ចដែលបានបង្ហាញដល់សិស្សបន្ទាប់ពីសិក្សាសញ្ញាទី 2 និងទី 3 នៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណត្រូវបានចងក្រងតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីលក្ខណៈពិសេសនេះទៅចំណុចបន្ទាប់ សំណួរកាន់តែស្មុគស្មាញ ពោលគឺ ទីតាំងនៃត្រីកោណក្នុងតួលេខផ្លាស់ប្តូរ ផ្លាស់ប្តូរឆ្ងាយពីស្តង់ដារ សំណុំនៃធាតុដែលកំណត់តួរលេខខុសគ្នា។ ភារកិច្ចឧទាហរណ៍ អាចជា៖

1. តើត្រីកោណ ABC និង ABC ស្រដៀងគ្នាប្រសិនបើ៖

ក) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

ខ) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

គ) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4.5cm, BC=7.5cm, CA=10.5cm;

d) AB=1.7cm, BC=3cm, SA=4.2cm, AB=34cm, BC=60cm, SA=84cm ។

2. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ដែលមានមុំស្រួច C កម្ពស់ AE និង BD ត្រូវបានគូរ (រូបភាព 37) ។ បង្ហាញថា ABC គឺស្រដៀងនឹង EDC។

3. បង្ហាញថាបរិវេណនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាមានទំនាក់ទំនងជាជ្រុងដែលត្រូវគ្នា។

គោលបំណង didactic នៃដំណាក់កាលណែនាំគឺដើម្បីពន្យល់ដល់សិស្សអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណើរការសាងសង់ដោយវិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នា។

ការពន្យល់ចាប់ផ្តើមពីបញ្ហា។

កិច្ចការ. សង់​ត្រីកោណ​មួយ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​មុំ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ពីរ និង​និង​ផ្នែក​នៃ​ប្រវែង d ដែល​បាន​ទាញ​ចេញ​ពី​កំពូល​នៃ​មុំ​ទីបី​។

ការវិភាគកិច្ចការជាមួយសិស្ស គ្រូផ្តល់ភារកិច្ច - សំណួរ ចម្លើយដែលត្រូវកត់ត្រាយ៉ាងខ្លីនៅលើក្ដារខៀន។ សំណួរអាចជា៖

1. តើទិន្នន័យអ្វីខ្លះកំណត់រូបរាងនៃត្រីកោណដែលត្រូវការ?

2. តើទិន្នន័យអ្វីខ្លះដែលកំណត់វិមាត្រនៃត្រីកោណដែលចង់បាន?

3. តើអាចសង់ត្រីកោណពីរជ្រុងបានប៉ុន្មាន? តើទម្រង់ត្រីកោណដែលបានសាងសង់ទាំងអស់នឹងទៅជាយ៉ាងណា?

4. តើផ្នែកមួយណាដែលត្រូវគូរជាត្រីកោណដែលស្រដៀងនឹងផ្នែកដែលចង់បាន?

5. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកសាងត្រីកោណដែលត្រូវការ?

ចម្លើយចំពោះសំណួរត្រូវបានអមដោយការគូរដោយដៃនៅលើក្តារ (រូបភាព 38) ។

ក) ABC៖ A=, B=;

b) បង្កើត bisector នៃមុំ C ក្នុងត្រីកោណ ABC,

គ) សាងសង់ СN=d, NCD;

ឃ) គូរបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុច N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - មួយដែលចង់បាន: A=, B= (ចាប់តាំងពី ABC ABC ដោយ 1 លក្ខណៈពិសេស) និង CN=d ដោយសំណង់។ គោលបំណង didactic នៃដំណាក់កាលដែលបង្កើតជាសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទដែលកំពុងពិចារណាគឺច្បាស់លាស់រួចទៅហើយពីឈ្មោះរបស់វា។ ទម្រង់សំខាន់នៃសកម្មភាពនៅដំណាក់កាលនេះគឺការស្វែងរកបុគ្គល។ វាបញ្ចប់ដោយការសន្ទនាសង្ខេប។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃកិច្ចការដែលអាចត្រូវបានស្នើឡើងនៅដំណាក់កាលនេះ។

កិច្ចការ. ចំណុច F ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅខាងក្នុងមុំ AOB ។ បង្កើតចំណុច M នៅចំហៀង OA ចម្ងាយស្មើគ្នាពី F និងពីចំហៀង OB

ការសម្រេចចិត្ត.

1. ការវិភាគ។ ចូរយើងងាកទៅរូបភាពទី 39 ។ អនុញ្ញាតឱ្យចំនុច M ត្រូវបានសាងសង់ បន្ទាប់មក MF = MP ។ នេះមានន័យថាចំណុចដែលចង់បាន M គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់កាំ MF ដែលមានចំណុចកណ្តាល M ប៉ះចំហៀង OB នៅចំណុច P ។

ប្រសិនបើយើងយកចំណុចបំពាន M នៅលើ OA ហើយទម្លាក់ MP នៅលើ CB ហើយរក F ចំនុចប្រសព្វនៃរង្វង់ដែលមានកណ្តាល M នៃកាំ MP ជាមួយបន្ទាត់ OF នោះ MFP នឹងស្រដៀងនឹង MFP ។ ពីនេះធ្វើតាមការសាងសង់ដែលត្រូវការ។

2. សំណង់។ យើងគូរ OF យកចំណុចបំពាន M នៅលើ CA និងទាបជាង MP ទៅ ​​CB ។ យើងគូររង្វង់កាំ MP ដែលដាក់ចំកណ្តាលចំនុច M. សូមអោយ F ជាចំនុចប្រសព្វនៃរង្វង់នេះជាមួយ OF ។ យើងគូរ FM ហើយបន្ទាប់មកយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់កាត់ចំនុច FFM ។ ចំនុច M នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយ OA គឺជាចំនុចដែលត្រូវការ។

3. ភស្តុតាង។ វាច្បាស់ណាស់ពីការវិភាគដែលបានអនុវត្ត។

4. ស្រាវជ្រាវ។ បញ្ហាមាន 2 ដំណោះស្រាយ។ នេះមកពីការពិតដែលថារង្វង់ប្រសព្វជាមួយ OF នៅ 2 ពិន្ទុ។

កិច្ចការ. សាងសង់ត្រីកោណដែលមានជ្រុង 2 និងបរិវេណ។

ការសម្រេចចិត្ត.

1. ការវិភាគ។ អនុញ្ញាតឱ្យនិងត្រូវបានផ្តល់មុំហើយ P ជាបរិវេណនៃត្រីកោណដែលចង់បាន (រូបភាព 40) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាត្រីកោណដែលចង់បានត្រូវបានសាងសង់បន្ទាប់មកប្រសិនបើយើងពិចារណា ABC ណាមួយដែលស្រដៀងនឹងការចង់បាននោះសមាមាត្រនៃបរិវេណ P ABC ទៅបរិវេណ P ABC គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជ្រុង AC និង AC ។

2. សំណង់។ ចូរយើងបង្កើត ABC ស្រដៀងនឹងអ្វីដែលចង់បាន។ នៅលើកាំរស្មី AB ដាក់ផ្នែកមួយឡែក AD=P និង AD=P បន្ទាប់មកភ្ជាប់ចំនុច D និង C ហើយគូសបន្ទាត់ DC តាមចំនុច D ។ ឱ្យ C ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយកាំរស្មី AC ។ គូរបន្ទាត់ CB តាមរយៈចំណុច C ហើយសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយ AD បន្ទាប់មក ABC គឺជាតម្រូវការមួយ។

3. ភស្តុតាង។ ជាក់ស្តែង ACD គឺស្រដៀងទៅនឹង ACD ដូច្នេះហើយ។ សមាមាត្រគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃបរិវេណនៃ ABC និង ABC ស្រដៀងគ្នា ដូច្នេះបរិវេណ ABC \u003d P ដូច្នេះ ABC គឺចង់បាន។

4. ស្រាវជ្រាវ។ ចាប់តាំងពីផលបូកនៃមុំពីរនៃត្រីកោណមួយ។<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

កិច្ចការ. ដែលបានផ្តល់ឱ្យ AOB និងចំណុច M ដែលមានទីតាំងនៅតំបន់ខាងក្នុងនៃជ្រុងនេះ។ បង្កើតរង្វង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A ហើយប៉ះជ្រុងនៃមុំ AOB ។

ការសម្រេចចិត្ត.

1. ការវិភាគ។ អនុញ្ញាតឱ្យ AOB ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយចំណុច M ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃជ្រុង (រូបភាព 41) ។

តោះគូសរង្វង់មួយទៀតប៉ះជ្រុងនៃ AOB ។ អនុញ្ញាតឱ្យ M ជាចំណុចប្រសព្វនៃរង្វង់ដែលមានបន្ទាត់ត្រង់ OM ហើយពិចារណា OMN និង OMN (N និង N កណ្តាលនៃរង្វង់ និង)។

ត្រីកោណទាំងនេះគឺស្រដៀងគ្នានៅក្នុងមុំពីរដូច្នេះការសាងសង់រង្វង់ដែលចង់បានអាចត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម:

2. សំណង់។ ដោយសារចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលចង់បានស្ថិតនៅលើ bisector AOB យើងគូរ bisector នៃមុំ។ លើសពីនេះ យើងយកចំណុច N នៅទីនេះ ហើយបង្កើតរង្វង់មួយដោយកណ្តាល N ប៉ះ AOB ។ បន្ទាប់មកយើងគូរបន្ទាត់ SM ហើយបញ្ជាក់ដោយ M - ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយរង្វង់ (មានចំនុចពីរ - M និង M - យើងយកមួយក្នុងចំណោមពួកគេ) ។ យើងគូរបន្ទាត់ MN និងបន្ទាត់របស់វាកាត់ចំនុច M. បន្ទាប់មក N គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយ bisector នៃមុំ ហើយជាចំនុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលចង់បាន ហើយកាំរបស់វាស្មើនឹង MN ។ សូមឱ្យនាងឆ្លងកាត់។

3. ភស្តុតាង។ ដោយការសាងសង់រង្វង់គឺស្រដៀងគ្នា O គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃភាពស្រដៀងគ្នា។ វាកើតឡើងពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ OMN និង OMN ដូច្នេះចាប់តាំងពីរង្វង់ប៉ះជ្រុងម្ខាងនៃមុំ នោះរង្វង់ក៏នឹងប៉ះជ្រុងនៃមុំផងដែរ។

4. ស្រាវជ្រាវ។ បញ្ហា​មាន​ដំណោះស្រាយ​ពីរ​ព្រោះ​ OM ប្រសព្វ​ជាមួយ​រង្វង់​នៅ​ចំណុច​ពីរ M និង M ដែល​នីមួយៗ​នឹង​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​រង្វង់​របស់​វា​ដែល​ឆ្លងកាត់​ចំណុច M ហើយ​ប៉ះ​ជ្រុង​នៃ AOB ។

គោលដៅ didactic នៃដំណាក់កាលដែលធ្វើអោយប្រសើរឡើងនូវសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទដែលបានពិចារណាខាងលើគឺការផ្ទេរជំនាញដែលបានបង្កើតឡើងទៅជាបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតជាពិសេសចំពោះស្ថានភាពដូចខាងក្រោម: តួលេខដែលចង់បានកាន់កាប់ទីតាំងជាក់លាក់មួយទាក់ទងនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យឬ បន្ទាត់ ខណៈពេលដែលការលុបបំបាត់លក្ខខណ្ឌមួយនៃបញ្ហានាំឱ្យមានប្រព័ន្ធនៃតួលេខស្រដៀងគ្នា ឬដូចគ្នា ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការបែបនេះ។

កិច្ចការ. សរសេរ​ការ៉េ​ក្នុង​ត្រីកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​ ដើម្បី​ឲ្យ​កំពូល​ពីរ​នៅ​ម្ខាង​នៃ​ត្រីកោណ ហើយ​ពីរ​ទៀត​ដេក​នៅ​ម្ខាង​ទៀត។

កិច្ចការដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងគោលបំណងនៃដំណាក់កាលនេះមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលពីកិច្ចការកម្រិតចាំបាច់។ ដូច្នេះ ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ជូនសម្រាប់តែសិស្សដែលមានស្នាដៃល្អប៉ុណ្ណោះ។ នៅដំណាក់កាលនេះ ការយកចិត្តទុកដាក់ចម្បងគឺត្រូវបានបង់ទៅលើសកម្មភាពស្វែងរកបុគ្គលរបស់សិស្ស។

តាមក្បួនមួយ ត្រីកោណពីរត្រូវបានគេចាត់ទុកថាស្រដៀងគ្នា ប្រសិនបើពួកវាមានរូបរាងដូចគ្នា ទោះបីជាវាមានទំហំខុសៗគ្នា បង្វិល ឬសូម្បីតែចិត្តសប្បុរសដោយអាស្រ័យចុះ។

តំណាងគណិតវិទ្យានៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាពីរ A 1 B 1 C 1 និង A 2 B 2 C 2 ដែលបង្ហាញក្នុងរូបគឺត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

ត្រីកោណពីរគឺស្រដៀងគ្នាប្រសិនបើ៖

1. មុំនីមួយៗនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងមុំដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណមួយទៀត៖
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2និង ∠C1 = ∠C2

2. សមាមាត្រនៃជ្រុងនៃត្រីកោណមួយទៅជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណមួយទៀតគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. ទំនាក់ទំនង ភាគីទាំងពីរនៃ​ត្រីកោណ​មួយ​ទៅ​ជ្រុង​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​ត្រីកោណ​ផ្សេង​ទៀត​គឺ​ស្មើ​គ្នា​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក​និង​នៅ​ពេល​ដូច​គ្នា
មុំរវាងភាគីទាំងនេះគឺស្មើគ្នា៖
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ និង $\angle A_1 = \angle A_2$
ឬ
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ និង $\angle B_1 = \angle B_2$
ឬ
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ និង $\angle C_1 = \angle C_2$

ត្រីកោណស្រដៀងគ្នាមិនគួរច្រឡំជាមួយត្រីកោណស្មើគ្នាទេ។ ត្រីកោណដែលជាប់គ្នាមានប្រវែងចំហៀងដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះសម្រាប់ត្រីកោណស្មើគ្នា៖

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

វាកើតឡើងពីនេះដែលត្រីកោណស្មើគ្នាទាំងអស់គឺស្រដៀងគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនត្រីកោណស្រដៀងគ្នាទាំងអស់សុទ្ធតែស្មើគ្នានោះទេ។

ថ្វីត្បិតតែសញ្ញាណខាងលើបង្ហាញថា ដើម្បីដឹងថាត្រីកោណពីរមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា ឬអត់ក៏ដោយ យើងត្រូវដឹងពីតម្លៃនៃមុំទាំងបី ឬប្រវែងនៃជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនីមួយៗ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។ គឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីតម្លៃទាំងបីពីខាងលើសម្រាប់ត្រីកោណនីមួយៗ។ តម្លៃទាំងនេះអាចមាននៅក្នុងបន្សំផ្សេងៗ៖

1) មុំបីនៃត្រីកោណនីមួយៗ (ប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណមិនចាំបាច់ត្រូវបានគេដឹងទេ) ។

ឬយ៉ាងហោចណាស់មុំ 2 នៃត្រីកោណមួយត្រូវតែស្មើនឹង 2 មុំនៃត្រីកោណមួយទៀត។
ដោយសារប្រសិនបើមុំ 2 ស្មើគ្នា នោះមុំទីបីក៏នឹងស្មើគ្នាដែរ។ (តម្លៃនៃមុំទីបីគឺ 180 - មុំ 1 - មុំ 2)

2) ប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណនីមួយៗ (មិនចាំបាច់ដឹងពីមុំ);

3) ប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរនិងមុំរវាងពួកគេ។

បន្ទាប់យើងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមួយចំនួនដែលមានត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។ ដំបូងយើងនឹងពិនិត្យមើលបញ្ហាដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើក្បួនខាងលើដោយផ្ទាល់ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងពិភាក្សាអំពីបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួនដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។

បញ្ហាជាក់ស្តែងជាមួយត្រីកោណស្រដៀងគ្នា

ឧទាហរណ៍ #1៖ បង្ហាញថាត្រីកោណទាំងពីរនៅក្នុងរូបភាពខាងក្រោមគឺស្រដៀងគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត៖
ដោយសារប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណទាំងពីរត្រូវបានគេដឹង ច្បាប់ទីពីរអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅទីនេះ៖

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$$\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$$\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

ឧទាហរណ៍ #2៖ បង្ហាញថាត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺស្រដៀងគ្នា ហើយស្វែងរកប្រវែងនៃជ្រុង PQនិង PR.

ការសម្រេចចិត្ត៖
∠A = ∠Pនិង ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(ព្រោះ ∠C = 180 - ∠A - ∠B និង ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

វាធ្វើតាមពីនេះដែលត្រីកោណ ∆ABC និង ∆PQR គឺស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះ៖
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ និង
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \\Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

ឧទាហរណ៍ #3៖ កំណត់ប្រវែង ABនៅក្នុងត្រីកោណនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDនិង ∠ ក common => ត្រីកោណ ΔABCនិង ΔADEគឺស្រដៀងគ្នា។

$\frac(BC)(DE)=\frac(3)(6)=\frac(AB)(AD)=\frac(AB)(AB+BD)=\frac(AB)(AB+4)= \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

ឧទាហរណ៍ #4៖ កំណត់ប្រវែង AD(x)រូបធរណីមាត្រនៅក្នុងរូបភព។

ត្រីកោណ ∆ABC និង ∆CDE គឺស្រដៀងគ្នាព្រោះ AB || DE ហើយពួកគេមានជ្រុងកំពូលធម្មតា C ។
យើងឃើញថាត្រីកោណមួយគឺជាកំណែមាត្រដ្ឋាននៃមួយទៀត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងត្រូវបញ្ជាក់វាតាមគណិតវិទ្យា។

AB || DE, CD || AC និង BC || សហភាពអឺរ៉ុប
∠BAC = ∠EDC និង ∠ABC = ∠DEC

ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើនិងយកទៅក្នុងគណនីវត្តមាននៃមុំរួមមួយ។ គយើងអាចបញ្ជាក់ថា ត្រីកោណ ∆ABC និង ∆CDE គឺស្រដៀងគ្នា។

ដូច្នេះ៖
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = ២៣,៥៧ ដុល្លារ
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង

ឧទាហរណ៍ #5៖ រោងចក្រប្រើប្រាស់ខ្សែក្រវ៉ាត់ conveyor inclined ដើម្បីដឹកជញ្ជូនផលិតផលពីកម្រិត 1 ដល់កម្រិត 2 ដែលមានកម្ពស់ 3 ម៉ែត្រពីលើកម្រិត 1 ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ឧបករណ៍បញ្ជូនទំនោរត្រូវបានផ្តល់សេវាកម្មពីចុងម្ខាងទៅកម្រិតទី 1 និងពីចុងម្ខាងទៀតទៅកាន់ស្ថានីយការងារដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយ 8 ម៉ែត្រពីចំណុចប្រតិបត្តិការកម្រិត 1 ។

រោងចក្រចង់ធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងនូវ conveyor ដើម្បីចូលដល់កម្រិតថ្មីដែលមានកម្ពស់ 9 ម៉ែត្រពីលើកម្រិត 1 ខណៈពេលដែលរក្សាមុំ conveyor ។

កំណត់ចម្ងាយដែលអ្នកត្រូវការរៀបចំស្ថានីយការងារថ្មី ដើម្បីធានាថាឧបករណ៍បញ្ជូនដំណើរការនៅចុងថ្មីរបស់វានៅកម្រិត 2។ គណនាចម្ងាយបន្ថែមដែលផលិតផលនឹងធ្វើដំណើរនៅពេលផ្លាស់ទីទៅកម្រិតថ្មី។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ដំបូង យើងដាក់ស្លាកចំណុចប្រសព្វនីមួយៗដោយអក្សរជាក់លាក់មួយ ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។

ដោយផ្អែកលើហេតុផលដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន យើងអាចសន្និដ្ឋានថាត្រីកោណ ∆ABC និង ∆ADE គឺស្រដៀងគ្នា។ អាស្រ័យហេតុនេះ

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB − 8 = 24 − 8 = 16 m

ដូច្នេះ​ចំណុច​ថ្មី​ត្រូវ​ដំឡើង​នៅ​ចម្ងាយ​១៦​ម៉ែត្រ​ពី​ចំណុច​ដែល​មាន​ស្រាប់។

ហើយចាប់តាំងពីរចនាសម្ព័ន្ធត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយត្រីកោណកែងយើងអាចគណនាចម្ងាយធ្វើដំណើររបស់ផលិតផលដូចខាងក្រោម:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

ដូចគ្នាដែរ $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
ដែលជាចម្ងាយដែលផលិតផលធ្វើដំណើរនៅពេលវាឈានដល់កម្រិតដែលមានស្រាប់។

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 m
នេះគឺជាចម្ងាយបន្ថែមដែលផលិតផលត្រូវតែធ្វើដំណើរដើម្បីឈានដល់កម្រិតថ្មីមួយ។

ឧទាហរណ៍ #6៖ Steve ចង់ទៅលេងមិត្តរបស់គាត់ដែលទើបផ្លាស់ទៅផ្ទះថ្មី។ ផែនទីផ្លូវដើម្បីទៅដល់ Steve និងផ្ទះមិត្តភ័ក្តិរបស់គាត់ រួមជាមួយនឹងចម្ងាយដែល Steve ស្គាល់ ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូប។ ជួយ Steve ទៅផ្ទះមិត្តរបស់គាត់ក្នុងវិធីដ៏ខ្លីបំផុត។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ផែនទីបង្ហាញផ្លូវអាចត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។

យើងឃើញថាត្រីកោណ ∆ABC និង ∆CDE គឺស្រដៀងគ្នា ដូច្នេះ៖
$\frac(AB)(DE)=\frac(BC)(CD)=\frac(AC)(CE)$

សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​កិច្ចការ​នេះ​បញ្ជាក់​ថា​៖

AB = 15 km, AC = 13.13 km, CD = 4.41 km និង DE = 5 km

ដោយប្រើព័ត៌មាននេះ យើងអាចគណនាចម្ងាយដូចខាងក្រោម៖

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve អាច​ទៅ​ផ្ទះ​មិត្ត​ភក្តិ​របស់​គាត់​តាម​ផ្លូវ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

A -> B -> C -> E -> G ចម្ងាយសរុបគឺ 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 គីឡូម៉ែត្រ

F -> B -> C -> D -> G ចម្ងាយសរុបគឺ 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 គីឡូម៉ែត្រ

F -> A -> C -> E -> G ចម្ងាយសរុបគឺ 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 គីឡូម៉ែត្រ

F -> A -> C -> D -> G ចម្ងាយសរុបគឺ 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 គីឡូម៉ែត្រ

ដូច្នេះហើយ ផ្លូវលេខ 3 គឺខ្លីបំផុត ហើយអាចផ្តល់ជូន Steve ។

ឧទាហរណ៍ ៧៖
Trisha ចង់វាស់កម្ពស់ផ្ទះ ប៉ុន្តែនាងមិនមានឧបករណ៍ត្រឹមត្រូវទេ។ នាងបានកត់សម្គាល់ឃើញថាដើមឈើមួយដើមកំពុងដុះនៅមុខផ្ទះ ហើយសម្រេចចិត្តប្រើប្រាស់ធនធាន និងចំណេះដឹងរបស់នាងអំពីធរណីមាត្រដែលទទួលបាននៅសាលាដើម្បីកំណត់កម្ពស់អាគារ។ នាងបានវាស់ចម្ងាយពីដើមឈើទៅផ្ទះ លទ្ធផលគឺ 30 ម៉ែត្រ បន្ទាប់មកនាងឈរនៅមុខដើមឈើ ហើយចាប់ផ្តើមថយក្រោយរហូតដល់គែមខាងលើនៃអគារអាចមើលឃើញពីលើកំពូលដើមឈើ។ Trisha បានសម្គាល់កន្លែងនោះ ហើយវាស់ចម្ងាយពីវាទៅដើមឈើ។ ចម្ងាយនេះគឺ 5 ម៉ែត្រ។

កម្ពស់ដើមឈើគឺ 2.8 ម៉ែត្រ និងកម្ពស់ភ្នែករបស់ Trisha គឺ 1.6 ម៉ែត្រ ជួយ Trisha កំណត់កម្ពស់អគារ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

តំណាងធរណីមាត្រនៃបញ្ហាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។

ដំបូងយើងប្រើភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ ∆ABC និង ∆ADE ។

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \ ដង AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

បន្ទាប់មកយើងអាចប្រើភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ ∆ACB និង ∆AFG ឬ ∆ADE និង ∆AFG ។ តោះជ្រើសរើសជម្រើសដំបូង។

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 m$