រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ (FSU) ត្រូវបានប្រើដើម្បីនិទស្សន្ត និងគុណលេខ និងកន្សោម។ ជាញឹកញាប់រូបមន្តទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការគណនាកាន់តែបង្រួម និងរហ័ស។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងរាយបញ្ជីរូបមន្តសំខាន់ៗសម្រាប់គុណជាអក្សរកាត់ ដាក់ជាក្រុមទៅក្នុងតារាងមួយ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តទាំងនេះ ហើយក៏អាស្រ័យទៅលើគោលការណ៍នៃការបញ្ជាក់រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ផងដែរ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ជាលើកដំបូងប្រធានបទនៃ FSU ត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងវគ្គសិក្សា "ពិជគណិត" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តមូលដ្ឋានចំនួន ៧។

រូបមន្តគុណសង្ខេប

1. រូបមន្ត​ការ៉េ​សរុប៖ a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖ a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. រូបមន្តគូបសរុប៖ a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. រូបមន្តគូបខុសគ្នា៖ a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖ a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃគូប៖ a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. រូបមន្តភាពខុសគ្នាគូប៖ a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

អក្សរ a, b, c ក្នុងកន្សោមទាំងនេះអាចជាលេខ អថេរ ឬកន្សោម។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល វាជាការប្រសើរក្នុងការរៀនរូបមន្តមូលដ្ឋានទាំងប្រាំពីរដោយបេះដូង។ យើងសង្ខេបពួកវាក្នុងតារាងមួយ ហើយផ្តល់ឱ្យពួកគេនៅខាងក្រោម ដោយគូសរង្វង់ពួកគេជាមួយនឹងប្រអប់មួយ។

រូបមន្តបួនដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាការ៉េ ឬគូបនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីររៀងគ្នា។

រូបមន្តទីប្រាំគណនាភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមដោយគុណផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់វា។

រូបមន្តទីប្រាំមួយ និងទីប្រាំពីរគឺរៀងគ្នា គុណនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃកន្សោមដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នា និងការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក។

រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណគុណនឹងអក្សរកាត់ផងដែរ។ នេះ​មិន​មែន​ជា​រឿង​គួរ​ឲ្យ​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ទេ ព្រោះ​គ្រប់​សមភាព​គឺ​ជា​អត្តសញ្ញាណ។

នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់ជាមួយផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំដែលបានរៀបចំឡើងវិញ។ វាងាយស្រួលជាពិសេសនៅពេលដែលកត្តានៃពហុធាកើតឡើង។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់បន្ថែម

យើងនឹងមិនកំណត់ខ្លួនយើងចំពោះវគ្គសិក្សាថ្នាក់ទី 7 ជាពិជគណិតទេ ហើយបន្ថែមរូបមន្តពីរបីទៀតទៅក្នុងតារាង FSU របស់យើង។

ជាដំបូង សូមពិចារណាអំពីរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន។

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + ។ . + C n n − 1 a b n − 1 + C n n b n

នៅទីនេះ C n k គឺជាមេគុណ binomial ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរលេខ n ក្នុងត្រីកោណ Pascal ។ មេគុណ Binomial ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

គ nk = ន ! ក! · (n - k) ! = n (n − 1) (n − 2) ។ . (n-(k-1))k !

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ FSU សម្រាប់ការ៉េនិងគូបនៃភាពខុសគ្នានិងផលបូកគឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត binomial របស់ញូតុនសម្រាប់ n = 2 និង n = 3 រៀងគ្នា។

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើមានពាក្យលើសពីពីរក្នុងផលបូកដែលត្រូវលើកឡើងជាអំណាច? រូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូកនៃពាក្យបី បួន ឬច្រើននឹងមានប្រយោជន៍។

ក ១ + ក ២ + ។ . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + ។ . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + ។ . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + ។ . + 2 a 2 a n + 2 a n − 1 a n

រូបមន្តមួយទៀតដែលអាចមានប្រយោជន៍គឺរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃអំណាចទី 0 នៃពាក្យពីរ។

a n − b n = a − b a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + . . + a 2 b n − 2 + b n − 1

រូបមន្តនេះជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកទៅជារូបមន្តពីរ - សម្រាប់អំណាចគូ និងសេស រៀងគ្នា។

សម្រាប់និទស្សន្ត 2m៖

a 2 m − b 2 m = a 2 − b 2 a 2 m − 2 + a 2 m − 4 b 2 + a 2 m − 6 b 4 + . . + ខ 2 ម - 2

សម្រាប់និទស្សន្តសេស 2m+1៖

a 2 m + 1 − b 2 m + 1 = a 2 − b 2 a 2 m + a 2 m − 1 b + a 2 m − 2 b 2 + . . + ប 2 ម

រូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ និងភាពខុសគ្នានៃគូប អ្នកទាយវាជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តនេះសម្រាប់ n = 2 និង n = 3 រៀងគ្នា។ សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប b ក៏ត្រូវបានជំនួសដោយ - b ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីអានរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់?

យើងនឹងផ្តល់រូបមន្តសមស្របសម្រាប់រូបមន្តនីមួយៗ ប៉ុន្តែដំបូងយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយគោលការណ៍នៃការអានរូបមន្ត។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើវាគឺជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយើងយករូបមន្តដំបូងបំផុតសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូកនៃចំនួនពីរ។

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ។

ពួកគេនិយាយថា៖ ការេនៃផលបូកនៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ ពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោម និងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។

រូបមន្តផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានអានស្រដៀងគ្នា។ សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 យើងសរសេរ៖

ការេនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការេនៃកន្សោមទាំងនេះដកពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ។

តោះអានរូបមន្ត a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ។ គូបនៃផលបូកនៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលបូកនៃគូបនៃកន្សោមទាំងនេះ បីដងនៃផលិតផលនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ និងបីដងនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។ និងការបញ្ចេញមតិដំបូង។

យើងបន្តអានរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 ។ គូបនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងគូបនៃកន្សោមទីមួយដកបីដងនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ បូកបីដងនៃការេនៃកន្សោមទីពីរ និងកន្សោមទីមួយ ដកគូប នៃការបញ្ចេញមតិទីពីរ។

រូបមន្តទីប្រាំ a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ) អានដូចខាងក្រោម: ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានិងផលបូកនៃកន្សោមទាំងពីរ។

កន្សោមដូចជា 2 + a b + b 2 និង a 2 - a b + b 2 ដើម្បីភាពងាយស្រួលត្រូវបានគេហៅថា រៀងគ្នា ការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នា។

ដោយគិតក្នុងចិត្ត រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូបត្រូវបានអានដូចខាងក្រោម៖

ផលបូកនៃគូបនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃកន្សោមទាំងនេះ និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នារបស់វា។

ភាពខុសគ្នានៃគូបនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូករបស់ពួកគេ។

ភស្តុតាង FSU

ការបញ្ជាក់ FSU គឺសាមញ្ញណាស់។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ យើងនឹងអនុវត្តការគុណនៃផ្នែកនៃរូបមន្តក្នុងតង្កៀប។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណារូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ។

ដើម្បីលើកកន្សោមទៅអំណាចទីពីរ កន្សោមត្រូវតែគុណដោយខ្លួនឯង។

a - b 2 \u003d a - b a - b ។

តោះពង្រីកតង្កៀប៖

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ។

រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។ FSOs ផ្សេងទៀតត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្ត FSO

គោលបំណងនៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តគុណខ្លីគឺដើម្បីគុណ និងនិទស្សន្តកន្សោមយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយសង្ខេប។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនជាវិសាលភាពទាំងមូលនៃ FSO ទេ។ ពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការកាត់បន្ថយកន្សោម កាត់បន្ថយប្រភាគ កត្តាពហុនាម។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 1. FSO

ចូរសម្រួលកន្សោម 9 y - (1 + 3 y) 2 ។

អនុវត្តផលបូកនៃរូបមន្តការ៉េ ហើយទទួលបាន៖

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y − 1 − 6 y − 9 y 2 = 3 y − 1 − 9 y 2

ឧទាហរណ៍ 2. FSO

កាត់បន្ថយប្រភាគ 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 ។

យើងកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅក្នុងភាគយកគឺជាភាពខុសគ្នានៃគូបហើយនៅក្នុងភាគបែង - ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ។

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x − z 2 x + z ។

យើងកាត់បន្ថយ និងទទួលបាន៖

8 x 3 − z 6 4 x 2 − z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUs ក៏ជួយគណនាតម្លៃនៃកន្សោមផងដែរ។ រឿងចំបងគឺដើម្បីអាចកត់សម្គាល់កន្លែងដែលត្រូវអនុវត្តរូបមន្ត។ សូមបង្ហាញវាជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរ​ធ្វើ​ការ៉េ​លេខ 79 ។ ជំនួសឱ្យការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ យើងសរសេរ៖

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

វាហាក់ដូចជាថាការគណនាស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយគ្រាន់តែប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ និងតារាងគុណ។

ចំណុចសំខាន់មួយទៀតគឺការជ្រើសរើសការ៉េនៃ binomial ។ កន្សោម 4 x 2 + 4 x − 3 អាចបំប្លែងទៅជា 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 − 4 = 2 x + 1 2 − 4 ។ ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការរួមបញ្ចូល។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ប្រធានបទមួយក្នុងចំណោមប្រធានបទដំបូងដែលបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតគឺជារូបមន្តសម្រាប់គុណដោយអក្សរកាត់។ នៅក្នុងថ្នាក់ទី 7 ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងស្ថានភាពសាមញ្ញបំផុត ដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីទទួលស្គាល់រូបមន្តមួយក្នុងចំណោមរូបមន្តក្នុងកន្សោម និងធ្វើកត្តាពហុធា ឬផ្ទុយទៅវិញ ការ៉េ ឬគូបផលបូក ឬភាពខុសគ្នាយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ នៅពេលអនាគត FSU ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព និងសមីការយ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយថែមទាំងអាចគណនាកន្សោមលេខមួយចំនួនដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ។

តើបញ្ជីរូបមន្តមើលទៅដូចអ្វី?

មានរូបមន្តមូលដ្ឋានចំនួន 7 ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគុណពហុនាមយ៉ាងឆាប់រហ័សនៅក្នុងតង្កៀប។

ជួនកាលបញ្ជីនេះក៏រួមបញ្ចូលការពង្រីកកម្រិតទីបួនផងដែរ ដែលតាមពីអត្តសញ្ញាណដែលបានបង្ហាញ និងមានទម្រង់៖

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²)។

សមភាពទាំងអស់មានគូ (ផលបូក - ភាពខុសគ្នា) លើកលែងតែភាពខុសគ្នានៃការ៉េ។ មិនមានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃការ៉េទេ។.

ភាពស្មើគ្នាដែលនៅសល់គឺងាយស្រួលចងចាំ។:

វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា FSOs ធ្វើការនៅក្នុងករណីណាមួយនិងសម្រាប់តម្លៃណាមួយ។ កនិង ខ៖ វាអាចជាលេខបំពាន និងកន្សោមចំនួនគត់។

ក្នុងស្ថានភាពដែលអ្នកភ្លាមៗមិនអាចចាំថាសញ្ញាណាមួយនៅក្នុងរូបមន្តនៅពីមុខពាក្យមួយ ឬពាក្យផ្សេងទៀត អ្នកអាចបើកតង្កៀប និងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នានឹងបន្ទាប់ពីប្រើរូបមន្ត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើបញ្ហាកើតឡើងនៅពេលអនុវត្ត FSU នៃគូបខុសគ្នា អ្នកត្រូវសរសេរកន្សោមដើម និង ធ្វើគុណម្តងមួយៗ:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ។

ជាលទ្ធផល បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នោះ ពហុធាដូចគ្នាត្រូវបានទទួលដូចនៅក្នុងតារាង។ ឧបាយកលដូចគ្នាអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ FSOs ផ្សេងទៀតទាំងអស់។

ការអនុវត្ត FSO ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ

ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការដែលមាន ពហុធាដឺក្រេទី 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 ។

កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាមិនគិតពីបច្ចេកទេសសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបទេ ហើយកិច្ចការបែបនេះច្រើនតែត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញជាង (ឧទាហរណ៍ កត្តាកត្តា)។ ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃអត្តសញ្ញាណប្រហាក់ប្រហែលនឹងគូបនៃផលបូក នោះសមីការអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖

(x + 1)³ = 0 ។

ឫសគល់នៃសមីការបែបនេះត្រូវបានគណនាដោយផ្ទាល់មាត់៖ x=-1.

វិសមភាពត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចដោះស្រាយវិសមភាពបាន។ x³ − 6x² + 9x > 0.

ជាបឋមវាចាំបាច់ដើម្បីបំបែកកន្សោមទៅជាកត្តា។ ដំបូងអ្នកត្រូវដកតង្កៀបចេញ x. បន្ទាប់ពីនោះអ្នកគួរយកចិត្តទុកដាក់ថាកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបអាចត្រូវបានបម្លែងទៅជាការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។

បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចដែលកន្សោមយកតម្លៃសូន្យ ហើយសម្គាល់វានៅលើបន្ទាត់លេខ។ ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ ទាំងនេះនឹងជា 0 និង 3។ បន្ទាប់មកដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល កំណត់ថាតើចន្លោះពេល x នឹងជួបលក្ខខណ្ឌវិសមភាព។

FSOs អាចមានប្រយោជន៍ក្នុងការអនុវត្ត ការគណនាមួយចំនួនដោយគ្មានជំនួយពីម៉ាស៊ីនគិតលេខ:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

លើសពីនេះ តាមរយៈការបញ្ចេញមតិកត្តា អ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបានយ៉ាងងាយស្រួល និងសម្រួលកន្សោមពិជគណិតផ្សេងៗ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7-8

សរុបសេចក្តីមក យើងនឹងវិភាគ និងដោះស្រាយកិច្ចការពីរសម្រាប់ការអនុវត្តរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ក្នុងពិជគណិត។

កិច្ចការ 1. សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌការងារ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសម្រួលកន្សោម ពោលគឺ បើកតង្កៀប អនុវត្តប្រតិបត្តិការនៃគុណ និងនិទស្សន្ត ហើយក៏នាំយកពាក្យទាំងនោះមកផងដែរ។ យើងបែងចែកកន្សោមតាមលក្ខខណ្ឌជាបីផ្នែក (យោងទៅតាមចំនួនពាក្យ) ហើយបើកតង្កៀបម្តងមួយៗ ដោយប្រើ FSU តាមដែលអាចធ្វើបាន។

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(ផលបូកការ៉េ);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ);
• នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ចុង​ក្រោយ​នេះ អ្នក​ត្រូវ​ធ្វើ​ការ​គុណ​: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

ជំនួសលទ្ធផលនៅក្នុងកន្សោមដើម៖

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

ដោយគិតពីសញ្ញា យើងបើកតង្កៀប ហើយផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចជា៖

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8 ។

កិច្ចការទី 2. ដោះស្រាយសមីការដែលមាន k មិនស្គាល់ ទៅជាថាមពល 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ − 4k² − 4k = k³។

ការសម្រេចចិត្ត។ ក្នុងករណីនេះចាំបាច់ត្រូវប្រើ FSO និងវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម។ យើងត្រូវផ្ទេរលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយ និងចុងក្រោយទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃអត្តសញ្ញាណ។

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k ។

មេគុណទូទៅត្រូវបានយកចេញពីផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដូច្នេះ 0 នៅតែនៅខាងស្តាំ៖

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

ជាថ្មីម្តងទៀត អ្នកត្រូវដកកត្តាទូទៅចេញ៖

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0 ។

ពីកត្តាដំបូងដែលទទួលបានយើងអាចទទួលបាន k. យោងតាមរូបមន្តគុណខ្លី កត្តាទីពីរនឹងដូចគ្នាបេះបិទ (k + 2)²:

k (k² − 1)(k + 2)² = 0 ។

ដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងគ្នានៃការ៉េ៖

k (k − 1)(k + 1)(k + 2)² = 0 ។

ដោយសារផលិតផលស្មើនឹង 0 ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តារបស់វាគឺសូន្យ វានឹងមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការទេ៖

1. k = 0;
2. k − 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = −2 ។

ដោយផ្អែកលើឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង មនុស្សម្នាក់អាចយល់ពីរបៀបចងចាំរូបមន្ត ភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ និងក៏អាចដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួនដោយប្រើ FSU ផងដែរ។ ភារកិច្ចគឺសាមញ្ញហើយមិនគួរពិបាកបញ្ចប់ទេ។

ដើម្បីសម្រួលពហុនាមពិជគណិត វាមាន រូបមន្តគុណសង្ខេប. មាន​មិន​ច្រើន​ទេ ហើយ​ងាយ​ចាំ ប៉ុន្តែ​អ្នក​ចាំ​បាច់​ត្រូវ​ចាំ។ សញ្ញាណដែលប្រើក្នុងរូបមន្តអាចមានទម្រង់ណាមួយ (លេខ ឬពហុធា)។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ. វាស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាពីការ៉េនៃលេខមួយការ៉េនៃលេខទីពីរត្រូវបានដកស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលេខទាំងនេះក៏ដូចជាផលិតផលរបស់វា។

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

ចូរយើងវិភាគឱ្យកាន់តែច្បាស់៖

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

រូបមន្តទីពីរអំពី ផលបូកនៃការ៉េ. វាស្តាប់ទៅដូចជាផលបូកនៃតម្លៃពីរការ៉េស្មើនឹងការេនៃតម្លៃទីមួយ ផលិតផលទ្វេដងនៃតម្លៃទីមួយគុណនឹងទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅវា ការ៉េនៃតម្លៃទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅពួកគេ។

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

សូមអរគុណចំពោះរូបមន្តនេះ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាការ៉េនៃចំនួនច្រើន ដោយមិនចាំបាច់ប្រើបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

ដូច្នេះឧទាហរណ៍៖ការ៉េនៃ 112 នឹងត្រូវបាន
1) នៅដើមដំបូង យើងនឹងវិភាគលេខ 112 ទៅជាលេខដែលការ៉េដែលធ្លាប់ស្គាល់យើង
112 = 100 + 12
2) យើងបញ្ចូលសញ្ញាដែលទទួលបានក្នុងតង្កៀបការ៉េ
112 2 = (100+12) 2
3) ការអនុវត្តរូបមន្តយើងទទួលបាន:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

រូបមន្តទីបីគឺ ភាពខុសគ្នាការ៉េ. ដែលនិយាយថាតម្លៃពីរដកពីគ្នាទៅវិញទៅមកការេគឺស្មើនឹងការពិតដែលថាពីតម្លៃទីមួយការេយើងដកផលិតផលទ្វេនៃតម្លៃទីមួយគុណនឹងទីពីរដោយបន្ថែមទៅពួកគេការេនៃតម្លៃទីពីរ។ .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

ដែល (a - b) 2 ស្មើ (b - a) 2 . ដើម្បីបញ្ជាក់នេះ (a-b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 −2ab + a 2 = (b-a) 2

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ទីបួនត្រូវបានគេហៅថា គូបបូក. ដែលស្តាប់ទៅដូចជា៖ ពាក្យពីរនៃតម្លៃក្នុងគូបគឺស្មើនឹងគូបនៃតម្លៃ 1 ផលិតផលបីដងនៃតម្លៃ 1 ការេគុណនឹងតម្លៃទី 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅពួកវាត្រូវបានបន្ថែមផលិតផលបីដងនៃតម្លៃ 1 គុណនឹងការេ។ នៃតម្លៃ 2 បូកនឹងតម្លៃទីពីរគូប។

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ទីប្រាំដូចដែលអ្នកបានយល់រួចហើយត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាគូប. ដែលរកឃើញភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃ ដូចជាពីការរចនាទីមួយក្នុងគូប យើងដកផលិតផលបីដងនៃការរចនាទីមួយការេគុណនឹងទីពីរ ផលិតផលបីដងនៃការរចនាទីមួយគុណនឹងការេនៃការរចនាទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅពួកវា។ ដកការកំណត់ទីពីរនៅក្នុងគូប។

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ទីប្រាំមួយត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកនៃគូប. ផលបូកនៃគូបគឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យពីរគុណនឹងការេមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នា ចាប់តាំងពីវាមិនមានតម្លៃទ្វេដងនៅកណ្តាល។

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

នៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀតអ្នកអាចនិយាយថាផលបូកនៃគូបអាចត្រូវបានគេហៅថាផលិតផលនៅក្នុងតង្កៀបពីរ។

ទីប្រាំពីរនិងចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃគូប(វាងាយស្រួលក្នុងការច្រឡំវាជាមួយនឹងរូបមន្តគូបខុសគ្នា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺជារឿងផ្សេងគ្នា)។ ភាពខុសគ្នានៃគូបគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃតម្លៃពីរគុណនឹងការេមិនពេញលេញនៃផលបូកចាប់តាំងពីវាមិនមានតម្លៃទ្វេដងនៅកណ្តាល។

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

ដូច្នេះហើយ មានតែ 7 រូបមន្តសម្រាប់គុណដោយអក្សរកាត់ប៉ុណ្ណោះ ពួកវាស្រដៀងនឹងគ្នា ហើយងាយចងចាំ រឿងសំខាន់តែមួយគត់គឺមិនត្រូវច្រឡំក្នុងសញ្ញានោះទេ។ ពួកគេក៏ត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីប្រើក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស ហើយមានកិច្ចការមួយចំនួនដែលប្រមូលបាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា។ ប្រយ័ត្នហើយអ្នកនឹងជោគជ័យ។

ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយអំពីរូបមន្ត ត្រូវប្រាកដថាសរសេរវានៅក្នុងមតិយោបល់។ យើងនឹងរីករាយក្នុងការឆ្លើយអ្នក!

ប្រសិនបើអ្នកឈប់សំរាកលំហែមាតុភាពប៉ុន្តែចង់រកប្រាក់។ គ្រាន់​តែ​ធ្វើ​តាម​តំណ​អាជីវកម្ម​អ៊ីនធឺណិត​ជាមួយ Oriflame។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសរសេរ និងបង្ហាញយ៉ាងលម្អិត។ វានឹងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍!

កន្សោមគណិតវិទ្យា (រូបមន្ត) គុណដោយសង្ខេប(ការេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា គូបនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូប) គឺមិនអាចជំនួសបានក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដ។ ធាតុតួអក្សរទាំង 7 នេះគឺមិនអាចជំនួសបាននៅពេលដែលធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃកន្សោម ដោះស្រាយសមីការ គុណពហុនាម កាត់បន្ថយប្រភាគ ដោះស្រាយអាំងតេក្រាល និងច្រើនទៀត។ ដូច្នេះវានឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែលពួកគេទទួលបាន តើពួកគេសម្រាប់អ្វី ហើយសំខាន់បំផុតគឺរបៀបចងចាំពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តវា។ បន្ទាប់មកដាក់ពាក្យ រូបមន្តគុណសង្ខេបនៅក្នុងការអនុវត្ត ការលំបាកបំផុតគឺត្រូវមើលថាជាអ្វី Xនិងអ្វីដែលមាន។ ជាក់ស្តែងមិនមានការរឹតត្បិតទេ។ កនិង ខទេ ដែលមានន័យថា វាអាចជាកន្សោមលេខ ឬព្យញ្ជនៈណាមួយ។

ហើយដូច្នេះនៅទីនេះពួកគេគឺ:

ទីមួយ x ២ — នៅ ២ = (x − y) (x + y).ដើម្បីគណនា ភាពខុសគ្នានៃការ៉េកន្សោមពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះដោយផលបូករបស់វា។

ទីពីរ (x + y) ២ = x ២ + 2xy + y ២. ដើម្បីស្វែងរក ផលបូកការ៉េកន្សោមពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមទៅការ៉េនៃកន្សោមទីមួយពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ ដោយទីពីរបូកនឹងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។

ទីបី (x − y) ២ = x ២ - 2xy + y ២. ដើម្បីគណនា ភាពខុសគ្នាការ៉េកន្សោម​ពីរ អ្នក​ត្រូវ​ដក​ពី​ការេ​នៃ​កន្សោម​ទីមួយ​ពីរដង​នៃ​ផល​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ​ដោយ​ទីពីរ​បូក​នឹង​ការ៉េ​នៃ​កន្សោម​ទីពីរ។

ទីបួន (x + y) ៣ = x ៣ + 3x 2 y + 3x 2 + នៅ 3 ។ដើម្បីគណនា គូបបូកកន្សោមពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមទៅគូបនៃកន្សោមទីមួយ បីដងនៃផលិតផលការ៉េនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ បូកបីដងនៃផលិតផលនៃកន្សោមទីមួយ និងការ៉េនៃទីពីរ បូកគូបនៃកន្សោម។ កន្សោមទីពីរ។

ទីប្រាំ (x − y) ៣ = x ៣ - 3x 2 y + 3x 2 — នៅ ៣. ដើម្បីគណនា ភាពខុសគ្នាគូបកន្សោមពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការដកគូបនៃកន្សោមទីមួយបីដងនៃផលិតផលនៃការេនៃកន្សោមទីមួយដោយទីពីរបូកបីដងនៃផលិតផលនៃកន្សោមទីមួយនិងការ៉េនៃទីពីរដកគូបនៃទីពីរ។ កន្សោម។

ទីប្រាំមួយ។ x ៣ + យ ៣ = (x + y) (x 2 - xy + y ២)ដើម្បីគណនា ផលបូកនៃគូបកន្សោមពីរ អ្នកត្រូវគុណផលបូកនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរដោយការេមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះ។

ទីប្រាំពីរ x ៣ — នៅ ៣ \u003d (x - y) (x 2 + xy + y ២)ដើម្បីធ្វើការគណនា ភាពខុសគ្នានៃគូបកន្សោមពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរដោយការេមិនពេញលេញនៃផលបូកនៃកន្សោមទាំងនេះ។

វាមិនពិបាកក្នុងការចងចាំថារូបមន្តទាំងអស់ត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើការគណនាក្នុងទិសដៅផ្ទុយ (ពីស្តាំទៅឆ្វេង) ។

អត្ថិភាពនៃភាពទៀងទាត់ទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់ប្រហែល 4 ពាន់ឆ្នាំមុន។ ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយអ្នកស្រុកបាប៊ីឡូនបុរាណ និងអេហ្ស៊ីប។ ប៉ុន្តែ​ក្នុង​សម័យ​នោះ គេ​បាន​បញ្ចេញ​ពាក្យ​សម្ដី ឬ​ធរណីមាត្រ ហើយ​មិន​ប្រើ​អក្សរ​ក្នុង​ការ​គណនា​ទេ។

ចូរយើងវិភាគ ភស្តុតាងបូកការ៉េ(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ។

នេះ។ ភាពទៀងទាត់នៃគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញឱ្យឃើញអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Euclid ដែលធ្វើការនៅអាឡិចសាន់ឌ្រីក្នុងសតវត្សទី 3 មុនគ. ពួកគេនៅគ្រប់ទីកន្លែងមិនប្រើ "a 2" ប៉ុន្តែ "ការេនៅលើផ្នែក a" មិនមែន "ab" ប៉ុន្តែ "ចតុកោណដែលរុំព័ទ្ធរវាងផ្នែក a និង b" ។

ឯកជនភាពរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមអានគោលការណ៍ឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណបុគ្គលជាក់លាក់ ឬទាក់ទងគាត់។

អ្នកអាចនឹងត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះដែលយើងប្រមូលបាន៖

• នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យស្នើសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាសយដ្ឋានអ៊ីមែល។ល។

របៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

• ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នក និងជូនដំណឹងដល់អ្នកអំពីការផ្តល់ជូនពិសេស ការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
• ពីពេលមួយទៅពេលមួយ យើងអាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹងសំខាន់ៗ និងការទំនាក់ទំនងទៅអ្នក។
• យើងក៏អាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងផងដែរ ដូចជាការធ្វើសវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និងការស្រាវជ្រាវផ្សេងៗ ដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
• ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួត ឬការលើកទឹកចិត្តស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

• ក្នុងករណីដែលវាចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ សណ្តាប់ធ្នាប់តុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង / ឬផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពីស្ថាប័នរដ្ឋនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - បង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬគោលបំណងផលប្រយោជន៍សាធារណៈផ្សេងទៀត។
• នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅកាន់អ្នកស្នងតំណែងភាគីទីបីដែលពាក់ព័ន្ធ។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាពីការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

រក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទាក់ទងការអនុវត្តឯកជនភាព និងសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។