ប្រភេទវិសមភាពសំខាន់ៗត្រូវបានបង្ហាញ រួមមានវិសមភាព Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovsky, Chebyshev វិសមភាព។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាពនិងសកម្មភាពលើពួកគេត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ការដោះស្រាយវិសមភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

រូបមន្តសម្រាប់វិសមភាពមូលដ្ឋាន

រូបមន្តសម្រាប់វិសមភាពសកល

វិសមភាពសកលត្រូវបានពេញចិត្តចំពោះតម្លៃណាមួយនៃបរិមាណដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកគេ។ ប្រភេទសំខាន់ៗនៃវិសមភាពសកលត្រូវបានរាយខាងក្រោម។

១) | a b | ≤ |a| +|b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | +|a ២| + ... + |a n|

2) |a| +|b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |

3)
សមភាពកើតឡើងតែនៅពេលដែល a 1 = a 2 = ... = a n ។

4) វិសមភាព Cauchy-Bunyakovsky

សមភាពមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ α a k = β b k សម្រាប់ទាំងអស់ k = 1, 2, ..., n និង α, β, |α| + |β| > 0 ។

5) វិសមភាពរបស់ Minkowski, សម្រាប់ p ≥ 1

រូបមន្តសម្រាប់វិសមភាពដែលពេញចិត្ត

វិសមភាពដែលពេញចិត្តគឺពេញចិត្តចំពោះតម្លៃជាក់លាក់នៃបរិមាណដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកគេ។

1) វិសមភាព Bernoulli៖
.
ជាទូទៅ៖
,
កន្លែងណា លេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា និងធំជាង -1 : .
លេម៉ារបស់ Bernoulli៖
.
សូមមើល "ភស្តុតាងនៃវិសមភាព និងលេម៉ារបស់ Bernoulli" ។

2)
សម្រាប់ a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) ។

3) វិសមភាពរបស់ Chebyshev
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) វិសមភាព Chebyshev ទូទៅ
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n និង k ធម្មជាតិ
.
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាព

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពគឺជាសំណុំនៃច្បាប់ទាំងនោះដែលត្រូវបានបំពេញនៅពេលដែលពួកគេត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ខាងក្រោម​នេះ​ជា​លក្ខណៈ​នៃ​វិសមភាព។ វាត្រូវបានយល់ថាវិសមភាពដំបូងគឺពេញចិត្តចំពោះតម្លៃ x i (i = 1, 2, 3, 4) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលដែលបានកំណត់ទុកជាមុនមួយចំនួន។

1) នៅពេលដែលផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃភាគី, សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាស។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то x 2 >x 1 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 នោះ x 2 ≥ x 1 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 នោះ x 2 ≤ x 1 ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 បន្ទាប់មក x 2< x 1 .

2) សមភាពមួយគឺស្មើនឹងវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងពីរនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា។
ប្រសិនបើ x 1 = x 2 នោះ x 1 ≤ x 2 និង x 1 ≥ x 2 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង x 1 ≥ x 2 នោះ x 1 = x 2 ។

3) ទ្រព្យសម្បត្តិឆ្លងកាត់
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង x 2 ≤ x 3 នោះ x 1 ≤ x 3 ។

4) អ្នកអាចបន្ថែម (ដក) ចំនួនដូចគ្នាទៅផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 បន្ទាប់មក x 1 + A ≤ x 2 + A ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 បន្ទាប់មក x 1 + A ≥ x 2 + A ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 នោះ x 1 + A > x 2 + A ។

5) ប្រសិនបើមានវិសមភាពពីរឬច្រើនដែលមានសញ្ញានៃទិសដៅដូចគ្នានោះផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានបន្ថែម។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 នោះ x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 ។
កន្សោមស្រដៀងគ្នាកើតឡើងសម្រាប់សញ្ញា ≥, > ។
ប្រសិនបើវិសមភាពដំបូងមានសញ្ញានៃវិសមភាពមិនតឹងរឹង និងយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពតឹងរឹងមួយ (ប៉ុន្តែសញ្ញាទាំងអស់មានទិសដៅដូចគ្នា) នោះការបន្ថែមនេះនាំឱ្យវិសមភាពតឹងរឹងមួយ។

6) ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពអាចត្រូវបានគុណ (បែងចែក) ដោយចំនួនវិជ្ជមាន។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и A >0 បន្ទាប់មក A x 1< A · x 2 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង A > 0 នោះ A x 1 ≤ A x 2 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 និង A > 0 នោះ A x 1 ≥ A x 2 ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 និង A > 0 នោះ A x 1 > A x 2 ។

7) ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពអាចត្រូវបានគុណ (បែងចែក) ដោយចំនួនអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះសញ្ញាវិសមភាពនឹងផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >ក · x ២ .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 និង A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 និង A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) ប្រសិនបើមានវិសមភាពពីរឬច្រើនដែលមានពាក្យវិជ្ជមានដោយមានសញ្ញានៃទិសដៅដូចគ្នានោះផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានគុណគ្នាទៅវិញទៅមក។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 បន្ទាប់មក x 1 x 3< x 2 · x 4 .
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 បន្ទាប់មក x 1 x 3< x 2 · x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 បន្ទាប់មក x 1 x 3< x 2 · x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 បន្ទាប់មក x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 ។
កន្សោមស្រដៀងគ្នាកើតឡើងសម្រាប់សញ្ញា ≥, > ។
ប្រសិនបើវិសមភាពដំបូងមានសញ្ញានៃវិសមភាពមិនតឹងរឹង និងយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពតឹងរឹងមួយ (ប៉ុន្តែសញ្ញាទាំងអស់មានទិសដៅដូចគ្នា) នោះការគុណនឹងនាំឱ្យវិសមភាពដ៏តឹងរឹងមួយ។

9) អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាមុខងារបង្កើនឯកតា។ នោះគឺសម្រាប់ x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) ។ បន្ទាប់មកមុខងារនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តទៅផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព ដែលសញ្ញានៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរ។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≤ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 នោះ f(x 1) ≥ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 នោះ f(x 1) > f(x 2) ។

10) អនុញ្ញាតឱ្យ f (x) ជាអនុគមន៍កាត់បន្ថយឯកតា នោះមានន័យថា សម្រាប់ x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то f(x 1) >f (x2) ។
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≥ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≤ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 នោះ f(x 1)< f(x 2) .

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយវិសមភាព

ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល

វិធីសាស្ត្រចន្លោះពេលអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើវិសមភាពរួមបញ្ចូលអថេរមួយ ដែលយើងសម្គាល់ថាជា x ហើយវាមានទម្រង់៖
f(x) > 0
ដែល f(x) គឺជាអនុគមន៍បន្តដែលមានចំនួនកំណត់នៃចំនុចដាច់។ សញ្ញាវិសមភាពអាចជាអ្វីមួយ៖ >, ≥,<, ≤ .

វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេលមានដូចខាងក្រោម។

1) ស្វែងរកដែននៃអនុគមន៍ f(x) ហើយសម្គាល់វាដោយចន្លោះពេលនៅលើអ័ក្សពិត។

2) ស្វែងរកចំនុចនៃការឈប់ដំណើរការនៃអនុគមន៍ f(x) ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើវាជាប្រភាគ នោះយើងរកឃើញចំនុចដែលភាគបែងបាត់។ យើងសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះនៅលើអ័ក្សលេខ។

3) ដោះស្រាយសមីការ
f (x) = 0 ។
ឫសគល់នៃសមីការនេះត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខ។

4) ជាលទ្ធផលអ័ក្សលេខនឹងត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចទៅជាចន្លោះពេល (ផ្នែក) ។ ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗរួមបញ្ចូលក្នុងដែននិយមន័យ យើងជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយនៅចំណុចនេះយើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារ។ ប្រសិនបើតម្លៃនេះធំជាងសូន្យ នោះយើងដាក់សញ្ញា "+" លើផ្នែក (ចន្លោះពេល)។ ប្រសិនបើតម្លៃនេះតិចជាងសូន្យ នោះនៅពីលើផ្នែក (ចន្លោះពេល) យើងដាក់សញ្ញា "-"។

៥) ប្រសិនបើវិសមភាពមានទម្រង់៖ f(x) > 0 បន្ទាប់មកជ្រើសរើសចន្លោះពេលដែលមានសញ្ញា “+”។ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺការរួបរួមនៃចន្លោះពេលទាំងនេះដែលមិនរាប់បញ្ចូលព្រំដែនរបស់ពួកគេ។
ប្រសិនបើវិសមភាពមានទម្រង់៖ f(x) ≥ 0 នោះយើងបន្ថែមទៅដំណោះស្រាយនូវចំនុចដែល f(x) = 0 ។ នោះគឺចន្លោះពេលខ្លះអាចមានព្រំដែនបិទ (ព្រំដែនជារបស់ចន្លោះពេល)។ ផ្នែកផ្សេងទៀតអាចមានព្រំដែនបើកចំហ (ព្រំដែនមិនមែនជារបស់ចន្លោះពេលទេ)។
ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើវិសមភាពគឺ៖ f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
ប្រសិនបើវិសមភាពមើលទៅ៖ f(x) ≤ 0 នោះយើងបន្ថែមទៅដំណោះស្រាយនូវចំនុចដែល f(x) = 0 ។

ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តនេះអាចអនុវត្តបានចំពោះវិសមភាពនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ។ វាមាននៅក្នុងការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ (បង្ហាញខាងលើ) ដើម្បីកាត់បន្ថយវិសមភាពទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ និងទទួលបានដំណោះស្រាយ។ វាអាចទៅរួចដែលថា វានឹងមិនមានលទ្ធផលមួយ ប៉ុន្តែជាប្រព័ន្ធនៃវិសមភាព។ នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តសកល។ វាអនុវត្តចំពោះវិសមភាពណាមួយ។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។

មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃវិសមភាពលេខ និងវិធីដោះស្រាយពួកវា"។

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។

ជំនួយការបង្រៀន និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 8
Combinatorics and probability theory សមីការ និងវិសមភាព

សេចក្តីផ្តើមអំពីវិសមភាពលេខ

បុរស, យើងបានជួបប្រទះវិសមភាពរួចទៅហើយ, ឧទាហរណ៍, នៅពេលដែលយើងបានចាប់ផ្តើមទទួលបានស្គាល់ជាមួយនឹងគំនិតនៃឫសការ៉េ។ វាច្បាស់ណាស់ដោយវិចារណញាណថា ដោយមានជំនួយពីវិសមភាព វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណថាតើលេខណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យធំឬតិចជាង។ សម្រាប់ការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមនិមិត្តសញ្ញាពិសេសដែលនឹងមានន័យច្រើន ឬតិច។

ការសរសេរកន្សោម $a>b$ ជាភាសាគណិតវិទ្យាមានន័យថាលេខ $a$ ធំជាងលេខ $b$។ នៅក្នុងវេន នេះមានន័យថា $a-b$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។
ការសរសេរកន្សោម $a

ដូចវត្ថុគណិតវិទ្យាស្ទើរតែទាំងអស់ វិសមភាពមានលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន។ យើងនឹងសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៅក្នុងមេរៀននេះ។

ទ្រព្យ ១.
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $b>c$ បន្ទាប់មក $a>c$ ។

ភស្តុតាង។
វាច្បាស់ណាស់ថា $10>5$ និង $5>2$ ហើយពិតណាស់ $10>2$។ ប៉ុន្តែគណិតវិទ្យាចូលចិត្តភស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់សម្រាប់ករណីទូទៅបំផុត។
ប្រសិនបើ $a>b$ នោះ $a-b$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ $b>c$ នោះ $b-c$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ចូរបន្ថែមលេខវិជ្ជមានទាំងពីរ។
$a-b+b-c=a-c$ ។
ផលបូកនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក $a-c$ ក៏ជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។ ដែលវាធ្វើតាមនោះ $a>c$ ។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញឱ្យកាន់តែច្បាស់ដោយប្រើបន្ទាត់លេខ។ ប្រសិនបើ $a>b$ នោះលេខ $a$ នៅលើបន្ទាត់ពិតនឹងស្ថិតនៅខាងស្តាំ $b$។ ដូច្នោះហើយ ប្រសិនបើ $b>c$ នោះលេខ $b$ នឹងស្ថិតនៅខាងស្តាំនៃលេខ $c$ ។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូប ចំនុច $a$ ក្នុងករណីរបស់យើងមានទីតាំងនៅខាងស្តាំនៃចំនុច $c$ ដែលមានន័យថា $a>c$ ។

ទ្រព្យ ២.
ប្រសិនបើ $a>b$, បន្ទាប់មក $a+c>b+c$ ។
ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើលេខ $a$ ធំជាងលេខ $b$ នោះលេខណាមួយដែលយើងបន្ថែម (វិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន) ទៅលេខទាំងនេះ សញ្ញាវិសមភាពក៏នឹងត្រូវបានរក្សាទុកផងដែរ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួល។ អ្នកត្រូវធ្វើការដក។ អថេរដែលត្រូវបានបន្ថែមនឹងរលាយបាត់ ហើយវិសមភាពដើមនឹងត្រឹមត្រូវ។

ទ្រព្យ ៣.
ក) ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងចំនួនវិជ្ជមាន នោះសញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក។
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $c>0$ បន្ទាប់មក $ac>bc$ ។
ខ) ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន នោះសញ្ញានៃវិសមភាពគួរតែត្រូវបានបញ្ច្រាស់។
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $c ប្រសិនបើ $a bc$ ។
នៅពេលបែងចែកអ្នកគួរតែធ្វើសកម្មភាពដូចគ្នា (ចែកដោយលេខវិជ្ជមាន - សញ្ញាត្រូវបានរក្សាទុកបែងចែកដោយលេខអវិជ្ជមាន - សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ) ។

ទ្រព្យ ៤.
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $c>d$ បន្ទាប់មក $a+c>b+d$។

ភស្តុតាង។
ពីលក្ខខណ្ឌ៖ $a-b$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយ $c-d$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។
បន្ទាប់មកផលបូក $(a-b)+(c-d)$ ក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។
តោះប្តូរពាក្យខ្លះ $(a+с)-(b+d)$។
ពីការផ្លាស់ប្តូរកន្លែងនៃលក្ខខណ្ឌ ផលបូកមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
ដូច្នេះ $(a+c)-(b+d)$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន និង $a+c>b+d$ ។
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យ ៥.
ប្រសិនបើ $a, b, c, d$ ជាលេខវិជ្ជមាន និង $a>b$, $c>d$ បន្ទាប់មក $ac>bd$ ។

ភស្តុតាង។
ចាប់តាំងពី $a>b$ និង $c>0$ បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 យើងមាន $ac>bc$ ។
ចាប់តាំងពី $c>d$ និង $b>0$ បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 យើងមាន $cb>bd$ ។
ដូច្នេះ $ac>bc$ និង $bc>bd$ ។
បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 1 យើងទទួលបាន $ac>bd$ ។ Q.E.D.

និយមន័យ។
វិសមភាពនៃទម្រង់ $a>b$ និង $c>d$ ($a វិសមភាពនៃទម្រង់ $a>b$ និង $c d$) ត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។

បន្ទាប់មកទ្រព្យសម្បត្តិ 5 អាចត្រូវបានបកប្រែឡើងវិញ។ នៅពេលដែលវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានគុណ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំមានភាពវិជ្ជមាន វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។

ទ្រព្យ ៦.
ប្រសិនបើ $a>b$ ($a>0$, $b>0$) បន្ទាប់មក $a^n>b^n$ ដែល $n$ ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។
ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពគឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយលើកឡើងទៅជាថាមពលធម្មជាតិដូចគ្នា នោះវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នានឹងត្រូវបានទទួល។
ចំណាំថាប្រសិនបើ $n$ គឺជាចំនួនសេស នោះទ្រព្យសម្បត្តិ 6 រក្សាទុកសម្រាប់ចំនួនគត់ $a$ និង $b$ ដែលមានសញ្ញាណាមួយ។

ទ្រព្យ ៧.
ប្រសិនបើ $a>b$ ($a>0$, $b>0$) បន្ទាប់មក $\frac(1)(a)

ភស្តុតាង។
ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចាំបាច់ត្រូវដក $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ ដើម្បីទទួលបានលេខអវិជ្ជមាន។
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$ ។

យើងដឹងថា $a-b$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ ពោលគឺឧ។ $ab>0$ ។
បន្ទាប់មក $\frac(-(a-b))(ab)$ គឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យ ៨.
ប្រសិនបើ $a>0$ នោះវិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ $a+\frac(1)(a)≥2$ ។

ភស្តុតាង។
ចូរយើងពិចារណាពីភាពខុសគ្នា។
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យ ៩.វិសមភាពរបស់ Cauchy (មធ្យមនព្វន្ធគឺធំជាង ឬស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្រ)។
ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ ជាលេខមិនអវិជ្ជមាន នោះវិសមភាពខាងក្រោមនឹងរក្សាទុក៖ $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$ ។

ភស្តុតាង។
ពិចារណាពីភាពខុសគ្នា៖
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) ))^2)(2)$ គឺជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយវិសមភាព

ឧទាហរណ៍ ១
វាត្រូវបានគេដឹងថា $-1.5 ក) ៣ ដុល្លារ។
ខ) $-2b$ ។
គ) $a+b$។
ឃ) $a-b$ ។
e) $b^2$ ។
f) $a^3$ ។
g) $\frac(1)(b)$។

ការសម្រេចចិត្ត។
ក) យើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិ 3. យើងគុណនឹងចំនួនវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសញ្ញានៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
$-1.5*3 $-4.5<3a<6.3$.

ខ) ចូរយើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ 3. គុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសញ្ញាវិសមភាពផ្លាស់ប្តូរ។
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$ ។
$-10.3
គ) ការបន្ថែមវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា យើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។
$-1.5+3.1 $1.6

ឃ) គុណផ្នែកទាំងអស់នៃវិសមភាព $3.1 $-5.3<-b<-3.1$.
ឥឡូវនេះសូមអនុវត្តប្រតិបត្តិការបន្ថែម។
$-1.5-5.3 $-6.8

ង) ផ្នែកទាំងអស់នៃវិសមភាពគឺវិជ្ជមាន បំបែកពួកវា យើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។
${3.1}^2 $9.61

ង) កម្រិតនៃវិសមភាពគឺសេស បន្ទាប់មកអ្នកអាចបង្កើនដោយសុវត្ថិភាពទៅជាថាមពលមួយ និងមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។
${(-1.5)}^3 $-3.375

ឆ) ចូរយើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យ ៧.
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

ឧទាហរណ៍ ២
ប្រៀបធៀបលេខ៖
ក) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ និង $2+\sqrt(8)$ ។
ខ) $π+\sqrt(8)$ និង $4+\sqrt(10)$ ។

ការសម្រេចចិត្ត។
ក) ចូរយើងធ្វើការ៉េនៃលេខនីមួយៗ។
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$។
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$ ។
ចូរយើងគណនាភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃការ៉េទាំងនេះ។
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$ ។
ជាក់ស្តែងទទួលបានលេខវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថា៖
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$ ។
ដោយសារលេខទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះ៖
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$ ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

1. គេដឹងថា $-2.2 ស្វែងរកការប៉ាន់ស្មាននៃលេខ។
ក) ៤ ដុល្លារ។
ខ) $-3b$ ។
គ) $a+b$។
ឃ) $a-b$ ។
e) $b^4$ ។
f) $a^3$ ។
g) $\frac(1)(b)$។
2. ប្រៀបធៀបលេខ៖
ក) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ និង $3+\sqrt(7)$ ។
ខ) $π+\sqrt(5)$ និង $2+\sqrt(3)$ ។

វាលនៃចំនួនពិតមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃលំដាប់ (ធាតុ 6, ទំ។ 35): សម្រាប់លេខណាមួយ a, b, មួយនិងតែមួយគត់នៃទំនាក់ទំនងទាំងបីទទួលបាន: ឬ . ក្នុងករណីនេះ សញ្ញាណ a > b មានន័យថា ភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នានៃសញ្ញាណគឺអវិជ្ជមាន។ មិនដូចវាលនៃចំនួនពិតទេ វាលនៃចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រូវបានតម្រៀបទេ៖ សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច គោលគំនិត "ធំជាង" និង "តិចជាង" មិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ដូច្នេះ ជំពូក​នេះ​ទាក់ទង​តែ​នឹង​ចំនួន​ពិត​ប៉ុណ្ណោះ។

យើងហៅថាវិសមភាពទំនាក់ទំនង លេខ a និង b គឺជាសមាជិក (ឬផ្នែក) នៃវិសមភាព សញ្ញា > (ធំជាង) និងវិសមភាព a > b និង c > d ត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា (ឬដូចគ្នា) ។ វិសមភាព a > b និង c វាកើតឡើងភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃវិសមភាពនោះ។

1) ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយដែលធំជាងសូន្យ;

2) ចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយតិចជាងសូន្យ;

3) ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយគឺធំជាងចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយ;

4) នៃចំនួនអវិជ្ជមានពីរ ដែលតម្លៃដាច់ខាតគឺតូចជាងគឺធំជាង។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងអស់នេះទទួលស្គាល់ការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ អនុញ្ញាតឱ្យទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សលេខទៅខាងស្តាំនៃចំណុចចាប់ផ្តើម; បន្ទាប់មក មិនថាសញ្ញានៃលេខណាក៏ដោយ លេខធំនៃពួកវាត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចមួយនៅខាងស្តាំនៃចំណុចដែលតំណាងឱ្យចំនួនតូចជាង។

វិសមភាពមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗដូចខាងក្រោម។

1. Asymmetry (មិនអាចត្រឡប់វិញបាន)៖ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , និងច្រាសមកវិញ។

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន នោះភាពខុសគ្នាគឺអវិជ្ជមាន។ ពួកគេនិយាយថានៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញអត្ថន័យនៃវិសមភាពត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅជាផ្ទុយ។

2. ដំណើរឆ្លងកាត់៖ ប្រសិនបើ នោះ . ជាការពិត ភាពវិជ្ជមាននៃភាពខុសគ្នា បង្ហាញពីភាពវិជ្ជមាន

បន្ថែមពីលើសញ្ញាវិសមភាព សញ្ញាវិសមភាព និងត្រូវបានគេប្រើផងដែរ ពួកគេត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ កំណត់ត្រាមានន័យថា ទាំង ឬ ដូច្នេះ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចសរសេរ និងផងដែរ។ ជាធម្មតា វិសមភាពដែលសរសេរដោយសញ្ញាត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពដ៏តឹងរឹង ហើយវិសមភាពដែលសរសេរដោយសញ្ញាត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពមិនតឹងរឹង។ ដូច្នោះហើយ សញ្ញាទាំងនោះគេហៅថា សញ្ញានៃវិសមភាពតឹងរឹង ឬមិនតឹងរ៉ឹង។ លក្ខណៈសម្បត្តិ 1 និង 2 ដែលបានពិភាក្សាខាងលើក៏ជាការពិតសម្រាប់វិសមភាពដែលមិនតឹងរ៉ឹង។

សូមពិចារណាឥឡូវនេះនូវប្រតិបត្តិការដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តលើវិសមភាពមួយ ឬច្រើន។

3. ពីការបូកលេខដូចគ្នាទៅសមាជិកនៃវិសមភាព អត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ភស្តុតាង។ សូមឱ្យវិសមភាព និងលេខតាមអំពើចិត្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមនិយមន័យភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន។ យើងបន្ថែមទៅលេខនេះ លេខផ្ទុយពីរ ដែលវានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរ ពោលគឺឧ។

សមភាពនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖

វាធ្វើតាមពីនេះថាភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន នោះគឺថា

ហើយនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។

នេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់លទ្ធភាពនៃការបញ្ឆោតពាក្យណាមួយនៃវិសមភាពពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ ឧទាហរណ៍ពីវិសមភាព

ធ្វើតាមនោះ។

4. នៅពេលគុណលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពដោយចំនួនវិជ្ជមានដូចគ្នា អត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមានដូចគ្នា អត្ថន័យនៃវិសមភាពផ្លាស់ប្តូរទៅជាផ្ទុយ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក If បន្ទាប់មកចាប់តាំងពីផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺវិជ្ជមាន។ ការពង្រីកតង្កៀបនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបាន ពោលគឺ . ករណីនេះត្រូវបានពិចារណាតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ការសន្និដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានទាញទាក់ទងនឹងការបែងចែកផ្នែកនៃវិសមភាពដោយលេខមួយចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យ ចាប់តាំងពីការបែងចែកដោយលេខគឺស្មើនឹងគុណនឹងចំនួនមួយ ហើយលេខមានសញ្ញាដូចគ្នា។

5. សូមឱ្យលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានភាពវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក នៅពេលដែលសមាជិករបស់ខ្លួនត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលវិជ្ជមានដូចគ្នា អត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យក្នុងករណីនេះដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាលនិង . បន្ទាប់មកដោយសារតែការកើនឡើង monotonic នៃមុខងារថាមពលនៅនិងវិជ្ជមានយើងមាន

ជាពិសេសប្រសិនបើលេខធម្មជាតិនៅឯណានោះយើងទទួលបាន

i.e. នៅពេលដែលស្រង់ឫសពីផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពជាមួយនឹងពាក្យវិជ្ជមាន អត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

សូមឱ្យលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានភាពអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកវាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថានៅពេលដែលសមាជិករបស់វាត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលធម្មជាតិដ៏ចម្លែក អត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនៅពេលដែលវាត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលធម្មជាតិមួយ វាផ្លាស់ប្តូរទៅជាផ្ទុយពីនេះ។ ពីវិសមភាពជាមួយពាក្យអវិជ្ជមាន អ្នកក៏អាចស្រង់ឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេសបានដែរ។

លើសពីនេះ លក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ បន្ទាប់មក នៅពេលដែលវាត្រូវបានលើកឡើងទៅជាអំណាចសេស អត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ហើយនៅពេលដែលវាត្រូវបានលើកឡើងទៅជាអំណាចគូ គ្មានអ្វីច្បាស់លាស់អាចនិយាយបានក្នុងករណីទូទៅអំពីអត្ថន័យនៃវិសមភាពលទ្ធផលនោះទេ។ ជាការពិត នៅពេលដែលលេខមួយត្រូវបានលើកទៅជាថាមពលសេស សញ្ញានៃលេខត្រូវបានរក្សា ហើយដូច្នេះអត្ថន័យនៃវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ នៅពេលបង្កើនវិសមភាពទៅជាអំណាចមួយ វិសមភាពជាមួយនឹងពាក្យវិជ្ជមានត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយអត្ថន័យរបស់វានឹងអាស្រ័យលើតម្លៃដាច់ខាតនៃលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពដើម វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាទៅនឹងអត្ថន័យដើម វិសមភាពនៃ ន័យផ្ទុយ និងសមភាព!

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការពិនិត្យមើលអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលត្រូវបាននិយាយអំពីការបង្កើនវិសមភាពទៅជាអំណាចដោយប្រើឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 1. បង្កើនវិសមភាពខាងក្រោមទៅនឹងអំណាចដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ការផ្លាស់ប្តូរ ប្រសិនបើចាំបាច់ សញ្ញាវិសមភាពទៅជាសញ្ញាផ្ទុយ ឬទៅជាសញ្ញាស្មើគ្នា។

ក) 3> 2 ទៅអំណាចនៃ 4; ខ) ទៅអំណាចនៃ 3;

គ) ទៅអំណាចនៃ 3; ឃ) អំណាចនៃ 2;

e) ទៅអំណាចនៃ 5; e) ទៅអំណាចនៃ 4;

g) 2 > -3 ទៅអំណាចនៃ 2; h) ទៅអំណាចនៃ 2,

6. ពីវិសមភាព អ្នកអាចទៅកាន់វិសមភាពរវាងប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានទាំងវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរអវិជ្ជមាន នោះរវាងគ្នាទៅវិញទៅមករបស់ពួកគេមានវិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយគ្នា៖

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើ a និង b មានសញ្ញាដូចគ្នានោះ ផលិតផលរបស់ពួកគេគឺវិជ្ជមាន។ បែងចែកដោយវិសមភាព

i.e. ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីទទួលបាន។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា នោះវិសមភាពរវាងបដិសណ្ឋារកិច្ចមានអត្ថន័យដូចគ្នា ព្រោះសញ្ញានៃផលតបស្នងគឺដូចគ្នាទៅនឹងសញ្ញានៃបរិមាណខ្លួនឯង។

ឧទាហរណ៍ 2. ពិនិត្យទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយ 6 លើវិសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

7. លោការីតនៃវិសមភាពអាចអនុវត្តបានតែក្នុងករណីដែលលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានភាពវិជ្ជមាន (លេខអវិជ្ជមាន និងលេខសូន្យមិនមានលោការីត)។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ បន្ទាប់មកនៅពេលណា

ហើយនៅពេលណានឹង

ភាពត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះគឺផ្អែកលើ monotonicity នៃអនុគមន៍លោការីត ដែលកើនឡើងប្រសិនបើមូលដ្ឋាន និងថយចុះប្រសិនបើ

ដូច្នេះនៅពេលដែលយកលោការីតនៃវិសមភាពដែលមានពាក្យវិជ្ជមានជាមួយនឹងមូលដ្ឋានធំជាងមួយ វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយនៅពេលដែលយកលោការីតរបស់វាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានវិជ្ជមានតិចជាងមួយ វិសមភាពនៃ អត្ថន័យផ្ទុយត្រូវបានបង្កើតឡើង។

8. ប្រសិនបើ នោះ ប្រសិនបើ ប៉ុន្តែ នោះ .

នេះកើតឡើងភ្លាមៗពីលក្ខណៈសម្បត្តិ monotonicity នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (វិ. 42) ដែលកើនឡើងក្នុងករណី និងថយចុះប្រសិនបើ

នៅពេលបន្ថែមវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាតាមពាក្យ វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នានឹងទិន្នន័យត្រូវបានបង្កើតឡើង។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់វិសមភាពពីរ ទោះបីជាវាជាការពិតសម្រាប់ចំនួនវិសមភាពបូកសរុបក៏ដោយ។ ទុកឱ្យវិសមភាព

តាមនិយមន័យ លេខនឹងវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក ផលបូករបស់ពួកគេក៏ប្រែទៅជាវិជ្ជមាន ពោលគឺឧ។

ការដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌខុសគ្នា យើងទទួលបាន

ហេតុ​ដូចនេះ​ហើយ

ហើយនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។

គ្មានអ្វីច្បាស់លាស់អាចនិយាយបាននៅក្នុងករណីទូទៅអំពីអត្ថន័យនៃវិសមភាពដែលបណ្តាលមកពីការបន្ថែមវិសមភាពពីរ ឬច្រើននៃអត្ថន័យផ្សេងគ្នា។

10. ប្រសិនបើវិសមភាពមួយផ្សេងទៀតនៃអត្ថន័យផ្ទុយត្រូវបានដកពាក្យដោយពាក្យពីវិសមភាពមួយ នោះវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នានឹងពាក្យទីមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង។

ភស្តុតាង។ សូមឱ្យវិសមភាពពីរនៃអត្ថន័យផ្សេងគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទីពីរ​នៃ​ពួក​គេ​ដោយ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នៃ​ភាព​មិន​អាច​ត្រឡប់​វិញ​នោះ​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ឡើង​វិញ​ដូច​ខាង​ក្រោម​: d > c ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្ថែមវិសមភាពពីរដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នា និងទទួលបានវិសមភាព

អត្ថន័យដូចគ្នា។ ពីក្រោយយើងរកឃើញ

ហើយនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។

គ្មានអ្វីច្បាស់លាស់អាចនិយាយបាននៅក្នុងករណីទូទៅអំពីអត្ថន័យនៃវិសមភាពដែលទទួលបានដោយការដកវិសមភាពមួយផ្សេងទៀតនៃអត្ថន័យដូចគ្នាពីវិសមភាពមួយ។

វិសមភាពក្នុងគណិតវិទ្យាដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់។ នៅសាលារៀនយើងដោះស្រាយជាចម្បង វិសមភាពលេខជាមួយនឹងនិយមន័យដែលយើងនឹងចាប់ផ្តើមអត្ថបទនេះ។ ហើយ​បន្ទាប់​មក​យើង​រាយ​បញ្ជី​និង​បង្ហាញ​ពី​ភាពត្រឹមត្រូវ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខដែលគោលការណ៍ទាំងអស់នៃការធ្វើការជាមួយវិសមភាពត្រូវបានផ្អែកលើ។

យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើននៃវិសមភាពលេខគឺស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះ យើងនឹងបង្ហាញសម្ភារៈតាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នា៖ យើងបង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិ ផ្តល់យុត្តិកម្ម និងឧទាហរណ៍របស់វា ហើយបន្ទាប់មកបន្តទៅអចលនទ្រព្យបន្ទាប់។

ការរុករកទំព័រ។

វិសមភាពលេខ៖ និយមន័យ, ឧទាហរណ៍

នៅពេលយើងណែនាំពីគំនិតនៃវិសមភាព យើងបានកត់សម្គាល់ឃើញថា វិសមភាពជារឿយៗត្រូវបានកំណត់តាមវិធីដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ។ ដូច្នេះ យើងហៅថាវិសមភាព កន្សោមពិជគណិតដែលមានអត្ថន័យដែលមានសញ្ញាមិនស្មើគ្នា ≠ តិចជាង<, больше >, តិចជាង ឬស្មើ ≤ ឬធំជាង ឬស្មើ ≥ ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យខាងលើ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់វិសមភាពលេខ៖

ការប្រជុំជាមួយវិសមភាពលេខធ្វើឡើងក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យាក្នុងថ្នាក់ទីមួយភ្លាមៗបន្ទាប់ពីស្គាល់លេខធម្មជាតិដំបូងពីលេខ 1 ដល់លេខ 9 ហើយស្គាល់ពីប្រតិបត្តិការប្រៀបធៀប។ ពិតហើយ នៅទីនោះ គេហៅសាមញ្ញថា វិសមភាព ដោយលុបនិយមន័យនៃ "លេខ"។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការផ្តល់នូវឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃវិសមភាពលេខសាមញ្ញបំផុតពីដំណាក់កាលនៃការសិក្សារបស់ពួកគេ៖ 1<2 , 5+2>3 .

ហើយបន្ថែមទៀតពីលេខធម្មជាតិ ចំនេះដឹងពង្រីកទៅប្រភេទលេខផ្សេងទៀត (ចំនួនគត់ សនិទានភាព ចំនួនពិត) ច្បាប់សម្រាប់ការប្រៀបធៀបរបស់ពួកវាត្រូវបានសិក្សា ហើយនេះពង្រីកយ៉ាងសំខាន់នូវភាពចម្រុះប្រភេទនៃវិសមភាពលេខ៖ −5> −72, 3> − 0.275 (7−5, 6), .

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ

នៅក្នុងការអនុវត្តការធ្វើការជាមួយវិសមភាពអនុញ្ញាតឱ្យចំនួននៃ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ. ពួកគេធ្វើតាមគំនិតនៃវិសមភាពដែលណែនាំដោយពួកយើង។ ទាក់ទងទៅនឹងលេខ គំនិតនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម ដែលអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជានិយមន័យនៃទំនាក់ទំនង "តិចជាង" និង "ធំជាង" នៅលើសំណុំនៃលេខ (វាច្រើនតែហៅថាភាពខុសគ្នានិយមន័យនៃវិសមភាព):

និយមន័យ។

• ចំនួន a គឺធំជាង b ប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែភាពខុសគ្នា a−b គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។
• លេខ a គឺតិចជាងលេខ b ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាពខុសគ្នា a−b គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន។
• លេខ a គឺស្មើនឹងលេខ b ប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែភាពខុសគ្នា a−b ស្មើនឹងសូន្យ។

និយមន័យនេះអាចត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញទៅជានិយមន័យនៃតិចជាង ឬស្មើ និងធំជាង ឬស្មើ។ នេះគឺជាពាក្យរបស់វា៖

និយមន័យ។

• ចំនួន a ធំជាង ឬស្មើ b ប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែ a − b ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។
• លេខ a គឺតិចជាង ឬស្មើនឹងលេខ b ប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែ a − b ជាចំនួនមិនវិជ្ជមាន។

យើងនឹងប្រើនិយមន័យទាំងនេះក្នុងការបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ ដែលឥឡូវនេះយើងពិនិត្យឡើងវិញ

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

យើងចាប់ផ្តើមការពិនិត្យឡើងវិញរបស់យើងជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានចំនួនបីនៃវិសមភាព។ ហេតុអ្វីបានជាពួកគេចាំបាច់? ដោយសារតែពួកវាគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពក្នុងន័យទូទៅបំផុត ហើយមិនត្រឹមតែទាក់ទងនឹងវិសមភាពលេខប៉ុណ្ណោះទេ។

វិសមភាពលេខសរសេរដោយប្រើសញ្ញា< и >លក្ខណៈ៖

ចំពោះវិសមភាពលេខដែលសរសេរដោយប្រើសញ្ញាវិសមភាពមិនតឹងរឹង ≤ និង ≥ ពួកគេមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង (ជាជាងប្រឆាំងនឹងការឆ្លុះបញ្ចាំង) ដោយសារវិសមភាព a≤a និង a≥a រួមបញ្ចូលករណីសមភាព a=a ។ ពួកគេក៏ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយ antisymmetry និង transitivity ។

ដូច្នេះ វិសមភាពលេខដែលសរសេរដោយសញ្ញា ≤ និង ≥ មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

• ការឆ្លុះបញ្ចាំង a≥a និង a≤a គឺជាវិសមភាពពិត។
• antisymmetry ប្រសិនបើ a≤b បន្ទាប់មក b≥a ហើយប្រសិនបើ a≥b បន្ទាប់មក b≤a ។
• អន្តរកាល ប្រសិនបើ a≤b និង b≤c បន្ទាប់មក a≤c ហើយប្រសិនបើ a≥b និង b≥c បន្ទាប់មក a≥c ។

ភ័ស្តុតាងរបស់ពួកគេគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយ ដូច្នេះយើងនឹងមិនរស់នៅលើពួកវាទេ ប៉ុន្តែបន្តទៅលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃវិសមភាពលេខ។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃវិសមភាពលេខ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្ថែមលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃវិសមភាពជាលេខជាមួយនឹងស៊េរីនៃលទ្ធផលនៃសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងដ៏អស្ចារ្យ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការវាយតម្លៃតម្លៃនៃការបញ្ចេញមតិគឺផ្អែកលើពួកគេគោលការណ៍នៃ ដំណោះស្រាយវិសមភាពល។ ដូច្នេះ​គួរ​ដោះស្រាយ​ឱ្យ​បាន​ល្អ​ជាមួយ​គេ ។

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពសម្រាប់តែសញ្ញាមួយនៃវិសមភាពតឹងរឹងប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែវាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា លក្ខណៈសម្បត្តិស្រដៀងគ្នាក៏នឹងមានសុពលភាពសម្រាប់សញ្ញាផ្ទុយក៏ដូចជាសញ្ញានៃវិសមភាពមិនតឹងរឹងផងដែរ។ ចូរយើងពន្យល់រឿងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ខាងក្រោមនេះ យើងបង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាពដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើ ក

• ប្រសិនបើ a>b នោះ a+c>b+c ;
• ប្រសិនបើ a≤b បន្ទាប់មក a+c≤b+c ;
• ប្រសិនបើ a≥b បន្ទាប់មក a+c≥b+c ។

ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខក្នុងទម្រង់ជាបញ្ជី ខណៈពេលដែលផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវគ្នា សរសេរវាជាផ្លូវការដោយប្រើអក្សរ ផ្តល់ភស្តុតាង ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់។ ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ យើងនឹងសង្ខេបលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃវិសមភាពលេខនៅក្នុងតារាងមួយ។ ទៅ!

ការបន្ថែម (ឬដក) លេខណាមួយទៅភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពលេខពិតផ្តល់នូវវិសមភាពលេខពិត។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើលេខ a និង b គឺដូចនោះ a

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ ចូរយើងចងក្រងភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃវិសមភាពលេខចុងក្រោយ ហើយបង្ហាញថាវាអវិជ្ជមាននៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. ដោយលក្ខខណ្ឌ ក

យើងមិនពឹងផ្អែកលើភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខនេះសម្រាប់ការដកលេខ c ទេ ព្រោះនៅលើសំណុំនៃការដកចំនួនពិតអាចត្រូវបានជំនួសដោយការបន្ថែម −c ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលេខ 15 ទៅផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 7>3 នោះអ្នកទទួលបានវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 7+15>3+15 ដែលដូចគ្នា 22>18។

ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវត្រូវបានគុណ (ឬបែងចែក) ដោយចំនួនវិជ្ជមានដូចគ្នា c នោះវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវនឹងត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណ (ឬបែងចែក) ដោយលេខអវិជ្ជមាន c ហើយសញ្ញានៃវិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាស នោះវិសមភាពត្រឹមត្រូវនឹងត្រូវបានទទួល។ ក្នុងទម្រង់ព្យញ្ជនៈ៖ ប្រសិនបើលេខ a និង b បំពេញវិសមភាព a bc

ភស្តុតាង។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីនៅពេល c> 0 ។ បង្កើតភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃវិសមភាពលេខដែលត្រូវបានបង្ហាញ៖ a·c−b·c=(a−b)·c ។ ដោយលក្ខខណ្ឌ ក 0 បន្ទាប់មកផលិតផល (a −b) c នឹងជាលេខអវិជ្ជមានដែលជាផលិតផលនៃចំនួនអវិជ្ជមាន a−b និងលេខវិជ្ជមាន c (ដែលតាមពីក្រោយ )។ ដូច្នេះ a c-b c<0 , откуда a·c

យើងមិនពឹងផ្អែកលើភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណាសម្រាប់ការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពលេខពិតដោយលេខដូចគ្នា c ទេព្រោះការបែងចែកតែងតែអាចត្រូវបានជំនួសដោយគុណនឹង 1/c ។

ចូរយើងបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានវិភាគទៅជាលេខជាក់ស្តែង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

ពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលទើបតែពិនិត្យមើលការគុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាពលេខដោយចំនួនមួយ លទ្ធផលជាក់ស្តែងពីរដែលមានតម្លៃអនុវត្តតាម។ ដូច្នេះ​យើង​បង្កើត​វា​ជា​ទម្រង់​កូរ៉ូឡា។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើក្នុងកថាខណ្ឌនេះត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយការពិតដែលថាដំបូងវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយតាមរយៈឧបាយកលមួយចំនួនជាមួយនឹងផ្នែកនៃវិសមភាព និងសញ្ញា វិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវមួយទៀតត្រូវបានទទួល។ ឥឡូវនេះ យើងនឹងផ្តល់ឱ្យប្លុកនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមិនមានមួយ ប៉ុន្តែវិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ដំបូង ហើយលទ្ធផលថ្មីគឺទទួលបានពីការប្រើប្រាស់រួមគ្នារបស់ពួកគេបន្ទាប់ពីបន្ថែម ឬគុណផ្នែករបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើសម្រាប់លេខ a , b , c និង d វិសមភាព a

ចូរយើងបង្ហាញថា (a+c)−(b+d) គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន វានឹងបង្ហាញថា a+c

ដោយការបញ្ចូល ទ្រព្យសម្បត្តិនេះពង្រីកដល់ការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃចំនួនបី បួន និងជាទូទៅចំនួនកំណត់នៃវិសមភាពលេខណាមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើសម្រាប់លេខ a 1 , a 2 , … , a n និង b 1 , b 2 , … , b n វិសមភាព a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

ជាឧទាហរណ៍ យើងត្រូវបានផ្តល់វិសមភាពលេខត្រឹមត្រូវចំនួនបីនៃសញ្ញាដូចគ្នា −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

អ្នកអាចគុណលេខដោយពាក្យវិសមភាពលេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា ដែលផ្នែកទាំងពីរនេះត្រូវបានតំណាងដោយលេខវិជ្ជមាន។ ជាពិសេសចំពោះវិសមភាពពីរ ក

ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងអាចគុណទាំងសងខាងនៃវិសមភាព a

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ការគុណនៃចំនួនកំណត់ណាមួយនៃវិសមភាពលេខដែលមានសុពលភាពជាមួយនឹងផ្នែកវិជ្ជមាន។ នោះគឺប្រសិនបើ a 1 , a 2 , … , a n និង b 1 , b 2 , … , b n គឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយ a 1 a 1 a 2 ... a n .

ដោយឡែកវាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើសញ្ញាណនៃវិសមភាពលេខមានលេខដែលមិនវិជ្ជមាននោះការគុណតាមកាលកំណត់របស់ពួកគេអាចនាំឱ្យមានវិសមភាពលេខមិនត្រឹមត្រូវ។ ឧទាហរណ៍ វិសមភាពលេខ ១<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• ផលវិបាក។ ការគុណតាមកាលកំណត់នៃវិសមភាពពិតដូចគ្នាបេះបិទនៃទម្រង់ a

នៅក្នុងសេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃអត្ថបទដូចដែលបានសន្យាយើងនឹងប្រមូលទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានសិក្សាទាំងអស់នៅក្នុង តារាងទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ:

គន្ថនិទ្ទេស។

• ម៉ូរ៉ូ M.I.. គណិតវិទ្យា។ ប្រូក សម្រាប់ 1 cl ។ ដើម សាលា នៅ 2 ទំ. ផ្នែកទី 1. (ពាក់កណ្តាលឆ្នាំដំបូង) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova ។ - ទី 6 ed ។ - M.: Enlightenment, 2006. - 112 p.: ill. + App. (២ ដាច់ដោយឡែកពីគ្នា ឈឺ) ។ - ISBN 5-09-014951-8 ។
• គណិតវិទ្យា៖ ការសិក្សា។ សម្រាប់ 5 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd ។ - ទី 21 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0 ។
• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។