ស្រដៀងទៅនឹងការបញ្ច្រាសនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើន។
សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube
1 / 5
✪ របៀបស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - bezbotvy
✪ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីពីរដើម្បីស្វែងរក)
✪ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស #1
✪ 2015-01-28 ។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស 3x3
✪ 2015-01-27 ។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស 2x2
ចំណងជើងរង
លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), កន្លែងណា det (\displaystyle\\det)តំណាងឱ្យកត្តាកំណត់។
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសការ៉េពីរ A (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម A)និង B (\ រចនាប័ទ្ម B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \(A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), កន្លែងណា (...) T (\displaystyle (...)^(T))តំណាងឱ្យម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង។
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \(kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))សម្រាប់មេគុណណាមួយ។ k ≠ 0 (\displaystyle k\not = 0).
- E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
- ប្រសិនបើចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ , (ខ ជាវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ) ដែល x (\ រចនាប័ទ្ម x)គឺជាវ៉ិចទ័រដែលចង់បាន ហើយប្រសិនបើ A − 1 (\ ទម្រង់បង្ហាញ A^(-1))មាន, បន្ទាប់មក x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). បើមិនដូច្នេះទេ វិមាត្រនៃទំហំដំណោះស្រាយគឺធំជាងសូន្យ ឬមិនមានអ្វីទាំងអស់។
វិធីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនបញ្ច្រាស់ នោះដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស អ្នកអាចប្រើវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីខាងក្រោមនេះ៖
វិធីសាស្រ្តជាក់លាក់ (ដោយផ្ទាល់)
វិធីសាស្រ្ត Gauss-Jordan
ចូរយើងយកម៉ាទ្រីសពីរ៖ ខ្លួនវាផ្ទាល់ កនិងនៅលីវ អ៊ី. ចូរយើងនាំយកម៉ាទ្រីស កទៅម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan អនុវត្តការបំប្លែងជាជួរ (អ្នកក៏អាចអនុវត្តការបំប្លែងជាជួរបានដែរ ប៉ុន្តែមិនមែនលាយបញ្ចូលគ្នាទេ)។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តប្រតិបត្តិការនីមួយៗទៅម៉ាទ្រីសទីមួយ អនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចគ្នាទៅទីពីរ។ នៅពេលដែលការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទីមួយទៅទម្រង់អត្តសញ្ញាណត្រូវបានបញ្ចប់ ម៉ាទ្រីសទីពីរនឹងស្មើនឹង ក-១.
នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ម៉ាទ្រីសទីមួយនឹងត្រូវបានគុណពីខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីសបឋមមួយ Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvection ឬ diagonal matrix with ones on the main diagonal, except for one position):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).ម៉ាទ្រីសទីពីរបន្ទាប់ពីអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងអស់នឹងស្មើនឹង Λ (\ការបង្ហាញរចនាប័ទ្ម ឡាំដា)នោះគឺជាការចង់បានមួយ។ ភាពស្មុគស្មាញនៃក្បួនដោះស្រាយ - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
ការប្រើប្រាស់ម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីស A (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម A), តំណាងក្នុងទម្រង់
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
កន្លែងណា adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- ម៉ាទ្រីសភ្ជាប់;
ភាពស្មុគស្មាញនៃក្បួនដោះស្រាយអាស្រ័យទៅលើភាពស្មុគស្មាញនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់ O det និងស្មើនឹង O(n²) O det ។
ការប្រើប្រាស់ការបំបែក LU/LUP
សមីការម៉ាទ្រីស A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)អាចមើលឃើញជាបណ្តុំ n (\displaystyle n)ប្រព័ន្ធនៃទម្រង់ A x = b (\displaystyle Ax=b). បញ្ជាក់ ខ្ញុំ (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ i)- ជួរទីនៃម៉ាទ្រីស X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)តាមរយៈ X i (\ displaystyle X_(i)); បន្ទាប់មក A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), ដោយសារតែ ខ្ញុំ (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ i)- ជួរទីនៃម៉ាទ្រីស I n (\displaystyle I_(n))គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតា e i (\ រចនាប័ទ្ម e_(i)). នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការ n ជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដូចគ្នា និងផ្នែកខាងស្តាំផ្សេងគ្នា។ បន្ទាប់ពីដំណើរការការពង្រីក LUP (ពេលវេលា O(n³)) សមីការ n នីមួយៗត្រូវចំណាយពេល O(n²) ដើម្បីដោះស្រាយ ដូច្នេះផ្នែកនៃការងារនេះក៏ត្រូវការពេលវេលា O(n³) ផងដែរ។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មិនឯកវចនៈ នោះយើងអាចគណនាការរលាយ LUP សម្រាប់វា។ P A = L U (\displaystyle PA=LU). អនុញ្ញាតឱ្យ P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). បន្ទាប់មក ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស យើងអាចសរសេរ៖ D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). ប្រសិនបើយើងគុណសមភាពនេះដោយ U និង L នោះយើងអាចទទួលបានសមភាពពីរនៃទម្រង់ U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))និង D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). ទីមួយនៃសមភាពទាំងនេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ n² សម្រាប់ n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ដែលផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានគេស្គាល់ (ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសត្រីកោណ) ។ ទីពីរក៏ជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ n² សម្រាប់ n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))ដែលផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានគេស្គាល់ (ផងដែរពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសត្រីកោណ) ។ ពួកគេរួមគ្នាបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមភាព n²។ ដោយប្រើសមភាពទាំងនេះ យើងអាចកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុ n² ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស D. បន្ទាប់មកពីសមភាព (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. យើងទទួលបានសមភាព A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
នៅក្នុងករណីនៃការប្រើប្រាស់ LU decomposition មិនតម្រូវឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស D នោះទេប៉ុន្តែដំណោះស្រាយអាចខុសគ្នាទោះបីជាម៉ាទ្រីស A មិនឯកវចនៈក៏ដោយ។
ភាពស្មុគស្មាញនៃក្បួនដោះស្រាយគឺ O(n³) ។
វិធីសាស្រ្តដដែលៗ
វិធីសាស្រ្ត Schultz
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))
ការប៉ាន់ស្មានកំហុស
ជម្រើសនៃការប៉ាន់ស្មានដំបូង
បញ្ហានៃការជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៅក្នុងដំណើរការនៃការបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសដដែលៗដែលបានពិចារណានៅទីនេះមិនអនុញ្ញាតឱ្យយើងចាត់ទុកពួកគេថាជាវិធីសាស្រ្តសកលឯករាជ្យដែលប្រកួតប្រជែងជាមួយវិធីសាស្ត្របញ្ច្រាសដោយផ្ទាល់ដោយផ្អែកលើឧទាហរណ៍លើការបំបែក LU នៃម៉ាទ្រីស។ មានអនុសាសន៍មួយចំនួនសម្រាប់ជ្រើសរើស U 0 (\displaystyle U_(0))ធានាការបំពេញលក្ខខណ្ឌ ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (កាំនៃវិសាលគមនៃម៉ាទ្រីសគឺតិចជាងការរួបរួម) ដែលចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីនេះ ជាដំបូង វាត្រូវបានទាមទារឱ្យដឹងពីការប៉ាន់ស្មានខាងលើសម្រាប់វិសាលគមនៃម៉ាទ្រីសដែលមិនបញ្ច្រាស់ A ឬម៉ាទ្រីស A A T (\ ទម្រង់បង្ហាញ AA ^ (T))(ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A ជាម៉ាទ្រីសច្បាស់លាស់ស៊ីមេទ្រីវិជ្ជមាន និង ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta)បន្ទាប់មកអ្នកអាចយក U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha)E), កន្លែងណា ; ប្រសិនបើ A គឺជាម៉ាទ្រីស nonsingular បំពាន និង ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta)បន្ទាប់មក ឧបមា U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T))ដែលជាកន្លែងដែលផងដែរ។ α ∈ (0 , 2 β) (\\ ទម្រង់បង្ហាញ \\ អាល់ហ្វា \\ ក្នុង \\ ឆ្វេង (0, (\ frac (2) (\ បេតា)) \\ ស្តាំ)); ជាការពិតណាស់ ស្ថានការណ៍អាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ហើយដោយប្រើការពិតនោះ។ ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), ដាក់ U 0 = A T‖ A A T‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) ទីពីរ ជាមួយនឹងការបញ្ជាក់បែបនេះនៃម៉ាទ្រីសដំបូង វាមិនមានការធានានោះទេ។ ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)នឹងតូច (ប្រហែលជាសូម្បីតែ ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) ហើយលំដាប់ខ្ពស់នៃអត្រាការបញ្ចូលគ្នានឹងមិនត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញភ្លាមៗនោះទេ។
ឧទាហរណ៍
ម៉ាទ្រីស 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] ។ (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A)))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)))ការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស 2x2 គឺអាចធ្វើទៅបានតែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនោះ។ a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិតត្រូវបានពិចារណា។ នៅទីនេះយើងពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖ ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរ Gauss និង Gauss-Jordan ។ ជាញឹកញាប់វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។
វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម
ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្ដល់ឱ្យ $A$ និងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ ត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងម៉ាទ្រីសមួយ ពោលគឺឧ។ បង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ $(A|E)$ (ម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគេហៅផងដែរថា ម៉ាទ្រីសពង្រីក)។ បន្ទាប់ពីនោះ ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋមដែលបានអនុវត្តជាមួយនឹងជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ក្លាយជាការរួបរួម ហើយម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកយកទម្រង់ $\left(E|A^(-1) \right )$។ ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៅក្នុងស្ថានភាពនេះរួមមានសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ
- ការជំនួសពីរជួរ។
- ការគុណធាតុទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរដោយលេខមួយចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យ។
- ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរមួយទៀត គុណនឹងកត្តាណាមួយ។
ការបំប្លែងបឋមទាំងនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ជាធម្មតាវិធីសាស្ត្រ Gauss ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានជ្រើសរើស។ ជាទូទៅ វិធីសាស្ត្រ Gauss និង Gauss-Jordan ត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយមិនមែនសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនោះទេ។ ឃ្លា "ការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស" គួរតែត្រូវបានយល់នៅទីនេះថាជា "ការអនុវត្តប្រតិបត្តិការដែលមាននៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស" ។
លេខរៀងនៃឧទាហរណ៍បានបន្តពីផ្នែកទីមួយ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ និងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានពិចារណា ហើយនៅក្នុងឧទាហរណ៍ និងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានវិភាគ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយធាតុទាំងអស់នៃជួរដេកឬជួរឈរមួយចំនួននៃម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងនៅមុនបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យនោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ។
ឧទាហរណ៍ #5
ស្វែងរកម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ប្រសិនបើ $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( អារេ )\ ត្រូវ)$ ។
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ដែលជាទូទៅគឺ $(A|E)$ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖ $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។
គោលបំណង៖ ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមទៅជាទម្រង់ $\left(E|A^(-1) \right)$ ។ យើងអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចគ្នាដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត Gaussian វាងាយស្រួលនៅពេលដែលធាតុដំបូងនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសពង្រីកគឺមួយ។ ដើម្បីសម្រេចបាននូវចំណុចនេះ យើងប្តូរជួរទីមួយ និងទីបីនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ដែលក្លាយជា៖ $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(អារេ) \right)$ ។
ឥឡូវនេះសូមចូលទៅកាន់ដំណោះស្រាយ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបែងចែកជាពីរដំណាក់កាល៖ ទៅមុខ និងថយក្រោយ (ការពិពណ៌នាលម្អិតនៃវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍នៃប្រធានបទដែលត្រូវគ្នា) ។ ជំហានទាំងពីរដូចគ្នានឹងត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងដំណើរការនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលទៅមុខ
ជំហានដំបូង
ដោយមានជំនួយពីជួរទីមួយ យើងកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុនៃជួរទីមួយដែលមានទីតាំងនៅក្រោមជួរទីមួយ៖
ខ្ញុំសូមបញ្ចេញយោបល់បន្តិចអំពីអ្វីដែលខ្ញុំបានធ្វើ។ សញ្ញាណ $II-2\cdot I$ មានន័យថា ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ ដែលពីមុនគុណនឹងពីរ ត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទីពីរ។ សកម្មភាពនេះអាចសរសេរដោយឡែកពីគ្នាដូចខាងក្រោម៖
សកម្មភាព $III-7\cdot I$ ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នា។ ប្រសិនបើមានការលំបាកក្នុងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងនេះ ពួកគេអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយឡែកពីគ្នា (ស្រដៀងទៅនឹងសកម្មភាព $II-2\cdot I$ ដែលបានបង្ហាញខាងលើ) ហើយលទ្ធផលត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក។
ជំហានទីពីរ
ដោយមានជំនួយពីបន្ទាត់ទីពីរ យើងកំណត់ធាតុនៃជួរឈរទីពីរឡើងវិញ ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមបន្ទាត់ទីពីរ៖
ចែកជួរទីបីដោយ 5:
ការរត់ត្រង់គឺចប់ហើយ។ ធាតុទាំងអស់ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសរហូតដល់បន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញទៅសូន្យ។
បញ្ច្រាស
ជំហានដំបូង
ដោយមានជំនួយពីជួរទីបី យើងកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុនៃជួរទីបីដែលមានទីតាំងនៅខាងលើជួរទីបី៖
មុននឹងបន្តទៅជំហានបន្ទាប់ បំបែកជួរទីពីរដោយ $7$៖
ជំហានទីពីរ
ដោយមានជំនួយពីបន្ទាត់ទីពីរ យើងកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុនៃជួរទីពីរដែលមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ទីពីរ៖
ការបំប្លែងត្រូវបានបញ្ចប់ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ)$ ។ ការត្រួតពិនិត្យប្រសិនបើចាំបាច់អាចត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីមុនដែរ។ ប្រសិនបើអ្នករំលងការពន្យល់ទាំងអស់នោះ ដំណោះស្រាយនឹងមានទម្រង់៖
ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & -27/5 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។
ឧទាហរណ៍ #6
ស្វែងរកម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ប្រសិនបើ $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។
ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងនឹងប្រើប្រតិបត្តិការដូចគ្នាដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុង ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងមតិយោបល់ខ្លីៗ។ តោះសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖ $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(អារេ) \right)$។ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីបួននៃម៉ាទ្រីសនេះ៖ $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(អារេ) \right)$ ។
ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលទៅមុខ
ការបំប្លែងការរត់ទៅមុខបានបញ្ចប់។ ធាតុទាំងអស់ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ។
បញ្ច្រាស
បានរកឃើញបញ្ច្រាស Gaussian $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ បញ្ចប់( អារេ)\right)$ ។ ការត្រួតពិនិត្យប្រសិនបើចាំបាច់ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍លេខ 2 និងលេខ 3 ។
ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ត្រូវ)$។
ឧទាហរណ៍ #7
ស្វែងរកម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ប្រសិនបើ $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( អារេ )\ ត្រូវ)$ ។
ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស យើងអនុវត្តលក្ខណៈប្រតិបត្តិការនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ។ ភាពខុសគ្នាពីវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងឧទាហរណ៍មុន និង គឺថាដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តក្នុងដំណាក់កាលមួយ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា វិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបែងចែកជា 2 ដំណាក់កាល៖ ការផ្លាស់ទីទៅមុខ ("យើងបង្កើត" សូន្យនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសទៅរបារ) និងការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស (យើងកំណត់ធាតុខាងលើអង្កត់ទ្រូងមេនៃម៉ាទ្រីសឡើងវិញ។ ទៅរបារ) ។ ដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ដំណោះស្រាយពីរដំណាក់កាលមិនត្រូវបានទាមទារទេ។ ដំបូង យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖ $(A|E)$:
$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
ជំហានដំបូង
កំណត់ធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយទៅជាសូន្យ លើកលែងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងជួរឈរទីមួយ ធាតុទាំងអស់គឺមិនសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចជ្រើសរើសធាតុណាមួយ។ ឧទាហរណ៍ យក $(-4)$៖
ធាតុដែលបានជ្រើសរើស $(-4)$ គឺនៅជួរទីបី ដូច្នេះយើងប្រើជួរទីបីដើម្បីដកធាតុដែលបានជ្រើសរើសនៃជួរទីមួយ៖
ចូរធ្វើឱ្យធាតុទីមួយនៃជួរទីបីស្មើនឹងមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកដោយ $(-4)$:
ឥឡូវនេះយើងចាប់ផ្តើមសូន្យធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរឈរទីមួយ៖
នៅក្នុងជំហានបន្ថែមទៀត វានឹងមិនអាចប្រើខ្សែទីបីទៀតទេ ព្រោះយើងបានអនុវត្តវារួចហើយនៅក្នុងជំហានដំបូង។
ជំហានទីពីរ
តោះជ្រើសរើសធាតុដែលមិនមែនជាសូន្យនៃជួរឈរទីពីរ ហើយកំណត់ធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃជួរឈរទីពីរទៅជាសូន្យ។ យើងអាចជ្រើសរើសធាតុមួយក្នុងចំណោមធាតុពីរ៖ $\frac(11)(2)$ ឬ $\frac(39)(4)$ ។ ធាតុ $\left(-\frac(5)(4)\right)$ មិនអាចជ្រើសរើសបានទេព្រោះវាស្ថិតនៅក្នុងជួរទីបីដែលយើងបានប្រើក្នុងជំហានមុន។ ចូរយើងជ្រើសរើសធាតុ $\frac(11)(2)$ ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរទីមួយ។ តោះប្តូរ $\frac(11)(2)$ ទៅមួយក្នុងជួរទីមួយ៖
ឥឡូវនេះ ចូរកំណត់ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរទៅសូន្យ៖
ក្នុងការវែកញែកបន្ថែម ខ្សែទីមួយមិនអាចប្រើបានទេ។
ជំហានទីបី
វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ធាតុទាំងអស់នៃជួរឈរទីបីឡើងវិញ លើកលែងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ យើងត្រូវជ្រើសរើសធាតុដែលមិនមែនជាសូន្យនៃជួរទីបី។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមិនអាចយក $\frac(6)(11)$ ឬ $\frac(13)(11)$ បានទេ ដោយសារធាតុទាំងនោះស្ថិតនៅក្នុងជួរទីមួយ និងទីបីដែលយើងបានប្រើពីមុន។ ជម្រើសគឺតូច៖ នៅសល់តែធាតុ $\frac(2)(11)$ ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរទីពីរ។ ចែកធាតុទាំងអស់នៃជួរទីពីរដោយ $\frac(2)(11)$:
ឥឡូវយើងកំណត់ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរឈរទីបីទៅសូន្យ៖
ការផ្លាស់ប្តូរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានបញ្ចប់។ វានៅសល់តែដើម្បីធ្វើឱ្យម៉ាទ្រីសរហូតដល់បន្ទាត់ក្លាយជាឯកតា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃបន្ទាត់។ ទីមួយ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីបី៖
$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $$
ឥឡូវយើងប្តូរជួរទីពីរ និងទីបី៖
$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $$
ដូច្នេះ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។ តាមធម្មជាតិដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីផ្សេងគ្នាដោយជ្រើសរើសធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ។ ជាធម្មតានេះគឺជាអ្វីដែលពួកគេធ្វើព្រោះក្នុងករណីនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយបន្ទាត់នឹងមិនត្រូវផ្លាស់ប្តូរទេ។ ខ្ញុំបានផ្ដល់ដំណោះស្រាយពីមុនក្នុងគោលបំណងតែមួយគត់៖ ដើម្បីបង្ហាញថាជម្រើសនៃជួរដេកនៅជំហាននីមួយៗមិនមែនជាមូលដ្ឋានទេ។ ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសធាតុអង្កត់ទ្រូងនៅជំហាននីមួយៗនោះដំណោះស្រាយនឹងមានដូចខាងក្រោម។
ម៉ាទ្រីសពិជគណិត - ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានហៅថាដែលនៅពេលគុណទាំងខាងស្ដាំនិងខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីសដែលបានផ្ដល់ឱ្យម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។
សម្គាល់ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស កតាមរយៈ នោះតាមនិយមន័យដែលយើងទទួលបាន៖
កន្លែងណា អ៊ីគឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។
ម៉ាទ្រីសការ៉េហៅ មិនពិសេស (មិន degenerate) ប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាមិនស្មើនឹងសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេវាត្រូវបានគេហៅថា ពិសេស (degenerate) ឬ ឯកវចនៈ.
មានទ្រឹស្តីបទ៖ រាល់ម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានគេហៅថា បណ្តឹងឧទ្ធរណ៍ម៉ាទ្រីស។ ពិចារណាលើក្បួនដោះស្រាយការបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីស។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ន-លំដាប់៖
ដែល Δ = det ក ≠ 0.
ធាតុពិជគណិតបំពេញបន្ថែមម៉ាទ្រីស ន- លំដាប់ កកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ( ន-1)-th order ទទួលបានដោយការលុប ខ្ញុំ- បន្ទាត់ទី និង j- ជួរទីនៃម៉ាទ្រីស ក:
ចូរយើងបង្កើតអ្វីដែលគេហៅថា ភ្ជាប់ម៉ាទ្រីស៖
តើការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនៅឯណា ក.
ចំណាំថាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស កត្រូវបានដាក់ក្នុងជួរឈរដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស Ã
នោះគឺម៉ាទ្រីសត្រូវបានបញ្ជូនក្នុងពេលដំណាលគ្នា។
ការបែងចែកធាតុម៉ាទ្រីសទាំងអស់។ Ã
នៅលើ Δ - តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស កយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជាលទ្ធផល៖
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសមួយចំនួននៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
1) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ កម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសរបស់វា។
គឺតែមួយគត់;
2) ប្រសិនបើមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស បញ្ច្រាសស្តាំនិង បញ្ច្រាសខាងឆ្វេងម៉ាទ្រីសស្របគ្នាជាមួយវា;
3) ម៉ាទ្រីសការ៉េពិសេស (ខូច) មិនមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទេ។
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
1) កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសច្រាស និងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺទៅវិញទៅមក។
2) ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃកត្តាដែលយកតាមលំដាប់បញ្ច្រាស:
3) ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលបំប្លែងគឺស្មើនឹងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសពីម៉ាទ្រីសបំប្លែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
ឧទាហរណ៍ គណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស, . ពិចារណាម៉ាទ្រីសការ៉េ
សម្គាល់ Δ = det A ។
ម៉ាទ្រីសការ៉េ A ត្រូវបានគេហៅថា មិនខូច,ឬ មិនពិសេសប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនមែនសូន្យ និង degenerate,ឬ ពិសេស, ប្រសិនបើΔ = 0.
ម៉ាទ្រីសការ៉េ B មានសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ A នៃលំដាប់ដូចគ្នា ប្រសិនបើផលិតផលរបស់ពួកគេ A B = B A = E ដែល E គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីស A និង B ។
ទ្រឹស្តីបទ . ដើម្បីឱ្យម៉ាទ្រីស A មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកត្តាកំណត់របស់វាមិនមែនជាសូន្យ។
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស A តំណាងដោយ A- 1 ដូច្នេះ B = A - 1 ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
, (1)
ដែលជាកន្លែងដែល А i j - ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ a i j នៃម៉ាទ្រីស A..
ការគណនា A -1 ដោយរូបមន្ត (1) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ខ្ពស់គឺពិបាកខ្លាំងណាស់ដូច្នេះក្នុងការអនុវត្តវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក A -1 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របំលែងបឋម (EP) ។ ម៉ាទ្រីស A ដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយ EP នៃតែជួរឈរ (ឬតែជួរ) ទៅម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E. ប្រសិនបើ EPs ដែលអនុវត្តនៅលើម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានអនុវត្តក្នុងលំដាប់ដូចគ្នាទៅនឹងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E នោះលទ្ធផលគឺ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្ត EP នៅលើម៉ាទ្រីស A និង E ក្នុងពេលដំណាលគ្នា ដោយសរសេរម៉ាទ្រីសទាំងពីរនៅជាប់គ្នាតាមបន្ទាត់។ យើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា នៅពេលស្វែងរកទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីស ដើម្បីស្វែងរកវា គេអាចប្រើការបំប្លែងនៃជួរដេក និងជួរឈរ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស អ្នកគួរតែប្រើតែជួរដេក ឬជួរឈរប៉ុណ្ណោះក្នុងដំណើរការបំប្លែង។
ឧទាហរណ៍ 2.10. សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 
រក A -1 ។
ដំណោះស្រាយ។ដំបូងយើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A 
ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ហើយយើងអាចរកឃើញវាដោយរូបមន្ត៖ 
ដែលជាកន្លែងដែល A i j (i,j = 1,2,3) - ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ a i j នៃម៉ាទ្រីសដើម។ 
កន្លែងណា 
.
ឧទាហរណ៍ 2.11. ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របំប្លែងបឋម ស្វែងរក A -1 សម្រាប់ម៉ាទ្រីស៖ A= ។
ដំណោះស្រាយ។យើងកំណត់ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នាទៅម៉ាទ្រីសដើមនៅខាងស្តាំ៖ 
. ដោយមានជំនួយពីការបំលែងជួរឈរបឋម យើងកាត់បន្ថយ "ពាក់កណ្តាល" ខាងឆ្វេងទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ ក្នុងពេលដំណាលគ្នាអនុវត្តការបំប្លែងបែបនេះនៅលើម៉ាទ្រីសខាងស្តាំ។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីពីរ៖ 
~
. យើងបន្ថែមទីមួយទៅជួរទីបី ហើយទីមួយគុណនឹង -2 ទៅទីពីរ៖ 
. ពីជួរទីមួយយើងដកគុណនឹងទីពីរហើយពីទីបី - ទីពីរគុណនឹង 6; 
. ចូរបន្ថែមជួរទីបីទៅជួរទីមួយ និងទីពីរ៖ 
. គុណជួរចុងក្រោយដោយ -1៖ 
. ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលទទួលបាននៅខាងស្ដាំរបារបញ្ឈរគឺជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីសដែលបានផ្ដល់ A. ដូច្នេះ
.
ម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ $A$ ប្រសិនបើ $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ ដែល $E $ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ លំដាប់ដែលស្មើនឹងលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។
ម៉ាទ្រីសមិនមែនឯកវចនៈ គឺជាម៉ាទ្រីសដែលកត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នោះហើយ ម៉ាទ្រីស degenerate គឺជាកត្តាកំណត់ដែលស្មើនឹងសូន្យ។
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ មានប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $A$ មិនឯកវចនៈ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ មាន នោះវាមានតែមួយគត់។
មានវិធីជាច្រើនដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ហើយយើងនឹងមើលពីរក្នុងចំណោមពួកគេ។ ទំព័រនេះនឹងពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាស្តង់ដារនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់បំផុត។ វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម) ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ Gauss ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។
វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសភ្ជាប់ (សហជីព)
អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ ត្រូវការបីជំហាន៖
- ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ហើយត្រូវប្រាកដថា $\Delta A\neq 0$, i.e. ថាម៉ាទ្រីស A មិនខូចទ្រង់ទ្រាយ។
- តែងបំពេញបន្ថែមពិជគណិត $A_(ij)$ នៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស $A$ ហើយសរសេរម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ ពីការរកឃើញ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។
- សរសេរម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយគិតគូរពីរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ ។
ម៉ាទ្រីស $(A^(*))^T$ ត្រូវបានគេសំដៅជាញឹកញាប់ថាជាម៉ាទ្រីស adjoint (mutual, allied) នៃ $A$ ។
ប្រសិនបើការសម្រេចចិត្តត្រូវបានធ្វើឡើងដោយដៃ នោះវិធីសាស្ត្រទីមួយគឺល្អសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសនៃការបញ្ជាទិញតិចតួចប៉ុណ្ណោះ៖ ទីពីរ (), ទីបី (), ទីបួន () ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ខ្ពស់ជាង វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍វិធីសាស្រ្ត Gauss ដែលត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។
ឧទាហរណ៍ #1
ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$ ។
ដោយសារធាតុទាំងអស់នៃជួរទីបួនគឺស្មើសូន្យ នោះ $\Delta A=0$ (ឧ. ម៉ាទ្រីស $A$ គឺ degenerate)។ ចាប់តាំងពី $\Delta A=0$ មិនមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅ $A$ ទេ។
ឧទាហរណ៍ #2
រកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ ។
យើងប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។ ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ $A$៖
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103។ $$
ចាប់តាំងពី $\Delta A \neq 0$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ដូច្នេះយើងបន្តដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិត
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(តម្រឹម)
តែងម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត៖ $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$។
ផ្ទេរម៉ាទ្រីសលទ្ធផល៖ $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (លទ្ធផល ម៉ាទ្រីសជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា adjoint ឬ union matrix to the matrix $A$) ។ ដោយប្រើរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ យើងមាន៖
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array)(cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \ ត្រូវ) $ ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃលទ្ធផល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃសមភាពមួយ៖ $A^(-1)\cdot A=E$ ឬ $A\cdot A^(-1)=E$ ។ តោះពិនិត្យមើលសមភាព $A^(-1)\cdot A=E$ ។ ដើម្បីធ្វើការតិចជាមួយប្រភាគ យើងនឹងជំនួសម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មិនមែនក្នុងទម្រង់ $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \ end(អារេ)\right)$ ប៉ុន្តែជា $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \\ បញ្ចប់(អារេ)\right)$:
ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$។
ឧទាហរណ៍ #3
ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \\right)$ ។
ចូរចាប់ផ្តើមដោយការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ គឺ៖
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26 ។ $$
ចាប់តាំងពី $\Delta A\neq 0$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ដូច្នេះយើងបន្តដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត ហើយបកប្រែវា៖
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\ right) $$
ដោយប្រើរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ យើងទទួលបាន៖
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
ដូច្នេះ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - ៦ /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃលទ្ធផល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃសមភាពមួយ៖ $A^(-1)\cdot A=E$ ឬ $A\cdot A^(-1)=E$ ។ តោះពិនិត្យមើលសមភាព $A\cdot A^(-1)=E$ ។ ដើម្បីធ្វើការតិចជាមួយប្រភាគ យើងនឹងជំនួសម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មិនមែនក្នុងទម្រង់ $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ប៉ុន្តែជា $\frac(1)(26)\ cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\right)$:
ការត្រួតពិនិត្យត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយជោគជ័យ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។
ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ។
ឧទាហរណ៍ #4
ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃ $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array)\right)$ ។
សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបួន ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិតគឺពិបាកបន្តិច។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការងារត្រួតពិនិត្យ។
ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ជាដំបូងអ្នកត្រូវគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ មធ្យោបាយដ៏ល្អបំផុតដើម្បីធ្វើដូច្នេះក្នុងស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីពង្រីកកត្តាកំណត់ក្នុងជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ។ យើងជ្រើសរើសជួរ ឬជួរឈរណាមួយ ហើយស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនីមួយៗនៃជួរ ឬជួរឈរដែលបានជ្រើសរើស។
