អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1; y 1) និង M 2 (x 2; y 2) ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 មានទម្រង់ y- y 1 \u003d k (x − x 1), (10.6)

កន្លែងណា k - មេគុណមិនស្គាល់។

ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 2 (x 2 y 2) បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវតែបំពេញសមីការ (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 −x 1) ។

ពីទីនេះយើងរកឃើញការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ k ចូលទៅក្នុងសមីការ (10.6) យើងទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច M 1 និង M 2៖

សន្មត់ថាក្នុងសមីការនេះ x 1 ≠ x 2 y 1 ≠ y 2

ប្រសិនបើ x 1 \u003d x 2 នោះបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច M 1 (x 1, y I) និង M 2 (x 2, y 2) គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ។ សមីការរបស់វាគឺ x = x 1 .

ប្រសិនបើ y 2 \u003d y I នោះសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានសរសេរជា y \u003d y 1 បន្ទាត់ត្រង់ M 1 M 2 គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក

ឱ្យ​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​អ័ក្ស​អុក​ត្រង់​ចំណុច M 1 (a; 0) និង​អ័ក្ស Oy - នៅ​ចំណុច M 2 (0; b) ។ សមីការនឹងមានទម្រង់៖
ទាំងនោះ។
. សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក ដោយសារតែ លេខ a និង b បង្ហាញថាផ្នែកណាដែលបន្ទាត់ត្រង់កាត់ចេញនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ.

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Mo (x O; y o) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ n = (A; B) ។

យកចំណុចបំពាន M(x; y) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយពិចារណាវ៉ិចទ័រ M 0 M (x - x 0; y - y o) (មើលរូបភាពទី 1) ។ ដោយសារវ៉ិចទ័រ n និង M o M កាត់កែង ផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ៖ នោះគឺ

A(x - xo) + B(y - yo) = 0 ។ (10.8)

សមីការ (១០.៨) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ .

វ៉ិចទ័រ n = (A; B) កាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ។ .

សមីការ (១០.៨) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ដែល A និង B ជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា C \u003d -Ax o - Vu o - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ សមីការ (១០.៩) គឺជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់(សូមមើលរូបភាពទី 2) ។

Fig.1 Fig.2

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់

,

កន្លែងណា
គឺជាកូអរដោណេនៃចំណុចដែលខ្សែឆ្លងកាត់ និង
- វ៉ិចទ័រទិសដៅ។

ខ្សែកោងនៃរង្វង់លំដាប់ទីពីរ

រង្វង់គឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាល។

សមីការ Canonical នៃរង្វង់កាំ រ ផ្តោតលើចំណុចមួយ។
:

ជាពិសេស ប្រសិនបើចំណុចកណ្តាលនៃភាគហ៊ុនស្របគ្នានឹងប្រភពដើម នោះសមីការនឹងមើលទៅដូច៖

ពងក្រពើ

ពងក្រពើគឺជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីពួកវានីមួយៗទៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ និង ដែលត្រូវបានគេហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ
ធំជាងចម្ងាយរវាង foci
.

សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើដែល foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Ox ហើយប្រភពដើមរបស់វាស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាង foci មានទម្រង់
ជី ដឺក ប្រវែងនៃ semiaxis សំខាន់;ខ គឺជាប្រវែងនៃ semiaxis តូច (រូបភាព 2) ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ។

មាន​បន្ទាត់​ជា​ច្រើន​ដែល​មិន​ចេះ​ចប់​ដែល​អាច​គូស​តាម​ចំណុច​ណា​មួយ​បាន។

តាម​រយៈ​ចំណុច​មិន​ស្រប​គ្នា​ពីរ​ណា​មួយ មាន​តែ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ។

បន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ ឬជា

ប៉ារ៉ាឡែល (ធ្វើតាមពីមួយមុន) ។

នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ មានជម្រើសបីសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ពីរ៖

• បន្ទាត់ប្រសព្វ;

• បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា;

• បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ។

ត្រង់ បន្ទាត់- ខ្សែកោងពិជគណិតនៃលំដាប់ទីមួយ៖ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ជាបន្ទាត់ត្រង់

ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ (សមីការលីនេអ៊ែរ) ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

និយមន័យ. បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

និងថេរ ក, ខមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅ

សមីការបន្ទាត់ត្រង់។អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ ក, ខនិង ជាមួយករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (ដោយ + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = C = 0, A ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

. A = C = 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ក្នុង​ទម្រង់​ផ្សេង​គ្នា​អាស្រ័យ​លើ​ការ​ផ្តល់​ឱ្យ

លក្ខខណ្ឌដំបូង។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ. នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B)

កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ A(1, 2)កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (3, -1).

ការសម្រេចចិត្ត. ចូរសរសេរនៅ A \u003d 3 និង B \u003d -1 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់៖ 3x - y + C \u003d 0 ។ ដើម្បីរកមេគុណ C

យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច A ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។ យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C = 0 ដូច្នេះ

គ = -១. សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​លំហ M 1 (x 1 , y 1 , z 1)និង M2 (x 2, y 2, z 2),បន្ទាប់មក សមីការបន្ទាត់ត្រង់,

ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគបែងដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។ នៅ​លើ

យន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2និង x = x ១, ប្រសិនបើ x 1 = x 2 .

ប្រភាគ = គបានហៅ កត្តាជម្រាល ត្រង់.

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

ការសម្រេចចិត្ត. អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0នាំយកទៅទម្រង់:

និងកំណត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល k ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងចំណុចដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលកិច្ចការ

បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ. រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ (α 1 , α 2)សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ

Aα 1 + Bα 2 = 0បានហៅ វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច A(1, 2) ។

ការសម្រេចចិត្ត. យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ អ័ក្ស + ដោយ + C = 0 ។យោងតាមនិយមន័យ

មេគុណត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ អ័ក្ស + Ay + C = 0,ឬ x + y + C / A = 0 ។

នៅ x=1, y=2យើង​ទទួល​បាន គ/ក = -៣, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

x + y − 3 = 0

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0 C≠0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ -C យើងទទួលបាន៖

ឬ កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺ មេគុណ a គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វ

ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស អូក ខ- កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស អូ.

ឧទាហរណ៍. សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ x − y + 1 = 0 ។ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក។

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d ១.

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ah + Wu + C = 0ចែកដោយលេខ ដែលត្រូវបានគេហៅថា

កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosφ + ysinφ - p = 0 -សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់.

សញ្ញា ± នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ μ * គ< 0.

រ- ប្រវែងកាត់កាត់ពីដើមទៅបន្ទាត់

ក φ - មុំបង្កើតដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ។

ឧទាហរណ៍. ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ 12x − 5y − 65 = 0. តម្រូវឱ្យសរសេរសមីការប្រភេទផ្សេងៗ

បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក:

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងជម្រាល: (ចែកនឹង 5)

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់:

cos φ = 12/13; sin φ= −5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេឧទាហរណ៍បន្ទាត់ត្រង់។

ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2បន្ទាប់មកមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ

នឹងត្រូវបានកំណត់ថាជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2. បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែង

ប្រសិនបើ k 1 \u003d -1 / k 2 .

ទ្រឹស្តីបទ.

ផ្ទាល់ Ah + Wu + C = 0និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណមានសមាមាត្រ

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ប្រសិនបើផងដែរ។ ស៊ី 1 \u003d λСបន្ទាប់មកបន្ទាត់ស្របគ្នា។ សំរបសំរួលនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ

ត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ. បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M 1 (x 1, y 1)និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y = kx + b

តំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើចំណុចមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ M(x 0, y 0),បន្ទាប់មកចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ah + Wu + C = 0បានកំណត់ថា:

ភស្តុតាង. សូមឱ្យចំណុច M 1 (x 1, y 1)- មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុច មសម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យ

ផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច មនិង ម ១:

(1)

កូអរដោនេ x ១និង ១អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែង

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

អត្ថបទនេះបន្តប្រធានបទនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ៖ យើងនឹងពិចារណាប្រភេទនៃសមីការដូចជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ចូរកំណត់ទ្រឹស្តីបទមួយ ហើយផ្តល់ភស្តុតាងរបស់វា។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺជាអ្វី និងរបៀបធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅប្រភេទសមីការផ្សេងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមទ្រឹស្ដីទាំងមូលជាមួយនឹងការបង្ហាញ និងដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ១

សមីការណាមួយនៃសញ្ញាបត្រទីមួយដែលមានទម្រង់ A x + B y + C \u003d 0 ដែល A, B, C គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន (A និង B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ) កំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ នៅក្នុងវេនបន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដែលមានទម្រង់ A x + B y + C = 0 សម្រាប់សំណុំជាក់លាក់នៃតម្លៃ A, B, C ។

ភស្តុតាង

ទ្រឹស្តីបទនេះមានពីរចំណុច យើងនឹងបញ្ជាក់អំពីពួកវានីមួយៗ។

1. ចូរយើងបង្ហាញថាសមីការ A x + B y + C = 0 កំណត់បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

សូម​ឲ្យ​មាន​ចំណុច​មួយ​ចំនួន М 0 (x 0 , y 0) ដែល​កូអរដោនេ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​សមីការ A x + B y + C = 0 ។ ដូចនេះ៖ A x 0 + B y 0 + C = 0 ។ ដកពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ A x + B y + C \u003d 0 ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 យើងទទួលបានសមីការថ្មីដែលមើលទៅដូចជា A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ។ វាស្មើនឹង A x + B y + C = 0 ។

សមីការលទ្ធផល A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ n → = (A, B) និង M 0 M → = (x − x 0, y - y 0) ។ ដូច្នេះ​សំណុំ​នៃ​ចំណុច M (x, y) កំណត់​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​កែង​ទៅ​ទិស​នៃ​វ៉ិចទ័រ n → = (A, B) ។ យើងអាចសន្មត់ថាវាមិនដូច្នោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ n → = (A, B) និង M 0 M → = (x − x 0, y - y 0) នឹងមិនកាត់កែងទេ ហើយសមភាព A (x − x 0) + B (y - y 0) = 0 មិនពិតទេ។

ដូច្នេះសមីការ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 កំណត់បន្ទាត់ជាក់លាក់មួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ ហើយដូច្នេះសមីការសមមូល A x + B y + C \u003d 0 កំណត់បន្ទាត់ដូចគ្នា។ ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ពី​ផ្នែក​ដំបូង​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ។

1. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ A x + B y + C = 0 ។

ចូរកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ ចំណុច M 0 (x 0 , y 0) ដែលតាមរយៈបន្ទាត់នេះឆ្លងកាត់ ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ n → = (A , B) ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានចំណុចមួយចំនួន M (x , y) - ចំណុចអណ្តែតនៃបន្ទាត់។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ n → = (A , B) និង M 0 M → = (x − x 0 , y - y 0) កាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់វាគឺសូន្យ៖

n → , M 0 M → = A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0

ចូរយើងសរសេរសមីការ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 កំណត់ C: C = - A x 0 - B y 0 ហើយចុងក្រោយទទួលបានសមីការ A x + B y + C = 0 ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ធ្វើ​ការ​បញ្ជាក់​ផ្នែក​ទីពីរ​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ ហើយ​យើង​បាន​បង្ហាញ​ទ្រឹស្តីបទ​ទាំងមូល។

និយមន័យ ១

សមីការដែលមើលទៅដូច A x + B y + C = 0 - នេះ។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណអូ x y ។

ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណថេរ និងសមីការទូទៅរបស់វាត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាដោយ inextricably ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត បន្ទាត់ដើមត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅរបស់វា; សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វាក៏ធ្វើតាមពីភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទដែលថាមេគុណ A និង B សម្រាប់អថេរ x និង y គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ A x + B y + C = 0 ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៃសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ 2 x + 3 y − 2 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវនឹងបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះគឺជាវ៉ិចទ័រ n → = (2 , 3) ​​​​។ គូរបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងគំនូរ។

ខាងក្រោមនេះក៏អាចប្រកែកបានដែរ៖ បន្ទាត់ត្រង់ដែលយើងឃើញក្នុងគំនូរត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ 2 x + 3 y - 2 = 0 ចាប់តាំងពីកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនេះ។

យើងអាចទទួលបានសមីការ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ដោយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការបន្ទាត់ត្រង់ទូទៅដោយចំនួនមិនសូន្យ λ ។ សមីការលទ្ធផលគឺស្មើនឹងសមីការទូទៅដើម ដូច្នេះវានឹងពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ។

និយមន័យ ២

បំពេញសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់- សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ A x + B y + C \u003d 0 ដែលលេខ A, B, C គឺមិនមែនសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេសមីការគឺ មិនពេញលេញ.

ចូរយើងវិភាគការប្រែប្រួលទាំងអស់នៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់។

1. នៅពេល A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 សមីការទូទៅក្លាយជា B y + C \u003d 0 ។ សមីការទូទៅមិនពេញលេញបែបនេះកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y ដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស O x ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃពិតនៃ x អថេរ y នឹងយកតម្លៃ - គ. ម្យ៉ាងវិញទៀត សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ A x + B y + C \u003d 0 នៅពេល A \u003d 0, B ≠ 0 កំណត់ទីតាំងនៃចំនុច (x, y) ដែលកូអរដោនេគឺស្មើនឹងលេខដូចគ្នា - គ.
2. ប្រសិនបើ A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 សមីការទូទៅក្លាយជា y \u003d 0 ។ សមីការមិនពេញលេញបែបនេះកំណត់អ័ក្ស x O x ។
3. នៅពេល A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 យើងទទួលបានសមីការទូទៅមិនពេញលេញ A x + C \u003d 0 ដោយកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ។
4. អនុញ្ញាតឱ្យ A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 បន្ទាប់មកសមីការទូទៅមិនពេញលេញនឹងយកទម្រង់ x \u003d 0 ហើយនេះគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់កូអរដោនេ O y ។
5. ទីបំផុតនៅពេលដែល A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 សមីការទូទៅមិនពេញលេញទទួលបានទម្រង់ A x + B y \u003d 0 ។ ហើយសមីការនេះពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ជាការពិតណាស់ លេខគូ (0 , 0) ត្រូវគ្នានឹងសមភាព A x + B y = 0 ចាប់តាំងពី A · 0 + B · 0 = 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញក្រាហ្វិកប្រភេទខាងលើទាំងអស់នៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

វាត្រូវបានគេដឹងថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច 2 7 , - 11 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃទម្រង់ A x + C \u003d 0 ដែលក្នុងនោះ A ≠ 0 ។ លក្ខខណ្ឌក៏បញ្ជាក់ពីកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ ហើយកូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញ A x + C = 0 , i.e. សមភាពគឺត្រឹមត្រូវ៖

A 2 7 + C = 0

វាអាចទៅរួចដើម្បីកំណត់ C ពីវាដោយផ្តល់ឱ្យ A តម្លៃដែលមិនមែនជាសូន្យឧទាហរណ៍ A = 7 ។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖ 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2 ។ យើងស្គាល់មេគុណ A និង C ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ A x + C = 0 ហើយទទួលបានសមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់៖ 7 x − 2 = 0

ចម្លើយ៖ 7 x − 2 = 0

ឧទាហរណ៍ ២

គំនូរបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត

គំនូរដែលបានផ្តល់ឱ្យអនុញ្ញាតឱ្យយើងងាយស្រួលយកទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា។ យើង​ឃើញ​ក្នុង​គំនូរ​ថា​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​ O x ហើយ​កាត់​តាម​ចំណុច (0 , 3) ​​​។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលស្របទៅនឹង abscissa ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅមិនពេញលេញ B y + С = 0 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ B និង C ។ កូអរដោនេនៃចំណុច (0, 3) ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់វានឹងបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ B y + С = 0 បន្ទាប់មកសមភាពមានសុពលភាព: В · 3 + С = 0 ។ ចូរកំណត់ B ទៅតម្លៃមួយចំនួនក្រៅពីសូន្យ។ ចូរនិយាយថា B \u003d 1 ក្នុងករណីនេះពីសមភាព B · 3 + C \u003d 0 យើងអាចរកឃើញ C: C \u003d - 3 ។ ដោយប្រើតម្លៃដែលស្គាល់នៃ B និង C យើងទទួលបានសមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់: y - 3 = 0 ។

ចម្លើយ៖ y − 3 = 0 ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 (x 0, y 0) បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ i.e. សមភាពគឺពិត៖ A x 0 + B y 0 + C = 0 ។ ដកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការនេះចេញពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការពេញលេញទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យើងទទួលបាន៖ A (x − x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 សមីការនេះគឺស្មើនឹងសញ្ញាទូទៅដើម ឆ្លងកាត់ចំនុច M 0 (x 0, y 0) ហើយមាន វ៉ិចទ័រធម្មតា n → \u003d (A, B) ។

លទ្ធផលដែលយើងទទួលបានធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់សម្រាប់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងកូអរដោនេនៃចំណុចជាក់លាក់នៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់ចំណុច M 0 (- 3, 4) ដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ n → = (1 , − 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានទិន្នន័យចាំបាច់សម្រាប់ការចងក្រងសមីការ៖ A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d ៤. បន្ទាប់មក៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 1 (x − (− 3)) - 2 y (y − 4) = 0 ⇔ ⇔ x − 2 y + 22 = 0

បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយខុសគ្នា។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់ A x + B y + C = 0 ។ វ៉ិចទ័រធម្មតាដែលបានផ្តល់ឱ្យអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃនៃមេគុណ A និង B បន្ទាប់មក៖

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x − 2 y + C = 0 ⇔ x − 2 y + C = 0

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃ C ដោយប្រើចំណុច M 0 (- 3, 4) ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលតាមរយៈបន្ទាត់ឆ្លងកាត់។ កូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការ x − 2 · y + C = 0 , i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0 ។ ដូច្នេះ C = 11 ។ សមីការបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវការមានទម្រង់៖ x − 2 · y + 11 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x − 2 y + 11 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 4

ដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ 2 3 x - y - 1 2 = 0 និងចំណុច M 0 ដេកលើបន្ទាត់នេះ។ មានតែ abscissa នៃចំណុចនេះត្រូវបានគេដឹងហើយវាស្មើនឹង - 3 ។ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ការចាត់តាំងនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរ​កំណត់​ការ​កំណត់​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច M 0 ជា x 0 និង y 0 ។ ទិន្នន័យដំបូងបង្ហាញថា x 0 \u003d - 3 ។ ដោយសារចំនុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់មួយ នោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នេះ។ បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមនឹងក្លាយជាការពិត៖

2 3 x 0 − y 0 − 1 2 = 0

កំណត់ y 0 : 2 3 ( − 3 ) - y 0 − 1 2 = 0 ⇔ − 5 2 − y 0 = 0 ⇔ y 0 = − 5 2

ចម្លើយ៖ - 5 2

ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅប្រភេទផ្សេងទៀតនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងច្រាសមកវិញ

ដូចដែលយើងដឹងមានប្រភេទជាច្រើននៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ។ ជម្រើសនៃប្រភេទនៃសមីការអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា; វាអាចទៅរួចក្នុងការជ្រើសរើសមួយដែលងាយស្រួលជាងសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់វា។ នេះគឺជាកន្លែងដែលជំនាញនៃការបំប្លែងសមីការនៃប្រភេទមួយទៅជាសមីការនៃប្រភេទមួយផ្សេងទៀតគឺមានប្រយោជន៍ណាស់។

ជាដំបូង សូមពិចារណាពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅនៃទម្រង់ A x + B y + C = 0 ទៅសមីការ Canonical x − x 1 a x = y − y 1 a y ។

ប្រសិនបើ A ≠ 0 នោះយើងផ្ទេរពាក្យ B y ទៅខាងស្តាំនៃសមីការទូទៅ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងយក A ចេញពីតង្កៀប។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ A x + C A = − B y ។

សមភាពនេះអាចសរសេរជាសមាមាត្រ៖ x + C A - B = y A ។

ប្រសិនបើ B ≠ 0 យើងទុកតែពាក្យ A x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទូទៅ យើងផ្ទេរអ្នកផ្សេងទៀតទៅខាងស្តាំ យើងទទួលបាន៖ A x \u003d - B y - C ។ យើងដក - B ចេញពីតង្កៀបបន្ទាប់មក៖ A x \u003d - B y + C B ។

ចូរសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពជាសមាមាត្រ៖ x − B = y + C B A ។

ជាការពិតណាស់ មិនចាំបាច់ទន្ទេញរូបមន្តលទ្ធផលនោះទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពកំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅ Canonical មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៥

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ 3 y - 4 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវតែបំប្លែងទៅជាសមីការ Canonical។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរសមីការដើមជា 3 y - 4 = 0 ។ បន្ទាប់​មក យើង​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​ដោះស្រាយ៖ ពាក្យ 0 x នៅ​ខាង​ឆ្វេង។ ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំយើងយកចេញ - 3 ចេញពីតង្កៀប; យើងទទួលបាន៖ 0 x = − 3 y − 4 3 ។

ចូរសរសេរសមភាពលទ្ធផលជាសមាមាត្រ៖ x − 3 = y − 4 3 0 ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលសមីការនៃទម្រង់ Canonical ។

ចម្លើយ៖ x − 3 = y − 4 3 0.

ដើម្បីបំប្លែងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាប៉ារ៉ាម៉ែត ទីមួយ ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ Canonical ត្រូវបានអនុវត្ត ហើយបន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ ៦

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 2 x − 5 y − 1 = 0 ។ សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅ Canonical មួយ៖

2 x − 5 y − 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ Canonical លទ្ធផលស្មើនឹង λ បន្ទាប់មក៖

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = − 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ចម្លើយ៖x = 5 λ y = − 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

សមីការទូទៅអាចបំប្លែងទៅជាសមីការបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាល y = k x + b ប៉ុន្តែនៅពេល B ≠ 0 ប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនៅខាងឆ្វេងយើងទុកពាក្យ B y នៅសល់ត្រូវបានផ្ទេរទៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន៖ B y = - A x - C ។ ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ B ដែលខុសពីសូន្យ៖ y = - A B x - C B ។

ឧទាហរណ៍ ៧

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ 2 x + 7 y = 0 ។ អ្នកត្រូវបំប្លែងសមីការនោះទៅជាសមីការជម្រាល។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងអនុវត្តសកម្មភាពចាំបាច់យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y − 2 x ⇔ y = − 2 7 x

ចម្លើយ៖ y = − 2 7 x ។

ពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការទទួលបានសមីការក្នុងផ្នែកនៃទម្រង់ x a + y b \u003d 1 ។ ដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ យើងផ្ទេរលេខ C ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ - С ហើយចុងក្រោយផ្ទេរមេគុណសម្រាប់អថេរ x និង y ទៅភាគបែង៖

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ឧទាហរណ៍ ៨

វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ x − 7 y + 1 2 = 0 ទៅជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាចម្រៀក។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូររំកិល 1 2 ទៅខាងស្តាំ៖ x − 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x − 7 y = − 1 2 ។

ចែកដោយ −1/2 ទាំងសងខាងនៃសមីការ៖ x − 7 y = − 1 2 ⇔ 1 − 1 2 x − 7 − 1 2 y = 1 ។

ចម្លើយ៖ x − 1 2 + y 1 14 = 1 ។

ជាទូទៅការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរ: ពីប្រភេទសមីការផ្សេងទៀតទៅទូទៅ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក និងសមីការដែលមានជម្រាលអាចត្រូវបានបម្លែងយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទូទៅមួយដោយគ្រាន់តែប្រមូលពាក្យទាំងអស់នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y − 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

សមីការ Canonical ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​ទូទៅ​តាម​គ្រោងការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ a y (x − x 1) = a x (y − y 1) ⇔ ⇔ a y x − a x y − a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ដើម្បីឆ្លងពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រដំបូង ការផ្លាស់ប្តូរទៅ Canonical ត្រូវបានអនុវត្ត ហើយបន្ទាប់មកទៅទូទៅមួយ៖

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ឧទាហរណ៍ ៩

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ x = - 1 + 2 · λ y = 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទៅជា Canonical៖

x = − 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = − 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y − 4 0 ⇔ x + 1 2 = y − 4 0

ចូរផ្លាស់ទីពី Canonical ទៅទូទៅ៖

x + 1 2 = y − 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y − 4) ⇔ y − 4 = 0

ចម្លើយ៖ y − 4 = 0

ឧទាហរណ៍ 10

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក x 3 + y 1 2 = 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ទូទៅនៃសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y − 1 = 0

ចម្លើយ៖ 1 3 x + 2 y − 1 = 0 ។

គូរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់

ខាងលើ យើងបាននិយាយថាសមីការទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរជាមួយនឹងកូអរដោណេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតា និងកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់។ បន្ទាត់ត្រង់បែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ។ នៅកន្លែងដដែលយើងបានវិភាគឧទាហរណ៍ដែលត្រូវគ្នា។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀតដែលក្នុងនោះដំបូងវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ 11

ផ្តល់បន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ 2 x − 3 y + 3 3 = 0 ។ គេស្គាល់ផងដែរគឺចំណុច M 0 (4 , 1) ដែលបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌដំបូងប្រាប់យើងថាបន្ទាត់គឺស្របគ្នា បន្ទាប់មកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលសមីការត្រូវសរសេរ យើងយកវ៉ិចទ័រផ្ទាល់នៃបន្ទាត់ n → = (2, − 3): 2 x − 3 y + 3 3 = 0 ។ ឥឡូវនេះយើងដឹងពីទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់ដើម្បីសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 2 (x − 4) − 3 (y − 1) = 0 ⇔ 2 x − 3 y − 5 = 0

ចម្លើយ៖ 2 x − 3 y − 5 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 12

បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​កាត់​តាម​ដើម​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់ x − 2 3 = y + 4 5 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ x − 2 3 = y + 4 5 ។

បន្ទាប់មក n → = (3, 5) ។ បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម i.e. តាមរយៈចំណុច O (0, 0) ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 3 (x − 0) + 5 (y − 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ចម្លើយ៖ 3 x + 5 y = 0 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីប្រភពនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះ។ យើងទាញយកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ យើងនឹងបង្ហាញដោយមើលឃើញ និងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់។

Yandex.RTB R-A-339285-1

មុនពេលទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ វាចាំបាច់ត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយចំនួន។ មាន axiom មួយដែលនិយាយថាតាមរយៈចំនុចមិនស្របគ្នាពីរនៅលើយន្តហោះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរបន្ទាត់ត្រង់និងតែមួយគត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។

ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ Oxy នោះបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលបង្ហាញនៅក្នុងវានឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។ វាក៏មានការតភ្ជាប់ជាមួយវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ទិន្នន័យទាំងនេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគូរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលឆ្លងកាត់ចំនុចមិនស៊ីគ្នាពីរ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។

នៅក្នុងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលមានទម្រង់ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វជាមួយវានៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) ជាមួយវ៉ិចទ័រណែនាំ a → = (a x , a y) ។

វាចាំបាច់ក្នុងការចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលនឹងឆ្លងកាត់ពីរចំណុចជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។

បន្ទាត់ត្រង់ a មានវ៉ិចទ័រដឹកនាំ M 1 M 2 → ជាមួយកូអរដោណេ (x 2 - x 1, y 2 - y 1) ព្រោះវាប្រសព្វចំនុច M 1 និង M 2 ។ យើងបានទទួលទិន្នន័យចាំបាច់ដើម្បីបំប្លែងសមីការ Canonical ជាមួយនឹងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) និងកូអរដោនេនៃចំនុច M 1 ដែលស្ថិតនៅលើពួកវា។ (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 ឬ x − x 2 x 2 − x 1 = y − y 2 y 2 − y 1 ។

ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។

បន្ទាប់​ពី​ការ​គណនា យើង​សរសេរ​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​ឆ្លងកាត់​ពីរ​ចំណុច​ជាមួយ​កូអរដោណេ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ឬ x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនឱ្យកាន់តែដិតដល់។

ឧទាហរណ៍ ១

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកូអរដោនេ M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 ។

ការសម្រេចចិត្ត

សមីការ Canonical សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរដែលមានកូអរដោណេ x 1 , y 1 និង x 2 , y 2 យកទម្រង់ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងមានថា x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសតម្លៃលេខទៅក្នុងសមីការ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 – y 1 ។ ពីនេះយើងទទួលបានថាសមីការ Canonical នឹងយកទម្រង់ x − (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ។

ចម្លើយ៖ x + 5 6 = y − 2 3 − 5 6 .

ប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងប្រភេទសមីការផ្សេង នោះសម្រាប់ការចាប់ផ្តើម អ្នកអាចទៅកាន់ Canonical ព្រោះវាងាយស្រួលជាងក្នុងការមករកផ្សេងទៀតពីវា។

ឧទាហរណ៍ ២

ចងក្រងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ M 1 (1, 1) និង M 2 (4, 2) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ O x y ។

ការសម្រេចចិត្ត

ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x − 1 4 − 1 = y − 1 2 − 1 ⇔ x − 1 3 = y − 1 1 ។

យើងនាំយកសមីការ Canonical ទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

x − 1 3 = y − 1 1 ⇔ 1 x − 1 = 3 y − 1 ⇔ x − 3 y + 2 = 0

ចម្លើយ៖ x − 3 y + 2 = 0 ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការបែបនេះត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលានៅមេរៀនពិជគណិត។ ភារកិច្ចរបស់សាលាមានភាពខុសប្លែកគ្នាដែលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយមេគុណជម្រាលត្រូវបានគេដឹងថាមានទម្រង់ y \u003d k x + b ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃជម្រាល k និងលេខ b ដែលសមីការ y \u003d k x + b កំណត់បន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ O x y ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ដែល x 1 ≠ x 2 ។ នៅពេល x 1 = x 2 បន្ទាប់មកជម្រាលត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ M 1 M 2 ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការមិនពេញលេញទូទៅនៃទម្រង់ x − x 1 = 0 .

ដោយសារតែចំណុច ម ១និង ម ២ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់ពួកគេបំពេញសមីការ y 1 = k x 1 + b និង y 2 = k x 2 + b ។ ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ដោយគោរពតាម k និង b ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ឬ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ។

ជាមួយនឹងតម្លៃនៃ k និង b សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យយកទម្រង់ដូចខាងក្រោម y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ឬ y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ។

ការទន្ទេញរូបមន្តជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយនឹងមិនដំណើរការទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនចំនួនពាក្យដដែលៗក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 2 (2, 1) និង y = k x + b ។

ការសម្រេចចិត្ត

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងប្រើរូបមន្តដែលមានជម្រាលដែលមានទម្រង់ y \u003d k x + b ។ មេគុណ k និង b ត្រូវតែយកតម្លៃបែបនេះ ដែលសមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលមានកូអរដោនេ M 1 (- 7 , - 5) និង M 2 (2 , 1) ។

ពិន្ទុ ម ១និង ម ២ដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់ពួកគេគួរតែបញ្ច្រាសសមីការ y = k x + b សមភាពត្រឹមត្រូវ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថា - 5 = k · (- 7) + b និង 1 = k · 2 + b ។ ចូរផ្សំសមីការទៅក្នុងប្រព័ន្ធ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ហើយដោះស្រាយ។

នៅពេលជំនួសយើងទទួលបានវា។

5 = k − 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = − 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = − 5 + 7 k 2 k − 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = − 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = − 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = − 1 3 k = 2 3

ឥឡូវនេះតម្លៃ k = 2 3 និង b = - 1 3 ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការ y = k x + b ។ យើង​ទទួល​បាន​ថា​សមីការ​ដែល​ចង់​បាន​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ដែល​បាន​ផ្ដល់​នឹង​ជា​សមីការ​ដែល​មាន​ទម្រង់ y = 2 3 x − 1 3 ។

វិធីនៃការដោះស្រាយនេះកំណត់ទុកជាមុននូវការចំណាយពេលវេលាច្រើន។ មានវិធីមួយដែលកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមព្យញ្ជនៈជាពីរជំហាន។

យើងសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ M 2 (2, 1) និង M 1 (- 7, - 5) ដែលមានទម្រង់ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ។ ) 1 − (− 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅសមីការជម្រាល។ យើងទទួលបាននោះ៖ x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x − 1 3 ។

ចម្លើយ៖ y = 2 3 x − 1 3 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y z ដែលមានចំណុចមិនស្របគ្នាដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) បន្ទាត់ត្រង់ M ឆ្លងកាត់ពួកវា 1 M 2 វាចាំបាច់ក្នុងការទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់នេះ។

យើងមានសមីការ Canonical នៃទម្រង់ x − x 1 a x = y − y 1 a y = z − z 1 a z និងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃទម្រង់ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ អាចកំណត់បន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល O x y z ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (x 1, y 1, z 1) ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ a → = (a x, a y, a z) ។

ត្រង់ M 1 M 2 មានវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃទម្រង់ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) ដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1 , y 1 , z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ដូច្នេះ សមីការ Canonical អាចមានទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 – y 1 = z − z 1 z 2 - z 1 ឬ x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, នៅក្នុងវេន, ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x \u003d x 1 + (x 2 − x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 − y 1) λ z = z 1 + (z 2 − z 1) λ ឬ x = x 2 + (x 2 − x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ ។

ពិចារណាលើតួលេខដែលបង្ហាញ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ និងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ 4

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានកំណត់ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y z នៃលំហបីវិមាត្រ ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (2, - 3, 0) និង M 2 (1, - 3, - 5 ) ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងត្រូវស្វែងរកសមីការ Canonical ។ ដោយសារយើងកំពុងនិយាយអំពីលំហបីវិមាត្រ វាមានន័យថានៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ សមីការ Canonical ដែលចង់បាននឹងយកទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ។

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងមានថា x 1 = 2, y 1 = − 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = − 3, z 2 = − 5 ។ វាដូចខាងក្រោមថាសមីការចាំបាច់អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

x − 2 1 − 2 = y − ( − 3 ) − 3 − ( − 3 ) = z − 0 − 5 − 0 ⇔ x − 2 − 1 = y + 3 0 = z − 5

ចម្លើយ៖ x − 2 − 1 = y + 3 0 = z − 5 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

សូមអោយពិន្ទុពីរ M 1 (x 1, y 1)និង M 2 (x 2, y 2). យើងសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់ (5) ដែលជាកន្លែងដែល kមេគុណមិនទាន់ដឹងនៅឡើយ៖

ចាប់តាំងពីចំណុច ម ២ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការ (5): . ដោយបង្ហាញពីទីនេះ ហើយជំនួសវាទៅជាសមីការ (5) យើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន៖

ប្រសិនបើ ក សមីការនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលងាយស្រួលចងចាំ៖

(6)

ឧទាហរណ៍។សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (1.2) និង M 2 (-2.3)

ការសម្រេចចិត្ត. . ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាមាត្រ និងអនុវត្តការបំប្លែងចាំបាច់ យើងទទួលបានសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

មុំរវាងបន្ទាត់ពីរ

ពិចារណាពីរជួរ l ១និង លីត្រ ២:

l ១: , , និង

លីត្រ ២: , ,

φ គឺជាមុំរវាងពួកវា () ។ រូបភាពទី ៤ បង្ហាញ៖

ពី​ទីនេះ , ឬ

ដោយប្រើរូបមន្ត (7) មុំមួយរវាងបន្ទាត់អាចត្រូវបានកំណត់។ មុំទីពីរគឺ។

ឧទាហរណ៍. បន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ y=2x+3 និង y=-3x+2។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត. វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីសមីការដែល k 1 \u003d 2 និង k 2 \u003d-3 ។ ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្ត (7) យើងរកឃើញ

. ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះគឺ។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ

បើត្រង់ l ១និង លីត្រ ២គឺស្របគ្នា។ φ=0 និង tgφ=0. ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាមនោះ មកពីណា k 2 \u003d k ១. ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ពីរស្របគ្នាគឺសមភាពនៃជម្រាលរបស់វា។

បើត្រង់ l ១និង លីត្រ ២កាត់កែង φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 ។ . ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវកាត់កែងគឺថាចំណោតរបស់ពួកវាគឺច្រាសគ្នាក្នុងទំហំ និងផ្ទុយគ្នាក្នុងសញ្ញា។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំណុច M (x 0, y 0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ax + Vy + C \u003d 0 ត្រូវបានកំណត់ជា

ភស្តុតាង។ សូមឲ្យចំនុច M 1 (x 1, y 1) ជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីចំនុច M ទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច M និង M 1:

កូអរដោណេ x 1 និង y 1 អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍។កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់: y = −3x + 7; y = 2x + 1 ។

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4 ។

ឧទាហរណ៍។បង្ហាញថាបន្ទាត់ 3x − 5y + 7 = 0 និង 10x + 6y − 3 = 0 កាត់កែង។

យើងរកឃើញ៖ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1 ដូច្នេះ បន្ទាត់កាត់កែង។

ឧទាហរណ៍។ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកសមីការសម្រាប់កម្ពស់ដែលដកចេញពីចំនុចកំពូល C ។

យើងរកឃើញសមីការនៃចំហៀង AB: ; 4x = 6y − 6;

2x − 3y + 3 = 0;

សមីការកម្ពស់ដែលចង់បានគឺ៖ Ax + By + C = 0 ឬ y = kx + b ។

k= ។ បន្ទាប់មក y = ។ ដោយសារតែ កម្ពស់ឆ្លងកាត់ចំណុច C បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនេះ៖ whence b \u003d 17. សរុប៖ .

ចម្លើយ៖ 3x + 2y − 34 = 0 ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ដោយប្រវែងកាត់កែងដែលទម្លាក់ពីចំណុចទៅបន្ទាត់។

ប្រសិនបើបន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ (h | | P 1)បន្ទាប់មកដើម្បីកំណត់ចម្ងាយពីចំណុច ប៉ុន្តែត្រង់ ម៉ោងវាចាំបាច់ក្នុងការទម្លាក់កាត់កែងពីចំណុច ប៉ុន្តែទៅផ្ដេក ម៉ោង.

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ នៅពេលដែលបន្ទាត់កាន់កាប់ទីតាំងទូទៅមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ចម្ងាយពីចំណុច មត្រង់ កទីតាំងទូទៅ។

ភារកិច្ចនិយមន័យ ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលបាន​ដោះស្រាយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ការ​លើក​មុន​។ ចំណុចមួយត្រូវបានយកនៅលើបន្ទាត់មួយ ហើយកាត់កែងមួយត្រូវបានដកចេញពីវាទៅបន្ទាត់មួយទៀត។ ប្រវែងកាត់កែងគឺស្មើនឹងចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរគឺ​ជា​បន្ទាត់​ដែល​កំណត់​ដោយ​សមីការ​នៃ​ដឺក្រេ​ទីពីរ​ទាក់ទង​នឹង​កូអរដោណេ Cartesian បច្ចុប្បន្ន។ ក្នុងករណីទូទៅ Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

ដែល A, B, C, D, E, F គឺជាចំនួនពិត ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃលេខ A 2 + B 2 + C 2 ≠0។

រង្វង់

មជ្ឈមណ្ឌលរង្វង់- នេះគឺជាទីតាំងនៃចំនុចក្នុងយន្តហោះ ដែលស្ថិតនៅចម្ងាយពីចំនុចនៃយន្តហោះ C (a, b) ។

រង្វង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការដូចខាងក្រោមៈ

ដែល x, y គឺជាកូអរដោណេនៃចំនុចបំពានលើរង្វង់, R គឺជាកាំនៃរង្វង់។

សញ្ញានៃសមីការរង្វង់

1. មិនមានពាក្យជាមួយ x, y

2. មេគុណនៅ x 2 និង y 2 គឺស្មើគ្នា

ពងក្រពើ

ពងក្រពើទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកនៃចម្ងាយដែលនីមួយៗពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃយន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា foci (តម្លៃថេរ) ។

សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖

X និង y ជារបស់ពងក្រពើ។

a គឺជា semiaxis សំខាន់នៃរាងពងក្រពើ

b គឺជា semiaxis តូចនៃរាងពងក្រពើ

ពងក្រពើមានអ័ក្ស 2 នៃស៊ីមេទ្រី OX និង OY ។ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើគឺជាអ័ក្សរបស់វា ចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ។ អ័ក្សដែល foci មានទីតាំងនៅត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សប្រសព្វ. ចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សគឺជាចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ។

សមាមាត្របង្ហាប់ (លាតសន្ធឹង)៖ ε = គ/ក- ភាពប្លែកពីគេ (កំណត់លក្ខណៈរាងពងក្រពើ) កាន់តែតូច ពងក្រពើកាន់តែតិចត្រូវបានពង្រីកតាមអ័ក្សប្រសព្វ។

ប្រសិនបើចំណុចកណ្តាលនៃពងក្រពើមិនស្ថិតនៅកណ្តាល С(α, β)

អ៊ីពែបូឡា

អ៊ីពែបូល។ហៅថា ទីតាំងនៃចំណុចក្នុងយន្តហោះ តម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយ ដែលនីមួយៗពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរក្រៅពីសូន្យ។

សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

អ៊ីពែបូឡាមានអ័ក្ស 2 នៃស៊ីមេទ្រី៖

a - semiaxis ពិតនៃស៊ីមេទ្រី

ខ - ការស្រមើលស្រមៃ semiaxis នៃស៊ីមេទ្រី

រោគសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា៖

ប៉ារ៉ាបូឡា

ប៉ារ៉ាបូឡាគឺ​ជា​ទីតាំង​នៃ​ចំណុច​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​មាន​លំនឹង​ពី​ចំណុច F ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ហៅ​ថា​ការ​ផ្តោត​អារម្មណ៍ និង​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គេ​ហៅថា directrix ។

សមីការប៉ារ៉ាបូឡា Canonical៖

Y 2 \u003d 2px ដែល p ជាចំងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ទៅ directrix (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ parabola)

ប្រសិនបើចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺ C (α, β) នោះសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

ប្រសិនបើអ័ក្សប្រសព្វត្រូវបានគេយកជាអ័ក្ស y នោះសមីការប៉ារ៉ាបូឡានឹងមានទម្រង់៖ x 2 \u003d 2qy