ពិចារណាស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិ៖ 1, 2, 3, , ន – 1, ន,  .

ប្រសិនបើយើងជំនួសលេខធម្មជាតិនីមួយៗ ននៅក្នុងស៊េរីនេះមួយចំនួន ក នដោយអនុវត្តតាមច្បាប់មួយចំនួន យើងទទួលបានលេខស៊េរីថ្មី៖

ក 1 , ក 2 , ក 3, , ក ន –1 , ក ន , ,

អក្សរកាត់និងហៅ លំដាប់លេខ. តម្លៃ ក នត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទូទៅនៃលំដាប់លេខ។ ជាធម្មតា លំដាប់លេខត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន ក ន = f(ន) ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់តាមលេខរបស់វា។ ន; រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តពាក្យទូទៅ។ ចំណាំថាវាមិនតែងតែអាចបញ្ជាក់លំដាប់លេខដោយរូបមន្តពាក្យទូទៅបានទេ។ ពេលខ្លះ លំដាប់មួយត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយពណ៌នាអំពីសមាជិករបស់វា។

តាមនិយមន័យ លំដាប់មួយតែងតែផ្ទុកនូវចំនួនធាតុដែលគ្មានកំណត់៖ ធាតុពីរផ្សេងគ្នារបស់វាខុសគ្នាយ៉ាងហោចនៅក្នុងចំនួនរបស់វា ដែលក្នុងនោះមានច្រើនគ្មានកំណត់។

លំដាប់លេខគឺជាករណីពិសេសនៃអនុគមន៍មួយ។ លំដាប់គឺជាអនុគមន៍ដែលកំណត់លើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ និងយកតម្លៃក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត ពោលគឺមុខងារនៃទម្រង់ f : ន  រ.

បន្តបន្ទាប់
ហៅ កើនឡើង(ស្រក) ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ ន  ន
លំដាប់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាយ៉ាងតឹងរ៉ឹង.

ពេល​ខ្លះ​វា​ងាយស្រួល​ក្នុង​ការ​ប្រើ​មិន​មែន​លេខ​ធម្មជាតិ​ទាំងអស់​ជា​លេខ​ទេ ប៉ុន្តែ​មាន​តែ​លេខ​ខ្លះ​ប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍ លេខ​ធម្មជាតិ​ចាប់​ពី​លេខ​ធម្មជាតិ​ខ្លះ ន 0). សម្រាប់​ការ​ដាក់​លេខ​វិញ​ក៏​អាច​ប្រើ​មិន​ត្រឹម​តែ​លេខ​ធម្មជាតិ​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ក៏​មាន​លេខ​ផ្សេង​ទៀត​ដែរ​ឧទាហរណ៍ ន= 0, 1, 2,  (នៅទីនេះ សូន្យត្រូវបានបន្ថែមទៅសំណុំនៃលេខធម្មជាតិជាចំនួនផ្សេងទៀត)។ ក្នុង​ករណី​បែប​នេះ ការ​បញ្ជាក់​លំដាប់​បង្ហាញ​ពី​តម្លៃ​ដែល​លេខ​យក។ ន.

ប្រសិនបើនៅក្នុងលំដាប់មួយចំនួនសម្រាប់ណាមួយ។ ន  ន
បន្ទាប់មកលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា មិនថយចុះ(មិនកើនឡើង) លំដាប់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯកតា.

ឧទាហរណ៍ ១ . លំដាប់លេខ 1, 2, 3, 4, 5, ... គឺជាស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិ ហើយមានពាក្យសាមញ្ញ ក ន = ន.

ឧទាហរណ៍ ២ . លំដាប់លេខ 2, 4, 6, 8, 10, ... គឺជាស៊េរីនៃលេខគូ និងមានពាក្យសាមញ្ញ ក ន = 2ន.

ឧទាហរណ៍ ៣ . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … គឺជាលំដាប់លេខនៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវកើនឡើង។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្តល់រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់។

ឧទាហរណ៍ 4 . សរសេរពាក្យ 5 ដំបូងនៃលំដាប់លេខដោយពាក្យសាមញ្ញរបស់វា។
. ដើម្បីគណនា ក 1 គឺត្រូវការនៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទូទៅ ក នជំនួស​អោយ នជំនួស 1 ដើម្បីគណនា ក 2 − 2 ។ល។ បន្ទាប់មកយើងមាន៖

តេស្ត ៦ . សមាជិកទូទៅនៃលំដាប់ 1, 2, 6, 24, 120,  គឺ៖

1)

2)

3)

4)

តេស្ត ៧ .
គឺ៖

1)

2)

3)

4)

តេស្ត ៨ . សមាជិកទូទៅនៃលំដាប់
គឺ៖

1)

2)

3)

4)

ដែនកំណត់លំដាប់លេខ

ពិចារណាពីលំដាប់លេខដែលពាក្យទូទៅចូលទៅជិតលេខជាក់លាក់មួយ។ កជាមួយនឹងការបង្កើនលេខស៊េរី ន. ក្នុងករណីនេះ លំដាប់លេខត្រូវបានគេនិយាយថាមានដែនកំណត់។ គំនិតនេះមាននិយមន័យតឹងរ៉ឹងជាង។

ចំនួន កត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ
:

(1)

ប្រសិនបើសម្រាប់  > 0 មានលេខបែបនេះ ន 0 = ន 0 () អាស្រ័យ , ដែល
នៅ ន > ន 0 .

និយមន័យនេះមានន័យថា កមានដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ ប្រសិនបើពាក្យសាមញ្ញរបស់វាជិតដល់ពេលកំណត់ កជាមួយនឹងការកើនឡើង ន. តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថាសម្រាប់  > 0 ណាមួយអាចស្វែងរកលេខបែបនេះបាន។ ន 0 ដែលចាប់ផ្តើមពី ន > ន 0 សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ស្ថិតនៅខាងក្នុងចន្លោះ ( ក – , ក+ ) ។ លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបង្រួបបង្រួម; បើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

លំដាប់លេខអាចមានដែនកំណត់តែមួយ (កំណត់ ឬគ្មានកំណត់) នៃសញ្ញាជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ 5 . លំដាប់អាម៉ូនិក មានលេខ 0 ជាដែនកំណត់។ ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ចន្លោះណាមួយ (–; +) ជាលេខ ន 0 អាចជាចំនួនគត់ធំជាង។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ន > ន 0> យើងមាន

ឧទាហរណ៍ ៦ . លំដាប់ 2, 5, 2, 5,  គឺខុសគ្នា។ ជាការពិតណាស់ គ្មានចន្លោះពេលនៃប្រវែងតិចជាង ឧទាហរណ៍មួយ អាចមានសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន។

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់ប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ ម, អ្វី
សម្រាប់​ទាំងអស់ ន. គ្រប់​លំដាប់​ដែល​រួម​គ្នា​ត្រូវ​បាន​កំណត់។ រាល់​លំដាប់ monotone និង bounded មានដែនកំណត់។ រាល់​លំដាប់​រួម​មាន​ដែនកំណត់​ពិសេស។

ឧទាហរណ៍ ៧ . បន្តបន្ទាប់
កំពុងកើនឡើង និងមានកម្រិត។ នាងមានដែនកំណត់
=អ៊ី.

ចំនួន អ៊ីហៅ លេខអយល័រនិងប្រហែលស្មើនឹង 2.718 28 ។

តេស្ត ៩ . លំដាប់ 1, 4, 9, 16,  គឺ៖

1) ការបញ្ចូលគ្នា;

2) ភាពខុសគ្នា;

3) មានកំណត់;

តេស្ត ១០ . បន្តបន្ទាប់
គឺ៖

1) ការបញ្ចូលគ្នា;

2) ភាពខុសគ្នា;

3) មានកំណត់;

4) ការវិវត្តនព្វន្ធ;

5) វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

តេស្ត ១១ . បន្តបន្ទាប់ មិន​មែន:

1) ការបញ្ចូលគ្នា;

2) ភាពខុសគ្នា;

3) មានកំណត់;

4) អាម៉ូនិក។

សាកល្បង 12 . ដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យសាមញ្ញ
ស្មើ។

លំដាប់លេខ និងដែនកំណត់របស់វាតំណាងឱ្យបញ្ហាសំខាន់បំផុតមួយនៃគណិតវិទ្យាពេញមួយប្រវត្តិសាស្រ្តនៃអត្ថិភាពនៃវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។ ចំណេះដឹងដែលធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពឥតឈប់ឈរ បង្កើតទ្រឹស្ដីថ្មី និងភស្តុតាង - ទាំងអស់នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាអំពីគោលគំនិតនេះពីមុខតំណែងថ្មី និងក្រោមភាពខុសគ្នា

លំដាប់លេខ ដោយអនុលោមតាមនិយមន័យទូទៅបំផុតមួយ គឺជាអនុគមន៍គណិតវិទ្យា ដែលជាមូលដ្ឋាននៃសំណុំនៃលេខធម្មជាតិដែលត្រូវបានរៀបចំតាមលំនាំមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។

មានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់បង្កើតលំដាប់លេខ។

ដំបូង មុខងារនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបដែលហៅថា "ច្បាស់លាស់" នៅពេលដែលមានរូបមន្តជាក់លាក់មួយ ដែលសមាជិកនីមួយៗអាចកំណត់បានដោយគ្រាន់តែជំនួសលេខលំដាប់ទៅក្នុងលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរត្រូវបានគេហៅថា "recursive" ។ ខ្លឹមសាររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាសមាជិកពីរបីដំបូងនៃលំដាប់លេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក៏ដូចជារូបមន្ត recursive ពិសេស ដោយមានជំនួយពីការដែលស្គាល់សមាជិកមុនអ្នកអាចស្វែងរកលេខបន្ទាប់។

ជាចុងក្រោយ មធ្យោបាយទូទៅបំផុតនៃការបញ្ជាក់លំដាប់គឺហៅថា នៅពេលដែល ដោយគ្មានការលំបាកច្រើន មនុស្សម្នាក់មិនត្រឹមតែអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណមួយ ឬពាក្យផ្សេងទៀតនៅក្រោមលេខសៀរៀលជាក់លាក់មួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងដឹងពីពាក្យជាប់ៗគ្នាជាច្រើន មករូបមន្តទូទៅនៃពាក្យនេះ។ មុខងារ។

លំដាប់លេខអាចថយចុះ ឬកើនឡើង។ ក្នុងករណីទីមួយ ពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺតិចជាងពាក្យមុន ហើយទីពីរ ផ្ទុយទៅវិញវាធំជាង។

ដោយពិចារណាលើប្រធានបទនេះវាមិនអាចទៅរួចទេដែលមិនត្រូវប៉ះលើបញ្ហានៃដែនកំណត់នៃលំដាប់។ ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាចំនួនបែបនេះ នៅពេលដែលសម្រាប់ណាមួយ រួមទាំងតម្លៃតូចមួយដែលគ្មានកំណត់ មានលេខធម្មតា បន្ទាប់មកគម្លាតនៃសមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នានៃលំដាប់ពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ជាលេខក្លាយជាតិចជាងតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងអំឡុងពេល ការបង្កើតមុខងារនេះ។

គោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខត្រូវបានប្រើយ៉ាងសកម្មនៅពេលអនុវត្តការគណនាអាំងតេក្រាល និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាក់លាក់។

លំដាប់គណិតវិទ្យាមានសំណុំទាំងមូលនៃលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។

ទីមួយ លំដាប់លេខណាមួយគឺជាឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យា ដូច្នេះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនោះដែលជាលក្ខណៈនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានអនុវត្តដោយសុវត្ថិភាពចំពោះលំដាប់។ ឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៃលក្ខណៈសម្បត្តិបែបនេះគឺការផ្តល់លើការបង្កើននិងបន្ថយស៊េរីនព្វន្ធដែលត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយគំនិតទូទៅមួយ - លំដាប់ monotonic ។

ទីពីរ មាន​ក្រុម​លំដាប់​ធំ​មួយ​ដែល​មិន​អាច​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ការ​កើន​ឡើង​ឬ​ថយ​ចុះ​ឡើយ ទាំង​នេះ​គឺ​ជា​លំដាប់​តាម​កាលកំណត់។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ពួកវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារទាំងនោះ ដែលនៅក្នុងនោះហៅថា រយៈពេលនៃរយៈពេល ពោលគឺចាប់ពីពេលជាក់លាក់មួយ (n) សមភាពខាងក្រោមចាប់ផ្តើមដំណើរការ y n \u003d y n + T ដែល T នឹងជា រយៈពេលនៃរយៈពេល។

លំយោល។ ក្រណាត់កន្ទបទារក។ យំ។
ពាក្យ។ ជំហាន។ ត្រជាក់។ វេជ្ជបណ្ឌិត។
រត់ជុំវិញ។ ប្រដាប់ក្មេងលេង។ បងប្រុស។
ទីធ្លា។ យោល។ មត្តេយ្យ។
សាលា។ Deuce ។ ត្រូកា។ ប្រាំ។
បាល់។ ជំហាន។ ហ្គីបស៊ូម។ គ្រែ។
ប្រយុទ្ធ។ ឈាម។ ច្រមុះខូច។
ទីធ្លា។ មិត្តភក្តិ។ ពិធីជប់លៀង។ បង្ខំ។
វិទ្យាស្ថាន។ និទាឃរដូវ។ គុម្ពោត។
រដូវក្តៅ។ សម័យ។ កន្ទុយ។
ស្រាបៀរ។ វ៉ូដាកា។ ជីនទឹកកក។
កាហ្វេ។ សម័យ។ សញ្ញាប័ត្រ។
មនោសញ្ចេតនា។ ស្នេហា។ តារា។
ដៃ។ បបូរមាត់។ យប់មិនដេក។
អាពាហ៍ពិពាហ៍។ ម្ដាយក្មេក។ ឪពុកក្មេក។ អន្ទាក់។
អាគុយម៉ង់។ ក្លឹប។ មិត្តភក្តិ។ ពែង។
ផ្ទះ។ ការងារ។ ផ្ទះ។ គ្រួសារ។
ព្រះអាទិត្យ។ រដូវក្តៅ។ ព្រិល។ រដូវរងា។
កូនប្រុស។ ក្រណាត់កន្ទបទារក។ លំយោល។
ភាពតានតឹង។ ម្ចាស់ស្រី។ គ្រែ។
អាជីវកម្ម។ លុយ។ ផែនការ។ អារ៉ាល់។
ទូរទស្សន៍។ ស៊េរី។
ផ្ទះប្រទេស។ ផ្លែឆឺរី។ Zucchini ។
សក់ពណ៌ប្រផេះ។ ជំងឺឈឺក្បាលប្រកាំង។ វ៉ែនតា។
ចៅប្រុស។ ក្រណាត់កន្ទបទារក។ លំយោល។
ភាពតានតឹង។ សម្ពាធ។ គ្រែ។
បេះដូង។ តម្រងនោម។ ឆ្អឹង។ វេជ្ជបណ្ឌិត។
សុន្ទរកថា។ មឈូស។ លា។ យំ។

លំដាប់ជីវិត

SEQUENCE - (លំដាប់) លេខ ឬធាតុដែលរៀបចំតាមលំដាប់។ លំដាប់អាចមានកំណត់ (មានចំនួនកំណត់នៃធាតុ) ឬគ្មានកំណត់ ដូចជាលំដាប់ពេញលេញនៃលេខធម្មជាតិ 1, 2, 3, 4 … … …

វចនានុក្រមវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកទេស

និយមន័យ៖លំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថាជាលេខ ដែលផ្តល់ឱ្យនៅលើសំណុំ N នៃលេខធម្មជាតិ។ សម្រាប់លំដាប់លេខជាធម្មតាជំនួសឱ្យ f(n)សរសេរ មួយ n ហើយកំណត់លំដាប់ដូចនេះ៖ មួយ n ) លេខ ក 1 , ក 2 , …, a n,… ហៅ ធាតុលំដាប់។

ជាធម្មតា លំដាប់លេខត្រូវបានកំណត់ដោយការកំណត់ ន-th element ឬរូបមន្ត recursive ដែលយោងទៅតាមធាតុបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានកំណត់តាមរយៈធាតុមុន។ វិធីពិពណ៌នានៃការបញ្ជាក់លំដាប់លេខក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ។ ឧទាហរណ៍:

• សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់គឺ "1". នេះ​មាន​ន័យ​ថា​យើង​កំពុង​និយាយ​អំពី​លំដាប់​ស្ថានី ១, ១, ១, …, ១, …។

• លំដាប់មានលេខបឋមទាំងអស់តាមលំដាប់ឡើង។ដូច្នេះ លំដាប់ 2, 3, 5, 7, 11, … ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយនឹងវិធីនៃការបញ្ជាក់លំដាប់ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាពិបាកក្នុងការឆ្លើយថា ធាតុទី 1000 នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង។

ជាមួយនឹងវិធីសាស្ត្រដដែលៗ រូបមន្តមួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ចេញមតិ នសមាជិកទី 1 នៃលំដាប់តាមរយៈលេខមុន ហើយបញ្ជាក់សមាជិកដំបូង 1-2 នៃលំដាប់។

• y 1 = 3; y n =y n-1 + 4 , ប្រសិនបើ ន = 2, 3, 4,…

នៅទីនេះ y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , ប្រសិនបើ ន = 3, 4,…

នៅទីនេះ៖ y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

លំដាប់​បង្ហាញ​ដោយ​រូបមន្ត​ដដែលៗ y n =y n-1 + 4 អាចត្រូវបានវិភាគផងដែរ៖ y n= y 1 +4 * (n-1)

ពិនិត្យ៖ y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

នៅទីនេះយើងមិនចាំបាច់ស្គាល់សមាជិកមុននៃលំដាប់លេខដើម្បីគណនាធាតុ n-th នោះទេ យើងគ្រាន់តែត្រូវការបញ្ជាក់លេខរបស់វា និងតម្លៃនៃធាតុទីមួយប៉ុណ្ណោះ។

ដូចដែលយើងអាចឃើញវិធីនៃការបញ្ជាក់លំដាប់លេខនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងវិធីវិភាគនៃការបញ្ជាក់មុខងារ។ តាមពិត លំដាប់លេខគឺជាប្រភេទពិសេសនៃអនុគមន៍លេខ ដូច្នេះលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃអនុគមន៍ក៏អាចត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់លំដាប់ផងដែរ។

លំដាប់លេខគឺជាប្រធានបទគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងផ្តល់ព័ត៌មាន។ ប្រធានបទនេះត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងភារកិច្ចនៃភាពស្មុគស្មាញកើនឡើង ដែលត្រូវបានផ្តល់ជូនដល់សិស្សដោយអ្នកនិពន្ធនៃឯកសារ didactic ក្នុងភារកិច្ចនៃការប្រកួតកីឡាអូឡាំពិក គណិតវិទ្យា ការប្រឡងចូលគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា និងនៅលើ។ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់ស្វែងយល់បន្ថែមអំពីប្រភេទផ្សេងៗនៃលំដាប់លេខ សូមចុចទីនេះ។ ជាការប្រសើរណាស់, ប្រសិនបើអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់លាស់និងសាមញ្ញសម្រាប់អ្នក, ប៉ុន្តែព្យាយាមឆ្លើយ។

ហូវហាន់នីសៀនអ៊ីវ៉ា

លំដាប់លេខ។ អរូបី។

ទាញយក៖

មើលជាមុន៖

ស្ថាប័នអប់រំថវិកាក្រុង
"អនុវិទ្យាល័យលេខ ៣១"
ទីក្រុង Barnaul

លំដាប់លេខ

អត្ថបទ

ការងារបានបញ្ចប់៖
Oganesyan Eva,
សិស្សថ្នាក់ទី៨ MBOU "អនុវិទ្យាល័យលេខ៣១"
អ្នកគ្រប់គ្រង៖
Poleva Irina Alexandrovna,
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា MBOU "អនុវិទ្យាល័យលេខ៣១"

Barnaul - ឆ្នាំ 2014

សេចក្តីផ្តើម………………………………………………………………… ២

លំដាប់លេខ……………………………………………………… ៣

វិធីកំណត់លំដាប់លេខ……………………..៤

ការអភិវឌ្ឍន៍លទ្ធិនៃវឌ្ឍនភាព………………………………………………..៥

លក្ខណសម្បត្តិនៃលំដាប់លេខ………………………………………៧

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ………………………………………………………………… ..............៩

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ……………………………………………….១០

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ………………………………………………………………… ១១

ឯកសារយោង…………………………………………………………… ១១

សេចក្តីផ្តើម

គោលបំណងនៃអរូបីនេះ។- សិក្សាអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានទាក់ទងនឹងលំដាប់លេខ ការអនុវត្តន៍របស់ពួកគេក្នុងការអនុវត្ត។
ភារកិច្ច:

1. ដើម្បីសិក្សាទិដ្ឋភាពប្រវត្តិសាស្ត្រនៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃលទ្ធិនៃវឌ្ឍនភាព;
2. ពិចារណាវិធីនៃការកំណត់និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់លេខ;
3. ស្វែងយល់អំពីដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ។

បច្ចុប្បន្ន លំដាប់លេខត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃមុខងារមួយ។ លំដាប់លេខគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។ គំនិតនៃលំដាប់លេខមួយបានកើតឡើង និងបានអភិវឌ្ឍជាយូរមកហើយ មុនពេលការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃមុខងារ។ នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​នៃ​លំដាប់​លេខ​គ្មាន​កំណត់ ដែល​គេ​ស្គាល់​នៅ​សម័យ​បុរាណ៖

1, 2, 3, 4, 5, ... - លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិ។

2, 4, 6, 8, 10, ... - លំដាប់នៃលេខគូ។

1, 3, 5, 7, 9, ... - លំដាប់នៃលេខសេស។

1, 4, 9, 16, 25, ... - លំដាប់នៃការេនៃលេខធម្មជាតិ។

2, 3, 5, 7, 11… - លំដាប់នៃលេខបឋម។

1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ... - លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិ។

ចំនួនសមាជិកនៃស៊េរីនីមួយៗនេះគឺគ្មានកំណត់។ លំដាប់​ទី​ប្រាំ​ដំបូង​គឺ​មាន​ការ​កើន​ឡើង​ឯកតា​, មួយ​ចុង​ក្រោយ​គឺ​ជា​ការ​ថយ​ចុះ monotonically ។ លំដាប់ដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់ លើកលែងតែលេខទី 5 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសារតែការពិតដែលថាសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ ពាក្យសាមញ្ញត្រូវបានគេស្គាល់ ពោលគឺ ច្បាប់សម្រាប់ការទទួលបានពាក្យដែលមានលេខណាមួយ។ សម្រាប់​លំដាប់​នៃ​លេខ​បឋម ពាក្យ​ទូទៅ​មួយ​គឺ​មិន​ដឹង​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ដើម​សតវត្ស​ទី 3 ។ BC អ៊ី អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាឡិចសាន់ឌឺ Eratosthenes បានបង្ហាញវិធីសាស្រ្តមួយ (ទោះបីជាមានការពិបាកណាស់) សម្រាប់ការទទួលបានសមាជិក n-th របស់វា។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថា "Sieve of Eratosthenes" ។

វឌ្ឍនភាព - ប្រភេទជាក់លាក់នៃលំដាប់លេខ - ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវិមាននៃសហវត្សទី II មុនគ។ អ៊ី

លំដាប់លេខ

មាននិយមន័យផ្សេងៗគ្នានៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខ – វាគឺជាលំដាប់នៃធាតុនៃលំហលេខ (វិគីភីឌា)។

លំដាប់លេខ – នេះគឺជាសំណុំលេខ។

អនុគមន៍នៃទម្រង់ y = f (x), xត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិឬលំដាប់លេខហើយបញ្ជាក់ y = f(n) ឬ

, , , …, ការសម្គាល់ ().

យើងនឹងសរសេរលេខគូវិជ្ជមានតាមលំដាប់ឡើង។ លេខទីមួយគឺ 2 ទីពីរគឺ 4 ទីបីគឺ 6 លេខ 4 គឺ 8 ហើយដូច្នេះនៅលើដូច្នេះយើងទទួលបានលំដាប់: 2; ៤; ៦; ៨; ១០….

ជាក់ស្តែងកន្លែងទីប្រាំនៅក្នុងលំដាប់នេះនឹងជាលេខ 10 ទីដប់ - 20 រយ - 200. ជាទូទៅសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n អ្នកអាចបញ្ជាក់លេខគូវិជ្ជមានដែលត្រូវគ្នា; វាស្មើនឹង 2n ។

សូមក្រឡេកមើលលំដាប់ផ្សេងទៀត។ យើង​នឹង​សរសេរ​តាម​លំដាប់​ចុះ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ប្រភាគ​ដែល​មាន​លេខ​ស្មើ​នឹង 1៖

; ; ; ; ; … .

សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n យើងអាចបញ្ជាក់ប្រភាគដែលត្រូវគ្នាបាន; វាស្មើនឹង. ដូច្នេះនៅក្នុងកន្លែងទីប្រាំមួយគួរតែជាប្រភាគនៅថ្ងៃទីសាមសិប - , នៅលើពាន់ - ប្រភាគមួយ។ .

លេខដែលបង្កើតជាលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ទីបួន។ល។ សមាជិកនៃលំដាប់។ សមាជិក​នៃ​លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ជា​ធម្មតា​ដោយ​អក្សរ​ដែល​មាន​អក្សរ​ក្រោម​ដែល​បង្ហាញ​ពី​លេខ​លំដាប់​របស់​សមាជិក។ ឧទាហរណ៍:, , ល។ ជាទូទៅពាក្យនៃលំដាប់ដែលមានលេខ n ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ សមាជិកទី n នៃលំដាប់ត្រូវបានតំណាង. លំដាប់​ដោយ​ខ្លួន​វា​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ដោយ () លំដាប់មួយអាចមានទាំងចំនួនសមាជិកគ្មានកំណត់ និងចំនួនកំណត់។ ក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានគេហៅថាចុងក្រោយ។ ឧទាហរណ៍៖ លំដាប់នៃលេខពីរខ្ទង់។១០; ដប់មួយ; ១២; ១៣; … ; ៩៨; ៩៩

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់បញ្ជាក់លំដាប់លេខ

លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីជាច្រើន។

ជាធម្មតា លំដាប់គឺសមស្របជាងក្នុងការកំណត់រូបមន្តនៃពាក្យទូទៅទី 0 របស់វា។ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ ដោយដឹងពីចំនួនរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះលំដាប់ត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យវិភាគ។ ឧទាហរណ៍៖ លំដាប់នៃពាក្យវិជ្ជមាន=2 ន.

កិច្ចការ៖ ស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់ (:

6; 20; 56; 144; 352;…

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរពាក្យនីមួយៗនៃលំដាប់តាមទម្រង់ខាងក្រោម៖

n=1:6=2 3=3=

n=2:20=4 5=5=

n=3:56=8 7=7=

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់គឺជាផលគុណនៃអំណាចនៃពីរគុណនឹងចំនួនសេសជាប់គ្នាហើយពីរត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលដែលស្មើនឹងចំនួននៃធាតុនៅក្នុងសំណួរ។ ដូច្នេះហើយ យើងសន្និដ្ឋានថា

ចម្លើយ៖ រូបមន្តពាក្យទូទៅ៖

វិធីមួយទៀតដើម្បីបញ្ជាក់លំដាប់គឺត្រូវបញ្ជាក់លំដាប់ដោយប្រើទំនាក់ទំនងកើតឡើងវិញ។. រូបមន្ត​ដែល​បង្ហាញ​ពី​សមាជិក​ណា​មួយ​នៃ​លំដាប់​ដោយ​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​មួយ​ចំនួន​តាម​រយៈ​មុន​ (មួយ​ឬ​ច្រើន) ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថាកើតឡើងវិញ។ (ពីពាក្យឡាតាំង recurro - ដើម្បីត្រឡប់មកវិញ) ។

ក្នុងករណីនេះ ធាតុទីមួយ ឬច្រើននៃលំដាប់ត្រូវបានបញ្ជាក់ ហើយនៅសល់ត្រូវបានកំណត់យោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញគឺជាលំដាប់នៃលេខ Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ដែលក្នុងនោះលេខបន្តបន្ទាប់នីមួយៗចាប់ផ្តើមពីទីបីគឺជាផលបូកនៃចំនួនពីរមុន មួយ: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ លំដាប់នេះអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញ:

N N, = ១.

កិច្ចការ៖ បន្តបន្ទាប់ផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនងកើតឡើងវិញ។+ , n N, = 4. សរសេរពាក្យពីរបីដំបូងនៃលំដាប់នេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកពាក្យទីបីនៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

+ =

ល។

នៅពេលដែលលំដាប់ត្រូវបានបញ្ជាក់ម្តងហើយម្តងទៀត ការគណនាគឺពិបាកខ្លាំងណាស់ ព្រោះដើម្បីស្វែងរកធាតុដែលមានលេខច្រើន ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកសមាជិកពីមុនទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកយើងត្រូវស្វែងរកសមាជិក 499 មុនទាំងអស់។

វិធីពិពណ៌នាការចាត់តាំងនៃលំដាប់លេខមាននៅក្នុងការពន្យល់ពីធាតុអ្វីខ្លះដែលលំដាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើងពី។

ឧទាហរណ៍ 1 ។ msgstr "សមាជិក​ទាំងអស់​នៃ​លំដាប់​គឺ 1 ។" នេះ​មាន​ន័យ​ថា​យើង​កំពុង​និយាយ​អំពី​លំដាប់​ស្ថានី ១, ១, ១, …, ១, …។

ឧទាហរណ៍ 2. "លំដាប់មានលេខបឋមទាំងអស់តាមលំដាប់ឡើង។" ដូច្នេះ លំដាប់ 2, 3, 5, 7, 11, … ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយនឹងវិធីនៃការបញ្ជាក់លំដាប់ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាពិបាកក្នុងការឆ្លើយថា ធាតុទី 1000 នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង។

ដូចគ្នានេះផងដែរ, លំដាប់លេខអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសាមញ្ញមួយ។ចុះបញ្ជីសមាជិករបស់ខ្លួន។

ការអភិវឌ្ឍនៃលទ្ធិនៃវឌ្ឍនភាព

ពាក្យថាវឌ្ឍនភាពមានដើមកំណើតឡាតាំង (progressio) មានន័យថា "ឆ្ពោះទៅមុខ" (ដូចជាពាក្យ "វឌ្ឍនភាព") ហើយត្រូវបានរកឃើញជាលើកដំបូងដោយអ្នកនិពន្ធរ៉ូម៉ាំង Boethius (សតវត្សទី 5-6) ។ បន្តវាដោយគ្មានកំណត់ក្នុងទិសដៅតែមួយ។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិ ការ៉េ និងគូប។ នៅចុងបញ្ចប់នៃយុគសម័យកណ្តាល និងនៅដើមសម័យទំនើប ពាក្យនេះឈប់ប្រើជាទូទៅ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅសតវត្សទី 17 លោក J. Gregory បានប្រើពាក្យ "ស៊េរី" ជំនួសឱ្យការវិវត្ត ហើយគណិតវិទូអង់គ្លេសដ៏លេចធ្លោម្នាក់ទៀតគឺ J. Wallis បានប្រើពាក្យ "ការរីកចំរើនគ្មានកំណត់" សម្រាប់ស៊េរីគ្មានកំណត់។

នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ យើងចាត់ទុកការវិវត្តជាករណីពិសេសនៃលំដាប់លេខ។

ព័ត៌មានទ្រឹស្តីទាក់ទងនឹងវឌ្ឍនភាពត្រូវបានរកឃើញដំបូងនៅក្នុងឯកសារនៃប្រទេសក្រិកបុរាណដែលបានចុះមកយើង។

នៅក្នុង Psammite, Archimedes ជាលើកដំបូងប្រៀបធៀបការវិវត្តនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ៖

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

វឌ្ឍនភាពត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការបន្តនៃសមាមាត្រ ដែលនេះជាមូលហេតុដែលអេពីធីត នព្វន្ធ និងធរណីមាត្រត្រូវបានផ្ទេរពីសមាមាត្រទៅវឌ្ឍនភាព។

ទិដ្ឋភាពនៃវឌ្ឍនភាពនេះត្រូវបានរក្សាទុកដោយគណិតវិទូជាច្រើននៃសតវត្សទី 17 និងសូម្បីតែសតវត្សទី 18 ។ នេះជារបៀបដែលមនុស្សម្នាក់គួរតែពន្យល់ពីការពិតដែលថានិមិត្តសញ្ញាដែលរកឃើញនៅក្នុង Barrow ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអង់គ្លេសផ្សេងទៀតនៅពេលនោះដើម្បីបង្ហាញពីសមាមាត្រធរណីមាត្រជាបន្តបន្ទាប់បានចាប់ផ្តើមបង្ហាញពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាភាសាអង់គ្លេសនិងបារាំងនៃសតវត្សទី 18 ។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា ពួកគេបានចាប់ផ្តើមកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ។

ភ័ស្តុតាងមួយរបស់ Archimedes ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងការងាររបស់គាត់ "The Quadrature of the Parabola" មានសារៈសំខាន់រហូតដល់ការបូកសរុបនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតឈប់ឈរ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនពីធរណីមាត្រនិងមេកានិច Archimedes ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃការ៉េនៃលេខធម្មជាតិទោះបីជាវាត្រូវបានគេប្រើមុនគាត់ក៏ដោយ។

1/6n(n+1)(2n+1)

រូបមន្តមួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងវឌ្ឍនភាពត្រូវបានស្គាល់ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រចិន និងឥណ្ឌា។ ដូច្នេះ Aryabhatta (V century) ស្គាល់រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យសាមញ្ញ ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ល។ Magavira (សតវត្សទី IX) បានប្រើរូបមន្ត៖ + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) និងស៊េរីស្មុគស្មាញផ្សេងទៀត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្បួនសម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្តត្រូវបានរកឃើញដំបូងនៅក្នុងសៀវភៅ Abacus (1202) ដោយ Leonardo of Pisa ។ នៅក្នុង The Science of Numbers (1484) N. Shuke ដូចជា Archimedes ប្រៀបធៀបការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងធរណីមាត្រ ហើយផ្តល់ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការបូកសរុបដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះតិចតួចបំផុត។ រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​បូក​សរុប​ការ​រីក​ចម្រើន​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​ជា​រៀង​រហូត​ត្រូវ​បាន​គេ​ស្គាល់​ដោយ P. Fermat និង​គណិតវិទូ​ផ្សេង​ទៀត​នៃ​សតវត្ស​ទី 17 ។

បញ្ហាសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ (និងធរណីមាត្រ) ក៏ត្រូវបានរកឃើញផងដែរនៅក្នុងខិត្តប័ណ្ណចិនបុរាណ "គណិតវិទ្យាក្នុងសៀវភៅប្រាំបួន" ដែលទោះជាយ៉ាងណាមិនមានការណែនាំអំពីការប្រើប្រាស់រូបមន្តបូកសរុបណាមួយឡើយ។

បញ្ហាវឌ្ឍនភាពដំបូងដែលបានចុះមករកយើងគឺជាប់ទាក់ទងនឹងតម្រូវការនៃជីវិតសេដ្ឋកិច្ច និងការអនុវត្តសង្គម ដូចជាការចែកចាយផលិតផល ការបែងចែកមរតកជាដើម។

ពីថេប្លេត Cuneiform មួយយើងអាចសន្និដ្ឋានថាដោយសង្កេតមើលព្រះច័ន្ទពីព្រះច័ន្ទថ្មីដល់ព្រះច័ន្ទពេញលេញជនជាតិបាប៊ីឡូនបានឈានដល់ការសន្និដ្ឋាននេះ: ក្នុងរយៈពេលប្រាំថ្ងៃដំបូងបន្ទាប់ពីព្រះច័ន្ទថ្មីការកើនឡើងនៃការបំភ្លឺនៃថាសតាមច័ន្ទគតិកើតឡើងតាមច្បាប់។ នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងភាគបែងនៃ 2។ នៅក្នុងថេប្លេតក្រោយមួយទៀត យើងកំពុងនិយាយអំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រសរុប៖

1+2+ +…+ . ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ S=512+(512-1) ទិន្នន័យក្នុងចានណែនាំថា អ្នកនិពន្ធបានប្រើរូបមន្ត។

Sn= +( -១) ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់ដឹងពីរបៀបដែលគាត់បានទៅដល់វា។

ការបូកសរុបនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងការចងក្រងនៃបញ្ហាដែលត្រូវគ្នាដែលមិនតែងតែឆ្លើយតបនឹងតម្រូវការជាក់ស្តែងត្រូវបានអនុវត្តដោយអ្នកស្រឡាញ់គណិតវិទ្យាជាច្រើនក្នុងយុគសម័យបុរាណ និងកណ្តាល។

លក្ខណសម្បត្តិលំដាប់លេខ

លំដាប់លេខគឺជាករណីពិសេសនៃអនុគមន៍លេខ ហើយដូច្នេះលក្ខណសម្បត្តិមួយចំនួននៃអនុគមន៍ (boundedness, monotonicity) ក៏ត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់លំដាប់ផងដែរ។

លំដាប់មានកំណត់

បន្តបន្ទាប់ () ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចងពីខាងលើថាសម្រាប់លេខណាមួយ n,ម.

បន្តបន្ទាប់ () ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា កំណត់ពីខាងក្រោមប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ mថាសម្រាប់លេខណាមួយ n,ម

បន្តបន្ទាប់ () ត្រូវបានគេហៅថាមានព្រំដែន ប្រសិនបើវាត្រូវបានចងពីខាងលើ និងចងពីខាងក្រោម នោះមានន័យថាមានលេខ M បែបនេះ0 ដែលសម្រាប់លេខណាមួយ n ,ម.

បន្តបន្ទាប់ () ត្រូវបានគេហៅថាគ្មានដែនកំណត់ ប្រសិនបើមានលេខ M បែបនេះ0 ថាមានលេខ n ដូចនេះម.

កិច្ចការ៖ ស្វែងយល់ពីលំដាប់ = ដល់កម្រិត។

ដំណោះស្រាយ។ លំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានកំណត់ដោយហេតុថាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n មានវិសមភាពដូចខាងក្រោម:

0 1,

នោះគឺលំដាប់ត្រូវបានចងពីខាងក្រោមដោយសូន្យ ហើយក្នុងពេលតែមួយត្រូវបានចងពីខាងលើដោយការរួបរួម ដូច្នេះហើយក៏ត្រូវបានចងផងដែរ។

ចម្លើយ៖ លំដាប់ត្រូវបានកំណត់ - ពីខាងក្រោមដោយសូន្យ និងពីខាងលើដោយមួយ។

ការកើនឡើងនិងចុះតាមលំដាប់

បន្តបន្ទាប់ () ត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើង ប្រសិនបើពាក្យនីមួយៗធំជាងពាក្យមុន៖

ឧទាហរណ៍ 1, 3, 5, 7.....2n -1,... គឺជាលំដាប់កើនឡើង។

បន្តបន្ទាប់ () ត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះ ប្រសិនបើពាក្យនីមួយៗតិចជាងពាក្យមុន៖

ឧទាហរណ៍ ១; គឺជាលំដាប់ចុះ។

ការបង្កើននិងបន្ថយលំដាប់ត្រូវបានផ្សំដោយពាក្យសាមញ្ញមួយ -លំដាប់ monotonic. សូមលើកឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។

1; - លំដាប់នេះមិនកើនឡើង ឬថយចុះទេ (លំដាប់ nonmonotonic)។

2 ន. យើងកំពុងនិយាយអំពីលំដាប់ទី 2, 4, 8, 16, 32, ... - លំដាប់កើនឡើង។

ជាទូទៅប្រសិនបើ a > 1 បន្ទាប់មកលំដាប់= កើនឡើង;

ប្រសិនបើ 0 = ថយចុះ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

លំដាប់លេខ សមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងផលបូកនៃសមាជិកមុន ហើយលេខដូចគ្នា d ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធហើយលេខ d គឺជាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ដូច្នេះ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់លេខ

X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; a និង d ត្រូវបានផ្តល់លេខ)។

ឧទាហរណ៍ 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... គឺជាការរីកចំរើននព្វន្ធ ដែលក្នុងនោះ= 1, ឃ = 2 ។

ឧទាហរណ៍ 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - ដំណើរការនព្វន្ធថយចុះ ដែលក្នុងនោះ= 20, ឃ = −3 ។

ឧទាហរណ៍ 3. ពិចារណាពីលំដាប់នៃលេខធម្មជាតិដែលនៅពេលចែកនឹងបួន នៅសល់ 1:1; ៥; ៩; ១៣; ១៧; ២១…

ពាក្យនីមួយៗចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ ទទួលបានដោយការបន្ថែមលេខ 4 ទៅពាក្យមុន។ លំដាប់នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធ។

វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកកន្សោម (រូបមន្ត) ច្បាស់លាស់តាមរយៈ n ។ តម្លៃនៃធាតុបន្ទាប់កើនឡើងដោយ d បើប្រៀបធៀបទៅនឹងធាតុមុន ដូច្នេះតម្លៃនៃធាតុ n នឹងកើនឡើងដោយ (n - 1)d បើប្រៀបធៀបទៅនឹងសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ i.e.

= + ឃ (n–1) ។ នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ។

នេះគឺជារូបមន្តបូក n សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះ ព្រោះនៅក្នុងពាក្យនីមួយៗ លើកលែងតែលេខទីមួយ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនពីរដែលនៅជាប់នឹងវា - មុន និងបន្ទាប់ ពិតប្រាកដណាស់

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

លំដាប់លេខ សមាជិកទាំងអស់ដែលមិនមែនជាសូន្យ ហើយសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺទទួលបានពីសមាជិកមុនដោយគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា q ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រហើយលេខ q គឺជាភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ ដូច្នេះ ការវិវត្តធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ (ផ្តល់ឱ្យឡើងវិញដោយទំនាក់ទំនង

ខ, = q (n = 2, 3, 4…; b និង q ត្រូវបានផ្តល់លេខ) ។

ឧទាហរណ៍ 1. 2, 6, 18, 54, ... - ការបង្កើនវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

2, q = 3 ។

ឧទាហរណ៍ 2. 2, -2, 2, -2, ... គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ= 2, q = −1 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាក់ស្តែងមួយនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺថាប្រសិនបើលំដាប់មួយគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះលំដាប់នៃការ៉េ ឧ។; ;…-

គឺជាការវិវត្តធរណីមាត្រដែលពាក្យទីមួយស្មើនឹងហើយភាគបែងគឺ.

រូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ៖

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖ លំដាប់លេខគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប្រសិនបើការេនៃពាក្យនីមួយៗរបស់វា លើកលែងតែទីមួយ (និងចុងក្រោយនៅក្នុងករណីនៃលំដាប់កំណត់) គឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យមុន និងបន្តបន្ទាប់។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

លំដាប់លេខត្រូវបានសិក្សាដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើនសតវត្សមកហើយ។បញ្ហាវឌ្ឍនភាពដំបូងដែលបានចុះមករកយើងគឺជាប់ទាក់ទងនឹងតម្រូវការនៃជីវិតសេដ្ឋកិច្ច និងការអនុវត្តសង្គម ដូចជាការចែកចាយផលិតផល ការបែងចែកមរតកជាដើម។ ពួកគេគឺជាគោលគំនិតសំខាន់មួយនៃគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំបានព្យាយាមឆ្លុះបញ្ចាំងពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានដែលទាក់ទងនឹងលំដាប់លេខ របៀបកំណត់ពួកវា លក្ខណៈសម្បត្តិ និងពិចារណាមួយចំនួននៃពួកគេ។ ដោយឡែកពីគ្នា វឌ្ឍនភាព (នព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ) ត្រូវបានពិចារណា ហើយគោលគំនិតមូលដ្ឋានដែលពាក់ព័ន្ធជាមួយពួកគេត្រូវបានពិពណ៌នា។

គន្ថនិទ្ទេស

1. A.G. Mordkovich, ពិជគណិត, ថ្នាក់ទី១០, សៀវភៅសិក្សា, ឆ្នាំ ២០១២
2. A.G. Mordkovich, ពិជគណិត, ថ្នាក់ទី៩, សៀវភៅសិក្សា, ឆ្នាំ ២០១២
3. មគ្គុទ្ទេសក៍សិស្សដ៏អស្ចារ្យ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ, "Drofa", ឆ្នាំ 2001
4. G.I. Glaser, ប្រវត្តិគណិតវិទ្យាក្នុងសាលា,

អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៦៤ ។

1. "គណិតវិទ្យានៅសាលា", ទស្សនាវដ្តី, 2002.
2. សេវាកម្មអប់រំតាមអ៊ីនធឺណិត Webmath.ru
3. សព្វវចនាធិប្បាយវិទ្យាសាស្រ្តពេញនិយមជាសកល "Krugosvet"

វីដា y= f(x), xអំពី ន, កន្លែងណា នគឺជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ (ឬមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ) ដែលតំណាងឱ្យ y=f(ន) ឬ y 1 ,y 2 ,…, y n,…. តម្លៃ y 1 ,y 2 ,y 3 ,… ត្រូវបានគេហៅថារៀងៗខ្លួន ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ... សមាជិកនៃលំដាប់។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់មុខងារ y= ន 2 អាចត្រូវបានសរសេរ:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = ន 2 ;…

វិធីសាស្រ្តកំណត់លំដាប់។លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា ដែលក្នុងនោះមានបីយ៉ាងមានសារៈសំខាន់ជាពិសេសគឺ៖ ការវិភាគ ការពិពណ៌នា និងការកើតឡើងម្តងទៀត។

1. លំដាប់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយវិភាគប្រសិនបើរូបមន្តរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ន-សមាជិក៖

y n=f(ន).

ឧទាហរណ៍។ y n= 2n- 1 – លំដាប់នៃលេខសេស៖ ១, ៣, ៥, ៧, ៩, ...

2. បរិយាយ វិធី​ដើម្បី​បញ្ជាក់​លំដាប់​លេខ​គឺ​ថា​វា​ពន្យល់​ពី​ធាតុ​អ្វី​ដែល​លំដាប់​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ពី។

ឧទាហរណ៍ 1. "សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង 1 ។" នេះ​មាន​ន័យ​ថា​យើង​កំពុង​និយាយ​អំពី​លំដាប់​ស្ថានី ១, ១, ១, …, ១, …។

ឧទាហរណ៍ 2. "លំដាប់មានលេខបឋមទាំងអស់តាមលំដាប់ឡើង។" ដូច្នេះ លំដាប់ 2, 3, 5, 7, 11, … ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយនឹងវិធីនៃការបញ្ជាក់លំដាប់ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាពិបាកក្នុងការឆ្លើយថា ធាតុទី 1000 នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង។

3. វិធីដដែលៗនៃការបញ្ជាក់លំដាប់គឺច្បាប់មួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ធ្វើការគណនា ន-th member of sequence ប្រសិនបើសមាជិកមុនរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ឈ្មោះវិធីសាស្រ្តកើតឡើងវិញមកពីពាក្យឡាតាំង កើតឡើងម្តងទៀត- ត្រឡប់មកវិញ។ ភាគច្រើននៅក្នុងករណីបែបនេះ រូបមន្តមួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដែលអនុញ្ញាតឱ្យបញ្ចេញមតិ នសមាជិកទី 1 នៃលំដាប់តាមរយៈលេខមុន ហើយបញ្ជាក់សមាជិកដំបូង 1-2 នៃលំដាប់។

ឧទាហរណ៍ ១ y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 ប្រសិនបើ ន = 2, 3, 4,….

នៅទីនេះ y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាលំដាប់ដែលទទួលបានក្នុងឧទាហរណ៍នេះក៏អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការវិភាគផងដែរ: y n= 4n- 1.

ឧទាហរណ៍ ២ y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ប្រសិនបើ ន = 3, 4,….

នៅទីនេះ៖ y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

លំដាប់ដែលមាននៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះត្រូវបានសិក្សាជាពិសេសនៅក្នុងគណិតវិទ្យាព្រោះវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនិងកម្មវិធីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយចំនួន។ វាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់ Fibonacci - បន្ទាប់ពីគណិតវិទូអ៊ីតាលីនៃសតវត្សទី 13 ។ ការកំណត់លំដាប់ Fibonacci ឡើងវិញគឺងាយស្រួលណាស់ ប៉ុន្តែការវិភាគវាពិបាកណាស់។ នលេខ Fibonacci ទី 1 ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលេខធម្មតារបស់វាដោយរូបមន្តខាងក្រោម។

នៅ glance ដំបូង, រូបមន្តសម្រាប់ នលេខ Fibonacci ហាក់ដូចជាមិនអាចយល់បាន ព្រោះរូបមន្តដែលបញ្ជាក់លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិមានឫសការ៉េ ប៉ុន្តែអ្នកអាចពិនិត្យ "ដោយដៃ" នូវសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះសម្រាប់ពីរបីដំបូង។ ន.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺជាករណីពិសេសនៃអនុគមន៍លេខ ដូច្នេះលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍មួយចំនួនក៏ត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់លំដាប់ផងដែរ។

និយមន័យ . បន្តបន្ទាប់ ( y n} ត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនីមួយៗរបស់វា (លើកលែងតែទីមួយ) គឺធំជាងពាក្យមុន៖

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

និយមន័យ លំដាប់ ( y n} ត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនីមួយៗរបស់វា (លើកលែងតែទីមួយ) តិចជាងពាក្យមុន៖

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

ការបង្កើននិងបន្ថយលំដាប់ត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយពាក្យសាមញ្ញមួយ - លំដាប់ monotonic ។

ឧទាហរណ៍ ១ y 1 = 1; y n= ន 2 គឺជាលំដាប់កើនឡើង។

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត (លក្ខណៈលក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ)។ លំដាប់លេខគឺជាលេខនព្វន្ធ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែសមាជិកនីមួយៗរបស់វា លើកលែងតែទីមួយ (និងចុងក្រោយនៅក្នុងករណីនៃលំដាប់កំណត់) គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍។ នៅតម្លៃអ្វី xលេខ 3 x + 2, 5x– ៤ និង ១១ x+ 12 បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធកំណត់?

យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែបំពេញទំនាក់ទំនង

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

ការដោះស្រាយសមីការនេះផ្តល់ឱ្យ x= –5,5. ជាមួយនឹងតម្លៃនេះ។ xកន្សោម ៣ x + 2, 5x– ៤ និង ១១ x+ 12 យករៀងគ្នាតម្លៃ -14.5, –31,5, –48,5. នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ ភាពខុសគ្នារបស់វាគឺ -17 ។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

លំដាប់លេខដែលសមាជិកទាំងអស់មិនមែនជាសូន្យ ហើយសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺទទួលបានពីសមាជិកមុនដោយគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា qត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងលេខ q- ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ដូច្នេះ ការវិវត្តធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ ( b n) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញដោយទំនាក់ទំនង

ខ 1 = ខ, b n = b n –1 q (ន = 2, 3, 4…).

(ខនិង q-លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ខ ≠ 0, q ≠ 0).

ឧទាហរណ៍ 1. 2, 6, 18, 54, ... - ការបង្កើនវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ខ = 2, q = 3.

ឧទាហរណ៍ 2. 2, -2, 2, -2, ... – វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ខ= 2,q= –1.

ឧទាហរណ៍ 3. 8, 8, 8, 8, … – វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ខ= 8, q= 1.

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់កើនឡើងប្រសិនបើ ខ 1 > 0, q> 1 និងបន្ថយប្រសិនបើ ខ 1 > 0, 0 q

លក្ខណៈសម្បត្តិជាក់ស្តែងមួយនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺថាប្រសិនបើលំដាប់មួយគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះលំដាប់នៃការ៉េ ឧ។

ខ 1 2 , ខ 2 2 , ខ 3 2 , …, b n 2,… គឺជាការវិវត្តធរណីមាត្រដែលពាក្យទីមួយស្មើនឹង ខ 12 ហើយភាគបែងគឺ q 2 .

រូបមន្ត n-ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមានទម្រង់

b n= ខ 1 q n– 1 .

អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់។

អនុញ្ញាតឱ្យមានការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រកំណត់

ខ 1 ,ខ 2 ,ខ 3 , …, b n

អនុញ្ញាតឱ្យ S n -ផលបូកនៃសមាជិករបស់ខ្លួន, i.e.

ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + … +b n.

វាត្រូវបានទទួលយក qលេខ 1. ដើម្បីកំណត់ សល្បិចសិប្បនិម្មិតត្រូវបានអនុវត្ត៖ ការបំប្លែងធរណីមាត្រមួយចំនួននៃកន្សោមត្រូវបានអនុវត្ត S n q.

S n q = (ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + … + b n –1 + b n)q = ខ 2 + ខ 3 + ខ 4 + …+ b n+ b n q = ស+ b n q– ខ 1 .

ដូច្នេះ S n q= ស +b n q – ខ 1 ហើយដូច្នេះ

នេះគឺជារូបមន្តជាមួយ umma n សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រសម្រាប់ករណីនៅពេលដែល q≠ 1.

នៅ q= 1 រូបមន្តមិនអាចត្រូវបានទាញយកដោយឡែកពីគ្នាទេវាច្បាស់ណាស់ថាក្នុងករណីនេះ ស= ក 1 ន.

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះ ពីព្រោះនៅក្នុងពាក្យនីមួយៗ លើកលែងតែទីមួយគឺស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្រនៃពាក្យមុន និងបន្ទាប់។ ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

b n = b n- 1 q;

bn = bn + 1 / q,

ហេតុនេះ b n 2= b n– 1 bn+ 1 និងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត (លក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ):

លំដាប់លេខគឺជាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រ ប្រសិនបើការេនៃពាក្យនីមួយៗរបស់វា លើកលែងតែទីមួយ (និងចុងក្រោយនៅក្នុងករណីនៃលំដាប់កំណត់) គឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យមុន និងបន្ទាប់។

ដែនកំណត់លំដាប់។

សូមឱ្យមានលំដាប់ ( c n} = {1/ន}. លំដាប់នេះត្រូវបានគេហៅថាអាម៉ូនិក ដោយសារសមាជិកនីមួយៗរបស់វាចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺជាមធ្យមអាម៉ូនិករវាងសមាជិកមុន និងបន្ទាប់។ មធ្យមធរណីមាត្រនៃលេខ កនិង ខមានលេខ

បើមិនដូច្នោះទេលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា divergent ។

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនេះ មនុស្សម្នាក់អាចបញ្ជាក់អំពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់ A=0សម្រាប់លំដាប់អាម៉ូនិក ( c n} = {1/ន) សូមឱ្យ ε ជាចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត។ យើងពិចារណាពីភាពខុសគ្នា

តើមានបែបនោះទេ។ ននោះសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា n≥ នវិសមភាព ១ / ន? ប្រសិនបើយកជា នចំនួនធម្មជាតិណាមួយធំជាង 1/ε បន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា n ≥ នវិសមភាព ១ /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

ជួនកាលវាពិបាកណាស់ក្នុងការបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់សម្រាប់លំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ លំដាប់ទូទៅបំផុតត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងល្អ ហើយត្រូវបានរាយក្នុងសៀវភៅយោង។ មានទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗដែលធ្វើឱ្យវាអាចសន្និដ្ឋានបានថាលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានដែនកំណត់ (និងសូម្បីតែគណនាវា) ដោយផ្អែកលើលំដាប់ដែលបានសិក្សារួចហើយ។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើលំដាប់មួយមានដែនកំណត់ នោះវាត្រូវបានចង។

ទ្រឹស្តីបទ 2. ប្រសិនបើលំដាប់មួយគឺ monotone និង bounded នោះវាមានដែនកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ 3. ប្រសិនបើលំដាប់ ( មួយ n} មានដែនកំណត់ កបន្ទាប់មក លំដាប់ ( ca n}, {មួយ n+ គ) និង (| មួយ n|} មានដែនកំណត់ cA, ក +គ, |ក| រៀងៗខ្លួន (នៅទីនេះ គគឺជាលេខដែលបំពាន)។

ទ្រឹស្តីបទ 4. ប្រសិនបើលំដាប់ ( មួយ n} និង ( b n) មានដែនកំណត់ស្មើនឹង កនិង ខ ប៉ា n + qb n) មានដែនកំណត់ pA+ qB.

ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើលំដាប់ ( មួយ n) និង ( b n) មានដែនកំណត់ស្មើនឹង កនិង ខរៀងគ្នា បន្ទាប់មកលំដាប់ ( a n b n) មានដែនកំណត់ AB

ទ្រឹស្តីបទ 6. ប្រសិនបើលំដាប់ ( មួយ n} និង ( b n) មានដែនកំណត់ស្មើនឹង កនិង ខរៀងៗខ្លួន និងលើសពីនេះទៀត។ b n ≠ 0 និង ខ≠ 0 បន្ទាប់មកលំដាប់ ( a n / b n) មានដែនកំណត់ ក/ខ.

អាណា Chugainova